线代线性相关与线性无关

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线代解析

注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》同济五版《高数》浙大版的《概率》等有时间再写首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

考研数学线性代数必考的知识点

考研数学线性代数必考的知识点考研数学线性代数必考的知识点漫长的学习生涯中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。

还在苦恼没有知识点总结吗？以下是店铺帮大家整理的考研数学线性代数必考的知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

考研数学线性代数必考的知识点篇1考研数学线性代数必考的重点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。

相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。

复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。

其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。

四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。

概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。

其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。

从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。

第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。

线性代数的几何意义

线性代数的几何意义注解线性代数是优雅和有趣的一门学科，应用也很多，只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让同学产生兴趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》，加上后来阅读matlab 作者的书籍，才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”，的确很美，所以想借鉴这些零散的阅读，加上自己后来的理解，把它的部分几何意义注解一下，希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它，同时我也会保持更新，不断完善，一起体会数学无与伦比的美丽矩阵的几何意义1、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成的空间（在力学分析，向量空间应用时常取此几何含义，后文把此类几何含义称作矩阵的向量空间）如矩阵5673⎛⎫⎪⎝⎭按照行向量可表示为如下形式2、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形（在计算机图形学中常取此几何表示，后文把此类几何含义称作矩阵的图形），如矩阵579 635⎛⎫ ⎪⎝⎭按照列向量可表示为如下图形如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形注1：如果单独查看一个矩阵m n A ⨯，可以有两种解读：矩阵A 由m 个n 维向量组成，或者由n 个m 维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等行列式的几何意义一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的体积；如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）克拉默法则的几何意义以二维形式为例来说明其几何意义:方程A x =b ，设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2，那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ，这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量b ，故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ，求伸缩因子i x我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将OB 边伸长至OE ，形成新的平行四边形OAFE ，记其面积为OAFE S ，这样a1的伸缩因子1x 可表示为||OAFE S A ，显然只要求出OAFE S 即可解出未知量；图中OG 即向量b ，因为它是1x a1，2x a2的线性叠加，所以G 点必在EF 的延长线上，这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的，故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同，即OAFE S =|b a2|，所以可求得1x =|b a2|/|A|，同理可得2x =|a1 b |/|A|，可以看出此表达式和克拉默法则等价矩阵乘法的几何意义我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB ，作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新图形C ，或者是向量空间A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新的向量空间C ，对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到；例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原3D 图形向x-y 面投影，变换矩阵100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原图形对x 轴镜像，变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。

第三版线代第四章

推论：对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
（ 5-
先用反证法证明，其中的先用反证法证明，其中的不可能等于零不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 ）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与之具有相同系数矩阵的方程组
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。

线代题型知识点总结

线代题型知识点总结在线性代数的学习中，有一些重要的知识点需要掌握，包括向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。

