10晶体对称性精品PPT课件
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晶体结构的对称性
分子对称性与警惕宏观对称性对照表
分子对称性 晶体宏观对称性
对称操作及 其符号 旋转L(a) 反映M 倒反I 对称元素及其 对称操作及其 对称元素及 符号 符号 其符号 旋转 对称轴C 旋转轴n 对称面s
n
反映 反演 旋转反映
反映面或镜 面m 对称中心i 反轴
对称中心i 象转轴Sn
旋转倒反 L(a)I
晶体中的宏观对称元素
对称元素 对称中心 一重旋转轴 国际记号 对称操作 i 1 倒反I 等同元素或组 合成份 1
反映面（或镜面）m 二重旋转轴
三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 四重反轴
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反映M
旋转L(0)
2
2
3 4 6 4
旋转L(180)
旋转L(120) 3+i=3,3+m=6 旋转L(90) 旋转L(60) 旋转倒反 L(90)I
大小和阵点疏密。 （4）晶面指标是由截长推求得来的，所以知道一 组晶面的指标（h*k*l*），可求这组晶面在三个晶 轴上的截数与截长。 如图所示 晶面于晶面的交线位晶棱— 数学模型 实际结构 与直线点阵对应 空间点阵 晶体 晶体与点阵的对应关系如右 阵点 结构基元 表。 注意：点阵是从晶体的结构 直线点阵 晶棱 抽象出来的概念，是为了更 平面点阵 晶面 深刻、正确地反映和研究晶 素单位 晶胞 体的结构本质。实际上任何 复单位 复晶胞 宏观物体，其微观结构基元
晶体的对称ppt课件
对称要素的组合服从以下规律：
22
1、定理一：对称面的交线必为一对称轴，其基转
角等于相邻两个对称面夹角的两倍。
推论：如果有一个对
称 面 包 含 Ln ， 则 必 有 n个对称面同时包含Ln。 即： Ln＋P∥→LnnP
23
2、定理二：若有一个二次轴L2垂直于Ln， 则必
有n个L2垂直于Ln。 即：Ln＋L2⊥→Lnn L2
晶体的对称
1
一、对称的概念及晶体对称的特点
1、对称的概念：物体相同部分有规律的重复。
对称的条件：⑴ 有相同部分； ⑵ 这些相同部分有规律地重复。
蝴蝶和花冠的对称
不对称的图形
2
2、晶体对称的特点
• 所有晶体都是对称的。 • 晶体对称受格子构造的严格控制。 • 晶体对称不仅表现在外部形态上，而且表
现在性质上。 总之，由于晶体具有格子构造，因此
26
3、晶族(crystal druse)和晶系(crystallization system)
晶体按其对称型中有无高次轴及高次轴的多少划分为对称程度高低 不同的三个晶族。每个晶族又按其对称特点划分为若干晶系。
三十二种对称型及晶体分类表
晶族名称
晶系名称 对称特点
对称型种类
三斜晶系
无对称面 无对称轴
Ls2＝C＝Li1； Ls4＝Li4 ；
20
22
1、定理一：对称面的交线必为一对称轴，其基转
角等于相邻两个对称面夹角的两倍。
推论：如果有一个对
称 面 包 含 Ln ， 则 必 有 n个对称面同时包含Ln。 即： Ln＋P∥→LnnP
23
2、定理二：若有一个二次轴L2垂直于Ln， 则必
有n个L2垂直于Ln。 即：Ln＋L2⊥→Lnn L2
晶体的对称
1
一、对称的概念及晶体对称的特点
1、对称的概念：物体相同部分有规律的重复。
对称的条件：⑴ 有相同部分； ⑵ 这些相同部分有规律地重复。
蝴蝶和花冠的对称
不对称的图形
2
2、晶体对称的特点
• 所有晶体都是对称的。 • 晶体对称受格子构造的严格控制。 • 晶体对称不仅表现在外部形态上，而且表
现在性质上。 总之，由于晶体具有格子构造，因此
26
3、晶族(crystal druse)和晶系(crystallization system)
晶体按其对称型中有无高次轴及高次轴的多少划分为对称程度高低 不同的三个晶族。每个晶族又按其对称特点划分为若干晶系。
三十二种对称型及晶体分类表
晶族名称
晶系名称 对称特点
对称型种类
三斜晶系
无对称面 无对称轴
Ls2＝C＝Li1； Ls4＝Li4 ；
20
对称的概念和晶体对称性
旋转轴：旋转所依据的几何元素。
基转角α：使物体复原的最小旋转角（0度除外 ）对C n轴的基转角α= 2π/n。旋转角度按逆时针 方向计算。
轴次：使图形完全复原旋转基转角的次数n。
ⅱ表示方法
熊夫利斯 国际记号 习惯记号 图示记号
对称操作 Cn
L 2 n
对称元素 Cn n Ln
ⅲ 有限图形常见的对称轴
m≤n为 自然数
对称 操作
旋转 角度
圣夫利斯
C
1 3
1 2 3
C
2 3
2 2 3
C
3 3
3 2 3
国际记号
L
2 3
1
L
2 3
2
L
2 3
3
备注：
1 2 3
2 2 3
3 2 3
m=1,2, 3
