有效数字修约与计算
有效数字及有效数字计算修约基础知识
有效数字及有效数字计算、修约基础知识一、有效数字1、末的概念末：指任何一个数最末一位数字所对应的单位量值。
例：用分度值为0.1mm的卡尺测量物体的长度，结果为19.8mm，最末一位的量值0.8mm，即为最末一位数8与所对应的单位量0.1mm的乘积，故19.8mm的末为0.1mm。
2、有效数字的界定1～9都为有效数字，数字之间的0、末尾的0也为。
二、近似数计算1、“+-”以小数位数最少为准，修约比该数多一位，计算后修约以小数点最少数的位数为准。
如：18.3+1.4545+0.876≈18.3+1.45+0.88=20.63≈20.62、“×÷”各数修约到有效数字最少多一位，最后结果以有效数字最少的那个为准。
如：3.670×45.3×5.6735≈3.670×45.3×5.674=943.31≈9433、乘方、开方，参加运算有几位有效数字，结果就得保留几位数字。
81=9.000 9.002=81.0.00如几级运算，乘方开方多保留一位。
0.81+4.359=9.000=4.3594、混合运算：不管如何运算，结果必须以位数最少为准。
三、修约规则1、舍去数第一位小于5则舍，大于5则进。
4.254→4.25 38.735→392、舍去数第一位为5，5后并非全为0则进。
9.55033→9.63、舍去数第一位为5，5后无数或全为0，奇进偶舍。
0.0415→0.042 0.0425→0.0424、注意不得连续修约。
如：37.4546→37.455→37.46→37.5→385、按GB 8170-2008《数值修约规则》对“1”“2”“5”修约间隔做了规定，即k×10n（k=1、2、5，n为正、负整数）另外，0.5、0.2修给采用分别乘以2与5，修约后再除以2与5来修约。
如：以0.5修约60.2560.25×2得120.5修约为120,再除以2得60.0练习题：一、说出下列数值有几位有效数字？1、60.0002、0.60003、0.06004、6.001×107二、近似数计算：1、19.3+1.5837+0.9762、3.780×47.5×6.57453、00025.三、数值修约：1、5.256、5.254、5.255、5.265保留三位有效数字？2、60.25以0.2修约。
有效数字和数值的修约与运算法则
有效数字和数值的修约与运算法则一、有效数字的基本概念：（1）有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值，其最后一位数字欠准是允许的，这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值，即为有效数字。
最后一位数字的欠准程度通常只能是上下差1单位。
（2）有效数字的定位（数位），是指确定欠准数字的位置，这个位置确定后，其后面的数字均为无效数字。
例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为0.1ml，如果滴定管的体积介符于20.9ml 到21.0ml之间，则需估计一位数字，读出20.97ml，这个7就是个欠准的数字，这个位置确定后，它有效位数就是4个，即使其后面还有数字也只是无效数字。
（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数。
（4）在其他10进位数中，有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数，例如：3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为3位有效位数；10.00为四位有效位数；12.490为五位有效位数。
（5）非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。
例如，H2SO4中的2和4是个数。
常数π和系数2等数值的有效位数可视为无限多位。
每1ml滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度，规格项下的0.3g或“1ml：25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量，其有效位数，也为无限多位。
即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。
（6）pH值等对数值，其有效位数是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其真数的乘方次数。
如：pH=11.26（[H+]=5.5×10-12mol/L），其有效数字只有两位。
（7）有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位，例如：85%与115%，都可以看成是三位有效数字；99.0%与101.0%都可以看成是四位有效数字。
有效数字修约与计算
A
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运算规则：