下面我们来对这些知识点进行总结。

1. 向量空间向量空间是线性代数的基本概念，它是集合中的元素按照一定的规则进行线性组合形成的空间。

向量空间必须满足一些基本的性质，包括封闭性、结合律、交换律、单位元和逆元等。

在向量空间中，我们可以定义加法和数乘运算，并且这两种运算满足线性性质。

向量空间的一些重要的性质包括线性相关和线性无关、基和维数、子空间等。

线性相关是指向量之间存在一定的线性关系，而线性无关则表示向量之间不存在线性关系。

基是指向量空间中的一组线性无关的向量，并且这组向量可以生成整个向量空间。

向量空间的维数是指生成向量空间的最小的基的大小。

2. 线性变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且满足一定的线性性质。

线性变换可以使用矩阵来表示，并且线性变换具有一些重要的性质，包括线性性、保持加法和数乘运算、保持零向量等。

线性变换的一些重要的性质包括核和像、秩和零化度等。

核是指线性变换的零空间，它包括所有被映射到零向量的向量，而像是指线性变换映射到的向量空间。

线性变换的秩是指像的维数，而零化度是指核的维数。

3. 矩阵矩阵是线性代数中的一个重要工具，它可以用来表示线性变换、解线性方程组等。

矩阵的一些重要的性质包括行空间和列空间、转置矩阵、逆矩阵等。

行空间是指矩阵的所有行张成的空间，而列空间是指矩阵的所有列张成的空间。

转置矩阵是将矩阵的行和列进行交换得到的矩阵，而逆矩阵是指矩阵的乘法逆元。

4. 行列式行列式是矩阵的一个重要的性质，它可以用来求解线性方程组的解、判断矩阵的逆是否存在等。

行列式的计算包括按照对角线元素进行乘积减去反对角线元素进行乘积，并且可以使用化简和展开等方法来计算。

行列式的一些重要的性质包括行列式的性质和余子式和代数余子式的关系等。

宋浩线代辅导讲义

宋浩线代辅导讲义一、引言宋浩线代辅导讲义是为了帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法而编写的。

线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

本讲义将从基础概念开始介绍，并逐步深入，帮助学生建立起对线性代数的系统性理解。

二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组2.1.1 定义与表示定义：线性方程组是由一系列线性等式组成的方程组。

例如，下面是一个包含三个未知数x、y、z的线性方程组：2x + y - z = 4x - y + 3z = -13x + 2y + z = 72.1.2 解的存在唯一性对于一个线性方程组，它可能有三种解的情况：•无解：当方程组中存在矛盾等式时，即出现了0=1这样不可能成立的等式。

•有唯一解：当方程组中的方程数量等于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。

•有无穷多解：当方程组中的方程数量小于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵不满秩时，方程组有无穷多解。

2.2 矩阵与向量2.2.1 矩阵的定义与运算定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。

一个m×n的矩阵有m行n列。

例如，下面是一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。

其中，加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，乘法则需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

2.2.2 向量与线性组合定义：向量是一种特殊类型的矩阵，它只有一列。

向量可以表示为：v = [v1, v2, ..., vn]其中vi表示向量v中第i个元素。

线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行加权求和的操作。

例如，对于向量v1和v2，它们的线性组合可以表示为：c1 * v1 + c2 * v2其中c1和c2为常数。

2.3 矩阵的转置与逆2.3.1 矩阵的转置定义：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

例如，对于一个3×2的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，可以表示为：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32]2.3.2 矩阵的逆定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。

《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线.................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式.............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质.......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式.............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素.............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵...................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则...................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式.............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵.................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块.............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换...................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价.................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵.................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵.......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题...................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵.................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：...................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：.............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论................................................................................................................................ - 10 -22、线性方程组概念.................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念........................................................................................................ - 11 -25、线性方程组的向量形式........................................................................................................................................ - 12 -26、线性相关与线性无关的概念.......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题 ...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念.......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 .......................................................... - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理........................................................................................................ - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩............................................................................................................................ - 12 -33、线性方程组解的结构............................................................................................................................................ - 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。

下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。

考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

2020年考研数学线性代数大纲考点及常考题型(二)

2020年考研数学线性代数大纲考点及常考题型(二)研究生入学考试中，线性代数是数一、数二、数三考生研究生考试的公共内容，占22%(总分150分)，考察2个选择题(每题4分，共8分)、1个填空题(每题4分，共8分)、2个解答题(总分22分)。

线性代数相对考研数学高数来说，比较简单，要想取得好的成绩，线代争取不丢分。

下面结合大纲考点，已经对行列式、矩阵实行梳理，接来下梳理向量、线性方程组两个模块，希望对考生有所协助。

一、向量1、考试内容(1)向量的概念;(2)向量的线性组合与线性表示;(3)向量组的线性相关与线性无关;(4)向量组的极大线性无关组;(5)等价向量组;(6)向量组的秩;(7)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系;(8)向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法;(9)向量空间及其相关概念;(10)n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积。

