第4章 曲线曲面讲解

由连接点两边各两个顶点所构 成的平行四边形对角线须平行且 相等，位于同一平面。
三 B样条曲线
B样条的概念是由Schoenberg（舍恩伯格）于40年代提出； B样条方法是在保留Bezier方法的优点同时，克服其由于整体不 具有局部性质的缺点，以及解决在描述复杂形状时带来的连接 问题下提出来的; B样条曲线具有与Bezier曲线相类似的功能，它的特点在于多项 式的次数可不受控制点数目的限制，能独立选择次数并具有局 部构形性。
二 Bezier曲线
Bezier是法国雷诺汽车公司Bezier先生于1962年提出的一种曲线 曲面构造方法。 Bezier曲线不通过给定的中间离散点，但是设计人员可以容易 地通过改变这些离散点的位置来控制和改变拟合的Bezier曲线 的形状。因此，给出的离散点又称为控制点。Bezier曲线适宜 用于象汽车车身等自由形状的构形设计。
曲线光滑地随着该折线的变化而变化。通过改动控制点的配置， 控制Bezier曲线的变化趋势。对Bezier曲线，改变一个控制点的 位置，将影响整条曲线的形状，所以总控制点数目不宜过多。
Bezier曲线拼接 Bezier曲线函数也是多项式，其次数为段内控制点数目减1。当 控制点数目较多时，宜分段拟合。两条三次Bezier曲线P(t)， Q(t)，进行拼接：
主法矢与曲率
曲率 k(s) p(s) T(s) lim T s0 s
曲率表示切向量沿曲线的变化率，它描述了曲线在某点的
弯曲程度。曲率越大，曲线在此点弯曲地越厉害。曲率的倒数
称为曲率半径。
曲率的计算：
k(s) T(s)
dT ds

d2P ds2

(
d2x ds2
Bezier曲线性质 零次Bezier曲线就是一个顶点P0；一次Bezier曲线就是连接两
个顶点P0与P1的直线；二次Bezier曲线是以P0和P2为端点的抛
物线。
1 3 3 1 x0 y0
下面以三次为例说明： x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
3
6
3
0
几何连续——判断连接点处曲线方程相对于弧长s的各阶导数连
续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶几何连续，记为 G n
曲线的参数连续性与参数的选择有关；而几何连续性不依赖于 参数的选取，而是反映曲线的具体几何特征。
连续性定义
在曲线曲面造型中，一般仅讨论 C 0、C1、C 2 和 G0、G1、G2
连续。 当曲线具有C0连续时，表示曲线在连接点处位置矢量相同； 当曲线具有C1连续时，表示前后两个曲线段在连接点处切矢方 向相同，大小相等； 当曲线具有C2连续时，表示曲线在连接点的二阶导矢相同； G0的含义同C0；G1表示曲线在连接点切矢方向相同，但大小可 能不同；G2表示曲线在连接点处具有相同的曲率．
B样条曲线拟合的图例
1 3 3 1 xi2 yi2
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
1

3
6
3
0

xi
1
yi
1

6 3 0

1
4
3 1
0 0

xi xi1
yi

yi1
端点位置矢量
1 P(0) 6 (P0 4P1 P2 )
应用领域
一 曲线、曲面的参数表示
1.曲线曲面的数学表示形式
在数学上，曲线曲面常采用显式、隐式和参数几种表示形式。 *显式表示 y f (x)
显式表示不能表示封闭或多值曲线，如圆等。 *隐式表示 F(x, y, z) 0
可以表示多值曲线，如抛物线、椭圆等，但仍存在曲线与坐 标轴的选取相关，不便于计算与编程等。 *参数表示
BiN (t)－ 混比函数，反映第i个点对拟合点的影响，它定义为
BiN
(t)

N! i!(N
i )!
t i (1
t )N i
Bezier曲线方程
当控制点数为4时，拟合的Bezier曲线是三次多项式函数。将混合
函数按照定义计算式展开，经整理可得三次Bezier曲线计算式：
N
P(t ) Pi BiN (t ) i0
BiN
(t)

N! i!(N
i )!
t i (1
t )N i
B03 (t )
3! t 0 (1 t )3 0!3!

t 3
3t 2
3t
1
B13 (t )
3! t 1 (1 t )2 1!2!

3t 3
6t 2
3t
B23 (t )
3! t 2 (1 t )1 2!1!

3t 3
3t 2
B33 (t )
3! t 3 (1 t )0 3!0!

t3
1 3 3 1 x0 y0
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1

3
6
3
0

x1
y1

3 3

1
0
0 0
0 0

x2 x3
y2 y3

2.参数曲线定义及切矢量、主法矢和曲率
一条用参数表示的三维曲线是一个有界的、连续的点集，可表
示为 x x(u), y y(u), z z(u)
0u1
曲线的端点在u=0、u=1处，曲线上任一点的位置矢量（坐标） 可用矢量P(u)表示 P(u) [x(u) y(u) z(u)]
切矢量
)

(
d2y ds2
)

(
d 2z ds2
)
３.曲线段间连续性定义
在实际应用中，曲线常常以分段形式定义，或由多段曲线拼合 而成。关于各曲线段在连接点处的连续性有两种判断标准：参 数连续和几何连续。
参数连续——判断连接点处曲线方程相对于参数u的各阶导数
连续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶参数连续，记为 C n
x(t)
y(t) 3t 2
2t
1
0