1200 2400 3600 1200 2400 3600
ⅴ举例 C4 C3
主轴：若一个图形
反伸的对称变换矩阵
0
1
0
0 0 1
v 晶体的对称心 • 晶体中若存在对称心，其晶
面必然两两平行且相等。
（判断晶体有无对称心的依据）
Ⅱ反映操作和镜面
ⅰ 表示方法
圣夫利斯 国际记号 习惯记号
图示记号
对称操作 σ
M
对称元素 σ m P
垂直纸面 平行纸面
基转角α：使物体复原的最小旋转角（0度除外 ）对C n轴的基转角α= 2π/n。旋转角度按逆时针 方向计算。
轴次：使图形完全复原旋转基转角的次数n。
ⅱ表示方法
熊夫利斯 国际记号 习惯记号 图示记号
对称操作 Cn
L 2 n
对称元素 Cn n Ln
ⅲ 有限图形常见的对称轴
m≤n为 自然数
对称 操作
旋转 角度
圣夫利斯
C
1 3
1 2 3
C
2 3
2 2 3
C
3 3
3 2 3
国际记号
L
2 3
1
L
2 3
2
L
2 3
3
备注：
1 2 3
2 2 3
3 2 3
m=1,2, 3
1200 2400 3600 1200 2400 3600
ⅴ举例 C4 C3
主轴：若一个图形
反伸的对称变换矩阵
0
1
0
0 0 1
v 晶体的对称心 • 晶体中若存在对称心，其晶
面必然两两平行且相等。
（判断晶体有无对称心的依据）
Ⅱ反映操作和镜面
ⅰ 表示方法
圣夫利斯 国际记号 习惯记号
图示记号
对称操作 σ
M
对称元素 σ m P
垂直纸面 平行纸面
07-2.3晶体的对称性
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作的组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
2.3.1.2 微观对称元素
1. 滑动面
由一个对称面加上沿此面的平移组成，晶体结构可借此 面的反映并沿此面平移一定距离而复原。
2.螺旋轴 由回转轴和平行于轴的平移构成。晶体结构可借绕此轴 回转360°/n同时沿轴平移一定距离而复原，此轴称为n 次螺旋轴。
左旋 螺旋轴有右旋和左旋之分。
右旋
2.3.2 点群与空间群
2.3 晶体的对称性
对称性是晶体的基本性质之一。
晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结 构微观对称性的表现。晶体的某些物理 参数如热膨胀、弹性模量和光学常数等 与晶体的对称性密切相关。
自然界的许多晶体如天然金刚石、水晶、 雪花晶体等往往具有规则的几何外形
晶体的对称性是指晶体经过某种对称操作 后仍能恢复原状的性质。如绕某一轴旋转 一定的角度而复原或经过某一平面的反映 而复原等。
点群内对称操作的个数为群的阶，用h表示。对称操作组 合在一起操作时，空间几乎所有点都在变动，但至少有一个点 (如原点)在全部对称操作过程中始终保持不变，它也是所有对 称元素的一个公共点。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作的组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
2.3.1.2 微观对称元素
1. 滑动面
由一个对称面加上沿此面的平移组成，晶体结构可借此 面的反映并沿此面平移一定距离而复原。
2.螺旋轴 由回转轴和平行于轴的平移构成。晶体结构可借绕此轴 回转360°/n同时沿轴平移一定距离而复原，此轴称为n 次螺旋轴。
左旋 螺旋轴有右旋和左旋之分。
右旋
2.3.2 点群与空间群
2.3 晶体的对称性
对称性是晶体的基本性质之一。
晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结 构微观对称性的表现。晶体的某些物理 参数如热膨胀、弹性模量和光学常数等 与晶体的对称性密切相关。
自然界的许多晶体如天然金刚石、水晶、 雪花晶体等往往具有规则的几何外形
晶体的对称性是指晶体经过某种对称操作 后仍能恢复原状的性质。如绕某一轴旋转 一定的角度而复原或经过某一平面的反映 而复原等。
点群内对称操作的个数为群的阶，用h表示。对称操作组 合在一起操作时，空间几乎所有点都在变动，但至少有一个点 (如原点)在全部对称操作过程中始终保持不变，它也是所有对 称元素的一个公共点。
第四讲 晶体的对称性
X ( x1 , x2 , x3 )
O
x2
操作前后，两点间的距离保持不变， 称为正交变换。 O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
x1
作用到晶体上，是指晶体内两点间距保持不变，包 括三种：转动、中心反演、镜像。
2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。
