73三元一次方程组及其解法
七年级数学下册三元一次方程组解法
七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。
解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。
在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。
二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。
2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。
三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。
2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。
3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。
四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。
五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。
对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。
希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。
7.3三元一次方程组及其解法(2)
7.3三元一次方程组及其解法（2）课型：新授课主备：程相云审核：李慧时间:2015.1学习目标：1. 会用加减消元法熟练地解三元一次方程组。
2. 进一步体会消元思想，并能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
学习过程：一、板题示标二、自学指导认真看课本P39- 40页内容，将不理解的地方做上标记，完成并思考以下几个问题：1、解三元一次方程组的基本思路是，即将三元一次方程组转化为二元一次方程组。
2、3x+4y-3z=3 三个方程中未知数的系数都不是1或-1，如何消2x-3y-2z=2 去未知数比较简单？5x-3y+4z=-223、上面的三元一次方程组先消去哪个未知数比较简单？能否先消去Z或X？4、总结一下解三元一次方程组的方法。
三、自学检测1、解下列方程组x+y-z=2 x+y-z=0(1) 4x-2y+3z+8=0 (2) 2x-y+3z=2x+3y-2z-6=0 x-4y-2z+6=0四、教师点拨1、教师公布答案，同桌互改。
2、教师总结归纳五、当堂训练1、解下列方程组3x+y=6 x+y+z=-1x+2y-z=5 4x-2y+3z=55x-3y+2z=4 y-z=8-2x2x+3y=5 2x-3y-z=-43y-4z=3 x+2y+2z=64z+5x=7 3x+2y+z=112、某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人，三个年级各有多少人？六、拓展延伸1、已知方程组x-2y+3z=0 求x:y:z的值2x-3y+4z=0。
7.3 三元一次方程组及其解法
z=13
原方程组的解是
x6 y 20
2019/5/17
z13
8
x y14 ①
9
yz7 xz19
② ③
还可以用什么方法呢?
解:①+②+③得:2(x+y+z)=-2 x+y+z=-1④
④-①得:z=-1-(-14)=13 ④-②得:x=-1-(-7)=6
分析： 这个问题中包含有 三 个等量关系： 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
2019/5/17
3
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
X+y+z=12 ①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
观察方程①、③你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，像这样的方程叫做三元一次方程
2019/5/17
4
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们 把这三个方程合在一起，写成
｛X+y+z=12 X=4y X+2y+5z=22 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含 未知数的项的次数都 是1，像这样的方程组叫做 三元一次方程组
④-③得:y=-1-19=-20
原方程组的解是
x6 y 20
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z13
例题3 解方程组
3x2 y5z2 x2 yz6
① ②
4x2 y7 z30 ③
解:①+②得: 4x+4z=8,即x+z=2 ④
三元一次方程组及其解法(七年级_拓展)
• 学习目标 • 1.了解三元一次方程组及其解法，并能根据 三元一次方程组的具体形式选择适当的解 法。 • 2.会利用三元一次方程解决实际问题。
三元一次方程组的概念
• 由三个一次方程组成的含有三个未知数的 方程组，叫做三元一次方程组。 • 满足三元一次方程组的条件是： • （1）方程组中只含有三个未知数； • （2）含有未知数项的次数是1； • （3）方程组中共有三个整式方程；
a=3 代入①，得 b=-2 C=-5
｛
所以
｛
a=3 b=-2 c=-5
三元一次方程的实际应用
小明手头有12张面额分别是1元、2 元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸 币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？
此题是否可以利用二元一次方程组解呢？
元张数+2元张数+5元张数=12张 分析：本题数量关系1 ____________________
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= 3 因此，三元一次方程组的解为
｛
X=51 Y= 3 Z=-2
解方程组 a－b＋c= 0
｛
4a＋2b＋c=3 25a＋5b＋c=60
① ② ③ 把
解：
②－①， 得 a＋b=1 ④ ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1 ｛ 4a＋b=10 a=3 解这个方程组，得｛ b=-2
｛
例1 解三元一次方程组
3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③ 解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x＋4z=7 ｛11x＋10z=35 X=5 解这个方程组，得 ｛Z=-2
7.3三元一次方程组及其解法---加减消元
说说你的 收获
(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法 (2) 解三元一次方程组的基本思想是消元, 关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点,选准消元对象, 定好消元方案. (3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
【方法归纳】
根据方程组的特点，我们有：
类型一：有表达式，用 代入法 . 类型二：缺某元， 消某元 .
