抛物线定义及性质的简单应用(讲义及配套练习)
《抛物线的几何性质》 讲义
《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
我们可以这样来理解抛物线的定义：假如有一个点 M，它到定点 F的距离和到定直线 l 的距离总是相等，那么点 M 的运动轨迹就是一条抛物线。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
2、＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
3、＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
4、＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
这里的 p 表示焦点到准线的距离，它决定了抛物线的开口大小和方向。
例如，对于方程\（y^2 ＝ 8x\），这里\（2p ＝ 8\），所以\（p ＝4\），焦点为\（（2, 0)＼），准线方程为\（x ＝－2\）。
三、抛物线的几何性质1、范围对于\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧。
对于\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），同理可得\（x ＼leq 0\），抛物线在 x 轴的左侧。
对于\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（x ＼in R\），＼（y ＼geq0\），抛物线在 y 轴的上方。
对于\（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），＼（x ＼in R\），＼（y ＼leq 0\），抛物线在 y 轴的下方。
抛物线(解析版)--新高二暑假讲义
第12讲抛物线新课标要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
2.了解抛物线的简单应用。
知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程3.抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图象性质范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称x 轴y 轴名师导学知识点1求抛物线的标准方程【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为x＝－1；(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；(3)经过点(－3，－1)．【分析】欲求抛物线的标准方程，应首先确定焦点所处的位置，求出p即可．【解】(1)∵准线方程为x＝－1，∴焦点在x轴的正半轴上，且p2＝1，p＝2，故所求的抛物线的标准方程为y2＝2px＝4x. (2)在3x－2y－6＝0中，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝2，∴抛物线的焦点为(2,0)或(0，－3)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－2py＝－12y；当焦点为(2,0)时，p2＝2，p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝2px＝8x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝8x.(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，由(－1)2＝－2p×(－3)，得p＝16，此时y2＝－13x；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，由(－3)2＝－2p×(－1)，得p＝92，此时x2＝－9y.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝－2；(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；(3)过点(1，－2)．【解】(1)由准线方程y＝－2知，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)由题知p＝5，当焦点在x轴的正半轴时，∴抛物线的标准方程为y2＝10x.同理，当焦点在x轴的负半轴时，抛物线的标准方程为y2＝－10x.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝10x或y2＝－10x.(3)∵点(1，－2)在第四象限，∴可设抛物线的标准方程为y2＝2px或x2＝－2py，其中p>0.把点(1，－2)分别代入y2＝2px和x2＝－2py，得2p＝4或2p＝1 2 .∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－1 2 y.知识点2根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．(1)y2＝－4x；(2)y＝4x2；(3)3x2＋2y＝0；(4)y2＝ax(a＞0)．【分析】(1)(4)是标准形式，可直接写出焦点坐标和准线方程；(2)(3)不是标准形式，化成标准形式后，再写出焦点坐标和准线方程．【解】(1)y 2＝－4x ，∵p ＝2，开口向左，∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x ＝1.(2)y ＝4x 2可化为x 2＝14y ，开口向上，2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点坐标为y ＝－116.(3)3x 2＋2y ＝0可化为x 2＝－23y ，开口向下，2p ＝23，p ＝13，∴焦点坐标为y ＝16.(4)y 2＝ax ，∵a ＞0，∴开口向右，2p ＝a ，p ＝a 2.x ＝－a4.【变式训练2-1】(1)已知抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则a ＝________.(2)(全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】(1)根据题意，抛物线的方程为x 2＝ay ，则其准线方程为y ＝－14a ，又由抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则有－14＝－14a ，解得a ＝1.(2)∵y 2＝2px 的焦点为p 2，0，x 23p ＋y 2p ＝1的焦点为(2p ，0)，∴p 2＝2p ，∴p 24＝2p ，∴p ＝8(p ＝0舍去)．【答案】(1)1(2)D知识点3抛物线定义的应用【例3-1】(1)若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到定直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B ．1C.54D ．74(3)(晋中市期末)已知直线l 1：3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝－2，抛物线x 2＝4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．338【分析】根据抛物线的定义解题．【解析】(1)解法一：设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10，整理得x －3y ＋2＝0，∴动点P 的轨迹为直线．故选D.解法二：∵点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，∴动点P 的轨迹为过点F 且垂直于直线l ：3x ＋y －4＝0的直线，故选D.(2)∵y 2＝x 的准线方程l ：x ＝－14，由题意，得|AF |，|BF |分别等于A ，B 到准线l 的距离d 1，d 2(如图所示)．则AB 的中点到准线的距离d ＝d 1＋d 22＝32，∴AB 的中点到y 轴的距离为d ′＝32－14＝54.故选C.(3)抛物线的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过P 作PB 垂直直线y ＝－2交y ＝－2于A ，交y ＝－1于B ，由抛物线的定义，得|PB |＝|PF |，∵|PB |＝|PA |－1，则点P 到直线l 1与直线l 2距离之和为|PC |＋|PA |＝|PB |＋1＋|PC |＝|PF |＋|PC |＋1≥|FD |＋1，此时最小值为F 到直线3x －4y －6＝0的距离d ＝|FD |＝|0－4－6|32＋(－4)2＝105＝2.则抛物线x 2＝4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是d ＋1＝2＋1＝3，故选B.【答案】(1)D(2)C(3)B【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点x ＝－p2相切，其中p >0，求动圆圆心的轨迹方程；(2)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．【解】(1)设动圆圆心C (x ，y )，∵动圆过点x ＝－p2相切，∴|CF |＝|x ＋p 2|.∴点C 的轨迹是以F x ＝－p2为准线的抛物线，∴轨迹方程为y 2＝2px .(2)∵A (－2,4)，而(－2)2<8×4，∴点A 在抛物线x 2＝8y 的内部．如图所示．设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知，|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，|PF |＋|PA |取得最小值，即为|AB |.此时P 点的横坐标为x P ＝－2，代入x 2＝8y ，得y P ＝12.∴使|PF |＋|PA |的值最小的抛物线上的点P 2知识点4抛物线的简单几何性质【例4-1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝()A.433B ．8C.833D ．163【分析】根据抛物线的定义解题．【解析】∵P 为抛物线上一点，PA ⊥l (l 为准线)，∴|PA |＝|PF |.又k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°.又AP ∥x 轴，∴∠PAF ＝60°，∴△APF 为等边三角形．设l 交x 轴于B ，在Rt △ABF 中，cos 60°＝|BF ||AF |＝4|AF |，∴|AF |＝412＝8.又|PF |＝|AF |，∴|PF |＝8.【答案】B【变式训练4-1】设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率为－3，则△PAF 的面积为()A ．23B ．43C ．8D ．83【解析】设准线与x 轴交于点Q ，因为直线AF 的斜率为－3，|FQ |＝2，所以∠AFQ ＝60°，|FA |＝4.又因为|PA |＝|PF |，所以△PAF 是边长为4的等边三角形，所以△PAF 的面积为34×|FA |2＝34×42＝4 3.【答案】B【变式训练4-2】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．【解】由已知，得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A －p 2，－3p 2，B －p 2，3p 2从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，可得p ＝2.所以其标准方程为y 2＝4x .知识点5抛物线的焦点弦的性质及应用【例5-1】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p.【分析】(1)是焦点弦公式，可根据抛物线的定义求解；(2)可设出直线AB 的方程y ＝tan 入y 2＝2px ，利用韦达定理及焦点弦公式求解；(3)可将直线与抛物线联立，利用韦达定理求解；(4)可利用(1)中的|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2【证明】(1)∵AB 过y 2＝2px 的焦点，∴|AB |＝|AF |＋|BF |，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .(2)∵直线AB 过焦点F ，倾斜角为θ，当θ≠90°时，∴设AB 的方程为y ＝tan＝tan 2＝2px ，得tan 2＝2px ，即tan 2θx 2－(p tan 2θ＋2p )x ＋p2tan 2θ4＝0，①由题意得，方程①有两根x 1，x 2，由韦达定理，得x 1＋x 2＝p (2＋tan 2θ)tan 2θ.又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (2＋tan 2θ)tan 2θ＋p ＝p (2＋2tan 2θ)tan 2θ＝2p (sin 2θ＋cos 2θ)sin 2θ＝2psin 2θ.当θ＝90°时，显然|AB |＝2p ＝2psin 290°，符合上式．综上，|AB|＝2psin2θ.(3)当AB的斜率不存在时，此时x1x2＝p24，y1y2＝－p2.当AB的斜率存在时，设斜率为k，则AB：y＝＝2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，由韦达定理，得x1x2＝p24，x1＋x2＝k2p＋2pk2.又y1y2＝k12＝k2x1x2－p2(x1＋x2)＋p24＝k－k2p2＋2p22k2＋＝－p2.(4)∵1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2(x1＋x2)＋p24，由(3)，知x1＋x2＝k2p＋2pk2，x1x2＝p24，∴上式＝2k2p＋2pk2p24＋p2·k2p＋2pk2＋p24＝2k2p＋2p22＝2p.【变式训练5-1】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解】(1)解法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)＝k(x－1)，2＝4x，整理，得k2x2－2(k2＋2)x ＋k2＝0，∴x1＋x2＝2(k2＋2)k2，x1x2＝1，由|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2(k 2＋2)k 2＋2＝8，解得k 2＝1，又k ＞0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －1.解法二：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ＝8，解得sin 2θ＝12，又k ＞0，即倾斜角为锐角，∴θ＝π4，则直线的斜率k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)可得，AB 的中点坐标为D (3,2)，则直线AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，0＝－x 0＋5，0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，0＝3，0＝20＝11，0＝－6，因此，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.知识点6直线与抛物线的位置关系的判断【例6-1】已知抛物线的方程为y 2＝2x ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ∈R )．当k 分别为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【分析】欲解此题，需将直线与抛物线方程联立消元，通过讨论方程解的个数来确定方程组解的个数，进而判断位置关系．【解】2＝2x ，＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程可化为x ＝12，方程有一个解，∴原方程组只有一个解，∴直线l 与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0为二次方程，当Δ＝22(k －1)2－4k 2＝0，即k ＝12时，方程(*)只有一个解，此时直线l 与抛物线相切，只有一个交点；当Δ＞0且k ≠0，即k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个解，此时直线l 与抛物线有两个公共点．当Δ＜0且k ≠0，即k ＞12时，方程(*)没有实数解，此时直线l 与抛物线没有公共点．综上，当k ＝0或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当k ＜12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．【变式训练6-1】如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．【解】当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝k (x －1)＋2，＝k (x －1)＋2，＝2x 2，得2x 2－kx ＋k －2＝0，由Δ＝k 2－8(k －2)＝0，得k ＝4，所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.知识点7弦长、中点弦问题【例7-1】过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，且该弦恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程及|AB |.