八年级数学直角三角形知识点

合集下载

八年级数学上册第1章《一定是直角三角形吗》知识点解读(北师大版)

《一定是直角三角形吗》知识点解读知识点1 直角三角形的判别条件（重点）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 解读重点（1）以上是直角三角形的判别条件，被称为“勾股定理的逆定理”.（2）该定理不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是否为直角三角形.当然也不能说“斜边”和“直角边”.（3）当满足222a b c +=时，那么最长边c 是斜边，其所对角是直角.较短的两边为两直角边.（4）勾股定理与勾股定理的逆定理的区别：勾股定理的成立前提条件是直角三角形，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而勾股定理的逆定理，它是由三角形三边的数量关系判断一个三角形是否为直角三角形，直角三角形作为它的判断结论.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方. ①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，故选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：本题已给出三角形的三边长，只需运用直角三角形的判别条件进行判断就可以，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形. 方法归纳：给出三角形三边长，判断这个三角形是否为直角三角形，先找出最长边，再计算三边的平方，最后验证最长边的平方是否等于另两边的平方和，如果相等，则该三角形为直角三角形.否则不是直角三角形. 知识点2 勾股数（了解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠ A =30°可表示如下：BC=1AB2∠ C =90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ A CB=90°可表示如下：CD= 1AB=BD=AD2D为 AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2c25、射影定理 ( 了解 )在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∠ ACB=90°CD2AD BDAC 2AD ABCD ⊥ ABBC2BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长 a ，b ， c ，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。

1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ，c（ 1）三边之间的关系：a 2 b2c 2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90° （ 3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长为（）A 、 4 cmB 、 8 cmC 、 10 cmD 、 12 cm2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A 、 25B 、 14C 、 7D 、 7 或 253. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ()A 、 13B 、 8C 、 25 D、 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形 . 5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为（） A.12 B.7 C.5 D.66. 已知 a ，b ， c 为△ ABC 三边，且满足 ( a 2－ b 2)( a 2+b 2－ c 2) ＝0，则它的形状为（）A. 直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 如图， MP ⊥ NP ，MQ 为△ MNP 的角平分线， MT ＝ MP ，连接 TQ ，则下列结论中不正确的是（）A 、 TQ ＝ PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝ 90°D 、∠ NQT ＝∠ MQT8. 在△ ABC 中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB 于 D,AB=a , 则 DB 等于 ()A.aB.aC.aD. 以上结果都不对PQMNT23 4二、解答题1、已知：如图， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ，且 BC ＝DC. 求证： BE=DFFDC1 2AE B2. 已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ， CD=12cm ，且∠ A=90°，求四边形 ABCD 的面积。

