第4章 曲线曲面讲解
曲线曲面基本理论
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
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曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
2019精品曲线曲面基本理论课件文档
Kochanek-Bartels:
1
P(0)=Pk P(1)=Pk+1 P(0)in=(1/2)(1-t)[(1+b)(1-c)(pk-pk-1)+(1-b)(1+c)(pk-1-pk)]
2 Hermite Hermite
P(1)out=(1/2(1-t)[(1+b)(1+c)(pk+1-pk)+(1-b)(1-c)(pk+2-pk+1)]
x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx y(u)=ayu3+byu2+cyu+dy z(u)=azu3+bzu2+czu+dz
a,b,c,d
� n+1n
4n
� (
)
P2
Pk+1
Pn
P1 P0
Pk Pk-1
1 2 Hermite Hermite Hermite Cardinal Cardinal Cardinal K-B K-B
� uv�u,v� �
�
v
v2 (u,v)
v1
P(u,v) v
u
�
u1
u2 u
�
� uv
� uv(u=u0v=v0) P=P(u0,v)P=P(u,v0) vu(uv)
� upu(uu)
vpv(vv)
� )
�
Cardinal
� Kochanek-Bartels
Cardinal Cardinal
K-B K-B
� c
P2
P1 P0
P3
P4 b<0
P2
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻数学知识点归纳：曲线与曲面的性质与刻在数学中，曲线与曲面是常见的几何对象，它们具有许多独特的性质与刻画方法。
本文将对曲线与曲面的性质和刻画方法进行归纳总结。
一、曲线的性质与刻画曲线是二维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
1. 直线直线是最简单的曲线，它具有以下性质：- 无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
- 线段性质：直线上的两点可以唯一确定一条直线段。
- 斜率：直线的斜率表示了其倾斜程度，可以通过两点的坐标计算得到。
2. 圆圆是一个平面上距离圆心相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 对称性：圆具有中心对称性，任意点与圆心的距离相等。
- 弧长与扇形面积：圆的弧长与扇形面积可以通过圆心角计算得到。
- 切线：圆上的切线与半径垂直。
3. 椭圆椭圆是平面上离两个固定点距离之和为常数的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心：椭圆有一个中心点，是两个焦点的中点。
- 长短轴：椭圆有两个重要的参数，即长轴和短轴。
- 离心率：椭圆的离心率决定了其形状，范围在0到1之间。
二、曲面的性质与刻画曲面是三维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲面有球面、圆柱面、圆锥面等。
1. 球面球面是空间中到定点距离相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心和半径：球面由一个中心点和半径确定。
- 表面积和体积：球面的表面积和体积可以通过半径计算得到。
- 切平面：球面上的切平面与法线垂直。
2. 圆柱面圆柱面是空间中直线与一个固定曲线平行移动形成的曲面，它具有以下性质：- 直母线：圆柱面上的任意一条直线与轴线平行。
- 侧面积和体积：圆柱面的侧面积和体积可以通过圆柱的高和底面积计算得到。
3. 圆锥面圆锥面是空间中直线与一个固定点旋转形成的曲面，它具有以下性质：- 顶点和母线：圆锥面由一个顶点和沿着一个直线运动的所有点组成。
- 侧面积和体积：圆锥面的侧面积和体积可以通过圆锥的高和底面积计算得到。
第4章 曲线与曲面的创建与编辑
4.4.2 曲面的特殊结构 但是，在建模过程中遇见的很多曲面，从形态上来看与标准结构不同，其实这些
曲面也是属于4边结构，只是4个边的状态比较特殊，具体分类如下： (1)具有收敛点的曲面。
图4-51所示的3边曲面看似不遵循4边曲面的构造，显示其CV点，可以看出曲面具 有两个走向，只是其中一个走向的线在一端汇聚为一点（称为奇点或收敛点），是4 边曲面的特殊状态。也就是一个边的长度为0。虽然3边曲面也可以看做属于4边曲面 ，但是在构建曲面的时候，应尽量避免3边曲面，也就是尽量不要构建有奇点的曲面 （不包括由旋转命令形成的带有奇点的曲面）。
第4章 曲线与曲面的创建与编辑
4.1
曲线绘制
4.2
曲线形态编辑
4.3
曲线编辑工具
4.4
曲面的结构
4.5