一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个
布拉格反射公式
dh h h
1 2
3
n为整数，称为衍射级数。 是否可以用可见光
C A
B
进行晶体衍射呢？10-10m
2d h1h2h3 sin n
由上式可以看出：
2d n
， 2d
不能用可见光进行晶体衍射。
2.劳厄衍射方程 设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶 体线度大得多。 (1)入射线和衍射线为平行光线； (2)略去康普顿效应； (3) S 0和S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量； (4)只讨论布拉维晶格。
O
x2
操作前后，两点间的距离保持不变， 称为正交变换。 O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
x1
作用到晶体上，是指晶体内两点间距保持不变，包 括三种：转动、中心反演、镜像。
2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。
一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个
布拉格反射公式
dh h h
1 2
3
n为整数，称为衍射级数。 是否可以用可见光
C A
B
进行晶体衍射呢？10-10m
2d h1h2h3 sin n
由上式可以看出：
2d n
， 2d
不能用可见光进行晶体衍射。
2.劳厄衍射方程 设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶 体线度大得多。 (1)入射线和衍射线为平行光线； (2)略去康普顿效应； (3) S 0和S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量； (4)只讨论布拉维晶格。
晶体结构和对称性
按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个晶体学点群（晶体的对称性只有32种， 尽管自然界中晶体的外形多样）。
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和3个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
a aa
三斜
正交
c
ab
c
b a
§2.2 晶体对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前 者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称 性。
六角形
六方柱
四面体
一.晶体的宏观对称性
1. 晶体的宏观对称元素 晶体的对称性与有限分子的对称性一样也是点对
称，具有点群的性质。
对称元素：
1、旋转轴 2、镜面（反映面） 3、对称中心
划分空间正当格子(Bravais )的原则
①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； ②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； ③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
说明：数学（固体物理）中格子的选取只注意反映点阵结构的周期性 （体积最小），不反映晶体结构的对称性。
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和3个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
a aa
三斜
正交
c
ab
c
b a
§2.2 晶体对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前 者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称 性。
六角形
六方柱
四面体
一.晶体的宏观对称性
1. 晶体的宏观对称元素 晶体的对称性与有限分子的对称性一样也是点对
称，具有点群的性质。
对称元素：
1、旋转轴 2、镜面（反映面） 3、对称中心
划分空间正当格子(Bravais )的原则
①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； ②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； ③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