(其中9、10只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求)2、考试要求(1)了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则;(2)理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的相关性质及判别法;(3)理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩;(4)理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;(5)了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.(6)了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念;(7)了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.(其中5、6只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求)3、常考题型(1)判定向量组的线性相关性;(2)向量组线性相关性问题的证明;(3)向量组的线性表示问题;(4)向量组的极大线性无关组与向量组的秩;(5)过度矩阵与向量的坐标表示(数一考生要求、数二、数三考生不要求)二、线性方程组1、考试内容(1)线性方程组的克莱姆(Cramer)法则;(2)线性方程组有解和无解的判定;(3)齐次线性方程组的基础解系和通解;(4)非齐次线性方程组的解与相对应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系;(5)非齐次线性方程组的通解2、考试要求(1)会用克莱姆法则解线性方程组;(2)掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法;(3)理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;(4)(4)理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;(5)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

线性代数中的线性无关与线性相关

线性代数中的线性无关与线性相关线性代数是数学中一门重要的学科，它研究了向量空间和线性变换等概念。

而线性无关与线性相关则是线性代数中的基本概念之一，它们对于理解矩阵和向量的性质以及解决线性方程组等问题具有重要的作用。

一、线性无关线性无关是指若一个向量组中的向量不能用其他向量线性表示，则称该向量组线性无关。

具体来说，如果对于给定的向量组{v1, v2, ..., vn}，只有当线性组合a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0时，所有系数都为零才能使等式成立，那么这个向量组就是线性无关的。

判断一个向量组是否线性无关的充要条件是，该向量组的任意有限子集都是线性无关的。

线性无关的向量组具有以下重要性质：1. 构成向量组的向量个数不超过向量空间维数；2. 向量组的秩等于其向量的个数。

二、线性相关线性相关是指若一个向量组中的向量可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。

换句话说，如果存在不全为零的系数a1, a2, ..., an，使得a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，那么这个向量组就是线性相关的。

线性相关的向量组具有以下重要性质：1. 一个线性相关的向量组中至少存在一个向量可以通过其他向量的线性组合得到；2. 线性相关的向量组的秩小于其向量的个数。

三、线性无关与线性相关的关系线性无关和线性相关是线性代数中两个相对的概念。

它们之间具有以下关系：1. 若一个向量组是线性相关的，则这个向量组中的任意一个向量都可以被其他向量线性表示；2. 若一个向量组是线性无关的，则这个向量组中的任意一个向量都不能被其他向量线性表示。

通过判断一个向量组是线性相关还是线性无关，可以帮助我们理解多元线性方程组的性质和解的情况。

在研究线性代数问题时，我们通常要确定向量组的线性无关性，以决定方程组的解的唯一性和完备性。

四、线性无关与线性相关的应用线性无关与线性相关的概念在线性代数中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 解决线性方程组：通过判断系数矩阵的秩是否满秩，可以判断线性方程组是否有解以及解的唯一性；2. 确定向量空间的基：一个向量空间的基就是线性无关的最大向量组，在计算中常常需要确定向量空间的基来进行问题的求解；3. 特征值和特征向量的计算：计算特征值和特征向量涉及到矩阵的可逆性和对角化，而线性无关与线性相关的概念可以帮助我们理解和计算特征值和特征向量。

线代知识点总结(1-4)

