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上海市华师大附中高一上学期期中数学试卷含答案

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2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案.【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B.【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集. 对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B.【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}{}210,,13,A x x x Z B x x x Z =-≤∈=-≤≤∈则()UA B =_________.【答案】{2,3}【分析】先化简,A B ，求出UA ，即得解.【详解】由题得{}210,{1,0,1}A x x x Z =-≤∈=-，{3,2,2,3}UA =--，{}13,{1,0,1,2,3}B x x x Z =-≤≤∈=-，所以()UA B ={2,3}.故答案为：{2,3}9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<； 若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。

上海市高一第一学期期中数学试卷(共3套)

上海市高一第一学期期中数学试卷(共3套)

上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。

13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab1的最小值为 14．定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。

若a b t +-（t 为正常数）的a b +邻域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅ （B ） M N M = （C ）M N M = （D ）M N R =16、下列命题中正确的是：（ ）（A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a > （C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <17、设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件18、对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b --的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41 D ．4- 三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++0862132x x x x 20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值范围。

2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

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华二附中高一期中数学卷一.填空题1.若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{5,7,8}B =，则()U A B ð为________.2.不等式11x>的解集是3.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.4.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________.5.不等式|||1|3x x +->的解集为________.6.已知2()f x x ax b =++，集合{|()}{4}x f x x ==，将集合{|()4}M x f x ==用列举法表示________.7.已知正实数x 、y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________.8.232(1)(1)(3)(5)0(2)(4)x x x x x x x -+---≤--的解集为________.9.已知集合2{(,)|20}A x y x mx y =+-+=，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤，若集合A B 的子集个数为2，则实数m 的取值范围为________.10.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是___________二.选择题11.设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（）A.PB.MC.M PD.M P ⋃12.有四个命题：①若0a b >>，则11a b <；②若0a b <<，则22a b >；③若11a>，则1a >；④若12a <<且03b <<，则22a b -<-<；其中真命题的数量是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个13.对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a+均小于2B.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2C.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +都不小于2D.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +中至多有两个不小于214.已知0,0a b >>，则“1120182019420182019a b a b +++=”是“11(20182019)(420182019a b a b ++=”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件三.解答题15.已知,a b R +∈，求证：11223332()()a b a b +≥+.16.已知集合2{|60,}A x x x x R =--≤∈，22{|320,}B x x ax a x R =-+<∈，若A B R =R R 痧U ，求实数a 的取值范围.17.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1k m +(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？18.已知集合22{|31,,}S m m n m n Z =+-=∈.（1）证明：若a S ∈，则1Sa ∈S ；（2）证明：若1p q <≤，则112p q p q <+≤+，并由此证明S 中的元素b 若满足12b <≤+2b =+；（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤+的所有c 的可能值.华二附中高一期中数学卷一.填空题1.若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{5,7,8}B =，则()U A B ð为________.【答案】{2,4,6}先计算A B ，再求()U A B ð即可.【详解】{1,3,5,7}A = ,{5,7,8}B =，{}1,3,5,7,8A B ∴= ，因此()U A B ⋃=ð{2,4,6}.故答案为{2,4,6}.【点睛】本题考查集合的并、补的基本运算，属于基础题.2.不等式11x>的解集是【答案】(0,1)将分式不等式转化为一元二次不等式来求解.【详解】依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.3.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.【答案】14先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.【详解】因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人3620864++=，全班有50人，因此两种竞赛都参加的有645014-=（人）故答案为14.【点睛】本题考查了容斥原理公式：既是A 类又是B 类的元素=属于A 类元素个数+属于B 类的元素个数+非A 非B 元素的个数-元素总个数.是基础题.4.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】(－∞,－4)【详解】对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4)5.不等式|||1|3x x +->的解集为________.【答案】(,1)(2,)-∞-+∞ 先找到使两个绝对值等于零的点，然后分类讨论，再求得解集的并集.【详解】当1≥x 时，不等式|||1|3x x +->等价于213x ->，解的2x >，当01x <<时，不等式|||1|3x x +->等价于13>，不等式无解，当0x ≤时，不等式|||1|3x x +->等价于123x ->，解得1x <-，所以不等式的解集是(,1)(2,)-∞-+∞ .故答案为(,1)(2,)-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法（零点分段讨论法），属于中档题.6.已知2()f x x ax b =++，集合{|()}{4}x f x x ==，将集合{|()4}M x f x ==用列举法表示________.【答案】{3,4}根据集合{|()}{4}x f x x ==求出,a b ，再解方程()4f x =，即可得到集合M .【详解】集合{|()}{4}x f x x ==,即方程2(1)0x a x b +-+=，有两个相等的实数根为4,()2140a b ∴∆=--=,即22(1)(4)x a x b x +-+=-，16,18,7b a a ∴=-=-=-，2()716f x x x ∴=-+，()4f x =即27120x x -+=，解得123,4x x ==，所以{}{|()4}3,4M x f x ===.故答案为{3,4}.【点睛】本题考查一元二次方程的解，及集合的表示方法，是基础题.7.已知正实数x 、y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________.【答案】9利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】正实数x 、y 满足211x y+=,则()212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y=，即3x y ==时取等号，2x y ∴+的最小值为9.故答案为9.【点睛】本题考查基本不等式的性质的应用，“1”的灵活代换，属于中档题.8.232(1)(1)(3)(5)0(2)(4)x x x x x x x -+---≤--的解集为________.【答案】[1,2){3}(4,5]U U 将分式不等式转化为高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.【详解】原不等式等价于232(1)(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x x x -+-----≤且20x -≠，40x -≠，又22131()024x x x -+=-+> 可得，32(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x -----≤，且20x -≠，40x -≠，利用穿根法得原不等式的解集为[1,2){3}(4,5]U U .故答案为[1,2){3}(4,5]U U .【点睛】本题考查分式不等式和高次不等式的解法，属于中档题.9.已知集合2{(,)|20}A x y x mx y =+-+=，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤，若集合A B 的子集个数为2，则实数m 的取值范围为________.【答案】3(,){1}2-∞--U 集合A B 的子集个数为2，判断出A B 只有一个元素，即()2110x m x +-+=在[]0,2上只有一解，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由()2200210x mx y x x y ⎧+-+=≤≤⎨-+=⎩，得()2110x m x +-+=①因为A B 的子集个数为2，所以A B 只有一个元素，所以等价于方程①在区间[]0,2上只有一个实数根，令()()2110f x x m x =+-+=，又()01f = ，()20f <得32m <-，或()()2140201022m f m ⎧⎪--=⎪≥⎨⎪-⎪≤≤⎩，得1m =-.或()()214012220m m f ⎧-->⎪-⎪>⎨⎪=⎪⎩，无解∴实数m 的取值范围为3(,{1}2-∞--U .故答案为3(,){1}2-∞--U .【点睛】本题主要考查学生对集合子集的理解，及方程在给定区间的解的问题，是比较难的题..10.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是___________【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭试卷分析：设2t x y =+则0t >，44t xy +=，t ≥∴2442t xy t ≥=+∴4t ≥，不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立可化为223202t ta a ++-≥恒成立，即232212a t a -≥+恒成立，故2322412a a -≤+∴(]5,3,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.考点：均值不等式及恒成立问题二.选择题11.设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（）A.PB.MC.M PD.M P ⋃【答案】C根据题意，分M P ⋂=∅和M P ⋂≠∅两种情况，结合集合的基本运算，借助venn 图，即可得出结果.【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P 中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型.12.有四个命题：①若0a b >>，则11a b <；②若0a b <<，则22a b >；③若11a>，则1a >；④若12a <<且03b <<，则22a b -<-<；其中真命题的数量是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D对于①、②、③、④利用不等式的基本性质证明命题成立.【详解】①0a b >> ,0ab ∴>,10ab ∴>,a b ab ab ∴>,11b a∴>,即11a b <，是真命题.② 0a b <<，∴0a b ->->，∴()()220a b ->->，即22a b >，是真命题.③11a > ，10a a-∴>，10a ∴>>，1a ∴>，是真命题.④ 03b <<，∴30b -<-<，又12a <<，∴22a b -<-<，是真命题.故选D .【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，是基础题.13.对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均小于2B.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2C.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +都不小于2D.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a +中至多有两个不小于2【答案】B 假设12a b +<，12b c +<，可根据正实数的条件确定122b <<，根据不等关系可得11212b c a b b +>+--，利用函数思想可求得1132122b b b +≥--，即12c a +>恒成立，从而排除A ；通过特殊值可验证出B 正确，,C D 错误.【详解】若1a b +、1b c +、1c a +均小于2，则1a b +11++6b c c a ++<，但由基本不等式可得1a b +11++6b c c a ++≥∴1a b +、1b c +、1c a +不能均小于2，则A 错误当12a =，1b =，2c =时1131222a b +=+=<，1131222b c +=+=<，12242c a +=+=>∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中恰有两个小于2，则B 正确当1a b ==，12c =时1112a b +=+=，11232b c +=+=>，1131222c a +=+=<∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +中有小于2的值，则C 错误当2a b c ===时，11115222a b c b c a +=+=+=+=∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均不小于2，则D 错误本题正确选项：B【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论.14.已知0,0a b >>，则“1120182019420182019a b a b +++=”是“11(20182019)()420182019a b a b ++=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A本道题反复运用基本不等式a b +≥即可.【详解】结合题意可知,1201822018a a +≥=,1201922019b b +≥而1120182019420182019a b a b +++=,得到112018,201920182019a b a b ==解得1120182019120182019a b a b====,故可以推出结论,而当()1120182019420182019a b a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭得到1120182019420182019a b a b +++≥=,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.【点睛】本道题考查了基本不等式的运用,关键注意a b +≥,即可,属于中等难度的题.三.解答题15.已知,a b R +∈，求证：11223332()()a b a b +≥+.【答案】证明见解析利用分析法进行证明，同时利用222a b ab +≥，即可证得.【详解】证明：由于a ，b ∈R +，要证11223332()()a b a b +≥+，即证（a 2+b 2）3≥（a 3+b 3）2，即证3a 2b 4+3a 4b 2≥2a 3b 3，即证3b 2+3a 2≥2ab ，由于3b 2+3a 2≥6ab ＞2ab ，故11223332()()a b a b +≥+．【点睛】本题考查证明方法中的分析法，及重要不等式的应用问题，是中档题.16.已知集合2{|60,}A x x x x R =--≤∈，22{|320,}B x x ax a x R =-+<∈，若A B R =R R 痧U ，求实数a 的取值范围.【答案】（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）先求出集合A ,B ，根据A B R =R R 痧U ,得出关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围.【详解】解：A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≤0，x ∈R }＝{x |﹣2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣3ax +2a 2＜0，x ∈R }＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0}，则∁R A ＝{x |x ＞3或x ＜﹣2}，∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}，若a ＝0，则∁R B ＝R ，满足条件．∁R A ∪∁R B ＝R ，若a ＞0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥2a 或x ≤a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则03a a ⎧⎨≥⎩＞得a ≥3，若a ＜0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥a 或x ≤2a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则02a a ⎧⎨≤-⎩＜得a ≤﹣2，综上a ＝0或a ≥3或a ≤﹣2，即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）．【点睛】本题主要考查不等式的解法，以及集合的基本运算的应用，是中档题.17.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1k m +(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【答案】（1）y ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．.（1）根据0,1m x ==(万件)求出2k =，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于m 的函数；（2）利用基本不等式可求得最大值.【详解】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－21m +(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×816x x+(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×816x x +－8－16x －m ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，161m +＋(m ＋8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当161m +＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方18.已知集合22{|31,,}S m m n m n Z =+-=∈.（1）证明：若a S ∈，则1S a ∈S ；（2）证明：若1p q <≤，则112p q p q <+≤+，并由此证明S 中的元素b若满足12b <≤+2b =+；（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤+的所有c 的可能值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）c ＝（1）若a A ∈，则a m =+2231m n -=，m ,n Z ∈,得到1a均满足集合A 的性质，进而得到结论.（2）构造函数()()11f x x x x=+≥，分析其单调性，进而得到A中元素若满足12b <≤+，则2b =+.（3）设c A Î，结合（1）（2）中的结论，可得c 值.【详解】证明：（1）若a ∈A ，则a ＝m +m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，则22133m m a m n-===--m +（﹣n且m 2﹣3（﹣n ）2＝1，m ，﹣n ∈Z ，故1a∈A ，(2=（m +2m ﹣3n ）+（2n ﹣m此时（2m ﹣3n ）2﹣3（2n ﹣m ）2＝m 2﹣3n 2＝1，∈A ；（2）令f （x ）＝x 1x+（x ≥1），则()f x 在(1,)+∞上的单调递增，证明：设121x x ≤<，则2121212112111()()(()(1)f x f x x x x x x x x x -=+-+=--∵121x x ≤<，∴21x x -0>，1211x x -0>，故21()()f x f x -0>，即21()()f x f x >，()f x 在(1,)+∞上的单调递增∵1＜p ≤q ，f （1）＝2∴211p q p q+≤+＜；令b ＝m +且m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，∵12b ≤+＜，∴2＜b 12b +≤+，∴2＜2m ≤4，则m ＝2，n ＝1，则b ＝2（3）∵c ∈A ，且2c ≤（22，∈A ，且1≤2，由（2=2∴c ＝（2）2＝【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合、函数、不等式的综合应用，是中档题.。

