上海市虹口区2019届高三一模数学卷(附详细)
2019年上海市虹口区高考数学一模试卷
2019年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题1. 计算________．【答案】【考点】极限及其运算【解析】当时，，由则可得解．【解答】＝．2. 不等式的解集是________ （用区间表示）．【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】先将移项，然后通分，利用同解变形将不等式化为，利用二次不等式的解法求出解集．【解答】解：不等式同解于：，即，即，解得，所以不等式的解集是．故答案为：．3. 设全集________＝________，若________＝，________＝，则________（________）＝________【答案】,,,,,,,,,【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】＝；∴＝；∴＝．4. 设常数________，若函数________________＝________+________的反函数的图象经过点，则________＝________．【答案】,,,,,,【考点】反函数【解析】反函数图象过，等价于原函数的图象过，代点即可求得．【解答】依题意知：＝的图象过，∴＝，解得＝．5. 若一个球的表面积是，则它的体积是________．【答案】【考点】球的体积和表面积【解析】由球的表面积是，求出球半径为，由此能求出球的体积．【解答】解：设球的半径为，∵球的表面积是，∴，解得，∴球的体积．故答案为：．6. 函数________________＝________________的值域为________，．【答案】,,,,[函数的值域及其求法【解析】直接利用对勾函数的单调性即可求解函数的最大与最小值，从而可求值域【解答】由对勾函数的单调性可知，＝在上单调递减，在上单调递增∴当＝时，函数有最小值，∵＝，＝当＝时，函数有最大值＝故函数的值域为7. 二项式的展开式中的常数项为________．【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】求出二项式的通项公式，令的幂指数等于，求出的值，即可得到展开式中的常数项．【解答】解：二项式的通项公式为，令，解得．故常数项为，故答案为．8. 双曲线的焦点到渐近线的距离为________．【答案】【考点】双曲线的特性【解析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为，．渐近线方程为，即，所以焦点到其渐近线的距离．故答案为：．9. 若复数________．（为虚数单位），则的模的最大值为【考点】复数的模二阶行列式的定义【解析】由已知展开二阶行列式，求得复数模，利用倍角公式降幂后求最值．【解答】∵＝，∴．10. 已知个实数，，，________，________，________，________依次构成等比数列，若从这个数中任取个，则他们的和为正数的概率为________．【答案】,,,,【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】这个实数为，，，，，，，根据概率公式计算即可．【解答】由题意可得，这个实数为，，，，，，，①所选个数均为正数：＝，②所选个一正一负：，，，，，，共种，∴，11. 如图，已知半圆________的直径________＝，________是等边三角形，若点________是边________（包含端点________）上的动点，点________在弧上，且满足________________，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意可得，，结合向量数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，代入可求【解答】∵，∴，∵半圆的直径＝，是等边三角形，且边长为，由题意可得，，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，此时＝．12. 若直线________＝________与曲线________＝________恰有两个公共点，则实数________的取值范围为________．【答案】,,,,,【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】＝即，观察＝与＝可得恰有两个公共点的的取值范围为：＝【解答】＝，即，则＝与＝恰有两个公共点的的取值范围为：＝或，二、选择题已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由得：，再由“”与“”的关系判断即可【解答】由得：，又“”能推出“”又“”不能推出“”即“”是“”的充分非必要条件，关于三个不同平面，，与直线，下列命题中的假命题是（）A.若，则内一定存在直线平行于B.若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C.若，，，则D.若，则内所有直线垂直于【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．【解答】解：对于，假设，则内所有平行于的直线都平行，故正确；对于，假设内存在直线垂直于，则，与题设矛盾，故假设错误，故正确；对于，设，，在内任取一点，作于点，于点，则，，且、不可能共线．又，，∴，．又，，，∴．故正确．对于，假设，则内所有平行于的直线都平行，故错误．故选：．已知函数，函数，若函数恰好有个不同零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】化函数恰好有个不同零点为函数与函数的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵，∴，而，作函数与函数的图象如下，，结合选项可知，实数的取值范围是，故选：．已知点是抛物线＝的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若＝，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，＝，求得的值，即可求得的最大值．【解答】过（轴上方）作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得＝，由＝，则中由正弦定理可知：则＝，∴＝，设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为＝，则，即＝，∴＝＝，∴＝，即＝，则，则的最大值为，三、解答题在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线与所成角的大小．【答案】由题意得，＝，＝，，＝＝，侧取的中点，连接，，则或其补角即为所求，易证面，∴，，，∴，故异面直线与所成角的大小为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）异面直线及其所成的角【解析】（1）直接利用公式代值求解即可；（2）需取中点，利用化异面直线为共面直线，找到异面直线所成角，求解较易．【解答】由题意得，＝，＝，，＝＝，侧取的中点，连接，，则或其补角即为所求，易证面，∴，，，∴，故异面直线与所成角的大小为．已知函数＝是定义在上的奇函数．（1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】由＝，解得：＝，反之＝时，＝，＝，符合题意，故＝，由＝，时，，时，，故函数的值域是；＝在递增，故，故，故，令＝，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据函数的奇偶性求出的值，检验即可；（2）问题转化为，令＝，，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】由＝，解得：＝，反之＝时，＝，＝，符合题意，故＝，由＝，时，，时，，故函数的值域是；＝在递增，故，故，故，令＝，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界＝＝，＝．＝．（1）求的长以及原棚户区建筑用地的面积；（2）因地理条件限制，边界，不能更变，而边界，可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值．【答案】四边形中，＝，∴＝，即，解得，且＝；∴＝，∴建筑用地的面积为＝；设＝，＝，由余弦定理得＝，又＝＝，当且仅当＝时，等号成立；，得四边形所以，当且仅当＝，即为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，此时为等边三角形，面积最大，最大值为．【考点】函数最值的应用【解析】（1）由圆内接四边形对角互补，利用余弦定理求得的值，再求建筑用地的面积；（2）设＝，＝，利用余弦定理和基本不等式求得四边形面积的最大值．【解答】四边形中，＝，∴＝，即，解得，且＝；∴＝，∴建筑用地的面积为＝；设＝，＝，由余弦定理得＝，又＝＝，当且仅当＝时，等号成立；得，四边形所以，当且仅当＝，即为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，此时为等边三角形，面积最大，最大值为．设椭圆Γ：＝，点为其右焦点，过点的直线与椭圆Γ相交于点，．（1）当点在椭圆Γ上运动时，求线段的中点的轨迹方程；（2）如图，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；（3）如图，点是直线＝上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，．求证：，，成等差数列．【答案】由椭圆方程可知，设，则，由点在椭圆Γ上，有．∴线段的中点的轨迹方程；证明：当的斜率存在时，设其方程为＝，，，将＝代入椭圆方程并化简得：＝．，．∵．∴＝，即，，共线．而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上，，，共线；证明：设，，由（2）知，，∴＝．故，，成等差数列．【考点】轨迹方程椭圆的离心率【解析】（1）由椭圆方程可知，设，则，把的坐标代入椭圆Γ，即可求得线段的中点的轨迹方程；（2）当的斜率存在时，设其方程为＝，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系证明＝，即，，共线．而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，可得，，共线；（3）设，然后证明＝即可证明，，成等差数列．【解答】由椭圆方程可知，设，则，由点在椭圆Γ上，有．∴线段的中点的轨迹方程；证明：当的斜率存在时，设其方程为＝，，，将＝代入椭圆方程并化简得：＝．，．∵．∴＝，即，，共线．而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上，，，共线；证明：设，，由（2）知，，∴＝．故，，成等差数列．对于个实数构成的集合＝，记＝．已知由个正整数构成的集合＝满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．（1）求，的值；（2）求证：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”（3）若＝．求证：的最小值是，并求取最小值时，的最大值．【答案】∵由个正整数构成的集合＝满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．∴＝，＝．证明：先证明必要性：∵＝，＝，，，…，成等差数列，∴＝，∴．再证充分性：∵，，，…，为正整数数列，∴＝，＝，，，…，，∴＝，∵，∴＝，＝,…,，∴，，…，成等差数列．先证明，＝,…,，假设存在，且为最小的正整数，由题意，则，∵，∴当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，∴假设不成立，即＝,…,成立，∴＝＝，即，∴，∵＝，∴＝，若时，则当时，集合中不可能有不同元素之和为，∴，即，此时，可构造集合＝，∵当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，…∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合，∴集合＝满足题设，∴当取最小值时，的最大值为．【考点】子集与真子集等差数列的性质数列的求和【解析】（1）由题意能求出＝，＝．（2）先证明必要性：推导出＝，从而．再证充分性：推导出＝，＝，，，…，，从而＝，从而，，…，成等差数列．（3）先证明，＝,…,，推导出当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，再由反证法求出＝,…,成立，从而，，推导出，由此能求出当取最小值时，的最大值为．【解答】∵由个正整数构成的集合＝满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．∴＝，＝．证明：先证明必要性：∵＝，＝，，，…，成等差数列，∴＝，∴．再证充分性：∵，，，…，为正整数数列，∴＝，＝，，，…，，∴＝，∵，∴＝，＝,…,，∴，，…，成等差数列．先证明，＝,…,，假设存在，且为最小的正整数，由题意，则，∵，∴当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，∴假设不成立，即＝,…,成立，∴＝＝，即，∴，∵＝，∴＝，若时，则当时，集合中不可能有不同元素之和为，∴，即，此时，可构造集合＝，∵当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，…∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合，∴集合＝满足题设，∴当取最小值时，的最大值为．。
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+ 【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项. 【详解】 由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--， 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=【答案】B【解析】【分析】 根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =±，可设所求双曲线的标准方程为222x y-=k ．再把点()22,2-代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=±∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又()22,2-在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年上海市虹口区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
取 2 个，则他们的和为正数的概率为
．
11．（5 分）如图，已知半圆 O 的直径 AB＝4，△OAC 是等边三角形，若点 P 是边 AC（包
含端点 AC）上的动点，点 Q 在弧 上，且满足 OQ⊥OP，则
的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小值为
．
12．（5 分）若直线 y＝kx 与曲线 y＝2
﹣|x﹣1|恰有两个公共点，则实数 k 的取
20．（16 分）设椭圆Γ： +y2＝1，点 F 为其右焦点，过点 F 的直线与椭圆Γ相交于点 P， Q． （1）当点 P 在椭圆Γ上运动时，求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程； （2）如图 1，点 R 的坐标为（2，0），若点 S 是点 P 关于 x 轴的对称点，求证：点 Q，S， R 共线； （3）如图 2，点 T 是直线 l：x＝2 上的任意一点，设直线 PT，FT，QT 的斜率分别为 kPT， kFT，kQT．求证：kPT，kFT，kQT 成等差数列．
值范围为
．
二、选择题
13．（5 分）已知 x∈R，则“|x﹣ | ”是“x＜1”的（ ）
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A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
14．（5 分）关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l，下列命题中的假命题是（ ）
A．若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 β
A．
B．
C．
D．
三、解答题 17．（14 分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为 4，点 C 是底面直径 AB 所对弧
的中点，点 D 是母线 PA 的中点 （1）求该圆锥的侧面积与体积； （2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小．
上海市虹口区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
（第11题图）虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3．设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，则()U A B =I ð_______． 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________．8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.11.如图，已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形，若点P 是边AC （包含端点,A C ）上的动点，点Q 在弧»BC 上，且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( )（第17题图）（A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15．已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)(0,1)-∞⋃ （C ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ （D ）(,0)(0,2)-∞⋃16．已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的 焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）（A（B（C（D 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4， 点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域；(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立，求实数t 的取值范围.19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.（第19题图）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积； （2）因地理条件限制，边界,AD DC 不能变更，而 边界,AB BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧 ¼ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这 个面积最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点， 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；(2) 如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点,,Q S R 共线；(3) 如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证：,,PT FT QT k k k 成等差数列；21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.m （1）试求12,a a 的值；（第20题图1）（第20题图2）（第17题图）（2）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =， 求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1．5 2．()1,23. {}1,2 4．8 5．43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10．4711．2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为2OA =，高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 （2）以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,2,0)A -，(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r (10)分故cos ,AB CD AB CD AB CD⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r uu u r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）由()f x 是R 上的奇函数，知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得（第19题图）此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数；因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分（2）解法1：由（1）知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立， …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 （2）解法2：由（1）知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时，()0.f x >于是不等式()33xt f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x x xx x xt f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知，max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.解：（1）设,AC x =则由余弦定理，得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形，得180,B D ∠+∠=︒故cos cos 0,B D +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒， ……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答：AC (km ）,原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大，必须使APC ∆的面积最大，即点P 到AC 的距离最大，从而点P 在弦AC 的垂直平分线上，即.PA PC = ……10分于是APC ∆为等边三角形，2()AC = (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆+==即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m ……14分（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中，由余弦定理，有222227=2cos ),APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥==故APC S ∆≤当且仅当u v ==. (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD 面积的最大值为4424ADC S ∆+=+=即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m (14)20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点，得11111212.022x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是，由点11(,)P x y 在椭圆22:12x y Γ+=上，得 22(21)(2)12x y -+=，即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分证：（2）当过点F 的直线与x 轴重合时，点P 与S 重合，点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个顶点，显然点,,Q S R 共线.当过点F 的直线与x 轴不重合时，设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且则11(,),S x y -由221,1,2x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，显然0.∆> 所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =，因此点,,Q S R 共线. (10)（第20题图1）（第20题图2）证：（3）由T是直线:2l x=上的点，可设其坐标为(2,).t当过点F的直线与x轴重合时，有(P Q从而+2,,21PT QT FTtk k t k t====-故2.PT QT FSk k k+= (12)分当过点F的直线与x轴不重合时，其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y=+且有11221122,,,212121PT QT FTy t y t y t y t tk k k tx my x my----======-----由(2)知12122221,,22my y y ym m+=-=-++于是121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()2 11(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QTFTy t y t y t my y t my my y t m y y t k kmy my my my m y y m y ym m t mt t mm m t km m mm m----+---+++ +=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FSk k k+=综合上述，得,,PT FT QTk k k成等差数列.……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.解：（1）由条件，知A1S,1.A≤∈必有又12na a a<<<L均为正整数，故1=1.a……2分由条件，知A2S,≤故由AS的定义及12na a a<<<L均为正整数，2,A∈必有于是2=2.a……4分证：（2）必要性由“123,,,,na a a aL成等差数列”及12=1,=2a a得=(1,2,,).ia i i n=L此时{}1,2,3,,1,A n n=-L，满足题设条件；从而12112(1).2A nS a a a n n n=+++=+++=+L L……7分充分性 由条件知12n a a a <<<L ，且它们均为正整数，可得(1,2,,)i a i i n ≥=L ，故 112(1)2A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =L ，从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”. ……10分证：(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，，，，，，的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.L ,,, 因此当2018A S =时，n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =，n 取最小值11时，设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥事实上，若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时，其无法用A 的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时，用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，，，，的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.因此，当2018A S =时，n 的最小值为11，n a 的最大值为1009. ……18分。