1.4行列式的性质1.性质1行列式与它的转置行列式相等.2.性质2对换行列式的两行（列），行列式变号.3.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.4.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k 乘此行列式.5.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.6.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.7.性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和,则D 等于下列两个行列式之和：8.性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.1.5 行列式按行（列）展开1.引理一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元ai j外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D = a ij A ij.2.定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +…+ain Ain （i= 1，2，…，n）或D = a1jA 1j +a2jA2j +…+anjAn j （j = 1，2，…，n）.3.4.推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即a i1 A j1 + a i2 A j2 + …+ a in A jn = 0，i≠j或a1iA1j +a2iA 2j +…+aniA nj = 0，i≠j.2.1 线性方程组和矩阵1.定义1由m×n 个数aij（i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n）排成的m 行n 列的数表称为m 行n 列矩阵，简称m×n 矩阵.为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A 的（i，j）元. 以数aij为（i，j）元的矩阵可简记作（aij）或（aij）m×n.m×n 矩阵A 也记作A m×n .元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.行数与列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵. n 阶矩阵A 也记作A n.两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.如果A =（ai）j与B =（bij）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij = bij （i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n），那么就称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A = B.元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O.注意不同型的零矩阵是不同的.2.2矩阵的运算1.定义2设有两个m×n 阵A =（aij）和B =（bij），那么矩阵A 与B 的和记作A +B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设A，B，C 都是m×n 矩阵）：（i）A +B = B +A；（ii）（A +B）+ C = A +（B +C）.设矩阵A =（aij），记-A =（-aij），-A 称为矩阵A 的负矩阵，显然有A +（-A）= O，由此规定矩阵的减法为A -B = A +（- B）2.定义3数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或Aλ，数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B 为m×n 矩阵，λ、μ为数）：（i）（λμ）A =λ（μA）；（ii）（λ+μ）A =λA +μA；（iii）λ（A +B）=λA +λB.矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.3.定义4设A=（ai）j 是一个m×s矩阵，B=（bi）j 是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个m×n 矩阵C =（cij），其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj= ∑aikbkj（i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n），并把此乘积记作C = A B.4.定义5把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作 A T .矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：（1）（A T）T = A；（ii）（A + B）T = A T +B T；（iii）（λA）T =λA T；（iv）（A B）T = B T A T .5. 定义6由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作det A 或|A︳.应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是n 2 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数.由A 确定︳A︳的这个运算满足下述运算规律（设A、B 为n阶方阵，λ为数）：（i）|A T︳=|A︳（行列式性质1）；（ii）|λA︳=λn|A︳；（iii）|AB︳=|A︳|B︳.2.3 逆矩阵1.定义7对于n 阶矩阵A，如果有一个n 阶矩阵B，使A B = B A = E，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵.如果矩阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是惟一的.这是因为：若B、C 都是A的逆矩阵，则有B = B E = B（A C）=（B A）C = E C = C，所以A 的逆矩阵是惟一的.A 的逆矩阵记作A -1 .即若AB = BA = E，则B = A-1.2.定理2若︳A︳≠0，则矩阵A 可逆，且其中A *为矩阵A 的伴随矩阵.当︳A｜=0时，A 称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵.