错位相减法-(含答案)

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错位相减法求和附问题详解

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

①项的对应需正确；

②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

∴，∴，

又点均在函数的图象上，

∴．

∴当时，，

又，适合上式，

∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4S n = a n2 + 2a n－3①

当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②

①－②, 即，∴,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

得

（Ⅱ）由

，

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．

错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn

程中要注意：

项的对应需正确；

相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1.

均在函数，点的图象上．和为

）求数列Ⅰ（的通项公式；

是数列的前项和，求．（Ⅱ）设，

[解析]考察专题：，，，；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

，，则设

∴，∴，

又点均在函数的图象上，∴．

时，，当∴

又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）

，）知，Ⅰ）由（Ⅱ

（．

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数，

．

）求数列的通项公式；1

（

）的值.（2][答案查看解析

时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－

即，, －①②

∴．

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

）2③

（

又④

③④－

12分

设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3.

，数列前数列.项和，满足，

）求数列的通项公式；（Ⅰ

，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为，得由Ⅰ[答案] ()

为公比的等比数列，故.是以

）由（Ⅱ得，

…，

…+，记

用错位相减法可求得：

（注：此题用到了不等式：进行放大. . ）

与的等比中项．4.已知等差数列是中，；

(完整版)错位相减法随机数列求和十题

1. 问题描述

给定一个长度为n的整数数组，其中的数为随机生成的整数，

请使用错位相减法求出该数组中所有数的和。

2. 解决方案

错位相减法是一种简单而高效的算法，用于计算一个数组中所

有数的和。该算法的步骤如下：

1. 将数组中相邻的两个数进行相减，得到一个新的数组，新数

组的长度比原数组的长度小1。

2. 重复第一步，直到得到的新数组长度为1。

3. 将新数组中唯一的元素作为结果，即为原数组中所有数的和。

3. 示例

给定一个长度为5的数组 [3, 7, 2, 9, 4]，我们使用错位相减法

来求解该数组中所有数的和：

1. 第一次相减得到新数组 [4, -5, 7, -5]，长度为4。

2. 第二次相减得到新数组 [-9, 12, -12]，长度为3。

3. 第三次相减得到新数组 [21, -24]，长度为2。

4. 第四次相减得到新数组 [-45]，长度为1。

5. 结果为-45，即为原数组中所有数的和。

4. 算法复杂度

错位相减法的时间复杂度为O(n)，其中n为原数组的长度。由于该算法只需要一次遍历原数组，因此效率较高。

5. 注意事项

- 错位相减法只适用于求解整数数组的和，对于浮点数数组或其他类型的数组无法使用。

- 在实际使用中，请确保原数组的长度大于等于2，否则无法进行错位相减。

以上是关于错位相减法随机数列求和的完整解释。希望对你有帮助！

有答案-数列综合练习(错位相减法、裂项相消法)

数

列综合练习（一）

1．等比数列前n 项和公式：

(1)公式：S n ＝

⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q

1－q (q ≠1)na 1

(q ＝1)

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 1

1－q

(1－q n )＝A (q n －1)．其中 A ＝a 1

q －1

3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．

4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：

(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；一、选择题

1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2等于( )

A ．11

B ．5

C ．－8

D ．－11 答案 D

解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，

∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25

)

a 1(1－22)

＝－11.

2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10

S 5等于( )

A ．－3

B ．5

C ．－31

D ．33 答案 D

解析由题意知公比q ≠1，S 6

S 3＝a 1(1－q 6)

1－q a 1(1－q 3)

1－q

＝1＋q 3＝9，

∴q ＝2，S 10

S 5＝a 1(1－q 10)

1－q a 1(1－q 5)

1－q

＝1＋q 5

＝1＋25＝33.

3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

项的对应需正确；

相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；

若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前

项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•

(I)求数列的通项公式;

(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•

［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般

［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，

则设,

又点「均在函数的图象上，

二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T

又忙：=.：「=乜，适合上式,

I ............................................... （7 分）

（n）由（i）知

- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2

• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得

=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】

卜2*

4屮一才丨, ,

: ■ .

1=2

整理得：，•.................

