圆的综合练习题及答案
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心,4为半径的圆()A.与x轴相交,与y轴相切B.与x轴相离,与y轴相交C.与x轴相切,与y轴相交D.与x轴相切,与y轴相离2.如图,在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为()A.22B.24C.10√5D.12√33.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=100°,则∠DCB等于()A.90°B.100°C.130°D.140°4.如图,在正五边形ABCDE中连接AD,则∠DAE的度数为()A.46°B.56°C.36°D.26°5.如图,PA、PB为∠O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交∠O 于点D.下列结论不一定成立的是()A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A,B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线6.如图,四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC,若AB=CD,∠ACB=45°,∠ACD=12∠BAC,则BC的长度为()A.6 √3B.6 √2C.9 √3D.9 √27.如图,点A,B,D,C是∠O上的四个点,连结AB,CD并延长,相交于点E,若∠BOD=20°,∠AOC=90°,则∠E的度数为()A.30°B.35°C.45°D.55°8.∠ABC中∠C=Rt∠,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB,BC分别交于点E,D,则AE的长为()A.95B.125C.185D.3659.如图,AB为∠O的直径,点C在∠O上,若∠B=60°,则∠A等于()A.80°B.50°C.40°D.30°10.两个圆的半径分别是2cm和7cm,圆心距是5cm,则这两个圆的位置关系是() A.外离B.内切C.相交D.外切11.已知正三角形的边长为12,则这个正三角形外接圆的半径是()A.B.C.D.12.一个扇形的弧长为4π,半径长为4,则该扇形的面积为()A.4πB.6πC.8πD.12π二、填空题13.在Rt∠ABC中∠C=90°,AB=5,BC=4,求内切圆半径14.如图,∠C过原点,且与两坐标轴分别交于点A,点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内弧OB上一点,∠BMO=120°,则∠C的半径为.15.一个立体图形的三视图如图所示,根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16.一个半径为5cm的球形容器内装有水,若水面所在圆的直径为8cm,则容器内水的高度为cm.17.如图,在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,已知P(4,2)和A(2,0),则点B的坐标是.18.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.已知:平面内一点A.求作:∠A,使得∠A=30°.作法:如图①作射线AB;②在射线AB取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;③以C为圆心,OC C为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.则∠DAB即为所求的角.请回答:该尺规作图的依据是.三、综合题19.如图,在△ABC中AC=BC=BD,点O在AC边上,OC为⊙O的半径,AB是⊙O 的切线,切点为点D,OC=2,OA=2√2.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)求阴影部分的面积.20.如图,△ABC内接于⊙O,CD是直径,∠CBG=∠BAC,CD与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,过点O作OH⊥AC,垂足为H,连接BD、OA.(1)求证:直线BG与⊙O相切;(2)若BEOD=54,求EFAC的值.21.如图,四边形ABCD 内接于∠O,BD是∠O的直径,过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE∠CD;(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求∠O的半径.22.如图,∠O是∠ABC的外接圆,BC为∠O的直径,点E为∠ABC的内心,连接AE并延长交∠O 于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF、BE.(1)求证:DB=DE;(2)求证:直线CF为∠O的切线.23.公元前5世纪,古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱,在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣.他不断变换观察的位置,一会儿看见圆比正方形大,一会儿看见正方形比圆大,于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积(1)设有一个半径为√3的圆,则这个圆的周长为,面积为,作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)(2)由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图),包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的.但若不受标尺的限制,化圆为方并非难事。
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析一、圆的综合1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题:(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积.【答案】(1)证明见解析(2)24【解析】试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可;(2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解.试题解析:(1)证明:连接OD ,∵OD=OA ,∴∠ODA=∠A ,∵四边形OABC 是平行四边形,∴OC ∥AB ,∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA ,∴∠EOC=∠DOC ,在△EOC 和△DOC 中,OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC (SAS ),∴∠ODC=∠OEC=90°,即OD ⊥DC ,∴CD 是⊙O 的切线;(2)由(1)知CD 是圆O 的切线,∴△CDO 为直角三角形,∵S △CDO =12CD•OD , 又∵OA=BC=OD=4,∴S△CDO=12×6×4=12,∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24.2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O).(1)求⊙M的半径;(2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4.【解析】【分析】(1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长;(2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论;(3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】(1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM,∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径,∴BT=TC=123∴124;(2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB,∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中,∵∠OFC+∠OCF=90°,∴∠HBC=∠OFC=∠AFH,在△AEH和△AFH中,∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEH≌△AFH(AAS),∴EH=FH;(3)由(1)易知,∠BMT=∠BAC=60°,作直径BG,连CG,则∠BGC=∠BAC=60°,∵⊙O的半径为4,∴CG=4,连AG,∵∠BCG=90°,∴CG⊥x轴,∴CG∥AF,∵∠BAG=90°,∴AG⊥AB,∵CE⊥AB,∴AG∥CE,∴四边形AFCG为平行四边形,∴AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.3.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证:AC∥OD;(2)如果DE⊥BC,求»AC的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)2π.【解析】试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度.试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO,∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD;(2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606180π⨯=2π.点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.4.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=23.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若∠BAC=60°,DE=7,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析;(2)32π.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到OD⊥BC,根据平行线的性质得到OD⊥DF,根据切线的判定定理证明;(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,证明△OBD为等边三角形,得到∠ODB=60°,3PE,证明△ABE∽△AFD,根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明:(1)连结OD,∵AD平分∠BAC交⊙O于D,∴∠BAD=∠CAD,∴»»BD CD=,∴OD⊥BC,∵BC∥DF,∴OD⊥DF,∴DF为⊙O的切线;(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=30°,∴∠BOD=2∠BAD=60°,∴△OBD为等边三角形,∴∠ODB=60°,3,∴∠BDF=30°,∵BC∥DF,∴∠DBP=30°,在Rt△DBP中,PD=123,3,在Rt△DEP中,∵37∴22(7)(3)=2,∵OP⊥BC,∴BP=CP=3,∴CE=3﹣2=1,∵∠DBE=∠CAE,∠BED=∠AEC,∴△BDE∽△ACE,∴AE:BE=CE:DE,即AE:5=17,∴57∵BE∥DF,∴△ABE∽△AFD,∴BE AE DF AD=,即5757125DF=,解得DF=12,在Rt△BDH中,BH=12BD=3,∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣(扇形BOD的面积﹣△BOD的面积)=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π.【点睛】考查的是切线的判定,扇形面积计算,相似三角形的判定和性质,圆周角定理的应用,等边三角形的判定和性质,掌握切线的判定定理,扇形面积公式是解题的关键.5.如图1,是用量角器一个角的操作示意图,量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块30°(∠CAB=30°)角的三角板拼在一起,三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB,在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时,点E处的读数是,此时△BCE的形状是;(2)设旋转x秒后,点E处的读数为y,求y与x的函数关系式;(3)当CP旋转多少秒时,△BCE是等腰三角形?【答案】(1)60°,直角三角形;(2)y=4x(0≤x≤45);(3)7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题;(2)如图2﹣2中,由题意∠ACE=2x,∠AOE=y,根据圆周角定理可知∠AOE=2∠ACE,可得y=2x(0≤x≤45);(3)分两种情形分别讨论求解即可;【详解】解:(1)如图2﹣1中,∵∠ACB=90°,OA=OB,∴OA=OB=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,∴∠AOE=60°,∴点E处的读数是60°,∵∠E=∠BAC=30°,OE=OB,∴∠OBE=∠E=30°,∴∠EBC=∠OBE+∠ABC=90°,∴△EBC是直角三角形;故答案为60°,直角三角形;(2)如图2﹣2中,∵∠ACE=2x,∠AOE=y,∵∠AOE=2∠ACE,∴y=4x(0≤x≤45).(3)①如图2﹣3中,当EB=EC时,EO垂直平分线段BC,∵AC⊥BC,∵EO∥AC,∴∠AOE=∠BAC=30°,∠AOE=15°,∴∠ECA=12∴x=7.5.②若2﹣4中,当BE=BC时,易知∠BEC=∠BAC=∠BCE=30°,∴∠OBE=∠OBC=60°,∵OE=OB,∴△OBE是等边三角形,∴∠BOE=60°,∴∠AOB=120°,∠ACB=60°,∴∠ACE=12∴x=30,综上所述,当CP旋转7.5秒或30秒时,△BCE是等腰三角形;【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.6..如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A 重合),⊙D与AB相切,切点为E,⊙D交射线..DC于点F,过F作FG⊥EF交直线..BC于点G,设⊙D的半径为r.(1)求证AE=EF;(2)当⊙D与直线BC相切时,求r的值;(3)当点G落在⊙D内部时,直接写出r的取值范围.【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 3r<<【解析】【分析】(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,即可求解;(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F,∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理,即可求解;(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况,分别求解即可.【详解】解:设圆的半径为r;(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,∴AE=EF;(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r ,由勾股定理得:(3r )2+9=36,解得:r=3; (3)①当点F 在线段AC 上时,如图3所示,连接DE 、DG ,333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时,如图4所示,连接DE 、DG ,333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反,GC 2相同,由勾股定理得:DG 2=CD 2+CG 2,点G 在圆的内部,故:DG2<r2,即:22(332)(339)2r r r +-<整理得:25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;利用勾股定理计算线段的长.7.如图1,等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,过点A ,C 的圆交AB 于点D ,交BC 于点E ,连结DE(1)若AD=7,BD=1,分别求DE ,CE 的长(2)如图2,连结CD ,若CE=3,△ACD 的面积为10,求tan ∠BCD(3)如图3,在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD (点P 与点E 不重合),连结PD ,且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ,说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ,PF=b ,PD=c ,若(a-2c )(b-2c )=8,求△CPF 的内切圆半径长.【答案】(1)DE=1,CE=322)tan ∠BCD=14;(3)①135°;②2. 【解析】 【分析】(1)由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解;(2)找∠BDF 与∠ODA 为对顶角,在⊙O 中,∠COD=2∠CAD ,证明△OCD 为等腰直角三角形,从而得到∠EDC+∠ODA=45°,即可证明∠CDF=135°;(3)过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ,结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点,得出∠CPF=90°,然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒,最后再根据三角形内角和定理即可求解;证明∠DCF+∠CFD=45°,从而证明∠CPF 是直角,再求证四边形PKDN 是正方形,最后以△PCF 面积不变性建立等量关系,结合已知(2c )(2c )=8,消去字母a ,b 求出c 值,即求出△CPF 2c . 