错位相减法-(含答案)

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第78课--错位相减法求数列的前n项和

( ) 即 an = 3an-1 . 又因为 a1 = 1 ，所以数列{an} 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an = 3n-1 n Î N* .
所以
2n -1 an
=
2n -1 1
+
5 32
+
+
2n 3n - 2
3
+
2n 3n-1
1
……①，
1 3
Tn
①－②得 -Sn
=
21
+
22
+
23
++
2n
-
n× 2n+1
=
2(1 - 2n ) 1- 2
-
n× 2n+1
=
2n+1
-
2
-
n× 2n+1
，则
Sn
=
(n
- 1) × 2n+1
+
2.
( ) 2. 已知数列{an} 满足 a1 = 1 ，nan = nan+1 - an n Î N* . 数列{bn}的前 n 项和为 Sn ，Sn = 2bn - 3 ，求数列{bn ×an}
答案：（1） an
=
3n
2 -
1
；（2）
(-2,
3)
解析：（1）由数列{an} 中， a1
= 1, an+1
=
an an +
3
(n
Î
N*
)
，可得
1 an+1
=
an + 3 an
=1+
3 an
，所以
1 an+1

错位相减法求和附答案

(Ⅱ ) 若数列满足：
(
) ，求的前项和公式 .
[解析 ]Ⅰ ) ∵
，①
∴
②
② － ① 得，
，又时，
，
，
. （5 分）
(Ⅱ ) ∵
，，
，
两式相减得
，
.
（ 13 分）
8.设 d 为非零实数 , an= [ d+2 d2+… +(n-1)
dn-1+n dn](n∈ N* ) .
(Ⅰ ) 写出 a1, a2, a3 并判断 {an}是否为等比数列 . 若是 , 给出证明 ;若不是 , 说明理由 ; (Ⅱ ) 设 bn=ndan(n∈ N*) , 求数列 {bn}的前 n 项和 Sn. [答案 ] (Ⅰ ) 由已知可得 a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2.
为首项 ,公比为的等比数列 .
…………４分
(2)由 (1)可得
， ∴
得
，
………… 分10(3) ，
∴
当
时,
取最小值 ,
,
，即
，
当
时，
恒成立；
当
时，由
，解得 ,
即实数的取值范围是
. ………… 分14
12.设为数列
且
．
的前项和，对任意的
，都有
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）设数列的通项公式；
满足
，等比数列
满足
.
（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和 .
[解析 ] （Ⅰ）由所以
，所以数列

错位相减法题型

错位相减题型总结1.1+2x+3x2+…+nx n2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=4S2，a2n=2a n+1(n∈N∗)，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n−1，令c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n.3.在等差数列{a n}中，a3=4，a7=8.（1）求数列{a n}的通项公式a n；，求数列{b n}的前n项和T n.（2）令b n=a n2n−14.在等差数列{a n}中，a3=4，a7=8.（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=a n2n−1，求数列{b n}的前n项和T n.5.在等差数列{a n}中，a3=4，a7=8.（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=a n2n−1，求数列{b n}的前n项和T n.6.在等差数列{a n}中，a3=4，a7=8.（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和T n.7.设数列{a n}满足a1=2，a n+1−a n=3⋅22n−1.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n.8.已知等差数列{a n}的前n项和S n，数列{b n}为等比数列，且a1=b1=1,S3=3b2=12.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n+1,求数列{c n}的前n项和T n.9.已知等差数列{a n}的前n项和S n，且S n=2n2+n,n∈N∗,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N∗.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}前n项和T n.10.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n-a1=S1⋅S n，n∈N∗.(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和.11.已知等差数列{a n}的前n项和S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1.（1）求数列{a n}的通项公式（2）若数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a nb n=1-12n,n∈N∗,求数列{b n}的前n项和T n.12.。