直角三角形的基本概念与性质知识点总结

直角三角形的基本概念与性质知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和概念。

了解直角三角形的基本概念和性质对于数学学习和实际应用具有重要意义。

本文将总结直角三角形的基本概念和一些核心性质，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

一、基本概念直角三角形是指一个内角为90度（直角）的三角形。

常用符号表示直角三角形的三个角度如下：- 直角：用∠A表示，∠A = 90°，是直角三角形最重要的特征之一。

- 钝角：用∠B表示，∠B > 90°，是大于90度的角度。

- 锐角：用∠C表示，∠C < 90°，是小于90度的角度。

直角三角形的特殊性质使得它在计算和实际应用中具有广泛的适用性。

二、性质总结1. 边与角的关系：- 斜边：直角三角形中最长的一边称为斜边，通常用c表示。

- 相邻边：直角三角形中与直角相邻的两条边称为相邻边。

- 对边：直角三角形中与直角不相邻的边称为对边。

- 斜边平方定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两个相邻边的平方和。

即c² = a² + b²。

2. 辅助角的关系：- 正弦定理：对于一个直角三角形，斜边的长度与任意一个角的正弦值成正比。

即sinA = a / c，sinB = b / c，sinC = 1。

- 余弦定理：对于一个直角三角形，斜边的平方与两个相邻边的平方之差成正比。

即c² = a² - b²，c² = b² - a²。

- 正切定理：对于一个直角三角形，任意一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。

即tanA = a / b，tanB = b / a。

3. 角度关系：- 直角三角形中的两个锐角的和为90度，即∠B + ∠C = 90°，∠A + ∠C= 90°，∠A + ∠B = 90°。

- 锐角三角函数：直角三角形中的锐角可以用三角函数来表示，如正弦函数、余弦函数和正切函数等。

八年级下册数学直角三角形

八年级下册数学直角三角形一、直角三角形的定义与性质。

1. 定义。

- 有一个角为90°的三角形叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

2. 性质。

- 直角三角形的两个锐角互余。

即若ABC中，∠ C = 90^∘，则∠ A+∠ B = 90^∘。

- 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。

例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。

- 在直角三角形中，30^∘角所对的直角边等于斜边的一半。

例如，在ABC 中，∠ C = 90^∘，∠ A=30^∘，设斜边AB = c，则BC=(1)/(2)c。

- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如在ABC中，∠ C = 90^∘，D 为AB中点，则CD=(1)/(2)AB。

二、直角三角形的判定。

1. 定义判定。

- 直接看三角形中是否有一个角为90^∘，如果有，则这个三角形是直角三角形。

2. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169 = 13^2，所以这个三角形是直角三角形。

3. 一个三角形，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如，在ABC中，D为AB中点，CD=(1)/(2)AB，则∠ ACB = 90^∘。

三、直角三角形全等的判定（HL定理）1. HL定理内容。

- 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

2. 应用示例。

- 已知ABC和DEF都是直角三角形，∠ C=∠ F = 90^∘，AB = DE，AC = DF，根据HL定理，可以得出ABC≅ DEF。

四、解直角三角形。

1. 概念。

初中数学解直角三角形知识点讲解及例题解析

解直角三角形知识点讲解及例题解析一、知识点讲解： 1、解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2、其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高） 3、角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5、直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8 说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。

2.8 直角三角形全等的判定八年级上册数学浙教版

在与中，， .
注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等.
典例1（2022·杭州拱墅区期中）如图，，，，要根据“HL”证明，则还要添加一个条件是( )
第2章特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2.掌握角平分线性质定理的逆定理.
3.能利用HL证明两个直角三角形全等.
知识点1 斜边、直角边定理（HL）重点
判定定理
几何语言
图示
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写. D.
A
解析：添加的条件是 .理由：，， .在和中， .
知识点2 角平分线性质定理的逆定理重点
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言：如图，，，，平分（或）.
注意利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可.
典例2 如图，已知于点，于点， , 相交于点，连结， .求证：平分 .
证明：在和中，∵∴ ,∴ .又 , ,∴点在的平分线上，∴ 平分 .

八年级数学直角三角形(学生讲义)

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用图4内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

八年级三角形知识点归纳

八年级三角形知识点归纳三角形是中学数学中比较基础的一个概念，也是数学中常见的一种图形。

在初中数学中，三角形是一个非常重要的知识点，今天我们来回顾一下八年级阶段所学的三角形知识点。

一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段的交点被称为一个顶点。

三角形是由三个顶点和三个边组成的，且三角形的边和顶点是一一对应的。

根据三角形的边长关系和角度关系，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长关系：等边三角形：三边相等的三角形。

等腰三角形：至少有两边相等的三角形。

普通三角形：三边均不相等的三角形。

2. 根据角度关系：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

直角三角形：其中一个角是直角的三角形。

钝角三角形：至少有一个角是钝角的三角形。

二、三角形的基本性质1. 三角形的内角和等于180度。

即三角形的三个角的度数之和为180度。

可以用以下公式表示：a + b + c = 180其中，a、b、c分别表示三角形的三个角的度数。

2. 等边三角形的三个角都是60度。

因为等边三角形的三边相等，所以三个角都必须相等。

而三个相等的角的度数之和必须为180度，因此每个角的度数都是60度。

3. 等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必须相等。

4. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即a² + b² = c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为直角三角形的斜边长度。