【详解】 (1)由图可知:设BC=x .在Rt △ABC 中,AC=BC .由勾股定理得: AC 2+BC 2=AB 2,∵AB=AD+BD ,AD=7,BD=1, ∴x 2+x 2=82, 解得:x=42.∵⊙O 内接四边形,∠ACD=90°, ∴∠ADE=90°, ∴∠EDB=90°, ∵∠B=45°,∴△BDE 是等腰直角三形. ∴DE=DB , 又∵DB=1, ∴DE=1, 又∵CE=BC-BE , ∴CE=42232-=. (2)如图所示:在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ,设BE=y ,则DM=12y , 又∵CE=3,∴BC=3+y , ∵S △ACB =S ACD +S DCB ,∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯, 解得:y=2或y=-11(舍去). ∴EM=1,CM=CE+ME=1+3=4, 又∵∠BCD=∠MCD ,∴tan ∠BCD=tan ∠MCD , 在Rt △DCM 中,tan ∠MCD=DM CM =14, ∴tan ∠BCD=14. (3)①如下图所示:过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F .∵∠CAD=45°, ∴∠CPD=∠CAD=45°, 又∵点D 是CPF ∆的内心, ∴PD 、CD 、DF 都是角平分线,∴∠FPD=∠CPD =45°,∠PCD=∠DCF ,∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90° ∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°, 即∠CDF 的度数为135°. ②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ,DM ⊥CF ,DN ⊥PF 于直线PC ,CF 和PF 于点K ,M ,N 三点, 设△PCF 内切圆的半径为m ,则DN=m ,∵点D 是△PCF 的内心, ∴DM=DN=DK ,又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°,∠FDC=45°, ∴∠DCF+∠CFD=45°,又∵DC ,DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线, ∴∠PCF=2∠DCF ,∠PFC=2∠DFC , ∴∠PCF+∠PFC=90°, ∴∠CPF=90°.在四边形PKDN 中,∠PND=∠NPK=∠PKD=90°, ∴四边形PKDN 是矩形, 又∵KD=ND ,∴四边形PKDN 是正方形. 又∵∠MBD=∠BDM=45°, ∠BDM=∠KDP , ∴∠KDP=45°. ∵PC=a ,PF=b ,PD=c ,∴,∴NF=b -,CK=a -, 又∵CK=CM ,FM=FN ,CF=CM+FM , ∴CF=a b +, 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ,∴1111ab a b (a b 2222=+++-),化简得:)2a b c c +-------(Ⅰ),又∵若(c )(c )=8化简得:()2ab a b 2c 8++=------(Ⅱ),将(Ⅰ)代入(Ⅱ)得:c 2=8,解得:c =c =-∴m=c 222==, 即△CPF 的内切圆半径长为2. 【点睛】本题考查圆的内接四边形性质,圆的内心,圆心角、圆周角,同弧(或等弧)之间的相互关系,同时也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式,正方形,对顶角和整式的运算等知识点;难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长.8.如图,四边形为菱形,且,以为直径作,与交于点.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作图痕迹)(1)在如图中,过点作边上的高.(2)在如图中,过点作的切线,与交于点.【答案】(1)如图1所示.(答案不唯一),见解析;(2)如图2所示.(答案不唯一),见解析.【解析】【分析】(1)连接AC交圆于一点F,连接PF交AB于点E,连接CE即为所求.(2)连接OF交BC于Q,连接PQ即为所求.【详解】(1)如图1所示.(答案不唯一)(2)如图2所示.(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图,菱形和圆的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.9.如图,△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,点P是AC边上一动点(不与点A、C重合),以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE⊥CB于点E.(1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409R=;(2)25880320xy x xx=-++;(3)50105-.【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,即可求解;(2)首先证明PD∥BE,则EB BFPD PF=,即:2024588x yxxx-+--=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC =HP CP =10R R -=45,解得:R =409; (2)在△ABC 中,AC =BC =10,cosC =35, 设AP =PD =x ,∠A =∠ABC =β,过点B 作BH ⊥AC ,则BH =ACsinC =8,同理可得:CH =6,HA =4,AB =45,则:tan ∠CAB =2, BP =228+(4)x -=2880x x -+,DA =25x ,则BD =45﹣25x , 如下图所示,PA =PD ,∴∠PAD =∠CAB =∠CBA =β,tanβ=2,则cosβ5,sinβ5, EB =BDcosβ=(525x )5=4﹣25x ,∴PD ∥BE ,∴EB BFPD PF=,即:2024588x y x xx -+--=,整理得:y 25xx 8x 803x 20-++(3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q是弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴AB=DB+AD=AG+AD=5设圆的半径为r,在△ADG中,AD=2rcosβ5DG5AG=2r,5=52r51+,则:DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.10.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC为直径,»»BD AD=,DE⊥BC,垂足为E.(1)判断直线ED与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积.【答案】(1)ED 与O e 相切.理由见解析;(2)2=33S π-阴影. 【解析】 【分析】(1)连结OD ,如图,根据圆周角定理,由»»BD AD =得到∠BAD =∠ACD ,再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ,所以∠ACD =∠DCE ;利用内错角相等证明OD ∥BC ,而DE ⊥BC ,则OD ⊥DE ,于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线;(2)作OH ⊥BC 于H ,易得四边形ODEH 为矩形,所以OD =EH =2,则CH =HE ﹣CE =1,于是有∠HOC =30°,得到∠COD =60°,然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可. 【详解】(1)直线ED 与⊙O 相切.理由如下:连结OD ,如图,∵»»BD AD =,∴∠BAD =∠ACD .∵∠DCE =∠BAD ,∴∠ACD =∠DCE .∵OC =OD ,∴∠OCD =∠ODC ,而∠OCD =∠DCE ,∴∠DCE =∠ODC ,∴OD ∥BC . ∵DE ⊥BC ,∴OD ⊥DE ,∴DE 为⊙O 的切线;(2)作OH ⊥BC 于H ,则四边形ODEH 为矩形,∴OD =EH .∵CE =1,AC =4,∴OC =OD =2,∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1.在Rt △OHC 中,∵OC =2,CH =1,∠OHC =90°,∠HOC =30°,∴∠COD =60°,∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD26023360π⋅⋅=-•2223=π3-.【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了扇形面积的计算.11.已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∠DAB =120°,BC =CD ,AD =4,AC =7,求AB 的长度.【答案】AB =3. 【解析】 【分析】作DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系,求得BC CD =u u u r u u u r,进而得到∠DAC =∠CAB =60°,在Rt △ADE 中,根据60°锐角三角函数值,可求得DE =23,AE =2,再由Rt △DEC 中,根据勾股定理求出DC 的长,在△BFC 和△ABF 中,利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长,然后根据求出的两个结果,由AB =2AF ,分类讨论求出AB 的长即可. 【详解】作DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,∵BC =CD , ∴BC CD =u u u r u u u r, ∴∠CAB =∠DAC , ∵∠DAB =120°, ∴∠DAC =∠CAB =60°, ∵DE ⊥AC ,∴∠DEA =∠DEC =90°, ∴sin60°=4DE ,cos60°=4AE, ∴DE =3AE =2, ∵AC =7,∴CE =5,∴DC= ∴BC ,∵BF ⊥AC ,∴∠BFA =∠BFC =90°,∴tan60°=BF AF,BF 2+CF 2=BC 2, ∴BF,∴()2227AF +-=, ∴AF =2或AF =32, ∵cos60°=AF AB, ∴AB =2AF ,当AF =2时,AB =2AF =4,∴AB =AD ,∵DC =BC ,AC =AC ,∴△ADC ≌△ABC (SSS ),∴∠ADC =∠ABC ,∵ABCD 是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC =180°,∴∠ADC =∠ABC =90°,但AC 2=49,2222453AD DC +=+=,AC 2≠AD 2+DC 2,∴AB =4(不合题意,舍去), 当AF =32时,AB =2AF =3, ∴AB =3.【点睛】 此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质,解题关键是构造直角三角形模型,利用直角三角形的性质解题.12.如图,BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径,且∠BAE =∠C .(1)求证:AE 与⊙O 相切于点A ;(2)若AE ∥BC ,BC =AC =2,求AD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)23【解析】【分析】(1)根据题目中已出现切点可确定用“连半径,证垂直”的方法证明切线,连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF,则AF为直径,∠ABF=90°,根据同弧所对的圆周角相等,则可得到∠BAE=∠F,既而得到AE与⊙O相切于点A.(2))连接OC,先由平行和已知可得∠ACB=∠ABC,所以AC=AB,则∠AOC=∠AOB,从而利用垂径定理可得AH=1,在Rt△OBH中,设OB=r,利用勾股定理解得r=2,在Rt△ABD中,即可求得AD的长为3【详解】解:(1)连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF,则AF为直径,∠ABF=90°,∵»»,AB AB∴∠ACB=∠F,∵∠BAE=∠ACB,∴∠BAE=∠F,∵∠FAB+∠F=90°,∴∠FAB+∠BAE=90°,∴OA⊥AE,∴AE与⊙O相切于点A.(2)连接OC,∵AE∥BC,∴∠BAE=∠ABC,∵∠BAE=∠ACB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB=2,∴∠AOC=∠AOB,∵OC=OB,∴OA⊥BC,∴CH=BH=1BC32在Rt△ABH中,AH=22AB BH-=1,在Rt△OBH中,设OB=r,∵OH2+BH2=OB2,∴(r﹣1)2+(3)2=r2,解得:r=2,∴DB=2r=4,在Rt△ABD中,AD=22BD AB-=2242-=23,∴AD的长为23.【点睛】本题考查了圆的综合问题,恰当的添加辅助线是解题关键.13.如图1,D是⊙O的直径BC上的一点,过D作DE⊥BC交⊙O于E、N,F是⊙O上的一点,过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,∠C=12∠P.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,DM=1,求PM的长;(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF、BM;在线段DN上有一点H,并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似,求DH的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)PM=32;(3)满足条件的DH的值为632-或122311+. 【解析】【分析】(1)如图1中,作PH ⊥FM 于H .想办法证明∠PFH=∠PMH ,∠C=∠OFC ,再根据等角的余角相等即可解决问题;(2)解直角三角形求出AD ,PD 即可解决问题;(3)分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时,DH CD FM BF =. ②当△CDH ∽△MFB 时,DH CD FB MF=,分别构建方程即可解决问题; 【详解】(1)证明:如图1中,作PH ⊥FM 于H .∵PD ⊥AC ,∴∠PHM =∠CDM =90°,∵∠PMH =∠DMC ,∴∠C =∠MPH ,∵∠C =12∠FPM ,∴∠HPF =∠HPM , ∵∠HFP+∠HPF =90°,∠HMP+∠HPM =90°,∴∠PFH =∠PMH ,∵OF =OC ,∴∠C =∠OFC ,∵∠C+∠CMD =∠C+∠PMF =∠C+∠PFH =90°,∴∠OFC+∠PFC =90°,∴∠OFP =90°,∴直线PA 是⊙O 的切线. (2)解:如图1中,∵∠A =30°,∠AFO =90°,∴∠AOF =60°,∵∠AOF =∠OFC+∠OCF ,∠OFC =∠OCF ,∴∠C =30°,∵⊙O 的半径为4,DM =1,∴OA =2OF =8,CD 33,∴OD =OC ﹣CD =43,∴AD =OA+OD =8+43 =123 ,在Rt △ADP 中,DP =AD•tan30°=(12﹣3 )×33 =43 ﹣1, ∴PM =PD ﹣DM =4 3﹣2. (3)如图2中,由(2)可知:BF =12BC =4,FM =3BF =43 ,CM =2DM =2,CD =3 , ∴FM =FC ﹣CM =43﹣2,①当△CDH ∽△BFM 时,DH CD FM BF = , ∴ 3432=- ,∴DH =63- ②当△CDH ∽△MFB 时,DH CD FB MF =, ∴34432DH =- ,∴DH =1223+ , ∵DN =()22443833--=- ,∴DH <DN ,符合题意,综上所述,满足条件的DH 的值为63- 或1223+. 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题.14.如图,是大半圆的直径,是小半圆的直径,点是大半圆上一点,与小半圆交于点,过点作于点. (1)求证:是小半圆的切线; (2)若,点在上运动(点不与两点重合),设,. ①求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;②当时,求两点之间的距离.【答案】(1)见解析;(2)①,,②两点之间的距离为或.【解析】【分析】(1)连接CO、CM,只需证到CD⊥CM.由于CD⊥OP,只需证到CM∥OP,只需证到CM 是△AOP的中位线即可.(2)①易证△ODC∽△CDP,从而得到CD2=DP•OD,进而得到y与x之间的函数关系式.由于当点P与点A重合时x=0,当点P与点B重合时x=4,点P在大半圆O上运动(点P不与A,B两点重合),因此自变量x的取值范围为0<x<4.②当y=3时,得到-x2+4x=3,求出x.根据x的值可求出CD、PD的值,从而求出∠CPD,运用勾股定理等知识就可求出P,M两点之间的距离.【详解】(1)连接,如图1所示∵是小半圆的直径,∴即∵∴∵∴∴,∵∴,∴∴.,即∵经过半径的外端,且∴直线是小半圆的切线.(2)①∵,,∴∴∴∽∴∴∵,,,∴当点与点重合时,;当点与点重合时,∵点在大半圆上运动(点不与两点重合),∴∴与之间的函数关系式为,自变量的取值范围是.②当时,解得,Ⅰ当时,如图2所示在中,∵,∴,∴∵,∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时,如图3所示,同理可得∵∴∴过点作,垂足为,连接,如图3所示∵,∴同理在中,∵,∴综上所述,当时,两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识,综合性比较强.15.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连结AC、AE,∠ACB=∠BAE=45°.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若AB=AD,AC=32,tan∠ADC=3,求BE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)52 BE【解析】试题分析:(1)连接OA、OB,由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;(2)过点A 作AF ⊥CD 于点F,由AB=AD ,得到∠ACD =∠ACB =45°,在Rt △AFC 中可求得AF=3,在Rt △AFD 中求得DF =1,所以AB =AD = ,CD = CF +DF =4,再证明△ABE ∽△CDA ,得出BE AB DA CD =,即可求出BE 的长度; 试题解析:(1)证明:连结OA ,OB ,∵∠ACB =45°,∴∠AOB =2∠ACB = 90°,∵OA=OB ,∴∠OAB =∠OBA =45°,∵∠BAE =45°,∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°,∴OA ⊥AE .∵点A 在⊙O 上,∴AE 是⊙O 的切线.(2)解:过点A 作AF ⊥CD 于点F ,则∠AFC =∠AFD =90°.∵AB=AD , ∴AB u u u r =AD u u u r∴∠ACD =∠ACB =45°,在Rt △AFC 中,∵AC =∠ACF =45°,∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3,∵在Rt △AFD 中, tan ∠ADC=3AF DF =, ∴DF =1,∴AB AD ==且CD = CF +DF =4,∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∴∠ABE =∠CDA ,∵∠BAE =∠DCA ,∴△ABE ∽△CDA , ∴BE AB DA CD=,∴10=,10∴5BE=.2。