上海高一数学上学期期中试卷含答案(共5套)

上海高一数学上学期期中试卷含答案(共5套)

上海中学高一上学期期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x+=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式22(3)2(3)30x x ---<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若AB B ≠且A B ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x <<（B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7-（B ）7（C ）5-（D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一、填空题1.{}0,2,6,102.{}1,0,1-3.若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4.75.(3,0)(3,)-+∞6.1(,)3-∞- 7.(0,6)8.[6,8)- 9.16 10.25 11.3(3,)2- 12.2+二、选择题13.C 14.C 15.C 16.A三、解答题17.（1）1(,3)3（2）{}(1,0]1(2,)-+∞18.略19.（1）2()21f x x x =++；（2）1334k k <=或； 20.107p <<；21.（1）02x x ==或；（2）4∆>;上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，AB R =，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x ，y x ，1x 从小到大的顺序是 9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ） A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥ 15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D.12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay + 的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题 17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ；（2）求()U BC A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<；（1）求A 、B ；，求实数a的取值范围；（2）若A B B上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m ∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b ﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。

华南师大附中高一数学第一学期期中考试及其答案

华南师大附中高一数学第一学期期中考试及其答案

华南师大附中 高一数学第一学期期中考试一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知全集：二丨幕：， -，则（）.A.B. ： IC. ：l J:D.【答案】B【解析】 由题意二 1::二，又.■- - {- ■ _，故选 B.2. 若函数的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程x'' - \ ' \ '■ ：i 的一个近似根（精确到■■: f ）为（ ）. A. B. C. V D. I -【答案】C【解析】试题分析：由二分法知，：X = J : ＞的零点在区间芒严；，所以精确到 时，方程的近似根为 ；，故答案为 ；.考点：函数的零点A. B. I - IC. |D. :「1厲【答案】D【解析】对于函数 ，则、,；肯"，且 ，]解得 ，故定义域为 ，故选.4.设集合 ，集合，下列对应关系中是从集合到集合 的映射的是（3. 1函数、的定义域为（). ).A.| ■ B. ：------- C. (x- iy【答案】CC.在区间；「I 内有零点，在区间 -内无零点D.在区间 内无零点，在区间 -内有零点【答案】Dr【解析】由题得■' ?■'=,，令2：:;得 ：，3x 令「：厂|；得 厶「*：:;得 ：，所以函数在区间上为减函数，在区间'为增函数,【解析】 因为-<■',而 匸|.;,集合 中的元素 在集合 中没有像，故选项 对于选项，集合 中的元素 在集合 中没有像，故选项 不是映射.对于选项，集合 中的所有元素在集合 中都有唯一的像和它对应，故选项 对于选项，由于函数的定义域不是 ，故选项 不是映射，故选.5.若抹一,「上込―；；=1咨二，算=匕;；、，则，，，的大小关系是A. .■卜....B. ■ ■ I ： ■ .： ■ "C. .. ■.卜D. ■■ < ■;：. <-不是映射.是映射. ).【答案】A【解析】由于函数在十庁；上是减函数，故有：'I-- 再由 ，―小’:二1，可得■'I"- ■- ■■：，故选.6.设函数 若 是奇函数，则-的值是().tg(xXx<QI 1A. B. ■'! C.D.斗4【解析】由 是奇函数得；；一 ，当 时，,_x 1：.・：：•：时，U ,2X11即:=.一，，故选.24A.在区间；丨i , ■ J •二-内均有零点 -内均无零点B.在区间在点弋处有极小值：，所以在区间丄二内无零点，在区间：I.「内有零点，故选 .e8. 已知函数：： = /■与函数' n.i的图象关于直线■/-.：：对称，则不等式ii I ■的解集为（）.A. .. IB. .. IC. ■- . I ■- | ■-D. J 1【答案】B【解析】因为中函数有定义，则，即;]-则排除，，，故选.io.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.j _或【答案】C【解析】因为函数-与函数p—仁的图象关于直线n对称,9.)_ ^,即I i ，二1 -函数侶：一「科-广T的大致图象是（).2••一,点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足。

上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

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上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。

2020-2021上海华东师大一附中实验中学高一数学上期中试卷(含答案)

2020-2021上海华东师大一附中实验中学高一数学上期中试卷(含答案)