【分析】由于Q 为中点，故求AB 所在的直线方程可用点差法，也可将AB 所在的直线方程设出，与抛物线联立，利用韦达定理求出斜率k ，得出直线方程，弦长|AB |利用公式可得．【解】解法一：由题意知，当AB 垂直于x 轴时，不满足题意，故弦AB 所在的直线存在斜率．当AB 不垂直于x 轴时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1(k ≠0)．2＝8x ，＝k (x －4)＋1消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝8－32k k .又由题意得y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.故所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.又|AB |＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1＋116·4－4×－1204＝5272.解法二：由题意知，当AB 垂直于x 轴时，不满足题意，故弦AB 所在的直线存在斜率．当AB 不垂直于x 轴时，设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则有y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②且x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2，③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，④将③代入④，得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，则弦AB 所在直线的斜率为4.故所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.＝4x －15，2＝8x ，得16x 2－128x ＋225＝0.∴x 1＋x 2＝12816＝8，x 1x 2＝22516.∴|AB |＝1＋16·64－2254＝5272.【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m ＝()A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点F m4，0，设直线方程为x ＝ky ＋m 4，代入抛物线方程可得y 2－mky －m 24＝0，∴y 1＋y 2＝mk ，y 1y 2＝－m 24.∴|PQ |2＝(1＋k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋k 2)(m 2k 2＋m 2)＝2516m 2，∴(k 2＋1)2＝2516，∴k 2＋1＝54，∴k 2＝14，∴x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)＋m2＝mk 2＋m 2＝14m ＋m 2＝34m ＝2×3，解得m ＝8.【答案】B知识点8抛物线中的定点、最值问题【例8-1】如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)证明：直线AB 必过一定点；(2)求△AOB 面积的最小值．【分析】对于(1)，欲证直线AB 过定点，需先求出直线AB 的方程，再判断AB 过定点；对于(2)，需将△AOB 面积的表达式求出，再求最值．【解】(1)证明：显然直线OA 存在斜率且不等于0.设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .＝kx，2＝2x，＝0，＝0＝2k2，＝2k，即A＝－1kx，2＝2x，解得B点的坐标为(2k2，－2k)．∴AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得＝x－2.不论实数k取何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．(2)AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.＝my＋2，2＝2x，消去x并整理，得y2－2my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.于是|y1－y2|＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2m)2＋16＝2m2＋4.S△AOB＝12×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝12|OP|·|y1－y2|＝12×2×2m2＋4＝2m2＋4.∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.【变式训练8-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，n)(n>0)在抛物线C上，|PF|＝3，直线l 过点F，且与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；(2)求PA→·PB→的最大值．【解】(1)∵点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，|PF|＝3，∴2＋p2＝3，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵点P(2，n)(n＞0)在抛物线C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝22，∴P(2,22)．(2)由题意，显然直线l 斜率不为0.因为直线l 过焦点F (1,0)，所以可设直线l ：x ＝my ＋1，联立y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－22)·(y 2－22)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 1－22(y 1＋y 2)＋12＝y 214·y 224－2y 214＋y 224＋y 1y 1－22(y 1＋y 2)＋12＝－8m 2－82m ＋5，所以，当m ＝－22时，PA →·PB →的最大值为9.名师导练3.3.1抛物线及其标准方程A 组-[应知应会]1．到定点F (1，－1)的距离与到直线3x －2y －5＝0的距离相等的点P 的轨迹是()A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线【解析】∵3×1－2×(－1)－5＝0，∴点F (1，－1)在直线3x －2y －5＝0上，∴点P 的轨迹是过点F 且与直线3x －2y －5＝0垂直的直线．【答案】D2．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4【解析】由题意，得1＋p2＝5，∴p ＝8，∴准线方程为x ＝－4.【答案】D3．(杭州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为()A.10B ．4C.15D ．5【解析】由x 2＝4y 知，抛物线的准线方程为y ＝－1，∵点A 的纵坐标为4，∴点A 到直线y ＝－1的距离为5，从而点A 到焦点的距离为5.【答案】D4．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为()A ．3B ．3C.6D ．6【解析】x 23＋4y 2p 2＝1可化为x 23＋y 2p 24＝1.由题意，得－12－p 22＝－p2，又p ＞0，∴p ＝ 6.【答案】C5．(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是()A ．y 2＝－xB ．y 2＝2xC ．2x 2＝yD ．x 2＝－4y【解析】在抛物线的标准方程中，焦点到准线的距离为p ，四个方程中，2x 2＝y 的p 为14最小．【答案】C6．(运城期末)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到点A (－2,1)的距离之和最小，则点P 的坐标为()－14，BC ．(－2，－22)D ．(－2,22)【解析】由y 2＝－4x 知，p ＝2，焦点坐标F (－1,0)，准线方程为x ＝1.依题意可知，当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，故点P 的纵坐标为1，代入y 2＝－4x ，得x ＝－14，故点P 的坐－14，【答案】A7．在抛物线y 2＝－2px (p >0)中，p 的几何意义是____________________________________________【答案】焦点到准线的距离8．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的焦点，则p ＝________.【解析】∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)，又p >0，∴－p2＝－2，∴p ＝2 2.【答案】229．(南阳市一中开学考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过点A 作AQ 垂直于准线，过点B 作BP 垂直于准线．由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，∵以AB 为直径的圆过点F ，∴|AB |2＝a 2＋b 2，配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤a ＋b 22，∴(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－12(a ＋b )2＝12(a ＋b )2，得|AB |≥22(a ＋b )．所以|MN ||AB |≤12(a ＋b )22(a ＋b )＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】2210．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．【解】y 2＝ax 的焦点为a 4，0l 的斜率为2，则|OA |＝|a |2.又S △OAF ＝12|OF |·|OA |＝12×|a |2·|a |4＝4，∴|a |＝8，得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x .11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．【解】根据抛物线的定义，知|FP 1|＝x 1＋p2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2.∵2x 2＝x 1＋x 3，∴2x 2＋p ＝x 1＋x 3＋p .即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.∴|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列．12．(南阳一中检测)已知定点A (1,0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到点A 的距离比点P 到l 的距离小1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．【解】(1)设P (x ，y )，由题意可得，P 在直线x ＋2＝0右边，∴P 点到直线x ＝－1和到F (1,0)距离相等，∴P 点的轨迹是顶点在原点，F 为焦点，开口向右的抛物线，∵F 和顶点的距离p2＝1，∴2p ＝4，∴轨迹C 的方程是y 2＝4x .(2)由题意，知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，所以直线l 的方程y ＝kx ＋2(k ≠0)，M y 214，y 1，N y 224，y 2y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，且Δ＝16－32k >0，即k <12，∴AM →·AN →＝y 214－1，y 1·y 224－1，y 2＝y 214－1·y 224－1＋y 1y 2＝y 21y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋1＝4k 2－1416k 2－16k ＋8k ＋1＝k ＋12k，∵AM →·AN →<0，∴－12<k <0，满足k <12，∴直线l 的斜率的取值范围为(－12,0)．B 组-[素养提升](北京十二中期中)设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，又点P 到y 轴的距离是2，所以点P 到准线x ＝－1的距离为3.由抛物线的定义知，点P 到该抛物线焦点的距离为3.【答案】C3.3.2抛物线的简单几何性质A 组-[应知应会]1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程为()A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x【解析】由题意知，点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，所以点M (x ，y )的轨迹是抛物线，且方程为y 2＝16x .【答案】D2．若抛物线y 2＝x 上一点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M 的坐标为()BD【解析】设M (x 0，y 0)，|MF |＝|OM |.0＋y 20＝x 20＋y 20，解得x 0＝18，代入y 2＝x ，得y 0＝±24，∴点M 【答案】B3．(福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点A (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 的值为()A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2【解析】由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，∵A (k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝4p .又|AF |＝4，∴p2＋2＝4，∴p ＝4，∴k ＝±4.【答案】B4．(保定模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题为()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】如图，由题意知，－p 2，M p2，p ，|PF |＝|MF |＝|NF |＝p .∴∠FPM＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而∠MPN ＝90°，∴△PMN 为直角三角形，故①正确，②错误；直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2py ＋p 2＝0，∴Δ＝(－2p )2－4p 2＝0，∴直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．【答案】A5．(郑州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |＝()A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝3，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.【答案】B6．(马鞍山市阶段测试)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为()A ．±32B ．±23C ．±34D ．±43【解析】不妨设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，N (x 2，y 2)，∵MF →＝4FN →，∴y 1＝－4y 2，又y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2，x 2＝p 8，∴k MN ＝－p 2－0p 8－p2＝43.根据对称性可得直线l 的斜率为±43.【答案】D7．(凯里市期末)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________．【解析】因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为93＝34BF |2，∴|BF |＝6，∴F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，此抛物线的方程为y 2＝6x .【答案】y 2＝6x8．如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是________．【解析】c ，＝2b 2a，∴4c ＝2b 2a，即b 2＝2ac ＝a 2－c 2，∴e ＝2－1或e ＝－2－1(舍去)．【答案】2－19．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．【解析】设抛物线方程为x 2＝2py ，A (x 0，y 0)，l 为准线，过A 作AB⊥l ，交l 于B ，由题意得200＝17，0＋p2＝3，0＝±22，0＝3－p2.又(x 0，y 0)在x 2＝2py 上，∴8＝26p －p 2，解得p ＝2或p ＝4.故所求的抛物线方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .【答案】x 2＝4y 或x 2＝8y10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．