2020年中考二次函数与几何图形经典题型汇编【含中考相似三角形中考线段中的动点问题】

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2020年-2020年全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；

（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

2020年中考数学压轴解答题10 二次函数与线段关系及最值定值问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律

专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题

【类型综述】

图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．

【方法揭秘】

由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．

类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．

类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．

图1 图2

【典例分析】

【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数(含答案)

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数

一、单选题

1.（2020·辽阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

2.（2020·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x²+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx²+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）

A. a=b

B. a=b-1

C. a=b或a=b+1

D. a=b或a=b-1

3.（2020·广西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+ bt，其中结论正确的个数是( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4.（2020·铁岭模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：

①abc＞0；②a+b+c>0；③4a−2b+c>0；④当x>1时，y随着y的增大而增大.正确的说法个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5.（2020·东城模拟）若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是（）

2020中考数学压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)

2020中考数学压轴专题：二次函数与几何综合

1. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (m －2，0)和B (2m ＋1，0)(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交

于点C ，顶点为P ，对称轴为l ：x ＝1. (1)求抛物线解析式；

(2)直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与抛物线相交于两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(x 1<x 2)．当|x 1－x 2|最小时，求抛物线与直线的交点M 和N 的坐标；

(3)首尾顺次连接点O 、B 、P 、C 构成多边形的周长为L ，若线段OB 在x 轴上移动，求L 最小值时点O 、B 移动后的坐标及L 的最小值．

第1题图

解：(1)令y ＝0，得x 2－bx －c ＝0，

由根与系数的关系可知m －2＋2m ＋1＝b ，(m －2)(2m ＋1)＝－c ，又∵抛物线的对称轴为x ＝b

2＝1，即b ＝2，

∴m －2＋2m ＋1＝2，解得m ＝1， ∴c ＝3，

∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3y ＝kx ＋2

可得：x 2＋(k －2)x －1＝0，

∴x 1＋x 2＝2－k ，x 1x 2＝－1，

∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（2－k ）2＋4≥2，当k ＝2时，|x 1－x 2|取到最小值2，此时x 1＝－1，x 2＝1，

∴直线解析式为y＝2x＋2，

∴M(－1，0)，N(1，4)；

第1题解图

(3)如解图，设平移后的O、B两点为O′和B′，以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P，则有PB′＝P′O′，PP′＝O′B′，再将C点以x轴为对称轴对称到C′点，连接P′C′，O′C′，则有O′C′＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′，

2020年中考数学二次函数真题汇编(带答案)

2020年中考数学二次函数真题汇编

(名师精选全国真题，值得下载练习)

一、单选题

1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ，与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ，顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ，则t 的取值范围是（）

A. 6

＜

t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10

＜

t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D

【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，

∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，

∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12，故答案为：D ．

【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。

2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-

专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题 (原卷版)备战2020年中考数学之解密压轴解答题命题规律

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律

专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

【方法揭秘】

由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．

类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A 的坐标为(3, 4)，点B 是x 轴正半轴上的一个动点，设OB ＝x ，AB ＝y ，那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理，就可以得到y 关于x 的函数关系式．

类型二，图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示，AB ＝5，点O 沿直线EF 翻折后，点O 的对应点D 落在AB 边上，设AD ＝x ，OE ＝y ，那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．

图1 图2

【典例分析】

【例1】如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.

2020年中考二次函数与几何综合

二次函数与几何综合

模块一等腰三角形的存在性

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要分类讨论，做题的画法是：两圆一线。

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或在以A，B为圆心，AB长为半径的圆上（不与AB共线）。

解题策略：

（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算。（利用锐角三角形函数、相似三角形等知识解决）

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验。

【例题1】在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P 在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．

（1）求出该抛物线的解析式．

（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O 和C．现在利用图2进行如下探究：

①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E 和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．

②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．

【例题2】已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2），点E 为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合(压轴)题型(含详细解答)

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型

一、基础过关

1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；

(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

第1题图

2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．

(1)求A，C两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．

第2题图

二、能力提升

1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝1

OD ，求△PBE 的面积；

(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【精品】2020年中考数学专题训练试题★★专题十一二次函数与几何图形的综合题

