高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

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高考数学专题复习《平面向量基本定理》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

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细探究，提能力
典型例题
1.如图,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点.若 AC AM BD ,则的值为( )
A. 4 3
√B. 5 3
C. 15
D.2
8
典型例题
以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1，则
AC
(1,1)
,
AM
1,
1 2
, BD
(1,1) ,故1
2
2 1 1
，解得
1 1
，故
0
.
故选 B.
剖情景，创素养
【规律总结】 1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2. 正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
一个向量的坐标等于表示此向量的有已知 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2 ) ，向线段的终点的坐标减去起点的坐标则 AB (x2 x1 ，y2 y1)
知识梳理
2. 平面向量共线的坐标表示（1）设 a (x1 ，y1)，b (x2 ，y2 ) ，其中 b 0，a，b 共线的充要条件是存在实数，使 a b . （2）如果用坐标表示，向量 a，b(b 0) 共线的充要条件是 x1y2 x2 y1 0 .

高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量专题复习

向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。一、平面向量加、减、实数与向量积（一）基本知识点提示

1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；

向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2

+｜b ｜2

）=｜a －b ｜2

+｜a +b ｜2

5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）

实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：

(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.

6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1）

，=（x 2，y 2）) （二）典型例题

例1、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

).,0[|

|+∞∈+

+=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的

（）

A ．外心

B ．内心

专题11 平面向量专项高考真题总汇(带答案及解析)

专题11平面向量

1．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =

”的（

）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】若a c b c ⋅=⋅ ，则()

0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =

，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，

故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =

”的必要不充分条件

故选：B.

2．【2021·全国高考真题】已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，

()()()3cos ,sin P αβαβ++，(

)1,0A ，则（）

A ．12

OP OP = B ．12

AP AP =

C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅

D ．123

OA OP OP OP ⋅=⋅

【答案】AC

【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1

AP uuu

r ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=

，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，

2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以

高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

向量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .

单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨

⎧==⇔2

1y y x x

(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算运算类型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的加法

1.平行四边形法则

2.三角形法则

1212(,)a b x x y y +=++

a b b a +=+

()()a b c a b c ++=++

AC BC AB =+

向量的减法

三角形法则

1212(,)a b x x y y -=--

()a b a b -=+-

AB BA =-,AB OA OB =-

数乘向量

1.a λ是一个向量,满

足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向;

λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.

(,)a x y λλλ=

()()a a λμλμ=

()a a a λμλμ+=+

()a b a b λλλ+=+

//a b a b λ⇔= 向量的数量积

a b •是一个数

1.00a b ==或时，

0a b •=.

高考数学试题分类汇编向量含详解

20XX 年高考数学试题分类汇编——向量含详解

（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。

（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则

(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-= 故所求的两条对角线的长分别为42、210。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:

E 为B 、C 的中点，E （0，1）

又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；

（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。

由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，

从而511,t =-所以115t =-。或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- （2010江苏卷）15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(3)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

向量高考经典试题（附详细答案）

向量⾼考经典试题（附详细答案）

向量⾼考经典试题

⼀、选择题

1．（全国1⽂理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r

，则a r 与b r

A ．垂直

B ．不垂直也不平⾏

C ．平⾏且同向

D ．平⾏且反向

解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r

，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。

2、（⽂5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）

A ．1

C ．2

D ．4

【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：

2(3,)(1,)30n n n n ?-=-+=?= 2=a 。

3、（⽂4理10）若向量,a b r r 满⾜||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2

；

解析：13

11122

a a a

b ?+?=+??=r r r r ，

4、（天津理10）设两个向量22

(2,cos )a λλα=+-r 和(,

sin ),2

b m α=+r

其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则m

的取值围是

C.(,1]-∞

D.[1,6]-

【答案】A

【分析】由22

(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2

m b m α=+r 2,a b =r r 可得

2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ

=代⼊⽅程组可得222

22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2

向量高考经典试题(附详细答案)

向量高考经典试题

一、选择题

1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。 2、（文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）

A ．1

C ．2

D ．4

【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：

2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。

3、（文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；答案：32

；

解析：1

31112

a a a

b ⋅+⋅=+⨯⨯=

， 4、（天津理10）设两个向量22

(2,cos )a λλα=+-和(,

sin ),2

b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m

的取值围是

( )

A.[6,1]-

B.[4,8]

C.(,1]-∞

D.[1,6]-

【答案】A

【分析】由22

(2,cos )a λλα=+-,(,

sin ),2

b m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ

=代入方程组可得222

22cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2

22cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪

向量高考真题doc

向量高考真题

一、选择题

1、（2004广东1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （）

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

2、（2004重庆文理6）若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（） A ．2

B ．4

C ．6

D ．12

3、（2004浙江文4）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且∥，则αtan = （） (A)

(B)4

(C)

(D)3

4（2004福建文理8）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（）

A ．

B ．

C ．

2π

D ．

5π 5、（2004天律文理3）若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，则=b A ． )6,3(-

B ． )6,3(-

C ． )3,6(-

D ． )3,6(-

6、（2004湖北文理4）已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7、（2004辽宁6）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 8、（2004全国文理3）已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （）