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？
保留三位有效数字
δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001 2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准 例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = ？
例如： lg12.3=1.09 0
A
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对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
例：
lg 100 = 2.000
lg 1.983 = 0.297322714
0.2973
lg 1983 = 3.29732714
3.2973
A
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特殊实例
A
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非连续型数值
个数、分数、倍数、名义浓度或标示量等是没 有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位；
保留三位有效数字
另外，对于pH、pM、lgK等对数值，有效数字 取决于尾数部分的位数。遇到首位数≧8的数据， 运算中多计一位有效数字。
A
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乘除运算 一般情况
进行数值乘除时,结果保留位数应与有效数 字位数最少者相同。
例如, (0.0142×24.43×305.84)/28.67 可先修约后计算, (0.0142×24.4×306)/28.7=3.69。
A
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拟舍弃数字的最左一位数字小于5时， 则舍去，即保留的各位数字不变。
例1：将12.1498修约到一位小数，得12.1。 例2：将12.1498修约成两位有效位数，得12。
A
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拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是5，而其后 跟有并非全部为0的数字时，则进一，即保留的末位数 字加1。
有效数字修约及运算
目的●正确地进行有效数字判定、修约及运算●规范取样规则依据●药典“凡例”●国家标准《数值修约规程》●《中国药品检定标准操作规范》●适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。
主要内容1、有效数位的判断1.1有效数字的基本概念有效数字系指在药检工作中所能得到有实际意义的数值。
是由可靠数字和最后一位不确定数字组成的。
最后一位数字的欠准程度通常只能是上下差1单位。
1.2有效数位的判断1.2.1从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零。
例：350×102 保留三位有效数,两个无效零。
35×103 保留二位有效数,三个无效零。
1.2.2从非零数字最左一位向右数而得到的位数。
例： 3.2 两位有效数字0.032 两位有效数字0.0320 三位有效数字1.2.3有效位数可视为无限多位的1.2.3.1 非连续型数值（如个数、分数、倍数）1.2.3.2 常数π，e和系数√21.2.3.3 (0.1 mol/L)滴定液的名义值1.2.3.4 规格、标示量1.2.4 pH值，其有效位数是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其真数的乘方次数。
例：pH=11.26([H+]=5.5×10－12 mol／L)，其有效位数只有两位。
1.2.5有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位。
例：85% 三位有效位数115% 三位有效位数99.0% 四位有效数字101.0% 四位有效数字。
2、数值的修约及取舍规则进舍规则：四舍六入五考虑。
五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成。
RSD修约：只进不舍例：0.163% 修约成2位有效数位→0.17%不许连续修约：拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，而不得多次连续修约。
例：修约15.4546，修约间隔为 1正确的做法为：15.4546—15；不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16修约间隔为0.5(熔点值修约)50.8、50.9 修约值为5150.1、50.2 修约为50。
有效数字修约和计算PPT幻灯片课件