由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是︳A︳≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵3.推论若A B = E （或BA = E），则B = A - 1 .4.2.4克拉默法则1.克拉默法则如果线性方程组（9）的系数矩阵A 的行列式不等于零，即那么，方程组（9）有惟一解其中A j（j= 1，2，…，n）是把系数矩阵A 中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶矩阵，即2.5矩阵分块法1.矩阵A = O 的充分必要条件是方阵A T A = O .3.1矩阵的初等变换1.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作ri ↔rj）；（ii）以数k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作ri×k）；（iii）把某一行所有元的k 倍加到另一行对应的元上去（第j 行的k 倍加到第i行上，记作ri +krj）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换ri ↔rj 的逆变换就是其本身；变换ri×k 的逆变换为变换ri+krj 的逆变换为ri +（-k）rj（或记作ri -krj）.如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A 与B 行等价;如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A 与B 列等价；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A ～A；（ii）对称性若A～B，则B～A；（iii）传递性若A ～B，B～C，则A ～C.2.定义2（1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；（ii）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i）非零行的首非零元为1；（ii）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A 为行最简形矩阵.3.定理1设A 与B 为m×n 矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P，使PA = B；（ii）A ～B 的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q，使A Q = B；（iii）A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q，使PA Q = B.4.性质1设A 是一个m×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘相应的n 阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：5. 性质2方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pl，使A = P1 P2…P l.6.推论方阵A 可逆的充分必要条件是A~E.3.2 矩阵的秩1.定义4在m×n 矩阵A 中，任取k 行与k 列（k ≤m，k ≤n），位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.m×n 矩阵A 的k 阶子式共有个.2.引理设则A 与B 中非零子式的最高阶数相等.3.定义5设在矩阵A 中有一个不等于0 的r 阶子式D，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r称为矩阵A 的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A 中当所有r+1 阶子式全等于0 时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R（A）就是A 的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0，则R（A）≥s；若A 中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A 为m×n 矩阵，则0 ≤R（A）≤min｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T 的子式与A 的子式对应相等，从而R（A T）= R（A）.对于n 阶矩阵A，由于A 的n 阶子式只有一个︳A︳，故当︳A︳≠0 时R（A）= n，当︳A︳= 0 时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.4.定理2若A ～B，则R（A）= R（B）.5.推论若可逆矩阵P、Q 使PA Q = B，则R（A）= R（B）.6.矩阵秩的一些最基本的性质：①0 ≤R（A m×）n ≤min｛m，n｝.②R（A T）= R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q 可逆，则R（PA Q）= R（A）.⑤max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），⑥R（A +B）≤R（A）+R（B）.⑦R（A B）≤min｛R（A），R（B）｝⑧若A m×n Bn×l = O，则R（A）+R（B）≤n6.若A m×n B n×l = C，且R（A）= n，则R（B）= R（C）.设A B = O，若A 为列满秩矩阵，则B = O.3.3线性方程组的解1.定理3 n 元线性方程组Ax =b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（ii）有惟一解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）= n；（iii）有无限多解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）＜n.2.定理4 n 元齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.3.定理5线性方程组A x = b 有解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）.4.定理6矩阵方程A X = B 有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.5.定理7设A B = C，则R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.4.1向量组及其线性组合1.定义2给定向量组A：a1，a2，…，am，对于任何一组实数k1，k2，…，km，表达式k 1 a 1 + k 2 a 2 + …+ k m a m称为向量组A 的一个线性组合，k1，k2，…，km 称为这个线性组合的系数.