《错位相减法》专题训练

《错位相减法》专题训练一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列112⨯，222⨯，332⨯，…，的前n 项之和为n S ，则n S 等于( ) A ．1(1)22n n +-⋅- B ．1(n 1)22n +-+ C ．22n n ⋅+D ．122n n +-2．1232482n n nS =++++=（） A ．22n nn - B ．1222n nn +-- C ．1212n n n +-+ D ．1222n nn +-+ 3．已知{}n a 是首项为1的等差数列，{}n b 是公比为12的等比数列，已知数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2332n nn S +=-，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和（） A ．()326nn +⋅-B ．()12326n n +-⋅+C ．()2324nn -⋅+D ．()12122n n +-⋅+4．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足11a =，()21n n n S a a =+.数列{}n b 满足12nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，它的前n 项和为n T =（）A ．222n n --B ．1222n n -+-C ．222n n +-D ．122n n +-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为（） A ．2020320212-+⨯ B ．2020320192+⨯ C ．2020120212+⨯D ．2020120192+⨯6．已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20201232019a a a a a =+++⋅⋅⋅+（） A ．20212019B ．20202019 C ．20192018D ．202120187．已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足12a =，()()22221141210n n n n n a n a n a na ++-+-++=，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则A ．2020201922⨯+B ．2020201922⨯-C ．2020201822⨯+D ．2020201822⨯-8．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+9．已知数列{}n a 满足()12323213n n a a a na n ++++=-⋅．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n N ∈，则λ的最小值是（） A ．32B ．94C ．3112D ．311810．已知数列{}n a 的首项13a =，前n 项和为n S ，123n n a S +=+，n *∈N ，设3log n n b a =，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的范围（） A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．123⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭C ．1334⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭D ．13,44⎛⎤⎥⎝⎦11．对正整数n ，设曲线()1ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}n a 的前n 项和(n S = ) A ．1(1)2n n ++⨯B ．(1)2n n +⨯C ．2n n ⨯D ．12n n +⨯12．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12nn n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋅⋅⋅+的值是（）A ．122n n +⋅-B ．()122nn -⋅+C ．()122nn +⋅-D ．()1122n n +-⋅+二．填空题13．已知数列{}n a 满足:()*3nn a n n N =⋅∈,则此数列前n 项和为nS=______.14．()231124272312n n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯=______.15．数列{}n a 的通项公式为212n nn a -=，则它的前n 项和n S =________． 3a a -n S =__________．三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知数列{}n a 满足()1232712534n a a a n a n +++⋅⋅⋅+-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，12n n n a S n++=（*n N ∈）．（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．19．数列{}n a 中13a =，已知1(,)n n a a +在直线2y x =+上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3nn n b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 满足11a =，112n n n n a a a a ---=（2n ≥且n N ∈）．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2nn nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11322,n n n S S S n n n *+-=-+≥∈N .（1）设1n n b a n =++，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21422n n n n S +++=-，n n b a n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式，并证明{}n b 是等比数列；（2）求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．《错位相减法》解析1.【解析】依题意可知122,10S S ==.将1n =代入选项验证可知，A,C 两个选项不正确，将2n =代入选项验证可知，D 选项不正确.故本小题选B.2.【解析】由1232482n nn S =++++得：23411111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：234111111112222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111222211222212n n n n n n n n n ++++⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以1222n n nn S +--=.故选：B. 3.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得1(1)n a n d =+-，11()2nn b b =⋅，所以1111S a b b ==，又112131322S ⨯+=-=，所以112b =，22112211(1)()22S a b a b d =+=++⨯，222235324S ⨯+=-=，所以115(1)244d ++⨯=，解得2d =，所以21n a n =-，12n nb =，所以n n a b (21)2n n =-⋅，令231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以345112122222(21)2n n n n T T n ++-=⨯+++++--⨯，所以3112(12)2(21)212n n n T n -+--=+--⨯-，所以1(23)26n n T n +=-⨯+.故选：B4.【解析】当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，又()21n n n S a a =+，两式相减整理得()()()111n n n n n n a a a a a a ---+-=+，由于数列{}n a 为正项数列，则11n n a a --=，故1(1)na n n ，即n a n =12nn b n ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，所以1211,22b b ==，则121,12T T ==，A 中152T =，舍去；B 中11T =-舍去；C 中121,12T T ==，符合；D 中11T =，舍去，故选：C.5.