2020-2021上海华东师大一附中实验中学高一数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．若35225a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．24．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-9．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.15．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___16．函数的定义域为______________．17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x()x N*∈年的年产量为y=______.19．关于函数()24 11x xf xx-=--的性质描述，正确的是__________.①()f x的定义域为[)(]1,00,1-U；②()f x的值域为()1,1-；③()f x的图象关于原点对称；④()f x在定义域上是增函数.20．已知函数(12)(1)()4(1)xa xf x axx⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R∈，12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，则a的取值范围是________三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x=+--．（1）若函数()f x在[]2,4-上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当5a=，[1,1]x∈-时，不等式()24f x m x>+-恒成立，求实数m的范围．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知定义域为R的函数12()22xxbf x+-+=+是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数()f x的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x+->恒成立，求实数k的取值范围．24．已知二次函数()f x满足(0)2f=，且(1)()23f x f x x+-=+.（1）求()f x的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx=-，当[1,)x∈+∞时，求()h x的最小值；（3）设函数12()logg x x m=+，若对任意1[1,4]x∈，总存在2[1,4]x∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.25．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.15．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式.根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．18．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x 1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x [0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时.本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可． （2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数， 所以(0)0f =，即102ba-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数． （2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x xf x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <， ∴12220x x -<，又()()1221210xx++>， ∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， ∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212xk x-<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题． 24．（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„；（3）7m < 【解析】 【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠. ①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==, 又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-. ①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增, 即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==, 函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+, ∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.25．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭26．（1）2；（2）{|35}m m m -或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m ﹣2≤x≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3] ∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∵A ⊆C R B ，∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．。