给定向量组A：a1，a2，…，am 和向量b，如果存在一组数λ1，λ2，…，λm，使b =λ1 a 1 +λ2 a 2 + …+λm a mm，则向量b 是向量组A 的线性组合，这时称向量b 能由向量组A 线性表示.向量b 能由向量组A 线性表示，也就是方程组x 1 a 1 + x 2 a 2 + …+ x m a m = b2.定理1向量b 能由向量组A：a1，a2，…，a m 线性表示的充分必要条件是矩阵A =（a1，a2，…，a m）的秩等于矩阵B =（a，1 a2，…，a m，b）的秩.3.定义3设有两个向量组A：a1，a2，…，a m 及B：b1，b2，…，bl，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价.4.定理2向量组B：b1，b2，…，bl 能由向量组A：a1，a2，…，a m 线性表示的充分必要条件是矩阵A =（a1，a2，…，am）的秩等于矩阵（A，B）=（a1，…，am，b1，…，bl）的秩，即R（A）= R（A，B）.5.推论向量组A：a1，a2，…，a m 与向量组B：b1，b2，…，bl 等价的充分必要条件是R（A）= R（B）= R（A，B），其中A 和B 是向量组A 和B 所构成的矩阵.6.定理3设向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A：a1，a2，…，am 线性表示，则R（b1，b2，…，bl）≤R(a 1，a 2，…，a m）.7.上述各定理之间的对应，其基础是向量组与矩阵的对应，从而有下述对应：向量组B：b1，b2，…，bl 能由向量组A：a1，a2，…，a m 线性表示⇔有矩阵K，使B = A K⇔方程A X = B 有解.4.2 向量组的线性相关性1.定义4给定向量组A：a1，a2，…，am 如果存在不全为零的数k1，k2，…，km，使k1 a 1 + k 2 a 2 + …+ k m a m = 0，则称向量组A 是线性相关的，否则称它线性无关.2.定理4向量组A：a1，a2，…，a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A =（a1，a2，…，a m）的秩小于向量个数m；向量组A 线性无关的充分必要条件是R（A）= m.3.定理5（1）若向量组A：a1，…，am 线性相关，则向量组B：a1，…，am，am +1也线性相关.反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.（2）m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关.特别地n+1 个n 维向量一定线性相关.（3）设向量组A：a1，a2，…，a m 线性无关，而向量组B：a1，…，a m，b 线性相关，则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表示式是惟一的.4.3向量组的秩1.定义5设有向量组A，如果在A 中能选出r + 向量a1，a2，…，ar，满足（i）向量组A0：a1，a2，…，ar 线性无关；（ii）向量组A 中任意r+1 个向量（如果A 中有r+1 个向量的话）都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称量大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A 的秩，记作RA.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.2.推论（最大无关组的等价定义）设向量组A0：a1，a2，…，ar是向量组A 的一个部分组，且满足（i）向量组A0 线性无关；（ii）向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示，那么向量组A0 便是向量组A 的一个最大无关组.3.定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.4.定理2′向量组b1，b2，…，bl 能由向量组a1，a2，…，a m 线性表示的充分必要条件是R（a1，a2，…，a m）= R（a1，…，a m，b1，…，bl）.5.定理3′若向量组B 能由向量组A 线性表示，则R B ≤RA.4.4 线性方程组的解的结构1.（1）n 个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R（A）＜n.（2）n 个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵B 的秩，且当R（A）= R（B）= n 时方程组有惟一解，当R（A）= R（B）= r＜n 时方程组有无限多个解.2.性质1 若x =ξ1，x =ξ2 为向量方程（2）的解，则x =ξ1 +ξ2 也是向量方程（2）的解.3.性质2若x =ξ1 为向量方程（2）的解，k 为实数，则x = kξ1 也是向量方程（2）的解.4.定理7 设m×n 矩阵A 的秩R（A）= r，则n 元齐次线性方程组Ax = 0的解集S 的秩R S = n-r.5.性质3设x =η1 及x =η2 都是向量A x = b的解，则x =η1-η2 为对应的齐次线性方程组A x = 0的解.6.性质4设x =η是A x = b的解，x =ξ是A x = 0 的解，则x =ξ+η仍是A x = b的解.4.5 向量空间1.定义6设V 为n 维向量的集合，如果集合V非空，且集合V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间.所谓封闭，是指在集合V 中可以进行向量的加法及数乘两种运算.具体地说，就是：若a∈V，b∈V，则a+b∈V；若a∈V，λ∈R，则λa∈V.2.定义7设有向量空间V1 及V2，若就称V1 是V2 的子空间.3.定义8设V 为向量空间，如果r个向量a1，a2，…，ar∈V，且满足（i）a1，a2，…，ar 线性无关；（ii）V中任一向量都可由a1，a2，…，ar 线性表示，那么，向量组a1，a2，…，ar 就称为向量空间V 的一个基，r称为向量空间V 的维数，并称V为r维向量空间.如果向量空间V 没有基，那么V 的维数为0. 0 维向量空间只含一个零向量0.若把向量空间V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩.4.定义9 如果在向量空间V 中取定一个基a1，a2，…，ar，那么V 中任一向量x 可惟一地表示为x =λ1 a 1 +λ2 a 2 + …+λr a r，数组λ1，λ2，…，λr 称为向量x 在基a1，a2，…，ar 中的坐标.特别地，在n 维向量空间R n 中取单位坐标向量组e1，e2，…，en 为基，则以x1，x2，…，xn 为分量的向量x，可表示为x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + …+ x n e n ，可见向量在基e1，e2，…，en 中的坐标就是该向量的分量.因此，e1，e2，…，en 叫做R n中的自然基.。

