多元函数微分法word版
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§5.3 多元函数微分法
一、复合函数微分法――链式法则
模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==,,,,=,
z z u z z z u z x u x x y u y y
νννν∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂; 模型2. ()()u f x y z x y =,,,z=z ,
x z y z u
z
f f x
x
u z f f y
y
∂∂⎧''=+⎪∂∂⎪⎨
∂∂⎪''=+∂∂⎪⎩ 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===,,,,z
()()x y z du
f f y x f z x dx
'''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===,,,,,,,
u v u v u v w u v
f f x x x w
u v f f y
y y w u v
f f z
z z ⎧∂∂∂''=+⎪∂∂∂⎪
∂∂∂⎪''=+⎨
∂∂∂⎪⎪∂∂∂''=+⎪∂∂∂⎩ 还有其他模型可以类似处理。
【例1】 设()u f x y z =,,有连续的一阶偏导数,又函数()y y x =及()z z x =分别由
下列两式确定2xy
e xy -=和0sin x z
x
t e dt t -=
⎰,求du
dx
。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx
'''=++
由2xy
e xy -=两边对x 求导,得0xy
dy dy e y x
y x dx dx ⎡⎤⎛⎫
+-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
解出 dy y
dx x
=-(分子和分母消去公因子()1xy e -) 由0
sin x z
x
t
e dt t -=
⎰
两边对x 求导,得()()sin 1x x z dz e x z dx -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
解出 ()()
1sin x e x z dz
dx x z -=-
- 所以 ()()1sin x
e x z du
f y f f
dx x x y x z z
⎡⎤-∂∂∂=-+-⎢⎥
∂∂-∂⎣⎦ 【98】设1
()()z f xy y x y x
ϕ=++,f ,ϕ具有二阶连续导数,则
2________z x y ∂=∂∂。 答案:()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++
注:①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关; ②此题中f 和ϕ均为一元函数。
【05】设函数(,)()()()d x y
x y
u x y x y x y t t ϕϕψ+-=++-+⎰
,其中函数ϕ具有二阶导数,ψ
具有一阶导数,则必有( )
(A )2222u u x y ∂∂=-∂∂;(B )2222u u x y ∂∂=∂∂;(C )222u u x y y ∂∂=∂∂∂;(D )222
u u
x y x ∂∂=∂∂∂ 答案:B
全微分形式不变性
例:利用全微分形式不变性求sin u
z e v =,u xy =,v x y =+的偏导数。
【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数,且z f =满足等式
2222
0z z x y ∂∂+=∂∂
(1)验证()
()0f u f u u
'''+=;
(2)若(1)0f =,(1)1f '=,求函数()f u 的表达式。 二、隐函数微分法
隐函数存在定理1:设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数,且
00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠,则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯
一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有
d d x y
F y
x F =-。 隐函数存在定理2:设函数(,,)F x y x 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续偏导数,且
000(,,)0F x y z =,000(,,)0z F x y z ≠,则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻
域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(,)z f x y =,它满足条件
000(,)z f x y =,并有
x z F z x F ∂=-∂,y z
F z y F ∂=-∂。 隐函数存在定理3:方程组的情形
1. 设()0F x y z ,,=确定()z z x y =,,则y x z z F F z
z x F y F ''∂∂=-=-''
∂∂;
2. 确定()x x y z =,,则
y z x x F F x
x y F z F ''∂∂=-=-''
∂∂; 3. 确定()y y z x =,,则
x z y y F F y
y z F x F ''∂∂=-=-''
∂∂; 【05】设有三元方程ln 1xz
xy z y e -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻
域,在此邻域内该方程( )