同余法解题完整版
同余法解题
五年级奥数培训资料
第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明得。同余得定义就是这样得: 两个整数,a,b,如果她们同时除以一个自然数ｍ,所得得余数相同,则称ａ,b对于模m同余。。记作a≡b(moｄ.ｍ)、读作:a同余于ｂ模ｍ。同余得性质也比较多,主要有以下一些: 1、.对于同一个除数,两个数得乘积与它们余数得乘积同余。
例如20１ ×９5得乘积对于除数7,与2０1÷７得余数5与95÷７得余数４得乘积20对于7同余。
2.、对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们得差就一定能被这个除数整除。
例如51９与３99对于一个除数同余,那么这个除数一定就是519与3９9得差得因数,即５19与399得差一定能被这个除数整除。
３..对于同一个除数,如果两个数同余,那么她们得乘方仍然同余。
例如２0与29对于一个除数同余,那么2０得任何次方都与２9得相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。
4、对于同一个除数,若三个数a≡b(moｄm),ｂ≡c(moｄm),那么a,b,ｃ三个数对于除数m都同余(传递性)
例如６０与7６同余于模８,76与204同余于模８,那么60,76,204都同余于模８、
5。对于同一个除数,若四个数ａ≡ｂ(mｏdｍ),ｃ≡d(mｏd m),那么a±ｃ≡c±d(mod m),(可加减性)
6。对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡ｄ(modｍ),那么ac≡cｄ(mｏd m),(可乘性)
二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几?
小学奥数同余问题
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，
，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
同余问题解析
同余问题解析
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
一、“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加倍”这是解较简单同余问题的口诀。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数。
下面以4、5、6为例，请记住[4,5,6]=60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，求这个数。
因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60k-3，k为非零自然数。
即：当k=1、2、3、4、5…时都满足
60k-3≡1（mod 4），60k-3≡2（mod,5），60k-3≡3（mod 6）。
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，求这个数。
因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60k+7，k为非零自然数。
即：当k=1、2、3、4、5…时都满足
60k+7≡3（mod 4），60k+7≡2（mod 5），60k+7≡1（mod 6）。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，求这个数。
因为余数都是1，所以取+1，表示为60k+1，k为非零自然数。
学生 同余问题
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7
时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、
b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
例2. 除以19，余数是几？
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 求下列算式中的余数。
（1）（2）
（3）（4）
2. 6254与37的积除以7，余数是几？
3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
小学奥数同余问题
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整
天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
六年级奥数专题讲义（基础卷+提高卷）-第38讲 同余法解题 通用版（含答案）
第三十八讲同余法解题
基础卷
1、乘积418×814×1616除以13所得的余数是多少
418÷13=32…2，
814÷13=62…8，
1616÷13=124…4，
2×8×4=64，
64÷13=4…12；
答：乘积418×814×1616除以13所得的余数是12．
2、已知2000年的儿童节是星期四，求2021年的儿童节是星期几
2000年到2021年由十二年
天数为12*3653（04,08,12年为闰年）=4383天
4383/7=6261即2021年的5月31日为周四,则周五即为2021年儿童节
3、求除以7的余数。
2021=7*2862
2021³=7*2862³=7m1m为正整数）
“2021的2021次方”
2021^2021=2021³^668=7m1^668
所以2021的2021次方除以7的余数是1
4、有一个整数，除300，262，205，得到的余数相同，这个整数是多少
300-262=38
262-205=57
这个数可以同时整除38和57
这个数为19
5、有一个整数，用它去除63，91，129得到3个余数的和是25，这个整数是多少
也就是说,（6391129）除以这个数的余数是25
即：6391129-25=258能够被这个数整除
258=2*3*43
那么这个数可能是：2、3、43、6、86、129
又这个数应小于63,经检验,这个数是43
6、一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少
设这个数为X，
因为这个数除以11余8，也就是说，X加上3（11-8）就可以整除11了；同理，X除以13余10，也就是说，X加上3（13-10）就可以整除13了
同余法解题
五年级奥数培训资料
第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的..同余的定义是这样的：两个整数;a;b;如果他们同时除以一个自然数m;所得的余数相同;则称a;b对于模m同余....记作a≡bmod.m..读作：a同余于b模m.. 同余的性质也比较多;主要有以下一些：
1..对于同一个除数;两个数的乘积与它们余数的乘积同余..