初三数学圆综合练习题
初三数学圆综合练习题1. 题目描述:在平面直角坐标系中,过点A(1,1)和点B(5,1)的直线与圆O的两个切点分别为C和D。
已知圆O的半径为2,请计算:a) 圆心O的坐标;b) 直线AB的方程;c) 直线CD的方程。
解析:a) 圆心O的坐标:由题意可知,直线OA和OB都是圆O的半径,且垂直于直线AB。
因此,直线OA过点A(1,1)且与直线AB垂直,斜率为直线AB的斜率的相反数。
根据点斜式可得直线OA的方程为:y = -1(x-1) + 1 = -x + 2将直线OA与圆O相交的点代入直线OA的方程,可得:-2 = -x + 2x = 4将x = 4代入直线OA的方程,可得:y = -4 + 2 = -2因此,圆心O的坐标为(4,-2)。
b) 直线AB的方程:由题意可知,直线AB过点A(1,1)和点B(5,1)。
直线AB的斜率为:m = (1-1)/(5-1) = 0因此,直线AB的方程为:y = 1c) 直线CD的方程:由题意可知,直线CD是切线,因此直线CD垂直于半径OD,且过点D(5,1)。
根据点斜式可得直线CD的方程为:y - 1 = k(x - 5)其中k为直线CD的斜率,为半径OD的斜率的相反数。
由半径OD的斜率可得:k = -1/(4/2) = -1/2因此,直线CD的方程为:y - 1 = -1/2(x - 5)2y - 2 = -x + 5x + 2y = 7综上所述,答案如下:a) 圆心O的坐标为(4,-2);b) 直线AB的方程为y = 1;c) 直线CD的方程为x + 2y = 7。
根据题目描述,我们利用直线的定义和圆的相关知识,分别求解圆心坐标、直线AB和直线CD的方程。
通过数学计算,得到了最终的结果。
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1.如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠BOC的大小是()A.22°B.32°C.136°D.68°2.已知两圆半径分别为4和7,圆心距为3 ,那么这两个圆的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切3.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB 点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是A.90°B.60°C.45°D.30°4.如图,半径为5的⊙A中,DE=2 √5,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长为()A.√21B.√41C.4 √5D.3 √55.如图,点D E F分别在△ABC的三边上,AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是()A.BD可求BE不可求B.BD不可求BE可求C.BD BE均可求D.BD BE均不可求6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90° AC=3,以点C为圆心, CA为半径的圆与AB交于点D,若点D恰好为线段AB的中点,则AB的长度为()B.3 C.9 D.6A.327.如图,⊙O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,AE=DE, BC=CE,过点O作OF⊥AC于点F,延长FO 交BE于点G ,若DE=6,EG=4,则AB的长为()A.4√5B.8√3C.13 D.148.如图,把正六边形各边按同一方向延长,使延长的线段与原正六边形的边长相等,顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…,重复上述过程,经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的()A.(√2)2016倍B.(√3)2017倍C.(√3)2018倍D.(√2)2019倍二、填空题9.如图,PA、PB切⊙O于点A、B ,已知⊙O半径为2 且∠APB=60°,则AB= .10.如图,矩形ABCD中,BC=4 CD=2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)11.如图,两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm)则刻度尺的宽为 cm.12.如图,两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB=100°则∠ACB的度数为。
历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题含详细答案
历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题含详细答案一、圆的综合1.如图,A、B两点的坐标分别为(0,6),(0,3),点P为x轴正半轴上一动点,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点Q,连接PQ,M为线段PQ的中点.(1)求证:A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;(2)当⊙M与x轴相切时,求点Q的坐标;(3)当点P从点(2,0)运动到点(3,0)时,请直接写出线段QM扫过图形的面积.【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为(32,9);(3)63 8.【解析】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= 12 PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
(2)解:作MG⊥y轴于G,MC⊥x轴于C,∵AM=BM∴G是AB的中点,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5∴在点P运动的过程中,点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴,作QH⊥y轴于H,HB=9-3=6,设OP=HQ=x由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=2∴点Q的坐标为(2,9)(3)解:由相似可得:当点P在P1(2,0)时,Q1(4,9)则M1(3,4.5)当点P在P2(3,0)时,Q2(6,9),则M2(4.5,4.5)∴M1M2=92-3=32, Q1Q2=6-4=2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为:12×(32+2)×4.5=638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形,再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
人教版六年级数学上册《圆》单元综合复习练习题(含答案)
人教版六年级数学上册《圆》单元综合复习练习题(含答案)题号一二三四五六总分得分一、填空题1.一只挂钟的分针长10厘米,经过1小时,分针尖端走过的路程为( )厘米。
2.在一个半径是2厘米的圆内,两端都在圆上的最长线段是( )厘米;在一个长是8厘米、宽是6厘米的长方形中画一个最大的圆,这个圆的周长是( )厘米。
3.汽车车轮的半径是0.3米,它滚动1圈前进( )米,要滚动1884米,需要滚动( )圈。
4.下列图形中,正方形的面积都是4平方厘米。
(1)图1圆形的面积是( )平方厘米。
(2)图2圆形的面积是( )平方厘米。
(3)图3圆形的面积是( )平方厘米。
5.如图:大圆半径为8厘米,小圆半径为4厘米,则大圆与小圆的直径之比是( ),周长之比是( ),面积之比是( )。
现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处,那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。
6.下图由一个圆形和4个完全一样的等腰直角三角形组合而成,等腰直角三角形的直角边正好是圆的半径。
涂色部分的面积比空白部分的面积大217.2cm,圆形的面积是( )2cm。
7.直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米,宽6厘米长方形外围滚动,从A点滚动到B点时,硬币滚过的面积是( )平方厘米,硬币圆心走过的路程是( )厘米。
8.下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
二、判断题9.一个圆只有两条对称轴。
( )10.扇形所在的圆的半径越长,扇形就越大。
( )11.下图,圆外大正方形与圆内小正方形的面积比为3:1。
( )12.一只钟的时针长8厘米,这根时针的尖端转动一昼夜走过了25.12厘米. ( )13.一个半圆形的周长是20.56cm ,这个半圆所在的圆的周长是41.12cm 。
( )三、选择题14.在图中,( )线段最长。
A .JKB .CDC .EFD .GH15.用4根同样长的铁丝分别围成一个长方形、正方形、平行四边形和圆形,围成的( )的面积最大。
A .长方形B .正方形C .平行四边形D .圆形16.一个CD 光盘的内圆半径是2厘米,外圆半径是8厘米,这个光盘的面积是多少平方厘米?下面是四位同学得解答方法,你认为正确的是( )。
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案一、单选题1.如图,在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形(图中阴影部分),假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中边界或没有投中游戏板,则重投1次),任意投掷飞镖1次,则飞镖投中阴影部分的概率为()A.13B.49C.12D.232.如图,AB为⊙O的直径,弦DC垂直AB于点E,⊙DCB=30°,EB=3,则弦AC的长度为()A.3 √3B.4√3C.5√3D.6√33.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊙AB于点D,且AB=6cm,OD=4cm。
则DC的长为()A.cm B.1cm C.2cm D.5cm4.如图,四边形ABCD内接于⊙ O,AB为⊙ O的直径,∠ABD=20∘,则∠BCD的度数是()A.90°B.100°C.110°D.120°5.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,AC,BD相交于点E,则⊙ABD=()A.⊙ACD B.⊙ADB C.⊙AED D.⊙ACB6.如图,在⊙O中,弦AB⊙CD,若⊙ABC=40°,则⊙BOD=()A.20°B.40°C.50°D.80°7.下列判断结论正确的有()(1)直径是圆中最大的弦.(2)长度相等的两条弧一定是等弧.(3)面积相等的两个圆是等圆.(4)同一条弦所对的两条弧一定是等弧.(5)圆上任意两点间的部分是圆的弦.A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知如图,PA、PB切⊙O于A,B,MN切⊙O于C,交PB于N;若PA=7.5cm,则⊙PMN的周长是()A.7.5cm B.10cm C.15cm D.12.5cm9.若小李同学掷出的铅球在场地航砸出一个直径为10厘米,深2厘米的小坑,则该铅球的直径为()A.20厘米B.19.5厘米C.14.5厘米D.10厘米10.如图,如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形,将留下的扇形(阴影部分)围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为()A.6cm B.5√3cm C.8cm D.3√5cm11.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=65o,∠C=70o,若BC=2√2,则弧BC长为()A.πB.√2πC.2πD.√2π12.如下图,点B,C,D在⊙O上,若⊙BCD=130°,则⊙BOD的度数是()A.96°B.98°C.102°D.100°二、填空题13.如图,在扇形AOB中,OA=4,⊙AOB=90°,点P是弧AB上的动点,连接OP,点C是线段OP的中点,连接BC并延长交OA于点D,则图中阴影部分面积最小值为.14.如图,在边长为√2的正方形ABCD中,分别以四个顶点为圆心,以边长为半径画弧,分别与正方形的边和对角线相交,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).15.如图,⊙ABC的顶点A,B,C均在⊙O上,若⊙ABC+⊙AOC=90°,则⊙AOC的大小是.16.如图:⊙O为⊙ABC的内切圆,⊙C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为.17.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AC、GC是两条对角线,则tan⊙ACG=.18.如图,菱形ABCD中,已知AB=2,∠DAB=60°将它绕着点A逆时针旋转得到菱形ADEF,使AB与AD重合,则点C运动的路线CE⌢的长为.三、综合题19.如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C,点D为AP的中点,连结AC.求证:(1)⊙P=⊙BAC(2)直线CD是⊙O的切线.20.如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC于点F,点E是BF⌢的中点,连接BE并延长交AC于点D,若∠CBD=12∠CAB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,cos∠BAC=25,求CD的长.21.如图,⊙O是⊙ABC的外接圆,AC是O的直径,BD=BA=12,BC=5,BE⊙DC,交D的延长线于点E,BD交直径AC于点F.(1)求证:⊙BCA=⊙BAD.(2)求证:BE是⊙O的切线.(3)若BD平分⊙ABC,交⊙O于点D,求AD的长.22.如图,⊙OAB中,OA=OB=10cm,⊙AOB=80°,以点O为圆心,半径为6cm的优弧弧MN分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(⊙BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证:AP=BP′;(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求A T的长.23.如图,有一直径是√2米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC,则:(1)AB的长为米;(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,所得圆锥的底面圆的半径为米.⌢的中点,CE⊥AB于点E,BD交CE于点F.24.如图,AB是⊙O的直径,C是BD(1)求证:CF=BF;(2)若CD﹦5,AC﹦12,求⊙O的半径和CE的长.参考答案1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】4π−8√3314.【答案】4-π15.【答案】60°16.【答案】0.817.【答案】118.【答案】2√33π19.【答案】(1)解:证明:∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∴⊙ACP=90°∴⊙P+⊙CAP=90°∵AP⊙O是切线∴⊙BAP=90°即⊙CAP+⊙BAC=90°∴⊙P=⊙BAC;(2)解:∵CD是Rt⊙PAC斜边PA的中线∴CD=AD∴⊙DCA=⊙DAC连接OC∵OC=OA∴⊙OCA=⊙OAC∴⊙DCO=⊙DAO=90°∴CD是⊙O的切线.20.【答案】(1)证明:连接AE,如图所示:∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∴∠BAE+∠ABE=90°.∵点E为弧BF的中点∴EF⌢=EB⌢∴∠BAE=∠DAE=12∠CAB.又∵∠CBD=12∠CAB∴∠BAE=∠CBD∴∠CBD+∠ABE=90°∴AB⊥CB∴BC是⊙O的切线.(2)解:∵∠BAE=∠DAE,∠AED=∠AEB=90°∴∠ADE=∠ABE∴AD=AB=2×2=4.∵cos∠BAC=2 5∴在Rt△ABC中即4AC=25,得AC=10∴CD=AC−AD=10−4=6.21.【答案】(1)证明:∵BD=BA ∴∠BDA=∠BAD.∵∠BCA=∠BDA∴∠BCA=∠BAD.(2)证明:连结OB,如图∵∠BCA=∠BAD又∵∠BCE=∠BAD∴∠BCA=∠BCE∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO∴∠BCE=∠CBO∴OB//ED.∵BE⊥ED∴EB⊥BO.∴BE是⊙O的切线.(3)解:∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13.∵∠BDE=∠CAB∴△BED∽△CBA∴BDAC=DEAB,即1213=DE12∴DE=14413∴BE=√BD2−DE2=6013∴CE=√BC2−BE2=2513∴CD=DE−CE=119 13∵BD平分⊙ABC ∴∠CBD=∠ABD∴AD=CD=119 13.22.【答案】(1)证明:∵⊙AOB=⊙POP′=80°∴⊙AOB+⊙BOP=⊙POP′+⊙BOP即⊙AOP=⊙BOP′在⊙AOP 与⊙BOP′中 OA=OB ⊙AOP=⊙BOP OP=OP′∴⊙AOP⊙⊙BOP′ ∴AP=BP′(2)解:∵A T 与弧相切,连结OT .∴OT⊙A T在Rt⊙AOT 中,根据勾股定理得,A T= √OA 2−OT 2 ∵OA=10,OT=6 ∴AT=823.【答案】(1)1 (2)1424.【答案】(1)证明:∵AB 是 ⊙O 的直径∴∠ACB =90° ∴∠A +∠ABC =90° 又∵CE ⊥AB ∴∠CEB =90° ∴∠BCE +∠ABC =90° ∴∠BCE =∠A∵C 是 BD ⌢ 的中点 ∴CD⌢=CB ⌢ ∴∠DBC =∠A ∴∠DBC =∠BCE ∴CF =BF(2)解:∵CD⌢=CB ⌢,CD =5 ∴∠DBC =∠BDC∴BC=CD=5∵∠ACB=90°∴AB=√AC2+BC2=√122+52=13∴AO=6.5∵∠BCE=∠A,∠ACB=∠CEB=90°∴△CEB⊙ △ACB∴CE=AC⋅BCAB=12×513=6013故⊙O的半径为6.5,CE的长是6013.第11页共11。