2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

上师大附中2022-2023学年第一学期中考试高一年级数学学科（考试时间：120分钟满分，150分）一､填空题（本大题共12小题满分54分，第1至第6小题每题4分，第7至12小题每题5分）1.已知集合{}{}0,1,2,|2,M N x x a a M ===∈，则集合M N ⋂=_____.2.不等式2560x x -+>的解集．．为__________．3.不等式102x x +≥-的解集为__________.4.已知幂函数()y f x =的图象过点，则()f x =_____________．5.已知方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，则1211x x +=___________.6.若x R +∈，则91x x ++的最小值为________.7.设全集为U ，用集合AB 、的交、并、补集符号表示图中的阴影部分__________8.已知函数()()2,0()23,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若()9f x =，则x =_________．9.已知函数2()34f x x x =-++的定义域为[2,2]-，则()f x 的值域为_____________．10.设25a bm ==，且112a b +=，则m ＝________.11.若关于x 的不等式1202x x m --<在区间[]0,1内恒成立，则实数m 的取值范围为____．12.对任意两个正整数m n ､，定义某种运算（运算符号用⊗表示）：当m n ､都为正偶数或正奇数时，m n m n Ä=+；当m n ､中一个正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ⊗=，则在上述定义下，集合(){,36,N,0,0}M a b a b a b a b ∣､=⊗=∈>>中元素个数为__________.二､选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A .充分不必要条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.若0ab >，且c da b-<-，则下列各式中，恒成立的是（）A.bc ad <B.bc ad> C.a b c d> D.a b c d<15.用反证法证明命题“如果,,a b N ab ∈可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a ，b 都不能被5整除B.a ，b 都能被5整除C.a ，b 不都能被5整除D.a 不能被5整除16.函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b > C.01a <<，0b > D.01a <<，0b <三､解答题（本大题共76分）17.已知集合{}{}28|90|4202x A x x B x x C x x ⎧⎫-=-≥=-<=<⎨⎬+⎩⎭，，.（1）求A B ⋂､A C U ；（2）若全集U =R ，求U C A B ⋂.18.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根1x ，2x 满足12||x x =．19.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x 米26x ≤≤.（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为()9001a x x+元（a >0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a 的取值范围.20.（1）已知1122a a -+=1a a -+.（2）已知1aa-=，求12log 3的值.（3）已知16log 9,185ba ==，试以ab ､表示36log 45.21.已知函数()()231f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m 的取值范围；（2）令2t m =-+，求1t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值（其中[]t 表示不超过t 的最大整数，例如：[]11=，[]2.52=)；（3）对（2）中的t 求函数()[][]1111t tg t t t t t +=⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．上师大附中2022-2023学年第一学期中考试高一年级数学学科（考试时间：120分钟满分，150分）一､填空题（本大题共12小题满分54分，第1至第6小题每题4分，第7至12小题每题5分）1.已知集合{}{}0,1,2,|2,M N x x a a M ===∈，则集合M N ⋂=_____.【答案】{}0,2【分析】根据已知条件，求得集合N ；再求交集即可.【详解】因为{}{}0,1,2,|2,M N x x a a M ===∈，故{}0,2,4N =.则{}0,2M N ⋂=.故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查集合的交运算，属简单题.2.不等式2560x x -+>的解集．．为__________．【答案】{2|x x <或3x >}【分析】十字相乘法因式分解可解得结果.【详解】由2560x x -+>得(2)(3)0x x -->，得2x <或3x >，所以不等式2560x x -+>的解集为{2|x x <或3x >}.故答案为：{2|x x <或3x >}3.不等式102x x+≥-的解集为__________.【答案】{}|12x x -≤<【分析】将分式不等式转化为整式不等式，并结合一元二次不等式的解法运算求解，注意分母不能为0.【详解】∵102x x +≥-，则()()12020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得12x -≤<，故不等式102x x+≥-的解集为{}|12x x -≤<.故答案为：{}|12x x -≤<.4.已知幂函数()y f x =的图象过点，则()f x =_____________．##12x【分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解．【详解】设()a f x x =，由已知得2a =，所以12a =，12()f x x ==．5.已知方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，则1211x x +=___________.【答案】43利用韦达定理代入求解即可.【详解】由方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，利用韦达定理得：1212232x x x x +=-⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩，1212121143x x x x x x ++==⋅.故答案为：43.6.若x R +∈，则91x x ++的最小值为________.【答案】5【分析】将所求代数式变形为9111x x ++-+，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】0x >，则11x +>，由基本不等式得()99111511x x x x +=++-≥-=++，当且仅当2x =时，等号成立，因此，91x x ++的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.7.设全集为U ，用集合A B 、的交、并、补集符号表示图中的阴影部分__________【答案】()()U A B C A B .【分析】由韦恩图可以看出阴影部分在集合A 中或在集合B 中，但不在集合A B ⋂中，利用交集、补集、并集的定义表示出阴影部分表示的集合.【详解】由阴影部分可得，其表示的元素为满足性质：在集合A 中或在集合B 中，但不在集合A B ⋂中，所以元素在集合A B ⋃中，不在集合A B ⋂中，所以可以表示为：()()U A B C A B ，故答案为：()()U A B C A B .【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有应用韦恩图表示集合，根据图形中阴影的特征，判断元素与集合的关系，正确表示集合，属于基础题目.8.已知函数()()2,0()23,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若()9f x =，则x =_________．【答案】3±【分析】根据函数解析式，分别求解，即可得出结果.【详解】因为()()2,0()23,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，当0x ≥时，由2()9f x x ==解得3x =±，则3x =；当0x <时，由()239f x x =-+=解得3x =-，所以3x =-.故答案为：3±.9.已知函数2()34f x x x =-++的定义域为[2,2]-，则()f x 的值域为_____________．【答案】25[6,]4-【详解】试卷分析：函数的对称轴为，所以在区间上，函数的最大值为，函数的最小值为，所以函数的值域为25[6,]4-．考点：二次函数的性质．10.设25ab m ==，且112ab+=，则m ＝________.【答案】【分析】首先指数式化为对数式，再根据对数运算公式计算.【详解】因为250a b m ==>，所以2log a m =，5log b m =，所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==.所以210m =，所以m =【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型.11.若关于x 的不等式1202xxm --<在区间[]0,1内恒成立，则实数m 的取值范围为____．【答案】322⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】令2x t =，解这个绝对值不等式，结合函数的单调性，最后求出实数m 的取值范围.【详解】令2x t =，因为[]0,1x ∈，所以[]1,2t ∈，因此有111t m t m t t t -<⇒-<-<.一方面1t m t -<在[]1,2t ∈上恒成立，即1t m t-<，因为函数1y t t=-在[]1,2t ∈上为增函数，要想1t m t-<在[]1,2t ∈上恒成立，只需m 大于函数1y t t =-在[]1,2t ∈上的最大值即可，即32m >；另一方面1t m t -<-在[]1,2t ∈上恒成立，即1m t t <+，因为12t t +≥=(当且仅当1t =取等号),因此有2m <，所以实数m 的取值范围为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为；322⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数单调性的性质，考查了基本不等式的应用.12.对任意两个正整数m n ､，定义某种运算（运算符号用⊗表示）：当m n ､都为正偶数或正奇数时，m n m n Ä=+；当m n ､中一个正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ⊗=，则在上述定义下，集合(){,36,N,0,0}M a b a b a b a b ∣､=⊗=∈>>中元素个数为__________.【答案】41【分析】根据题意分类讨论当a b ､都为正偶数或正奇数，当a b ､中一个正奇数，另一个为正偶数，理解运算.【详解】∵0,0,,N a b a b >>∈，当a b ､都为正偶数或正奇数时，则36a b a b Ä=+=，∴满足条件的有()()()()1,35,2,34,3,33,...,35,1，共35个；当a b ､中一个正奇数，另一个为正偶数时，则36a b ab ⊗==，∴满足条件的有()()()()()()1,36,36,1,3,12,12,3,4,9,9,4，共6个；故集合M 中元素个数为35641+=.故答案为：41.二､选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.充分不必要条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要条件的判断即可求解.【详解】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分性不一定成立，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件．故选:B ．14.若0ab >，且c da b-<-，则下列各式中，恒成立的是（）A.bc ad< B.bc ad> C.a bc d> D.a b c d<【答案】B运用不等式的性质，化简，再移项通分，判断可选出答案．【详解】因为c d a b-<-，所以00c d c d bc ada b a b ab ->⇔->⇔>又因为0ab >，所以0bc ad bc ad ->⇒>.故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的大小比较，一般利用作差法，化简后，将分式不等式化为整式不等式，进行求解．属于基础题．15.用反证法证明命题“如果,,a b N ab ∈可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a ，b 都不能被5整除B.a ，b 都能被5整除C.a ，b 不都能被5整除D.a 不能被5整除【答案】A【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”.故选：A.16.函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b > C.01a <<，0b > D.01a <<，0b <【答案】D【分析】由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；分析可知：函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确.故选：D三､解答题（本大题共76分）17.已知集合{}{}28|90|4202x A x x B x x C x x ⎧⎫-=-≥=-<=<⎨⎬+⎩⎭，，.（1）求A B ⋂､A C U ；（2）若全集U =R ，求U C A B ⋂.【答案】（1）[)3,6A B = ，(](),32,A C =-∞--+∞U U ；（2）()2,3U C A B = 【分析】（1）计算(][),33,A =-∞-+∞ ，()2,6B =，()2,8C =-，再计算交集并集得到答案.（2）计算得到()3,3U C A =-，再计算U C A B ⋂得到答案.【详解】（1）{}(][)2|90,33,A x x =-≥=-∞-+∞ ，{}()|422,6B x x =-<=，()802,82x C x x ⎧⎫-=<=-⎨⎬+⎩⎭，故[)3,6A B = ，(](),32,A C =-∞--+∞U U .（2）(][),33,A =-∞-+∞ ，则()3,3U C A =-，()2,3U C A B = .【点睛】本题考查了集合的交并补计算，意在考查学生的计算能力.18.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根1x ，2x 满足12||x x =．【答案】（1）4k =；（2）32k =.【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k 的值，（2）分两种情况讨论，①当10x 时，②当10x <时，求出k 的值．【详解】解：（1） 方程两实根的积为5，∴()22212114103421154k k k x x k ⎧⎛⎫⎡⎤=-+-+ ⎪⎪⎣⎦⎪⎝⎭⇒⎨⎪=+=⎪⎩，4k =±．∴当4k =时，方程两实根的积为5．（2）由12||x x =得知：①当10x 时，12x x =，故方程有两相等的实数根，故302k =⇒=，②当10x <时，12x x -=，即120x x +=，则10k +=，解得1k =-，由于0> 时，32k >，故1k =-不合题意，舍去，故方程有两相等的实数根，故△302k =⇒=，综上可得，32k =时，方程的两实根1x ，2x 满足12||x x =．【点睛】本题考查了二次函数的性质和方程根的情况，属于基础题．19.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x 米26x ≤≤.（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为()9001a x x+元（a >0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a 的取值范围.【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低（2）0a <<12【分析】（1）设总造价为y 元，列出16900(7200y x x=++．利用基本不等式求解函数的最值即可．（2）由题意可得，16900(1)900(7200a x x x x +++>对任意的[2x ∈，6]恒成立，参变分离可得2(4)1x a x +>+恒成立，即9161x a x +++>+，利用基本不等式求解函数的最值即可．【小问1详解】解：设甲工程队的总造价为y 元，依题意左右两面墙的长度均为()26x x ≤≤米，则屋子前面新建墙体长为12x米，则()1216315024007200900720026y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+=++≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1690072009002720014400x x ⎛⎫++≥⨯+= ⎪⎝⎭.当且仅当16x x=，即4x =时等号成立.所以当4x =时，min 14400y =，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.【小问2详解】解：由题意可得，()9001169007200a x x x x+⎛⎫++> ⎪⎝⎭对任意的[]2,6x ∈恒成立，即()()241x a x xx++>，从而()241x a x +>+，即9161x a x +++>+恒成立，又9166121x x +++≥+=+.当且仅当911x x +=+，即2x =时等号成立.所以0a <<12.20.（1）已知1122a a -+=1a a -+.（2）已知1a a-=，求12log 3的值.（3）已知16log 9,185b a ==，试以a b ､表示36log 45.【答案】（1）3；（2）a ；（3）()4142b a ba +++【分析】（1）根据平方关系运算求解；（2）根据对数运算结合换底公式及其结论运算；（3）根据对数运算结合换底公式及其结论运算.【详解】（1）∵2111222a a a a --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，则21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故13a a -+=.（2）∵12331log 22log 2a a -===，则312log 2a a-=，∴1233331111log 31log 12log 3log 412log 21a a a=====-+++.（3）∵4216221log 9log 3log 32a ===，则2log 32a =，又∵185b =，则2222182222log 5log 5log 5log 5log 5log 18log 9log 22log 3141b a =====+++，可得()2log 541a b =+，∴()()2222236222241441log 45log 5log 9log 52log 3log 45log 36log 4log 922log 32442a b a b a b a a ++++++=====++++.21.已知函数()()231f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m 的取值范围；（2）令2t m =-+，求1t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值（其中[]t 表示不超过t 的最大整数，例如：[]11=，[]2.52=)；（3）对（2）中的t 求函数()[][]1111t t g t t t t t +=⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．【答案】（1）(],1-∞；（2）0,111,1t t t >⎧⎡⎤=⎨⎢⎥=⎣⎦⎩；（3）15,26⎧⎫⎡⎫+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭ .【分析】（1）分0m =和0m ≠两种情况讨论，在0m =时进行验证即可，在0m ≠时，由()01f =可分二次函数()y f x =有且只有一个零点且为正零点、一个正零点和一个负零点、两个正零点三种情况进行分类讨论，由此可得出实数m 的取值范围；（2）求出1t ≥，可得出(]10,1t∈，然后分1t >和1t =两种情况讨论，根据定义得出1t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值；（3）分1t =、12t <<、2t ≥三种情况讨论，在1t =时代入函数()y g t =的解析式计算即可，在12t <<时，利用函数()y g t =的单调性得出该函数的值域，在2t ≥时，考查()12,n t n n n N*≤<+≥∈，结合函数的单调性来得出值域，由此可得出函数()y g t =的值域.【详解】（1）①若0m =，则()13f x x =-，令()0f x =，得13x =，此时，函数()y f x =只有一个正零点，合乎题意；②若0m ≠，由于()010f =>.（i ）若函数()y f x =有且只有一个零点且为正数，则21090302m m m m ⎧∆=-+=⎪⎨-->⎪⎩，解得1m =；（ii ）若函数()y f x =有一个正零点和一个负零点，则10m<，解得0m <；（iii ）若函数()y f x =有两个正零点时，则()2109030200m m m m mf m ⎧∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪=>⎪⎩，解得01m <<.综上所述，实数m 的取值范围是(],1-∞；（2）1m ≤ ，21t m ∴=-+≥.当1t >时，101t <<，此时10t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；当1t =时，11t =，此时11t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.因此，0,111,1t t t >⎧⎡⎤=⎨⎢⎥=⎣⎦⎩；（3）()[][][]()11111111t t t t g t t t t t t t ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ .①当1t =时，()221122g ==;②当12t <<时，[]1t =，10t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()112g t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，此时()514g t <<；③当2t ≥时，设()12,n t n n n N *≤<+≥∈，则[]t n =，10t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此时，()111g t t n t ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭在[),1n n +上单调递增，则()()()22111111n n g t n n n ++⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭+.设()()1111111211111111n h n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=+=+=-+-=+ ⎪++++++⎝⎭，则()()()()()121221*********h n h n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+--+-=- ⎪ ++++++⎝⎭⎝⎭()()212n n n n -=++.当2n =时，()()23h h =；当2n >且n N *∈时，()()1h n h n +>，数列(){}h n 单调递增，()()526h n h ∴≥=；设()()()2111111n n n n n ϕ++==++++，当2n ≥且n N *∈，数列(){}n ϕ单调递增，当n →+∞时，()n ϕ→+∞.所以，当2t ≥时，函数()y g t =的值域为5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.综上所述，函数()y g t =的值域为15,26⎧⎫⎡⎫+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭ .【点睛】本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，同时也考查与与新定义相关的函数的值域问题，解题的关键就是将函数的值域问题转化为数列的单调性问题，考查化归与转化思想的应用，属于难题.。