例如201 ×95的乘积对于除数7;与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余..
2..对于同一个除数;如果有两个整数同余;那么它们的差就一定能被这个除数整除..
例如519和399对于一个除数同余;那么这个除数一定是519与399的差的因数;即519与399的差一定能被这个除数整除..
3..对于同一个除数;如果两个数同余;那么他们的乘方仍然同余..
例如20和29对于一个除数同余;那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余;当然余数大小随次方变化..
4．对于同一个除数;若三个数a≡bmod m;b≡cmod m;那么a;b;c三个数对于除数m都同余传递性
例如60和76同余于模8;76和204同余于模8;那么60;76;204都同余于模8..
5. 对于同一个除数; 若四个数a≡bmod m;c≡dmod m;那么a±c≡c±dmod m;可加减性
6. 对于同一个除数; 若四个数a≡bmod m;c≡dmod m;那么ac≡cdmod m;可乘
性
二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1;被4除余2;被5除余4;这个数最小是几
解法：
求3个数：第一个：能同时被3和4整除;但除以5余4;即12X2＝24
应用同余问题
同余法解题（进阶）
知识精讲
例题1 求1992×59除以7的余数。练习1 求4217×364除以6的余数。例题2 已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？
练习2 已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？
例题3 求2001的2003次方除以7的余数。（费尔马小定理：某数的6次方除以7，余数为1）练习3 求12的200次方除以7的余数。
例题4 自然数300，262，205除以m的余数相同，m最大是多少？
练习4 1.一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？
2.有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个整数是多少？
例题5 某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
练习5 某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？
挑战极限
例6 当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？
例7在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？
课内练习
1.求1339655×12除以13的余数。
2.求879×4376×5283除以11的余数。
3.已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“七月一日”是星期几？
4.2004的2004次方除以7的余数是多少？
5.某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。
同余法解题
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第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：?两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。。记作a≡b（mod.m）。读作：a同余于b模m。?同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201?×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一?定能被这个除数整除。? 例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一? 定能被这个除数整除。?
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
??4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）
例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）
6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod
m），（可乘性）
二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
一次同余式例题
一次同余式例题
篇一：
一次同余式例题：求解方程 3x ≡ 5 (mod 7)
在数论中，同余式是一个重要的概念。同余式是指两个整数的差被某个正整数整除的情况。例如，对于整数a和b，如果a-b能够被正整数m整除，那么我们可以说a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。
现在让我们来解决一个同余式的例题：求解方程 3x ≡ 5 (mod 7)。
根据同余式的定义，我们需要找到整数x，使得3x减去5能够被7整除。根据同余式的性质，我们可以得出以下结论：
3x ≡ 5 (mod 7)
3x - 5 ≡ 0 (mod 7)
我们需要找到满足上述条件的整数x。为了简化问题，我们可以将3x - 5视为一个变量y。这样我们的方程变成了：
y ≡ 0 (mod 7)
现在我们可以通过试错法来解决这个问题。我们可以逐个尝试y的值，看看哪个
值满足y ≡ 0 (mod 7)。
首先，让我们从y = 0开始尝试。我们可以发现，当y = 0时，3x - 5 = 0，即
3x = 5。这意味着x = 5/3。然而，由于我们在整数域内求解，所以x必须是整数。因此，我们需要试探其他的y值。
接下来，让我们尝试y = 7。当y = 7时，3x - 5 = 7，即3x = 12。这意味着
x = 12/3 = 4。我们发现x为整数，并且3x - 5能够被7整除，因此x = 4是方程3x ≡ 5 (mod 7)的一个解。
综上所述，方程3x ≡ 5 (mod 7)的解为x = 4。
这是一个简单的同余式例题，但同余式在数论和密码学等领域中有着广泛的应用。通过理解同余式的性质和解题方法，我们可以更好地理解和应用这个重要的数学概念。
同余法解题
同余法解题Revised on November 25, 2020