【解析】等比数列{}n a 公比是q ，显然1q ≠，∴313616(1)71(1)631a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，∴12n na ，202012202022020S a a a =+++220191223220202=+⨯+⨯++⨯，232019202020202222322019220202S =+⨯+⨯++⨯+⨯，∴2201920202020122220202S -=++++-⨯202020202120202=--⨯2020120192=--⨯，∴20202020120192S =+⨯．故选D ．6.【解析】由()1221n n n a a n ++=+，得1221n n a a n n +⎛⎫= ⎪++⎝⎭．所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1111a =+为首项，以2为公比的等比数列，所以121n n a n -=+，所以()112n n a n -=+⋅．设{}n a 的前n 项和为n S ，则()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，两边同乘2，得()12122232212n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两个式子相减得()()()()101212122222212212212n n n nnn S n n n ----=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅=+-+⋅=-⋅-所以2n n S n =⋅，所以2019202020191232019202122021201922019a a a a a ⨯==+++⋅⋅⋅+⨯．故选：A.7.【解析】因为()()22221141210n n n n n a n a n a na ++-+-++=，所以有11[2(1)][2(1)][2(1)]0n n n n n n na n a na n a na n a ++++-++-+=，所以11[2(1)1][2(1)]0n n n n na n a na n a +++++-+=，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以12(1)0n n na n a +-+=，即121n n a an n+=+，又因为12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以121a =为首项，以2为公比的等比数列，所以2n na n=，所以2n n a n =⋅，所以1212222n n S n =⋅+⋅++⋅①，231212222n n S n +=⋅+⋅++⋅②，①-②得：1211112222222(1)22n n n n n n S n n n ++++-=+++-⋅=--⋅=-⋅-，所以1(1)22+=-⋅+n n S n ，所以20202019201822S =⋅+，故选：C.8.【解析】12n n n a a n +=+⋅，12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅，23222a a -=⋅，34332a a -=⋅ 11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D9.【解析】()23213n a a a na n ++++=-⋅ ①当2n ≥时，类比写出()()11231231233n n a a a n a n --++++-=-⋅ ②由①-②得 143n n na n -=⋅ ，即143n n a -=⋅.当1n =时，134a =≠，131432n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩，141323n n n b nn -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩210214231123333333333n n n n nS --=++++=+++++ ③ 23111123-1+3933333n n n n n S -=+++++ ④ ③-④得，023*******1+-39333333n n n n S -=+++++11-23-1931-3n n n =+316931-124312n n n S +∴=<⋅，n S λ<（常数），*n N ∈，∴λ的最小值是3112故选C.10.【解析】因为123n n a S +=+，所以()1232n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，且21239a S =+=，所以()29332n n n a n -=⋅=≥且1n =时13a =符合，所以3nn a =；因为3log n n n b a ==，所以3n n n b n a =，所以1212...333n nn T =+++，231112 (3333)n n nT +=+++，所以1211111133211111 (11333333233)13nn nn n n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以313323143234434nn n n n n T ⎛⎫+⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭，令()2343n n f n +=⋅，所以()125143n n f n +++=⋅，所以()()11252311043433n n n n n n f n f n ++++++-=-=-<⋅⋅，所以()f n 是递减的，所以()()5112f n f ≤=，所以3514123n T ≥-=，综上：13,34n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：C.∴曲线(1)n y x x =-在2x =处的切线的斜率为12(1)2n n k n n -=-+，切点为(2,2)n -，∴切线方程为2(2)n y k x +=-，令0x =得(1)2nn a n =+，23223242(1)2n n S n ∴=+++⋯++，① 23412223242(1)2n n S n +=+++⋯++，②①-②，得：2314222(1)2nn n S n +-=+++⋯+-+114(12)4(1)212n n n -+-=+-+-12n n +=-，12n n S n +∴=．故选：D ．12.【解析】由()221110n n n n n a na a a +++-+=，得()()1110n n n n n a na a a +++-+=⎡⎤⎣⎦，由于已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，所以由()110n n n a na ++-=，化简得11n n a n a n +=+，所以()112n n a n n a n--=≥，所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅122111132n n n n n--=⋅⋅⋅⋅⋅=-，当1n =时上式也符合，所以1n a n=.由于12nn n b b +=+，所以()1122n n n b b n ---=≥，所以112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n--=+=-，当1n =时上式也符合，故2nn b =.所以2n nnb n a =⋅. 令312123n nn b b b b a a a S a +++⋅⋅⋅+=，即212222n n S n =⋅+⋅++⋅①，两边乘以2得231212222n n S n +=⋅+⋅++⋅②，①-②得212222nn n S n +-=+++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-，所以()()112122122n n n n S n n ++=-+⋅=-⋅+.故选：D 13.【解析】3n n a n =⋅，则此数列的前n 项和23323333nn S n =+⨯+⨯+⋯+⋅，231233333n n n S n +∴-=+++⋯+-⋅()1131313331322n n n n n ++-⎛⎫=-⋅=-- ⎪-⎝⎭，1213344n n n S +-∴=⋅+.故答案为：1213344n n +-⋅+. 14.