【高三一模】2019上海虹口区高三一模(含答案及听力全文)
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三英语试卷. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Husband and wife. B. Secretary and boss.C. Teacher and student.D. Air hostess and passenger.2. A. On July 18th. B. On July 19th. C. On July 20th. D. On July 21st.3. A. Pastimes. B. Occupations.C. Performance skills.D. Musical instruments.4. A. Do the laundry. B. Make a promise.C. Go to the stadium.D. Clean his bedroom.5. A. He is too tired to move.B.He is willing to lend a hand.C.He suggests dining out tonight.D.He expects Marilyn to cook tonight.6. A. The man is hesitant about the offer.B.The man is not excited about the offer.C.The man is going to be a vice president.D.The man is sure he is qualified for the job.7. A. The woman can't wait to buy an iPhone.B.The woman is eager to see the new iPhone.C.The man doesn't care about the new iPhone.D.The man ordered the woman to buy him an iPhone.8. A. She showed no interest in the exhibition.B.The exhibition is unexpectedly satisfactory.C.She could not find her favourite exhibit anywhere.D.She thought the exhibition could have been better.9. A. Jane is always ready to solve problems.B.The man has already asked a favor of Jane.C.Jane is the last one who can solve the problem.D.She suggests the man should not ask Jane for help.10. A. Ellen is very worried about the reading project.B.Students don't want to spend more time reading.C.V olunteers are supposed to set aside time for reading.D.V olunteers will get free books if they fulfill the schedule.Section BDirections: Tn Section B, you will hear two short passages and one longer conversation, and you will be asked several questionson each of the passages and the conversation. The passages and the conversation will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. His childhood dream.B.The fate similar to TqbaPs.C.His experience in Pakistan.D. A sad story of a child slave.12. A. To establish a food company.B.To provide access to clean water.C.To help people get rid of poverty.D.To create impact through education.13. A. Kids should struggle for human rights.B.Kids can make a difference to the world.C.Kids are expecting too much of the world.D.Kids are too young to voice their opinions.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. It looks like a van with wings.B.Not enough pilots are available.C.It needs a large space for parking.D.It can,t be reserved on the smartphones.15. A. No model has been announced a success yet.B.The Bell Nexus will be introduced to the public soon.C.Bell is cooperating with Uber in working out models.D.Boeing and Airbus have already developed new models.16. A. Air flight. B. Flight plan. C. Flying cars. D. New helicopters.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17. A. Math. B. Sports. C. Geology. D. Biology.18. A. Because he has to hand in his list of grades first.B.Because he is eager to apply for a student loan first.C.Because he has to decide which major to choose first.D.Because he has to finish some extra work for his teacher.19. A. Robert has to pay fbr his sister's education.B.Robert took different science courses in high school.C.Robert will enter the university next spring semester.D.Robert did well in academic performance in high school.20. A. Job interview. B. Major selection.C.University application.D. Academic background.II.Grammar and VocabularySection ADirections: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; far the other blanks, use one word that best fits each blank.Innovations that will change the classroomsAmerican schools are going high-tech. Many symbols we still associate with classrooms and learning, like chalkboards, pens, notebooks 一even classrooms (21)一are quickly becoming outdated.As this week marks The Huffington Posfs 10th anniversary, weMltake a look at some products that (22)(introduce) to classrooms in the past decade and have the potential to change the educational landscape in the years (23) (come).1.Remote LearningSome schools are cutting down on snow days, thanks to technology. Rather than giving kids the day off (24) weather conditions are too dangerous for commuting, these schools are asking students to follow classroom lessons online.Although kids (25)(hope) for a snow day may not particularly appreciate these advancements in digital learning, online lessons allow these kids to complete their coursework and still interact with peers. Some students with medical conditions (26)"go" to school via video conferencing or even with the help of robots enabledwith video chat that they can control remotely.2.eBooksDiscovery Education has been replacing traditional textbooks with original "techbooks" for six years. These “techbooks" can also be switched to Spanish or French, Kinney said, (27)allows some parents who don,t speak English to help their kids with their homework.cational GamesTn-class gaming options have evolved to include more educational options. GlassLabcreates educational games that are now being used in more than 6,000 classrooms across the country. Teachers get real-time updates on students9 progress as well as suggestions on (28)subjects they need to spend more time perfecting.The Internet and other digital tools have some drawbacks. They're often distracting, (29) most developments have exciting implications fbr the future. Over the last 10 years, technological innovations have made education more interactive, immediate and (30)(personalize),——and have shown us the potential for more accessible and effective classrooms.Section BDirections: Fill in each blank with a proper word chosen from the box. Each word can be used only once. Note that there is one word more than you need.How do Cigarettes Affect the Body?Cigarettes aren't good fbr us. But how exactly do cigarettes harm us? Let's look at what happens as their ingredients make their way through our bodies, and how we benefit (31)when we finally give up smoking.Inside the airways and lungs, smoke increases the (32)of infections as well as long-lasting diseases. It does this by damaging the tiny hair-like tissueswhich keep the airways clean. That's one of the reasons smoking can lead to oxygen loss and (33)of breath.Within about 10 seconds, the bloodstream carries a stimulant called nicotine to the brain, creating the (34)sensations which make smoking highly addictive. Nicotine and other chemicals from the cigarette, at the same time, cause tightness of blood tubes, restricting blood flow. These effects on blood tubes lead to (35)of blood tube walls, increasing the possibilityof heart attacks and strokes.Many of the chemicals inside cigarettes can activate dangerous (36) ____ in the body's DNA that make cancers form. In fact, about one of every three cancer deaths in the United States is caused by smoking. And it's not just lung cancer. Smoking can cause cancer in multiple tissues and organs, as well as damaged eyesight and (37)bones. It makes it harder fbr women to get pregnant. And in men, it can cause long-term damages of body functions.But for those who quit smoking, there's a huge positive upside with almost (38)and long-lasting physical benefits. A day after ceasing, heart attack risk begins to decrease as blood pressure and heart rates (39). Lungs become healthier after about one month, with less coughing. After ten years, the chances of developing fatal lung cancer go down by 50%, probably because the body's ability to repair DNA is once again restored.There's no point pretending this is all easy to achieve. Quitting can lead to anxiety and depression. But fortunately, such effects are usually (40). Advice and support groups and moderate intensity exercise also help smokers stay cigarette-free. Thafs good news, since quitting puts you and your body on the path back to health.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four -words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context. Inc. is checking out of China's fiercely competitive domestic e-commerce market.The company told sellers on Thursday that it would no longer 41its third-party online marketplace or provide seller services on its Chinese website, . 42, domestic companies will no longer be able to sell products to Chinese consumers on its e-commerce platform.The decision marks an end to a long 43by America's e-commerce giants in the Chinese market. The firms entered the Chinese market with great attention in the early 2000s, only to 44in the face of competition from China7s faster-moving Internet giants.Amazon has been in talks to 45its e-commerce business for goods imported into China with a Chinese competitor, NetEase Inc.'s Kaola, in a stock-for-stock transaction（交易），according to a person familiar with the matter. That would remove the Amazon name from 46e-commerce in China. Neither company would confirm the progress or details of those 47, nor would they say if they are continuing.In a written statement, Amazon said it remained 48to China through its global stores, Kindle businesses and web services.Amazon China's president would leave to take on another role within the company, the company said. The China consumer-business team will report 49to the company's global team.When Amazon first entered China in 2004 with the 50of , it was the largest online seller for books, music and video there. Most Chinese consumers were using cash-on-delivery as their top form of 51. Today, Amazon China chiefly caters to customers looking fbr imported international goods such as cosmetics and milk powder and is a（n（ 52player in the booming Chinese e-commerce market.Amazon China commanded just 6% of gross market volume in the（纟田分的）cross-border e-commerce market in the fourth quarter of 2018, versus NetEaseKaola's 25% 53and the 32% held by Alibaba Group Holding Ltd.'s Tmall International.Chinese consumers are becoming more fascinatedwith 54brands. In 2011, 85% of Chinese consumers said they would always buy a foreign brand over a domestic one. By 2016, 60% of respondents said they preferred domestic over foreign brands. Shaun Rein, China Market Research's founder, said American e-commerce giants 55obstacles in China because they hadn't offered the products or user experience that consumers were