5. 解：(1)将点A(－4，0)代入抛物线解析式中得 16－4b－4＝0，解得b＝3. ∴抛物线的解析式为y＝x2＋3x－4. 设点M的坐标为(m，m2＋3m－4)， ∵OM＝AM， ∴OM2＝AM2. 由勾股定理可得， m2＋(m2＋3m－4)2＝(m＋4)2＋(m2＋3m－4)2. 解得m＝－2， ∴点M的坐标为(－2，－6)；
15，7＋ 2
15)
5. 如图，已知抛物线y＝x2－2x的顶点为A，且与直线y＝－x＋2相交于B、C两
点．在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△BCG是等腰三角形？若存在，请
直接写出点G的坐标；若不存在，说明理由．【方法】
第一步：求点B，C的坐标；
第二步：设点G的坐标；第三步：利用勾股定理，分别用代数式表示BC2，BG2，CG2；
第5题图
5. 解：(1)将点A(－1，0)，B(2，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，
得
－－14－＋b2＋ b＋c＝c＝0， 0，解得
b＝1， c＝2.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.令x＝0，则y＝2，
∴点C(0，2)．
∵S△ABM＝S△ABC， ∴yM＝yC. 令y＝2，则－x2＋x＋2＝2.
为等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．解：设点C的坐标为(0，c)，
∵A(2，2)，B(4，0)，
根据勾股定理得，AB2＝(4－2)2＋22＝8，

2020年中考数学压轴专题：二次函数的中的线段问题(含答案)

2020中考数学压轴专题二次函数的中的线段问题（含答案）

1. 如图①，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A 、点B ，与y

轴交于点C .直线y ＝x ＋2经过点A ，交抛物线于点D ，AD 交y 轴于点E ，连接CD ，且CD ∥x 轴．

第1题图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，过点A 的直线交抛物线第四象限于点F ，若tan ∠BAF ＝1

，求点F 的坐标；

(3)在(2)的条件下，P 为直线AF 上方抛物线上一点，过点P 作PH ⊥AF ，垂足为H ，若HE ＝PE ，求点P 的坐标．

解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝5，即C (0，5)， ∵CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为5，

∴当y ＝5时，x ＋2＝5，解得x ＝3， ∴D (3，5)，当y ＝0时，x ＝－2， ∴A (－2，0)，

将A (－2，0)，D (3，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋5中，

得⎩

⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋5＝09a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎨⎧

a ＝－

b ＝32

，

∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋3

x ＋5；

(2)设F (t ，－12t 2＋3

t ＋5)，

如解图①，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则G (t ，0)，

第1题解图①

由tan ∠BAF ＝FG AG ＝1

2，得AG ＝2FG ，

即t －(－2)＝2×[0－(－12t 2＋3

2t ＋5)]，

化简，得t 2－4t －12＝0，解得t 1＝－2，t 2＝6， ∵点F 在第四象限， ∴t >0，

中考二次函数常见题型

中考二次函数常见题型包括：

1. 确定二次函数的表达式：根据已知条件，如顶点坐标、与x轴的交点坐标等，使用待定系数法求出二次函数的表达式。

2. 二次函数与一元一次方程的关系：根据二次函数图象与x轴的交点，求得一元二次方程的根。

3. 二次函数的增减性：根据二次函数的开口方向以及对称轴，判断函数的增减性。

4. 二次函数图象的平移：通过平移规则，将一个二次函数图象平移到指定位置，再根据平移后的顶点坐标求得新的二次函数表达式。

5. 二次函数的最值问题：根据二次函数的顶点和开口方向，求得函数的最大值或最小值。

6. 二次函数与几何图形的综合题：例如，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，探究四边形ABCP的面积的最大值等。

这些题型涵盖了中考中二次函数的主要考点，可以通过针对性的练习加以掌握。

2020年《二次函数》解答题中考题汇编

2020年《二次函数》解答题中考题汇编2 1．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；

（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．2．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形

