光的电磁理论基础

数为：
Ex A cos t
E y A cos t 4
求合成光波光矢量末端的轨迹。
1-3 光在介质界面上的反射和折射
本节主要内容 光入射到两种不同介质的分界面上时，会发 生反射和折射。
反射定律和折射定律——光的传播方向
菲涅耳公式——光的振幅、位相和偏振态
设有一个简谐运动，沿Z轴传播，考虑Z=0处的振动：
E x Ax cost x E y Ay cost y
合振动：
E Ex E y 2 2 cos sin 2 A Ay Ax Ay
2 x 2 x
2 Ey
y x
7、偏振光的分析
E (r , t )
E (r )
a r
a r
exp ikr 0 exp it
exp ikr 0
1-2 光波是电磁横波
1、光在真空中的传播速度
C 1
0 0
3 108 m / s
式中，0和0分别是真空中的介电常数和磁导率。
2、折射率
物质方程
场量之间不独立，物质方程建立起它们之间的联系。
D εE B μH j σE
电磁场的传播
从麦克斯韦方程组我们可以得到两个结论：
第一，任何随时间变化的磁场在周围 空间产生电场 第二，任何随时间变化的电场在周围 空间产生磁场
电磁场的传播
电场和磁场紧密相联，它们互相激发形成统一的 场——电磁场。交变电磁场在空间以一定速度 由近及远的传播形成电磁波。
t z E ( z , t ) A cos2 0 T
E ( z, t ) A cost kz 0
2 E ( z, t ) A cos vt z 0
波的传播方向，“-”表示z轴正方向；“+”表示z轴负方向。
球面波的近似 —— 球面波在某一平面上的复振幅分布
菲涅耳近似
a x2 y2 E ( x, y ) exp ik z z 2z

远场近似
E ( x, y )
a exp ikz z
柱面波
波函数 复振幅 光学实现
通常利用单色平面波照明一个细长狭缝来获得接近于理想 化的柱面光波。
光学实现
• 高单色的激光平行光束光源放置在透镜的焦点上
• 光源位于无穷远太阳光
复振幅
为运算方便起见，我们把平面简谐波的波函数写成复数形式：
E ( z, t ) Re Ae i t kz 0


省略掉表示实部的符号Re
E ( z, t ) A exp it kz 0 A exp ikz 0 exp it
其中不含时间的空间分布因子称为复振幅，它描述了波场 的振幅及它的相对相位的空间分布，也称为波场分布。
E ( z ) A exp ikz 0
三维平面简谐波
波函数
E ( p, t ) A cos t k r 0


复振幅
E ( p) A exp k r 0
+y方向。
菲涅耳公式的表述
E1s sin(i1 i2 ) rs E1s sin(i1 i2 )
rp E1 p E1 p tan(i1 i2 ) tan(i1 i2 )
ts
tp E2 p E1 p
E 2 s 2 cos i1 sin i2 E1s sin(i1 i2 )
能量守恒定律
R T 1
若入射光为自然光，其S分量和P分量的振幅相等，有：
1 1 2 R ( Rs R p ) (rs rp2 ) 2 2
• 正入射时，R的值最小 • 随着i的增大，R逐渐增大 • 掠入射时，入射光被完全反射。
小角度入射的反射率和折射率
n 2 n1 R n n 1 2
2
T 1 R
n2 n1
4n 1 n 2
2
【例1】求光以小角度从空气入射到玻璃界面上的反射率和 透射率。试据此推算眼镜片的反射损失。（提示：眼镜片 有两个界面）
自然光
n1 n2
i
部分偏振光
部分偏振光
真空中光速对介质中光速的比值为折射率。
c 1 0 0 n r r v 1
光学中使用的介质多是弱磁性材料， r 1 通常取相对磁导率
n r
3、光波是横波
电磁波是横波，E、B都垂直与传播方向K； E、B互相垂直，并且E、B、K组成右手系； E、B同位相，振幅比为在该介质中的传播速度； 我们通常用电矢量E代表光波，称为光矢量。
反射定律
n
A B
I
-I″
P
O 1. 入射光线、反射光线和分界面法线三者 在同一平面 2. 入射角和反射角绝对值相等，符号相反
Q
n‫״‬
折射定律
n 1. 入射光线、折 射光线和分界 面法线三者在 同一平面 O 2. 入射角的正弦 Q 和折射角的正 弦之比与入射 角的大小无关， 而与两个介质 折射率有关。

讨论：内反射（n1 > n2）即光从光密介质射入光疏
介质

ts和tp都大于1，并都随 入射角i的增大而增大。 对于反射光波，当入 射角i ic时，rp和rs的 模值为1，发生了全反 射

讨论：内反射（n1 > n2）即光从光密介质射入光疏
介质

ts和tp为正值，入射波和 折射波之间无位相差。
电磁场的波动方程
电磁场的传播具有波动性。电场强度E和磁感应强度B都满足 波动方程：
1 2 2 2 2 v t
2 2 2 2 2 2 x y z
2
是拉普拉斯算符；
是空间点（r）,时间（t）的函数；
v为波动的传播速度。
平面波的波函数
沿z轴以速度v传播的一维平面波函数为：
球面波的物理意义与光学实现
物理意义
coskr t 0 cons tan t kr cons tan t r cons tan t
对应的曲面是以坐标原点为球心，r为半径的球面，即等相 面是球面，故这种光波称为球面光波
光学实现
• 在各向同性的均匀介质中，理想点光源发出的光波为 球面波。 • 实际中，以平面波投向小孔，从小孔发出的波面可看 成是近似球面波。