【解析】令()231124272312+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯n M n ，则()23422124272312+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯n M n ，两式作差得：231212323232(31)2++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯n n M n()()2222221223(31)22324(31)2(23)21012++++-=+⨯-+⨯=+⨯--+⨯=-⨯--n n n n n n n n 所以2(32)210+=-⨯+n M n15.【解析】对n 赋值得到：∵135721 (248162)n n n S -=+++++， ∴11135721 (24816322)n n n S +-=+++++，相减得111222221...22481622n n n n S +-=+++++-11111121(...)22422n n n -+-=++++- 111112212112212n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+--132322n n ++=-，∴2332n n n S +=-.故答案为2332nn +-. 16.【解析】由已知2139a a -=，又211333n n n na a a a +++-=-，所以数列{}13n n a a +-是等比数列，公比为3，所以1113933n n n n a a -++-=⨯=，于是11133n n n n a a ++-=，所以3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为1，所以()251333n n a n n =-+-=-， 533n n a n ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭， 123n n S a a a a =++++，12133333n n n S a a a a -=++++，所以()()()12132123333n n n n S a a a a a a a a --=+-+-++--()()212311313552333323n n n n n n -++-⎛⎫⎛⎫=-++++--⨯=-+--⨯ ⎪ ⎪所以()1361334nn n S +-⨯=．17.【解析】（1）当1n =时，124a =，解得12a =；当2n ≥时，()1232712534n a a a n a n +++⋅⋅⋅+-=，()()123127125841n a a a n a n -+++⋅⋅⋅+-=-，两式相减可得，()534n n a -=，解得453n a n =-，易知12a =也符合上式，综上所述，453n a n =-，. （2）依题意：()53334nn n n a -⋅=，下面先求数列(){}533nn -⋅的前n 项和nT ；()1232373123533n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅， ()234132373123533n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，两式相减可得，()1212235353533nn n T n +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，即()12125353535339nn n T n +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅-所以()113215533913nn n T n +--=⋅--⋅--，化简可得，1335113424n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭，故1335113416816n n n T n S +⎛⎫==+-⋅ ⎪⎝⎭. 18.【解析】（1）由12n n n a S n ++=，及11n n n a S S ++=-，得12n n n n S S S n++-=，整理，得()121n n nS n S +=+，121n n S S n n +∴=+，又111S=，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比列（2）由（1），得12n n S n -=，12n n S n -∴=（*n N ∈）．01211222322n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++，①()121212221?2?2n n n T n n -=⨯+⨯++-+，②由②-①，得()()21121222?2?21?2112nn nn n n T n n n --=-+++++=-+=-+-19.【解析】（1）∵1(,)n n a a +在直线2y x =+上， ∴12n n a a +=+，即12n n a a +-=∴{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列.32(1)21n a n n ∴=+-=+.（2）3,(21)3n n n n n b a b n =⋅∴=+⋅231335373(21)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅① 23133353(21)3(21)3n n n T n n +∴=⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅②由①-②得()23+12332333(21)3nn n T n -=⨯+++⋯+-+⋅()11191392(21)32313n n n n n -++-=+⨯-+⋅=-⋅-，13n n T n +∴=⋅.20.【解析】（1）由112n n n n a a a a ---=两边除以1n n a a -，化简得1112n n a a --=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.其首项为111a ，公差为2，故121n n a =-，所以121n a n =-. （2）由于(21)2nn b n =-⋅，所以23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减得231122(222)(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+++--⨯，化简得1(23)26n n S n +=-⋅+.21.【解析】（1）由已知得1122n n n n S S S S n +--=-+，即()122n n a a n n +=+≥，所以()1122222211n n n n n n b a n a n n b a n a n ++++++===≥++++，因为212b b =，且11113b a =++=，故数列{}n b 是首项为3，公比为2的等比数列.（2）由（1）知1132n n a n -++=⨯，()1321n n a n -=⨯-+，所以()311222nn n a n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，设()123111123412222nA n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()234111111234122222n A n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()211111313112222222nn nn A n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得()1332n A n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()313322nn T n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 22.【解析】（1）当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，()()221111442222n n n n n n n n n a S S +-⎛⎫-+-+⎛⎫++=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221144222nn n n n -+-+++=+-2n n =-，且1n =时，适合上式，所以2nn a n =-．所以2nn n b a n =+=，且12b =，故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知2n n n nb =， 234112341...222222n n n n nT --=⨯++++++①，23451112341 (2222222)n n n n nT +-=++++++②， ①－②得234111111111...1222222222n n n n n n nT ++=+++++-=--，所以12n n n T +-，所以222n n n T +=-．。