5. 三角形的面积可以用海伦公式和正弦定理来计算。

海伦公式：若a、b、c分别为三角形的三个边长，p为三角形半周长，则三角形面积S可以用以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) ×(p - c))正弦定理：若a、b、c分别为三角形的三个边长，A、B、C分别为三角形的三个角，则有以下公式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。

八年级上册数学笔记第十二章

以下是八年级上册数学第十二章的笔记，主要涉及轴对称、等腰三角形和直角三角形等知识点：
一、轴对称
1. 轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2. 轴对称的性质：
●对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

●对应线段相等、对应角相等。

二、等腰三角形
1. 等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。

2. 等腰三角形的性质：
●两腰相等，两底角相等。

●三线合一：底边上的中线、高、角平分线三线合一。

3. 等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。

三、直角三角形
1. 直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。

2. 直角三角形的性质：
●直角三角形中，直角所对的两腰相等。

●直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和（勾股定理）。

3. 直角三角形的判定：如果一个三角形中有一个角为直角，那么这个三角形是直角三角形。

四、数学思想方法
1. 分类讨论思想：对于复杂的问题，根据具体情况进行分类讨论，化繁为简。

2. 化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，从而解决问题。

3. 数形结合思想：将数学中的数量关系与几何图形结合起来，通过直观的图形来理解数量关系，从而解决问题。

三角形知识点归纳总结八年级

三角形知识点归纳总结八年级在初中数学中，三角形是一个重要的部分，掌握好三角形的知识点对于初中阶段的学生来说至关重要。

本文将从几何意义、分类、性质和计算公式几个方面归纳总结八年级三角形知识点。

一、几何意义三角形是由三条不在一条直线上的线段所组成的，其几何意义是一个平面内由三个点（这三个点不在同一条直线上）和它们之间连线所组成的图形。

二、分类三角形可以根据三边的边长、三个角度的大小以及两者的组合进行分类。

1.根据边长可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

等边三角形：三个边长相等的三角形。

等腰三角形：两个边相等的三角形。

普通三角形：三边都不相等的三角形。

2.根据角度大小可以分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。

钝角三角形：其中一个角的大小大于90度的三角形。

直角三角形：其中一个角的大小等于90度。

锐角三角形：三个角都小于90度的三角形。

3.根据边长和角度的组合可以分为等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等腰锐角三角形、直角等腰三角形、直角普通三角形、钝角普通三角形、锐角普通三角形等。

三、性质三角形的一些性质可以用来判断其种类以及解题。

1.三角形内角和等于180度。

三角形的三个角之和始终为180度，即：$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$。

2.等边三角形的三个角均为60度。

等边三角形的三边长度相等，而三个60度的角可以将其三等分。

3.等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形的两个边长相等，而两个底角恒定相等。

4.直角三角形的斜边平方等于两腰边平方和。

直角三角形的斜边是直角三角形的最长边，在解题中经常使用到勾股定理：$c^2=a^2+b^2$。

四、计算公式解题需要用到许多与三边、三角形内角和、勾股定理相关的计算公式。

1.三角形内角和计算公式。

三角形的三个角之和始终为180度，可以通过以下公式计算：$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$。

2.勾股定理。

人教版八年级数学上《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记

《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
一、定义与条件
1.HL判定：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，
那么这两个三角形全等。