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是恒成立，有解，零点问题的概念题，根据条件转化为最值问题，理解，判断选项.【详解】由条件对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，可知()min p f x ≤，即p 的取值范围是(],m -∞，故①错②正确；若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，说明p 应属于函数()f x 在[],a b 上的值域[],m M ，故③正确；若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则()max p f x ≤，即p M ≤则p 的取值范围是(],M -∞，故④错⑤正确. 故选：B4．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B.【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P 是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤∈Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B =______．【答案】{}23，【分析】先求得集合A 、B ，再由集合的补集运算、交集运算可得答案.【详解】因为{}{}210,101A x x x =-≤∈=-Z ，，，{}3,2,1,0,1,2,3U =---，所以{}3223A =--，，，，又{}{}13,10123B x x x =-≤≤∈=-Z ，，，，，所以A B ={}23，， 故答案为：{}23，. 9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}|A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++ 所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<；若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =,2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。

上海市华东师大二附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

上海市华东师大二附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则C u（M∪N）=．2．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为3．若命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0；命题q：|4x﹣3|≤1，且p是q的必要非充分条件，则实数m的取值范围是．4．已知集合A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为．5．下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是．6．不等式的解集为．7．函数的定义域是．8．若f（x）=ax2+3a是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，令函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），则函数g（x）的定义域为．9．已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是．10．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（）+f（）=．二.选择题11．设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P 与Q的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P=Q D．P∩Q=∅12．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|13．下列判断中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2]D．三.解答题15．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；（1）当k=4时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．16．某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？17．已知函数f（x）=|x﹣t|+（x＞0）；（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．18．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则C u（M∪N）={2，4，8} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】找出既属于集合M又属于集合N的元素，可得到两集合的并集，然后根据全集U，找出不属于两集合并集的元素，即为所求的补集．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，又全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，则C u（M∪N）={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}2．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为14【考点】子集与真子集．【分析】先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，利用集合真子集的个数公式求出该集合的非空真子集个数．【解答】解：{x|1＜x＜6，x∈N*}={2，3，4，5}该集合中含有4个元素，所以该集合的非空真子集有24﹣2=14．故答案为：14．3．若命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0；命题q：|4x﹣3|≤1，且p是q的必要非充分条件，则实数m的取值范围是[﹣1，] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别由命题命题p和命题q解出它们对变的不等式的解集，根据p是q的必要不充分条件，说明q的解集是p解集的真子集，建立不等式组可得出实数m的取值范围．【解答】解：命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0⇒m≤x≤m+2，命题q：|4x﹣3|≤1⇒﹣1≤4x﹣3≤1⇒≤x≤1，∵p是q的必要非充分条件∴[，1]⊆[m，m+2]∴（等号不能同时成立）⇒﹣1≤m≤故答案为：．4．已知集合A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为[2，3] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A∩B=B，说明B⊆A，建立条件关系即可求实数m的取值范围．【解答】解：∵A∩B=B∴B⊆A∵A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，∴满足：解得：2≤m≤3，综上所得实数m的取值范围是[2，3]．故答案为[2，3]．5．下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是2．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论．【解答】解：①a＞b⇒﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b；不等式两边同时加减同一个数，大小不变．∴①对．②a＞b，，当b＜0时，不成立，②不对．③a＞b⇒ac2＞bc2；当c=0时，不成立，∴③不对．④a3＞b3⇒⇒a＞b，∴④对．正确的是①④．故答案为2．6．不等式的解集为（﹣4，﹣3）∪（1，4）．【考点】其他不等式的解法．【分析】通过因式分解求出不等式的解集即可．【解答】解：∵，∴＜0，解得：﹣4＜x＜﹣3或1＜x＜4，故答案为：（﹣4，﹣3）∪（1，4）．7．函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜0且x≠﹣3．∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．8．若f（x）=ax2+3a是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，令函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），则函数g（x）的定义域为[0，1] ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法．【分析】根据题意和偶函数的性质列出不等式组，求出a的值，可得函数f（x）的定义域，由函数g（x）的解析式列出不等式，求出g（x）的定义域．【解答】解：∵f（x）是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，∴，解得a=2，则函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，由得，0≤x≤1，∴函数g（x）的定义域是[0，1]，故答案为：[0，1]．9．已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[﹣4，1] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数在R上的单调函数，y1=2x﹣5是单调递增，也是单调递增，根据勾勾函数的性质求解．【解答】解：函数为R上的单调函数，当x＜1，y1=2x﹣5是单调递增，其最大值小于﹣3，也是单调递增，根据勾勾函数的性质可知：当a＞0时，y2在是单调递增，∵的定义域为{x|x≥1}，∴，解得：0＜a≤1．那么：当x=1时，函数取得小值为1+a．由题意：，即1+a≥﹣3，解得：a≥﹣4．综上可得：1≥a≥﹣4．故得实数a的取值范围是[﹣4，﹣1]．10．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（）+f（）=．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由已知条件求出，，结合及非减函数概念得f（），则答案可求．【解答】解：由③，令x=0，则f（1）=1﹣f（0）=1，由②，令x=1，则f（）=f（1）=，，，，，，．由③，令x=，则f（）=，，，，，，．∵，∴f（）=．∴f（）+f（）=．故答案为：．二.选择题11．设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P 与Q的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P=Q D．P∩Q=∅【考点】集合的表示法．【分析】首先化简集合Q，mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m＜0时mx2+4mx﹣4=0无根，则由△＜0求得m 的范围．【解答】解：Q={m∈R|mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，﹣4＜0恒成立；②m＜0时，需△=（4m）2﹣4×m×（﹣4）＜0，解得﹣1＜m＜0．综合①②知m≤0，所以Q={m∈R|﹣1＜m≤0}．因为P={m|﹣1＜m≤0}，所以P=Q．故选：C．12．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|【考点】不等关系与不等式．【分析】根据x＞y＞z和x+y+z=0，有3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，从而得到x＞0，z＜0．再不等式的基本性质，可得到结论．【解答】解：∵x＞y＞z∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，∴x＞0，z＜0．由得：xy＞xz．故选C13．下列判断中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据题意，依次分析选项，对于每一个选项，先求出函数的定义域，再分析f（﹣x）与f（x）的关系，可得函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，其定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，不具有奇偶性，故A错误；对于B、f（x）=，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，故B错误；对于C、f（x）=，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）===﹣f（x），f（x）为奇函数，故C错误；对于D、函数，其定义域为{x|﹣2≤x≤2}，关于原点对称，则f（x）=﹣，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），f（x）为奇函数，故D正确；故选：D．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2]D．【考点】函数单调性的性质．【分析】2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．【解答】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选A三.解答题15．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；（1）当k=4时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）k=4时不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，求出解集即可；（2）不等式的解集为（﹣5，4）时，有，从而求出k的值．【解答】解：（1）关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，当k=4时，不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，解得x＜4或x＞5，所以不等式的解集为（﹣∞，4）∪（5，+∞）；（2）当不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为（﹣5，4）时，有，解得k=﹣1或k=﹣4．16．某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）第7天的销售价格p=50﹣|x﹣6|=50﹣|7﹣6|，销售量q=a+|x﹣8|=a+|7﹣8|，得第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009，可得a的值；从而求得第10天的销售收入W10=p10•q10；（2）若设第x天的销售收入为W x，则W x=pq=（50﹣|x﹣6|）（a+|x﹣8|），去掉绝对值后是分段函数；分别在1≤x≤6时，8≤x≤20时，求得函数W x的最大值，并通过比较得出，第几天该农户的销售收入最大．【解答】解：（1）由已知第7天的销售价格p=50﹣|x﹣6|=50﹣|7﹣6|=49，销售量q=a+|x﹣8|=a+|7﹣8|=a+1．∴第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009（元）．解得，a=40；所以，第10天的销售收入为W10=p10•q10=46×42=1932（元）．（2）设第x天的销售收入为W x，则；当1≤x≤6时，（当且仅当x=2时取等号），∴当x=2时有最大值W2=2116；当8≤x≤20时，（当且仅当x=12时取等号），∴当x=12时有最大值W12=1936；由于W2＞W7＞W12，所以，第2天该农户的销售收入最大．17．已知函数f（x）=|x﹣t|+（x＞0）；（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）0＜x≤t，f（x）=t﹣x+，求导数，利用导数小于0，可得结论；（2）分类讨论，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥，即可求实数t的取值范围．【解答】解：（1）0＜x≤t，f（x）=t﹣x+，∴f′（x）=﹣1﹣＜0，∴函数y=f（x）在区间（0，t]上单调递减；（2）t≤0，f（x）=x+t+，函数单调递增，无最小值，t＞0时，x＞t，f（x）=x+﹣t，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥，∴0＜t≤1，最小值为1．18．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的对称轴为x=，①当≤1，即a≤4时，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣a⇒a=5，不满足a≤4，②当≥2，即a≥6时，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣a⇒a ∈R⇒a≥6符合题意．③1＜＜2，即4＜a＜6时，f（x）min=f（）==4﹣a⇒a=6⇒a∈∅综上：实数a的取值范围；a≥6．（2）假设存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集为{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f （n）=n．即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的两个实数根为m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a ﹣4⇒m+n=mn+3⇒m（1﹣n）=3﹣n，当n=1时，m不存在，舍去，当n≠1时，m=⇒m=﹣1，n=2或m=0，n=3存在整数m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n 的解集恰好为[m，n]【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的对称轴为x=，①当≤1，即a≤4时，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣a⇒a=5，不满足a≤4，②当≥2，即a≥6时，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣a⇒a ∈R⇒a≥6符合题意．③1＜＜2，即4＜a＜6时，f（x）min=f（）==4﹣a⇒a=6⇒a∈∅综上：实数a的取值范围；a≥6．（2）假设存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集为{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f （n）=n．即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的两个实数根为m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a ﹣4⇒m+n=mn+3⇒m（1﹣n）=3﹣n，当n=1时，m不存在，舍去，当n≠1时，m=⇒m=﹣1，n=2或m=0，n=3存在整数m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]2017年1月17日。