looking for.41. A. assist B.expand C. operate D. tailor42. A. As a result B. By contrast C. For example D. In addition43. A. criticism B. negotiation C. struggle D. resolution44. A. interact B. withdraw C. split D. survive45. A. associate B. combine C.exchange D. supply46. A. time-consuming B. long-suffering C. ever-lasting D. consumer-facing47. A. talks B. businesses C. competitions D. instructions48. A. related B. accustomed C. exposed D. committed49. A. automatically B. directly C. regularly D. secretly50. A. breakdown B. improvement C. purchase D. participation51. A. refund B. payment C. sponsorship D. trade52. A. complicated B. critical C. original D. insignificant53. A. share B. budget C. volume D. maximum54. A. foreign B. luxurious C. domestic D. fashionable55. A. dealt with B. forgot about C. got through D. came acrossSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)People worry that developments in Artificial Intelligence, or A.L, will bring about a point in history when A.I. overtakes human intelligence, leading to an unimaginable revolution in human affairs. Or they wonder whether instead of our controlling artificial intelligence, it will control us.The situation may not arise for hundreds of years to come, but this doesn't mean we have nothing to worry about. On the contrary, The A.T. products that now exist are improving faster than most people realize and promise to fundamentally transform our world, not always fbr the better. They are only tools, not a competing form of intelligence. But they will reshape what work means and how wealth is created.Unlike the Industrial Revolution and the Computer Revolution, the A.I. revolution is not taking certain jobs and replacing them with other jobs. Instead, it is believed to cause a wide-scale elimination of jobs 一mostly lower-paying jobs, but some higher-paying ones, too.This transformation will result in enormous profits fbr the companies that develop A.T., as well as fbr the companies that adoptit. We are thus facing two developments that do not sit easily together: enormous wealth concentrated in relatively few hands and enormous numbers of people out of work. What is to be done?Part of the answer will involve educating or retraining people in tasks A.I. tools aren't good at. Artificial intelligence is poorly suited for jobs involving creativity, planning and "cross-field" thinking. But these skills are typically required by high-paying jobs that may be hard to retrain displaced workers to do. More promisine are lower-paying jobs involving the "people skills" that A.I. lacks: social workers, barmen, doormen —professions requiring human interaction. But how many barmen does a society really need?The solution to the problem of mass unemployment will involve "service jobs of love.^, These are jobs that A.I. cannot do, that society needs and that give people a sense of purpose. Examples include accompanying an older person to visit a doctor, helping at an orphanage and serving as a sponsor at charity organization. The volunteer service jobs of today, hi other words, may turn into the real jobs of the future.Other volunteer jobs may be higher-paying and professional, such as compassionate medical service providers. In all cases, people will be able to choose to work fewer hours than they do now.56.In what aspect is the A.I. revolution different from the Industrial or the Computer revolution?A.The A.I. revolution will finally become one beyond human's control.B. A.I. is believed to lead to a point in history when it takes over human intelligence.C.Higher-paying j obs will take the place of lower-paying ones in the A.I. revolution.D.It may bring about mass unemployment no matter how much employees are paid.57.The underlined word "promising" in paragraph 5 is closest in meaning to.A.promotionalB. demandingC. guaranteedD. potential58.What does the author suggest in the face of the A.I. revolution?A.It is sensible to encourage people to take volunteer jobs.B.People should be instructed to do less demanding jobs.C.The problem ofjob loss can be solved by creating lower-paying jobs.D.Jobs requiring knowledge in different fields are suitable for displaced workers.59.Which of the following may serve as the best title of the passage?A.The A.I. Revolution Creates New Job Opportunities.B.Challenges the A.I. Revolution Brings to Job MarketC. A Double-edged Sword: the A.T. RevolutionD.Interrelationship between A.T. and UnemploymentHearing Aids features advanced third generation digital technology at anunbelievably affordable Price! The HCR3 is packed with the same keytechnologies that all high end digital hearing aids share while leavingout the extra bells and whistles that increase cost and require expensiveadjustments. This helps you hear better, while saving you a lot of money.Your new HearClear HCR3 hearing aids work at a fraction of the costof name-brand hearing aids, and you won !t have to keep changing thebatteries! You will love the comfortable and lightweight Open-fit design.The HCR3 is pre-programmed for most moderate to significant hearinglosses, so you won't need professional appointments to make costlyadjustments. 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A. the HCR3 guarantees 100% refund if bought in pairs.B. it will save consumers up to $20 for a pair of hearing aids.C. humans are pre-programmed to better hear with two ears.D. people can hear triple better in various situations with two hearing aids.（C（For several decades, there has been an extensive and organized campaign intended to generate distrust in science, funded by regulated industries and libertarianthink 口〃如（自 由主义智囊团）whose interests and beliefs are threatened by the findings(B)Advanced Rechargeable Digital Hearing Aid Technology Only $229!* B(*Eachwhen you buy a pair) The new Advanced HearClearHCR3 rechargeable Q-〜 hearing aid combines advanced technology with a low price to provide you with outstanding value. 5 Star Reviews! Outstanding Product! "This product is outstanding. Dad loves it, my mom loves it, and 1 am grateful! Don't believe that you have to spend a lot of money to get a quality hearing aid" -Gilmore 8. HCR3 Features!嗜力 A) MicrophoneB) Program ButtonC) Volume ControlD) USB Charging Port &Rechargeable BatteryE) Advanced DigitalProcessorF} Receiver (Speaker) G)Sound Tube Simple. Affordable*Rechargeable Digital Hearing Aid - For Only $229!*The new HearClear™ HCR3 Rechargeable Digital♦ New Advanced Third Generation American Technology ♦ Easy ON / OFF Button ♦ Automatic Noise Reduction and Feedback Cancellation ♦ 100% Money Back Guarantee Even Better In Pairs! Your brain is designed to use both ears working together. In fact, studies show that you may be able tohear up to 3 times better in noisysituations when using two hearingaids. Buy a pair for the best resultsand maximum savings! ADV ANCEDof modern science. In response, scientists have tended to stress the success of science. After all, scientists have been right about most things, from the structure of the universe to the relativity of time and space.Quoting successes isn't wrong, but for many people it's not persuasive. What is typically declared to be the scientific method—develop a supposition, then design an experiment to test it—isn't what scientists actually do. Science is active so that new methods get invented and old ones get abandoned. The scientific method doesn't always work. False theories can produce true results, so even if an experiment works, it doesn't prove that the theory it was designed to test is true.If there is no identifiable scientific method, then what is the guarantee for trust in science?The answer is the methods by which those claims are evaluated. A scientific claim is never accepted as true until it has gone through a long process of examination by fellow scientists. Until this point, scientific feedback is typically fairly friendly. But the next step is different: once the paper is ready, it is presented to a scientific journal, where things get a whole lot tougher. Editors deliberately send scientific papers to people who are not friends or colleagues of the authors, and the job of the reviewer is to find errors or other inadequacies. We call this process “peer review" because the reviewers are scientific peers but they act in the role of a superior who has both the right and the obligation to find fault. It is only after the reviewers and the editor are satisfied that any problems have been fixed that the paper is accepted for publication and enters the body of "science."Does this process ever go wrong? Of course. Scientists are human. But if we look carefully at historical cases where science went wrong, typically there was no agreement reached by all. Some people argue that we should not trust science because scientists are "always changing their mmds.,, While examples of truly settled science being overturned are far fewer than is sometimes claimed, they do exist. But the beauty of this scientific process is that it explains what might otherwise appear paradoxical^JW W （：that science produces both（新颖T生）and stability. New observations, ideas, interpretations introduce novelty; transformative questioning leads to collective decisions and the stability of scientific knowledge. Scientists do change their minds in the face of new evidence, but this is a strength of science, not a weakness.63.Distrust in science has been found because.A.scientists' citing successes isn't persuasive fbr many people to some extentB.most scientists have tended to lay too much emphasis on the success of scienceC. a wide-ranging and organized campaign has been founded in some industries and think tanksD.someone's benefits and beliefs are endangered by the findings of modern science64.Which of the following statements will the author agree with about a scientific method?A. A scientific method doesn't necessarily take effect because science is changing.B. A scientific method is not right because it isn't what scientists actually do.C. A successful experiment can guarantee the truthfulness of a claim by a scientific method.D.True theories can produce folse results because the scientific method doesn't work.65.What purpose does "peer review" in evaluating a scientific claim mainly serve?A.The scientific claim can be completely accepted by the reviewers in the same field.B.The scientific peers can draw right conclusions by finding its faults or other inadequacies.C.The scientific claim can be published and recognized as true in science.D.The scientific paper can be successfully submitted to a scientific journal.66.It can be inferred from the last paragraph that.A.Not all the claims about the falsehood of well-established science lead to its being overturnedB.It is inevitable that science sometimes goes wrong because it appears paradoxicalC.The beauty of science lies in the paradox of being both novel and stableD.Science is not trustful because scientists always change their mindsSection CDirections: Read the passage carefully. Fill in each blank with a proper sentence given in the box. Each sentence can be used only once. Note that there are two more sentences than you need.Is Multitasking Always Good?Not only do smartphones provide unrestricted access to information, they provide perfect opportunities to multitask. Any activity can be accompanied by music, selfies or social media updates. Of course, some people pick poor times to tweet or text, and lawmakers have stepped in. 67 In Honolulu, it's illegal to text or even look at your phone while crossing the street, and in the Netherlands they've banned texting while biking.68 You need to sei仁regulate. Understanding how the brain multitasks and why we find multitasking so appealing will help you realize the danger of pulling out your phone.Multitasking feels like doing two things at the same time, so it seems the danger lies in asking one mental process to do two unrelated things 一for texting drivers, watching the screen and the road.Twenty states have instituted bans on driving using a hand-held phone while still allowing hands-free calls. Yet hands-free or hand-held makes no difference. 