高中数学数列-错位相减法求和专题训练含答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版错位相减法求和专题训练1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.(1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121nn n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++， *n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 122n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.5．已知数列{}n a 及()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11?nn f n -=-, 1,2,3,n =.（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证:11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()*n S n N ∈；（Ⅱ）若()1232n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()*n T n N ∈.7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；（2）令11•213nn n n na b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b += 12n n b n+．（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.参考答案1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）成等比数列 2q = ()()2{2nn n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()()21221222121222142kkk k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++23241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣⎦(3) ()()3121nnn C n =-+- ()()()()2121{ 2121nn nn n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶2．解析：(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，∴()22n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=-(2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅①()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅∴()12n 1n T 13222--=++++ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立∴()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅ ()()()nn 3n 52n 72n 73n 522---==-⋅，即n 2n 7m 2-≥恒成立. 设n n 2n 7k 2-=， n 1n n 1nn 12n 52n 792nk k 222+++----=-= 当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +< ∴()n 55max 33k k 232===，∴3m 32≥. 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键. 3．解：（1）设数列{}n a 的公比q ，由()4422332S a S a S a +=+++，得()()42434232S S S S a a a -+-+=+，即424a a =，∴214q =． {}n a 是单调递减数列，∴12q =， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知2n n nna =，所以234112*********n n n n nT --=++++++，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得： 211112222n n n n nT -=++++-，1122212212nn n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--，由()111112n n n n n T T n a ++++-=+=，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ， 122n T ≤<点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题. 4．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q由已知， 42302S S =≠.则1q ≠，则()()212414161{1301a q S q a q S q-==--==-，，两式相除得2q =±，∵数列{}n a 为递增数列，∴2q =，则12a =，所以2n n a =.（2）122log 22n n n n b n ==-⋅，()1231222322n n T n =-⋅+⋅+⋅++⋅ 设1231222322n n H n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23412222322n n H n +=+⋅+⋅++⋅，②①-②得：()1231121222222212n n n n n H n n ++--=++++-⋅=-⋅-，11222n n n n T +-=-⋅+-=，1250n n T n ++⋅>，即111222250n n n n n +++-⋅+-+⋅>，1252n +>，∴正整数n 的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．5．解析：（1）由已知()1111f a -=-=-，所以11a =.()21212f a a -=-+=，所以23a =.()312313f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则()()()()2121111nn n f a a a -=-+-++-，①()()()()()21112111111nn n n n f a a a a +++-=-++-++-+-，②两式相减，得()()()1111?11n n n n a f f +++-=---= ()()()11?11?n nn n +-+--，所以()11n a n n +=++,即121n a n +=+，又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()211,2,3,n a n n =-=.（3）()233521n n f x x x x n x =++++-，所以()2311111352133333nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③()2341111111·3521333333n n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④①-②得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11133n n n f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又1,2,3,n =，∴103nn +>，故113n f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 又1111210333n n n n f f +++⎛⎫⎛⎫--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13n f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递增数列，故1111333n f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．6．解析：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公差为d ，由条件可得23111a a a =，即()()2222210d d +=+，解得3d =或0d =（舍去），则数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-，()()23113122n n n S n n +-==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()121322n a n n b --==，则()1231223341225282312n n n n T a b a b a b a b n +=++++=⨯+⨯+⨯++-⨯，①()23412225282312n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②将①-②得()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()211132324312834212n n n n n +++⨯-⨯=+--⨯=---⨯-，则()18342n n T n +=+-⨯.【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.7．解析：（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，1121n n a a +-=-112,n n a --=得 121n n a -=- n a = 14,1{21,2n n n -=+≥(2)当1n =时， 123b = 当2n ≥时， 13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当1n =时， 123T =当2n ≥时， 232111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2311123333nM n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3411111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 23M = 122111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2111111312323nn M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭132311243n n n T +⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式． 132311243n n n T +∴=-⋅ ()*n N ∈ ．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 8．解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则11121{{,.510151n a d a a n a d d +==⇒∴=+==由题意得1111122n n b b b n n +=⋅=+，，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12， 2n n n b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-， 222n n n T +∴=-；()()()2122222n n n nn n S T n nS f n n +-+=∴==+；()()()()()221111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+∴+-=-= 当3n ≥时， ()()10f n f n +-<；当3n <时， ()()10f n f n +-≥；()()()3311,2,322f f f === ∴()f n 存在最大值为32.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 9．解析：（1）当1n =时， 11==3a S ；当2n ≥时， ()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+， 1=3a 也符合，∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +. （2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，∴()111111111...1422314141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10．解析：（1）设等比例列16.λ∴的最大值为的首项为1a ，公比为q依题意，有3112120{8a q a q a q +==，解之得12{ 2a q ==或132{ 12a q ==，又数列{}n a 单调递增， 12{ 2.2n a a n q =∴∴==，（2）依题意， 12.log2.2,.2bn n n n n ==- 12222323.........2,Sn n n ∴-=⨯+⨯+⨯++①2122223324........21Sn n n -=⨯+⨯+⨯+++②由①—②得： 2222324......2.21Sn n n n =+++++-+()212.2112n n n -=-+-21.212n n n =+-+- ， 1250n n S n +∴=⋅>，即12250,226n n +->∴>，当4n ≤时， 2241626n <=<；当5n ≥时，5223226n <=<， ∴使1250n n S n ++⋅>，成立的正整数n 的最小值为5.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