遇到收尾数字为8或9时，可多算以为有效数字，中间算式中可多保留以为。
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例如： 14.131 × 0.07654 ÷ 0.78 = ? 分析：在三个数值中，0.78的有效位数最少，仅为两位有效位数，因此各数值
四舍六入五成双，即当尾数≤4时舍去，尾数≥6时进位。当尾数为5时，其后跟有 并非全部为0的数字，则进一；5后面为0，则应看5前面的数字是奇数还是偶数，5前为偶 数应将5舍去，5前为奇数则将5进位。
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进舍规则口诀：四舍六入五成双，五后非零则进一； 五后全零看五前，五前偶舍奇进一； 不论数字多少位，都要一次修约成。
均应暂保留三位有效位数进行运算，最后结果再修约为两位有效位数。 最后对计算结果进行修约，应只保两位有效位数，故： 14.131 × 0.07654 ÷ 0.78 = 14.1 × 0.0765 ÷ 0.78 = 1.4
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三、有效数字的应用实例
例1 异戊巴比妥钠的干燥失重，规定不得过4.0%，今取样1.0042g，干燥失重量 0.0408g，请判断是否符合规定？ 解析：
例如： 0.6000g、20.05%、6.325×103 0.0450g、6.32×103 、63.2×102
-------四位有效数字 -------三位有效数字
pH值等对数值，其有效数字是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其 真数的乘方次数。如pH=11.26（[H]+=5.5×10-12mol/L），其有效位数只有两位。
应修约成0.17%，0.6%；在抽样时根据取样规则确定取样件数时也采取“只进不舍” 规则。
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有效数字修约及运算
有效数字修约及运算目的●正确地进行有效数字判定、修约及运算●规范取样规则依据●药典“凡例”●国家标准《数值修约规程》●《中国药品检定标准操作规范》●适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。
主要内容1、有效数位的判断1.1有效数字的基本概念有效数字系指在药检工作中所能得到有实际意义的数值。
是由可靠数字和最后一位不确定数字组成的。
最后一位数字的欠准程度通常只能是上下差1单位。
1.2有效数位的判断1.2.1从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零。
例：350×102 保留三位有效数,两个无效零。
35×103 保留二位有效数,三个无效零。
1.2.2从非零数字最左一位向右数而得到的位数。
例： 3.2 两位有效数字0.032 两位有效数字0.0320 三位有效数字1.2.3有效位数可视为无限多位的1.2.3.1 非连续型数值（如个数、分数、倍数）1.2.3.2 常数π，e和系数√21.2.3.3 (0.1 mol/L)滴定液的名义值1.2.3.4 规格、标示量1.2.4 pH值，其有效位数是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其真数的乘方次数。
例：pH=11.26([H+]=5.5×10－12 mol／L)，其有效位数只有两位。
1.2.5有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位。
例：85% 三位有效位数115% 三位有效位数99.0% 四位有效数字101.0% 四位有效数字。
2、数值的修约及取舍规则进舍规则：四舍六入五考虑。
五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成。
RSD修约：只进不舍例：0.163% 修约成2位有效数位→0.17%不许连续修约：拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，而不得多次连续修约。
例：修约15.4546，修约间隔为 1正确的做法为：15.4546—15；不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16修约间隔为0.5(熔点值修约)50.8、50.9 修约值为5150.1、50.2 修约为50。
有效数字及有效数字计算修约基础知识
有效数字及有效数字计算、修约基础知识一、有效数字1、末的概念末：指任何一个数最末一位数字所对应的单位量值。
例：用分度值为0.1mm的卡尺测量物体的长度，结果为19.8mm，最末一位的量值0.8mm，即为最末一位数8与所对应的单位量0.1mm的乘积，故19.8mm的末为0.1mm。
2、有效数字的界定1～9都为有效数字，数字之间的0、末尾的0也为。
二、近似数计算1、“+-”以小数位数最少为准，修约比该数多一位，计算后修约以小数点最少数的位数为准。
