线代线性相关与线性无关

T m 个 n维 行 向 量 所 组 成 1 T T T T 2 的向量组 1 , 2 , m , B T 构成一个 m n矩 阵 m
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
T m
T 2
T 1


T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
T 1
T 2
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, n , 构成一个m n矩阵
A (1 , 2 , , n )
必要性
设 1 , 2 ,, m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使 k11 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 k 2 k 3 k 1 1 1 m .
能由其余向量线性表示. 即有
m 11 2 2 m1 m1




故 11 2 2 m1 m1 1 m 0




因 1 Biblioteka Baidu 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 ,, m 线性相关.
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .

3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应
二、线性表示的概念及判定
给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一 定义１ 组实数k1，k2， , km， 向量 k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
线性相关
2、设 （0，1，2，3），1 （2，2，3，1），
2 （-1，2，1，2）， 3 （2，1，-1，-2）， 问 能否由1， 2， 3线性表出？
不能线性表出
a1 j a1 j a a 2j 2j j , j , j 1,2, , m , 则 a nj a sj
(1)若1 ,2 ,,m线性相关，则 1 , 2 ,, m也一定线性相关 ; (2)若1 , 2 ,, m线性无关，则 1 ,2 ,,m也一定线性无关 .
方法二
设x11 x2 2 xm m 0 其中 i ( a1i , a2 i , , ami ), 得到 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1m xm 0 a2 m xm 0 anm xm 0
向量组a , a ,, a n称为矩阵A的列向量组.
1
2
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1 n a2n a in a mn
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.

1 , 2 ,, m 线性无关，而向量组 定理 2 向量组 1 ,2 ,,m , 线性相关，则向量 必能由向量组
1 , 2 ,, m 线性表示，且表示式是唯一的.
向量组中一部分向量构成的向量组，称为该向量组的子向量组.
若给方程组有非零解，则向量组1， 2， ， m 线性相关；若只有零解，则线性无关。
题型Ⅱ 判断向量能否由向量组线性表出
方法一 先根据定义设 =x11 x2 2 xt t 非齐次线性方程组。然后求解该方程组。如果有 解就能线性表出，如果无解就不能线性表出。
由向量相等的关系，写出以x1 , x2 ,, xt为未知元的
仅有零解 线性无关 有非零解 线性相关
例2 已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 2 , b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
当b1 b2 bm 0 时，称为齐次线性方程组 当 b1 , b2 ,, bm 不全为零时，称为非齐次线性方程组
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
1、如果 可以由 线性表示，则称与 成比例。
n维 基 本 向 量
2 、已知n维单位向量1 , 2 ,, n , 其中 i (0,0,1, 0,, 0), i 1, 2,, n; 任一n维向量 (b1 , b2 ,, bn )能由1 , 2 ,, n 线性表示.
证
设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x （ x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, 1 1 2） 亦即 （ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
方法二 如果1 , 2 ,, m线性无关，而1 ,
2 ,, m， 线性相关，则 可由1 , 2 ,, m唯一
线性表出。
练习题
1、讨论下列向量组是线性相关还是线性无关
2 1 （） 1 1 ， 2 5 3
线性无关
1 0 1 ， 2 ， 0 （2）1 2 2 3 3 5 2
4.2 线性相关与线性无关
一、向量 向量组与矩阵 二、线性表示的概念及判定 三、线性相关性的概念及判定 四、线性相关性的有关结论
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
6.n维基本向量 1 , 2 ,, n一定线性无关 .
例1：判别向量组1 (1,1,1), 2 (0, 2,5), 3 (1,3,6)的线性 相关性 .
判断1， 2， ， m是否线性相关 x11 x2 2 xm m 0仅有零解
四、线性相关性的有关结论
,, m 定理1 向量组1 , 2 m 2时）线性相关 （当 的充分必要条件是 1 , 2 ,, m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
3、判断 能否由向量组1 ， 2， ， m线性表示 非齐次线性方程组x11 x2 2 xm m b 是否有解.
三、线性相关性的概念及判定
定义3 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 全为零的数k1 , k2 , , km使 k11 k2 2 km m 0 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关 注意 1. 若 1 , 2 , , n线性无关 , 则只有当 1 n 0时, 才有 11 2 2 n n 0 成立 .

因1， 2， 3线性无关，故有
x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
由于此方程组的系数行 列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1 故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
五、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 四个定理．（难点）
作业：
P113 1, 3（1）
题型 Ⅰ 向量组的线性相关性的判断
定义2 对于n维行（列）向量 1， 2， ， m，，如果存在 一组数1，2， ，m，使得
11 2 2 m m 则称向量 是向量组1， 2， ， m的一个线性组合，或 称向量 能由向量组1， 2， ， m线性表示（线性表出） .
1 , 2 ,, m中，若存在某子向量组 定理 3 在n维向量组 线性相关，则向量组 1 , 2 ,, m一定线性相关 .反之， 若向量组 1 , 2 ,, m线性无关，则它的任意 子向量组
都线性无关 .
1 , 2 ,, m同时去掉相应的 n s(n s) 定理 4 n维向量组 个分量后得 s维数向量组 1 , 2 ,, m，其中
方法一 利用定义或结论判别
（1）两向量线性相关的充要条件是其分量成比例 （2）单独一个零向量组成的向量组线性相关；含 有零向量的向量组必线性相关 （3）向量组线性无关，则该向量组的任何部分 向量组必线性无关；向量组的部分向量组线性相 关，则该向量组必线性相关。 （4）一向量组线性无关，则在相同位置增加相同个数的 分量所得的向量组必线性无关；一向量组线性相关，则在 相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关。 （5）任意n+1个n维向量必线性相关