【解】椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】(1)∵直线l 的倾斜角为60°，∴k ＝ 3.又l ：y2＝6x ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，又|AB |＝9，∴x 1＋x 2＝6.∴AB 的中点M 的横坐标是3，又∵准线方程为x ＝－32，∴M 到准线的距离为3＋32＝92.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (0，－2)的距离比它到x 轴的距离大2，记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋b 与轨迹C 恰有2个公共点，求实数b 的取值范围．【解】(1)设轨迹C 上的动点M (x ，y )，则由题意，x 2＋(y ＋2)2＝|y |＋2，∴x 2＝4(|y |－y )，∴轨迹C 的方程为x 28y ，y ≤0，，y >0.(2)轨迹C 与直线y ＝2x ＋b 有两个交点，等价于①直线y ＝2x ＋b 与x ＝0(y >0)，x 2＝－8y (y ≤0)各有一个交点，即满足b >02＝－8y ，＝2x ＋b只有一根，即x 2＝－8(2x ＋b )只有一根，Δ＝256－32b ＝0，∴b ＝8.②直线y ＝2x ＋b 与x 2＝－8y (y ≤0)有两个交点，而与x ＝0(y >0)没有交点，即b ≤02＝－8y ，＝2x ＋b有两根，Δ＝256－32b >0，∴b <8，取交集为b ≤0.综上，实数b 的取值范围为(－∞，0]∪{8}．B 组-[素养提升](全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解】(1)设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设得F 34，0，故|AF |＝|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得，x 1＋x 2＝52.＝32＋t ，2＝3x 可得，9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，解得t ＝－78，所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →，可得y 1＝－3y 2＝32x ＋t ，2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入抛物线C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，故|AB |＝4133.3.3.3直线与抛物线的位置关系A 组-[应知应会]1．抛物线的对称轴为x 轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y【解析】由题意，可得2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .【答案】C2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是()A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0【解析】设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2，∵A ，B 在抛物线y 2＝8x 上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0.【答案】C3．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则()A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点【解析】∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，恒过定点(1,0)，而(1,0)在y 2＝2px (p ＞0)内，∴直线与抛物线有一个或两个公共点．【答案】C4．(郑州市期中)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，以p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝()A ．16B ．4C.83D ．53【解析】由题意，可得直线4x －3y －2p ＝0与x 轴的交点是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，由x －3y －2p ＝0，2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0⇒x D ＝p 8，x A ＝2p ，|AB |＝|AF |－p 2＝x A ＋p 2－p 2＝2p ，|CD |＝|DF |－p2＝x D ＋p 2－p 2＝p 8.∴|AB ||CD |＝2p p8＝16.【答案】A5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】由抛物线y 2＝2px ，知焦点y 2＝2px ，得4x 2－12px ＋p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，∴x 1＋x 22＝3p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.【答案】C6．(绵阳模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段FA 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为()A ．(0，±2)B ．(0,2)C ．(0，±4)D ．(0,4)【解析】在△AOF 中，点B 为边AF 的中点，故点B 的横坐标为p 4，因此324＝p 4＋p2，解得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝22x ，可得点B A 的坐标为(0，±2)．【答案】A7．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线y 2＝2x 上，且斜边AB 和y 轴平行，则直角△ABC 斜边上的高的长度为________．【解析】由题意，斜边平行y 轴，即垂直对称轴x 轴，可设C B则A AC →－b 22，c －CB →－c 22，－b －又由Rt △ABC 的斜边为AB ，则有AC ⊥CB ，即AC →·CB →＝0，变形可得|b 2－c 2|＝4，而斜边上的高即C 到AB 的距离为b 22－c 22＝2.【答案】28．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的弦的中点坐标为________．【解析】＝x －1，2＝4x ，得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，由韦达定理，得x 1＋x 2＝6，∴中点的横坐标x 0＝x 1＋x 22＝3，又∵y 0＝x 0－1＝2，∴中点坐标为(3,2)．【答案】(3,2)9．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则双曲线的离心率为________．【解析】由抛物线的定义，知1＋p 2＝5，∴p ＝8，∴m 2＝16.又m >0，∴m ＝4，∴M (1,4)．由双曲线x 2a －y 2＝1，知A (－a ，0)，渐近线方程y ＝±x a .又AM 的斜率k AM ＝41＋a ，∴41＋a ＝1a，∴a ＝13.又c ＝1＋a＝103，∴e ＝ca＝10.【答案】1010．(平顶山调研)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，求k 的值．【解】∵抛物线C ：y 2＝4x的焦点为F (1,0)，∴过A ，B 两点的直线方程为y ＝k (x －1)，2＝4x ，＝k (x －1)，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋2k 2k 2，x 1x 2＝1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.∵M (－1,1)，∴MA →＝(x 1＋1，y 1－1)，MB →＝(x 2＋1，y 2－1)．∵∠AMB ＝90°，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理可得，x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0，∴1＋2＋4k 2－4－4k＋2＝0，即k 2－4k ＋4＝0，∴k ＝2.11．求过定点P (－1,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线l 的方程．【解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l 的斜率存在时，若直线l 与抛物线的对称轴平行，则直线l 的方程为y ＝1，此时直线l 与抛物线只有一个公共点；若直线l 与抛物线的对称轴不平行，∴设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，－1＝k (x ＋1)，2＝2x ，得ky 2－2y ＋2k ＋2＝0.由题意，得Δ＝4－4k (2k ＋2)＝0，得k ＝－1±32.∴直线l 的方程为(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0.综上所述，所求直线l 的方程为y ＝1或(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0.12．设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .【解】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)，所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN ；当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.＝k (x －2)，2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0.则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)，①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0，所以k BM ＋k BN ＝0，则BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .B 组-[素养提升](北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解】(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明：由(1)得，抛物线C 的焦点为F (0，－1)，x 2＝－4y .设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．＝kx －1，2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4，直线OM 的方程为y ＝y1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1，同理，得点B 的横坐标x B ＝－x2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝－x 1y 1，－1－n ，DB →＝－x 2y 2，－1－n ，∴DA →·DB →＝x 1x2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2－x 214－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．。
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
抛物线讲义(含知识点、例题、变式及答案)
第七节 抛 物 线 2019考纲考题考情1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率e ＝100抛物线焦点弦的6个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2。
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)。
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。
(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。
(5)S△AOB＝p22sinθ(θ为AB的倾斜角)．(6)1|AF|＋1|BF|为定值2p.考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线x2＝4y上一点A纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A．10B．4C．5D．15(2)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l 于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于()A．12B．1C．2 D．4解析(1)抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5。
故选C。
(2)因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。
又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。
抛物线专题讲义
抛物线专题讲义一、知识讲义1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下注意：1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F )0,2(的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为)0,4(a ，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是)0,4(a ，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F )0,2(p 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 题组二：教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 题组三：易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．125．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．三、典型例题题型一：抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．思维升华：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练：P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．题型二：抛物线的标准方程和几何性质 命题点1：求抛物线的标准方程典例如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x命题点2：抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97D ．2题型三：直线与抛物线的综合问题 命题点1：直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.命题点2：与抛物线弦的中点有关的问题典例 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．思维升华：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练：已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 注意：直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．四、反馈练习1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 22．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )A ．3B ．4C ．6D ．73．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y4．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x7．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．9．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点)210(，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．。
抛物线的几何性质习题课
| AB | 2[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 2(36 4) 8.