如：18.3+1.4545+0.876≈18.3+1.45+0.88=20.63≈20.62、“×÷”各数修约到有效数字最少多一位，最后结果以有效数字最少的那个为准。
如：3.670×45.3×5.6735≈3.670×45.3×5.674=943.31≈9433、乘方、开方，参加运算有几位有效数字，结果就得保留几位数字。
81=9.000 9.002=81.0.00如几级运算，乘方开方多保留一位。
0.81+4.359=9.000=4.3594、混合运算：不管如何运算，结果必须以位数最少为准。
三、修约规则1、舍去数第一位小于5则舍，大于5则进。
4.254→4.25 38.735→392、舍去数第一位为5，5后并非全为0则进。
9.55033→9.63、舍去数第一位为5，5后无数或全为0，奇进偶舍。
0.0415→0.042 0.0425→0.0424、注意不得连续修约。
如：37.4546→37.455→37.46→37.5→385、按GB 8170-2008《数值修约规则》对“1”“2”“5”修约间隔做了规定，即k×10n（k=1、2、5，n为正、负整数）另外，0.5、0.2修给采用分别乘以2与5，修约后再除以2与5来修约。
如：以0.5修约60.2560.25×2得120.5修约为120,再除以2得60.0练习题：一、说出下列数值有几位有效数字？1、60.0002、0.60003、0.06004、6.001×107二、近似数计算：1、19.3+1.5837+0.9762、3.780×47.5×6.57453、00025.三、数值修约：1、5.256、5.254、5.255、5.265保留三位有效数字？2、60.25以0.2修约。
有效数字的修约和计算
1 有效数字的定义有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如：用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。
显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g滴定时滴定管读数为20.05mL这两个数值中的“0”都是有效数字在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字有效位数及数据中的“0 ”：1.0005，五位有效数字0.5000，31.05% 四位有效数字0.0540， 1.86 三位有效数字0.0054，0.40% 两位有效数字0.5，0.002% 一位有效数字2 有效数字的计算规则2.1 有效数字的修约规则在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。
2.1.1 四舍六入五六双。
即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃；若大于等于6，则进一；若等于5（5后无数或5后为0），5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。
例如，将下列测量值修约为四位数：3.142 45 3.1423.215 60 3.2165.623 50 5.6245.624 50 5.6243.384 51 3.3853.384 5 3.3842.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。
例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32；只能一次修约为3.31。
计算工具中有效数字的修约规则
计算工具中有效数字的修约规则有效数字的修约规则是指在进行数值计算或表示时，对数字进行适当的近似处理，以保留合理的有效位数，并减少舍入误差。
以下将介绍一些常见的有效数字修约规则。
1. 四舍五入法：当待舍去数字小于5时，舍去；当待舍去数字大于5时，进位；当待舍去数字等于5时，根据其前一位数字的奇偶性来判断：奇数进位，偶数舍去。
例如，对于数字3.1456，保留两位有效数字时，应该进行四舍五入，结果为3.15。
2. 向零舍入法：直接舍去小数部分，保留整数部分。
例如，对于数字-2.987，保留一位有效数字时，应该向零舍入，结果为-2。
3. 向上舍入法：无论小数部分的值大小，都进位到下一个整数。
例如，对于数字1.234，保留一位有效数字时，应该向上舍入，结果为2。
4. 向下舍入法：无论小数部分的值大小，都舍去小数部分。
例如，对于数字-4.567，保留两位有效数字时，应该向下舍入，结果为-4.56。
5. 截断法：直接舍去超过有效位数的数字。
例如，对于数字7.890123，保留三位有效数字时，应该截断小数部分，结果为7.89。
6. 绝对误差修约法：根据绝对误差的大小来决定修约。
绝对误差是指实际值与近似值之间的差值。
当绝对误差小于某个阈值时，保留相应的有效位数；当绝对误差大于阈值时，对数值进行修约。
例如，对于数字2.3456，要求保留两位有效数字，且允许的绝对误差为0.005，当近似值与实际值的绝对误差小于0.005时，保留两位有效数字；当绝对误差大于等于0.005时，进行修约。
7. 相对误差修约法：根据相对误差的大小来决定修约。