3
6
3
0

x1
y1

3 3

1
0
0 0
0 0

x2 x3
y2 y3

1 3 3 1P0
P0
P(1) 3
2
1

0
3
6
3
0

P1


0
0
3

3
将曲线或曲面上的点的坐标表示为某参数的函数。
x x(u), y y(u), z z(u)
1.曲线曲面的数学表示形式
与曲线曲面显式和隐式表示法相比较，参数表示法具有如下 优点： 可方便的表示三维曲线，并有更多的自由度来控制曲线曲面形 状； 参数表示的曲线曲面与坐标系选择无关； 在参数表达式中使用切矢量来代替非参数方程中的斜率，便于 处理斜率为无穷大情况； 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而便于计算机计算与编程。
( xi2 , yi2 ), ( xi1 , yi1 ),－ 相邻四个控制点的坐标值。
B样条曲线方程 B样条曲线与Bezier曲线的差别 – Bezier曲线的次数等于控制顶点数减1，B样条曲线的次数
与控制顶点无关； – Bezier曲线的基函数是多项式函数，B样条曲线的基函数是
分段多项式； – Bezier曲线：参数多项式曲线；B样条曲线：参数样条曲线 – Bezier曲线：缺乏局部性；B样条：具有局部性 最常使用的B样条曲线是三次B样条曲线。对三次B样条曲线来说， 任意插值点的坐标值只与相邻四个控制点坐标有关；如果改动 任意某个控制点的坐标，其对曲线形状影响波及的范围只是前 后各三个小段跨度。
曲线与曲面
在CAD中经常要处理复杂的自由形状曲线和曲 面，特别是在汽车、航空航天、船舶、轻工等 领域的CAD中，自由曲线和曲面设计是一个重 要问题。CAD技术采取的基本做法是： 给出一系列离散点的空间坐标； 将上述离散点分段，并选择某个函数模式计 算每一小段内任意点的坐标。 上述计算过程又称为拟合或逼近，所选择的函 数模式则称为拟合函数或逼近函数。
P1

3 3

1
0
0 0
0 0

P2 P3


P2 P3

Bezier曲线性质 凸包性(Convex Hull) Bezier曲线恒位于其控制顶点所形成的凸 包内 几何不变性 Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点 位置有关，而与坐标系的选择无关。在几何变换中，只要直接对 特征多边形的顶点变换即可，无需对曲线上的每一点变换。 全局控制性 将给出的控制点循序连接可组成一折线，Bezier
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
1

3
6
3
0

xi
1
yi
1

6 3 0

1
4
3 1
0 0

xi xi1
yi yi1

B样条曲线的性质
端点切矢量
P(0)

1 2
( P2

P0 )
P(1)

1 2
B样条曲线方程
三次B样条插值点坐标的计算式是：
1 3 3 1 xi2 yi2
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
1

3Байду номын сангаас
6
3
0

xi
1
yi
1

6 3 0

1
4
3 1
0 0

xi xi1
yi yi1

t－ 参变量，变化范围为0~1；
方向分别与特征多边形的首、末两边重合，其大小为首末两边
长的3倍。
1 3 3 1 x0 y0
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1

3
6
3
0

x1
y1

3 3

1
0
0 0
0 0

x2 x3
y2 y3

1 3 3 1 x0 y0
1 P(1) 6 (P1 4P2 P3 )
B样条曲线的性质
1 P(0) 6 (P0 4P1 P2 )

1 3
(
P0
2
P2
)

2 3
P1
1 P(1) 6 (P1 4P2 P3 )

1 3
(
P1
2
P3
)

2 3
P2
起点与终点分别位于两个三角形中线1/3处；
1 3 3 1 xi2 yi2
（3）G2连续 满足 P(1) Q(0)
P(1) 6(P3 2P2 P1 ) Q(0) 为6(得Q2到分2Q段1 之Q间0 )G1光滑过渡 P3 2P2 P1 Q2 2Q1 Q，0 在衔接点处应使前段的最后
(P3 P2 ) (P1 P2 ) (Q2 Q两 制1 ) 点个 (同控Q0在制一点Q1条和) 直后段线上最。先两个控

x1
y1

端点特征
3 3

1
0
0 0
0 0

x2 x3
y2 y3

根据三次Bezier曲线的参数表示，有
P(0) P0
P(1) Pn
P(0) 3(P1 P0 ) P(1) 3(P3 P2 )
曲线通过给定点列的始点和终点，曲线始点和终点处的切线
Bezier曲线拟合实例
Bezier曲线方程
对于给定的N+1个点，可定义n次Bezier曲线，拟合计算式为：
N
P(t ) Pi BiN (t ) i0
t－ 参变量，取值范围为0~1； P(t)－ 任意拟合点的坐标，P(t)=[x(t),y(t)]；
Pi － 给定的第i个点的坐标；

dP u
du
1 2
d2P du2
(u)2

dP du
u
T (s) P(u) ( dP) / ( ds ) dP P(u) du du ds
所以以弧长为参数的切矢量为单位切矢量。
切矢量
主法矢
N(s)
P(s) P(s)

T ( s ) T ( s )
主法矢总是指向曲线凹入的方向。
（1）G0连续 P(t)的终点与Q(t)的始点相连，满足P(1)=Q(0)。
Bezier曲线拼接 （2）G1连续 曲线在拼接点具有相同的单位切矢量，即
P(1) Q(0)
则有
P(1) 3(P3 P2 ) Q(0) 3(Q1 Q0 )
P3 P2 Q1 Q0
设曲线上Q、R两点，其参数分别为u、u+ u，位置矢量分别 为P(u)、 P(u+u )。 矢量P= P(u+u )- P(u)表示连接QR的弦长，当u0时，位置 矢量关于参数u的一阶导数矢量称为曲线在该点的切矢量，方 向为切线方向。
切矢量
P (u) dP du
单位切矢量
s P P(u u) P(u)