线代复习

第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

大一线代知识点总结宋浩

大一线代知识点总结宋浩大一线代知识点总结线性代数是大一学生必修的一门数学课程，它是数学基础学科中的重要分支，也是其他学科如物理学和工程学的基础。

下面是我对大一线性代数课程的知识点进行的总结和梳理。

一、向量和矩阵1. 向量的定义和性质：向量的概念、向量的加法和数量乘法、零向量、单位向量、向量的数量积和向量积等。

2. 矩阵的定义和性质：矩阵的概念、矩阵的加法和数量乘法、矩阵的转置、矩阵的乘法、矩阵的逆等。

3. 向量组和矩阵的秩：向量组的线性相关性和线性无关性、矩阵的秩的概念、矩阵的行列式和逆矩阵与秩的关系等。

二、矩阵运算1. 线性方程组和增广矩阵：线性方程组的概念、解的存在性和唯一性、线性方程组的矩阵表示、增广矩阵的概念等。

2. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵：矩阵的初等变换的概念和性质、高斯消元法求解线性方程组、阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵的概念等。

三、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念、特征方程和特征值的性质、特征向量的性质等。

2. 对角化和相似矩阵：矩阵的对角化和相似矩阵的概念、对角化的条件、相似矩阵的性质等。

四、线性变换1. 线性变换的定义和性质：线性变换的概念、线性变换的矩阵表示、线性变换的性质等。

2. 线性变换的标准矩阵：线性变换的标准矩阵的概念和计算方法、线性变换的矩阵表示与矩阵的相似性质等。

五、内积空间1. 内积的定义和性质：内积的概念和性质、内积空间的定义和性质、内积的几何意义等。

2. 正交性和正交向量组：正交向量和正交向量组的概念、正交向量组的性质、Gram-Schmidt正交化过程等。

六、二次型1. 二次型的定义和性质：二次型的概念和性质、二次型的矩阵表示、二次型的标准形和规范形等。

以上是大一线性代数课程的主要知识点总结。

掌握这些知识点，对于理解后续的高等数学、概率论等学科都非常重要。

希望这份总结对你的学习有所帮助。

线性代数知识点框架及习题解读

线性代数知识点框架及习题解读注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》也就是忆心得，传爱心。

为更多的学弟学妹提供方便的姊妹篇，高数我还没有传完，这有点忙会尽快首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

考研数学线代定理公式总结

考研数学线代定理公式总结√ 关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示、行列式的定义√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和、推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零、②若都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积、④关于副对角线：（即：所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵、记作：或伴随矩阵，为中各个元素的代数余子式、√ 逆矩阵的求法:① ：②③ √ 方阵的幂的性质：√ 设的列向量为,的列向量为，则，为的解可由线性表示、即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵、同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵、即：√ 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量、√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘、√分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的逆矩阵：分块对角阵相乘：,分块对角阵的伴随矩阵：√ 矩阵方程的解法()：设法化成① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交、② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关、③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关、（向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关、（向量维数变动）⑤ 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关、⑥ 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合、⑦ 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示、向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示、⑧ 维列向量组线性相关；维列向量组线性无关、⑨ 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一、⑩ 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩、行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数、行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零、当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵⑪矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系、即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩、√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘、矩阵的秩如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为、记作向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩、记作矩阵等价经过有限次初等变换化为、记作：向量组等价和可以相互线性表示、记作：⑫矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价、矩阵与作为向量组等价矩阵与等价、⑬向量组可由向量组线性表示有解≤、⑭向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关、向量组线性无关,且可由线性表示,则≤、⑮向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；⑯任一向量组和它的极大无关组等价、向量组的任意两个极大无关组等价、⑰向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定、⑱若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等、⑲设是矩阵,若，的行向量线性无关；若，的列向量线性无关,即：线性无关、√ 矩阵的秩的性质：①≥ ≤≤ ② ③ ④ ⑤≤⑥ 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩、⑦若；若⑧等价标准型、⑨≤ ≤≤ ⑩ ：线性方程组的矩阵式向量式矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）线性方程组解的性质：√ 设为矩阵,若一定有解，当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关、是的上限、√ 判断是的基础解系的条件：① 线性无关；② 都是的解；③ 、√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一、√ 若是的一个解，是的一个解线性无关√ 与同解（列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系、√ 两个齐次线性线性方程组与同解、√ 两个非齐次线性方程组与都有解，并且同解、√ 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）、√ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设是(I)的基础解系, 是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示、即：当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设是(I)的通解，是(II)的通解，两方程组有公共解可由线性表示、即：③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