相对误差是指实际值与近似值之间的相对差值。
当相对误差小于某个阈值时，保留相应的有效位数；当相对误差大于阈值时，对数值进行修约。
例如，对于数字5.6789，要求保留三位有效数字，且允许的相对误差为0.01，当近似值与实际值的相对误差小于0.01时，保留三位有效数字；当相对误差大于等于0.01时，进行修约。
有效数字修约规则
有效数字及计算规则有效数字是指能够代表一定的物理量的数字，即所有实际能测得的确定数字再加上一位不定数字。
例如分析天平测得某物重量0.5020g，其中小数点后前三位是准确数字，第四位是估读的，为不定数字。
小数点前的0不是有效数字，只起到定位作用，而小数点后的两个0都是有效数字。
有效位数：对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数，对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。
例1:35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写为350×102；若有三个无效零，则为两位有效位数，应写为35×103。
例2:3.2 , 0.32 , 0.032 , 0.0032均为两位有效位数；0.0320为三位有效位数。
有效数字的修约规则：1.记录测量数据只应保留一位不定数字。
如滴定管可以准确读至小数点后第一位数字，而第二位就是估读值，因此只能保留至第二位小数。
2.“四舍六入五单双”法则（1）所拟舍去的数字中，最左边第一个数字小于5时舍去，大于5时则进一。
例如：只保留一位小数时，14.2423修约为14.2 ，6.4843修约为6.5。
（2）所拟舍去的数字中，最左边第一个数字等于5而其后面数字不全为0时，则进一；全为0时，保留的数字末位如果为奇数则进一，如为偶数则不进（0以偶数论）。
例如：只保留一位小数时，10.0501修约为10.1；10.05修约为10.0；10.15修约为10.2；10.25修约为10.2。
（3）所摄取的数字并非单独一个数字时，不得对该数字连续修约。
例如45.45修65约为整数应为45 ，而不是45.4565—45.456—45.46—45.5—46 。
有效数字修约和计算
练习： ➢ 0.23452、0.28350、0.55278、0.45500001、0.01500
两位有效数字：0.23、0.28、0.55、0.46、0.15 三位有效数字：0.235、0.284、0.553、0.455、0.0150
（3）只进不舍规则 在相对标准偏差（RSD）中采取“只进不舍”的规则，如0.162%，0.52%修约时
解析：
计算公式应为乘除运算，其中0.0408的有效数字位数最少，为三位有效数字， 以此为准进行进算（在运算过程中暂时多保留一位）。
0.0408÷1.004×100.0%=4.064%
因标准规定的限度为不得过4.0%，故将计算结果4.064%修约为4.1%，大于 4.0%，应判为不符合规定。（切忌不能以最后标准的有效位数为准则进行运算，运 算是应先按照运算规则修约计算后将计算结果修约到标准中所规定的有效位数，而 后进行判定。）
最后对计算结果进行修约，应只保留至百分位，故： 13.65 + 0.00823 + 1.633 = 13.65 + 0.008 + 1.633 = 15.291，修约为15.29
二、有效数字的运算法则
2、乘除法 许多数值相乘除时，所得积或商的相对误差必较任何一个数值的相对误差大，因
此相乘除时应以诸数值中相对误差最大(即有效位数最少)的数值为准，确定其他数值 在运算中保留的位数和决定计算结果的有效位数。
3、有效数字的修约规则
在多数情况下，测量数据本身并非最后的要求结果，一般需要经一系列运算后才能 获得所需的结果。在计算一组准确度不等（即有效数字位数不同）的数据之前，应先按 照确定了的有效数字将多余的数字修约或整化。 （1）四舍五入法则
如按照英、美、日药典方法修约时，按照四舍五入进舍即可。 （2）四舍六入五成双法则（源自我国科学技术委员会颁布的《数字修约规则》）
有效数字 数值修约及运算法则
原子吸收分光光度法（P70）
供试品要求制备2份样品溶液，各测定3次， 测定的相对标准偏差（RSD）应不大于3%
石墨炉法可适当放宽
谢谢大家！
注意事项
4. 在判定药品质量是否符合规定 之前，应将全部数据根据有效数 字和数值修约规则进行运算，将 计算结果修约到标准中所规定的 有效位数，而后进行判定。
注意事项
例如： 异戊巴比妥钠的干燥失重，规定不得过4.0％，今
取样1.0042g，干燥后减失重量0.0408 g，请判 定是否符合规定？ 本例为3个数值相乘除，其中0.0408的有效位数最 少，为三位有效数字，以此为准（在运算过程中暂 时多保留一位）。 0.0408÷1.004×100.0 % = 4.064% 因药典规定的限度为不得过4.0%，故将计算结果 4.064％修约到千分位为4.1％，大于4.0％，应判 为不符合规定（不得大于4.0％）。
注意事项
将上述规定的限度改为“不得大于4％”， 而其原始数据不变，则
0.0408÷1.004×100.0 % =
4.064%
4%
未超过4％的限度，应判为符合规定（不 得大于 4％）。