题型五 焦点弦问题
方法2 : 设A x1 , y1 , B x 2 , y 2 由抛物线的定义知, AF 等于点A到准线x 1的距离 | AA |, 即 AF AA x1 1,同理 BF x 2 1 AB AF BF x1 x 2 2 6 2 8.
题型六
直线与抛物线的位置关系
直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=2x,当k为何值时,l与C有:(1)一
个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. y kx 1 [解]由 2 , 得k 2 x 2 2k 2 x 1 0, y 2x 1 当k 0时, 方程为 2x 1 0, x , y 1, 2 1 直线l与C只有一个公共点( ,1). 2
(1)求|AB|;
(2)求|AB|的最小值.
p p x , 解 : (1)当 90时, 直线l的方程为x ,由 2 2 2 y 2 px. p p 得A( , p), B( , p), AB 2p.当 90时, 2 2 y 2 2 px, p 直线l的方程为y ( x )tan .由 p 2 y ( x )tan , 2 p2 2 2 得tan2 x (2p ptan )x tan 2 0. 4
的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(B
A.4
B.6
C.8
D.12
练习
p x0 横坐标为x0，则点M到焦点的距离是———————— 2
y
M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点M 的
抛物线讲义
第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.一、知识回忆 课前热身知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式练习1．(1)假设点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，那么点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，那么AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．假设线段F A 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，那么抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324变式练习2．直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，那么焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.例3过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，假设OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.变式练习3．直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，假设|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由k >0，所以k ＝223.三、归纳总结 方法在握归纳4个结论——直线与抛物线相交的四个结论抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，假设是标准方程，那么要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不说明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的表达．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、拓展延伸 能力升华例1(2021·陕西高考)下列图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，那么抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6变式练习 1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如下图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．五、课后作业 稳固提高一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( ) A.52B.32C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a2，那么12－a 2＝1，解得a ＝－32.2．抛物线y 2＝4x ，假设过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，那么△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.那么26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4. 解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2021·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，那么(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，那么y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2021·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，假设△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，那么抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________． 解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2021·厦门模拟)动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2021·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．假设|AF |＝3，那么|BF |＝________.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．那么直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，那么N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.11．假设椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)假设过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.那么椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，那么可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，那么Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲(教师版)
专题 3.11
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点 F 叫
作
抛(2)物Fra bibliotek线的
焦
集
点
，
合
直
线
l
语
叫
作
抛
言
物
线
的
准
线
表
设点 M(x,y)是抛物线上任意一点，点 M 到直线 l 的距离为 d，则抛物线就是点的集合 P={M||MF|=d}.
最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型 1
动点的轨迹问题】
【方法点拨】
根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点 F，和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹，
因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.
高考复习材料
【例 1】（2024·上海市高三开学考试）在平面上，到点(1,0)的距离等于到直线 + 2 = 3的距离的动点
（
）
A．2 = 4
B．2 = −4
1
1
C．2 = 2
D．2 = −2
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为2 = , ≠ 0，于是得22 = ⋅ (−1)，解得 = −4，
所以所求抛物线方程是2 = −4.
故选：B.
【变式 4-1】（2024·全国·高三专题练习）焦点在直线3−4−12 = 0上的抛物线的标准方程为（
4，则抛物线的标准方程为（
抛物线讲义(备课)
抛物线的标准方程知识要点：1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2. 标准方程①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。
②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。
（1）范围。
x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。
（2）对称性。
关于x轴对称。
（对称轴与准线垂直）（3）顶点。
对称轴与抛物线的交点。
（4）离心率。
同椭圆、双曲线离心率定义。
e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。
4. 几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。
（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2 （p>0）（3）焦半径公式：（4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1 截得的弦长为，求抛物线方程：例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围.(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是( )A.x=B.x=C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )A.0B.1C.2D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4B.8C.16D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是.7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是.8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，则y1y2=.三、解答题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是( )A.｜x 0-｜B.｜x 0+｜C.｜x 0-m ｜D.｜x 0+m ｜2.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点在 抛物线的准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.60°C.90°D. °1203.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线，交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) 两点，若x 1+x 2=6，则｜AB ｜等于( )A.4B.6C.8D.104.动点P 在曲线y=2x 2+1上移动，则点P 和定点A(0，-1)连线的中点 的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=4x 2C.y=6x 2D.y=8x5.F 是抛物线y 2=2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A(3，1)是定点， 则｜PF ｜+｜PA ｜的最小值是( )A.2B.C.3D.二、填空题6.若(4，m)是抛物线y 2=2px 上的一点，F 是抛物线的焦点，且｜PF ｜=5,则抛物线的方程是 .7.抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点F 的距离之和是5，则线段AB 的 中点M 的横坐标是.8.若抛物线y 2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则 m 的值是.三、解答题9.已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1、F 2，抛物线y 2=px(p ＞0)与椭圆在第 一象限的交点为Q ，若∠F 1QF 2=60°，(1)求△F 1QF 2的面积；(2)求此抛 物线的方程.10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.AAA级一、选择题1.抛物线y=2ax2 (a≠0)的焦点坐标是( )A.( ,0)B.(0, )C.(,0) D.(0, )2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为( )A.B.1C.2D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )A.(，)B.(1，1)C.(，)D. (2，4)4.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )A.1B.C.2D.25.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则｜PQ｜的最小值等于( )A. -1B.-1C.2D. (-2)二、填空题6.已知抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m= ,n= .7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离｜PF｜=；8.定点A(3，2)是抛物线y 2=2px(p ＞0)内部的一点，F 是抛物线的焦 点，点Q 在抛物线上移动，已知｜AQ ｜+｜QF ｜的最小值为4，则P= 三.、解答题9.设抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 交x 轴于点R ，过P 、Q 分别作x 轴的 垂线，垂足分别为M 、N ，求证：｜OR ｜是｜OM ｜和｜ON ｜的等比中项.10.设抛物线C：y2=2px(p＞0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴)，F 为焦点，且｜AF｜+｜BF｜=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6，0).(1)求抛物线C的方程；(2)求△AQB的面积最大值.。