线代3-2

而向量组 1 , 2 ,, m，线性相关，
则有不全为零的数 k1 ,k2 , ,km ,k 使 k11 k22 kmm k 0 1 由条件知 k 0 k1 1 +k2 2 + km m k 假设 l11 +l22 + lmm r11 +r22 + rmm
2 (1,0,2)的线性组合。
答案：不能
线性代数第三章线性空间
5
定义3.6
设两个向量组
1 , 2 ,, s
1 , 2 ,, t
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ）
证
证明n维初始单位向量组， 2，， n线性无关。 1
证明：若向量组、、线性无关，
设 k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
则 , , 线性无关。
( k1 k3 ) ( k1 k2 ) ( k2 k3 ) 0
4 (0,2)的极大无关组。
线性代数第三章线性空间15 Nhomakorabea 定理3.3
设有两个n维向量组： 1 , 2 ,, r
( )
( )
1 , 2 ,, s
若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s
由 ( 1 证明： ( I )可以被 II )线性表示，所以，对于，存在数 1 , k2 ,, k s 使得 k

李永乐线代笔记

第一章节行列式基础知识：①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。

②代数余子式千万别忘记(−1)i+j③行列式两行（列）对换，行列式要变号！④克拉默法则：x n =D n D基本行列式的计算：①副对角行列式=(−1)n(n−1)2a 1n a 2,n−1···a n1②副对角拉普拉斯：|O A B ∗|=(−1)nm |A||B| ③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(x i −x j )1≤j<i≤n 即针对第二行，每个靠右的都减一次靠左的，然后乘起来。

④特征多项式（三阶）：|λE −A |=λ3−(a 11+a 22+a 33)λ2+s 2λ−|A|其中s 2=|a 11a 12a 21a 22|+|a 11a 13a 31a 33|+|a 22a 23a 32a 33| ⑤零多的，直接展开算。

⑥将第一行（列）的k 倍依次加至其余各行（列）。

⑦将每一行（列）都加到第一行。

⑧逐行（列）相加。

特殊行列式的计算：①∠型行列式，从角（或边）沿第三边方向扫过去，依次把前一行（列）乘上倍数加到后一行（列）上。

②爪型行列式，↖↘头朝主对角线的，化为上（下）三角行列式；↗↙头朝副对角线的，化为副对角线三角行列式。

③对称征子型（中间斜着三道）行列式，采用逐行相加（上一行乘倍数加到下一行上）的方式化为下三角行列式。

④对角线为a ，其余都为b 的行列式，每行都减第一行，再每列都加到第一列。

第二章节矩阵主要公式：①伴随：AA ∗=A ∗A =|A |E ； A ∗=|A|A −1 ； (A ∗)−1=(A −1)∗=A |A|(A ∗)T =(A T )∗ ； (kA)∗=k n−1A ∗ ； (A ∗)∗=|A|n−2Ar (A ∗)={n ，如果r (A )=n1，如果r (A )=n −10，如果r (A )<n −1②可逆：A−1=A∗|A|；(kA)−1=1kA−1(A n)−1=(A−1)n；(A−1)T=(A T)−1[B O O C ]−1=[B−1OO C−1]；[O BC O]−1=[O C−1B−1O]③转置：(A T)T=A；(kA)T=kA T[A B C D ]T=[A T C TB T D T]④行列式：|A T|=|A|；|A−1|=|A|−1；|A∗|=|A|n−1|kA|=k n|A|；|AB|=|A|·|B|（行列式没有加减运算）⑤加与乘(A+B)T=A T+B T；(AB)T=B T A T(AB)−1=B−1A−1；(ABC)−1=C−1B−1A−1；(AB)∗=B∗A∗（求逆和伴随没有加法运算）[B O O C ]n=[Bn OO C n]（副对角线分块矩阵先平方，化为主对角线，再套公式）⑥秩r(A)=r(A T)；r(A T A)=r(A)（证明过程见下）：设(I)A T Ax=0,(II)Ax=0，若α是(II)的解，显然也是(I)的解；若α是(I)的解，则A T Aα=0→αT A T Aα=0→(Aα)T Aα=0→|Aα|2=0→Aα=0，则α也是(II)的解，故(I)、(II)同解。