小学数学圆的综合练习题
小学数学圆的综合练习题1. 小明画了一个圆,半径为5cm,请计算这个圆的周长和面积。
解析:周长= 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm面积= πr^2 = 3.14 × 5^2 = 78.5cm^22. 有一个正方形花坛,边长为8m,现在要在这个花坛中建一个圆形喷泉,请计算喷泉的直径和面积。
解析:正方形花坛的对角线等于正方形边长的√2倍,即8 × √2 = 11.31m。
喷泉的直径等于正方形花坛的对角线,所以喷泉的直径为11.31m。
喷泉的半径为直径的一半,所以喷泉的半径为11.31 ÷ 2 = 5.66m。
喷泉的面积= πr^2 = 3.14 × 5.66^2 ≈ 100.53m^2。
3. 小华用线段AB的一端为圆心,另一端为半径画了一个圆,AB 的长度为5cm。
现在他又用线段CD的一端为圆心,另一端为半径画了一个圆,CD的长度为8cm。
请问这两个圆的面积之比是多少?解析:圆A的面积= πr^2 = 3.14 × (5/2)^2 = 19.625cm^2圆B的面积= πr^2 = 3.14 × (8/2)^2 = 50.24cm^2圆A的面积与圆B的面积之比= 19.625 ÷ 50.24 ≈ 0.394. 有一个平行四边形,其中一条边长为6cm,高为4cm。
现在要在这个平行四边形内画一个半径为2cm的圆,请问这个圆的面积是否能完全落在平行四边形内?解析:平行四边形的面积 = 底边长 ×高 = 6 × 4 = 24cm^2圆的面积= πr^2 = 3.14 × 2^2 = 12.56cm^2圆的面积小于平行四边形的面积,即12.56 < 24,所以这个圆的面积能完全落在平行四边形内。
5. 有一个圆形游泳池,直径为10m。
现在要在游泳池周围铺设一圈砖,每块砖的边长为40cm,请问需要多少块砖?解析:圆的周长= πd = 3.14 × 10 = 31.4m砖块的边长 = 40cm = 0.4m需要的砖块数量 = 圆的周长 ÷砖块的边长 = 31.4 ÷ 0.4 = 78.5块所以需要78.5块砖来完成铺设。
备考2020年中考数学复习专题 《圆》综合练习题(含答案)
备考2020年中考数学复习专题《圆》综合练习题一.选择题1.如图,一个小圆沿着一个五边形的边滚动,如果五边形的各边长都和小圆的周长相等,那么当小圆滚动到原来位置时,小圆自身滚动的圈数是()A.4 B.5 C.6 D.102.如图,在⊙O中,弦AB长6cm,圆心O到AB的距离是3cm,⊙O的半径是()A.3cm B.C.4cm D.3.如图为球形灯笼的截面图,过圆心的CD垂直弦AB于D,AB=2dm,CD=4dm,则⊙O半径为()A.2dm B.dm C.dm D.dm4.下列判断中不正确的是()A.半圆是弧,但弧不一定是半圆B.平分弦的直径垂直于弦C.在平面内,到圆心的距离等于半径的点都在圆上D.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等5.如图,点A、B、C在⊙O上,D是的中点,若∠ACD=20°,则∠AOB的度数为()A.60°B.70°C.80°D.90°6.在菱形ABCD中,记∠ABC=∠α(0°<∠α<90°),菱形的面积记作S,菱形的周长记作C,若AD=2,则()A.C与∠α的大小有关B.当∠α=45°时,S=C.A,B,C,D四个点可以在同一个圆上D.S随∠α的增大而增大7.如图在一次游园活动中有个投篮游戏,活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好,篮球放在AC和BD的交点O处,已知取篮球时A要走6米,B要走3米,C要走2米,则D要走()A.2米B.3米C.4米D.5米8.⊙O半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(3,4),则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或外9.给定下列条件可以确定一个圆的是()A.已知圆心B.已知半径C.已知直径D.不在同一直线上三点10.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,半径OE⊥AB,垂足为点F,连结弦AE,已知OE =1,则下面的结论:①AE2+BC2=4 ②sin∠ACB=③cos∠B=,其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.②11.若半径为5m的圆,其圆心到直线的距离是5m,则直线和圆的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.无法确定12.如图,圆上有A、B、C三点,直线l与圆相切于点A,CD平分∠ACB,且与l交于点D,若=80°,=60°,则∠ADC的度数为()A.80°B.85°C.90°D.95°二.填空题13.如图,在正方形纸片ABCD中,EF∥AD,M,N是线段EF的六等分点,若把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点A与点D重合,此时,底面圆的半径为2cm,则此时M、N两点间的距离是cm.14.如图,⊙O的半径OA垂直于弦BC,垂足是D,OA=5,AD:OD=1:4,则BC的长为.15.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在墙壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”问题题意为:如图,有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其直径大小.用锯去锯这木材,锯口深1寸(即CD=1寸),锯道长1尺(即AB=1尺),问这圆形木材直径是多少?(注:1尺=10寸)由此,可求出这圆形木材直径为为寸.16.′如图,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的圆心角∠AOB=60°,点A在x轴正半轴上且OA=2,带你C为弧AB的中点,D为半径OA上一点,点A关于直线CD的对称点为E,若点E落在扇形OAB内(不含边界),则点E的横坐标x取值范围为.17.如图,以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D,交BC于点E,若AB =4,则阴影部分的面积是.18.在一个圆内接四边形ABCD中,已知∠A=100°,则∠C的度数为.三.解答题19.如图AB=3cm,用图形表示:到点A的距离小于2cm,且到点B的距离不小于2cm 的所有点的集合(用阴影表示,注意边界上的点是否在集合中,如果在,用实线表示,如果不在,则用虚线表示).20.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.21.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=10m,水面宽AB=12m,某天下雨后,水管水面上升了2m,求此时排水管水面的宽CD.22.如图,已知⊙O的弦AB,E,F是弧AB上两点,=,OE、OF分别交于AB于C、D两点,求证:AC=BD.23.如图,CD为⊙O的弦,P为⊙O上一点,OP∥CD,∠PCD=15°(1)求∠POC的度数;(2)若=,AB⊥CD,点A在CD的上方,直接写出∠BPA的度数.24.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=135°,AC=4,求⊙O的半径长.25.已知圆O,弦AB、CD相交于点M.(1)求证:AM•MB=CM•MD;(2)若M为CD中点,且圆O的半径为3,OM=2,求AM•MB的值.参考答案一.选择题1.解:因为五边形的各边长都和小圆的周长相等,所以小圆在每一边上滚动正好一周,在五条边上共滚动了5周.由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时,都会翻转72°,所以小圆在五个角处共滚动一周.因此,总共是滚动了6周.故选:C.2.解:如图所示,由题意知OC=3,且OC⊥AB,∵AB=6,∴AC=AB=3,则OA===3,故选:B.3.解:∵过圆心的CD垂直弦AB于D,AB=2dm,CD=4dm,∴BD=AD=1dm,在Rt△ODB中,OD2+DB2=OB2,即(4﹣r)2+12=r2,解得:r=dm,故选:C.4.解:A、半圆是弧,但弧不一定是半圆,正确;B、平分弦的直径垂直于弦,不正确.需要添加条件:此弦非直径;C、在平面内,到圆心的距离等于半径的点都在圆上,正确;D、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,正确,故选:B.5.解:连接OD,∴∠AOD=2∠ACD,∵D是的中点,∴∠AOB=2∠AOD=4∠ACD=80°,故选:C.6.【解答】解:A、错误.菱形的周长=8,与∠α的大小无关;B、错误,∠α=45°时,菱形的面积=2•2•sin45°=2;C、错误,A,B,C,D四个点不在同一个圆上;D、正确.∵0°<α<90°,S=菱形的面积=2•2•sinα,∴菱形的面积S随α的增大而增大.故选:D.7.解:根据题意得:A、B、C、D在以P为圆心,半径是5米的圆上.∴OA•OC=OB•OD,即6×2=3×OD.解得OD=4.故选:C.8.解:∵点P的坐标为(3,4),∴由勾股定理得,点P到圆心O的距离==5,∴点P在⊙O上,故选B.9.解:A、不能确定.因为半径不确定,故不符合题意;B、不能确定.因为圆心的位置不确定,故不符合题意;C、不能确定,因为圆心的位置不确定,故不符合题意;D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意;故选:D.10.解:连接AO,延长AO交⊙O于M,连接BM、CM、EM.∵AM是直径,∴∠AEM=90°,∴AE2+EM2=AM2,∴AE2+EM2=4,显然无法判定BC=EM,故①错误,∵∠ACB=∠AMB,∴sin∠ACB=sin∠AMB==,故②正确,∵∠ABC=∠AMC,∴cos∠ABC=cos∠AMC==,显然无法判断CM=AE,故③错误,故选:D.11.解:根据圆心到直线的距离等于圆的半径,则直线和圆相切.故选:C.12.解:设圆心为O,连接OA、OC,∵=80°,=60°,∴∠AOC=140°,∠ACB=40°,∵OA=OC,∴∠OAC=20°,∵直线l与圆相切于点A,∴OA⊥l,∴∠OAD=90°,∴∠CAD=70°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠ACB=20°,∴∠ADC=180°﹣∠CAD﹣∠ACD=90°,故选:C.二.填空题(共6小题)13.解:根据题意得:EF=BC,MN=EF,把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点A与点D重合,则线段BC形成一半径为2cm的圆,线段BC是圆的周长,BC=EF=2π×2=4π,∴的长=EF==,∴n=120°,即∠MON=120°,∵OM=ON,∴∠M=30°,过O作OG⊥MN于G,∵OM=2,∴OG=1,MG=,∴MN=2MG=2,故答案为:2.14.解:连接OB,∵OA=5,AD:OD=1:4,∴AD=1,OD=4,OB=5,在Rt△ODB中,由勾股定理得:OB2=OD2+BD2,52=42+BD2,解得:BD=3,∵OD⊥BC,OD过O,∴BC=2BD=6,故答案为:6.15.解:延长CD,交⊙O于点E,连接OA,由题意知CE过点O,且OC⊥AB,则AD=BD=AB=5(寸),设圆形木材半径为r,则OD=r﹣1,OA=r,∵OA2=OD2+AD2,∴r2=(r﹣1)2+52,解得r=13,所以⊙O的直径为26寸,故答案为:26.16.解:当点E落在半径OA上时,连接OC,如下图1所示,∵∠ADC=90°,∠AOB=60°,点C为弧AB的中点,点A(2,0),∴∠COD=30°,OA=OC=2,∴CD=OC•sin30°=2×=1,∴OD=O C•cos30°=2×=,∴AD=OA﹣OD=2﹣,∵DE=DA,∴OE=OD﹣OE=﹣(2﹣)=2﹣2,即点E的坐标为(2﹣2,0);当点E落在半径OB上时,连接OC,CD,如图2所示,由已知可得,CE=CA=CB,由上面的计算可知,OE=2﹣2,∴点E的横坐标为:(2﹣2)×cos60°=﹣1,点E的纵坐标为:(2﹣2)×sin60°=3﹣,∴E(﹣1,3﹣),∴满足条件的点E的横坐标x取值范围为﹣1<x<2﹣2.故答案为﹣1<x<2﹣2.17.解:如图,连接OD,OE,DE.∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,∵OA=OD=OB=OE=2,∴△AOD,∠EOB都是等边三角形,∴∠AOD=∠EOB=60°,∴∠DOE=60°,△DOE是等边三角形,∴∠DOE=∠EOB,∴弓形DE与弓形BE的面积相等,∵CD=DE=CE=2,∴△CDE是等边三角形,∴S阴=S△CDE=×22=,故答案为.18.解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠C+∠A=180°,∴∠C=180°﹣100°=80°.故答案为:80°三.解答题(共7小题)19.解:到点A的距离小于2cm,且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示:20.解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,连接OD,∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=OE=1,在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF==,则CD=2DF=2.21.解:如图:作OE⊥AB于E,交CD于F,∵AB=12m,OE⊥AB,OA=1m,∴OE=8m.∵水管水面上升了2m,∴OF=8﹣2=6m,∴CF==8m,∴CD=16m.22.证明:连接OA、OB,∵OA=OB,∴∠A=∠B,∵=,∴∠AOC=∠BOD,在△AOC和△BOD中,,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD.23.解:(1)∵OP∥CD,∴∠OPC=∠PCD=15°,∵OP=OC,∴∠OPC=∠OCP=15°,∴∠OCD=30°.(2)①如图1中,当AB在点O的左侧时,连接PA,PB,OD,OA,OB.∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC=30°,∴∠COD=120°,∵=,∴∠AOB=∠COD=120°,∴∠APB=∠AOB=60°.②如图2中,当AB在点O的右侧时,同法可得∠ACB=60°,∵∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=120°,综上所述,∠APB=60°或120°.24.解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=135°,∴∠D=180°﹣∠ABC=45°,∴∠AOC=2∠D=90°,∵OA=OC,且AC=4,∴OA=OC=AC=2,即⊙O的半径长为2.25.解:(1)连接AD、BC.∵∠A=∠C,∠D=∠B,∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB=CM•MD.(2)连接OM、OC.∵M为CD中点,∴OM⊥CD在Rt△OMC中,∵OC=3,OM=2 ∴CD=CM===由(1)知AM•MB=CM•MD.∴AM•MB=•=5.。
关于圆的练习题初三含答案
关于圆的练习题初三含答案一、选择题1. 下列说法中,关于圆的说法正确的是:A. 圆是由无数直线组成的B. 圆是所有点到一个固定点的距离相等的图形C. 圆是一个半径为1的正方形D. 圆是与坐标轴平行的图形答案:B2. 在平面上,如果一个圆的圆心到圆上的任意一点的距离等于半径的长度,那么这个点一定在圆的:A. 外部B. 内部C. 边界D. 中心答案:C3. 若O为圆心,半径为r的圆,P为圆上一点,且角POQ的度数为60°,则弧PQ的弧度数是:A. π/3B. π/4C. π/6D. π/2答案:C二、填空题1. 已知圆O的半径为5cm,点A在圆上,则弧OA的长为_________cm。