对于反射光波，rp和rs 的正负号的结论与外反 射的情况得到的结论相 反。
半波损失
反射率和折射率（光的能量）

定义
反射光、折射光的能流与入射光的能流的比值为反射率和 透射率，分别记为R和T。
W1ⅱ E1 2 R= = 2 = r2 W1 E1
2 W2 n2 cosi2 E 2 n2 cosi2 2 T t 2 W1 n1 cosi1 n1 cosi1 E1
光的电磁理论基础
1－1 光波场的描述
本节主要内容
Maxwell 波动方程 方程的解 （各种形式的波）
方程组
各种形式的波的数学描述
Maxwell方程组－电磁场的普遍规律
积分（用于考察介质中一定空间范围里的电磁场量）和微分 （考察空间给定点处的场量）两种形式。
微分形式的Maxwell方程组为：
D B 0 B E t D H j t
E ( z , t ) A cos t z

v

平面波的物理意义与光学实现
物理意义
2 cos vt z 0 cons tan t kz cons tan t z cons tan t
我们把某一时刻位相为常数的位置的轨迹叫做等相面或 波面 。此波的等位相面是平面（故称平面波）。


讨论：外反射（n1 n2）即光从光疏介质射入光密
介质

ts和tp为正值，入射波和折射波之间 无位相差。

不管i为何值，rs为负，即E1s和E1s’ 异号。这表示对于S波，在界面上 反射光振动相对于入射光振动总有 的位相跃变。 对于rp 情况稍为复杂一些。当入射 角iB满足 i1＋i2＝90o时，rp＝0。P 分量没有反射光；当0 i1 iB时，rp 为正，无相移；当iB i1/2时，rp 为负，相移为。
v
T
[例1] 在真空中传播的一列平面电磁波，用国际单位 量度时其电场可以表示为
14 1 E x 0 E y 0 E z 10 V / m cos 10 s t

2

x c 2
试求该电磁波的频率、波长、振幅、周期和初位相。 [例2] 试证简谐波函数是波动方程的解。
不同偏振态是由两个方向相互垂直的振动分量之间 的位相关系决定的。
固定的位相关系——完全偏振光。

线偏振光：同相或反相； 圆偏振光：两振动的振幅相同，位相差为/2； 椭圆偏振光：其它。
随机的位相关系——自然光。
[例3] 有两列沿Z轴方向传播的圆频率为的线偏振
光。它们的光矢量分别为X和Y轴方向振动，其波函
I P
I′
n‫״‬
菲涅耳公式
积分形式的 Maxwell方程组 反、折射定律 菲涅耳公式
边值关系
蝌 D ?ds Q 蝌 ?dl E 蝌 B ?ds 0 蝌 ?dl I + H
B、D的法向分量连续
ds 锥B t
E、H的切向分量连续
ds 锥D t
坐标选取

取界面的法线为z 轴，方向从介质1 到介质2；


球面波
波函数 复振幅 分析：
1. a/r表示振幅，不再是常量，与离开波源的距离r成反比；
E (r , t ) a exp ikr 0 exp it r
E (r )
a exp ikr 0 r
2. 波的传播方向：“-”代表会聚球面波；“+”代表发散球面波。

x轴在入射面内， 界面；
y轴与入射面垂直， 方向垂直纸面向外。

局部直角坐标系
将入射的自然光分解为振动面平行于入射面的线偏 光（平行分量P）和振动面垂直于入射面的线偏 光（垂直分量S），分别讨论两个分量在反射、 折射时的复振幅关系。
P分量、S分量和相应的传播方向构成坐标系； 按P、S、k的顺序组成右手正交系； 规定S正方向沿
2 cos i1 sin i2 sin(i1 i2 ) cos(i1 i2 )
讨论：外反射（n1 n2）即光从光疏介质射入光密
介质

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ts和tp相差不大，都随入射角i的增大 而减小。

当i＝0时， ts＝ tp＝0.8；当i＝90o 时， ts＝ tp＝0，没有折射光波
当i＝0时，rs＝rp＝0.2，而当i增大 时， rp起初随i的增大而减小，当入 射角iB满足 i1＋i2＝90o时，rp＝0。 经过iB后，rp随i增大而增大， 直到i ＝90o时， rp＝1。 rs则随i的增大而单调地从0.2增大到 1。
3、光波是横波
4、能流密度矢量
电磁波的能量传递用能流密度矢量（坡印廷矢量）S表示：
S EH
EH
物理意义：

0 2 S EH n E 0
大小：单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的能量；
方向：波能量传播方向。
5、光强
在光学中，坡印廷矢量是一个非常重要的量，即 光强。
大小：瞬时光强 方向：光能量的传播方向。
波动具有时空双重周期性
表1 描述波动时空周期性的物理量
空间性物理量 备注 时间周期

1 T
时间性物理量 符号 T γ ω 名称 周期 频率 圆频率 符号 λ f k
名称 波长 空间频率 波数
备注 空间周期
f 1

2
k 2f
单色光波的时、空周期性紧密相关，彼此通过传播速度联系：
光探测器接收的是光强平均值，即：
I S
相对光强
I A2 E E *
6、光的偏振态
在垂直与传播方向的平面内光矢量的各种振动状 态为光的偏振态。
光
完全偏振光
线偏振光 圆偏振光
非偏振光 （自然光）
椭圆偏振光
部分偏振光
7、偏振光的分析
研究基础——波的叠加原理 具体分析——两个同频率，振动方向互相垂直的光 波的叠加