说明：数学（固体物理）中格子的选取只注意反映点阵结构的周期性 （体积最小），不反映晶体结构的对称性。
晶体的宏观对称性
这五种对称操作是宏观对称操作。 在宏观对称操作中，有一些对称操作是另一些对称操作的组合。
在习惯上，常把以下八种对称操作称为基本的对称操作：
1, 2,3, 4, 6,i, m, 4
它们的组合可以得到32种不包括平移的宏观对称类型。
另外，还有两种微观对称操作：n 度螺旋轴和滑移反映面。
6、n 度螺旋轴（n-fold spiral axis ）
n
其中，n 只能 2 或 4, T 是平移方向上的周期矢量。
三、 点群和空间群（point and space group）
（一）群的概念
群是一组元素的集合，G≡｛E,A,B,C,D…｝。
具有如下的性质: (1) 按照给定的“乘法”规则，群 G 中任意两元素的“乘积”仍为群
I S2 C2 h
5、旋转-反演轴 （rotation and inverse axis）
如果晶体绕某一对称轴旋转角度
2
n
后，再经过中心反演，能够自身重合，则称该轴为
n 度旋转-反演轴
n n 用
表示。 同样，
也只能取 1, 2, 3, 4 和 6 五种。
这也是一种复合对称操作。
实际上，1 表示中心反演，即 1 i 2度旋转反演轴表示为 2 ， 是垂直于该轴的对称面（镜像）， 即 2m
表示。
如果镜面是水平的，记为 h
晶体的对称性
P21/m, Imm2, Ccca, I422, P4/mmm, R3, P3212, P63mc, Fd-3, Im-3m 6. 什么是等效点系，特殊等效点系有什么特点？ 7. 什么是wyscoff 晶位，如何表示？ 8. 原子参数中的占有率指的是什么？ 9. 一般晶体结构数据描述中的Z值指的是什么？ 10.完整描述晶体结构的要素有哪些？
4. 三方–第1个对称符号： 3, `3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312)
5. 正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋 轴 (即Pnma, Cmc21, Pnc2）
6. 单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/ 平面符号(即Cc、P2、P21/n)。
等效点系在空间群表中表示为Wyckoff位置 。
一般位置-特殊位置
一般位置：空间群表里最先列出的Wyckoff位置， 1. 不处在任何一个对称元素上的位置； 2. 一般位置具有最高多重性（M）。初级晶胞中M等于点群的对称操作
总数；带心晶胞M等于点群的阶数乘以晶胞中的阵点数。 3. 在一般位置的原子总具有三个位置自由度，它的三个分数坐标都可以独
体对 无， 2，m 面对
角线
角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
23,m3,432, `43m, m`3m
4. 三方–第1个对称符号： 3, `3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312)
5. 正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋 轴 (即Pnma, Cmc21, Pnc2）
6. 单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/ 平面符号(即Cc、P2、P21/n)。
等效点系在空间群表中表示为Wyckoff位置 。
一般位置-特殊位置
一般位置：空间群表里最先列出的Wyckoff位置， 1. 不处在任何一个对称元素上的位置； 2. 一般位置具有最高多重性（M）。初级晶胞中M等于点群的对称操作
总数；带心晶胞M等于点群的阶数乘以晶胞中的阵点数。 3. 在一般位置的原子总具有三个位置自由度，它的三个分数坐标都可以独
体对 无， 2，m 面对
角线
角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
23,m3,432, `43m, m`3m
晶体的结构及其对称性
1
1
1
1
1
1
配位数：6 例：LiF、KCl、LiI
（6）氯化铯(CsCl)晶体结构
配位数：8
例：TlBr、TlI、NH4 Cl
（7）闪锌矿结构
每种离子位于异类离子构成的正四面体中心
配位数：4
例： ZnS、CuF、CuCl、AgI、ZnSe
（8）钙钛矿（ABO3 ）结构 立方体结构中， 顶角位置：A，体心位置：B，面心位置：O 例：铁电晶体BaTiO3 、LiNbO3 、PbZrO3 ， 高温超导体的稀土铜氧化物等。 上述几种为化合物晶体。
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