错位相减法数列求和

我们要使用错位相减法来求一个数列的和。

首先，我们需要理解什么是错位相减法。

错位相减法是一种求和的方法，通常用于求等比数列或等
差数列的和。

这种方法的基本思想是：将原数列的每一项都乘以一个常数，然后与另一个数列相减，使得两个数列中的一部分项相
互抵消，从而简化计算。

假设我们有一个等差数列 a_n，其公差为 d，首项为 a_1。

那么，该等差数列的和 S_n 可以表示为：
S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1)d)
现在，我们要使用错位相减法来求这个等差数列的和。

通过错位相减法，我们得到等差数列的和公式为：
S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
其中，a_n = a_1 + (n-1)d。

因此，等差数列的和 S_n 可以表示为：
S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)
这与我们之前给出的公式一致。

高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习含答案

高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习【高考真题】2022年没考查【方法总结】错位相减法求和错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n ．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010＝S 55＋5． (1)求a n ；(2)若b n ＝a n ·4S n a n求数列{b n }的前n 项的和T n ．2．(2020·全国Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．3．(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝(n ＋1)a n －2．(1)求a 2，a 3和通项a n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·2n －1，求{b n }的前n 项和T n ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．6．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1＝32a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．7．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋1． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝12n ·a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 9．(2020·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ．公差不等于0的等差数列{b n }满足________，________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n ．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．13．在①已知数列{a n }满足：a n ＋1－2a n ＝0，a 3＝8；②等比数列{a n }中，公比q ＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n ＞m －2 022对n ∈N *恒成立，求正整数m 的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．14．(2021·全国乙)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2． 15．已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并证明：13≤T n ＜34． 16．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12． (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2．17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)设K n 为数列{a n b n }的前n 项和，若不等式λS n T n ≥K n ＋n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．18．(2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ．若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．19．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．20．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ×2n ＋1＞30成立的正整数n 的最小值．。

等差数列错位相减法例题

等差数列错位相减法例题
等差数列错位相减法是一种通过对等差数列中的相邻数进行相减，得到新的数列并计算其差值的方法。

该方法常用于解题中，特别是在某些数列题目中，可以帮助我们找到数列的规律和通项公式。

下面就让我们通过一个例题来学习一下等差数列错位相减法。

例题：已知等差数列的第1项为2，公差为3，第n项与它的前一项之差为38，求该等差数列的第n项。

解题思路：
首先，根据等差数列的定义可知：
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
其中，$a_n$为第n项，$a_1$为第1项，$d$为公差。

代入题目中所给的条件，即可列出方程：
$$a_n = 2 + (n-1)3$$
其次，根据题目中所给的条件：第n项与它的前一项之差为38，我们可以利用等差数列错位相减法，得到一个新的数列：
$$(a_2-a_1),(a_3-a_2),......,(a_n-a_{n-1})$$ 将其等于38，可得：
$$3+3(n-2)=38$$
化简得到：
$$n=14$$
最后，将n=14代入原来的等差数列通项公式，即可得到该等差数列的第14项：
$$a_{14}=2+13times3=41$$
综上所述，我们可以通过等差数列错位相减法来解题，找到等差数列的规律和通项公式。