69 The real problem is the switch of attention between the conversation and the road, and that affects performance.People sense this, and when on the phone they drive slower and increase their following distance, but they are for too confident that these measures reduce risks. This overconfidence extends to other activities. A 2015 survey showed that a majority of students who use social media, text or watch TV while studying think that they can still comprehend the material they're studying.People don't multitask merely because they see no harm in it; they see benefits. 70Most people will still choose to multitask. But they should, at the very least, be fully aware of how that choice affects them and the potential consequences for themselves and others. They need to pay attention to how much 一or how little 一they are paying attention.IV. Summary WritingDirections: Read the following passage. Summarize the main idea and the main point(s) of the passage in no more than 60 M^ords. Use your own words as far as possible.71.The Zeigarnik EffectHave you ever found yourself thinking about a partially finished project for school or work when you were trying to focus on other things? Or perhaps you wondered what would happen next in your favorite TV show or film series. If you have, you've experienced the Zeigarnik effect. You tend to remember unfinished tasks better than finished tasks. Knowledge of the Zeigarnik effect can be put into use in everyday life.The effect is especially well suited fbr helping overcome procrastination or delaying an action to a later time. We often put off big tasks that seem overwhelming. However, the Zeigarnik effect suggests that the key to overcoming procrastination is to just get started. The first step could be something small and seemingly insignificant. In fact, it's probably best if ifs something fairly easy.The Zeigarnik effect can be useful fbr students who are studying for an exam. The effect tells us that breaking up study periods can actually improve recall. So instead of cramming for an exam all in one sitting, breaks should be scheduled in which the student focuses on something else. This will cause intrusive(侵入的)thoughts, enabling students to rehearse and consolidate the information that must be remembered, leading to better recall when they take the exam.The Zeigarnik effect also points to reasons why people may experience mental health problems. If an individual leaves important tasks incomplete, the intrusive thoughts that result can lead to stress, anxiety, difficulty sleeping, and emotional distress. Conversely, completing a task can give an individual a sense of accomplishment and lead to a feeling of closure that can improve psychological well-being.The Zeigarnik effect can actually be used to positively impact your work productivity.。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市虹口区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试卷
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 试卷 2019年12月考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++L 则5________.a =8. 设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=u u u r u u u r _________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l 与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥u u u u r ； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-L 试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 3A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC ==u u u r u u u u r ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r 因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =u u u u r是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-u u u u r,……6分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r于是，直线1CC 与圆柱1OO底面所成角的大小为 …… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以),OQ m=-u u u r于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而2)).F R m==-u u u u r由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-u u u u r故2.F R l⊥u u u u r……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅=……12分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+L L结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=--L L L 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++L L L 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2019年上海市高三数学一模分类汇编：立体几何
2（2019杨浦一模）. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 5（2019普陀一模）. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 5（2019长嘉一模）. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 5（2019虹口一模）. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为5（2019青浦一模）. 已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为6（2019杨浦一模）. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm8（2019浦东一模）. ，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为8（2019崇明一模）. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 9（2019普陀一模）. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为9（2019闵行一模）. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为10（2019金山一模）. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是10（2019静安一模）. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）10（2019宝山一模）. 将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是14（2019徐汇一模）. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B. 163C. 163D. 128314（2019金山一模）. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14（2019虹口一模）. 关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14（2019奉贤一模）. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14（2019闵行一模）. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14（2019浦东一模）. 下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行15（2019黄浦一模）. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 615（2019青浦一模）. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. mα，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15（2019普陀一模）. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥17（2019浦东一模）. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=.（1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.17（2019金山一模）. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2019黄浦一模）. 如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30︒.（1）求该量杯的侧面积S ；（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？17（2019奉贤一模）. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的 体积是83，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.17（2019青浦一模）. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =.（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.17（2019闵行一模）. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小.17（2019宝山一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.17（2019崇明一模）. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.17（2019徐汇一模）. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.17（2019虹口一模）. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.17（2019杨浦一模）. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18（2019静安一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA AC AB ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18（2019长嘉一模）. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19（2019普陀一模）. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？。
2019届上海高三数学一模汇编(60页)
2019一模集合命题不等式专题一、解答题（宝山区一模2）集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________. 答案：(]1,3- (虹口区一模2)不等式的解集为________. 【答案】(虹口区一模3)设全集，若，则________. 【答案】（浦东新区一模1） 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________. 答案：()12,（青浦区一模1）已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-（青浦区一模2）写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm < （青浦区一模3）不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案：(2,3)-（徐汇区一模2）已知全集U R =，集合{}2|,,0A y y x x R x ==∈≠，则U C A =_________. 答案：(],0-∞（徐汇区一模3）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_________.答案：（杨浦区一模1）设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =21xx >-1,12⎛⎫⎪⎝⎭U R ={2,1,0,1,2}A =--{}2|log (1)B x y x ==-()U A C B ={}1,2答案： {1,2}（杨浦区一模5）若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-（杨浦区一模11）当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2（长宁区一模1）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =答案：}6,4,3,2,1{（长宁区一模12） 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案：3（崇明区一模2）已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ . （松江区一模1） 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)(虹口区一模13)已知，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A（宝山区一模14）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件..A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要（浦东新区一模13） “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件x R ∈1233x -<1x <答案： A（长宁区一模13）已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B（崇明区一模13）若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < （崇明区一模14 ）“2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件（松江区一模14）若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要三、解答题（长宁区一模17） 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<；（2）442120x x-⋅->答案：（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分2019一模函数专题一、填空题（宝山区一模4）方程()ln 9310x x +-=的根为__________. 答案：0x =（宝山区一模8）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________. 答案：()x f x e -=-（宝山区一模10）将函数y =的图像绕y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________. 答案：23π(虹口区一模4)设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________. 【答案】(虹口区一模6)函数的值域为__________.【答案】(虹口区一模12)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________. 【答案】（浦东新区一模5）若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____. 答案：()13,（浦东新区一模10）已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.答案：(,-∞a R ∈3()log ()f x x a =+()2,1a =88()([2,8])f x x x x=+∈y kx =2|log (2)|2|1|x y x +=--k (,0]{1}-∞（浦东新区一模12）已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[)2,6∈-a（普陀区一模1）函数()2f x x=的定义城为 . 答案： (,0)(0,1]-∞（普陀区一模3）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= . 答案： 2-（普陀区一模12）设a 为常数,记函数()1log 2axf x a x=+- （0a >且1,0a x a ≠<< ）的反函数为()1f x -，则1121f a -⎛⎫+⎪+⎝⎭111232++=212121a f f f a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：2a（青浦区一模11）已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（徐汇区一模9）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_________. 答案：()[]1310,0,lg2x gx x -=-∈（徐汇区一模11）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 答案：(]()1,34+∞，（杨浦区一模8）若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-（长宁区一模6） 已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞（长宁区一模8） 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[（崇明区一模9）若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a .（崇明区一模11）设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .（松江区一模3）已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案：2（松江区一模9）若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 4（松江区一模12）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 答案：二、选择题(虹口区一模15)已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】B（宝山区一模15）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形 .C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数答案：A（普陀区一模16）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2,012log ,14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[]-45，上零点的个数是（ ） .A 5 .B 6 .C 7 .D 8 答案：D（青浦区一模16）记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902（徐汇区一模15）对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x -+≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数:①sin y x =；②y = ）100100[2,2]-2()1f x ax x =-+1, 1(), 1 1 1, 1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-a (0,)+∞(,0)(0,1)-∞1(,)(1,)2-∞-+∞(,0)(0,2)-∞.A ①、②均不是“蝶型函数” .B ①、②均是“蝶型函数”.C ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数 .D ①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数” 答案：B（杨浦区一模16）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 答案：A（杨浦区一模15）已知x x f θsin log )(=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 答案：D（杨浦区一模13）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C（长宁区一模16）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案：C（崇明区一模16）函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（宝山区一模19）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数213++-=t bt y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风最的最小值. 