2.已知数列’的各项均为正数，是数列’

（14 分）的前n项和，且

（1）求数列’的通项公式；

（2）二知二一-

［答案］查看解析

解出a i = 3, ［解

析］

又4S n = a n? + 2a n —3 ①

错位相减法求和专题训练含答案

错位相减法求和专题训练

1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数

，且*12,1,2n N a a ∈==.

(1)求 {}n a 的通项公式；

(2)设*

1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；

(3)设()2121n

n n n c a a -=⋅+-，证明：

123

111154

n c c c c ++++

< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2

1691n n a S n +=++， *n N ∈.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；

②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2

563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范

围.

3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112

a =

且224433,,S a S a S a +++成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1

n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若12

log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1

错位相减法求和附答案

故 cn=b2n= =(n-1)
, n∈ N* .
所以 Rn=0× +1× +2× +3× +… +(n-1) × ,
则 Rn=0× +1× +2× +… +(n-2) × +(n-1) × , 两式相减得
Rn= + + +…＋ -(n-1) ×
= -(n-1) ×
=-
,
整理得 Rn=
.
所以数列 {cn}的前 n 项和 Rn=
“懂你 ”叫，人无怨无悔，愿以自己的一生来交付。
懂得是彼此的欣赏，是灵魂的轻唤，是惺惺相惜，是爱，是暖，是彼此的融化；是走一段很远的路，蓦然回首却发现，我依然在你的视线里；是回眸相视一笑的无言；是一条偏僻幽静的
小路，不显山，不露水，路边长满你喜爱的花草，静默无语却馨香盈怀，而路的尽头，便是通达你心灵的小屋
．求数列
的前项和
[解析 ]（Ⅰ）因为数列
是等差数列，是与的等比中项．所以
，
又因为
，设公差为，则
，
所以
，解得
或，
当
时,
，
；
当
时，
.
所以
或
. （6 分)
（Ⅱ）因为
，所以
，所以
，
所以

错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

项的对应需正确；

相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

∴，∴，

又点均在函数的图象上，

∴．

∴当时，，

又，适合上式，

∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4S n = a n2 + 2a n－3 ①

当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②

①－②, 即，

∴ ,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数

，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：

[答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

（Ⅱ）由，得

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）

高考数学解答题(新高考)数列求和(错位相减法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题07 数列求和（错位相减法）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.

2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.

类型一：乘型

n n n c a b =⋅（其中n a 是等差数列，n b 是等比数列）

类型二：除型

二、典型例题

类型一：乘型

n n n c a b =⋅（其中n a 是等差数列，n b 是等比数列）

例题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若数列{}n b 的通项公式为21n b n =+，求1122n n n T a b a b a b =+++的值．

感悟升华（核心秘籍）错位相减法的两个陷阱（易错点）：

（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减）第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意

，令

，则求解目

标

，属于典型的错位相减求和的模型.

相减：

（注意此处标识“

”为错位相减法第一易错点，特别注意前面的“”号）

错位相减法练习题

在数学学习中，我们经常会遇到各种各样的计算方法。其中，错位相减法是一个在解决减法问题时非常实用的方法。它不仅简单易行，还能帮助我们培养逻辑思维和抽象能力。本文将针对错位相减法进行一些练习题的讨论，帮助读者更好地掌握这一方法。

在错位相减法中，我们将一个较大的数减去一个较小的数，得到的结果即为正确答案。下面是一些具体的练习题，其中用到了错位相减法。

1. 请计算下面的减法运算：

428

- 246

--------

解法：根据错位相减法的原理，我们将个位对齐，减去相应的数字即可。答案为182。

2. 下面是一个稍微复杂一些的例子：

1674

- 893

--------

请计算结果。

解法：同样地，我们将个位对齐，然后按位进行相减。答案为781。

3. 再来看一个带有借位的例子：

534

- 278

--------

解法：当个位相减得到的差小于0时，我们需要从前一位向后借位。这里，个位的4无法直接减去8，所以我们需要向十位借位，将3变成2，即32。然后再进行减法运算，答案为256。