8
1 1 8
atom sc
f V
V
6
（2）体心立方(bcc)晶体结构
配位数：
原子半径：
Body centered cubic lattice
高二物理竞赛晶体结构的对称性、晶系课件
B A
B B
同种原子形成的两类格点相互套构
体对角线1/4处的碳原子和顶角、面心处的碳原子分布在两个不同的面心立方晶 格中，沿立方体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成金刚石结构。其基元由相距 1/4对角线长度的面心（或顶角）碳原子和位于1/4对角线长度处的不等价碳原子组成，
基元代表点（格点）形成面心立方格子。
对于集合 U 任意向量 ，按照某一规律 A，在 U 中存在唯一的向量 与 之对应，则这个对应的规律 A 就称为 U 的一个变换。 称为 的象， 称为 的原象，记为 A 。
线性变换：
如果变换 A 对于任意数量
和U
中任意两个向量
、
都满足关系：
1、A
A
A
；
2、A A ；
来自百度文库
A 称为 U 的线性变换。
(x1, x2, x3)
a31 a32
a33
z
例：以下四种图形存在不同的对称性 对称操作越多，晶体对称性越高。
平面反映变换矩阵是正交矩阵，
应等于点 r(x, y, z)
体对角线1/4处的碳原子和顶角、面心处的碳原子分布在两个不同的面心立方晶 格中，沿立方体对行角线列相式互移等动于1/4+对1角。线长度套构形成金刚石结构。
晶体结构的对称性、晶系
晶体结构的对称性、晶系
一、晶体结构的对称性的定义 晶体内部原子（离子）的规则排列使晶体具有外形规则性，不仅几何外形上具有
材料物理课件12晶体的宏观对称性
在能源领域中，晶体的宏 观对称性可用于研究太阳 能电池、燃料电池等能源 转换器件的效率和性能。
04
晶体宏观对称性的研究方法
实验研究方法
X射线晶体学
通过X射线在晶体中的衍射现象 ，分析晶体的对称性和结构。
中子散射技术
利用中子在晶体中的散射现象， 研究晶体的原子排列和对称性。
电子显微镜技术
通过观察晶体表面或薄片的形貌 和结构，推断晶体的对称性。
02
通过实验手段验证理论预测的对称性破缺现象，提高理论模型
的准确性和可靠性。
发展新型实验技术
03
利用先进的实验设备和技术手段，观测和记录晶体对称性破缺
的过程和结果，为研究提供更多实证依据。
对称性与量子物理的关系研究
量子力学中的对称性
研究量子力学中对称性的表现形式和作用机制，探讨对称性与量 子力学基本原理之间的关系。
旋转对称性
晶体绕某轴旋转一定角 度后，其形状和方向与
原状态相同。
镜面对称性
晶体相对于某一平面做 镜像对称，如同左右手
互为镜像。
反演对称性
晶体关于某点反演后， 形状和方向与原状态相
同。
螺旋对称性
晶体绕某轴旋转一定角 度并沿该轴移动一定距 离后，形状和方向与原
状态相同。
对称操作的组合规则
晶体宏观对称性由其内部微观粒子排 列方式决定，不同的粒子排列方式会 导致不同的对称操作组合。
04
晶体宏观对称性的研究方法
实验研究方法
X射线晶体学
通过X射线在晶体中的衍射现象 ，分析晶体的对称性和结构。
中子散射技术
利用中子在晶体中的散射现象， 研究晶体的原子排列和对称性。
电子显微镜技术
通过观察晶体表面或薄片的形貌 和结构，推断晶体的对称性。
02
通过实验手段验证理论预测的对称性破缺现象，提高理论模型
的准确性和可靠性。
发展新型实验技术
03
利用先进的实验设备和技术手段，观测和记录晶体对称性破缺
的过程和结果，为研究提供更多实证依据。
对称性与量子物理的关系研究
量子力学中的对称性
研究量子力学中对称性的表现形式和作用机制，探讨对称性与量 子力学基本原理之间的关系。
旋转对称性
晶体绕某轴旋转一定角 度后，其形状和方向与
原状态相同。
镜面对称性
晶体相对于某一平面做 镜像对称，如同左右手
互为镜像。
反演对称性
晶体关于某点反演后， 形状和方向与原状态相
同。
螺旋对称性
晶体绕某轴旋转一定角 度并沿该轴移动一定距 离后，形状和方向与原
状态相同。
对称操作的组合规则
晶体宏观对称性由其内部微观粒子排 列方式决定，不同的粒子排列方式会 导致不同的对称操作组合。
晶体对称性PPT课件
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
－－
（1）先进行对称轴与对称轴的组合 组合程序 （2）再扩大为对称轴与对称面的组合
（3）最后扩大为对称轴、对称面、对称中心的组合 （2）晶体的宏观对称类型——32个点群
晶体的8种宏观对称元素，在两个组合条件限制下，按组合程 序进行组合，不遗漏也不重复，共得32个点群（p499表5－2.4）。
4. 晶体的七个晶系及特征对称元素
2. 晶体的对称性定律：晶体中对称轴的轴次n不 是任意的，只可能有n=1, 2, 3, 4, 6 。这是晶体的
点阵结构所决定的.