五年级奥数培训资料
第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。。记作a≡b（）。读作：a同余于b模m。同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）
例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）
6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）
二、中国剩余定理解法
(完整word)应用同余解题l六年级奥数
第八讲应用同余解题
在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．
例1 a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？
分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．
解：∵a≡1（mod5），
∴3a≡3（mod 5），
或者3a≡8（mod 5）．（1）
又∵ b≡4（mod 5），（2）
∴（1）－（2）得：
3a－b≡8－4≡4（mod 5）．
因此，3a－b除以5余4．
例2 若a为自然数，证明10│（a1985－a1949）．
分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证a1985与a1949个位数字相同．用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化．
证明：∵a1985＝a4×496＋1≡a（mod 10），
a1949＝a4×497＋1≡a（mod 10），
∴a1985－a1949≡a－a≡0（mod 10）．
即10│（a1985－a1949）．
说明：这里用到一个事实：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．
由能被8、9整除的特征，得
由（2）得 y≡2（mod 8）
因0≤y<9且y是整数
∴y＝2．
把y＝2代入（1）得
x＋6＋7＋9＋2≡0（mod 9）
∴x≡3（mod 9）．
由x是一位整数得：x＝3．
∴所求五位数是36792．
分析①设 n÷9＝商…r，那么9│（n－r），根据 n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．
②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．
小学奥数如何用“同余法”巧解难题，非常棒的解题技巧
⼩学奥数如何⽤“同余法”巧解难题，⾮常棒的解题技巧同余这个概念最初是由伟⼤的德国数学家⾼斯发现的，同余即余数相同。
它的定义是这样的：两个整数a、b，如果他们同时除以⼀个⾃然数m，所得的余数相同，则称
a、b对于模m同余，记作a≡b（mod.m），读作：a同余于b模m。
同余的性质⽐较多，家长指导孩⼦学习“同余法”，⾸先要熟悉 “同余”的这⼏个基本性质：
1.对于同⼀个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如：201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2.对于同⼀个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就⼀定能被这个除数整除。
例如：519和399对于⼀个除数同余，那么这个除数⼀定是519与399的差的因数，即519与399
的差⼀定能被这个除数整除。
3.对于同⼀个除数，如果两个数同余，那么他们的乘⽅仍然同余。
例如：20和29对于⼀个除数同余，那么20的任何次⽅都和29的相同次⽅对于这个除数同余，当
然余数⼤⼩随次⽅变化。
4.对于同⼀个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都
同余（传递性）
例如：60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5.对于同⼀个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），
（可加减性）
6.对于同⼀个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可
同余法解二元一次方程
同余法解二元一次方程
同余法是一种解决二元一次方程的方法，它可以帮助我们找到
方程的整数解。在这篇文章中，我们将介绍同余法的基本原理和解
题步骤。
首先，让我们来看一个简单的二元一次方程，ax ≡ b (mod m)，其中a、b和m都是整数，m大于0。这个方程的意思是，当ax除以
m的余数等于b除以m的余数时，我们称x是这个方程的解。
现在，我们来看一下如何使用同余法来解这个方程。首先，我
们需要计算a的逆元。如果a和m互质，即它们的最大公约数为1，那么a关于模m的逆元一定存在。我们可以使用扩展欧几里得算法
来求解a关于模m的逆元。假设a关于模m的逆元为a'，那么方程
的解可以表示为x ≡ a'b (mod m)。
接下来，我们可以通过计算a'和b的乘积再对m取模来求得x
的值。这样我们就得到了方程的解。
让我们通过一个具体的例子来说明同余法的应用。假设我们要
解方程3x ≡ 2 (mod 7)。首先，我们需要计算3关于模7的逆元。
通过扩展欧几里得算法，我们可以得到3关于模7的逆元为5。然后，我们可以计算x的值，即x ≡ 52 (mod 7)，最终得到x ≡ 3 (mod 7)。因此，方程3x ≡ 2 (mod 7)的解为x ≡ 3 (mod 7)。
通过上面的例子，我们可以看到同余法是一种简单而有效的方法来解决二元一次方程。它可以帮助我们找到方程的整数解，特别是在模运算的情况下。希望本文对同余法的理解有所帮助。
小学奥数同余问题
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7
时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
小学的奥数同余问题
同余问题一
在平时解题中;我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题..如：现在时刻是7时30分;再过52小时是几时几分我们知道一天是24小
时;;也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时;这样就在7时30分的基础上加上4小时;就是11时30分..很明显这个问题的着眼点是放在余数上了..