在实验中要求：
1. 正确地记录分析数据 2. 正确地选取用量和选用适当的分析仪器 3. 正确地表示分析结果 定量分析(滴定和重量分析)一般要求四位有
数值修约及其进舍规则
数值修约 是指对拟修约数值中超出需要保留位数时的
舍弃，根据舍弃学来保留最后一位数或最后 几位数。
数值修约及其进舍规则
进舍规则口诀：
四舍六入五考虑，五后非零则进一， 五后全零看五前，五前偶舍奇进一， 不论数字多少位，都要一次修约成。
注意：按英、美、日药典方法 修约时，按四舍五入
有效数字的修约规则(分析化学有效数字的修约与运算规则)
分析化学有效数字的修约与运算规则无机及分析化学是我校化工、制药、应化、环境、海洋、食品、环工、生物、高分子及材料类等专业大一学生必修的重要基础课程之一.它是一门实践性很强的学科.在国民经济的许多部门如资源勘探、生产控制、产品检验、环境监测等方面应用非常广泛.在分析工作的理论研究和实验测定中,如何正确地运用有效数字对分析数据作正确记录、处理、计算及结果表示等具有十分重要的意义.1有效数字定义在科学实验中,需要记录很多测量数据,一般允许最后一位是估计的,虽不太准确,但不是随意的,它们全是有效的,所以称为有效数字.有效数字即指实际工作中能够测量到的数字,包括最后一位估计的不确定的数字[1-2].记录数据和计算结果时,究竟应该保留几位数字,应根据所用的测定方法和所用仪器的准确程度来决定,并且在记录数据和计算实验结果时,所保留的有效数字中,只允许最后一位是可疑的数字.有效数字保留几位是根据测量仪器的准确度来确定的,因此对于各种分析仪器的准确度应十分清楚,比如滴定分析中消耗滴定剂的体积由终读数减初读数得到:24.05-0.02=24.03（mL）为4位有效数字.又如台秤称量某称量瓶为20.8g,因为台秤只能准确地称到0.1g,所以该称量瓶质量可表示为20.8g,它的有效数字是3位.如果将该称量瓶在分析天平上称量,得到结果是20.8126g,由于分析天平能准确地称量到0.0001g,所以它的有效数字是6位. 100 mL容量瓶表示为100.0mL;250mL容量瓶表示为250.0mL;25 mL移液管表示为25.00mL.对于数字"0"来说,可以是有效数字,也可以不是有效数字.当用其表示与测量精度有关的数值大小时,为有效数据,而仅仅用来指示小数点位置时,则是非有效数字.在一个数中,确定数字"0"是否是有效数字的方法是,左边第一个非零数字之前的所有"0"都是非有效数字,仅仅作为标定小数点位置而已;而位于右边的最后一个非零数字之后的那些"0"都是有效数字.有效数字末尾的"0"表示可疑数字的位置,随意增减会人为地夸大测量的准确度或测量误差!不得在测量数据的末尾随意添加或删减数字.2有效数字的修约规则记录和表示计算结果时要按照确定了的有效数字将多余的数字予以修约.弃去多余的或无意义的数字一律按"四舍六入五考虑"原则取舍.其取舍方法是:凡末位有效数字的后面第一位数字（即尾数）大于等于"6"（指6、7、8或9）以及"5"后面还有任何非零数字时,则在末位有效数字上增加1.尾数小于等于"4"（指4、3、2、1或0）时,则舍去不计.尾数恰为"5"时（"5"后没有数字或全为0时），这时要看"5"之前的数字即末位有效数字是奇数还是偶数而定,若为奇数,则在末位有效数字位上增加1;是偶数,则舍去不计.尾数为"5"（"5"后面还有任何非零数字时），则在末位有效数字上增加1.不论舍去多少位,必须一次修完毕.例如,将下列测量数据修约为四位有效数字时:尾数≤4时舍:0.726535- - - - - - - 0.7265尾数≥6时入:12.1585- - - - - - - 12.16尾数=5时,若后面数为0或没数时,舍5成偶:15.51500- -15.52,415.45- -415.4若尾数5后面还有不为0的任何数全进:512.0500100- - - - -- - 512.13有效数字的运算规则实验中不仅要正确记录数据,而且还要进行数据的计算.由于任何测量都存在误差,只能是近似值,所以数据记录和计算结果反映了近似值的大小,这在某种程度上表明了误差.因此,数据处理运算也是重要环节.3.1加减运算结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数（计算结果的小数点后面的位数与各数中小数点后面位数最少者一致）。
有效数字的修约规则
有效数字的修约规则有效数字是指用于表达测量结果的数字中，有效地反映了测量值的准确程度和精确性的数字。
在科学研究、工程设计以及日常生活中，有效数字的修约规则被广泛应用。
在这篇文档中，我们将讨论有效数字的修约规则，以及其在实际应用中的重要性。
有效数字的修约规则有以下几个方面：1. 确定有效数字的个数：有效数字的个数由测量设备的精确度决定。
例如，使用精确到小数点后一位的仪器所测量的数值，它的有效数字就是一位。
2. 整数的有效数字：当数值为整数时，我们要保留所有的数字。
例如，数值1234有4个有效数字。
3. 小数的有效数字：当数值为小数时，我们从非零数字开始，一直到最后一个非零数字，都是有效数字。
例如，数值0.00345有3位有效数字。
4. 零的有效数字：当数值以零开头时，所有前导的零都不计算在内。
例如，数值0.00456有3位有效数字。