曲面连续性的检测与分析工具
4.6
曲面的创建工具
4.7
曲面的编辑工具
4.1曲线绘制
4.1.1 关键点几何曲线 Rhino提供了一系列通过指定关键点来绘制标准几何曲线的工具。这类曲线的
绘制方式非常简单，只需要依据指令栏的提示，输入关键点的坐标，或鼠标光标取 点，即可完成绘制。
【圆】子工具列提供了多种绘制圆的命令，分别是：直径画圆、三点画圆、环 绕曲线画圆、切线画圆 、画与工作平面垂直的圆 、可塑圆与逼近数个点画圆。 这些不同的画圆方式同时以选项的形式集成在以【圆: 中心点、半径】命令的输入 圆心时的指令栏状态中。
(2)【圆: 环绕曲线】。 环绕曲线方式画圆可以绘制与指定曲线或曲面边缘上任意一点切线相垂直的圆。
图4-5
二、标准圆与可塑圆如何应用
上面阐述了标准与可塑圆的区别，那么在实际应用中，标准圆和可塑圆应该怎 么使用呢？在创建一个曲面时，标准圆和可塑圆最好不要混合使用。例如：在单轨 创建曲面时，若断面曲线是圆造型时，断面曲线要么都使用标准圆，要么都是用阶 数相同、CV点数量相同的可塑圆。不要有些断面曲线用标准圆，有些断面用可塑圆 。
机械制图工程曲线与曲面讲解
一、正螺旋面及其应用
3.正螺旋面的应用： 图示为由正螺旋面构成的螺旋推进器
二、斜螺旋面及其应用
1.斜螺旋面的形成：
一直母线沿曲导 线为圆柱螺旋线及直 导线为圆柱轴线运动， 且始终与轴线成相同 倾斜角度而形成的曲 面。●●来自●●●
● A6
●
●
●A5
A0●
A1●
A● 2
● A4 ●A3
二、斜螺旋面及其应用
2.斜螺旋面的作图：
作图步骤：
（1）分别用粗、细实线画出 螺旋线及导锥面的投影；
（2）将螺旋线及导锥面的一 个导程等分成相同的若干份； （3）用细实线将螺旋线及轴 线上的对应等分点相连构成 斜螺旋面的素线； （4）用粗实线画出直素线 正面投影的包络线，完成作 图。
二、斜螺旋面及其应用
3. 斜螺旋面的作图：
2.曲线的性质： (1)对于平面曲线
当曲线所在平面倾斜于投影面时，该投影为同性质的曲线； 当曲线所在平面平行于投影面时投影反映实形，垂直于投影面 时投影为一直线。
(2)对于空间曲线
其投影永远是曲线
三、圆的投影作图
3.圆的投影
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为 直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为圆或椭圆。
三、圆柱螺旋线的作图
螺旋线展开及螺旋升角α
圆柱螺旋线展开成一条直线
arctan(Ph / d )
§4-3 工程曲面
一、曲面的分类
1.按母线的形状可分为： 直线面： 母线为直线 曲线面： 母线为曲线
2.按曲面是否能无变形 地展成一个平面分为：
可展曲面： 直线面 不可展曲面： 曲线面
二、常见曲面的投影
S
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
曲面的基本形式与曲面上的曲率
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1) |ω - λI 2 | = 0 ；等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) |Ω - λg | = 0 ．② 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向 ⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2)Ω (a 1, a 2)g = 0⇔(a2)2-a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)K=|ω|=|Ω||g|=LN-M2EG-F2,(5.5) H= tr.ω2=LG- 2MF+NE2(EG-F2)．②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6)λ2- 2Hλ+K= 0 ；其中H 2-K= (κ1-κ2)24≥ 0 ．③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7)κi=H±H2-K , i= 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 K ≡ 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足M = - r u ∙n v ≡ 0 , N = - r v ∙n v ≡ 0 ,于是K = LN - M 2 EG - F 2≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a '∙l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) κ1 = L E, κ2 ≡ 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式(5.10) Ⅲ = d n ∙d n图4-5称为曲面S的第三基本形式．