(完整word)历年高考数学试题向量

历年高考

数学试题

向量

一、选择题，在每小题给出的四个选择题只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量的夹角为与则若,2

)(,5||),4,2(),2,1(=

⋅+=--=（） A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

2．已知向量,a b r r ，且2,56AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r ，72CD a b =-u u u

r r r ，则一定共线的三点是（）

（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D

3．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量与的夹角为（）

A ．

54arccos 2-π

B ．54arccos

C ．)54arccos(-

D ．－)5

arccos(-

4．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r

，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（）

（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

5．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则（） A ．a ⊥e

B ．a ⊥（a －e ）

C ．e ⊥（a －e ）

D ．（a +e ）⊥（a －e ）

6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,2

)(,5||),4,2(),2,1(=

⋅+=--=（） A ．30° B ．60°

C ．120°

高考数学复习-向量练习试题、参考答案

高考数学复习-向量练习试题

第Ⅰ卷(选择题，共40分)

一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案代号填在下面的答题框内.)

1.在边长为1的等边△ABC 中，若BC =a ，CA =b ，AB =c ，则a ·b +b ·c +c ·a 等于 A.23 B .-2

3 C.3 D.0 2.已知AP =(x +5，y )，BP =(x -5，y )，且|AP |+|BP |=6，则|2x -3y -12|的最大值为 A.12+62 B.12-62 C.6 D.12

3．下列五个命题：

(1)所有的单位向量相等；

(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；

(3)若a 、b 满足|a |>|b |且a 、b 同向，则a >b ;

(4)由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；

(5)对于任何向量a 、b ，必有| a +b |≤| a |+|b |.

其中正确命题的序号为

A.(1)，(2)，(3)

B.(5)

C.(3)，(5) A.(1)，(5)

4．已知向量a 与b 的夹角为

π2，如果向量2 a +k b 与3 a -2b 共线，则实数的k 的值为 A.34 B.-34 C. 32 D.-3

2 5.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形

6．在△ABC 中G 为边BC 中线AH 上一点，若AH =2，则AG ·(BG +CG )的

高中数学高考专题汇编：专题05 平面向量(文)(含答案解析)

第五章平面向量

1.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )

（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)

【答案】A

【命题立意】本题考查向量运算，是基础题

【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A.

【方法技巧】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标.

2.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】D

【命题立意】考查平面向量的加法运算，平面向量数量积的坐标运算．意在考查分析能力，数形结合思想，中等题.

【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=．

3.【2015高考重庆，文7】已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（） (A) 3π (B) 2

π (C) 32π (D) 65π 【答案】C

【命题立意】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本题属于基础题. 【解析】由已知可得020)2(2=∙+⇒=+∙，设a b 与的夹角为θ，则有

高三文科数学向量经典习题及答案

1.【2012高考陕西文7】设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 A 22 B 12 C .0 D.-1

2.【2012高考天津文科8】在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ ∈R 。若BQ •CP =-2，

则λ=

（A ）1

3 （B ）23 C ）43 （D ）2

3.【2012高考安徽文11】设向量)2,1(m a

=，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______.

4.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP

AC = . 5.【2012高考江西文12】设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。若，则=_______________

6．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若λ为实数，（()a b λ+∥c ），则λ=

A ． 14

B ．12

C ．1

D ．2

7．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a +b 与a

b -的夹角等于 A ．4π- B ．6π C ．4π D ．34π

8．已知向量(1,),(2,2),a

k b a b a ==+且与共线，那么a b ⋅的值为 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 9．设向量,a b 满足||25,(2,1),a b ==且a b 与的方向相反，则a 的坐标为．

10．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为

平面向量高考真题精选

平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
19．已知实数、、Байду номын сангаас、满足：，，，则的最大值为______．
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（上海卷)
【答案】
【解析】
【分析】
设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
22．已知向量，，．若，则 ________．
【来源】2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版
【答案】
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可。
【详解】
由题可得
,即
故答案为
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
20．在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（上海卷)
【答案】-3
【解析】
【分析】
据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．

天津卷高考数学十年真题【平面向量】【文】

平面向量【文科】

2010年（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥

，BC = BD ，1AD = ，则AC AD ⋅ =

（A

）（B

（C

（D

2009年

15. 若等边A B C ∆的边长为32，平面内一点M 满足

→→→+=CA CB CM 3261,则=∙→→MB MA ________.

2008年

（14）已知平面向量(2,4)a = ，(1,2)b =- ．若()c a a b b =-⋅ ，则||c = _____________．

2007年

（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC = ．

2006年

12. 设向量a 与b 的夹角为θ，且a =（3，3），)1,1(2-=-a b ，则=θcos 。

2005年

12．已知｜｜＝2，｜｜＝4，与的夹角为3π，以，为

邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角

线中较短的一条的长度为_______________．

2004年

4. 若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180

53=，则=

A. )6,3(-

B. )6,3(-

C. )3,6(-

D. )3,6(-

2003年

8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[|||(+∞∈+=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

2002年

12. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（）