全概率公式

2 2 2 6
例2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则 至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A ) 7 = P( A) = N (S ) 8
6 P AB = 8
所以
6 P AB 8 6 PB A = = = P A 7 7 8
条件概率的性质： 1 非负性：对任意事件 B ，有 P B A 0
2
规范性： P S A = 1 ；
3 可列可加性：如果随机 事件
则 两互不相容，
B 1 ，B 2 ， ， Bn， 两
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在
一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推 断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是 有规定的。
§ 1.5
条 件 概 率
P A 0
设A、B是某随机试验中的两个事件，且
则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为
在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之
下的条件概率，记为
P B A
例 5 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求 该家庭至少有一个男孩的概率． 解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 则
1 7 P A = 1 - P A = 1 - = 8 8
例 4 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有
这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断 接待时间是有规定的？
解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一 周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次接待来 访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003， 即千万分之三。
0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比 赛中射中目标的概率． 解： 设 该小组在比赛中射中目标} B ={
Ai = {选 i级射手参加比赛
由全概率公式，有
}i = 1， 2， 3 4
4 PB = P An P B An n =1



2 6 9 3 = 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
（三）事件之间的关系
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生
而B不发生.
6. 互逆的事件 AB＝ , 且AB＝ 记作 B = A，称为 A 的对立事件 ; 易见 A - B = A B
随机事件的运算规律 幂等律: 交换律: 结合律:
A A = A,
A A = A
B
2 An = S
或
A
n =1

n
；
3PAn 0 n = 1,

2,
则有
PB = PAn P B An
n =1
例7 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分 别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参
加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、
的球 中再取一球。
分别就上面两种方式求： 1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
P B A = P B n A n =1 n n =1
乘法公式
设A、BS，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。 乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
§ 1.2 样本空间、随机事件
(一) 样本空间(Space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的
元素，即 E 的每个结果，称为样本点。
E1：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E2：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
§ 1.4 古典概型与概率
若某实验E满足
1.有限性：样本空间S＝{e1, e
2.等可能性：
2
, … , e
n
};
P(e1)=P(e2)=…=P(en).
则称E为古典概型也叫等可能概型。
例 1 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从
袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式： • 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球。 • 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余
第一章 概率论的基本概念
§ 1.1
随机试验的特点：
随机试验
1.可在相同条件下重复进行；
2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可记为 E
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
例 9（续）
所以，由
B = AB A B
得： P
B= PAB PA B
b ab b = = 2 2 a b a b a b
例3从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能
被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求 取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.
解:N(S)=200, N(2)=[200/8]=25
N(1)=[200/6]=33, N(3)=[200/24]=8
(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25
它具有下述性质:
1
0 f n ( A) 1 ;
2
3
f n ( S ) = 1;
若 A 1 , A 2 , , A k 是两两互不相容事件 , 则
f n ( A1 A2 Ak ) = f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak )
（二） 概率的定义
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有
P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形； (5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
A = A , A = A
分配律:
De Morgan定律:
§ 1.3 频 率 与 概 率
(一) 频率的定义和性质
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为
事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P ( A)
称为事件 A 的概率，要求集合函数 P() 满足
下列条件：
10 0 P( A) ; 20 P( S ) = 1 ;
3 若 A1 , A2 , 是两两互不相容事件 , 则
0
P( A1 A2 ) = P( A1) P( A2)
例 6 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打
破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打
破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打 破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”， 以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：
E3：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
S1 : {0,1,2,3……}
S2 : { t | t 0 }
S3 : { ( x , y ) | T 0 x , y T1 }
（二）随机事件
定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机
事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.
P(B)＝P(B|A)
则称事件A与B相互独立。等价于：
P(AB)＝P(A)P(B)
例 9 袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球， 取后放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }， 则
b P A = ab
b2 P AB = 2 a b
ab PA B = 2 a b
所以，由Bayes公式，得

P D A =
PD P A D P D P A D
PD P A D

0.0004 0.95 = 0.0004 0.95 0.9996 0.10
= 0.0038
§ 1.6 事件的独立性
(一) 两事件独立
定义 设A、B是两事件，P(A) ≠0,若
有放回抽取:
42 42 22 P( A) = 2 = 0.444 P( B ) = = 0.556 2 6 6