五次轴破坏了点阵 的平移对称性
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平 面点阵上必有过O点的直线点阵AA‘, 其素向量为a. 利用对 称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度 ,产生点阵 点B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
a b c = b = g = 90°
a b c = g = 90° b a b c b g 90°
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－－
（1）先进行对称轴与对称轴的组合 组合程序 （2）再扩大为对称轴与对称面的组合
（3）最后扩大为对称轴、对称面、对称中心的组合 （2）晶体的宏观对称类型——32个点群
晶体的8种宏观对称元素，在两个组合条件限制下，按组合程 序进行组合，不遗漏也不重复，共得32个点群（p499表5－2.4）。
4. 晶体的七个晶系及特征对称元素
2. 晶体的对称性定律：晶体中对称轴的轴次n不 是任意的，只可能有n=1, 2, 3, 4, 6 。这是晶体的
点阵结构所决定的.
五次轴破坏了点阵 的平移对称性
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平 面点阵上必有过O点的直线点阵AA‘, 其素向量为a. 利用对 称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度 ,产生点阵 点B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
a b c = b = g = 90°
a b c = g = 90° b a b c b g 90°
《晶体的对称元素》PPT课件
晶体的对称元素
晶体的对称性是晶体的基本性质之一。
内部特征
格子构造
外部现象
晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质 化学性质
ppt课件
1
一、对称的概念
• 是宇宙间的普遍现象。 • 是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大
自然的密码。
• 对称是指物体或图形中相同部分作有规律的重
复。对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶 棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
ppt课件
33
3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式 对称型） 。考虑到组合规律Ln(偶)P⊥→Ln(偶)PC，
则可能的对称型为L2PC；L4PC；L6PC。
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（平面式对 称型 ）。根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对 称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。
交角均等于δ。
ppt课件
26
对称要素组合测试
有了对称要素组合定理，我们就可以判断一个晶体上的 对称要素组合形式的正确与否。
请大家根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素 组合形式是否正确：
1、L43P × 应该为 L44P ，根据组合定理3， 4个P包含L4 2、L22P √ 根据组合定理3， 2个P包含L2 3、L32L2 × 应该为 L33L2 ，根据组合定理1， 3个L2垂直L3
晶体的对称性是晶体的基本性质之一。
内部特征
格子构造
外部现象
晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质 化学性质
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1
一、对称的概念
• 是宇宙间的普遍现象。 • 是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大
自然的密码。
• 对称是指物体或图形中相同部分作有规律的重
复。对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶 棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
ppt课件
33
3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式 对称型） 。考虑到组合规律Ln(偶)P⊥→Ln(偶)PC，
则可能的对称型为L2PC；L4PC；L6PC。
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（平面式对 称型 ）。根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对 称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。
交角均等于δ。
ppt课件
26
对称要素组合测试
有了对称要素组合定理，我们就可以判断一个晶体上的 对称要素组合形式的正确与否。
请大家根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素 组合形式是否正确：
1、L43P × 应该为 L44P ，根据组合定理3， 4个P包含L4 2、L22P √ 根据组合定理3， 2个P包含L2 3、L32L2 × 应该为 L33L2 ，根据组合定理1， 3个L2垂直L3
对称的概念和晶体对称性
∣(m-1)/2∣≤1或∣m-1∣≤2
-1 ≤m≤3
m=0、 1、2……
则m的取值和n的关系如下表
(m-1)/2= cos(2π/n)
m=0、1、2
m
cos(2π/n)
2π/n
n
-1
-1
2π/2
2
0
-1/2
2π/3
3
1
0
2π/4
4
2
1/2
2π/6
6
3
1
2π/1
1
即n的取值只能是1、2、3、4、6
思考：
0
1
0
0 0 1
v 晶体的对称面
镜面是平分图形的平面，在图形中除位于 镜面上的点外，其他成对地排在镜面两 侧，它们通过反映操作可以复原。
晶体中的对称面往往 垂直平分晶面或垂直 晶棱并通过它的中心， 或包含晶棱
C4
C3 C3
Ⅲ 旋转操作和旋转轴
ⅰ概念 旋转操作：将图形绕通过其中心的轴旋转一定 的角度后使图形复原的操作，
旋转轴 C1 C2 C3 C4 C5 C6
基转角 3600 1800 1200 900 720 600
2π/n
轴次 n 1
2
3
4
5
6
C∞ ：旋转任意的角度都能使图形复原。 CO2
ⅳ
对称 操作
晶体结构的对称性.