2020-2021上海华东师范大学附属外国语实验学校高中必修一数学上期中试题带答案

2020-2021上海华东师范大学附属外国语实验学校高中必修一数学上期中试题带答案

2020-2021上海华东师范大学附属外国语实验学校高中必修一数学上期中试题带答案一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．3．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，7．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,78．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32- 10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.14．函数()f x =__________．15．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.16．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．24．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）．25．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x xx a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数． （1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.8．C解析：C【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 15．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.16．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.18．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤ 【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）1439t +< 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈，,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=时，4sin42π=要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）0.8)4,015(,1tt t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<- 【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算2112122(22)()()0(21)(2+1)x x xx f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔232k t t<-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =. 又，得1a =.经检验11a b ==，符合题意. （2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=----21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数（3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-，∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-. 即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合. 24．（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5} 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f （0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f （x ）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可．试题解析：（1）令，得，∴定义域关于原点对称 ，得，∴∴是奇函数 ，即又由已知得：由函数是增函数，不等式转化为∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．25．①1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n ;②单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：①考察了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，根据求什么设什么所以设，那么，那么，求得的解析式，又因为，即求得函数的解析式；②根据上一问解析式，画出分段函数的图像，观察函数的单调区间． 试题解析：解: ①∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =． 当0x <时，0x ->，1()()()22xx f x f x -=--=-=-．∴函数()f x 的解析式为1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n②函数图象如图所示：由图象可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 考点：1．分段函数的解析式；2．函数的图像． 26．（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<． 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。

华师一附中高一上学期期中考试试卷含答案

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数学试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数111y x=+的定义域为A ．{}1|-<x xB ．{}0|>x xC ．{}01|<<-x xD ．{}01|>-<x x x 或2. 设全集R U =，集合}21{>-=x x A ，}086{2<+-=x x x B ，则()UA B 等于A. [)4,1-B. )3,2(C.(]3,2D. )4,1(- 3．已知x x f lg )(3=，则)2(f 的值是A.2lgB. 8lgC. 2lg 31D. 81lg4.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-其中)0,0>>b a 的结果是 A ．a 9- B. C. D.5．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是．在区间)1,(-∞上是增函数的是 A ．11-=x y B. 2)1(--=x y C. xy 12= D.)1(log 2x y -=．)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的奇函数，且2)(5)(3)(++=x g x f x F ，若)(x F 在),0(+∞ )(x F 在)0,(-∞上最小值为A ．4+-bB ． 2+-bC ．2-bD ．2+b8．函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a9. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-)0()0(72)(21x x x x f x ，若1)(<a f ，则实数的取值范围是A ．)3,(--∞ B. ),1(+∞C. )1,3(- D. ),1()3,(+∞--∞10．若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为A.)41,(--∞B. ),41(+∞-C. (0,＋∞)D. )21,(--∞二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是恒成立，有解，零点问题的概念题，根据条件转化为最值问题，理解，判断选项.【详解】由条件对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，可知()min p f x ≤，即p 的取值范围是(],m -∞，故①错②正确；若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，说明p 应属于函数()f x 在[],a b 上的值域[],m M ，故③正确；若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则()max p f x ≤，即p M ≤则p 的取值范围是(],M -∞，故④错⑤正确. 故选：B4．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B.【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P 是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤∈Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B =______．【答案】{}23，【分析】先求得集合A 、B ，再由集合的补集运算、交集运算可得答案.【详解】因为{}{}210,101A x x x =-≤∈=-Z ，，，{}3,2,1,0,1,2,3U =---，所以{}3223A =--，，，，又{}{}13,10123B x x x =-≤≤∈=-Z ，，，，，所以A B ={}23，， 故答案为：{}23，. 9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}|A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++ 所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<；若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =,2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。