2.ASA判定：在两个三角形中，如果两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个
三角形全等。

二、应用与实例
1.HL判定应用：在解决实际问题时，如果已知两个直角三角形的斜边和一条直角
边分别相等，那么可以直接使用HL判定来证明这两个三角形全等。

2.ASA判定应用：当已知两个三角形中的两个角和它们的夹边分别相等时，可以
使用ASA判定来证明这两个三角形全等。

三、注意事项
1.HL判定注意事项：在使用HL判定时，必须确保两个直角三角形的斜边和一条
直角边分别相等，不能出现其他条件的不符合。

2.ASA判定注意事项：在使用ASA判定时，必须确保两个角和它们的夹边分别
相等，不能出现其他条件的不符合。

四、练习与巩固
为了巩固所学知识，可以进行以下练习：
1.给出两组条件，判断是否能够使用HL或ASA判定证明两个三角形全等。

2.给出多个三角形，选择其中两个，使用适当的判定方法证明它们全等。

五、总结与回顾
本节课学习了直角三角形全等的特殊条件，包括HL判定和ASA判定。

通过学习，我们掌握了这些判定方法的应用和注意事项。

在今后的学习中，我们将继续运用这些方法来解决实际问题。

14.1.2 直角三角形的判定(八年级数学)

∴a2+c2=b2. ∴以7, 25, 24为边长的三角形是直角三角形.
∵b2+c2=112+92 =121+81 =202，
a2=132 =169，
∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的三角形不是直角三角形.
【例 3】一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
(1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直
角三角形, 只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解:(1)最长边为25，
(2)最长边为13，
∵a2+c2=72+242 =49+576 =625，
b2=252 =625，
1.如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是
( B) A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形 ( A )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是__直__角__三角形.
4.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗?为什么? 解：这个是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的逆定理.

人教版八年级数学上直角三角形

初中数学试卷直角三角形知识导引1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。

2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。

4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

典例精析例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。

（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD ⊥BE 。

例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE= 。

例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。

例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF 。

例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交其延长线于点E ，求证：CE=21BD探究活动例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D 落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。

初中数学知识点精讲精析直角三角形 (2)

2.6 直角三角形学习目标1.体验直角三角形应用的广泛性，进一步认识直角三角形。

2.学会用符号和字母表示直角三角形。

知识详解1.有一个角是直角和三角形叫做直角三角形。

2.直角三角形表示方法：Rt⊿.3.直角三角形的内角的特点：直角三角形的两个锐角互余。

4.直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【典型例题】例1：用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（）A、平行四边形B、矩形C、等腰三角形D、梯形【答案】D【解析】把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：分别有等边三角形，等腰三角形，矩形，平行四边形。

例2：如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A、10mB、15mC、5mD、20m【答案】B【解析】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=5，∠A=30°∴AB=10，∴大树的高度为10+5=15m例3：下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A、两边之和大于第三边B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°【答案】B【解析】A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意；C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意．【误区警示】易错点1：直角三角形的两锐角互余1.如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是（）A、2B、3C、4D、5【答案】B【解析】∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3易错点2：2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A、0个B、1个C、2个D、3个【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有2个。

八年级数学上册直角三角形知识点总结

八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容，下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结：
1. 三角函数
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形：两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形：长边：短边：斜边 = 1：√3：2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形：两条直角边相等，斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义：一个角为直角（90度）
- 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边：利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边：利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结，请认真研究，掌握这些内容，将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。