通过以上几个例子，我们可以看到错位相减法的简单和高效。它不

仅适用于整数的减法运算，对于小数的计算也同样适用。接下来，我

们将通过一些小数减法的例子来加深理解。

4. 计算下面的小数减法：

4.8

- 1.23

--------

解法：对于小数减法，我们仍然按位进行相减。首先，将个位和小

数点对齐，答案中也将保留一位小数。依次相减得到答案3.57。

5. 再来看一个有借位的小数减法例子：

6.25

- 3.71

--------

解法：同整数的情况一样，当个位相减小于0时，我们需要向前一位借位。这里我们需要从十位借位，将6变成5，答案为2.54。

错位相减法求和附答案解析00839

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

①项的对应需正确；

②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

∴，∴，

又点均在函数的图象上，

∴．

∴当时，，

又，适合上式，

∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

∴，上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4S n = a n2 + 2a n－3 ①

当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②

①－②, 即，

∴ ,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数

，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：

[答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

（Ⅱ）由，得

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．

题型-数列求和之错位相减法

数列求和之错位相减法

一、题型要求：

如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。

二、例题讲解：

1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。

2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。

三、练巩固：

1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，

$T_n=na_1+(n-1)a_2+。+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，

$T_2=4$。

1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；

2）求数列$T_n$的通项公式；

2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，

$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。数列$\{b_n\}$满足

$b_n=a_n\times2$。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；

2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；

4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足

$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；

2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项

和为$T_n$，求$T_n$；

5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-

7)a_n$。

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

①项的对应需正确；

②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅰ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

Ⅰ，Ⅰ，

又点均在函数的图象上，

Ⅰ．

Ⅰ当时，，

又，适合上式，

Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，

Ⅰ，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4S n = a n2 + 2a n－3①

当时4s n－1 = + 2a n-1－3②

①－②, 即，Ⅰ ,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

得

（Ⅰ）由

，

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．

错位相减法求和附答案

错位相减法供战博项之阳早格格创做

错位相减法供战适用于{an`bn }型数列，其中{an},{bn}分别是等好数列战等比数列，正在应用历程中要注意：

项的对于应需精确；

相减后应用等比数列供战部分的项数为（n-1）项；

若等比数列部分的公比为常数，要计划是可为1

1. 已知二次函数的图象通过坐标本面，其导函数

，数列的前项战为，面均正在函数的图象上．

（Ⅰ）供数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项战，供．

[剖析]观察博题：2.1，2.2，3.1，6.1；易度：普遍

[问案] （Ⅰ）由于二次函数的图象通过坐标本面，

则设，，

∴，∴，

又面均正在函数的图象上，

∴．

∴当时，，又，符合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

上头二式相减得：

．

整治得．．．．．．．．．．．．．．（14分）的各项均为正数，是数列的前n项战，且

．

（1）供数列的通项公式；

（2）的值.

[问案]查看剖析

[剖析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4Sn = an2 + 2an－3①

当时4sn－1 = + 2an-1－3 ②

①－②, 即，

∴,

（），

是以3为尾项，2为公好的等好数列，6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成城市下新区下三4月月考，19,12分）设函数，数列前项战，

，数列，谦脚.

（Ⅰ）供数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项战为，数列的前项战为，道明： .

[问案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

（Ⅱ）由，得

…，

记…+，

用错位相减法可供得：

. （注：此题用到了没有等式：举止搁大. ）

错位相减法求与附与答案

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

①项的对应需正确；

②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

∴，∴，

又点均在函数的图象上，

∴．

∴当时，，

又，适合上式，

∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4S n = a n2 + 2a n－3 ①

当时 4s n－1 = + 2a n-1－3②

①－②, 即，∴,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： . [答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

得

（Ⅱ）由

，

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．

(完整版)错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

①项的对应需正确；

②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅰ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

Ⅰ，Ⅰ，

又点均在函数的图象上，

Ⅰ．

Ⅰ当时，，

又，适合上式，

Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，

Ⅰ，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,

又4S n = a n2 + 2a n－3①

当时4s n－1 = + 2a n-1－3②

①－②, 即，Ⅰ ,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

（2）③

又④

④－③

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

得

（Ⅰ）由

，

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．