答案：（1）203（2）256(虹口区一模18)已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故据此，，即值域为 ⑵在显然是单调增函数，，所以，故，令，则随的增大而增大， 最大值为，所求范围是16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠R a ()f x ()33x t f x ⋅≥-[1,2]x ∈t (0)0f =3a =3a =16()133x f x +=-+23113131x x x -=-=++3131()()3131x x x x f x f x -----==-=-++3a =1()301()x f x f x +=>-()(1,1)f x ∈-(1,1)-32()131f x =-+[1,2]x ∈13[,]25x ∈31(33)31x xx t +≥-⋅-max31(33)31x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦31,[2,8]xm m -=∈31(33)(2)31x xx m +-⋅--24m m m m+⋅=-m 152∴15[,)2+∞（浦东新区一模19）（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：答案：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分）综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）（普陀区一模21）已知函数()2xf x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值. 答案：（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.（青浦区一模19）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数. 答案：（1）[4,4]-；（2）略.（徐汇区一模18）已知函数()22ax f x x -=+，其中a R ∈. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0+∞，上是单调减函数.答案：（1）1,2;1,20;1,02a x a x a x x =-≠->--<≤<-≥<-或 （2）1a <-（杨浦区一模19） 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575.（长宁区一模20）已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.答案：（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<<…………………………5分 所以12ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分（崇明区一模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. （松江区一模18）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值. 答案：解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分2019一模三角专题一、填空题（宝山区一模1）函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________. 答案：π（宝山区一模9）已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则x y +=__________. 答案：62or ππ-（宝山区一模11）章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒,求边c 。
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sinx 12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】【分析】 计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】 ()sin 12sin x f x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确； 根据图像知：①③不正确；故选：D .本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.2．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y y x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃- 【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】 ()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U .故选：B .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．6．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++= 【答案】A【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=. 故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.9．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x =- 【答案】C【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】 因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 【答案】B【解析】【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.11．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C -D + 【答案】C【解析】【分析】 利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: )()())1111111222ii i z i i i i ---=====-+++-， 故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.12．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】【分析】 根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市13区2019届高三上期末(一模)考试数学试题分类汇编立体几何
上海市13区2019届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）将函数y =的图像绕着y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是 ．2、（崇明区2019届高三）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于3、（虹口区2019届高三）关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β4、（金山区2019届高三）在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是5、（浦东新区2019，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 6、（浦东新区2019届高三）下列命题正确的是（ ） A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行7、（普陀区2019届高三） 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为8、（青浦区2019届高三）已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为9、（徐汇区2019届高三）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）（A ）16 （B ） （C ）163 （D ）128310、（杨浦区2019届高三）若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm11、（长宁区2019届高三）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 12、（闵行区2019届高三）如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为13、（闵行区2019届高三）已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b ⇐β，且b ∥αB. b ⇐α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14、（青浦区2019届高三）对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ） A. 若m ⇐α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交 B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β C. m ⇐α，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线参考答案一、填空、选择题1、π322、33、D4、2π5、3π6、D7、 8、12π 9、C 10、12π 11、π3312、12 13、D 14、C二、解答题 1、（宝山区2019届高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点．（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小．2、（崇明区2019届高三）如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==， 直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积； （2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.3、（奉贤区2019届高三） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的体积是1A D 与1AB 所成角的大小.4、（虹口区2019届高三）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.5、（金山区2019届高三） 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积； （2）异面直线PM 与AC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）6、（浦东新区2019届高三）已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=. （1）求异面直线1A B 与11B C 所成角； （2）求点1B 到平面1A BC 的距离.7、（普陀区2019届高三）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）. （1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？8、（青浦区2019届高三）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =. （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.9、（徐汇区2019届高三）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1. （1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？ （2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.10、（杨浦区2019届高三）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB的中心，点E 在边BC 上移动. （1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .11、（长宁区2019届高三） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.参考答案二、解答题1、解：（1）因为正方形ABCD 的边长为2，所以4ABCD S =，…………2分11633P ABCD ABCD V S PA -=⋅=， …………………………………4分因为E 为侧棱PC 的中点，所以1823P ABCD V V -==.…………………………………………………6分（2）建立空间直角坐标系，(0,0,0)A ，如图所示：(2,0,0)B ，(0,0,4),(2,2,0),(1,1,2)P C E ，……8分()()()1,1,2,2,2,4,2,0,0,BE PC DC =-=-=u u u r u u u r u u u r……………9分设平面PCD 的一条法向量为(,,)n a b c =r02240020PC n a b c CD n a ⎧⋅=⇒+-=⎪⎨⋅=⇒=⎪⎩u u u r r u u ur r ， 令1c =，则(0,2,1)n =r，……………………………………………………11分故sin BE n BE nθ⋅==u u u r ru u u r r ……………………………………………13分 所以，直线BE 与平面PCD所成角大小.……………………14分 17. 2、解：（1）联结AC ， 因为1AA ABCD ⊥平面，所以1A CA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，……………………………………2分 所以14ACA π∠=，所以1AA =4分所以11113A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//A D B C所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………3分在1BA D V中，12cos 3BA D ∠==所以12arccos 3BA D ∠=……………………………………6分 所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3……………………………………7分3、4、5、6、解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ，由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,B A ，()01111,,C B -=，…………4分因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u =，则B A n ,BC n 1⊥⊥．又()011,,BC -=，()1011-=,,B A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分 所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 7、8、解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，故14AA =，∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=，体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E , 1(0,0,4)AA =u u u r ，3(,3,2)2BE =--u u u r ， 设1AA uuu r 与BE u u u r 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BE AA BE α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 又1AA uuu r 是平面ABCD 的一个法向量，故sin cos θα==，θ=． 所以直线BE 与平面ABCD所成的角为． 9、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点，所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分由于'''','''90A B B C A B C =∠=o于是'''45A C B ∠=o ， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45o . ………….14分10、解：（1） …… 6分（2）只需证明因为，故，又，故，所以； ……10分 中，，点是的中点，故 ……12分 所以，，故无论点在边的何处，都有. ……14分11、（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分 在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分 由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD=︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，1133P ADE ADE V PA S -∆=⋅⋅=AF PBC ⊥面PA ABCD ⊥面PA BC ⊥BC AB ⊥BC AB ⊥面P BC AF ⊥PAB ∆PA AB =F PB AF PB ⊥AF PBC ⊥面E BC AF PE ⊥ABCD为直角三角形．…………………………………7分所以PBCPDBC由鳖臑的定义知，四面体为鳖臑．………………………8分。
2019学年第一学期虹口区高三数学试卷含答案
上为增函数，则
的一个值可以是
（B） 3
（C） 2 3
（D） 2 3
15．已知函数
f
(x)
x2 ,
g(x)
xt
, 定义函数 F (x)
f
( x),
g(x),
当 当
f f
(x) (x)
g( g(
x), x).
若对任意的
x
R,
都有
F(x) F(2 x)成立，则 t 的取值为
（2）求数列an 的通项公式；
（3）设 Sn
22 a2
32 a3
⋯
n2 an
,
试问Sn
2n
是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.
12. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 当x 0, 2时, f (x) x(2 x), 且对任意的 xR, 均有 f (x 2) 2 f (x). 若不等式 f (x) 15 在 x, a 上恒成立，则实数 a 的最大值为________.
2
二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答 案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分.
1.
设全集U R,
若
A
x
2x 1 x
1,
则
∁ U
A
_______．
2．若复数 z
3i 1i
（ i 为虚数单位），则
z
_________.
3.
设 x R,则 x
x
上海市虹口区达标名校2019年高考一月质量检测数学试题含解析
上海市虹口区达标名校2019年高考一月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤3．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．33C 3D ．34．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()1,25．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3B ．2C ．4D ．57．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ） 变量x 01 2 3 变量y m3 5.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.58．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人9．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-10．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22B ．2C ．4D ．311． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降12．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A ．{}2345，，，B ．{}234，，C ．{}1234，，，D ．{}01234，，，， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高三数学一模典题库(带参考答案)
