《两条直线的交点坐标》ppt课件
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解析几何两条直线的交点坐标与距离公式PPT课件
3 5x+2y+1=0,得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为 5 求
出l的斜率为- 5 ,于是由直线的点斜式方程求出 3
l:y-2=- 5 (x+1),即5x+3y-1=0. 3
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解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线, 而l过l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0.
得直线l1与l2的交点坐标为
y=x+1
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3y)1,则- 3A关于直线l的对称点
{ B(x1,y1)一定在l2上,由
x1 =-1
y1 + 3 = x1 +1
{得 x1=2 y1=1,
即B(2,1).
22
∴l2的方程为y-1=
1 +1 (x-2),即x-2y=0. 2+2
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解法二:设所求直线上一点P(x,y),
则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.
由题设x +:直x0线, yP+Py10与直线l垂直,且线段PP1的中点 P2( 2 2 )在直线l上.
∴
出l的斜率为- 5 ,于是由直线的点斜式方程求出 3
l:y-2=- 5 (x+1),即5x+3y-1=0. 3
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解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线, 而l过l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0.
得直线l1与l2的交点坐标为
y=x+1
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3y)1,则- 3A关于直线l的对称点
{ B(x1,y1)一定在l2上,由
x1 =-1
y1 + 3 = x1 +1
{得 x1=2 y1=1,
即B(2,1).
22
∴l2的方程为y-1=
1 +1 (x-2),即x-2y=0. 2+2
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解法二:设所求直线上一点P(x,y),
则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.
由题设x +:直x0线, yP+Py10与直线l垂直,且线段PP1的中点 P2( 2 2 )在直线l上.
∴
两条直线的交点坐标 课件
∴λ＝10，
∴l 的方程为 x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0， 即 3x＋4y－11＝0.
第三章 3.3 3.3.1
规律总结： (1)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1， B1不同时为0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)交点的 直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n 为参数，且m，n不同时为0)．
l2
平
行
时，
方
程
组
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
解的个数是
() A．0 C．2
B．1 D．无数个
[答案] A
第三章 3.3 3.3.1
互动课堂
第三章 3.3 3.3.1
●典例探究
两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交 点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. [分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置 关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．
第三章 3.3 3.3.1
[解析] (1)解方程组x2－x＋2yy－＋13＝＝00 ，得xy＝ ＝－ －11 ，所以直 线 l1 与 l2 相交，交点坐标为(－1，－1)．
2.3.1 两条直线的交点坐标 优秀公开课获奖课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一
用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． [注意] 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算
对称问题的主要类型及解法
(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐 标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；
l
y
2 1
-2 o
2x
M′
-2
l
y
2
1
M
o
2x
l
F′
y
E
A
2
1
E′
F
-2 o
2x
制作人：桃园
新课程标准解读
核心素养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的 交点坐标． 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位 置关系 3．会求两点间的距离公式．
1．会用解方程组的方法求两条相交直线 的交点坐标．(数学运算) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线 的位置关系．(数学运算)
二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解， 无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的 位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下 面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐 标系中两直线的位置关系。
两条直线的交点坐标(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步备课
解
2x－6y＋4＝0，
解方程组
4x－12y＋8＝0，
①
②
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解
4x＋2y＋4＝0，
方程组
y＝－2x＋3
无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
，
典例4
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解2：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得 λ＝
∴直线 l
11
的方程为2＋ 2
化简得 15x＋5y＋16＝0.
11
.
2
11
x＋ 2 －3
11
y＋2× －3＝0.
2
练一练
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．
解：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
2x－6y＋4＝0，
解方程组
4x－12y＋8＝0，
①
②
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解
4x＋2y＋4＝0，
方程组
y＝－2x＋3
无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
，
典例4
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解2：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得 λ＝
∴直线 l
11
的方程为2＋ 2
化简得 15x＋5y＋16＝0.
11
.
2
11
x＋ 2 －3
11
y＋2× －3＝0.
2
练一练
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．
解：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
两条直线的交点坐标课件
两条直线的交点坐标课件
在平面或空间直角坐标系中，学习如何找到两条直线的交点坐标。
直线的定义和方程
什么是直Leabharlann Baidu？
直线是由无数个点组成的，这些点堆叠在一起的 结果是一条线。直线可以扩展到平面或空间中。
如何表示直线？
通过一般式和点斜式可以表示一条直线的方程。 这些方程基于直线在坐标系的位置和斜率进行计 算。
2
差异之处
与平面坐标系不同，在空间坐标系中，直线可以相交，平行，重合或者位于同一平面上。 为了解决这些不同的情况，我们必须了解斜率、截距与空间坐标系之间的关系。
3
实例：找到两条垂直交叉的直线的交点
通过计算方程组的解，我们可以找到两条直线的交点坐标。
实例操作
列出方程
给定两条直线的点，我们可 以计算出这两条直线的一般 式和点斜式方程。
求解直线交点坐标
1 列方程组
将两条直线的方程相等 组成方程组，并用未知 量表示交点坐标。
2 消元求解
使用消元法计算未知量 的值。
3 计算交点坐标
把已知值带回到方程组， 计算出交点坐标。
常见问题一: 平面直角坐标系中直线的交 点坐标
平面坐标系
两条直线可以相交、平行 或重合。为了找到交点， 我们需要比较两条直线的 斜率和截距，然后计算方 程组的解。
平行和重合的情况
如果直线平行或重合，则 无法找到交点。在这种情 况下，我们会根据另一些 条件来确定相关的线性关 系。
在平面或空间直角坐标系中，学习如何找到两条直线的交点坐标。
直线的定义和方程
什么是直Leabharlann Baidu？
直线是由无数个点组成的，这些点堆叠在一起的 结果是一条线。直线可以扩展到平面或空间中。
如何表示直线？
通过一般式和点斜式可以表示一条直线的方程。 这些方程基于直线在坐标系的位置和斜率进行计 算。
2
差异之处
与平面坐标系不同，在空间坐标系中，直线可以相交，平行，重合或者位于同一平面上。 为了解决这些不同的情况，我们必须了解斜率、截距与空间坐标系之间的关系。
3
实例：找到两条垂直交叉的直线的交点
通过计算方程组的解，我们可以找到两条直线的交点坐标。
实例操作
列出方程
给定两条直线的点，我们可 以计算出这两条直线的一般 式和点斜式方程。
求解直线交点坐标
1 列方程组
将两条直线的方程相等 组成方程组，并用未知 量表示交点坐标。
2 消元求解
使用消元法计算未知量 的值。
3 计算交点坐标
把已知值带回到方程组， 计算出交点坐标。
常见问题一: 平面直角坐标系中直线的交 点坐标
平面坐标系
两条直线可以相交、平行 或重合。为了找到交点， 我们需要比较两条直线的 斜率和截距，然后计算方 程组的解。
平行和重合的情况
如果直线平行或重合，则 无法找到交点。在这种情 况下，我们会根据另一些 条件来确定相关的线性关 系。
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
A1x＋B1y＋C1＝0， 组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋
B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应
满足什么关系？
提示：A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2
＝0.
两直线的位置关系与方程组的解
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0.
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－ 4 3，－ x＋23) y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， y＝3. C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为 (－4,3)．
所以直线必过定点(1，－1)．
6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0 截 解：法一：因为所求直线 l过坐标原点，且 x＝0与 得的线段中点恰好是坐标原点，求直线 l的方程． 两直线交点的线段的中点不是坐标原点， 所以可设为y＝kx.
x＝ －6 ， k＋4 4x＋y＋6＝0， 由 得 y＝kx， －6k y＝ . k＋4
的解．
问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋
B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应
满足什么关系？
提示：A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2
＝0.
两直线的位置关系与方程组的解
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0.
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－ 4 3，－ x＋23) y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， y＝3. C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为 (－4,3)．
所以直线必过定点(1，－1)．
6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0 截 解：法一：因为所求直线 l过坐标原点，且 x＝0与 得的线段中点恰好是坐标原点，求直线 l的方程． 两直线交点的线段的中点不是坐标原点， 所以可设为y＝kx.
x＝ －6 ， k＋4 4x＋y＋6＝0， 由 得 y＝kx， －6k y＝ . k＋4
3.3.1 两条直线的交点坐标
提示:方程组(1)只有一组解
������ ������
= =
-
1 7
5 7
,
, 对应两直线相交,交点为
-
5 7
,
1 7
;
方程组(2)无解,对应两直线平行;方程组(3)有无数组解,对应两直线
重合.
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课前篇 自主预习
4.问题3中的结论是不是具有一般性?如果是的话,该如何表述?
提示:是.已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为
+ +
C1 C2
= =
00的解
直线 l1 和 l2 公共点的个数
直线 l1 和 l2 的位置关系
一组
一个 相交
无数组 无解
无数个 零个 重合 平行
6.做一做:在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为( )
A.x+3y=0 C.���2��� + ���3���=1
B.y=-13x-12 D.y=-13x+4
提示:直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上 的点的坐标是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直 线上的点的坐标.
2.已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标? 提示:只需写出这两条直线的方程,然后联立方程组求解.
【课件】两条直线的交点坐标课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
直线恒过定点问题
求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒 过某一定点.
证 1：取 m=0 可得 x＋y－5＝0 ①，取 m=1 可得 y＝－4 ②. 联立①②解得 x＝9，y＝－4. 所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9, －4)．
证 2：直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意 m 都成立， 则有xx＋＋2y－y－51＝＝00，， 得yx＝＝－9，4. 所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9，－4)．
点A在直线l上
l: Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点于是是A 有 aa2llb12＝＋:: AA4b12，＝aa＋ ＋6，BB12bb＋ ＋解CC12＝ ＝得00 a＝2， a＝－2，
温顾知新
做一做：讨论下列二元一次方程组解的情况.
1xx
y y
1 1
0 0
x0
y
1
一组解
相交
2 xx
C1 C2
l1l
平
2
行
.
练习题
求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过 坐标原点的直线l的方程.
3x＋4y－2＝0， 解 方法一 由方程组 即l1与l2的交点坐标为(－22x,2＋).y＋2＝0，
∵直线过坐标原点，
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
1.两条直线的交点
已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程
+ 1 + 1 = 0,
|AC|= (1 + 3)2 + (7-1)2 = 52,
|BC|= (1-3)2 + (7 + 3)2 = 104,
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.
∴△ABC 是等腰直角三角形.
解法二:∵kAC=
7-1
1-(-3)
3
2
-3-1
2
=- ,
3-(-3) 3
= ,kAB=
∴kAC·kAB=-1.∴AC⊥AB.
UITANG LIANXI
首 页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究五
探究一两条直线的交点问题
直线的交点坐标与距离公式课件PPT
解析： (1)由题意知，两直线的斜率分别为 k1＝2，k2＝－32，由 k1≠k2， 且 k1·k2≠－1 可知两直线相交但不垂直．
由23xx－ ＋y2＝y－7，7＝0， 解得yx＝＝－3，1. 即 l1 和 l2 的交点坐标为(3，－1)．
(2)由题意知，两直线的斜率分别为 k1＝3，k2＝3， ∴k1＝k2，故两直线不相交． 又两直线在 y 轴上的截距分别为 b1＝1，b2＝32， ∴b1≠b2， 所以两直线的位置关系是平行．
所以 l1 与 l2 相交，
且交点坐标为－130，134.
2x－6y＋3＝0，① (2)解方程组y＝13x＋12，② ②×6 整理得 2x－6y＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1 与 l2 重 合．
(3)解方程组2y＝x－13x6＋y＝12，0，②① ②×6－①得 3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
目
的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求
开 关
出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．
数学 必修2
填一填 研一研 练一练
研 一研· 问题探 究、课 堂更高 效
第三章
直线与方程
问题4 用代数的方法求点P0到直线l距离的思路 十分自然，但不易得出点到直线的距离公式，
如下图，如何利用三角形面积公式求出点到直
3.3直线的交点坐标与距离公式ppt课件
5
3202 3
思考：还有其他解法吗？
最新课件
32
例2 已知点 A 1 ， 3 ， B 3 ， 1 ， C － 1 ， 0 ，求 ABC
的面积．
分析：如图，设 AB边上的高为 h，则
SABC12 ABh.
y 4A
3
A B3 1 213 222.
2h
AB边上的高 h 就是点 C 到 AB C 1
的距离．
x 3 0 7 12x5040
Biblioteka Baidu
12 ( 3 )2
122 (5)2
x1 或x171 37
所以P点坐标为：(1,0) 或(17,10)
37
最新课件
43
小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离
2. 两条平行直线间距离公式
最新课件
44
作业
P110习题3.3A组： 10. 习题3.3B组：3，6，9
最新课件
45
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-1 O 1 2
B 3x
最新课件
33
例2 已知点 A 1 ， 3 ， B 3 ， 1 ， C － 1 ， 0 ，求 ABC
的面积． 解： AB边所在直线的方程为：y 3 x 1 ， 13 31
人教A版数学选择性必修第一册第二章-3-1 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式(课件PPT)
第24页
•
•
研习 3 两点间距离公式的计算
精 梳
[典例 3] 已知△ABC 三顶点坐标 A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC 的形
理
重
自 状．
主
•
效 果
学
学
习
业
固 基
[自主记]解：方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13，
测 试
础
速
|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13，
精
梳 理
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；
自
主
学 习
(2)若使直线 l 不经过第二象限，求 a 的取值范围．
固
基
础
(1)证明：直线 l 的方程可化为 y－35＝ax－15，
强 研 习
所以不论 a 取何值，直线 l 恒过定点 A15，35，又点 A 在第一象限，
重 点
所以不论 a 取何值，直线 l 恒过第一象限．
重
自 主
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 通过直线 2x＋y＋3＝0 与 x－y＋6＝0 的交点．
效 果
•
学
学
习 固 基 础
由方程组x2－x＋y＋y＋6＝3＝00， 得yx＝＝3－. 3，
业 测 试 速
达
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 恒过定点(－3,3)．
•
•
研习 3 两点间距离公式的计算
精 梳
[典例 3] 已知△ABC 三顶点坐标 A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC 的形
理
重
自 状．
主
•
效 果
学
学
习
业
固 基
[自主记]解：方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13，
测 试
础
速
|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13，
精
梳 理
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；
自
主
学 习
(2)若使直线 l 不经过第二象限，求 a 的取值范围．
固
基
础
(1)证明：直线 l 的方程可化为 y－35＝ax－15，
强 研 习
所以不论 a 取何值，直线 l 恒过定点 A15，35，又点 A 在第一象限，
重 点
所以不论 a 取何值，直线 l 恒过第一象限．
重
自 主
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 通过直线 2x＋y＋3＝0 与 x－y＋6＝0 的交点．
效 果
•
学
学
习 固 基 础
由方程组x2－x＋y＋y＋6＝3＝00， 得yx＝＝3－. 3，
业 测 试 速
达
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 恒过定点(－3,3)．
《直线的交点坐标与距离公式》课件
相交
点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点
坐标是两直线方程所组成方程组的解.
小试牛刀
1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(
A.(1,2)
B.(4,1)
C.(3,2)
D.(2,1)
x + y = 5,
x = 4,
解析:解方程组
得
y = 1.
x-y = 3,
因此交点坐标为(4,1).
另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.
解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标
为(6-x1,-y1).
∵点A,B分别在已知两直线上,
1 =
21 -1 -2 = 0,
∴
解得
(6-1 ) + (-1 ) + 3 = 0.
1 =
∴A
l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
跟踪训练
跟踪训练3 已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,
x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
)
2 + 3 + 8 = 0,
两条直线的交点坐标(原创经典公开课PPT课件
（3）解：解方程组
3x+4y-5=0 6x+8y-10 =0
此时方程有无数多个解 所以，两直线重合.