为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c

经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；

（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．

2020年中考二次函数与几何综合

讲次标题课程内容

知识

章节等级

难度

星级

初三秋季代几综合模块一：等腰三角形的存在性

初中3级★★★★☆模块二：直角三角形的存在性

模块三：平行四边形的存在性

模块四：特殊平行四边形的存在性

模块五：全等三角形的存在性

模块六：相似三角形的存在性

模块七：二次函数与线段

模块八：二次函数与角

模块九：二次函数与圆

模块十：二次函数与面积

模块一等腰三角形的存在性

二次函数与几何综合

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要分类讨论，做题的画法是：两圆一线。

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或在以A，B为圆心，AB长为半径的圆上（不与AB共线）。

解题策略：

（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算。（利用锐角三角形函数、相似三角形等知识解决）

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验。

【例题1】在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P 在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．

（1）求出该抛物线的解析式．

（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O 和C．现在利用图2进行如下探究：

①设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使①DMF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由．

2020年中考数学专题复习：二次函数与几何综合练习

2020年中考数学专题复习：二次函数与几何综合

1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣

x 2+bx+c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC 上方的抛物线上有一动点P ．

①如图1，当点P 运动到某位置时，以AP ，

AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；

①如图2，过点O ，P 的直线y=kx 交AC 于点E ，若PE ：OE=3：8，求k 的值．

2．如图在平面直角坐标系中顶点为点M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移1个单位得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在抛物线上，且横坐标为3．

()1写出以M 为顶点的抛物线解析式．

()2连接AB ，AM ，BM ，求tan ABM ∠；

()3点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当ABM α=∠时，求点P 坐标．

3．如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，经过B 、C 两点的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使①CBE 的面积有最大值；

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C 、

P 、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点

2020中考数学试题分类汇编知识点20 二次函数几何方面的应用

知识点20 二次函数几何方面的应用

1. （2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x 2

+2x-3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE 、DF ，则DE+DF 的最小值为______

第17题图

【答案】

【解析】点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，所以DE 、DF 是△PBC 的中位线，DE=12PC ，DF=1

PB ，所以DE+DF=

(PC+PB)，即求PC+PB 的最小值，因为B 、C 为定点，P 为对称轴上一动点，点A 、B 关于对称轴对称，所以连接AC ，与对称轴的交点就是点P 的位置，PC+PB 的最小值等于AC 长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，

C(0,-3)，AC=DE+DF=

(PC+PB)=

【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题

2. ．（2018江苏淮安，14，3）将二次函数y=x 2

-1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表

达式是 . 【答案】y=x 2

【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.

解：. 由平移规律，直线y=x 2

-1向上平移3个单位长度，则平移后直线为y=x 2

-1+3 即y=x 2

故答案为y=x 2

+2．

【知识点】二次函数图象与几何变换

3. （2018山东省泰安市，17，3）如图，在ABC ∆中，6AC =，10BC =，3

tan 4

2020年中考数学压轴专题：二次函数的中的线段问题(含答案)

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1. 如图①，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A 、点B ，与y

轴交于点C .直线y ＝x ＋2经过点A ，交抛物线于点D ，AD 交y 轴于点E ，连接CD ，且CD ∥x 轴．

第1题图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，过点A 的直线交抛物线第四象限于点F ，若tan ∠BAF ＝1

，求点F 的坐标；

(3)在(2)的条件下，P 为直线AF 上方抛物线上一点，过点P 作PH ⊥AF ，垂足为H ，若HE ＝PE ，求点P 的坐标．

解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝5，即C (0，5)， ∵CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为5，

∴当y ＝5时，x ＋2＝5，解得x ＝3， ∴D (3，5)，当y ＝0时，x ＝－2， ∴A (－2，0)，

将A (－2，0)，D (3，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋5中，

得⎩

⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋5＝09a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎨⎧

a ＝－

b ＝32

，

∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋3

x ＋5；

(2)设F (t ，－12t 2＋3

t ＋5)，

如解图①，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则G (t ，0)，

第1题解图①

由tan ∠BAF ＝FG AG ＝1

2，得AG ＝2FG ，

即t －(－2)＝2×[0－(－12t 2＋3

2t ＋5)]，

化简，得t 2－4t －12＝0，解得t 1＝－2，t 2＝6， ∵点F 在第四象限， ∴t >0，

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