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
抛物线讲义
抛物线知识点一．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点 F )距离______ 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做 抛物线的________ ，直线 l 叫做抛物线的________ 。
注： 当定点 F 在定直线 l 时， 动点的轨迹： _____________________ 。
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质标准方程 y 2 = 2px(p > 0) y 2 = 一2px(p > 0) x 2 = 一2py(p > 0) x 2 = 2py(p > 0) 题型一：抛物线的定义及其应用1．抛物线的离心率 e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及 抛物线的焦半 径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为 点到准线之间的距离。
p p例 1 、若动点 P 到定点 F(一4,0) 的距离与到直线 x = 4 的距离相等，则 P 点的轨迹是( )图形对称轴 F(0, 一 p )2 p y = 一2x 轴F (一 p ,0)2 p x =2pp y =2 | PF |= 一y 0 + 2p焦点坐标准线方程焦半径2 | PF |= x 0 + 2px ≥0x 轴F ( p ,0) 2 py 轴 F (0, p )2O(0,0)y 轴 性2．焦半径 PF = x + 或 PF = y + 在解题中有重要作用，注意灵活运用。
2 2A 抛物线 B. 线段 C.直线 D.射线变式：已知抛物线y2 = 2px(p > 0) 上一点P， F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴的位置关系是__________.例 2： 设 P 是抛物线y 2 = 4x 上的一个动点．(1)求点 P 到点 A(一1,1) 的距离与点 P 到直线 x = 一1 的距离之和的最小值； (2)若 B(3,2) ，求PB + PF 的最小值．变式： 设 M(x 0 , y 0 ) 为抛物线 C ： x 2 = 8y 上一点， F 为抛物线 C 的焦点， 以 F 为圆心、 FM 为半径的圆 和抛物线 C 的准线相交，则 y 0 的取值范围是( )A ． (0,2)B ． [0,2]C ． (2，＋∞) D． [2，＋∞) 题型二：抛物线的标准方程与几何性质：求抛物线的标准方程常采用 待定系数法。
高二抛物线(定义、性质及其应用)
圆锥曲线——抛物线（定义、性质及其应用）重要知识点讲解1. 抛物线定义； 标准方程；2. 抛物线相关概念（顶点，开口方向焦点，对称轴，准线）结论一：直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：12p AF x =+，22p BF x =+， 结论二：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
结论三：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论四：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
结论五：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。
反之也成立。
知识点一：求（抛物线）轨迹方程1．求满足下列条件的抛物线的标准方程．（1）过点()6,6M -； （2）焦点F 在直线:3260l x y --=上； （3）以2=y 为准线方程．2. 抛物线的顶点在原点，对称轴重合与椭圆364922=+y x短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程.3. 设圆A 的方程为22100x y x +-=，求与y 轴相切，且与已知圆A 相外切的动圆的圆心M 的轨迹方程．知识点二：抛物线相关概念应用 1．抛物线21y x m=的焦点坐标为 . 2．抛物线218y x =-的准线方程是 . 3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为 .4．抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为 .5．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x = . 6．抛物线22y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 .7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为 .8．已知抛物线()20y mx m =>的焦点与椭圆224192y x +=的一个焦点重合，则m = . 知识点三：抛物线与直线1．若点A 的坐标为()3,2，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，使PA PF +取得最小值的P 点坐标为________．2．过抛物线24xy =的焦点F 作直线l 与其交于,A B 两点，若4AF =，则BF = .3．直线y x b =+与抛物线22x y =交于,A B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b = .4．过抛物线24y x =的焦点作一条直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则AB = .5．过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，如果126x x +=，那么AB = .6. 已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
专题12 抛物线及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题12抛物线及其性质【考点预测】知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注：若在定义中有F l ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F ．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22(0)x py p =->，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->顶点(00)O ，范围0x ≥，y R ∈0x ≤，y R∈0y ≥，x R ∈0y ≤，x R∈对称轴x 轴y 轴焦点(0)2pF ，(0)2p F -，(0)2p F ，(0)2pF -，离心率1e =准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =焦半径11()A x y ，12pAF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+【方法技巧与总结】1、点00(,)P x y 与抛物线22(0)y px p =>的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）2002y px ⇔<．（2）P 在抛物线上2002y px ⇔=．（3）P 在抛物线外2002y px ⇔>．2、焦半径抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若22(0)y px p =>，则焦半径02pPF x =+，max2p PF =．3、(0)p p >的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论：（1）2124p x x =．（2）212y y p =-．（3）焦点弦长公式1：12AB x x p =++，12x x p +≥=，当12x x =时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p ．焦点弦长公式2：22sin pAB α=（α为直线AB 与对称轴的夹角）．（4）AOB ∆的面积公式：22sin AOB p S α∆=（α为直线AB 与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px =>的任意一条弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦的中点为000(,)(0)M x y y ≠，则（1）弦长公式：1212(0)AB AB x y k k =-=-=≠（2）0AB p k y =（3）直线AB 的方程为000()py y x x y -=-（4）线段AB 的垂直平分线方程为000()y y y x x p-=--6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(0)y Ax A =≠焦点为(,0)4A ，准线为4Ax =-（2）2(0)x Ay A =≠焦点为(0,)4A ，准线为4Ay =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16，准线方程为116y =-7、参数方程22(0)y px p =>的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8、切线方程和切点弦方程抛物线22(0)y px p =>的切线方程为00()y y p x x =+，00(,)x y 为切点切点弦方程为00()y y p x x =+，点00(,)x y 在抛物线外与中点弦平行的直线为00()y y p x x =+，此直线与抛物线相离，点00(,)x y （含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2p A p ，，()2p B p -，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0py k=11、焦点弦的常考性质已知11()A x y ，、22()B x y ，是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN l ⊥，N 为垂足．（1）以AB 为直径的圆必与准线l 相切，以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；（2）FN AB ⊥，FC FD⊥（3）2124p x x =；212y y p =-（4）设BD l ⊥，D 为垂足，则A 、O 、D 三点在一条直线上【专题过关】【考点目录】考点一：抛物线的定义与方程考点二：抛物线的轨迹方程考点三：与抛物线有关的距离和最值问题考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题考点五：焦半径问题考点六：抛物线的性质【典型考题】考点一：抛物线的定义与方程1．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，其上一点(),4A m -到焦点F 的距离为6．求抛物线的方程及点A 的坐标．【解析】由题意，设抛物线方程为()220x py p =->，则其准线方程为2p y =，∴462p+=，得p ＝4，故抛物线方程为28x y =-；又∵点(),4A m -在抛物线上，∴232m =，∴m =±即点A 的坐标为()4-或()4--．2．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）下列方程的图形为抛物线的是（）A ．10x +=B ．2y -=C D ．2230x x y --+=【答案】ACD【解析】对于A ，方程10x +=化为1x +=(,)x y 到定点(0,0)的距离与到定直线1x =-的距离相等，且定点(0,0)不在定直线1x =-上，原方程表示的图形是抛物线，A 是；对于B ，方程2y -=(,)x y 到定点(1,2)-的距离与到定直线2y =的距离相等，而定点(1,2)-在定直线2y =上，原方程表示的图形不是抛物线，B 不是；对于C (,)x y 到定点(2,3)的距离与到定直线3410x y +-=的距离相等，且定点(2,3)不在定直线3410x y +-=上，原方程表示的图形是抛物线，C 是；对于D ，方程2230x x y --+=化为223y x x =-+，方程表示的图形是抛物线，D 是.故选：ACD3．（多选题）（2022·广东清远·高二期末）已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与2ny mx =在同一坐标系内对应的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】将对应方程化为标准方程得22111x ym n+=，2m y x n=，所以抛物线2my x n=的焦点在x 轴上，故排除D 选项，对于A 选项，由图可知0mn>，0m <，0n >，矛盾，故A 错误；对于B 选项，由图可知0mn<，0m <，0n >，满足，故B 正确；对于C 选项，由图可知，0mn>，0m >，0n >，满足，故C 正确；故选：BC.4．（2022·江西吉安·高二期末（理））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线l 上有两点A ，B ，若FAB 为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C 的标准方程是（）A ．2y =B ．28y x =C ．2y =或28y x =D ．24y x=【答案】C【解析】由题意得，当2AFB π∠=时，1282AFB S p p =⨯⨯=△，解得p =；当2FAB π∠=或2FBA π∠=时，2182AFB S p ==△，解得4p =，所以抛物线的方程是2y =或28y x =.故选：C.5．（2022·全国·高二课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为28y x =的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为()1,1-．