八年级数学三角形基础知识点归纳总结

八年级数学三角形基础知识点归纳总结单选题1、用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A．B．C．D．答案：D解析：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．解：A、作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．小提示：本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2、已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12答案：D解析：依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解．解：该多边形的外角和为360°，故内角和为2160°-360°=1800°，故（n-2）•180°=1800°，解得n=12．故选：D．小提示：本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．3、如图，三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：根据三角形的定义可直接进行解答．解：由图可得：三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个；故选B．小提示：本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键．4、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．5、下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．答案：D解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．故选D．小提示：本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．6、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．7、如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6答案：A解析：试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A．8、如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6答案：A解析：试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A．填空题9、如果三角形的三条边长分别为2、x、6，那么x的取值范围是______．答案：4<x<8解析：根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可求解解：根据题意得：6−2<x<6+2，即4<x<8．所以答案是：4<x<8．小提示：考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．10、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°解析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11、如图，将三角尺ABC和三角尺DFF (其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°)摆放在一起，使得点A、D、B、E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于_____．答案：105°解析：利用直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC与∠FDE的度数，然后在△MDB中，利用三角形内角和定理求得∠DMB，再依据对顶角相等即可求解．解：∵∠ABC＝90°−∠C＝90°−60°＝30°，∠FDE＝90°−∠F＝90°−45°＝45°，∴∠DMB＝180°−∠ABC−∠FDE＝180°−30°−45°＝105°，∴∠CMF＝∠DMB＝105°．所以答案是：105°．小提示：本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形的内角和定理以及对顶角的性质，正确求得∠DMB的度数是关键．12、如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为__________．答案：6解析：设此多边形有n条边，则一个顶点可以引出(n－3)条对角线，根据题意得n＝2(n－3)，解的n=6.设此多边形有n条边，根据题意得:n＝2(n－3)，解得n=6.故答案为6.13、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．答案：180°解析：解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°所以答案是：180°解答题14、如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？答案：他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．解析：根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．解：1140°÷180°＝6…60°，则边数是：6+1+2＝9；他们在求九边形的内角和；180°﹣60°＝120°，少加的那个内角为120度．小提示：本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．15、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，求点P运动的时间．答案：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．解析：设运动时间为x秒，根据题意，列方程求解即可．解：设当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P运动了x秒．根据题意得：12×8×x+12×2x(6−x)+12×6(8−2x)+[12×2x(6−x)+19.5]=6×8，化简得：2x2−10x+92=0，解得：x1=12，x2=92∵当x2=92时，8−2x=−1<0，∴x2=92舍去．答：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．小提示：此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．。

八年级直角三角形知识点归纳总结

八年级直角三角形知识点归纳总结直角三角形是中学数学中重要的几何概念之一，是指一个角度为90度的三角形。

在八年级数学学习中，直角三角形是一个重要的知识点，掌握了直角三角形的相关知识，可以帮助我们解决诸如三角函数、勾股定理等各种问题。

接下来，我将针对八年级直角三角形的知识点进行归纳总结。

一、直角三角形的定义和特点直角三角形是指一个角度为90度的三角形，我们可以根据直角三角形的定义和特点来判断一个三角形是否为直角三角形。

直角三角形的定义条件为：三角形中有一个角度为90度；直角三角形的特点是：直角三角形的两条直角边相互垂直，直角三角形的两个锐角和为90度。

二、直角三角形的元素及关系在直角三角形中，有一些重要的元素，它们之间存在一定的关系，我们需要了解并掌握：1. 斜边：直角三角形的斜边是与直角不相邻的一边，通常我们用小写字母“c”表示。

2. 直角边：直角三角形的直角边是与直角相邻的两边，我们用小写字母“a”和“b”表示。

3. 高：直角三角形的高是指从直角顶点到斜边的垂直线段，我们用小写字母“h”表示。

4. 直角三角形的边关系：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边和斜边之间存在以下关系：a^2 + b^2 = c^2。

三、直角三角形的三角函数在直角三角形中，我们可以定义三个三角函数：正弦、余弦和正切，它们分别用于描述直角三角形中的角度与边之间的关系。

1. 正弦函数：正弦函数描述的是一个角度与直角边的比值。

在一个直角三角形中，角度A的正弦值等于直角边a与斜边c的比值，即sinA = a/c。

2. 余弦函数：余弦函数描述的是一个角度与直角边的比值。

在一个直角三角形中，角度A的余弦值等于直角边b与斜边c的比值，即cosA = b/c。

3. 正切函数：正切函数描述的是一个角度与直角边的比值。

在一个直角三角形中，角度A的正切值等于直角边a与直角边b的比值，即tanA = a/b。

四、利用直角三角形解决实际问题直角三角形的应用非常广泛，我们可以利用直角三角形的性质和三角函数来解决各类实际问题，例如测量高度、距离、角度等。

八年级解直角三角形知识点

八年级解直角三角形知识点在初中数学学习中，直角三角形是非常重要的一个知识点。

本文将为您介绍八年级解直角三角形的知识点，帮助您更好地掌握这个重要的数学概念。

1. 直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在这样的三角形中，对直角的两边称为“直角边”，对90度的另一边则称为“斜边”。