2016-2017学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2016-2017学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N = __.2.集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}的非空真子集的个数为_____3.若命题p ：()()20x m x m ---≤；命题q ：431x -≤，且p 是q 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是__.4.已知集合{}|42A x m x m =-<<，{}|14B x x =-<<，若A B B = ，则实数m 的取值范围为__.5.下列命题：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c cc a b>⇒<；③22a b ac bc >⇒>；④33>⇒>a b a b ，其中正确的命题个数是__.6.不等式()()243054x x x x ++<-+的解集为__.7.函数0()f x =的定义域是__.8.若()23f x ax a =+是定义在25,1a a ⎡⎤--⎣⎦上的偶函数，令函数()()()1g x f x f x =+-，则函数()g x 的定义域为__.9.已知函数()2511x x f x a x x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是__.10.函数()y f x =定义域是D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()y f x =在[]0,1上为非减函数，满足条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-；则1132016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭__.二、选择题11.设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx 2+4mx﹣4＜0对任意x 恒成立}，则P 与Q 的关系是A.P ⊆QB.Q ⊆PC.P=QD.P∩Q=∅12.已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式成立的是()A.xy yz> B.xy xz > C.xz yz> D.x y y z>13.下列判断中正确的是（）A.()2f x =是偶函数B.()21x xf x x -=-是奇函数 C.()2121x xf x +=-是偶函数 D.()433f x x =--是奇函数14.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.)+∞B.[2,)+∞C .(0,2]+ D.[1]-⋃三、解答题15.已知关于x 的不等式()()2440kx k x --->，其中k ∈R ；（1）当4k =时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为()5,4-时，求k 的值.16.某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售价格506p x =--（元/百斤），第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售量8q a x =+-（百斤）（a 为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？17.已知函数()()0tf x x t x x=-+>；（1）判断函数()y f x =在区间(]0,t 上的单调性，并证明；（2）若函数()y f x =的最小值为与t 无关的常数，求实数t 的取值范围.18.已知函数()()224f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值为4a -，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由.2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N = __.【答案】{}2,4,8找出既属于集合M 又属于集合N 的元素，可得到两集合的并集，然后根据全集U ，找出不属于两集合并集的元素，即为所求的补集.【详解】解：∵{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，∴{}1,3,5,6,7M N = ，又全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，则(){}2,4,8U C M N = .故答案为：{}2,4,8.【点睛】本题考查了集合的交、并、补集的混合运算，重点考查了运算能力，属基础题.2.集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}的非空真子集的个数为_____【答案】14化简集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5},根据集合的真子集定义即可求出.【详解】因为{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5}所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14.【点睛】本题主要考查了集合的真子集，属于中档题.3.若命题p ：()()20x m x m ---≤；命题q ：431x -≤，且p 是q 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是__.【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦分别由命题p 和命题q 解出它们对应的不等式的解集，根据p 是q 的必要不充分条件，说明q 的解集是p 解集的真子集，建立不等式组可得出实数m 的取值范围.【详解】解：命题p ：()()202x m x m m x m ---≤⇒≤≤+，即[],2A m m =+,命题q ：1431143112x x x -≤⇒-≤-≤⇒≤≤，即1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∵p 是q 的必要非充分条件，则集合B 为集合A 的真子集，∴1221m m ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩112m ⇒-≤≤.故答案为：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题..4.已知集合{}|42A x m x m =-<<，{}|14B x x =-<<，若A B B = ，则实数m 的取值范围为__.【答案】[]2,3【分析】根据A B B = ，说明B A ⊆，建立不等关系即可求实数m 的取值范围.【详解】解：∵A B B = ，∴B A ⊆，∵{}|42A x m x m =-<<，{}|14B x x =-<<，∴满足：4142m m-≤-⎧⎨≤⎩，解得：23m ≤≤，综上所得实数m 的取值范围是[]2,3.故答案为：[]2,3.【点睛】本题考查了集合的包含关系的判断及应用，重点考查了集合的运算，属基础题.5.下列命题：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c cc a b>⇒<；③22a b ac bc >⇒>；④33>⇒>a b a b ，其中正确的命题个数是__.【答案】2根据不等式的性质依次判断可得结论.【详解】解：①a b a b >⇒-<-，∴c a c b -<-；不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变.∴①对.②a b >，0c cc a b>⇒<，当0b <时，不等式不成立，②不对.③22a b ac bc >⇒>；当0c =时，不等式不成立，∴③不对.④33a b a b >⇒>⇒>，∴④对.正确的是①④.故答案为：2.【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.6.不等式()()243054x x x x ++<-+的解集为__.【答案】()()4,31,4-- 通过因式分解求出不等式的解集即可.【详解】解：∵()()243054x x x x ++<-+，∴()()()()43041x x x x ++<--，解得：43x -<<-或14x <<，故答案为：()()4,31,4-- .【点睛】本题考查了分数不等式的解法，重点考查了高次不等式的解法，属基础题.7.函数0()f x =的定义域是__.【答案】（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．【详解】解：由300x x x +≠⎧⎨-⎩＞，解得x ＜0且x ≠﹣3．∴函数()f x+=（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．8.若()23f x ax a =+是定义在25,1a a ⎡⎤--⎣⎦上的偶函数，令函数()()()1g x f x f x =+-，则函数()g x 的定义域为__.【答案】[]0,1根据题意和偶函数的性质列出不等式组，求出a 的值，可得函数()f x 的定义域，由函数()g x 的解析式列出不等式，求出()g x 的定义域.【详解】解：∵()f x 是定义在25,1a a ⎡⎤--⎣⎦上的偶函数，∴2251015a a a a ⎧-+-=⎨->-⎩，解得2a =，则函数()f x 的定义域是[]1,1-，由11111x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩得，01x ≤≤，∴函数()g x 的定义域是[]0,1，故答案为：[]0,1.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质；重点考查了函数的定义域及其求法，属基础题.9.已知函数()2511x x f x ax x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是__.【答案】[]4,1-根据分段函数在R 上的单调函数，由125y x =-(1)x <是单调递增函数，可得2ay x x=+，(1)x ≥也是单调递增函数，再求解即可.【详解】解：函数()2511x x f x ax x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，当1x <，125y x =-是单调递增函数，其最大值小于-3，则2ay x x=+(1)x ≥也是单调递增函数，①当0a ≤时，2ay x x =+是单调递增函数，由题意：()max min25a x x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，即13a +≥-，即40a -≤≤，②当0a >时，根据对勾函数的性质可知：2y在)+∞是单调递增，∵2ay x x=+的定义域为{}|1x x ≥，1≤，解得：01a <≤.那么：当1x =时，函数2ay x x=+取得最小值为1a +.由题意：()max min25a x x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，即13a +≥-，解得：4a ≥-，即01a <≤.综合①②可得：14a ≥≥-.故答案为：[]4,1-.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.10.函数()y f x =定义域是D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()y f x =在[]0,1上为非减函数，满足条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-；则1132016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__.【答案】65128由已知条件求出13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11121891458128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合111218920161458<<及非减函数概念得12016f ⎛⎫⎪⎝⎭，则答案可求.【详解】解：由③，令0x =，则()()1101f f =-=，由②，令1x =，则()1111322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11119234f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111127298f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11118122716f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111124328132f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111729224364f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111121892729128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由③，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11116224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111118268f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11115421816f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111116225432f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111486216264f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111114582486128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵111218920161458<<，∴112016128f ⎛⎫=⎪⎝⎭.∴111165320162128128f f ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：65128.【点睛】本题考查了函数性质的应用，重点考查了对函数新性质的理解，属中档题.二、选择题11.设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx 2+4mx﹣4＜0对任意x 恒成立}，则P 与Q 的关系是A .P ⊆QB.Q ⊆PC.P=QD.P∩Q=∅【答案】C2440mx mx +-<对任意x 恒成立，当0m =时，不等式恒成立，当0m ≠时，不等式恒成立只需2010*******m m m m m m <<⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨∆=+<-<<⎩⎩，则{10}Q m m =-<≤，{10}P m m =-<≤，P Q =，选C.12.已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式成立的是()A.xy yz> B.xy xz > C.xz yz> D.x y y z>【答案】B利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为,0x y z x y z >>++=，所以0x >，所以xy xz >，故选B【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.13.下列判断中正确的是（）A.()2f x =是偶函数B.()21x xf x x -=-是奇函数C.()2121x xf x +=-是偶函数 D.()433f x x =--是奇函数【答案】D根据题意，依次分析选项，对于每一个选项，先求出函数的定义域，再分析()f x -与()f x 的关系，可得函数的奇偶性，综合即可得答案.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、()2f x =，其定义域为{}|0x x ≥，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故A 错误；对于B 、()21x xf x x -=-，其定义域为{}|1x x ≠，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故B 错误；对于C 、()2121x x f x +=-，其定义域为{}|0x x ≠，定义域关于原点对称，又()()21122112x xx xf f x x --++--==--=，即()f x 为奇函数，故C 错误；对于D 、函数()433f x x =--，其定义域为{}|22x x -≤≤，关于原点对称，则()f x x=-，则()()4x f x f x x -=-=-，即()f x 为奇函数，故D 正确；故选：D .【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，重点考查了运算能力，属基础题.14.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.)+∞B.[2,)+∞C.(0,2]+D.[1]-⋃【答案】A试卷分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，所以0x 时，2()f x x =-，所以()f x在R 上单调递增，且2())f x f =．对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，即())f x t f +≥恒成立．因为()f x 在R 上单调递增，所以任意的[,2]x t t ∈+，x t +≥恒成立．即1)t x ≥-恒成立，当[,2]x t t ∈+时，max1)1)(2)x t ⎡⎤-=-+⎣⎦，所以只需1)(2)t t ≥+，解得t ≥．故A 正确．考点：奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值三、解答题15.已知关于x 的不等式()()2440kx k x --->，其中k ∈R ；（1）当4k =时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为()5,4-时，求k 的值.【答案】（1）()(),45,-∞+∞ （2）1k =-或4k =-（1）由4k =时不等式化为()()416440x x --->，求出解集即可；（2）不等式的解集为()5,4-时，有2045k k k<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，从而求出k 的值.【详解】解：（1）关于x 的不等式()()2440kx k x --->，当4k =时，不等式化为()()416440x x --->，解得4x <或5x >，所以不等式的解集为()(),45,-∞+∞ ；（2）当不等式()()2440kx k x --->的解集为()5,4-时，有2045k k k <⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得1k =-或4k =-.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，重点考查了由不等式的解集求参数的值，属中档题.16.某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售价格506p x =--（元/百斤），第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售量8q a x =+-（百斤）（a 为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？【答案】（1）第10天的销售收入1932元（2）第2天该商品的销售收入最大,最大为2116元（1）根据第7天的销售收入求得a ，再代入销售量q 中求第10天的销售收入；（2）由（1）求出的a 值，分16x ≤≤和820x ≤≤两个范围分别求出销售收入关于第x 天的函数，再分别求出其函数的最大值，再比较每一段间最大值的大小，得解.【详解】（1）由已知得第7天的销售价格49p =，销售量1q a =+．∴第7天的销售收入()74912009W a =⨯+=（元）40a ⇒=．所以销售量408q x =+-，所以：第10天的销售收入1046421932W =⨯=（元），（2）设第x 天的销售收入为x W ，则()()()()4448,162009,75632,820x x x x W x x x x ⎧+-≤≤⎪==⎨⎪-+≤≤⎩当16x ≤≤时，()()()()22244484448444484221162,x W x x x x x x =+-=⨯+-=⨯+--=--当2x =时取最大值22116W =，当820x ≤≤时，()()()225632563224193612x W x x x x x =-+=⨯+-=--，当12x =时取最大值121936W =．由于2712W W W >>，∴第2天该商品的销售收入最大【点睛】本题考查二次函数的实际应用，运用二次函数时注意自变量的分段取值范围，属于基础题.17.已知函数()()0t f x x t x x=-+>；（1）判断函数()y f x =在区间(]0,t 上的单调性，并证明；（2）若函数()y f x =的最小值为与t 无关的常数，求实数t 的取值范围.【答案】（1）函数()y f x =在区间(]0,t 上单调递减，证明见解析（2）01t <≤（1）当0x t <≤，()t f x t x x=-+，用定义法证明即可；（2）分类讨论，要使函数()y f x =的最小值为与t无关的常数，则t ≥t 的取值范围.【详解】解：（1）当0x t <≤，()t f x t x x=-+，函数()y f x =在区间(]0,t 上单调递减；证明如下：设120x x t <<≤，则()1212211212()()(1)0t t t f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+>，即()12()f x f x >，即函数()y f x =在区间(]0,t 上单调递减；（2）①当0t ≤时，()t f x x t x=++，函数单调递增，则函数在()0,∞+无最小值，②当0t >时，(),0,t t x x t x f x t x t x t x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩，由0x t <≤时，()min ()1f x f t ==，则x t >时，()t f x x t x=+-，由对勾函数图像的性质可得：要使函数()y f x =的最小值为与t无关的常数，则t ≥01t <≤，故实数t 的取值范围为：01t <≤.【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.18.已知函数()()224f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值为4a -，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）6a ≥（2）存在整数m ，n ，1m =-，2n =或0m =，3n =，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n （1）先求出二次函数的对称轴方程，再讨论对称轴与定区间的位置关系①当212a -≤时，②当222a -≥时，③2122a -<<时，求函数的最小值，然后运算即可得解；（2）假设存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，即()224m x a x a n ≤--+-≤的解集为{}|x m x n ≤≤，再结合二次方程的根的关系求解即可.【详解】解：（1）函数()()224f x x a x a =--+-的对称轴为22a x -=，①当212a -≤，即4a ≤时，()()()min 1124145f x f a a a a ==--+-=-=-⇒=，不满足4a ≤，②当222a -≥，即6a ≥时，()()()min 22224f x f a a ==--+-46a a R a =-⇒∈⇒≥符合题意.③2122a -<<，即46a <<时，()()()2min 442224a a a f x f ----⎛⎫== ⎪⎝⎭46a a a =-⇒=⇒∈∅.综上：实数a 的取值范围：6a ≥.（2）假设存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，即()224m x a x a n ≤--+-≤的解集为{}|x m x n ≤≤.可得()f m m =，()f n n =.即()224x a x a x --+-=的两个实数根为m ，n .即可得出.1m n a +=-，4mn a =-.()313m n mn m n n ⇒+=+⇒-=-，当1n =时，m 不存在，舍去，当1n ≠时，321111n m m n n-==+⇒=---，2n =或0m =，3n =.故存在整数m ，n ，且1m =-，2n =或0m =，3n =，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n .【点睛】本题考查了二次函数动轴定区间问题，主要考查了二次函数的值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.。