答案:5π cm2. 已知圆O的半径为7cm,则圆O的直径为_________cm。
答案:14 cm3. 半径为6cm的圆的面积为_________cm²。
答案:36π cm²三、解答题1. 已知圆O的直径AB的长度为16cm,求圆O的周长和面积。
解析:圆的周长是圆的一部分,即2πr,其中r为半径。
圆的面积是整个圆的面积,即πr²。
半径r = 直径AB的长度 / 2 = 16cm / 2 = 8cm周长= 2πr = 2π * 8cm ≈ 50.27cm面积= πr² = π * 8cm * 8cm ≈ 201.06cm²所以,圆O的周长约为50.27cm,面积约为201.06cm²。
2. 如图,O为一个半径为6cm的圆的圆心,点A、B、C分别是圆上的三个点,弧AB的弧度数为1.5π弧度,弧BC的弧度数为0.5π弧度。
求线段AC的长度。
解析:由于弧AB的弧度数为1.5π,弧BC的弧度数为0.5π,所以弧AC的弧度数为1.5π + 0.5π = 2π弧度,即一圈。
对于一圈的弧度,弧长等于圆的周长。
圆的周长= 2πr = 2π * 6cm ≈ 37.69cm所以,线段AC的长度约为37.69cm。
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附答案解析
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附答案解析一、圆的综合1.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点D 在BC uuu r 上,点E 在弦AB 上(E 不与A 重合),且四边形BDCE 为菱形.(1)求证:AC=CE ;(2)求证:BC 2﹣AC 2=AB•AC ;(3)已知⊙O 的半径为3.①若AB AC =53,求BC 的长; ②当AB AC为何值时,AB•AC 的值最大?【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2;②32【解析】 分析:(1)由菱形知∠D=∠BEC ,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ,据此得证;(2)以点C 为圆心,CE 长为半径作⊙C ,与BC 交于点F ,于BC 延长线交于点G ,则CF=CG=AC=CE=CD ,证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =,即B F•BG=BE•AB ,将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得; (3)①设AB=5k 、AC=3k ,由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ,连接ED 交BC 于点M ,Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3,可知OM=OD-3,在Rt △COM 中,由OM 2+MC 2=OC 2可得答案.②设OM=d ,则MD=3-d ,MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2,继而知BC 2=(2MC )2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=(3-d )2+9-d 2,由(2)得AB•AC=BC 2-AC 2,据此得出关于d 的二次函数,利用二次函数的性质可得答案. 详解:(1)∵四边形EBDC 为菱形,∴∠D=∠BEC ,∵四边形ABDC 是圆的内接四边形,∴∠A+∠D=180°,又∠BEC+∠AEC=180°,∴∠A=∠AEC ,∴AC=CE;(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,由(1)知AC=CE=CD,∴CF=CG=AC,∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形,∴∠G+∠AEF=180°,又∵∠AEF+∠BEF=180°,∴∠G=∠BEF,∵∠EBF=∠GBA,∴△BEF∽△BGA,∴BE BGBF BA=,即BF•BG=BE•AB,∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB•AC,即BC2﹣AC2=AB•AC;(3)设AB=5k、AC=3k,∵BC2﹣AC2=AB•AC,∴6k,连接ED交BC于点M,∵四边形BDCE是菱形,∴DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线,在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=126k,∴223CD CM k-=,∴OM=OD﹣DM=33k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(33)2+6k)2=32,解得:k=33或k=0(舍),∴62;②设OM=d,则MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,∴BC 2=(2MC )2=36﹣4d 2,AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=(3﹣d )2+9﹣d 2,由(2)得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4(d ﹣34)2+814, ∴当d=34,即OM=34时,AB•AC 最大,最大值为814, ∴DC 2=272, ∴AC=DC=362, ∴AB=964,此时32AB AC =. 点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.2.已知AB ,CD 都是O e 的直径,连接DB ,过点C 的切线交DB 的延长线于点E . ()1如图1,求证:AOD 2E 180∠∠+=o ;()2如图2,过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ,过点D 作DG AB ⊥,垂足为点G ,求证:DG CF =;()3如图3,在()2的条件下,当DG 3CE 4=时,在O e 外取一点H ,连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ,且HDE HCE ∠∠=,点P 在HD 的延长线上,连接PO 并延长交CM 于点Q ,若PD 11=,DN 14=,MQ OB =,求线段HM 的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)37【解析】【分析】(1)由∠D +∠E =90°,可得2∠D +2∠E =180°,只要证明∠AOD =2∠D 即可;(2)如图2中,作OR ⊥AF 于R .只要证明△AOR ≌△ODG 即可;(3)如图3中,连接BC 、OM 、ON 、CN ,作BT ⊥CL 于T ,作NK ⊥CH 于K ,设CH 交DE于W .解直角三角形分别求出KM ,KH 即可;【详解】()1证明:如图1中,O Q e 与CE 相切于点C ,OC CE ∴⊥,OCE 90∠∴=o ,D E 90∠∠∴+=o ,2D 2E 180∠∠∴+=o ,AOD COB ∠∠=Q ,BOC 2D ∠∠=,AOD 2D ∠∠=,AOD 2E 180∠∠∴+=o .()2证明:如图2中,作OR AF ⊥于R .OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ,∴四边形OCFR 是矩形,AF//CD ∴,CF OR =,A AOD ∠∠∴=,在AOR V 和ODG V 中,A AOD ∠∠=Q ,ARO OGD 90∠∠==o ,OA DO =,AOR ∴V ≌ODG V ,OR DG ∴=,DG CF ∴=,()3解:如图3中,连接BC 、OM 、ON 、CN ,作BT CL ⊥于T ,作NK CH ⊥于K ,设CH 交DE 于W .设DG 3m =,则CF 3m =,CE 4m =,OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ,AF//OC//BT ∴,OA OB =Q ,CT CF 3m ∴==,ET m ∴=,CD Q 为直径,CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ,E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ,tan E tan CBT ∠∠∴=,BT CT ET BT∴=, BT 3m m BT∴=, BT 3m(∴=负根已经舍弃),3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ,CWD HDE H ∠∠∠=+Q ,HDE HCE ∠∠=,H E 60∠∠∴==o ,MON 2HCN 60∠∠∴==o ,OM ON =Q ,OMN ∴V 是等边三角形,MN ON ∴=,QM OB OM ==Q ,MOQ MQO ∠∠∴=,MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ,MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o , PON P ∠∠∴=,ON NP 141125∴==+=,CD 2ON 50∴==,MN ON 25==,在Rt CDN V 中,2222CN CD DN 501448=-=-=,在Rt CHN V 中,CN 48tan H 3HN HN∠===, HN 163∴=,在Rt KNH V 中,1KH HN 832==,3NK HN 24==, 在Rt NMK V 中,2222MK MN NK 25247=-=-=,HM HK MK 837∴=+=+.【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,添加常用辅助线,构造全等三角形或直角三角形解题的关键.3.已知O e 的半径为5,弦AB 的长度为m ,点C 是弦AB 所对优弧上的一动点. ()1如图①,若m 5=,则C ∠的度数为______o ;()2如图②,若m 6=.①求C ∠的正切值;②若ABC V 为等腰三角形,求ABC V 面积.【答案】()130;()2C ∠①的正切值为34;ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ,OB ,判断出AOB V 是等边三角形,即可得出结论;()2①先求出10AD =,再用勾股定理求出8BD =,进而求出tan ADB ∠,即可得出结论;②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论.【详解】()1如图1,连接OB ,OA ,OB OC 5∴==,AB m 5==Q ,OB OC AB ∴==,AOB ∴V 是等边三角形,AOB 60∠∴=o , 1ACB AOB 302∠∠∴==o , 故答案为30;()2①如图2,连接AO 并延长交O e 于D ,连接BD ,AD Q 为O e 的直径,AD 10∴=,ABD 90∠=o ,在Rt ABD V 中,AB m 6==,根据勾股定理得,BD 8=,AB 3tan ADB BD 4∠∴==, C ADB ∠∠=Q ,C ∠∴的正切值为34; ②Ⅰ、当AC BC =时,如图3,连接CO 并延长交AB 于E ,AC BC =Q ,AO BO =,CE ∴为AB 的垂直平分线,AE BE 3∴==,在Rt AEO V 中,OA 5=,根据勾股定理得,OE 4=,CE OE OC 9∴=+=,ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ; Ⅱ、当AC AB 6==时,如图4,连接OA 交BC 于F ,AC AB =Q ,OC OB =,AO ∴是BC 的垂直平分线,过点O 作OG AB ⊥于G ,1AOG AOB 2∠∠∴=,1AG AB 32==, AOB 2ACB ∠∠=Q ,ACF AOG ∠∠∴=,在Rt AOG V 中,AG 3sin AOG AC 5∠==, 3sin ACF 5∠∴=, 在Rt ACF V 中,3sin ACF 5∠=, 318AF AC 55∴==,24CF 5∴=, ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ; Ⅲ、当BA BC 6==时,如图5,由对称性知,ABC 432S 25=V .【点睛】圆的综合题,主要圆的性质,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形的面积公式,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.4.如图,AB 为O e 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠. ()1DE 是O e 的切线吗?请说明理由;()2求证:2AC CD BE =⋅.【答案】(1)结论:DE 是O e 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE V V ∽即可解决问题.【详解】()1解:结论:DE 是O e 的切线.理由:连接OD .CDB ADE ∠=∠Q ,ADC EDB ∴∠=∠,//CD AB Q ,CDA DAB ∴∠=∠,OA OD =Q ,OAD ODA ∴∠=∠,ADO EDB ∴∠=∠,AB Q 是直径,90ADB ∴∠=o ,90ADB ODE ∴∠=∠=o ,DE OD ∴⊥,DE ∴是O e 的切线.()2//CD AB Q ,ADC DAB ∴∠=∠,CDB DBE ∠=∠,AC BD ∴=n n, AC BD ∴=,DCB DAB ∠=∠Q ,EDB DAB ∠=∠,EDB DCB ∴∠=∠,CDB ∴V ∽DBE V ,CD DB BD BE∴=, 2BD CD BE ∴=⋅,2AC CD BE ∴=⋅.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.5.在⊙O 中,点C 是AB u u u r 上的一个动点(不与点A ,B 重合),∠ACB=120°,点I 是∠ABC 的内心,CI 的延长线交⊙O 于点D ,连结AD,BD .(1)求证:AD=BD.(2)猜想线段AB与DI的数量关系,并说明理由.(3)若⊙O的半径为2,点E,F是»AB的三等分点,当点C从点E运动到点F时,求点I 随之运动形成的路径长.【答案】(1)证明见解析;(2)AB=DI,理由见解析(3)23【解析】分析:(1)根据内心的定义可得CI平分∠ACB,可得出角相等,再根据圆周角定理,可证得结论;(2)根据∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD,可求出∠BAD的度数,再根据AD=BD,可证得△ABD是等边三角形,再根据内心的定义及三角形的外角性质,证明∠BID=∠IBD,得出ID=BD,再根据AB=BD,即可证得结论;(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心,DI1为半径的弧,根据已知及圆周角定理、解直角三角形,可求出AD的长,再根据点E,F是弧AB ⌢的三等分点,△ABD是等边三角形,可证得∠DAI1=∠AI1D,然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解:(1)证明:∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD(2)AB=DI理由:∵∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形,∴AB=BD,∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI,∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI(3)解:如图,连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心,DI1为半径的弧∵∠ACB=120°,弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2,DE是直径∴DE=4,∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E,F是弧AB ⌢的三等分点,△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°,∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为:点睛:此题是一道圆的综合题,有一定的难度,熟记圆的相关性质与定理,并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键,注意数形结合思想的渗透.6.如图,AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,点C在⊙O上,CB∥PO.(1)判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=6,CB=4,求PC的长.【答案】(1)PC是⊙O的切线,理由见解析;(235 2【解析】试题分析:(1)要证PC是⊙O的切线,只要连接OC,再证∠PCO=90°即可.(2)可以连接AC,根据已知先证明△ACB∽△PCO,再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长.试题解析:(1)结论:PC是⊙O的切线.证明:连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B,∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC,OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线.(2)连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°(6分)由(1)知∠PCO=90°,∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴.点睛:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.7.