【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到抛物线的方程为28y x =，则焦点一定在x 轴上，故①必选，②不选．若选①③，由抛物线的定义可知132p+=，得4p =，则抛物线的方程为28y x =．若选①⑤，设焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()0p >，()1,1A -，112AF k p =-，1OA k =-，由1AF OA k k ⋅=-，得1112p =-，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =．由④可知4p =，故还可选择①④．故答案可为①③或①⑤或①④．故答案为：①③（答案不唯一）6．（2022·全国·高二课时练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185【解析】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，0p >，因为抛物线过点()6,5-，所以3610p =，可得185p =，所以抛物线的焦点到准线的距离为18m 5．故答案为：1857．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在坐标轴上，点P 在抛物线C 上，52PF =，若以线段PF 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线C 的方程为______．【答案】22x y =（答案不唯一）【解析】由题意，若抛物线的焦点F 在y 轴正半轴上，则可设抛物线方程为22x py =（0p >），()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由焦半径公式可知0522p y +=，圆的半径为54，得052p y -=，并且线段PF 中点的纵坐标是05224py +=，所以以线段PF 为直径的圆与x 轴相切，切点坐标为()1,0-或()1,0，所以02x =±，即点P 的坐标为52,2p -⎛⎫± ⎝⎭，代入抛物线方程22x py =（0p >）得5422p p -=⋅，解得1p =或4p =，即当点F 在y 轴正半轴上时，抛物线方程是22x y =或28x y =.同理，当点F 在y 轴负半轴时，抛物线方程为22x x =-或28x y =-，当点F 在x 轴正半轴时，抛物线方程为22y x =或28y x =，当点F 在x 轴负半轴时，抛物线方程为22y x =-或28y x =-．故答案为：22x y =（答案不唯一）.8．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点．若90ABD ∠=︒，且ABF的面积为C 的方程为（）A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y =【答案】B【解析】∵以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，90ABD ∠=︒，结合抛物线的定义可得：AB AF BF==ABF ∴是等边三角形，30FBD ∴∠=︒．ABF2=4BF ∴=．又点F 到准线的距离为sin 302BF p ︒==，则该抛物线的方程为24y x =．故选：B ．9．（2022·全国·高二课时练习）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点,A B ，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．212y x=【答案】C【解析】作AD l ⊥，BE l ⊥，垂足分别为,D E ，设l 与x 轴交于点G ，由抛物线定义知：BE BF =，3AD AF ==，设BF a =，则BE a =，2BC a =，1sin 22a BCE a ∴∠==，则6BCE π∠=，26AC AD ∴==，又33AC AF BF BC a =++=+，1a \=，1BE ∴=，23BE BC FGCF==，32FG ∴=，即32p =，∴抛物线方程为：23y x =.故选：C.10．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点M （x 0，），若点M 到准线l 的距离为3，则该抛物线的方程为（）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2x 或y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x 或y 2＝8x【答案】D【解析】∵抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点M （x 0，），∴202px =，可得04x p=.又点M 到准线l 的距离为3，∴432pp +=，解得p ＝2或p ＝4.则该抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .故选：D.11．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB 的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（）A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m【答案】B【解析】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150php h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．故选:B ．考点二：抛物线的轨迹方程12．（2022·全国·高二课时练习）点()1,0A ，点B 是x 轴上的动点，线段PB 的中点E 在y 轴上，且AE 垂直PB ，则点P 的轨迹方程为______．【答案】24y x =()0x ≠【解析】设(),P x y ，(),0B m ，则,22x m y E +⎛⎫⎪⎝⎭．由点E 在y 轴上，得02x m +=，则m x =-，即0,2y E ⎛⎫⎪⎝⎭．又AE PB ⊥，若0x ≠，则21012AE PB yy k k x⋅=⨯=--，即24y x =．若0x =，则0m =，此时点P ，B 重合，直线PB 不存在．所以点P 的轨迹方程是24y x =()0x ≠．故答案为：24y x =()0x ≠.13．（2022·全国·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，()()223412125x y x y -+-+-=，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.14．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知动圆⊙M 经过定点(1,0)A ，且和直线1x =-相切，则点M 的轨迹方程为（）A ．22y x=B ．24y x=C ．22y x=-D ．24y x=-【答案】B【解析】因为动圆⊙M 经过定点(1,0)A ，且和直线1x =-相切，所以点M 到点(1,0)A 的距离等于它到直线1x =-的距离，即M 的轨迹为以点(1,0)A 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，所以12p=，解得2p =，轨迹方程为24y x =．故选：B ．15．（2022·全国·高二课时练习）若动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的坐标满足的方程是______．【答案】28y x=-【解析】双曲线2213y x -=的左焦点为F （－2，0），动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F ，准线为x ＝2的抛物线，其方程为28y x =-．故答案为：28y x =-.16．（2022·全国·高二课时练习）若点(),P x y 满足方程3412x y =++，则点P 的轨迹是______．【答案】抛物线【解析】由|3412|x y =++|3412|5x y ++=，等式左边表示点(),x y 和点()1,2的距离，等式的右边表示点(),x y 到直线34120x y ++=的距离.整个等式表示的意义是点(),x y 到点()1,2的距离和到直线34120x y ++=的距离相等，其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线17．（2022·全国·高二课时练习）与点()0,3F -和直线30y -=的距离相等的点的轨迹方程是______．【答案】212x y=-【解析】由抛物线的定义可得平面内与点()0,3F -和直线30y -=的距离相等的点的轨迹为抛物线，且()0,3F -为焦点，直线3y =为准线，设抛物线的方程为22(0)x py p =->，可知32p=，解得6p =，所以该抛物线方程是212x y =-，故答案为：212x y=-18．（2022·河北唐山·高二期中（理））已知动点(,)P x y 满足341x y =+-，则点P 的轨迹为（）A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆【答案】B【解析】把341x y =+-3415x y +-，3415x y +-可看做(,)x y 与(1,2)的距离等于(,)x y 到直线3410x y +-=的距离，由于点(1,2)不在直线3410x y +-=上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线，故选：B19．（2022·全国·高二课时练习）平面上动点M 到定点()3,0F 的距离比M 到直线l ：10x +=的距离大2，求动点M 满足的方程.【解析】因为动点M 到定点()3,0F 的距离比M 到直线l ：10x +=的距离大2，所以动点M 到定点()3,0F 的距离与M 到直线l ：30x +=的距离相等，所以M 的轨迹是以()3,0F 为焦点，直线l ：3x =-为准线的抛物线，此时6p =，故所求的点M 满足的方程是212y x =.20．（2022·全国·高二课时练习）已知点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2，求点M 的轨迹方程．【解析】由题意知动点M 到(4,0)的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，即动点M 到(4,0)的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以(4,0)为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y x =.21．（2022·全国·高二课时练习）已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【解析】由题意知：点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为x ＝2，故点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .22．（2022·全国·高二课时练习）已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C ､2C ，则1C 的轨迹方程为___________；若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为___________.【答案】24y x =221y x =-【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以()1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，所以1C 的轨迹方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+，所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =，所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-，所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-.故答案为：24y x =；221y x =-.考点三：与抛物线有关的距离和最值问题23．（2022·全国·高二课时练习）已知点()2,0P ，点Q 在曲线2:2C y x =上．(1)若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标；(2)求PQ 的最小值．【解析】（1）设()(),0,0Q x y x y >>，则22y x =，由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220,x x -=解得x＝0（舍去）或x ＝2．当x ＝2时，2y =±，只有x ＝2，y ＝2满足条件，所以()2,2Q ；（2）PQ ，其中22y x =，所以()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，所以当x ＝1时，min PQ =24．（2022·全国·高二课时练习）若M 是抛物线22y x =上一动点，点103,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，设d 是点M 到准线的距离，要使d MP +最小，求点M 的坐标．【解析】由题意，可知抛物线的焦点1(,0)2F ，由抛物线的定义有||||d MP MF MP PF +=+≥,所以d MP +最小值为||PF ，此时点M 为直线PF 与抛物线的交点，而直线PF 的方程求得为：4233y x =-，所以有242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4143x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍），所以14(4,)3M 25．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若()3,2A ，则PA PF +的最小值为______，此时点P 的坐标为______．【答案】72【解析】易知点A 在抛物线内部，设抛物线的准线为l ，则l 的方程为12x =-，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，则PA PF PA PQ +=+，当PA l ⊥，即A ，P ，Q 三点共线时，PA PF +最小，最小值为17322+=，此时点P 的纵坐标为2，代入22y x =，得2x =，所以此时点P 的坐标为()2,2．故答案为：72；()2,2．26．（2022·全国·高二课时练习）设P 是抛物线24y x =上的一个动点，点F 是焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；(2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线是1x =-．