5. 末位的有效数字：当最后一位数字为5时，根据就近原则，决定末位的有效数字的修约规则。
如果末位之后的数字大于5，则末位向前进位；如果末位之后的数字小于5，则末位舍去不进位；如果末位之后的数字等于5，则根据末位前面的数字的奇偶性来判断，奇数则进位，偶数则舍去不进位。
例如，数值3.145将被修约为3.14。
6. 有效数字的舍入：当我们需要将一个数值修约到指定的有效数字个数时，我们需要进行舍入运算。
舍入运算有以下几个规则：如果舍弃的数字小于5，则末位不进位；如果舍弃的数字大于5，则末位进位；如果舍弃的数字等于5，分为奇数和偶数两种情况：当舍弃的数字后面没有其他数字时，舍弃；当舍弃的数字后面还有其他数字时，判断舍弃的数字前面的数字是奇数还是偶数，奇数则进位，偶数则舍弃。
7. 连续运算中有效数字的保留：在连续的计算过程中，每一步计算都会引入一定的误差。
为了减小误差的累积，我们可以在每一步计算的结果中保留更多的有效数字，然后在最终结果中进行修约。
这样可以提高运算的准确性。
有效数字的修约规则在科学研究和实验测量中非常重要。
有效数字修约
有效数字修约
有效数字修约是指将一个数值修约为精确到特定位数的有效数字的过程。
有效数字是指一个数值中所有的数字，包括整数部分和小数部分的数字。
修约的规则根据数值的大小和精确度的要求有所不同，下面是常见的有效数字修约规则：
1. 四舍五入：当修约位数后的数字大于等于5时，将修约位的数字加1，然后舍去后面的所有数字。
例如，将
3.1456修约为两位有效数字时，结果为3.15。
2. 值的运算规则：在进行数值运算时，使用完整的数值进行计算，然后将结果修约为所需的有效数字。
例如，将
3.1456和2.789进行相加，然后修约为两位有效数字，结果为5.9。
3. 尾数的修约规则：当修约位后的数字大于5时，采取四舍六入五取偶的规则。
如果修约位后的数字等于5且其后还有非零数字，则向上舍入；如果修约位后的数字等于5且其后没有非零数字，如果修约位为奇数，则向上舍入；如果修约位为偶数，则向下舍入。
4. 科学记数法：对于很大或很小的数值，常用科学记数法表示。
在科学记数法中，有效数字的位数通常指的是有效数字的个数。
例如，1.23 × 10^4表示有效数字为三位。
总而言之，有效数字修约是根据数值的大小和精确度的要求，对数值进行舍入或触发特定规则进行修约的过程，以保持数值的合理精确度。
【精选】有效数字修约与运算法则
•有效数字修约与运算法则• 1.有效数字的基本概念：•（1）有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值,其最后一位数字欠准是允许的,这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值,即为有效数字。
•（2）有效数字的定位(数位),是指确定欠准数字的位置,这个位置确定后,其后面的数字均为无效数字。
•例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为0.1ml,如果滴定管的体积介符于20.9ml到21.0ml之间,则需估计一位数字,读出20.97ml,这个7就是个欠准的数字,这个位置确定后,它有效位数就是4个,即使其后面还有数字也只是无效数字。
•（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。
•例如：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或3.50×104;若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或3.5×104。
•（4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数,例如：3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为三位有效位数;10.00为四位有效位数;12.490为五位有效位数。
•（5）非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数可视为2无限多位。
例如，H2SO4中的2和4是个数。
常数л和系数等。
数值的有效位数可视为无限多位。
每1ml××滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度,规格项下的0.3g或“1ml:25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无限多位。
即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。
•（6）pH值等对数值,其有效位数是由其小数点后的位数决定的,其整数部分只表明其真数的乘方次数。
•如：pH=11.26 ([H+]=5.5×10-12mol/L),其有效数字只有两位。
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1
课题引入
1. 请说出下列各数，哪些是近似数，哪些 是准确数?