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.【答案】(1)(2)见解析;(3)9【解析】分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=12AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;(2)连接EF ,BG ,由三角形AED 与三角形BFD 全等,得到ED =FD ,进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;(3)由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1,在直角三角形BEF 中,利用勾股定理求出EF 的长,利用锐角三角形函数定义求出DE 的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似,由相似得比例,求出GE 的长,由GE +ED 求出GD 的长,根据三角形的面积公式计算即可.详解:(1)连接BD .在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,∴∠A =∠C =45°. ∵AB 为圆O 的直径,∴∠ADB =90°,即BD ⊥AC ,∴AD =DC =BD =12AC ,∠CBD =∠C =45°,∴∠A =∠FBD .∵DF ⊥DG ,∴∠FDG =90°,∴∠FDB +∠BDG =90°.∵∠EDA +∠BDG =90°,∴∠EDA =∠FDB .在△AED 和△BFD 中,A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AED ≌△BFD (ASA ),∴AE =BF ; (2)连接EF ,BG . ∵△AED ≌△BFD ,∴DE =DF .∵∠EDF =90°,∴△EDF 是等腰直角三角形,∴∠DEF =45°. ∵∠G =∠A =45°,∴∠G =∠DEF ,∴GB ∥EF ,∴∠FEB =∠GBA . ∵∠GBA =∠GDA ,∴∠FEB =∠GDA ;(3)∵AE =BF ,AE =2,∴BF =2.在Rt △EBF 中,∠EBF =90°,∴根据勾股定理得:EF 2=EB 2+BF 2.∵EB =4,BF =2,∴EF∵△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF =90°,∴cos ∠DEF =DEEF. ∵EF=∴DE=2. ∵∠G =∠A ,∠GEB =∠AED ,∴△GEB ∽△AED ,∴GE AE =EBED,即GE •ED =AE •EB ,∴GE =8,即GE,则GD =GE +ED∴11192252S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯==.点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.8.如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.【答案】(1) B(,2).(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)在Rt△ABN中,求出AN、AB即可解决问题;(2)连接MC,NC.只要证明∠MCD=90°即可试题解析:(1)∵A的坐标为(0,6),N(0,2),∴AN=4,∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,∴由勾股定理可知:NB=,∴B(,2).(2)连接MC,NC∵AN是⊙M的直径,∴∠ACN=90°,∴∠NCB=90°,在Rt△NCB中,D为NB的中点,∴CD=NB=ND,∴∠CND=∠NCD,∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC,∵∠MNC+∠CND=90°,∴∠MCN+∠NCD=90°,即MC⊥CD.∴直线CD是⊙M的切线.考点:切线的判定;坐标与图形性质.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,),点O(0,0).△AOB绕着O顺时针旋转,得△A'OB',点A、B旋转后的对应点为A',B',记旋转角为α.(Ⅰ)如图1,A'B'恰好经过点A时,求此时旋转角α的度数,并求出点B'的坐标;(Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证:AA'⊥BB';(Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)α=60°,B'(3,);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为﹣2.【解析】【分析】(Ⅰ)作辅助线,先根据点A(2,0),点B(0,),确定∠ABO=30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α=60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;(Ⅱ)依据旋转的性质可得∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',即可得出∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),再根据∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)作AB的中点M(1,),连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解:(Ⅰ)如图1,过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA=2,OB=2,∠AOB=90°,∴∠ABO=30°,∠BAO=60°,由旋转得:OA=OA',∠A'=∠BAO=60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α=∠AOA'=60°,∵OB=OB'=2,∠COB'=90°﹣60°=30°,∴B'C =OB’=,∴OC=3,∴B'(3,),(Ⅱ)证明:如图2,∵∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',∴∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为-2.理由是:如图,作AB的中点M(1,),连接MP,∵∠APB=90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,2),∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆.10..如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A重合),⊙D与AB相切,切点为E,⊙D交射线..BC于..DC于点F,过F作FG⊥EF交直线点G,设⊙D的半径为r.(1)求证AE=EF;(2)当⊙D与直线BC相切时,求r的值;(3)当点G落在⊙D内部时,直接写出r的取值范围.【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 3r<<【解析】【分析】(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,即可求解;(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F,∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理,即可求解;(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况,分别求解即可.【详解】解:设圆的半径为r;(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,∴AE=EF;(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理得:(3r)2+9=36,解得:3(3)①当点F 在线段AC 上时,如图3所示,连接DE 、DG ,333,3933FC r GC FC r =-==- ②当点F 在线段AC 的延长线上时,如图4所示,连接DE 、DG ,333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反,GC 2相同,由勾股定理得:DG 2=CD 2+CG 2,点G 在圆的内部,故:DG2<r2, 即:22(332)(339)2r r r +-<整理得:25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;利用勾股定理计算线段的长.11.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,过点O 作OD ⊥CB ,垂足为点D ,延长DO 交⊙O 于点E ,过点E 作PE ⊥AB ,垂足为点P ,作射线DP 交CA 的延长线于F 点,连接EF ,(1)求证:OD=OP;(2)求证:FE是⊙O的切线.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(2)证明△POE≌△ADO可得DO=EO;(3)连接AE,BE,证出△APE≌△AFE即可得出结论.试题解析:(1)∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BODOE=OB∴△OPE≌△ODB∴OD="OP"(2)连接EA,EB∴∠1=∠EBC∵AB是直径∴∠AEB=∠C=90°∴∠2+∠3=90°∵∠3=∠DEB∵∠BDE=90°∴∠EBC+∠DEB=90°∴∠2=∠EBC=∠1∵∠C=90°∠BDE=90°∴CF∥OE∴∠ODP=∠AFP∵OD=OP∴∠ODP=∠OPD∵∠OPD=∠APF∴∠AFP=∠APF∴AF=AP 又AE=AE∴△APE≌△AFE∴∠AFE=∠APE=90°∴∠FED=90°∴FE是⊙O的切线考点:切线的判定.12.如图,点B在数轴上对应的数是﹣2,以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB,使点A在原点的左上方,且tan∠AOB=3,点C为OB的中点,点D在数轴上对应的数为4.(1)S扇形AOB=(大于半圆的扇形);(2)点P是优弧AB上任意一点,则∠PDB的最大值为°(3)在(2)的条件下,当∠PDB最大,且∠AOP<180°时,固定△OPD的形状和大小,以原点O为旋转中心,将△OPD顺时针旋转α(0°≤α≤360°)①连接CP,AD.在旋转过程中,CP与AD有何数量关系,并说明理由;②当PD∥AO时,求AD2的值;③直接写出在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围.【答案】(1)103π(2)30(3)①AD=2PC②20+83或20+83③1≤d≤3【解析】【分析】(1)利用扇形的面积公式计算即可.(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.解直角三角形即可解决问题.(3)①结论:AD=2PC.如图2中,连接AB,AC.证明△COP∽△AOD,即可解决问题.②分两种情形:如图3中,当PD∥OA时,设OD交⊙O于K,连接PK交OC于H.求出PC即可.如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得.③判断出PC的取值范围即可解决问题.【详解】(1)∵tan∠AOB=3,∴∠AOB=60°,∴S扇形AOB=23002103603ππ⋅⋅=(大于半圆的扇形),(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.∵PD是⊙O的切线,∴OP⊥PD,∴∠OPD =90°, ∵21sin 42OP PDO OD ∠=== ∴∠PDB =30°, 同法当DP ′与⊙O 相切时,∠BDP ′=30°,∴∠PDB 的最大值为30°.故答案为30.(3)①结论:AD =2PC .理由:如图2中,连接AB ,AC .∵OA =OB ,∠AOB =60°,∴△AOB 是等边三角形,∵BC =OC ,∴AC ⊥OB ,∵∠AOC =∠DOP =60°,∴∠COP =∠AOD ,∵2AO OD OC OP==, ∴△COP ∽△AOD , ∴2AD AO PC OC==, ∴AD =2PC . ②如图3中,当PD ∥OA 时,设OD 交⊙O 于K ,连接PK 交OC 于H .∵OP =OK ,∠POK =60°,∴△OPK 是等边三角形,∵PD∥OA,∴∠AOP=∠OPD=90°,∴∠POH+∠AOC=90°,∵∠AOC=60°,∴∠POH=30°,∴PH=12OP=1,OH=3PH=3,∴PC=2222PH CH1(13)523+=++=+,∵AD=2PC,∴AD2=4(5+23)=20+83.如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得:PC2=12+(3﹣1)2=5﹣23,AD2=4PC2=20﹣83.③由题意1≤PC≤3,∴在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3.【点睛】本题属于圆综合题,考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,旋转变换,勾股定理,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.13.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是弦,弦BD平分∠ABC交AC于F,弦DE⊥AB于H,交AC于G.①求证:AG=GD;②当∠ABC满足什么条件时,△DFG是等边三角形?③若AB=10,sin∠ABD=35,求BC的长.【答案】(1)证明见解析;(2)当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形.理由见解析;(3)BC 的长为145. 【解析】【分析】 (1)首先连接AD ,由DE ⊥AB ,AB 是O e 的直径,根据垂径定理,即可得到¶¶AD AE =,然后根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,证得∠ADE =∠ABD ,又由弦BD 平分∠ABC ,可得∠DBC =∠ABD ,根据等角对等边的性质,即可证得AG=GD ;(2)当∠ABC=60°时,△DFG 是等边三角形,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质,易求得∠DGF=∠DFG=60°,即可证得结论;(3)利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=,cos ∠ABD =45,再求出DF 、BF ,然后即可求出BC.【详解】(1)证明:连接AD ,∵DE ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径,∴¶¶AD AE =,∴∠ADE =∠ABD ,∵弦BD 平分∠ABC ,∴∠DBC =∠ABD ,∵∠DBC =∠DAC ,∴∠ADE =∠DAC ,∴AG =GD ;(2)解:当∠ABC =60°时,△DFG 是等边三角形.理由:∵弦BD 平分∠ABC ,∴∠DBC =∠ABD =30°,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∴∠CAB =90°﹣∠ABC =30°,∴∠DFG =∠FAB+∠DBA =60°,∵DE ⊥AB ,∴∠DGF =∠AGH =90°﹣∠CAB =60°,∴△DGF 是等边三角形;(3)解:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =∠ACB =90°,∵∠DAC =∠DBC =∠ABD ,∵AB =10,sin ∠ABD =35, ∴在Rt △ABD 中,AD =AB•sin ∠ABD =6,∴BD8,∴tan ∠ABD =34AD BD ,cos ∠ABD =4=5BD AB , 在Rt △ADF 中,DF =AD•tan ∠DAF =AD•tan ∠ABD =6×34=92, ∴BF =BD ﹣DF =8﹣92=72, ∴在Rt △BCF 中,BC =BF•cos ∠DBC =BF•cos ∠ABD =72×45=145. ∴BC 的长为:145.【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用,注意辅助线的作法.14.如图,AB 是半圆⊙O 的直径,点C 是半圆⊙O 上的点,连接AC ,BC ,点E 是AC 的中点,点F 是射线OE 上一点.(1)如图1,连接FA ,FC ,若∠AFC =2∠BAC ,求证:FA ⊥AB ;(2)如图2,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,点G 是线段CD 上一点(不与点C 重合),连接FA ,FG ,FG 与AC 相交于点P ,且AF =FG .①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系,并证明;②连接OG ,若OE =BD ,∠GOE =90°,⊙O 的半径为2,求EP 的长.【答案】(1)见解析;(2)①结论:∠GFA =2∠ABC .理由见解析;②PE 3. 【解析】【分析】 (1)证明∠OFA =∠BAC ,由∠EAO +∠EOA =90°,推出∠OFA +∠AOE =90°,推出∠FAO =90°即可解决问题.(2)①结论:∠GFA=2∠ABC.连接FC.由FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.因为»»=,推出∠GFA=2∠ACG,再证明∠ACG=∠ABC.AG AG②图2﹣1中,连接AG,作FH⊥AG于H.想办法证明∠GFA=120°,求出EF,OF,OG即可解决问题.【详解】(1)证明:连接OC.∵OA=OC,EC=EA,∴OF⊥AC,∴FC=FA,∴∠OFA=∠OFC,∵∠CFA=2∠BAC,∴∠OFA=∠BAC,∵∠OEA=90°,∴∠EAO+∠EOA=90°,∴∠OFA+∠AOE=90°,∴∠FAO=90°,∴AF⊥AB.(2)①解:结论:∠GFA=2∠ABC.理由:连接FC.