这种方法不仅简单易懂，而且能够节省计算时间，提高解题效率。

在今后的学习和实际应用中，我们可以将其灵活运用，取得更好的成果。

(完整版)错位相减法数列求和十题

位相减法数列求和十1. 正等比数列 {a n }的前 n 和 S n ，且 a 3=4 ，S 2=3 ．（1 ）求数列 {a n }的通公式；（2 ）令 b n =(2n-1)a n (n ∈ N *)，求数列 {b n }的前 n 和 T n ．2. 已知函数 f （ x ） =x 2+2x ，数列 {a n }的前 n 和 S n ，所有正整数n ，点 P n （ n ， S n ）都在函数 f （ x ）的象上，且点 P（ n ， S ）的切的斜率 kn ．nn（1 ）求数列 {a n }的通公式；（ 2 ）若 b n =2 kn ?a n ，求数列 {b n }的前 n 和 T n ．3. 数列的前和 , 且是和的等差中，等差数列足（1 ）求数列、的通公式（2 ） = ，求数列的前和.4. （本小分 12 分）已知数列 {a n }的前 n 和 S n ，且 a n 是 S n 与 2 的等差中，数列{ b n }中， b 1 =1 ，点 P （ b n ， b n+ 1）在直上。

（ 1 ）求 a 1 和 a 2 的；（ 2 ）求数列 {a n }， {b n }的通 a n 和 b n ；（ 3 ） c n = a n ·b n ，求数列 {c n }的前 n 和 T n .5. 已知数列 {a}的前 n 和 S ，点（ a+2 ，S）在直 y=4x-5* ．令 nn+1 上，其中 n ∈ Nnnb n =a n+1 -2a n ．且 a 1=1 ．求数列 {b n }的通公式；若 f （ x ）=b 1 x+b 2x 2 +b 3 x 3+ ⋯+b n x n ，算 f ′（1）的果．6. 已知数列的前和，数列足（1 ）求数列的通公式;（ 2 ）求数列的前和;（3 ）求：不取何正整数，不等式恒成立7.已知等差数列{a n }的前n 和S n，足 a 1=1， S6 =36，数列{b n }是等比数列且足b 1+b 2=3 ， b 4+b 5=24 。

题型-数列求和之错位相减法

题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。

二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。

+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。

2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。

三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。

+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。

1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。

数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。

数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。

1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。

错位相减法万能公式完整版

错位相减法万能公式标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
错位相减法万能公式骚年们，还在为数学考试中数列知识中做到错位相减法而头疼吗？
现在为你展现错位相减法公式：
Cn＝(An＋B)*q n－B（通常来说是C
n，下面出现的S
n
其实就是C
n
是不是一看到就觉得很简单呢？
是不是想问了A=，B=呢
我们都知道错位相减法起初的通向公式为
Tn=a
n *b
n
的数列其中数列a
n
=（an+b）
数列b
n =a
1
*q n
我们将Tn化为 Tn=（an+b）*q n 然后我们的A、B便可以等于
A=
aq
q－1
B=
a1－Aq
q－1
现在是不是有人会这样问:
请问楼主考试可以直接用吗？
答案是不行的！
这下是不是有人要骂了：那你告诉我们有屁用！
其实你们可以这样用：
这是不是我们的常规套路呢？
解题格式：
在这期中我们只用写到(1-q)S
n
=____________ 就行了！然后在草稿纸上算出A、B然后直接写出经化简，得Sn就行
其中(1-q)S
n
只用写到这步就行
我们也可以使用待定系数法来求出C
n
中的A、B
我们只需手动算出C
1、C
2
然后带入C
n
直接求出A、B
本人建议按照套路去写，然后在草稿纸上求出A、B就行，这样可以减省许多时间。

错位相减练习题答案

错位相减练习题答案1.已知等差数列的前n项和为，且满足，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ由题意得：，解得，故的通项公式为；Ⅱ由Ⅰ得：，，，得：．故．【解析】Ⅰ由，可得关于首项和公差d的方程组，解方程组求出首项和公差，即可得出数列的通项公式；Ⅱ利用错位相减法即可求数列的前n项和Tn．2.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】解：设等差数列的公差为d，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，又，所以，从而．因为，所以，所以，以上两个等式相减得，化简得．【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的和．利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出公差，根据成等比数列列出关于公差的方程，通过求解该方程求出公差，进而写出该数列的通项公式；根据数列的通项公式写出数列的通项公式，根据错位相减法求出其前n项和．3.已知等比数列的前n项和为，且，的等差中项为10．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：的等差中项为10，，，，，，数列的通项公式．，，，，相减得，，．【解析】由已知，，计算q，进而，即可求得数列的通项公式；利用错位相减法求和．4.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足求数列通项公式；令，求数列的前n项和．【答案】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，数列的前n项和，，．．【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及利用错位相减法求和利用等差数列与等比数列的通项公式即可求出公差与公比，即可求解；由数列的通项可判断由错位相减法求和，属中档题．5.已知等差数列和正项等比数列，求数列、的通项公式若，求数列的前n项和【答案】解依题意，为等差数列，设其公差为d；为正项等比数列，设其公比为q，则可知，，可知，即又，，解得，故，由已知，，即，，所以，．，，．以上两式相减得：．．【解析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．6.已知数列的前n项和为．求数列的通项公式；令，求数列的前项和；【答案】解：由题意，得：当时，，当时，，又满足上式，故；由知，，所以其前n项和由得：，所以【解析】由题意，得当时，，当时，，代入表达式化简即可得到；运用错位相减法求和即可得结果．。