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2
回答问题：
1、什么叫准确数？ 准确数－－与实际完全符合的数
2、什么叫近似数？ 近似数－－与实际接近的数
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3
检验的结果就是准确数
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4
近似数
九百六十万平方公里的 神州大地
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5
位于美丽的天鹿湖郊野公园西侧，广汕公路 大观路口东侧，环境优美，空气清新，是莘 莘学子读书的好地方。新校区占地面积
120，000平方米（约180亩）。
地址：广州市萝岗区天鹿南路289号。
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长福校区位于天河客运站斜对面，处 于五山高校区的环抱之中，交通便利。 长福校区占地面积10，005（约15 亩）。
6
下列各数，哪些是近似数？哪些是准确数？ ⑴ 1 小时有60分。 ⑵绿化队今年植树约２万棵。 ⑶小明到书店买了１０本书。 ⑷一次数学测验中，有２人得１００分。 ⑸某区在校中学生近７５万人。 ⑹初二二班有４５人。
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25
乘除运算 特殊情况
如果位数最少的数的首位数是8或9，则有效数字 位数可多算一位。
例如：9.46可看做是四位有效数字。
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运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
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数字，0.0320为三位有效数字
✓10.00为四位有效数字
✓12.490为五位有效数字
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9
有效数字 实际能测定到的数字
确定数和估计数组成 例如：滴定读数25.80 最多可以读准
三位
第四位是估计读数
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10
思考：有效数字位数的确定？
25.80有几个有效数字？ 0.02580有几个有效数字？ 0.06050 有几个有效数字？
0.0100 有效数字位数是几位？
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11
分析测试中的有效数字的位数
①如何读数？ ②该读数有何意 义？ ③测定数据的表 示是不是越多位 越好？
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12
确定修约位数的表达方式
指定数位(指定修约间隔)；
指定将数值修约成n位有效位数。
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13
进舍规则
四舍六入五考虑， 五后非零则进一， 五后皆零视奇偶， 五前为偶应舍去， 五前为奇则进一， 不论数字多少位， 都要一次修约成。
例如： 5.89+15.2551=5.89+15.255=21.145
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23
运算规则：
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？
保留三位有效数字
δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001 2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准 例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = ？
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20
计算法则
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21
加减运算 一般情况
进行数值加减时,结果保留小数点后位数应与小数点位 数最少者相 同。
例如, 0.0121+12.56+7.8432 可先修约后计算,即 0.01+12.56+7.84=20.41
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22
加减运算 特殊（在大量数据情况)
在大量数据的运算中，为使误差积累，对参加运 算的所有数据，可以多保留一位可疑数字）。
例如：修约15.4546，修约间隔为1
正确的做法：
15.4546→15
不正确的做法：
15.4546→15.455→15.46→15.5→16
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19
在具体实施中，有时测试与计算部门先将 获得数值按指定的修约位数多一位或几位报 出，而后由其他部门判定。为避免产生连续 修约的错误，应按下述步骤进行。
若所保留的末位数字为偶数（2，4，6，8，0）则舍弃 。
例1：修约间隔为0.1 拟修约数值 1.050
修约值结果 1.0
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17
负数修约时，先将它的绝对值按数字修约规定进行修 约，然后在修约值前面加上负号。
例1：将下列数字修约到“十”数位
拟修约数值
-355
-36×10
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18
拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获 得结果，而不得多次按进舍规则连续修约。
特殊实例
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30
非连续型数值
个数、分数、倍数、名义浓度或标示量等是没 有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位；
27
对数运算
所取对数位数应与真数有效数字位数相 等。
例如： lg12.3=1.09 0
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28
对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
例：
lg 100 = 2.000
lg 1.983 = 0.297322714
0.2973
lg 1983 = 3.29732714
3.2973
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29
例1：将1268修约到“百”数位，得13×102（特定时可写为 1300）。
例2：将1268修约成三位有效位数，得127×10（特定时可写 为1270）。
例3：将10.502修约到个数位，得11。
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16
拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为 0时，
若所保留的末位数字为奇数（1，3，5，7，9）则进一 ，
保留三位有效数字
另外，对于pH、pM、lgK等对数值，有效数字 取决于尾数部分的位数。遇到首位数≧8的数据， 运算中多计一位有效数字。
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24
乘除运算 一般情况
进行数值乘除时,结果保留位数应与有效数 字位数最少者相同。
例如, (0.0142×24.43×305.84)/28.67 可先修约后计算, (0.0142×24.4×306)/28.7=3.69。
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7
一、有效数字的定义
数据中能够正确反映一定量（物理量和 化学量）的数字叫有效数字。
有效数字 = 所有的可靠数字 + 一位可疑数字
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8
有效数字系指从非零数字最左一位向右 数而得到的位数。例如：
关键词：左边 、第一个、 不N是o0 起 、
末位、止、所有的
Image
✓3.2、0.32、0.032、0.0032均为两位有效
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14
拟舍弃数字的最左一位数字小于5时， 则舍去，即保留的各位数字不变。
例1：将12.1498修约到一位小数，得12.1。 例2：将12.1498修约成两位有效位数，得12。
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15
拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是5，而其后 跟有并非全部为0的数字时，则进一，即保留的末位数 字加1。