2. 勾股定理勾股定理是指对于任何一个直角三角形，其直角边长的平方之和等于斜边长的平方。

即 a²+b²=c²。

这个定理对求解直角三角形的三个边长非常有用。

例如，如果我们已知直角边a和b的长度，就可以通过勾股定理求出斜边c的长度。

3. 特殊角的正弦、余弦和正切在解直角三角形中，我们经常需要计算特殊角的正弦、余弦和正切值。

在直角三角形中，对于任何角的正弦值，都等于对应的斜边长除以斜边长的比例，即sinA=a/c；对于余弦和正切值，也有类似的计算公式，cosA=b/c，tanA=a/b。

这些公式对计算直角三角形非常有用。

4. 三角函数的计算与应用在实际应用中，三角函数是非常重要的数学工具。

例如，我们可以通过计算三角函数值来求解三角形的各个角度和边长，而这些知识点在很多领域都有着广泛的应用，比如物理学、工程学或者地质学等。

因此，掌握好直角三角形的三角函数知识是非常重要的。

5. 解三角形的常用方法在求解直角三角形时，我们有许多不同的方法，可以根据具体的问题选择。

例如，我们可以使用勾股定理，已知两个边长求解第三个边长；也可以使用正弦、余弦或正切公式来求解角度或长度。

但无论采用哪种方法，我们都需要保证数值计算的准确性，以确保解得的结果是正确的。

总结在初中数学学习中，直角三角形是一个重要的知识点。

通过掌握直角三角形的基本定义、勾股定理、三角函数以及解三角形的常用方法，可以帮助我们更好地求解各种数学问题。

希望本文能够帮助您更好地掌握八年级解直角三角形的知识点，顺利学好初中数学。

数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》

数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》直角三角形是初中数学中比较重要的概念之一，它具有一些独特的性质。

本文将介绍《数学人教版八年级上册》第三节《直角三角形的性质》，包括直角三角形的定义、勾股定理、特殊的直角三角形以及与直角三角形相关的一些例题和应用。

通过学习本节内容，读者将能够更好地理解和运用直角三角形的性质。

直角三角形是指一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，有一个特殊的定理，被称为勾股定理。

勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

例如，在一个直角三角形中，较短的直角边为3，较长的直角边为4，那么斜边的长度可以通过勾股定理计算得出，即斜边的长度为5。

勾股定理是直角三角形的重要性质，我们可以通过它解决一些实际问题，比如测量不可直接测量的距离或确定物体之间的距离和角度关系。

除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质。

我们先来看一下等腰直角三角形。

等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。

在等腰直角三角形中，斜边的长度可以通过直角边的长度计算得出，即斜边长度为直角边长度的平方根乘以2。

比如，如果等腰直角三角形的直角边长为3，那么斜边的长度可以通过计算√3^2+3^2得出，即斜边的长度为3√2。

另一个特殊的直角三角形是45度角三角形。

45度角三角形是指一个角为45度的直角三角形。

在45度角三角形中，两条直角边长度相等，即两条直角边的长度均为斜边长度的平方根。

比如，如果45度角三角形的斜边长度为2，那么两条直角边的长度也为2的平方根。

45度角三角形经常在实际问题中出现，比如在建筑和几何图形设计中的应用。

了解了直角三角形的基本性质和特殊情况后，我们来看一些与直角三角形相关的例题和应用。

通过解答这些问题，我们可以更深入地理解直角三角形的性质。

例如，题目如下：已知一个直角三角形的直角边为3，斜边为5，求另一直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的长度可以通过计算√5^2-3^2得出，即直角边的长度为4。