2019届高三数学一模典题库一、填空题1.集合1. [19届宝山一模2] 集合U =R ，集合{|30}A x x =->，{|10}B x x =+>，则UBA =答案：(]1,3-2. [19届闵行一模1]已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则UA =答案： (0,3)3. [19届崇明一模2]已知集合{|12}A x x =-<<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =答案：{0,1}4. [19届奉贤一模1]已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =答案： R5. [19届虹口一模3]设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =答案： {1,2}6. [19届金山一模1]已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A B =答案： {5,6}7. [19届浦东一模1]已知全集U =R ，集合(,1][2,)A =-∞+∞，则UA =答案： (1,2)8. [19届青浦一模1]已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-9. [19届松江一模1]设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)10. [19届徐汇一模2]已知全集U =R ，集合2{|,,0}A y y x x x -==∈≠R ，则UA =答案： (,0]-∞11. [19届杨浦一模1]设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =答案：{1,2}12. [19届长嘉一模1]已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB =答案： {1,2,3,4,6}2.命题、不等式13. [19届虹口一模2]不等式21xx >-的解集为 答案： (1,2)14. [19届金山一模4]不等式|32|1x -<的解集为 答案： 1(,1)315. [19届青浦一模2]写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm <16. [19届徐汇一模3]若实数x 、y 满足1xy =，则222x y +的最小值为答案：17. [19届杨浦一模5]若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-3.函数18. [19届崇明一模11]设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为答案：[2,82]ππ--19. [19届浦东一模10]已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为答案： (,-∞20. [19届普陀一模1]函数2()f x x=的定义域为 答案： (,0)(0,1]-∞21. [19届普陀一模3]设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 答案： 2-22. [19届奉贤一模9]函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a的取值范围为 答案： [2,1]-23. [19届闵行一模8]已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]， 则a b +的取值范围是 答案： [2,4]24. [19届松江一模12]已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为答案： 100100[2,2]-25. [19届虹口一模6]函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为答案：26. [19届青浦一模11]已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 答案： 1(0,]227. [19届徐汇一模11]已知λ∈R ，函数24()43x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 答案： (1,3](4,)+∞28. [19届杨浦一模11]当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为答案： 229. [19届长嘉一模7]已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案： (0,)+∞30. [19届长嘉一模8]已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案： [1,2)4.指数函数、对数函数31. [19届宝山一模4]方程ln(931)0x x +-=的根为 答案：0x =32. [19届宝山一模8]函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x = 答案：()x f x e -=-33. [19届崇明一模9]若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 答案：634. [19届奉贤一模3]设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -=答案： 2log (1)x -，1x >35. [19届虹口一模4]设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 答案： 836. [19届虹口一模12]若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k取值范围为 答案： (,0]{1}-∞37. [19届金山一模6]已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=答案： 1638. [19届金山一模11]设函数21()lg(1||)1f x x x=+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 答案： 2(,)(2,)5-∞+∞39. [19届闵行一模4]方程110322x=-的解为 答案： 2log 5x =40. [19届浦东一模3]不等式2log 1021x >的解为答案： (4,)+∞41. [19届浦东一模5]若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点 答案： (1,3)42. [19届普陀一模10]某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1） 答案： 10.443. [19届浦东一模12]已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为 答案： [2,6)-44. [19届普陀一模12]记a 为常数，记函数1()log 2a xf x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121af f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++答案： 2a45. [19届青浦一模3]不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案： (2,3)-46. [19届松江一模3]已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案： 247. [19届松江一模9]若|lg(1)|0()sin 0x x f x xx ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 448. [19届徐汇一模9]已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数()()g x f x =（[1,2]x ∈），则()g x 的反函数为 答案： 1()310x g x -=-，[0,lg 2]x ∈ 49. [19届杨浦一模8]若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为 答案： [1,0]-5. 三角函数50. [19届宝山一模1]函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为 答案：π51. [19届宝山一模9]已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += 答案：6π或2π-52. [19届闵行一模10]在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C =答案： 053. [19届杨浦一模2]已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 答案： 6π54. [19届宝山一模11]张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c .显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，，那么a 的可能取值是 （只需填写一个合适的答案）答案：2a =或a ≥55. [19届奉贤一模7]在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若222()a b c ++=，则角B 的值为 （用反正切表示）答案：56. [19届浦东一模7]在ABC △中，角A 、B 、C 对边是a 、b 、c . 若22(2a b =+⋅，b c =，则A = 答案：56π57. [19届普陀一模2]若1sin 3α=，则cos()2πα+= 答案： 13-58. [19届普陀一模8]设0a >且1a ≠，若log (sin cos )0a x x -=， 则88sin cos x x += 答案： 159. [19届青浦一模4]在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()πθ+的值为 答案： 43-60. [19届青浦一模8]设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω= 答案：3261. [19届松江一模8]在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积=答案：62. [19届杨浦一模10]已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为 答案： π63. [19届长嘉一模]已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=答案：6. 数列64. [19届宝山一模12]如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意n ∈*N ，都有n n b a kd -= ，其中k 为常数，k ∈*N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim()3n n n a b a b a b →∞++⋅⋅⋅+=，则k = 答案：3265. [19届崇明一模12]已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立.函数1()|sin ()|n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 答案：(1)2n n π- 66. [19届闵行一模5]等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a += 答案： 25667. [19届闵行一模12]若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅（其中121max{,,,}n a a a -⋅⋅⋅表示121,,,n a a a -⋅⋅⋅中的最大项），有以下结论：① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号） 答案： ①②③④68. [19届浦东一模6]已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++=答案： 1269. [19届松江一模4]已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 答案： 1212. [19届杨浦一模12]设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n nT b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为 答案： 3或470. [19届长嘉一模11]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为 答案： 1{}371. [19届长嘉一模12]已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案： 37. 向量72. [19届虹口一模11]如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC 是等边 三角形，若点P 是边AC （包含端点A 、C ）上的动点， 点Q 在弧BC 上，且满足OQ OP ⊥，则OP BQ ⋅的最 小值为 答案： 273. [19届金山一模12]已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为 答案：1374. [19届闵行一模11]已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且3παβ-=，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的最大值为 答案：31+75. [19届青浦一模12]已知平面向量a 、b 、c 满足||1a =，||||2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，|(1)|a b c λλ---的取值范围是答案： 1,3]76. [19届松江一模7]若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为 答案：6π77. [19届松江一模10]已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC ，则AB AC ⋅的最小值是 答案： 12-78. [19届松江一模11]已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② A 、B 两点间的距离为1(x x -； ③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号） 答案： ①③79. [19届长嘉一模4]已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m = 答案： 6-8. 解析几何80. [19届崇明一模7]圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 答案：281. [19届闵行一模7]已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离为答案：82. [19届奉贤一模2]双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =，则u v=答案： 383. [19届普陀一模4]若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =，则直线l 的方程为 答案： 1y x =-84. [19届普陀一模11]已知点(2,0)A -，设B 、C 是圆22:1O x y +=上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC =+-（其中t 为实数），则AB AC ⋅= 答案： 385. [19届松江一模6]已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为答案： 186. [19届金山一模2]抛物线24y x =的准线方程是 答案： 1x =-87. [19届奉贤一模8]椭圆2214x y t+=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 答案： 25(3,4)(4,)488. [19届奉贤一模11]点P 19=上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是158，(0,0)O ，(4,0)F ，若OP xOF yOE =+，则x y +的最大值是 答案：472089. [19届奉贤一模12]设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y +=-的两点，则1221x y x y -的最大值是答案：290. [19届虹口一模8]双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为答案：91. [19届浦东一模2]抛物线24y x =的焦点坐标为 答案： (1,0)92. [19届徐汇一模5]已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是答案：221520x y -= 93. [19届徐汇一模6]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，(3,1)n =是l 的一个法向量，已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为 答案： 2-94. [19届徐汇一模12]已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为 答案： 895. [19届杨浦一模3]已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 答案：2π9. 复数96. [19届崇明一模3]若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z = 答案：12i -97. [19届奉贤一模5]若复数(i)(34i)z a =++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z 的共轭复数的模等于答案：98. [19届闵行一模3]若复数z 满足(12i)43i z +=+（i 是虚数单位），则z = 答案： 2i -99. [19届虹口一模9]若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为答案：12100. [19届松江一模2]若复数z 满足(34i)43i z -=+，则||z = 答案： 1101. [19届金山一模5]若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =答案：102. [19届浦东一模4]已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为答案：103. [19届青浦一模6]如图所示，在复平面内，网格中的每个正方形的边长都为1，点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则21||z z = 答案：5104. [19届徐汇一模1]若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 答案： 210. 立体几何105. [19届宝山一模10] 将函数21y x =--的图像绕着y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是 答案：23π106. [19届普陀一模5]若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 答案： 4107. [19届普陀一模9]如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4， 记1111AC B D F =，11BC B C E =，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为 答案： 322108. [19届杨浦一模6]若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于3()cm答案： 12π109. [19届浦东一模8]已知圆锥的体积为33π，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 答案： 3π110. [19届闵行一模9]如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的 所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为 答案： 12111. [19届崇明一模8]设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 答案：33π112. [19届虹口一模5]若一个球的表面积为4π，则它的体积为 答案：43π113. [19届金山一模10]在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是答案： 2π114. [19届青浦一模5]已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为 答案： 12π115. [19届长嘉一模9]如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD =m （精确到1m ）答案： 21211. 排列组合、概率、二项式定理116. [19届宝山一模5]从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少有一名代表，则各班的代表数有 种不同的选法（用数字作答） 答案：20117. [19届崇明一模4]281()x x-的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答） 答案：56-118. [19届闵行一模6]5(12)x -的展开式中3x 项的系数为 （用数字作答） 答案： 80-119. [19届长嘉一模3]在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）答案：20120. [19届长嘉一模10]若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为 答案：920121. [19届金山一模7]从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 （结果用数值表示） 答案：13122. [19届普陀一模6]在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示） 答案：712123. [19届普陀一模7]设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x -+++++⋅⋅⋅+），则3a = （结果用数值表示） 答案： 0124. [19届金山一模8]在31021()x x-的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示）答案： 210125. [19届崇明一模10]2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有 种 答案：1518126. [19届奉贤一模4]在52()x x-的展开式中，x 的系数为答案： 40127. [19届奉贤一模6]有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是 答案：15128. [19届奉贤一模10]天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年 答案： 戊戌129. [19届虹口一模7]二项式62)x的展开式的常数项为答案： 60130. [19届虹口一模10]已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 答案：47131. [19届浦东一模9]已知二项式n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为 答案：358x 132. [19届青浦一模9]2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名男性，则不同的选派方案共有 种 答案： 80133. [19届徐汇一模7]已知21(2)n x x-（n ∈*N ）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是 （结果用数值表示） 答案： 84-134. [19届徐汇一模8]上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A +成绩， 其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为 人 答案： 15135. [19届杨浦一模4]若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n =答案： 312. 行列式、矩阵、程序框图136. [19届宝山一模6]关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 答案：8-137. [19届闵行一模4]方程110322x =-的解为答案： 2log 5x =138. [19届松江一模5]若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为答案： 1-139. [19届徐汇一模4]若数列{}n a 的通项公式为2111n na n n=+（n ∈*N ），则lim n n a →∞= 答案： 1-140. [19届长嘉一模2]已知1312x -=，则x =答案： 1141. [19届杨浦一模9]在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是答案： 1x =-13. 数学归纳法、极限142. [19届虹口一模1]计算：153lim 54n nn nn +→∞-=+答案： 5143. [19届浦东一模11]已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)n n n na n a n a ++=-++()n ∈*N ，11a =，22a =，若1limn n na A a +→∞=，则A =答案： 1009144. [19届宝山一模7] 如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =答案：23-145. [19届闵行一模2] 2221lim 331n n n n →∞-=++答案：23146. [19届崇明一模1]计算：20lim 31n n n →∞+=+答案：13147. [19届金山一模3]计算：21lim32n n n →∞-=+答案：23148. [19届金山一模9]无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 答案： (2,4)149. [19届青浦一模10]设等差数列{}n a 满足11a =，0n a >，其前n 项和为n S，若数列也为等差数列，则102limn n nS a +→∞=答案：14150. [19届杨浦一模7]在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 答案： 11(0,)(,1)2214. 参数方程、线性规划二、选择题1.命题、不等式151. [19届崇明一模13]若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ）A.11a b> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b < 答案：D152. [19届虹口一模13]已知x ∈R ，则“12||33x -<”是“1x <”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 答案： A153. [19届闵行一模13]若a 、b 为实数，则“1a <-”是“11a>-”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 答案： B154. [19届松江一模14]若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b >⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 答案： B155. [19届长嘉一模13]已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案： B2.