全同操作
(1)全同操作(Identity)，符号表示为1 (E)，对应于物体不动
的对称操作，对应的变换矩阵为单位矩阵。 注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因HermannMauguin符号，括号内为熊夫利斯Schönflies 符号。
矩阵表示
旋转轴
(2)旋转轴(旋转轴) ：绕某轴反时针旋转q =360/n 度， n称为旋转轴的次数(或重数)，符号为n (Cn)。 其变换矩阵为：
晶胞的选取
晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞
时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼 顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时 使用对称性较高的非初基胞-惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交 角接近直角。
为晶体学的晶轴 X， Y， Z。 如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的 (primitive)。 晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个 边的长度a， b， c三个边之间的夹角 α，β ，γ表示。 晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了 晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。 一般写作：晶体结构=点阵+结构基元；但准确的描述应为： 晶体结构=点阵*结构基元 ；晶体结构=结构基元@点阵
晶体的对称性讲解
轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面：若经过某面进
行镜象操作后，再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后，晶体能自身重合， 则称此面为滑移反映面。 T是平行 方向的周期，n可取2或4。
点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230 种空间群，即有230种对称类型。
(2)中心反演(i，对称素为点)
取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
( x1, x2 , x3 ) 变为 ( x1, x2 , x3 )
x1 x 2 x 3
x1 x2 x3
A
1 0 0
0 1 0
001
A 1
(3)镜象(m，对称素为面)
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
合，则由于晶体的周期性，通过格
点B也有一转轴u。
B1
A
A
B
A1
AB AB 1 2cosθ, AB 是 AB 的整数倍，
cos 0, 1 ,1
2
π , π ,2π
23
2π , 2π , 2π
461
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则 B
A
AB AB 1 2cosθ,
AB 是 AB 的整数倍，
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
行镜象操作后，再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后，晶体能自身重合， 则称此面为滑移反映面。 T是平行 方向的周期，n可取2或4。
点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230 种空间群，即有230种对称类型。
(2)中心反演(i，对称素为点)
取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
( x1, x2 , x3 ) 变为 ( x1, x2 , x3 )
x1 x 2 x 3
x1 x2 x3
A
1 0 0
0 1 0
001
A 1
(3)镜象(m，对称素为面)
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
合，则由于晶体的周期性，通过格
点B也有一转轴u。
B1
A
A
B
A1
AB AB 1 2cosθ, AB 是 AB 的整数倍，
cos 0, 1 ,1
2
π , π ,2π
23
2π , 2π , 2π
461
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则 B
A
AB AB 1 2cosθ,
AB 是 AB 的整数倍，
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
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§2 晶体的对称性
一、 晶体的宏观对称性 1. 晶体的宏观对称元素
分子对称性
晶体的宏观对称性
对称元素 对称操作 对称元素 对称操作
旋转轴Cn
旋转 Cˆ n
n
镜面
反映 ˆ
m