∵OF垂直平分线段AC,∴FG=FA,∵FG=FA,∴FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.∵»»AG AG=,∴∠GFA=2∠ACG,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB =90°,∵CD ⊥AB ,∴∠ABC +∠BCA =90°,∵∠BCD +∠ACD =90°,∴∠ABC =∠ACG ,∴∠GFA =2∠ABC .②如图2﹣1中,连接AG ,作FH ⊥AG 于H .∵BD =OE ,∠CDB =∠AEO =90°,∠B =∠AOE ,∴△CDB ≌△AEO (AAS ),∴CD =AE ,∵EC =EA ,∴AC =2CD .∴∠BAC =30°,∠ABC =60°,∴∠GFA =120°,∵OA =OB =2,∴OE =1,AE =,BA =4,BD =OD =1, ∵∠GOE =∠AEO =90°,∴OG ∥AC , 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=, ∵FG =FA ,FH ⊥AG ,∴AH =HG 21∠AFH =60°, ∴AF =27sin 603AH ︒=, 在Rt △AEF 中,EF 2213AF AE -=, ∴OF =OE +EF =43 , ∵PE ∥OG , ∴PE EF OG 0F=,∴1342333PE,∴PE=36.【点睛】圆综合题,考查了垂径定理,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.15.如图1,⊙O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合),∠ABC=30°,过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.(1)如图2,当PD∥AB时,求PD的长;(2)如图3,当弧DC=弧AC时,延长AB至点E,使BE=12AB,连接DE.①求证:DE是⊙O的切线;②求PC的长.【答案】(1)26;(2)①证明见解析;②33﹣3.【解析】试题分析:(1)根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角三角函数关系得出OP,PD的长;(2)①首先得出△OBD是等边三角形,进而得出∠ODE=∠OFB=90°,求出答案即可;②首先求出CF的长,进而利用直角三角形的性质得出PF的长,进而得出答案.试题解析:(1)如图2,连接OD,∵OP⊥PD,PD∥AB,∴∠POB=90°,∵⊙O的直径AB=12,∴OB=OD=6,在Rt△POB中,∠ABC=30°,∴OP=OB•tan30°=6×=2,在Rt△POD中,PD===;(2)①如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,∵,∴∠DBC=∠ABC=30°,∴∠ABD=60°,∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形,∴OD⊥FB,∵BE=AB,∴OB=BE,∴BF∥ED,∴∠ODE=∠OFB=90°,∴DE是⊙O的切线;②由①知,OD⊥BC,∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3,在Rt△POD中,OF=DF,∴PF=DO=3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),∴CP=CF﹣PF=3﹣3.考点:圆的综合题。
圆的练习题及答案
圆的练习题及答案一、选择题:1. 圆的周长公式是()。
A. C = πdB. C = 2πrC. C = πrD. C = πd + 2r答案:B2. 半径为2厘米的圆的面积是()平方厘米。
A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π答案:B3. 一个扇形的圆心角为60°,半径为4厘米,它的弧长是()。
A. 2π厘米B. 4π厘米C. 8π厘米D. 12π厘米答案:B二、填空题:1. 圆的直径是半径的______倍。
答案:22. 一个圆的半径为5厘米,那么它的直径是______厘米。
答案:103. 圆的周长和它的直径的比值,叫做圆周率,通常用希腊字母______表示。
答案:π三、计算题:1. 已知一个圆的半径为7厘米,求它的周长和面积。
解:根据圆的周长公式C = 2πr,面积公式A = πr²。
周长C = 2 × π × 7 = 14π 厘米。
面积A = π × 7² = 49π平方厘米。
2. 一个扇形的半径为6厘米,圆心角为45°,求它的弧长和面积。
解:圆心角对应的弧长公式为L = (θ/360) × 2πr,面积公式为S = (θ/360) × πr²。
弧长L = (45/360) × 2π × 6 = 3π 厘米。
面积S = (45/360) × π × 6² = 9π 平方厘米。
四、解答题:1. 一个圆的周长是25.12厘米,求它的半径。
解:根据圆的周长公式C = 2πr,我们可以将其变形为r = C ÷ (2π)。
半径r = 25.12 ÷ (2 × π) ≈ 4 厘米。
2. 一个扇形的半径是8厘米,圆心角是30°,求扇形的弧长和面积。
解:弧长L = (θ/360) × 2πr = (30/360) × 2π × 8 =16π/3 厘米。
圆的综合练习题及答案
(一) 圆的综合练习题答案1.如图,已知AB 为⊙O 的弦,C 为⊙O 上一点,∠C=∠BAD ,且BD ⊥AB 于B.(1)求证:AD 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为3,AB=4,求AD 的长.(1)证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°. ……………………1分 ∵∠E =∠C, ∠C=∠BAD , ∴∠EAB+∠BAD =90°.∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分(2)解:由(1)可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6, AB=4, ∴5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分∵∠E=∠C=∠BAD, BD ⊥AB,∴.cos cos E BAD ∠=∠…………………………………………………4分 ∴.AEBEAD AB = .6524=AD 即∴5512=AD . …………………………………………………5分 2.已知:在⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,OE ⊥AC于点E ,过点C 作直线FC ,使∠FCA =∠AOE ,交 AB 的延长线于点D.(1)求证:FD 是⊙O 的切线;(2)设OC 与BE 相交于点G ,若OG =2,求⊙O半径的长;证明:(1)连接OC (如图①), ∵OA =OC ,∴∠1=∠A. ∵OE ⊥AC ,∴∠A +∠AOE =90°. ∴∠1+∠AOE =90°.又∠FCA =∠AOE , 图① ∴∠1+∠FCA =90°. 即∠OCF =90°.∴FD 是⊙O 的切线.……………………………………………………2分(2)连接BC (如图②),∵OE ⊥AC ,∴AE =EC. 又AO =OB , ∴OE ∥BC 且BC OE 21=.……………3分∴△OEG ∽△CBG .图② ∴21==CB OE CG OG . ∵OG =2,∴CG =4.∴OC =6.………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.3.如图,以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作⊙O ,交底边BC 于 点D .过点D 作DE AC ⊥,垂足为E . (I )求证:DE 为⊙O 的切线;(II )若⊙O 的半径为5,60BAC ∠=,求DE 的长. 解:(I )证明:连接AD ,连接ODAB 是直径,∴BC AD ⊥,又 ABC ∆是等腰三角形,∴D 是BC 的中点. OD AC ∴∥.DE AC ⊥,DE OD ⊥∴. DE ∴为⊙O 的切线.(II )在等腰ABC ∆中,60BAC ∠=,知ABC △是等边三角形.⊙O 的半径为5,10AB BC ∴==,152CD BC ==. 53sin 602DE CD ∴==4. 如图,△ABC 中,AB=AE ,以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ,过C 作CD ⊥AE 于D , DC 的延长线与AB 的延长线交于点P. (1)求证:PD 是⊙O 的切线; (2)若AE=5,BE=6,求DC 的长. (1)证明:连结OC…………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE +∠E=900 ∵AB=AE , OB=OC ∴∠CBA=∠E=∠BCO 又∵∠DCE=∠PCB ∴∠BCO +∠PCB=900∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 (2)解:连结AC………………3分 ∵AB=AE=5 AB 是⊙O 的直径BE=6∴AC ⊥BE 且EC=BC=3 ∴AC=4又 ∵∠CBA=∠E ∠EDC=∠ACB=90°∴△EDC ∽△BCA………………4分∴AC DC =ABEC即4DC =53∴DC=5125分5.在Rt △ABC 中,∠C=90 , BC=9, CA=12,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D , DE ⊥DB 交AB 于点E ,⊙O 是△BDE的外接圆,交BC 于点F(1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)联结EF ,求EFAC的值. (1) 证明:连结OD ,-------1分∵90C ∠=,∴90DBC BDC ∠+∠=. 又∵BD 为∠ABC 的平分线,∴ABD DBC ∠=∠. ∵OB OD =,∴ABD ODB ∠=∠∴90ODB BDC ∠+∠=,即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径,∴AC 是⊙O 的切线. ………………………………………………3分(2) 解:∵ DE ⊥DB ,⊙O 是Rt △BDE 的外接圆, ∴BE 是⊙O 的直径, 设⊙O 的半径为r ,在Rt △ABC 中,22222912225AB BC CA =+=+=, ∴15AB =∵A A ∠=∠,90ADO C ∠=∠=,∴△ADO ∽△ACB .∴AO OD AB BC =.∴15159r r-=.∴458r =.∴454BE =4分又∵BE 是⊙O 的直径.∴90BFE ∠=.∴△BEF ∽△BAC∴4534154EF BE AC BA ===.……………………………5分 A CEOBFD(第5题)FE CA D o BOF EDCB A A B CDE FO 7. 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,E 是AB 延长线上的一点,D 是⊙O 上的一点,且AD 平分∠FAE ,ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C .(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论;(2)若AF ∶FC=5∶3,AE=16,求⊙O 的直径AB 的长.解:(1)直线CE 与⊙O 相切.证明:如图,连结 OD .∵AD 平分∠FAE ,∴∠CAD=∠DAE . ∵OA=OD ,∴∠ODA=∠DAE .∴∠CAD=∠ODA .∴OD ∥AC . ∵EC ⊥AC , ∴OD ⊥EC .∴CE 是⊙O 的切线.……………………………………………………………2分(2)如图,连结BF .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AFB=90°. ∵∠C=90°, ∴∠AFB=∠C . ∴BF ∥EC .∴AF ∶AC= AB ∶AE . ∵AF ∶FC=5∶3,AE=16, ∴5∶8=AB ∶16.∴AB= 10.…………………………………………………………5分8已知:如图,在△ABC 中,AB = AC ,点D 是边BC 的中点.以BD 为直径作圆O ,交边AB 于点P ,联结PC ,交AD 于点E . (1)求证:AD 是圆O 的切线;(2)若PC 是圆O 的切线,BC = 8,求DE 的长. (1)证明:∵AB = AC ,点D 是边BC 的中点,∴AD ⊥BD . 又∵BD 是圆O 直径,∴AD 是圆O 的切线.……2分(2)解:连结OP ,由BC = 8,得CD = 4,OC = 6,OP = 2.∵PC 是圆O 的切线,O 为圆心,∴90OPC ∠=︒. 由勾股定理,得42PC = 在△OPC 中,2tan 442OP OCP PC ∠===在△DEC 中,ABCDP E .O(第8题)2tan ,4tan DE DCE DC DE DC DCE ∠==∴=∠9.如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,D 是AB 延长线的一点,AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ,CF ⊥AB 于F ,且CE =CF .(1) 求证:DE 是⊙O 的切线;(2) 若AB =6,BD =3,求AE 和BC 的长. 证明:(1)连接OC,,,,1 2.,2 3.1 3.//.1.2AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴又分是的切线.分00(2)6,13.23,6,30.60.39,19.422,3.5AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC BC OB =∴===∆==+=∴∠=∠=∆=+=∴==∆∠=∴==0解:在中,分在中, A 分在中,COD=60分10如图,⊙O 的直径4=AB ,点P 是AB 延长线上的一点,过P 点作⊙O 的切线,切点为C ,联结AC .(1)若︒=∠30CPA ,求PC 的长;(2)若点P 在AB 的延长线上运动,CPA ∠的平分线交AC 于点M .你认为CMP ∠的大 小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出CMP ∠的大小. 解:(1)联结OC ,则PC OC ⊥.在Rt △OCP 中,221==AB OC ,︒=∠30CPA . ∴323==OC PC . ……………………2分(2)CMP ∠的大小不发生变化. …………………3分MPA A CMP ∠+∠=∠CPO COP ∠+∠=2121︒=︒⨯=459021. ………5分 EF A O B CD第19题11如图,点P 在半O 的直径BA 的延长线上,2AB PA =,PC 切半O 于点C ,连结BC . (1)求P ∠的正弦值; (2)若半O 的半径为2,求BC 的长度. (1)证明:如图,连接OC .∵PC 切半O 于点C , 90PCO ∴∠=︒.…………………1分∵2AB PA =,PA OA OB OC ∴===. 在Rt PCO △中,1sin 2OC P OP ∠==.2分(2)过点O 作OD BC ⊥于点D ,则2BC BD =.3分1sin 2P ∠=,30P ∴∠=︒, 60POC ∴∠=︒. ∵OC OB =,30B OCB ∴∠=∠=︒. 在Rt OBD △中,2OB =, cos30BD OB ∴=︒=4分 BC ∴=5分12已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E . 求证:BE=CE .证明:连接CD.∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径,∴EC 为⊙O 切线,且∠ADC=90°. ………………………2分 ∵ED 切⊙O 于点D,∴EC =ED. …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC.∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC=90°, ∴∠B=∠BDE.∴BE=ED.………………………………………………4分13.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,且∠BCE=∠CAB ,CE 交AB 的延长线于点E ,AD ⊥AB ,交EC 的延长线于点D . (1)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若CE=3,BE=2,求CD 的长.解:(1)直线DE 与⊙O 相切.A证明:如图,连结 OC . ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. ∵OA=OC ,∴∠OAC=∠ACO . ∵∠BCE=∠CAB , ∴∠BCE=∠ACO . ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°.∴∠BCE +∠BCO =∠BCO +∠ACO=∠OCE =90°. ………………1分 ∴DE 是⊙O 的切线.……………………………………………2分 (2)∵∠BCE=∠CAB ,∠BEC=∠CEA ,∴△BEC ∽△CEA . ∴CE ∶AE=BE ∶CE . ∵CE=3,BE=2, ∴3∶AE =2∶3.∴AE= 92.……………………………………………………3分∵AD ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径, ∴DA 是⊙O 的切线.∴AD=CD . ………………………………………………4分在Rt △ABC 中,由勾股定理得222AD AE DE +=, ∴()222932CD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.∴CD=158.………………………………………………5分 14. 已知:如图,AB 为⊙O 的直径,AD 为弦,∠DBC =∠A.(1)求证: BC 是⊙O 的切线;(2)若OC ∥AD ,OC 交BD 于E ,BD=6,CE=4,求AD 的长. (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°.………………………… 1分 ∴∠ABD +∠A=90°. 又∵∠DBC=∠A . ∴∠ABD+∠DBC=90°. ∴∠ABC=90°.∴BC 是⊙O 的切线. ………………………2分(2)解: ∵OC ∥AD ,∠ADB=90°,∴OE ⊥BD ,∠OED =∠ADB= ∠BEC=90°.∴BE=12BD =3. ………………………4分又∵∠DBC =∠A , ∴△CBE ∽△BAD .∴AD BD BE CE =,即634AD =. ∴AD =92. ……5分15.如图:AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,22.5DAB ∠=,延长AB 到点C , 使得2ACD DAB ∠=∠.(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AB =,求BC 的长.(1)证明:连结DO………………………………1分 ∵AO=DO∴∠DAO=∠ADO=22.50 ∴∠DOC=450 又∵∠ACD=2∠DAB∴∠ACD=∠DOC=450 ∴∠ODC=900………………2分∴CD 是⊙O 的切线(2)解:连结DB………………………………………3分∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADO +∠ODB=900由(1)知∠CDB +∠ODB=900 ∴∠ADO=∠OAD=∠CDB ………4分 又∵∠DCB=∠ACD ∴△ADC ∽△DBC ∴BC DC=DCBCAB +∴2222BCBC +=∴BC=2-2BC=-2-2(舍负)∴BC=2-2………………………………………5分CB ODAODAC B。