函数156. [19届宝山一模15]关于函数23()2f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数 答案： A157. [19届虹口一模15]已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞C. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞答案： B158. [19届青浦一模16]记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902 答案： D159. [19届徐汇一模15]对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x =；②y =；下列结论正确的是（ ）A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数” 答案： B160. [19届杨浦一模15]已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤答案： D161. [19届杨浦一模16]已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7) 答案： A162. [19届长嘉一模16]某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案： C3.指数函数、对数函数163. [19届金山一模16]已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 答案： A164. [19届普陀一模16]设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 答案： D4. 三角函数165. [19届宝山一模14] “[,]22x ππ∈-”是“sin(arcsin )x x =”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 答案： B166. [19届奉贤一模13]下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ） A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-答案： C167. [19届普陀一模14]函数2cos(2)4y x π=+的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称答案： B168. [19届松江一模15]将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中12,[0,4]x x π∈，则12x x 的最大值为（ ） A. 9 B.375C. 3D. 1答案： A169. [19届徐汇一模13]设θ∈R ，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 答案： A170. [19届杨浦一模13]下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C5. 数列171. [19届崇明一模16]函数()f x x =，2()2g x x x =-+，若存在129,,,[0,]2n x x x ⋅⋅⋅∈，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则n 的最大值是（ ）A. 11B. 13C. 14D. 18 答案：B172. [19届徐汇一模16]已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n ∈*N ，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A. 2 B. 53 C. 32D. 43 答案： D173. [19届奉贤一模15]各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞D. (0,2)答案： B6. 向量174. [19届崇明一模15]已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A. a b ⋅B. b c ⋅C. a c ⋅D. 不能确定的答案：B175. [19届浦东一模16]已知点(1,2)A -，(2,0)B ，P 为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. [1,7]B. [1,7]-C. [1,3+D. [1,3-+ 答案： A176. [19届闵行一模16]在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM ⋅的取值范围为（ ）A. [2,2]-B. [C. [D. [ 答案： A177. [19届长嘉一模15]已知向量a 和b 夹角为3π，且||2a =，||3b =，则(2)(2)a b a b -⋅+=（ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 答案： D7. 解析几何178. [19届宝山一模16]设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则12|2|MF MF MN +-的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 以上都不对 答案： B179. [19届普陀一模13]下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)± C. 实轴长为12 D. 顶点坐标为(6,0)± 答案： B180. [19届虹口一模16]已知点E 是抛物线2:2C y px =(0)p >的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP 中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅，则μ的最大值为（ ）A.B. C.D. 答案： C181. [19届金山一模13]已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2m >或1m <-B. 2m >-C. 12m -<<D. 2m >或21m -<<- 答案： D182. [19届闵行一模15]已知函数y =（x a ≥，0a >，0b >）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不确定 答案： B183. [19届青浦一模14]长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B. 2216428x y += C. 2212516x y += D. 221167x y += 答案： D184. [19届松江一模13]过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y +-= B. 210x y ++= C. 220x y -+= D. 210x y --= 答案： A185. [19届松江一模16]对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36-C. 36π+D. 36π- 答案： D8. 复数186. [19届崇明一模14] “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚根”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 答案：B187. [19届金山一模15]欧拉公式i e cos isin xx x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018ie表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 答案： A188. [19届浦东一模13] “14a <”是“一元二次方程20x x a -+=有实数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案： A9. 立体几何189. [19届奉贤一模14]若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 答案： A190. [19届浦东一模14]下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 答案： D191. [19届徐汇一模14]魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B.C.163 D. 1283答案： C192. [19届普陀一模15]若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥ 答案： C193. [19届青浦一模15]对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. m α，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线 答案： C194. [19届闵行一模14]已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交 答案： D195. [19届虹口一模14]关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β答案： D196. [19届金山一模14]给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 答案： B10. 排列组合、概率、二项式定理197. [19届宝山一模13]若等式232301231(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中0a 、1a 、2a 、3a 为实常数，则0123a a a a +++=（ ）A. 2B. 1-C. 4D. 1 答案： D198. [19届青浦一模13] “4n =”是“1()n x x+的二项展开式存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案： A199. [19届杨浦一模14]某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.310 B. 35 C. 25 D. 23答案： B200. [19届浦东一模15] 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种A. 72B. 36C. 64D. 81 答案： B201. [19届奉贤一模16]若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A. 25 B. 50 C. 51 D. 100 答案： B11. 行列式、矩阵12. 其它202. [19届长嘉一模14]有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是不同发芽天数的种子数的记录：。
2019年上海市虹口区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题1．（4分）计算＝．2．（4分）不等式的解集是（用区间表示）．3．（4分）设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁U B）＝4．（4分）设常数a∈R，若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（2，1），则a ＝．5．（4分）若一个球的表面积是4π，则它的体积是．6．（4分）函数f（x）＝x+（x∈[2，8]）的值域为．7．（5分）二项式（）6的展开式的常数项为．8．（5分）双曲线﹣＝1的焦点到其渐近线的距离为．9．（5分）若复数z＝（i为虚数单位），则z的模的最大值为．10．（5分）已知7个实数1，﹣2，4，a，b，c，d依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则他们的和为正数的概率为．11．（5分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，△OAC是等边三角形，若点P是边AC（包含端点AC）上的动点，点Q在弧上，且满足OQ⊥OP，则的最小值为．12．（5分）若直线y＝kx与曲线y＝2﹣|x﹣1|恰有两个公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（5分）已知x∈R，则“|x﹣|”是“x＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β15．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝ax2﹣x+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）16．（5分）已知点E是抛物线C：y2＝2px（P＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则μ的最大值为（）A．B．C．D．三、解答题17．（14分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线P A的中点（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝1﹣（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值及函数f（x）的值域；（2）若不等式t•f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上恒成立，求实数t的取值范围．19．（14分）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝2（km），BC＝3（km）．CD＝1（km）．（1）求AC的长以及原棚户区建筑用地ABCD的面积；（2）因地理条件限制，边界AD，DC不能更变，而边界AB，BC可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．20．（16分）设椭圆Γ：+y2＝1，点F为其右焦点，过点F的直线与椭圆Γ相交于点P，Q．（1）当点P在椭圆Γ上运动时，求线段FP的中点M的轨迹方程；（2）如图1，点R的坐标为（2，0），若点S是点P关于x轴的对称点，求证：点Q，S，R共线；（3）如图2，点T是直线l：x＝2上的任意一点，设直线PT，FT，QT的斜率分别为k PT，k FT，k QT．求证：k PT，k FT，k QT成等差数列．21．（18分）对于n（n∈N*）个实数构成的集合E＝{e1，e2，…，e n}，记S E＝e1+e2+…+e n．已知由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）满足：对于任意不大于S A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S A＝（n+1）”（3）若S A＝2018．求证：n的最小值是11，并求n取最小值时，a n的最大值．2019年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（4分）计算＝5．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】当|q|＜1时，，由＝＝则可得解．【解答】解：＝＝＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．2．（4分）不等式的解集是（1，2）（用区间表示）．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】先将2移项，然后通分，利用同解变形将不等式化为（x﹣2）（x﹣1）＜0，利用二次不等式的解法求出解集．【解答】解：不等式同解于：，即，即（x﹣2）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜2，所以不等式的解集是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查解决分式不等式时，先通过移项，将右边化为0，然后通过同解变形将分式不等式化为整式不等式来解，属于基础题．3．（4分）设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁U B）＝{1，2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：B＝{x|x＜1}；∴∁U B＝{x|x≥1}；∴A∩（∁U B）＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．4．（4分）设常数a∈R，若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（2，1），则a ＝8．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得．【解答】解：依题意知：f（x）＝log3（x+a）的图象过（1，2），∴log3（1+a）＝2，解得a＝8．故答案为：8【点评】本题考查了反函数．属基础题．5．（4分）若一个球的表面积是4π，则它的体积是．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由球的表面积是4π，求出球半径为1，由此能求出球的体积．【解答】解：设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2＝4π，解得R＝1，∴球的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的表面积、体积的计算公式的合理运用．6．（4分）函数f（x）＝x+（x∈[2，8]）的值域为[，9]．【考点】34：函数的值域．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用对勾函数的单调性即可求解函数的最大与最小值，从而可求值域【解答】解：由对勾函数的单调性可知，f（x）＝x+在[2，2]上单调递减，在（2，8]上单调递增∴当x＝2时，函数有最小值f（2）＝＝4，∵f（2）＝6，f（8）＝9当x＝8时，函数有最大值f（8）＝9故函数的值域为[4，9]故答案为：[4，9]【点评】本题主要考查了对勾函数的单调性的简单应用，属于基础试题7．（5分）二项式（）6的展开式的常数项为60．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】求出二项式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可得到展开式中的常数项．【解答】解：二项式的通项公式为T r+1＝C6r2r x﹣r＝2r C6r，令3﹣＝0，解得r＝2．故常数项为4C62＝60，故答案为60．【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）双曲线﹣＝1的焦点到其渐近线的距离为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0）．渐近线方程为y＝±x，即x﹣2y＝0，所以焦点到其渐近线的距离d＝＝．故答案为：．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．9．（5分）若复数z＝（i为虚数单位），则z的模的最大值为．【考点】A8：复数的模；OM：二阶行列式的定义．【专题】38：对应思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知展开二阶行列式，求得复数模，利用倍角公式降幂后求最值．【解答】解：∵z＝＝sinθ•i﹣cosθ（i﹣1）＝cosθ+（sinθ﹣cosθ）i，∴|z|＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义，考查复数模的求法及三角函数的化简求值，是中档题．10．（5分）已知7个实数1，﹣2，4，a，b，c，d依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则他们的和为正数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】这7个实数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，根据概率公式计算即可．【解答】解：由题意可得，这7个实数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，①所选2个数均为正数：C42＝6，②所选2个一正一负：（﹣2，4），（﹣2，16），（﹣2，64），（﹣8，16），（﹣8，64），（﹣32，64），共6种，∴P＝＝，故答案为：【点评】本题考查了古典概率的问题，关键是列举，属于基础题．11．（5分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，△OAC是等边三角形，若点P是边AC（包含端点AC）上的动点，点Q在弧上，且满足OQ⊥OP，则的最小值为2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得，＝＝＝＝，结合向量数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，代入可求【解答】解：∵OQ⊥OP，∴＝0，∵半圆O的直径AB＝4，△OAC是等边三角形，且边长为2，由题意可得，＝＝＝＝，由数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，此时（）min＝2×＝2．故答案为：2【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义及向量投影定义的简单应用，解题的关键是要把图象问题转化为已知问题．12．（5分）若直线y＝kx与曲线y＝2﹣|x﹣1|恰有两个公共点，则实数k的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；51：函数的性质及应用．【分析】y＝2﹣|x﹣1|＝即y＝，观察y＝kx与y＝f（x）可得恰有两个公共点的k的取值范围为：k＝1【解答】解：y＝2﹣|x﹣1|＝，即y＝，则y＝kx与y＝f（x）恰有两个公共点的k的取值范围为：k＝1或k≤0，故答案为：（﹣∞，0]∪{1}【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了数形结合的思想．二、选择题13．（5分）已知x∈R，则“|x﹣|”是“x＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】由|x﹣|得：﹣＜x＜1，再由“﹣＜x＜1”与“x＜1”的关系判断即可【解答】解：由|x﹣|得：﹣＜x＜1，又“﹣＜x＜1”能推出“x＜1”又“x＜1”不能推出“﹣＜x＜1”即“|x﹣|”是“x＜1”的充分非必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及绝对值不等式的解法，属简单题．14．（5分）关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】31：数形结合；48：分析法；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．【解答】解：对于A，假设α∩β＝a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ＝c，β∩γ＝d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN＝P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β＝a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝ax2﹣x+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】化函数y＝f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y＝ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）＝0，∴f（x）+x﹣1＝ax2，而f（x）+x﹣1＝，作函数y＝f（x）+x﹣1与函数y＝ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．16．（5分）已知点E是抛物线C：y2＝2px（P＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则μ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设PE的倾斜角为α，则cosα＝，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△＝0，求得k的值，即可求得λ的最大值．【解答】解：过P（x轴上方）作准线的垂线，垂足为H，则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|＝μ|PF|，∴|PE|＝μ|PH|，设PE的倾斜角为α，则cosα＝，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为x＝ty﹣，则，即y2﹣2pty+p2＝0，∴△＝4p2t2﹣4p2＝0，∴k＝1，即tanα＝1，则cos，则μ的最大值为，故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查正弦定理，考查直线与抛物线相切，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．