x y 3 y z 5 z x 4
① ② ③
例2 也可以这样解:
①+②+③,得 即， ⑤－①,得 ⑤－②,得
2( x y z) 12
④ ⑤
x yz 6
z3
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1 y 2 z 3
例1 解三元一次方程组
3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③ 解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x＋4z=7 ｛11x＋10z=35 X=5 解这个方程组，得 ｛Z=-2
｛
分析：方程①中只 你还有其它解 含x,z,因此，可以由 法吗？试一试， ②③消去y，得到一 并与这种解法 个只含x，z的方程， 进行比较. 与方程①组成一个 二元一次方程组
7.3.2三元一次方程组及其 解法
-----加减消元法
复习提问
1、用代入消元法如何解三元一次方 程组？ 2、用加减消元法解二元一次方程组 的步骤是什么？
例2：解方程组：
3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
三元一次方程组及其解法
三元一次方程组及其解法
三元一次方程组顾名思义就是由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
从上面的例子中，我们对三元线性方程组的定义有了详细的了解，知道什么是三元线性方程组。
接下来具体研究如何求解三元线性方程组。
同学们可以回忆一下，我们在学习二元一次方程组的时候，用了代换消元法或者加减消元法来解二元一次方程组。
那么现在三元线性方程组的解和二元线性方程组的解一样吗？
答案时肯定的，消元时解决多元一次方程组的根本思想，通过消元我们将多元一次方程组转化为二元一次方程组或者一元一次方程求解出其中一个或者两个未知数，然后再根据求出的解代入原方程组求出其他的未知数。
7.3 三元一次方程组及其解法
MING XIAO KE TANG
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排三种农作物
的种植面积，才能使所有的职工都有工作，而且投入的资金正好够
用？ 解：设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，z公顷种蔬菜，依题意，
得
x＋y＋z＝51，
x＝15，
4x＋8y＋5z＝300，解得y＝20，
x＋y＋2z＝67.
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MING XIAO KE TANG
数学 第7章 一次方程组
*7.3 三元一次方程组及其解法
MING XIAO KE TANG
01 基础题
知识点1 三元一次方程组及其解法
1．下列是三元一次方程组的是( D)
2x＝5
A.x2＋y＝7 x＋y＋z＝6
x3－y＋z＝－2 B.x－2y＋z＝9
x－y＝1，
3．三元一次方程组y－z＝1， 的解是( D ) x＋z＝6
x＝2
A.y＝3 z＝4
x＝2
B.y＝4 z＝3
x＝3
C.y＝2 z＝4
x＝4
D.y＝3 z＝2
MING XIAO KE TANG
x＋y＝5，
4．【整体思想】(2018·南阳南召县期中)如果y＋z＝7， 那么x＋y x＋z＝6，
z＝16.
答：安排15公顷种水稻，20公顷种棉花，16公顷种蔬菜．
MING XIAO KE TANG
A．50元
B．100元
C．150元
D．200元
MING XIAO KE TANG
02 中档题
5
7．已知
x－6y
＋3(4y－1)2＋
3x－6z
＝0，则代数式x＋y＋z的值
73三元一次方程组及其解法
学案第16页 学案第16页 学案第16页 学案第16页 学案第17页 学案第17页 学案第17页
引导问题1.1；
引导问题2.1； 引导问题2.2；
落实“学、讲、练、 悟”中的“讲与悟”，
引导问题2.3； 培养学生的能说会道
引导问题2.4（1）；能力；了解自主学习、 引导问题2.4（2）；小组交流的效果 .
特点: ①共含有三个未知数;
②含未知数的项的次数都是1.
③共含有三个方程.
知识点2 三元一次方程组的解及其解法
三元一次方程组
求出第三个未知数的值
二元一次方程组
求出第二知识点3 解特殊形式的方程组
?x? y ? 3
? ?
y
?
z
?