L(=2/n) M
对称中心i 反演或倒反iˆ
i
I
象转轴Sn
旋转反映Sˆn
反轴n
旋转倒反L()I
注：反轴
旋转倒反操作：先绕某轴旋转一定角度(=2/n) 后，再通过轴线上中心点进行倒反，即能复原的图形。 L() I or I L()，
a, b, c 选 3 个不共面的晶棱
位方向
a, a + b + c, a + b
c, a, 2a + b c, a, a + b c, a (取六方晶胞 )
a, b, c b a
Eg1:
SchÖnflies记号 国际记号
C4v
4mm
D2h
222
mmm
Oh
432 mm
简化记号 4mm 2/mmm
m3m
－
对称中心
i
倒反I
1
－
镜面
m
反 映M
2
一重旋转轴 1 －
二重旋转轴 2 －
三重旋转轴 3 －
四重旋转轴 4 －
六重旋转轴 6 －
－
四重反轴
4
旋转（00） 旋转（1800）
旋转（1200） 旋转（900） 旋转（600）
－
－
3＋i＝3，3＋m＝6
－
－
旋转倒反L（900）I
3、宏观对称元素的组合和32个点群 （1）对称元素组合
a b c = b = g = 90°
a b c = g = 90° b a b c b g 90°
注：七种形状晶胞并不对应七个晶系，晶体的宏观对称类 型共32个点群，32个点群根据特征对称元素分为七个晶系。
5 晶体的宏观对称类型~32点群的国际记号
点群的国际符号是用晶体在某特定方向上的对称元素 来表示32个点群。特定方向叫位序（见下页表，p500）
2
OB
2
cos
2
2a cos
n
n
m cos 2
2
n
A
-a O
aA
‘ 2/n n 2/n
2
cos
1
n
m 1或 m 2 2
B
B
‘
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
晶体的宏观对称元素
对称元素 国际记号 对称操作
等同元素或组合成分
wk.baidu.com
晶系 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
特征对称元素 四个 3 6或 6 4或 4 3或 3
两个相互垂直的 m 或三个相互垂直的 2
2或m 无或i
晶胞边角关系 a = b = c = b = g = 90° a = b c = b = 90°g = 120° a = b c = b = g = 90° a = b = c = b = g 90°
该轴为反轴 n
4-
3 4
3'
L(/2)
2 1
4-
2' 1'
4'
I
4-
1" 2"
3" 4"
从各反轴对应的操作可以证明：
1 i S2 2 m S1 3 3 i S6 4 S4 (能独立存在) 6 3 m S3
2. 晶体的对称性定律：晶体中对称轴的轴次n不 是任意的，只可能有n=1, 2, 3, 4, 6 。这是晶体 的点阵结构所决定的.
规定：在某一方向出现的旋转轴或反轴是指与这一方向 平行的旋转轴或反轴, 而在某一方向出现的镜面则是指与 该方向垂直的镜面, 如果在某一方向同时出现旋转轴或反 轴与镜面时, 国际记号中用分数形式来表示,将n或n 记在 分子位置, 将m记在分母位置.
晶系
立方晶系
六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
对称元素组合的两个限制条件：其一，晶体的多面体 外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个 公共点，否则，将产生出无限多个对称元素来，这是与有 限图形相矛盾的。其二，晶体具有周期性点阵结构，任何 对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的 对称元素（如：5，7， ）
－－
（1）先进行对称轴与对称轴的组合 组合程序 （2）再扩大为对称轴与对称面的组合
选晶轴方法 4 个 3 // 4 条体对角线， 立方体的三边即为 a、b、c
c // 6(或6 ) a, b // 2 或^m
c // 4(或4 )，a, b // 2 或^m 六方晶胞：c // 3(或3 )，a, b // 2 或^m
a, b, c // 2 或^m b // 2 (或^m), a, c 选^b 的晶棱
（3）最后扩大为对称轴、对称面、对称中心的组合 （2）晶体的宏观对称类型——32个点群
晶体的8种宏观对称元素，在两个组合条件限制下，按组合程 序进行组合，不遗漏也不重复，共得32个点群（p499表5－2.4）。
4. 晶体的七个晶系及特征对称元素
晶胞所属晶系由边角关系来确定，宏观晶体 用特征对称元素判断所属晶系。
五次轴破坏了点阵 的平移对称性
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在 平面点阵上必有过O点的直线点阵AA‘, 其素向量为a. 利用
对称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度 ,产生点
阵点B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A
-a
O
a
A
‘
2/n n 2/n
B
B
‘
B' B
ma
对应的三个位 c a a+b ab c a a+b+c a+b
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal