求数列通项公式的常用方法(有答案)

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求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一.公式法例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。扌，故数列｛影｝是以沪知为首项，以扌为

公差的等差数列，由等差数列的通项公式，

畤“+心)|,

3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\

2 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2

｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数

a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛

b K ｝的通项公式；

解：•/ a fj = -2(n + I)

/. “] = -4 cl = -2 = 一昇一 3n

.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分

练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,

① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,

又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②

由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以12

2a 11==为首项，

以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31

()222n n a n =-。

评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113

222

n n n n

a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

1(1)22

n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解： 22(1)4

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--

23435T S n n n n n ∴=+=-- (2)

分当1,35811n T b ===--=-时

当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法〔逐差法〕、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法〔目的是去递推关系式中出现的根号〕、数学归纳法〔少用〕

不动点法〔递推式是一个数列通项的分式表达式〕、特征根法

二．四种根本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最根本方法。三．求数列通项的方法的根本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的根本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最根本的二个方法之一。 2．假设1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

那么

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+那么

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

求数列通项的几种基本方法(带答案)

数列通项公式的常见求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}n a 的通项公

式.

解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴912

3a a a =，

即)8()2(112

1d a a d a +=+d a d 12

=⇒

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵2

55a S = ∴211)4(2

55d a d a +=⋅⨯+

…………② 由①②得：531=

a ，5

3=d ∴n n a n 5

353)1(53=⨯-+=

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、累加法（()n f a a n n +=+1型） 2、已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。解：由条件知：1

1)1(112

1+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得 )1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-=-n

n a n 1

231121-=-+=∴

求数列通项公式的常用方法（有答案）

求数列通项公式的常用方法

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

练习. 已知数列

}{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

n a n 12-

评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

求数列通项公式11种方法

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式常用方法

1 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

2．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

例2.已知数列

}

{n a 中,

>n a 且

)(21n

n n a n a S +=

,求数列

}

{n a 的通项公式.

解:由已知

)(21n n n a n a S +=

得)(2111---+-=n n n n n S S n S S S ,

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种办法办法

总述：一．运用递推关系式求数列通项的11种办法：

累加法.

累乘法.

待定系数法.

阶差法（逐差法）.

迭代法.

对数变换法.

倒数变换法.

换元法（目标是去递推关系式中消失的根号）.

数学归纳法（罕用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）.

特点根法

二．四种根本数列：等差数列.等比数列.等和数列.等积数列及其广义情势.等差数列.等比数列的求通项公式的办法是：累加和累乘,这二种办法是求数列通项公式的最根本办法.

三．求数列通项的办法的根本思绪是：把所求数列经由过程变形,代换转化为等级差数列或等比数列.

四．求数列通项的根本办法是：累加法和累乘法.

五．数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数. 一.累加法

1．实用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最根本的二个办法之一. 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

双方分离相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例1 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.

例2 已知数列{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则

数列求通项公式常用方法与典型题目(附答案)

数列求通项公式常用方法与典型题目（附答案）

（一）题型一累加法

1．数列{}n a 中，11a =，(

)12,n

n n a a n n n N --=≥∈，则n

=___________．

2．已知数列{}n a 满足112a =

，121n n a a n n

+=++，则n a =__________．3．如果数列{}n a 满足：()1

111,22n n n a a a n --=-=≥，则n a =()

A ．121

n +-B ．1(1)21

n n --⋅+C ．21

n -D ．1

2n -4．在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛

⎫

=++ ⎪⎝

⎭

，则{}n a 的通项公式为()．

A ．ln n a n =

B ．()()1ln 1n a n n =-+

C ．ln n a n n

=D ．ln 2

n a n n =+-5．设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a =___________．6．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018a =()

A ．20182019

⨯B ．20172018

⨯C ．20162017

⨯D ．20182018

⨯（二）题型二累乘法

1．已知数列{}n a 满足11a =，()1231111

1231

n n a a a a a n n -=+

++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______．2．已知11a =，()()1n n n a n a a n N ++=-∈，则数列{}n a 的通项公式是()

数列通项公式的常用方法及例题

一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式

()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.

例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.

二、n s 与n a 的关系式法：⎩⎨

⎧≥-==-2

,1,11n S S n S a n n n 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .

例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=

+，其中11=a ，求n a .

三、累加法：()n f a a n n =--1，()的函数是一个关于n n f

例4：

12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a

四、累乘法：()1

n n a f n a -=，()的函数是一个关于n n f 例5：111,1

n n n a a a n -==

- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a

五、构造法：㈠、两边加常数：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形

式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

处理方法：设1n n a ka b λλ-+=++ 则1()n n b a k a k

λλ-++=+ b k λλ+=令 1

b k λ∴=- 111111n n n n b b a k a k k b a k k b a k --⎛⎫∴+

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-

两边分别相加得

111

()n

n k a a f n +=-=∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

求数列通项公式的11种方法

1n n +1](1)1

n ++-+

(2(1)3

(1)3

n n ++⨯+-+-+222(

313

()331)1

-++++

1n a +，32

11)5][2(!

n a a n n -⋅

⋅⋅-⨯

又

11a +12n n a a -=两式相减得

(1)n a +-.na 3

a a ⋅

⋅=

n =

。 a

数列通项公式的九种求法

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，2

55a S =．求

数列}a {n 的通项公式

解：设数列}a {n 公差为)0d (d >

∵931a ,a ,a 成等比数列，∴

912

3a a a =，即)d 8a (a )d 2a (112

1+=+，得d a d 12

∵0d ≠，∴d a 1=……………………①

∵2

55S a =

∴211)d 4a (d 24

5a 5+=⋅⨯+

…………②

由①②得：

53a 1=，53d =

∴n

5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再

写出通项。

二、累加法

求形如1()n n a a f n --=（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n

}中，a 1

=1，对任意自然数n 都有

(1)n n a a n n -=+

+，求n a ．解：由已知得

(1)n n a a n n --=

+，

121

(1)n n a a n n ---=-，……，

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113

222

n n n n

a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解：

22(1)4

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--

23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当1,35811n T b ===--=-时

当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n

求数列通项公式的十种方法

求递推数列通项公式的十种方法

1、递推公式中既有n S ，又有n a

分析：把已知关系通过11,1

,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的

方法求解。

例1.(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．

(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11．当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1．∴a n ＝2n －11．故填2n －11．

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1．

综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.

故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），

2n －1（n ≥2）.

例2 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。解：∵对任意n N +

∈有1

(1)(2)6

n n n S a a =++ ⑴ ∴当n=1时，11111

(1)(2)6

S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111