错位相减法求与附与答案

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3 ①当时 4s n－1 = + 2a n-1－3②①－②, 即，∴,（），是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： . [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.得（Ⅱ）由，…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或.（6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以.（13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

(完整版)错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，Ⅰ，Ⅰ，又点均在函数的图象上，Ⅰ．Ⅰ当时，，又，适合上式，Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，Ⅰ，Ⅰ，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3①当时4s n－1 = + 2a n-1－3②①－②, 即，Ⅰ ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.得（Ⅰ）由，…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅰ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或.（6分)（Ⅰ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以.（13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅰ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅰ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案

高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案1.已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+2}=\frac{2a_n}{n+2}$，其中$a_{n+2}$为奇数，$2a_n$为偶数，且$a_1=1,a_2=2$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 设$b_n=a_na_{n+1}$，$n\in\mathbb{N}$，求数列$\{b_n\}$的前$2n$项和$S_{2n}$；3) 设$c_n=a_{2n-1}a_{2n}+(-1)^n$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<\frac{4}{3}c_n$。

2.已知正项数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_3=7$，$a_{n+1}=6S_n+9n+1$，$n\in\mathbb{N}^*$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若正项等比数列$\{b_n\}$满足$b_1=a_1$，$b_3=a_2$，且$c_n=a_nb_n$，数列$\{c_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；若对任意$n\geq 2$，$n\in\mathbb{N}^*$，均有$(T_n-5)m\geq 6n-3n+35$恒成立，求实数$m$的取值范围。

3.已知$n\in\mathbb{N}^*$，设$S_n$是单调递减的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$a_1=1$且$2S_2+a_2,S_4+a_4,S_3+a_3$成等差数列。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 记数列$\{na_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求证：对于任意正整数$n$，$T_n<\frac{4}{3}S_n$。

4.递增的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_2=6$，$S_4=30$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若$b_n=a_n\log_{1/a_n}n$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求满足$T_n+n^2>50$的正整数$n$的最小值。

错位相减法-(含答案)

1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T2. （2012年天津市文13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=+++n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。

【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由1a =1=2b ，得344423286a d b q s d =+==+，，。

:由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得 3 2d q =⎧⎨=⎩。

∴+312n n n a n b n N =-=∈，，。

(Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =⨯+⨯+⨯+-⋯+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+- ②；由②－①得，()()234+1122232323+2332n n n T n =-⨯-⨯+⨯+⨯-+⋯⨯+()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142=8+3=+8n n n n n n n n n n n n a b ----⨯+++⋯⨯---⨯--⨯-----∴1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。

3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.`(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由1a =1=2b ，得344423286a d b q s d =+==+，，。

高考数学高频考点归类分析错位相减法的运用(真题为例)

错位相减法是一种常用的数列求和方法，形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

典型例题：例 1. （2012年四川省文12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg}na 的前n 项和最大？【答案】解：（Ⅰ）取n =1，得21112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。

若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。

若1a 0≠，则12a λ=，有当n 2≥时，22n n a S λ=+，1122n n a S λ--=+，两个相减得：12n n a a -=，∴n 2na λ=。

∴数列{}n a 公比是2的等比数列。

综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2na λ=。

（Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1lgn nb a =，则2lg 2n b n =-。

∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100lg 2100lg6=>=；当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg7=<=。

∴数列{lgn a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1{lg }na 的前n 项和最大。

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。

【解析】（I ）由题意，n =1时，由已知可知11(2)0a a λ-=，分类讨论：由1a =0及1a 0≠，结合数列的和与项的递推公式可求。

错位相减法-(含答案)

第78课--错位相减法求数列的前n项和

错位相减法求和附答案

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