圆的练习题及答案
圆的练习题及答案练习题一:1. 设圆O的半径为5cm,求其直径、周长和面积。
解答:直径:直径是通过圆心的一条线段,等于半径的两倍,所以直径=2 ×半径 = 2 × 5cm = 10cm。
周长:周长等于圆的周长,即2 × π × 半径= 2 × 3.14 × 5cm ≈31.4cm。
面积:面积等于圆的面积,即π × 半径² = 3.14 × 5cm × 5cm ≈78.5cm²。
2. 已知圆O的直径为16cm,求其半径、周长和面积。
解答:半径:半径等于直径的一半,所以半径=直径 ÷ 2 = 16cm ÷ 2 = 8cm。
周长:周长等于圆的周长,即2 × π × 半径= 2 × 3.14 × 8cm ≈50.24cm。
面积:面积等于圆的面积,即π × 半径² = 3.14 × 8cm × 8cm ≈201.06cm²。
3. 若一圆的周长为15πcm,求其半径和面积。
解答:已知周长=2 × π × 半径所以半径=周长÷ (2 × π) = 15πcm ÷ (2 × π) = 7.5cm。
面积等于圆的面积,即π × 半径² = 3.14 × 7.5cm × 7.5cm ≈ 176.625cm²。
练习题二:1. 设圆O的半径为r,若圆周长等于其面积的2倍,求r的值。
解答:已知周长=2 × π × 半径,面积=π × 半径²根据题意,2 ×周长 = 面积,可以得到2 × 2 × π × r = π × r²。
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圆的综合练习题答案1.如图,已知AB 为⊙O 的弦,C 为⊙O 上一点,∠C =∠BAD ,且BD ⊥AB 于B .(1)求证:AD 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为3,AB =4,求AD 的长.(1)证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.∴∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵∠E =∠C , ∠C =∠BAD , ∴∠EAB +∠BAD =90°.∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分(2)解:由(1)可知∠ABE =90°.∵AE =2AO =6, AB =4, ∴5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分∵∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,∴.cos cos E BAD ∠=∠…………………………………………………4分 ∴.AE BE AD AB = .6524=AD 即∴5512=AD . …………………………………………………5分 2.已知:在⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,OE ⊥AC于点E ,过点C 作直线FC ,使∠FCA =∠AOE ,交 AB 的延长线于点D.(1)求证:FD 是⊙O 的切线;(2)设OC 与BE 相交于点G ,若OG =2,求⊙O半径的长;证明:(1)连接OC (如图①), ∵OA =OC ,∴∠1=∠A.∵OE ⊥AC ,∴∠A +∠AOE =90°. ∴∠1+∠AOE =90°.又∠FCA =∠AOE , 图① ∴∠1+∠FCA =90°. 即∠OCF =90°.∴FD 是⊙O 的切线.……………………………………………………2分(2)连接BC (如图②),∵OE ⊥AC ,∴AE =EC. 又AO =OB , ∴OE ∥BC 且BC OE 21=.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG.图② ∴21==CB OE CG OG . ∵OG =2,∴CG =4.∴OC =6.………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.3.如图,以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作⊙O ,交底边BC 于 点D .过点D 作DE AC ⊥,垂足为E . (I )求证:DE 为⊙O 的切线;(II )若⊙O 的半径为5,60BAC ∠=,求DE 的长. 解:(I )证明:连接AD ,连接ODAB 是直径,∴BC AD ⊥,又 ABC ∆是等腰三角形,∴D 是BC 的中点. OD AC ∴∥.DE AC ⊥,DE OD ⊥∴. DE ∴为⊙O 的切线.(II )在等腰ABC ∆中,60BAC ∠=,知ABC △是等边三角形.⊙O 的半径为5,10AB BC ∴==,152CD BC ==. 53sin 60DE CD ∴==4. 如图,△ABC 中,AB =AE ,以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ,过C 作CD ⊥AE 于D ,DC 的延长线与AB 的延长线交于点P .(1)求证:PD 是⊙O 的切线; (2)若AE =5,BE =6,求DC 的长. (1)证明:连结OC …………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE +∠E =900∵AB=AE , OB =OC∴∠CBA =∠E =∠BCO 又∵∠DCE =∠PCB ∴∠BCO +∠PCB =900∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 (2)解:连结AC ………………3分 ∵AB=AE =5 AB 是⊙O 的直径BE =6∴AC ⊥BE 且EC=BC =3 ∴AC =4又 ∵∠CBA =∠E ∠EDC =∠ACB =90°∴△EDC ∽△BCA ………………4分∴AC DC =ABEC即4DC =53∴DC =5125分5.在Rt △ABC 中,∠C=90, BC =9, CA =12,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D , DE ⊥DB 交AB 于点E ,⊙O 是△BDE 的外接圆,交BC 于点F(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)联结EF ,求EFAC的值. (1) 证明:连结OD ,-------1分 ∵90C ∠=,∴90DBC BDC ∠+∠=. 又∵BD 为∠ABC 的平分线,∴ABD DBC ∠=∠. ∵OB OD =,∴ABD ODB ∠=∠∴90ODB BDC ∠+∠=,即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径,∴AC 是⊙O 的切线. ………………………………………………3分(2) 解:∵ DE ⊥DB ,⊙O 是Rt △BDE 的外接圆, ∴BE 是⊙O 的直径,A CEOBFD(第5题)FE CA D o BAA 设⊙O 的半径为r ,在Rt △ABC 中,22222912225AB BC CA =+=+=, ∴15AB =∵A A ∠=∠,90ADO C ∠=∠=,∴△ADO ∽△ACB .∴AO OD AB BC =.∴15159r r-=.∴458r =.∴454BE = ·············· 4分又∵BE 是⊙O 的直径.∴90BFE ∠=.∴△BEF ∽△BAC∴4534154EF BE AC BA ===.……………………………5分7. 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,E 是AB 延长线上的一点,D 是⊙O 上的一点,且AD 平分∠FAE ,ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C .(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若AF ∶FC =5∶3,AE =16,求⊙O 的直径AB 的长. 解:(1)直线CE 与⊙O 相切.证明:如图,连结 OD .∵AD 平分∠FAE , ∴∠CAD =∠DAE .∵OA =OD , ∴∠ODA =∠DAE . ∴∠CAD =∠ODA . ∴OD ∥AC . ∵EC ⊥AC , ∴OD ⊥EC .∴CE 是⊙O 的切线.……………………………………………………………2分(2)如图,连结BF .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AFB =90°. ∵∠C =90°, ∴∠AFB =∠C . ∴BF ∥EC .∴AF ∶AC = AB ∶AE .∵AF ∶FC =5∶3,AE =16, ∴5∶8=AB ∶16.∴AB = 10.…………………………………………………………5分8已知:如图,在△ABC 中,AB = AC ,点D 是边BC 的中点.以BD 为直径作圆O ,交边AB 于点P ,联结PC ,交AD 于点E . (1)求证:AD 是圆O 的切线;(2)若PC 是圆O 的切线,BC = 8,求DE 的长. (1)证明:∵AB = AC ,点D 是边BC 的中点, ∴AD ⊥BD .又∵BD 是圆O 直径,∴AD 是圆O 的切线.……2分(2)解:连结OP ,由BC = 8,得CD = 4,OC = 6,OP = 2.∵PC 是圆O 的切线,O 为圆心,∴90OPC ∠=︒.由勾股定理,得42PC = 在△OPC 中,2tan 442OP OCP PC ∠===在△DEC 中,9.如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,D 是AB延长线的一点,AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ,CF ⊥AB 于F ,且CE =CF .(1) 求证:DE 是⊙O 的切线;(2) 若AB =6,BD =3,求AE 和BC 的长. 证明:(1)连接OC,ABCDPE.O(第8题)F A O B CD2tan ,4tan 24 2.54DE DCE DC DE DC DCE ∠==∴=∠=⨯=分,,,1 2.,2 3.1 3.//.1.2AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴又分是的切线.分00(2)6,13.23,6,30.60.39,19.422,3.5AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC BC OB =∴===∆==+=∴∠=∠=∆=+=∴==∆∠=∴==0解:在中,分在中, A 分在中,COD=60分10如图,⊙O 的直径4=AB ,点P 是AB 延长线上的一点,过P 点作⊙O 的切线,切点为C ,联结AC .(1)若︒=∠30CPA ,求PC 的长;(2)若点P 在AB 的延长线上运动,CPA ∠的平分线交AC 于点M .你认为CMP ∠的大 小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出CMP ∠的大小. 解:(1)联结OC ,则PC OC ⊥.在Rt △OCP 中,221==AB OC ,︒=∠30CPA . ∴323==OC PC . ……………………2分(2)CMP ∠的大小不发生变化. …………………3分MPA A CMP ∠+∠=∠CPO COP ∠+∠=2121︒=︒⨯=459021. ………5分 11如图,点P 在半O 的直径BA 的延长线上,2AB PA =PC O C BC . (1)求P ∠的正弦值; (2)若半O 的半径为2,求BC 的长度.CP第19题(1)证明:如图,连接OC . ∵PC 切半O 于点C ,90PCO ∴∠=︒.…………………1分∵2AB PA =, PA OA OB OC ∴===.在Rt PCO △中,1sin 2OC P OP ∠==. ···················· 2分(2)过点O 作OD BC ⊥于点D ,则2BC BD =. ·············· 3分1sin 2P ∠=,30P ∴∠=︒, 60POC ∴∠=︒. ∵OC OB =,30B OCB ∴∠=∠=︒. 在Rt OBD △中,2OB =,cos30BD OB ∴=︒= ························ 4分BC ∴= ······························ 5分12已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E . 求证:BE=CE .证明:连接CD.∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径,∴EC 为⊙O 切线,且∠ADC=90°. ………………………2分 ∵ED 切⊙O 于点D,∴EC =E D . …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC.∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC=90°, ∴∠B=∠BDE.∴BE=ED.………………………………………………4分AA 13.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,且∠BCE =∠CAB ,CE 交AB 的延长线于点E ,AD ⊥AB ,交EC 的延长线于点D .(1)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论;(2)若CE =3,BE =2,求CD 的长.解:(1)直线DE 与⊙O 相切.证明:如图,连结 OC . ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB =90°.∵OA =OC , ∴∠OAC =∠ACO . ∵∠BCE =∠CAB , ∴∠BCE =∠ACO . ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB =90°.∴∠BCE +∠BCO =∠BCO +∠ACO =∠OCE =90°. ………………1分 ∴DE 是⊙O 的切线.……………………………………………2分 (2)∵∠BCE =∠CAB ,∠BEC =∠CEA ,∴△BEC ∽△CEA . ∴CE ∶AE =BE ∶CE . ∵CE =3,BE =2,∴3∶AE =2∶3.∴AE = 92.……………………………………………………3分∵AD ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径, ∴DA 是⊙O 的切线.∴AD =CD . ………………………………………………4分 在Rt △ABC 中,由勾股定理得222AD AE DE +=, ∴()222932CD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.∴CD =158.………………………………………………5分 14. 已知:如图,AB 为⊙O 的直径,AD 为弦,∠DBC =∠A .(1)求证: BC 是⊙O 的切线;(2)若OC ∥AD ,OC 交BD 于E ,BD=6,CE=4,求AD 的长. (1)证明: ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°.………………………… 1分 ∴∠ABD +∠A =90°. 又∵∠DBC =∠A .∴∠ABD +∠DBC =90°. ∴∠ABC =90°.∴BC 是⊙O 的切线. ………………………2分(2)解: ∵OC ∥AD , ∠ADB =90°,∴OE ⊥BD ,∠OED =∠ADB = ∠BEC =90°.∴BE =12BD =3. ………………………4分又∵∠DBC =∠A ,∴△CBE ∽△BAD .∴AD BD BE CE =,即634AD =. ∴AD =92. ……5分15.如图:AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,22.5DAB ∠=,延长AB 到点C , 使得2ACD DAB ∠=∠.(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AB =BC 的长.(1)证明:连结DO ………………………………1分 ∵AO=DO∴∠DAO =∠ADO =22.50∴∠DOC =450又∵∠ACD =2∠DAB∴∠ACD =∠DOC =450∴∠ODC =900………………2分∴CD 是⊙O 的切线(2)解:连结DB ………………………………………3分∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADO +∠ODB =900由(1)知∠CDB +∠ODB =900∴∠ADO =∠OAD =∠CDB ………4分 又∵∠DCB =∠ACD ∴△ADC ∽△DBC ∴BC DC=DCBCAB +∴2222BCBC +=∴BC =2-2BC =-2-2(舍负)CB ODAODACB∴BC=2-2………………………………………5分。