由抛物线的定义，知点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以问题转化为求抛物线上一点P 到点()1,1A -的距离与其到点()1,0F 的距离之和的最小值，如图，当A ，P ，F 共线时上述距离之和最小，连接AF 交抛物线于点P ，此时所求的最小值为||AF =（2）由题意()3,2B ，可知2243<⨯，故点B 在抛物线内部（焦点所在一侧），如图，作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点1P ，连接1PF ，此时11PQ PF =,当点P 与点1P 重合时，PB PF +的值最小，此时3(1)4PB PF BQ +==--=，即PB PF +的最小值为4．27．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-=上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1+【答案】AC【解析】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，对选项A ：由抛物线的性质可知：PF 的最小值为1OF =，选项A 正确；对选项B ：注意到F 是定点，由圆的性质可知：QF 的最小值为1CF r -=，选项B 错误；对选项CD ：过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，由抛物线定义可知PF PM =，故PF PQ PM PQ +=+，PM PQ +的最小值为点Q 到准线1x =-的距离，故最小值为4，从而选项C 正确，选项D 错误．故选：AC.28．（2022·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的动点，C 的准线l 与x 轴的交点为A ，当点P 的横坐标为1时，2PF =，则PF PA的取值范围是（）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．22⎡⎢⎣⎦【答案】B【解析】因为抛物线C 的方程为()22 0y px p =>，所以其准线方程为2p x =-.因为当点P 的横坐标为1时，2PF =，所以122p+=，所以 2p =，故拋物线C 的方程为24y x =.设直线PA 的倾斜角为θ，PP l '⊥垂足为P '，()1,0A -，由抛物线的性质可得PP PF '=，所以cos PF PP PAPAθ'==，所以当直线PA 与抛物线C 相切时，cos θ最小.设直线PA 的方程为1x my =-，联立方程组214x my y x=-⎧⎨=⎩，得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，得1m =±，2tan 1,cos 2θθ==，所以cos 12θ≤≤，故PF PA ⎤∈⎥⎣⎦.故选：B29．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，P 为C 上的动点，直线PF 与C 的另一交点为Q ，P 关于点(4,12)N 的对称点为M ．当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为________．【答案】20x y -+=【解析】设A 为PQ 的中点，连接NA ，设抛物线C 的准线为l ，作QD l ⊥，AG l ⊥，PE l ⊥，垂足分别为D ，G ，E ．则2MQ NA =，2PQ PF QF PE QD AG =+=+=，()2PQ QM AG NA ∴+=+，又点N 到直线l 的距离为13，13AG NA ∴+≥，当G ，N ，A 三点共线且A 在G ，N 之间时，13AN AG NG +==，此时，点A 的横坐标为4A x =．PQ ∵过点()0,2F ，故设PQ 方程为2y kx =+，代入218y x =，得28160x kx --=()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=．当G ，N ，A 三点共线时，12288A x x x k +===，解得1k =，直线AM 的方程为2y x =+，此时()4,6A 点A 在G ，N 之间，13AN AG NG +==成立．所以当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为20x y -+=故答案为：20x y -+=30．（2022·天津一中高二期中）已知抛物线C ：22y px =的准线为1x =-，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为___________.【答案】【解析】由题意知，2p =，∴抛物线C ：24y x =.设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，∴MN 的最小值为.故答案为：31．（2022·河南·濮阳一高高二期中（文））抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (2，1)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为____．【答案】3【解析】如图所示，过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，垂足为N ．易知F (1，0)，因为△MAF 的周长为|AF |＋|MF |＋|AM |，|AF ||MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，△MAF 的周长最小，最小值为2＋13=．故答案为：332．（2022·上海市长征中学高二期中）抛物线2y x =，其上一点P 到A (3，-1)与到焦点距离之和为最小，则P 点坐标为________【答案】(1,1)-【解析】因为点(3,1)A -在抛物线内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过抛物线上一点P ，作PQ l ⊥于Q ，过A 作AB l ⊥于B .||||||||||PA PF PA PQ AB +=+≥，故当且仅当,,P A B 共线时，||||PA PF +的值最小.此时点P 坐标为0(,1)P x -，代入2y x =，得01x =.故点P 的坐标为(1,1)-.故答案为：(1,1)-33．（2022·河南·高二期中（文））如图所示，已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的一个动点，点()1,1Q ，F 为抛物线C 的焦点，若PF PQ +的最小值为3，则抛物线C 的标准方程为______.【答案】28y x=【解析】过点P 、Q 分别作准线的垂线，垂直分别为M 、N ，由抛物线定义可知PF PQ PM PQ NQ +=+≥，当P ，M ，Q 三点共线时等号成立所以132pNQ =+=，解得4p =所以抛物线C 的标准方程为28y x =.故答案为：28y x=34．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知点()6,0A ，点P 在抛物线216y x=上运动，点B 在曲线()2241x y -+=上运动，则2PAPB的最小值是___________．【答案】6【解析】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，设P 点坐标(,)x y ，则||4PF x =+22222||(6)(6)16436PA x y x x x x =-+=-+=++，由题意当||||15PB PF x =+=+时，225436P P x B x Ax +=++，令5x t +=，则5x t =-，222(5)4(5)36466141PAt t t PB t t t tt -++=+=+--=-，由基本不等式知41t t+≥t =时等号成立故2PA PB的最小值为6．故答案为：635．（多选题）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，(3,2)M -，F 为抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点，点P 在C 上，PA x ⊥轴于A ，则（）A ．当2p =时，||||PF PM +的最小值为3B ．当4p =时，||||PF PM +的最小值为4C ．当4p =时，||||PA PM -的最大值为1D ．当PF x ∥轴时，cos OPF ∠为定值【答案】BCD【解析】对于A ：2p =时抛物线2:4C x y =-，焦点()0,1F -，点(3,2)M -在抛物线外，所以||||PF PM FM +≥当且仅当M 、P 、F 三点共线且P 在MF 之间时取等号（如下图所示），故A 错误；对于B 、C ：当4p =时抛物线2:8C x y =-，焦点()0,2F -，准线方程为2y =，点(3,2)M -在抛物线内，设PA 与准线交于点N ，则||||PF PN =，所以()||||||||224PF PM PN PM MN +=+≥=--=，当且仅当M 、P 、N 三点共线且P 在MN 之间时取等号（如下图所示），故B 正确；||||||2||||||2||21PA PM PN PM PF PM FM -=--=--≤-=，当且仅当M 、P 、F 三点共线且F 在MP 之间时取等号（如下图所示），故C 正确；对于D ：抛物线2:2C x py =-，焦点0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =，当//PF x ，此时2P p y =-，则222p x p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，解得p x p =±，即,2p P p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，如图取,2p P p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则PF p =，()2252p OP p ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以25cos 552PFp OPF OPp ∠==D 正确；故选：BCD36．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C37．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把2y =-代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.38．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中（文））若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则PF 的最小值为（）A ．1B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】由22y x =，得212x y =，∴122p =，则128p =，所以焦点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF 的最小值为18.故选：D ．39．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知抛物线28y x =，定点A (4，2)，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】如图，作,PQ AN 与准线2x =-垂直，垂足分别为,Q N ，则PQ PF =，6PF PA PQ PA AN +=+≥=，当且仅当,,Q P A 三点共线即P 到M 重合时等号成立．故选：B ．40．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（理））已知点P 是抛物线2:8C y x =上的动点，过点P 作圆()22:21M x y -+=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．1B 2C 3D ．32【答案】C【解析】设点P 的坐标为(),m n ，有28n m =，由圆M 的圆心坐标为()2,0，是抛物线C 的焦点坐标，有22PM m =+≥，由圆的几何性质可得PQ QM ⊥，又由22221213PM P P M Q QM=-=-≥-=PQ 3故选：C.41．（2022·全国·高二期中）已知抛物线的方程为24y x =，焦点为F ，点A 的坐标为()3,4，若点P 在此抛物线上移动，记P 到其准线的距离为d ，则d PA +的最小值为______，此时P 的坐标为______．【答案】5355+⎝【解析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，连接PF ，作图如下：根据抛物线的定义，d PH PF ==，数形结合可知，当且仅当,,A P F 三点共线，且P 在,A F 之间时取得最小值；即d PA +的最小值为AF ，又()()3,4,1,0A F ，故()2231425AF =-+=此时直线AF 的方程为：()21y x =-，联立抛物线方程24y x =，可得：2310x x -+=，解得35x -=35x +=15y =即此时点P 的坐标为355+⎝.故答案为：253552⎛ ⎝.考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题42．（2022·河南洛阳·高二期末（理））已知点()1,0A ，点B 为直线1x =-上的动点，过B 作直线1x =-的垂线1l ，线段AB 的中垂线与1l 交于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点()2,0E 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MOE △与NAE 面积之和的最小值.（O 为坐标原点）【解析】(1)如图所示，由已知得点P 为线段AB 中垂线上一点，即PA PB =，即动点P 到点()1,0A 的距离与点P 到直线1x =-的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，其焦点为()1,0A ，准线为直线1x =-，所以点P 的轨迹方程为24y x =，(2)如图所示：设2x ty =+，点()11,M x y ，()11N x y ,，联立直线与抛物线方程242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2480y ty --=，()()2244816320t t ∆=--⨯-=+>，124y y t +=，128y y ⋅=-，1112MOE S OE y y =×=V ，21122NAE N S AE y y =×=V ，所以1212112422MOE ANE S S y y y y +=+³=V V ，当且仅当1212y y =，即12y =，24y =-时取等号，此时1224y y t +=-=，即12t =-，所以当直线直线1:22l x y =-+，时MOE ANE S S +V V 取得最小值为4.43．