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7;余数都是2;把除数7称作“模7”;37、44对于模7同余..
记作：mod7 “”读作同余..
一般地;两个整数a和b;除以大于1的自然数m所得的余数相同;就称a、b对于模m同余;记作：
2. 同余的性质
1每个整数都与自身同余;称为同余的反身性..
2若;那么这称作同余的对称性
3若;;则这称为同余的传递性
4若;;则这称为同余的可加性、可减性
称为同余的可乘性
5若;则;n为正整数;同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么的差一定能被k整除
这是为什么呢
k也就是的公约数;所以有
下面我们应用同余的这些性质解题..
例题分析
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数;所得的余数相同;这个自然数最大是几
分析与解答：
假设这个自然数是a;因为412、133和257除以a所得的余数相同;所以;;说明a是以上三个数中任意两数差的约数;要求最大是几;就是求这三个差的最大公约数..
所以a最大是31..
例2. 除以19;余数是几
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19;就太麻烦了;利用同余思想解决就容易了..
所以
此题应用了同余的可乘性;同余的传递性..
例3. 有一个1997位数;它的每个数位都是2;这个数除以13;商的第100位是几最后余数是几
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同余法解题
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五年级奥数培训资料
第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。。记作a≡b（mod.m）。读作：a同余于b模m。同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除
数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）
例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）
6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）
二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
解法：
求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24
第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40
第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30
这3个数的最小公倍数为60，
所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34
12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
三、解题技巧
同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀。
1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60-3或者60n-3
2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为
60n+1。
4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍n倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
三、例题解评
例1：判定288和214对于模37是否同余
思路点拨：可直接由定义判断。
解：∵288-214=74=37×2
∴288≡214（mod 37）
例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以a最大是31。
例3、249×388×234除以19，余数是几？
【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
因为249≡2（mdo19）, 388≡8（mdo19）,234≡6（mdo19）,
所以249×388×234≡2×8×6≡1（mdo19）
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例4：求1992×59除以7的余数。
思路点拨：可应用性质2，将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
解：∵1992≡4（mod 7），59≡3（mod 7）
∴根据性质5可得：1992×59≡4×3（mod 7），余数为12÷7的余数。
答：1992×59除以7的余数是5。
例5：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
思路点拨：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，也就是
16520≡14903≡14177（mod m）
根据同余补充定义，这三个数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少。
解：因为16520-14903=1617
16520-14177=2343
14903-14177=726
（1617、2343、726）=33
所以m的最大值是33。
〖评注〗实际上，这三个差数还可以继续两两相减，得到1617-726=891,891-
726=165，算出726和165的最大公约数即可，通常其结果与上面相同。
例6：在除13511，13903，及14598时能剩下相同余数的最大整数是几？
思路点拨：根据同余的性质，若几个数被同一个数除，余数相同，则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除。所以这个数应是这三个数两两相减后所得数的最大公约数。
解：这两个数两两只减的差是：
13903-13511=392
14598-13903=686
14589-13511=1078
因为（392，686，1078）=98，所以这个数是98。
也可以以上三个差再两两相减，得686-392=294，再392-294=98
答：这个最大整数是98。
例7：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3。这样的三位数共有几个？
思路点拨：由中国剩余定理解法求。
解法：
求3个数：第一个：能同时被9和5整除，但除以4余3，即45X3＝135
第二个：能同时被4和5整除，但除以9余7，即20X8＝160
第三个：能同时被9和4整除，但除以5余2，即36x2＝72
这3个数的最小公倍数为180，
所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=187
7＋180×5=907＜ 1000?
7＋180×6=1087＞1000
所以符合条件的三位数共有5个。分别是7＋180×n（n=1,2,4,5）.
答：这样的三位数共有5个。
例8、有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几
【解析】这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右
数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢
则
解析过程：本题商共有1996位，每6位循环，共有332次循环后余4，