我们是有无数多 个解滴！！！
例2 判断下列各对直线的位置关系，
如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0,
l2:3x+3y-10=0;
（2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;
A2
A1
B2
B1C2 C1
A2 B2 C2
l1与l2重合 (B1 0, B2 0, ) l1与l2平行
A1 B1 A2 B2
l1与l2相交
2 .l1 l2 A1A2 B1B2 0
l1 // l2或l1与l2重合 A1B2 A2B1
探究：（1）求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交 点M的坐标
2
由已知： 1 3 1
2 4
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
1.过两直线x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的交点和原点
的直线方程是 : _y_=_x___
2.过两直线2x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的交点,
（3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
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(1)
ll1
: 2:
x 3
x
y
0 3y
10
0
答案
:
(1)
5 3
,
5 3
(2)
ll12
: :
3x 6x
y 2
y
4
0
0
答案 : (2)l1 / /l2
(3)
ll12
: 3x :6x
4y 8y
50 10
0
答案 : (3)l1与l2重合
练习: 判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出交点坐标.
(1)l1 : 2x 3 y 7, l2 : 4x 2 y 1;
x2
(2)l1 : 2x 6 y 4 0,
l2
:
y
3
; 3
答案
:
(1)l1与l2相交于(1176
,
13 8
);(
2)l1与l2重合;
例1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.
交点的直线方程:
你能想到哪些
l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0方. 法？
求出交点，用
解法1：解方程组
x－2y+2=0 2x－y－2=0
得
x=待2定系数法 y=2
∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x
能否不 求交点？
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x
表示什么图形 ?图形有何特点?
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
=0时，方程为3x+4y-2=0
l1
l2
y
=1时，方程为5x+5y=0
l3
=-1时，方程为x+3y-4=0
0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
一、共点直Biblioteka Baidu系方程:
答案 : (2)4x 3y 9 0
(3)求过点(4, 2)和两直线3x 4 y 2 0和 2 x y 2 0的交点的直线方程.
答案 : (3)2x 3y 2 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
经过直线l1 : A1x B1y C1 0与直线l2 : A2x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为:
( A1x B1y C1) ( A2x B2 y C2 ) 0
为待定系数
此直线系方程 少一条直线l2
一题多解
例3：求经过原点且经过以下两条直线的
来判定两直线的位置关系？ ( ABC 0)
l1 : A1x B1y C1 0
l2 : A2x B2 y C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2重合 l1与l2平行 l1与l2相交
例2判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出交点坐标 :
练习: 求下列各对直线的交点坐标 (1)l1 : 2x 3 y 12, l2 : x 2 y 4; (2)l1 : x 2, l2 : 3x 2 y 12 0;
答案 : (1)(36 , 4);(2)(2,3) 77
二、两直线位置关系的判断 (1)利用求交点的坐标的方法判断两直线的位置关系
唯一解
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
无穷多解
无解
ll11
, ,
l2相交 l2重合
l1, l2平行
(2)比较两直线的斜率与截距判断两直线的位置关系
k异
相交
k同b同
重合
k同b异
平行
(3)：如何根据两直线的方程系数之间的关系
M 解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 -2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
y 2
0
x
l1 l2
当变化时, 方程 3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形 ?图形有何特点?
当变化时,方程3x 4 y 2 (2x y 2) 0
一题多解
例3：求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解法2：设所求的直线方程是
x 2y 2 (2x y 2) 0
直线经过原点，将（0，0）代入上述方程，得
2 2 0,即 1
(x 2y 2) (2x y 2) 3x 3y 0
直线l1与l2的交点是A
点A的坐标是方程组
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 的解 0
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组
例1.求下列两条直线的交点坐标 l1 : 3x 4 y 2 0; l 2: 2x y 2 0
答案 : M(2, 2)
所求的直线方程为 x y 0
例4. (1)求经过两直线2x 3 y 3 0和x y 2 0 的交点,且与直线3x y 1 0平行的直线方程.
答案 : (1)15x 5 y 16 0
(2)求经过两直线2x 3 y 1 0和x 3 y 4 0 的交点,并垂直于直线3x 4 y 7 0的直线方程.
3.3.1 两条直线的交点坐标
思考 : 已知两条直线
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交,如何求这两条直线交点的坐标?
一、几何元素的代数表示
几何元素及关系 点A 直线l
点A在直线l上
代数表示 A(a , b)
l : Ax By C 0 Aa Bb C 0