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知抛物线C ：()220y px p =>上的点()()4,0A m m >到其准线的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知O 为原点，点B 在抛物线C 上，若AOB 的面积为6，求点B 的坐标.【解析】(1)由抛物线C 的方程可得其准线方程2p x =-，依抛物线的性质得452p+=，解得2p =.∴抛物线C 的方程为24y x =.(2)将()4,A m 代入24y x =，得4m =.所以()4,4A ，直线OA 的方程为y x =，即0x y -=.设()2,2B t t ，则点B 到直线OA 的距离222t t d -=，又42OA =由题意得22142622t t -⨯=，解得1t =-或3t =.∴点B 的坐标是()1,2-或()9,6.44．（2022·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 为C 上一点，点N 为x 轴上一点，若FMN 是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________．【答案】22y x =或26y x=【解析】抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的对称性，不妨设点M 为第一象限的点，因为点M 为C 上一点，点N 为x 轴上一点，FMN 是边长为2的正三角形，所以当N 在,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的右边时，点M 的坐标为2p M ⎛+ ⎝，所以2212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得2230p p +-=，解得1p =或3p =-（舍去），所以抛物线的方程为22y x =，当N 在,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的左边时，点M 的坐标为2p M ⎛- ⎝，所以2212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简得2230p p --=，解得1p =-或3p =，所以抛物线的方程为26y x =，综上，所求的抛物线方程为22y x =或26y x =故答案为：22y x =或26y x=45．（2022·全国·高二单元测试）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过抛物线上一点P 作x轴的平行线交y 轴于M 点，抛物线的准线交x 轴于点N ，四边形PMNF 为平行四边形，则点P 到x 轴的距离为___________.（用含P 的代数式表示）【解析】由題意可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，,02p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设(P x ，四边形PMNF 为平行四边形，||||,PM NF ∴=∴,x p =∴点P 到x .46．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率54e =，且双曲线C 的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线围成的三角形的面积为3，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．22D ．4【答案】D【解析】根据题意，2514c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，可得2916b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为34y x =±，抛物线的准线方程为2p x =-，设准线与抛物线的交点分别为M ，N ，则,23,4p x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可解得3,28p p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理3,28p p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2133322416OMNp p Sp =⨯-⨯==，解得4p =.故选：D ．47．（2022·四川师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由双曲线的离心率为2知，3ba=3y x =，又抛物线的准线方程为2p x =-，则设渐近线与准线的交点为3(,22p A --，3(,)22p B -，三角形AOB 的面积为133(322p p p⨯⨯=（0p >）解得2p =，故选：C48．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C49．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知点()0,1F ，点()(),0A x y y ≥为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足1AF AB +＝．(1)曲线C 的方程(2)若,G H 为曲线C 上异于原点的两点，且满足0FG FH ⋅=，延长,GF HF 分别交曲线C 于点,M N ，求四边形GHMN 面积的最小值．【解析】(1)1AF AB +＝，∴点A 到直线1y =-的距离等于其到点()0,1F 的距离，∴点A 轨迹是以F 为焦点的抛物线，∴曲线C 方程为：24x y =.(2)由题意知：直线,GM HN 斜率都存在，不妨设直线:1GM y kx =+，()11,G x y ，()22,M x y ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()241GM k ∴==+；设直线1:1HN y x k =-+，同理可得：2141HN k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴四边形GHMN 面积()2222111811822S GM HN k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2212k k +≥（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号），()82232S ∴≥⨯+=，即四边形GHMN 面积的最小值为32.50．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期中（理））设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .（1）求曲线w 的方程；（2）过点F 作互相垂直的直线1l 、2l ，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值.【解析】（1）由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，322p =，即3p =，∴2:6w x y =.（2）设3:2AC y kx =+，由223,069026y kx k x kx x y⎧=+≠⎪⇒--=⎨⎪=⎩.设()11,A x y ，()22,C x y ，236360k ∆=+>121269x x kx x +=⎧⎨=-⎩()261AC k ==+，∵1l 与2l 互相垂直，∴以1k -换k 得2161BD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22111616122ABCD S AC BD k k ⎛⎫==⨯+⨯+ ⎪⎝⎭()221182182272k k ⎛⎫=++⨯+= ⎪⎝⎭≥，当1k =±时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.51．（2022·全国·高二期中）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】(1)证明：设1(,2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.。
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抛物线定义及性质的简单应用（讲义2013.4.2）
复习回顾
1.点在直线 的抛物线的标准方程是________________．
2.抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( )
A.9
4
B ．4
C.13
4
D ．3
3.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（ ） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0
4.若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，
的距离小1，则点P 的轨迹方程是
5.已知过抛物线2
4y x =的焦点F 的弦长为36，求弦所在直线方程。
简单应用
6. 如果128,,,P P P 是抛物线2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为128,,,x x x ，F 是抛物
线的焦点，若12810x x x +++= ，则1
28PF P F P F +++=
7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ． B ． 1 C ． D ．
例1：抛物线y 2=8x 的焦点为F ，A （4，－2）为一定点，在抛物线上找一点M ，使|MA|＋|MF|
为最小，求M 点的坐标。
练习：抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A （2,3）为一定点，M 为抛物线上的动，M 到准线的距离为d ，则d ＋|MF|的最小值为
例2:抛物线y x 4
1
2=
上的点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标 ( )
A ．(0,0)
B ．)4,1(
C ．)1,2
1
( D ．)1,5(
练习：抛物线24y x =上的点到直线45y x =-的最近距离是 ．
例3：一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，求水面的宽.
抛物线定义及性质的简单应用（作业2013.4.2）
1.已知点P 在抛物线2
4y x =上，那么点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 1(,1)4
P -
2.曲线2
4y x =上的动点P 到A(-1,1)的距离与P 到直线1x =-的距离之和的最小值；
3 设O 为坐标原点，F 为抛物线2
4y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ∙=-
,则
点A 的坐标是 (1,2)±
4.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点，点P 到准线的距离为d,且点P 在y 轴上的射影是M ，点A(27，4)，则｜PA ｜+｜PM ｜的最小值是( A ) A. 27 B. 4 C. 2
9
D. 5
5.抛物线2
x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是（ A ） A ．（1，1）
B ．（
4
1
,21） C ．)4
9,23(
D ．（2，4）
6.椭圆
22
1164
x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ D ） A.3 B.11 C.22 D.10
7.已知椭圆22
22:1x y C a b += （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的
2倍.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积. 解：（Ⅰ）由题意1,2c a b ==
， 又221a b -=，所以21b =，22a =. ……3分
所以椭圆的方程为2
212
x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，
联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩
消去y 得22
(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分
解得0x =或2412k x k =-
+，所以12
412k
x k
=-+， 所以222412(,)1212k k B k k --++，22
21(,)1212k P k k
-++， ………………8分 由直线OP 斜率为1-，则1
12k
-
=-，解得12k =（满足（*）式判别式大于零）……10分
O 到直线1:12l y x =
+的距离为
25
，所以 22
11(1)AB x y =+-=253，
8. 已知椭圆的中点在原点O ，焦点在x 轴上，点)0,32(-A 是其左顶点，点C 在椭圆上且
.||||,0CO AC CO AC ==⋅
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于M ，N 两个不同点，求CMN ∆面积的最大值，
并求此时直线l 的方程.
3解：（I ）设椭圆的标准方程为),0(122
22>>=+b a b y a x
.||||,),0,32(CO AC CO AC A =⊥-左顶点 ),3,3(,122-=∴C a 点
又∵C 在椭圆上，
,4,13
12322=∴=+∴
b b
∴椭圆的标准方程为
.14
122
2=+y x
…………5分
（II ）设),,(),,(2211y x N y x M
∵CO 的斜率为-1，
∴设直线l 的方程为,m x y +-=
代入14122
2=+y x
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=
⋅=+>-⋅-=∆=-+-4123230)123(4436,0123642212
12222m x x m x x m m m mx x ,4
31224)(2||2
212
21m x x x x MN -=-+=∴
又C 到直线l 的距离,2
||2
|
33|m m d =
-+-=
CMN ∆∴的面积)16(4
3
||2122m m d MN S -⋅=⋅⋅=
,32)2
16(4322=-+⋅≤m m 当且仅当2216m m -=时取等号，此时22±=m 满足题中条件， ∴直线l 的方程为.022=±+y x。