华师一附中2020-2021学年度上学期期中检测高一数学试卷

华师一附中2020-2021学年度上学期期中检测高一数学试卷

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟 命题人：张丹 审题人：黄进林一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1 ．已知{}3,0,1A =−，{}4,3,1B =−−，则A B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31 2 ．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3 ．已知函数()f x 的定义域为(1,1)−，函数()()21g x f x =−，则函数()g x 的定义域为（ ）A ．()1,1−B ．()0,1C ．()3,1−D ．()()()3,1f f −4 ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．3+5 ．函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．(],2−∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．[]2,46 ．若关于x 的不等式()2121x x a a a −+−++∈R ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a −＜＜ B ．01a ＜＜ C ．12a ＜＜ D ．1a −＜7 ．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，()20f −=，则不等式()0xf x ＞的解集为（ ）A ．()(),20,2−∞−B ．()(),22,−∞−+∞C ．()()2,00,2−D ．(2,0)(2,)−+∞ 8 ．已知函数()22+1f x x x =−+，[]0,2x ∈，函数()1g x ax =−，[]1,1x ∈−，对于任意[]10,2x ∈，总存在[]21,1x ∈−，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3−∞− B ．[)3,+∞ C ．(][),33,−∞−+∞ D ．()(),33,−∞−+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9 ．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c ＞＞ B ．c b a ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a c b ＞＞ 10．下列各结论中正确的是（ ）A ．“0ab ＞”是“0ab＞”的充要条件B ．函数y =+ 2C ．命题“1x ∀＞，20x x −＞”的否定是“01x ∃≤，2000x x −≤” D ．若函数21y x ax =−+有负值，则实数a 的取值范围是2a ＞或2a −＜11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x ＞时，()0f x ＞．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数12．设定义域为R 的函数()1, 11,1x x f x x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x ＜＜．下列说法正确的是（ ）A ．2221235x x x ++= B ．10a b ++=C ．1322x x x +＞D ．132x x +=−三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}2,1A =−，{}2B x ax ==，若A B B =，则实数a 的取值集合为_______． 14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++−=在区间()1,2−内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是_______．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第_______种购物方式比较经济．16．已知函数()2=x ax af x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合{}12A x x =−≤，2614x B x x ⎧−⎫=⎨⎬−⎩⎭＜，定义{}A B x x A x B −=∈∉且.（1）求A B −；（2）求B A −． 18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2312310A x x a x a =−++−＜，集合(){}223220B x x a a x a a =−++++＜.命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1−上的奇函数，且()11f =.（1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使()()2110f a f a −+−＜成立的实数a 的取值范围． 20．（本题满分12分）已知函数()()21f x x a x =−++()a ∈R ．（1）若对于任意[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()g a ．华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米()36x ≤≤． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为()18001a x x+元()0a ＞，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为22,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()3g x x =−+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在()0,+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,,x y y h x x y y xm ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．。

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上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。

13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab1的最小值为 14．定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。

若a b t +-（t 为正常数）的a b +邻域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅ （B ） M N M = （C ）M N M = （D ）M N R =16、下列命题中正确的是：（ ）（A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a > （C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <17、设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件18、对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b --的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41 D ．4- 三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++0862132x x x x 20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值范围。

21、设集合},04|{2R x x x x A ∈=+=，},01)1(2|{22R x a x a x x B ∈=-+++=，（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若A ∩B= B ，求实数a 的取值范围。

22、若实数x 、y 、m 满足|x -m |>|y -m |，则称x 比y 远离m ．(1) 若x 2-1比3远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离223、某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a .试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.24、已知一元二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为)0,(c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.（1）当1a =，12c =时，求出不等式()0f x <的解； （2）求出不等式()0f x <的解(用,a c 表示)；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；（4）若不等式0122≥+++-ac b km m 对所有[1,1]k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

四、附加题：（每题4分，共20分）25、定义集合运算：A ⊙B =｛z|z= xy(x+y)，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合}1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合A ⊙B 的所有元素之和为26、关于不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为}2{-，则实数k 的取值范围是__27、设集合},02|{2R x a ax x x A ∈=+-=，},054|{2R x a x x x B ∈=++-=，若A 和B 中有且仅有一个是∅，则实数a 的取值范围是28、设集合{0,1,2,3,4,5}S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为集合A 的一个“孤立元素”.，那么集合S 中所有无“孤立元素”的4元子集有 个29、设1(0,)2x ∈，则xx 2192-+的最小值为参考答案一、填空题：（每空3分，共42分）1、}4,2,1,0,1{-2、 ),2[)3,(+∞--∞3、)}2,1{(4、)6,1(-5、 1或36、}5,3,1{7、15 8、若52≥≤x x 或，则01072≥+-x x 9、132- 10、),21()1,(+∞--∞ 11、 )23,21(- 12、)3,1(- 13、181 14、221t 二、选择题：（每题3分，共12分）15、B 16、D 17、A 18、B三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解：由213≤++x x 得：011≥+-x x ，∴1x 1≥-<或x 由0862<--x x 得：173173+<<-x ∴不等式组得解集为)173,1[)1,173(+--20、解：（1）3a =时，}013|{<+-=x x x P ,∴)3,1(-=P （2）∵Q Q P = ，∴Q P ⊆, 而)1,5(-=Q ，),1(a P -=，（0>a ）∴10≤<a21、解：(1) A={x|x 2+4x =0，x ∈R}={0，-4}若A ∩B ＝A ∪B ，则B A =，∴1=a（2）若A ∩B= B ，则 B ⊆A∴ B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}；①当B=∅时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a 2-1)<0⇒ a< -1②当B={0}时，202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩ ⇒ a=-1 ③当B={-4}时，2442(1)161a a --=-+⎧⎨=-⎩⇒ a 不存在④当B={0，-4}时，2402(1)01a a -+=-+⎧⎨=-⎩⇒ a=1∴ a 的取值范围为}1{]1,( --∞。

22、解：(1)由题设|03||01|2->--x ，即313122>--<-x x 或 ∴22>-<x x 或；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有222a b ab +>332a b +> 因为|2||2|2233ab ab ab b a ab ab b a -+--+0))((2>-+=b a b a 所以|2||2|2233ab ab ab b a ab ab b a -+>-+即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离223、解：设新电价为x 元/千瓦时(0.550.75)x ≤≤，则新增用电量为0.20.4a x -千瓦时. 依题意，有0.2()(0.3)(0.80.3)(120%)0.4a a x a x +-≥-+-， 即(0.2)(0.3)0.6(0.4)x x x --≥-，整理，得2 1.10.30,x x -+≥解此不等式，得0.6x ≥或0.5x ≤，又0.550.75x ≤≤,所以，0.60.75x ≤≤，因此，min 0.6x =，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%.24、解：（1）当1a =，12c =时，21()2f x x bx =++，()f x 的图像与x 轴有两个不同交点，1()02f =，设另一个根为2x ，则21122x =，21x ∴=， 则 ()0f x <的解集为 )1,21(.(2)()f x 的图像与x 轴有两个交点，()0f c =，设另一个根为2x ，则221ccx x a a =∴=又当0x c <<时，恒有()0f x >，则1c a >，∴()0f x <的解集为)1,(a c（3）由(2)的()f x 的图像与坐标轴的交点分别为1(,0),(,0),(0,)c c a 这三交点为顶点的三角形的面积为11()82S c c a =-=，21168c a c ∴=≤=+ 故10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.（4）()0f c =，∴02=++c bc ac ，又∵0>c ，∴01=++b ac ，要使220m km -≥，对所有[1,1]k ∈-恒成立，则当0>m 时，max )2(k m ≥＝2当0<m 时，min )2(k m ≤＝－2当0=m 时，0202•≥k ，对所有[1,1]k ∈-恒成立从而实数m 的取值范围为 202m m m ≤-=≥或或注：第4小题也可运用线性函数的“刚性”求解四、附加题：（每题4分，共20分）25、 18 26、 )2,3[- 27、 ),1[]0,1(+∞- 28、629、 25。

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