（14分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线P A的中点（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5Q：立体几何．【分析】（1）直接利用公式代值求解即可；（2）需取OP中点E，利用DE∥AB化异面直线为共面直线，找到异面直线所成角，求解较易．【解答】解：（1）由题意得，OB＝2，PB＝4，PO＝＝2，S侧＝πrl＝8π，＝＝（2）取PO的中点E，连接DE，CE，则∠CDE或其补角即为所求，易证DE⊥面EOC，∴DE⊥EC，DE＝＝1，＝，∴，故异面直线AB与DE所成角的大小为．【点评】此题考查了圆锥的侧面积和体积，异面直线所成角等，难度不大．18．（14分）已知函数f（x）＝1﹣（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值及函数f（x）的值域；（2）若不等式t•f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上恒成立，求实数t的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3R：函数恒成立问题．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a的值，检验即可；（2）问题转化为t≥[（3x﹣3）•]max，令3x﹣1＝m，m∈[2，8]，根据函数的单调性求出t的范围即可．【解答】解：（1）由f（0）＝0，解得：a＝3，反之a＝3时，f（x）＝1﹣＝，f（﹣x）＝﹣f（x），符合题意，故a＝3，由f（x）＝1﹣，x→0时，f（x）→﹣1，x→∞时，f（x）→1，故函数的值域是（﹣1，1）；（2）f（x）＝1﹣在x∈[1，2]递增，故f（x）∈[，]，故t≥（3x﹣3）•，故t≥[（3x﹣3）•]max，令3x﹣1＝m，m∈[2，8]，则（3x﹣3）•＝（m﹣2）•＝m﹣随m的增大而增大，最大值是，故实数t的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立，转化思想，是一道中档题．19．（14分）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝2（km），BC＝3（km）．CD＝1（km）．（1）求AC的长以及原棚户区建筑用地ABCD的面积；（2）因地理条件限制，边界AD，DC不能更变，而边界AB，BC可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．【考点】5A：函数最值的应用．【专题】38：对应思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）由圆内接四边形ABCD对角互补，利用余弦定理求得AC的值，再求建筑用地ABCD的面积；（2）设CP＝x，AP＝y，利用余弦定理和基本不等式求得四边形APCD面积的最大值．【解答】解：（1）四边形ABCD中，B+D＝π，∴cos B+cos D＝0，即+＝0，解得AC＝，且cos B＝﹣cos D＝；∴sin B＝sin D＝，∴建筑用地ABCD的面积为S＝×（2×1+2×3）×sin B＝2；（2）设CP＝x，AP＝y，由余弦定理得x2+y2﹣xy＝7，又7＝x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy＝xy，当且仅当x＝y时，等号成立；得S四边形APCD＝×2×1×+×x×y×≤，所以，当且仅当AP＝CP，即P为线段AC垂直平分线与弧交点时，面积最大，此时△APC为等边三角形，面积最大，最大值为．【点评】本题考查了圆内接四边形的面积计算问题和基本不等式的应用问题，是中档题．20．（16分）设椭圆Γ：+y2＝1，点F为其右焦点，过点F的直线与椭圆Γ相交于点P，Q．（1）当点P在椭圆Γ上运动时，求线段FP的中点M的轨迹方程；（2）如图1，点R的坐标为（2，0），若点S是点P关于x轴的对称点，求证：点Q，S，R共线；（3）如图2，点T是直线l：x＝2上的任意一点，设直线PT，FT，QT的斜率分别为k PT，k FT，k QT．求证：k PT，k FT，k QT成等差数列．【考点】J3：轨迹方程；K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆方程可知，F（1，0）设M（x，y），则P（2x﹣1，2y），把P的坐标代入椭圆Γ，即可求得线段FP的中点M的轨迹方程；（2）当PQ的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系证明k RQ＝k RS，即Q，S，R共线．而当PQ斜率不存在时，由椭圆对称性，Q，S 重合，结论显然成立，可得Q，S，R共线；（3）设T（2，t），然后证明k PT+k QT﹣2k FT＝0即可证明k PT，k FT，k QT成等差数列．【解答】（1）解：由椭圆方程可知，F（1，0）设M（x，y），则P（2x﹣1，2y），由点P在椭圆Γ上，有．∴线段FP的中点M的轨迹方程；（2）证明：当PQ的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），将y＝k（x﹣1）代入椭圆方程并化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0．，．∵＝＝[2x1x2﹣3（x1+x2）+4]＝．∴k RQ＝k RS，即Q，S，R共线．而当PQ斜率不存在时，由椭圆对称性，Q，S重合，结论显然成立，综上，Q，S，R共线；（3）证明：设T（2，t），，由（2）知，，∴k PT+k QT﹣2k FT＝＝＝﹣t[]＝0．故k PT，k FT，k QT成等差数列．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．（18分）对于n（n∈N*）个实数构成的集合E＝{e1，e2，…，e n}，记S E＝e1+e2+…+e n．已知由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）满足：对于任意不大于S A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S A＝（n+1）”（3）若S A＝2018．求证：n的最小值是11，并求n取最小值时，a n的最大值．【考点】16：子集与真子集；83：等差数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合．【分析】（1）由题意能求出a1＝1，a2＝2．（2）先证明必要性：推导出a n＝n，从而S A＝．再证充分性：推导出a1＝1，a2＝2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，从而S A＝a1+a2+…+a n≥1+2+3+…+n＝，从而a1，a2，…，a n成等差数列．（3）先证明，（k＝1，12，3，…，n），推导出当m∈（2p﹣1﹣1，a p）时，m 不能等于集合A的任何一个子集的所有元素之和，再由反证法求出（k＝1，2，…，n）成立，从而2n≥2019，n≥11，推导出a n≤1009，由此能求出当n取最小值11时，a n的最大值为1009．【解答】解：（1）∵由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n ≥3）满足：对于任意不大于S A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．∴a1＝1，a2＝2．证明：（2）先证明必要性：∵a1＝1，a2＝2，a1，a2，…，a n成等差数列，∴a n＝n，∴S A＝．再证充分性：∵a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，∴a1＝1，a2＝2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，∴S A＝a1+a2+…+a n≥1+2+3+…+n＝，∵S A＝（n+1），∴a k＝k，（k＝1，2，3，…，n），∴a1，a2，…，a n成等差数列．（3）先证明，（k＝1，12，3，…，n），假设存在a p＞2p﹣1，且p为最小的正整数，由题意p≥3，则a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2﹣1，∵a1＜a2＜…＜a n，∴当m∈（2p﹣1﹣1，a p）时，m不能等于集合A的任何一个子集的所有元素之和，∴假设不成立，即（k＝1，2，…，n）成立，∴2018＝a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2＝2p﹣1﹣1，即2n≥2019，∴n≥11，∵S A＝2018，∴a1+a2+…+a n﹣1＝2018﹣a n，若2018﹣a n＜a n﹣1时，则当m∈（2018﹣a n，a n）时，集合A中不可能有不同元素之和为m，∴2018﹣a n≥a n﹣1，即a n≤1009，此时，可构造集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，498，1009}，∵当m∈{2，2+1}时，m可以等于集合{1，2}中若干个不同元素之和，∴当m∈{22，22+1，22+2，22+3}时，m可以等于集合{1，2，22}中若干个不同元素之和，…∴当m∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，m可以等于集合{1，2，22，…，28}中若干个不同元素之和，∴当m∈{498+3，498+4，…，498+511}时，m可以等于集合{1，2，22，…，28，498}中若干个不同元素之和，∴当m∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}时，m可以等于集合{1，2，22，…，498，1009}，∴集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，498，1009}满足题设，∴当n取最小值11时，a n的最大值为1009．【点评】本题考查数列的前两项的求法，考查等差数列的条件的证明，考查集合的项数的最小值的证明，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
虹口高三数学答案(19.12)(12.18)
AA 虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6. 17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分4sinC sin()(sinA cosA)262A B -=+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-,……6分设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+ 即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到 212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y +=++=于是 Q ……7分所以3),OQ m =-于是直线40.OQ mx y+=的方程为 由40,mx y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m ==- 由于直线l 的法向量2(1,m)//,F R - 故2.F R l ⊥……10分 解：（3）由（2）知 1212221,.44y y y y m m +=-=-++故 111222112,2,22S AB y y S AB y y =⋅==⋅= (12)分 而120,y y <故 12121222S Sy y y y -=+=-= ……14分 由于12S S -最大时0,m ≠故12m m S S -=≤=+当且仅当2m =时，等号成立.因此12maxS S -=此时直线l 的方程为20,20.x y x y +=-=或 ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 证：（1）因为1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列. 所以，当121321,0,22,24;m a a a a a ===+==+=时 当343542,4,48,412;m a a a a a ===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a ===+==+=时 于是65543,2a a a a == 故456,,a a a 成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m m m N a a m *+-∈-=任意的有 于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得 21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2n n S n →+∞-=-……18分。
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（第11题图）虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3．设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，则()U A B =I ð_______． 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________．8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.11.如图，已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形，若点P 是边AC （包含端点,A C ）上的动点，点Q 在弧»BC 上，且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( )（第17题图）B（A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15．已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)(0,1)-∞⋃ （C ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ （D ）(,0)(0,2)-∞⋃16．已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的 焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）（A（B（C（D 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4， 点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域；(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立，求实数t 的取值范围.19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.（第19题图）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积； （2）因地理条件限制，边界,AD DC 不能变更，而 边界,AB BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧 ¼ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这 个面积最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点， 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；(2) 如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点,,Q S R 共线；(3) 如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证：,,PT FT QT k k k 成等差数列；（第20题图1）（第20题图2）21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.m （1）试求12,a a 的值；（第17题图）（2）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =， 求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1．5 2．()1,2 3.{}1,2 4．8 5．43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10．4711．2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为2OA =，高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 （2）以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,2,0)A -，(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r (10)分故 cos ,4AB CD AB CD AB CD⋅<>===-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u uu r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）由()f x 是R 上的奇函数，知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得（第19题图）此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数；因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分（2）解法1：由（1）知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立， …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 （2）解法2：由（1）知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时，()0.f x >于是不等式()33x t f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x xx xx x xt f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知，max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.解：（1）设,AC x =则由余弦定理，得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形，得180,B D ∠+∠=︒ 故cos cos 0,B D +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒， ……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答：AC (km ）,原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大，必须使APC ∆的面积最大，即点P 到AC 的距离最大，从而点P 在弦AC 的垂直平分线上，即.PA PC = ……10分于是APC ∆为等边三角形，2()AC = (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆==即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m ……14分（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中，由余弦定理，有222227=2cos (),4APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥==故APC S ∆≤当且仅当u v ==. (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD面积的最大值为4424ADC S ∆+=+= 即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD2).k m ……14分 20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.（第20题图1）（第20题图2）解：（1）易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点，得11111212.022x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是，由点11(,)P x y 在椭圆22:12x y Γ+=上，得 22(21)(2)12x y -+=，即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分证：（2）当过点F 的直线与x 轴重合时，点P 与S 重合，点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个顶点，显然点,,Q S R 共线.当过点F 的直线与x 轴不重合时，设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且则11(,),S x y -由221,1,2x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，显然0.∆> 所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++ 于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =，因此点,,Q S R 共线. ……10分证：（3）由T 是直线:2l x =上的点，可设其坐标为(2,).t当过点F 的直线与x轴重合时，有(P Q 从而+2,,21PT QT FT tk k t k t ====-故 2.PT QT FS k k k += (12)分当过点F 的直线与x 轴不重合时，其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且有11221122,,,212121PT QT FT y t y t y t y t tk k k t x my x my ----======----- 由(2)知12122221,,22my y y y m m +=-=-++ 于是 121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()211(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QT FTy t y t y t my y t my my y t m y y tk k my my my my m y y m y y m m t m tt m m m t k m m m m m ----+---++++=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FS k k k +=综合上述，得,,PT FT QT k k k 成等差数列. ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 解：（1）由条件，知A 1S ,1.A ≤∈必有又12n a a a <<<L 均为正整数，故1=1.a ……2分由条件，知A 2S ,≤故由A S 的定义及12n a a a <<<L 均为正整数，2,A ∈必有于是2=2.a……4分 证：（2）必要性 由“123,,,,n a a a a L 成等差数列”及12=1,=2a a 得=(1,2,,).i a i i n =L此时{}1,2,3,,1,A n n =-L ，满足题设条件；从而12112(1).2A n S a a a n n n =+++=+++=+L L ……7分 充分性 由条件知12n a a a <<<L ，且它们均为正整数，可得(1,2,,)i a i i n ≥=L ，故 112(1)2A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =L ，从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2AS n n =+”. ……10分 证：(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，，，，，，的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.L ,,, 因此当2018A S =时，n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =，n 取最小值11时，设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥事实上，若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时，其无法用A 的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时，用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，，，，的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.因此，当2018A S =时，n 的最小值为11，n a 的最大值为1009. ……18分。