5
?? z ? x ? 4
引导问题2.4（3）；
题型一 三元一次方程（组）的概念 题型二 三元一次方程组的解及其解法 题型三 解特殊形式的方程组
完成洋葱数学上的当堂检测试题 注：过程完成在闯关卡上
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通过本节课的学习，掌握了哪些知识、数学思想方法和解题方 法？请进行回顾、内化、升华——提炼数学思想、方法；梳理数学 知识点、考点、典型题型；盘点收获——新发现、新体验、新感 悟……
1.知识体系
2.数学思想方法
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精英本46-47页习题
华师版数学七年级下册§7.3.1 》
解三元一次方程组
1.了解三元一次方程组的概念，并会解简单的三元一次方程 组。 2.利用方程组的结构特点化简系数。
1.阅读教材37页-39页，在教材上用双色笔勾、 画、圈、点，思考云图中提出的问题，完善空白部分；
7.3三元一次方程组及其解法
二元一次方程组
消元
一元一次方程
（2）消元方法： ① 代入法（代入消元法） ② 加减法（加减消元法）
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元
的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元
纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？ 有几个相等关系？
方程个数一定是三个
x y 16 ② 3x y 2
方程中含有未知数的 个数是三个
×
×
x 2 y z 3 ③ 3 x y z 2 2 xy y z 11
x+y =20
④
y+z=19
x+z=21
方程组中一共有 三个未知数
方程中含有未知数的 项的次数都是一次
x z 1
2.
化“二元”为“一元” 。
类型2：有一个二元一次方程组成
解法二：二元一次方程代入另两个方程消 由③得，x=z+4 ④ 去x
把④代入①、②得， （z+4)+y+z=2 ⑤ (z+4)-y+z=0 ⑥ 化简得， 2z+y=-2 ⑦
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸 币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币
数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
分析
（1）这个问题中包含有 三 个未知数 ： 1元、2元、5元纸币的张数. （2）这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张， 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍， 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.
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,
z
3 2
代入②，得
5 y ( 3) 0
2
2
y=1
所以，原方程组的解是
x y
5 2 1
z
3
2
课堂练习
x+y+z=12, ①
x+2y+5z=22, ②
x=4y.
③
x 8
y
2
z 2
3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③
x5 zy132
三元一次方程组
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
求1元、2元、5元纸币各多少张。
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
①、1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 ②、1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元 ③、1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ②
x=4y
交流探究
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
结
1.化“三元”为“二（也就是消去一个未知数） 元 2.化”“二元”为“一元”
交流探究 例1 解方程组
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ②
x-z=4. ③
1 . 化“三元”为“二元”
7.3 三元一次方程组及其解法
目标展示：
1、了解三元一次方程组的定义； 2、掌握简单的三元一次方程组的 解法； 3、进一步体会消元转化思想．
自主探究
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。 求1元、2元、5元纸币各多少张。 探究： （1）这个问题中包含有 三个相等关系：
求出第三个未知数的值
二元一次方程组
求出第二个未知数的值
一元一次方程
求出第一个未知数的值
当堂训练，达标测评
解三元一次方程组
x y 3
1、
y
z
5
z x 4
3x y z 4 2、2x 3y z 12
x y z 6
解下列三元一次方程组：x 2y 9Fra bibliotek⑴ yx3
⑵
2z x 47
③
& 合作交流
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=2②2
x=4y
③
观察方程①、②与二元一次方程（组）比较有什 么相同点？有什么不同点？请回答。
问题：1、什么叫三元一次方程？
2、什么叫三元一次方程组？
1、都含有三个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三元 一次方程
2、含有三个未知数，每个方程中含未知 数的项的次数都是1，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做三元一次方程组
x y 7 y z 8 z x 13
说说你的 收获
(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法 加减法比较常用.
(2) 解三元一次方程组的基本思想是消元, 关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点,选准消元对象, 定好消元方案.
(3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
拓展探究
附加题： 若｜x + y -｜ 1 + (y + z - 2) 2 +｜x + z - 3｜= 0求x、 y、 z的值。
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22 元1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍 （2）这个问题中包含有 三个未知数: 1元、2元、5元纸币的张数
自主探究
你能根据等量关 系列出方程吗
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④ x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
5
2
把 x= 2
代入③，得
5z4
2
z3 2
① ②
③
把x
5 2