性质①n1⨯n2=K r1⨯r2．②|K(P)|=limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P∈U⊂S, U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．③Ⅲ- 2HⅡ+KⅠ= 0 ．证明①由Weingarten公式得n1⨯n2= [-(ω11r1+ω12r2)]⨯[-(ω21r1+ω22r2)]=|ω|r1⨯r2=K r1⨯r2．②A(U) =⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2 ,A(G(U)) =⎰⎰r-1(U) | n1⨯n2| d u1d u2=⎰⎰r-1(U)|K|| r1⨯r2| d u1d u2．而由积分中值定理，∃P*∈U使⎰⎰r-1(U) |K|| r1⨯r2| d u1d u2=|K (P*)|⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)= limP*→P|K (P*)|=|K (P)|．③结论用系数矩阵等价表示为(Ω g-1)g(Ω g-1)T- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω g-1- 2HΩ g-1+K I2≡ 0⇔ωω- (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为ωi kωk j- (tr.ω)ωi j+|ω|δi j=ωi1ω1j+ωi2ω2j- (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22-ω12ω21)δi j≡ 0 ．□习题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：①主曲率κ1和κ2；②Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =⎰2πκ(P, θ) dθ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 - 2μH+μ2K> 0 ．按参数相同作对应曲面S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2-μω )-1；③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式K* =K1 - 2μH+μ2K，H* =H-μK1 - 2μH+μ2K；④S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)m．⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。
第4章曲线功能
4.1.12 螺旋线
• 螺旋线是指一个固定点向外旋绕而生成的曲线。具有指定圈数、 螺距、弧度、旋转方向和方位的曲线，如图4.102所示。常常使用 在螺杆、螺钉、弹簧等特征建模中。
• 单击“曲线”工具栏中的“螺旋线”按钮，进入“螺旋线”对话 框，如图4.103所示。
4.1.13 文本
• 在工程实际设计过程中，为了便于区分多个不同零件，通常采取对其进行 刻印零件编号方法。另外对某些需要特殊处理的地方，一般添加文字附加 说明。处于相同的原因，在UG建模过程中，有时也需要使用“文本”命令 对模型上添加文字说明。
• 单击“曲线”工具栏中的“桥接曲线”按钮，进入“桥接曲线”对话框，如图4.116 所示。
4.2.3 连接
• 该选项是指将所选的多条曲线或边连接成一条曲线，其结果生成是与 原先的曲线链近似的多项式样条。利用该命令可以方便快速的创建样 条。一旦将某个对象转换成样条后，就可以更加自由地编辑其形状。
• 单击“曲线”工具栏中的“连接曲线”按钮，进入“连接曲线”对话 框，如图4.121所示。在该对话框中选择需要连接的曲线，设置完成 后，单击“确定”按钮，完成连接曲线的创建，如图4.122所示。
• 修剪拐角时，移动鼠标，使选择球同时选中欲修剪的两曲线，且 选择球中心位于欲修剪的角部位，单击鼠标左键，系统会弹出 “修剪拐角”确认对话框，如图4.165所示。单击“是”选项，完 成修剪拐角操作，如图4.166所示。
• 单击“编辑曲线”工具栏中的“修剪曲线”按钮，进入“修剪曲线”对话 框，如图4.160所示。
4.3.4 修剪拐角
• 该选项主要用于两条不平行的曲线在其交点形成拐角。可以是相 交曲线，也可以是不相交曲线。单击“编辑曲线”工具栏中“修 剪拐角”按钮，弹出“修剪拐角”对话框，用户利用该对话框提 示选取需要修剪的曲线。
曲面及其方程-PPT
则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. ➢两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状
F(x, y, z) 0
z S
oy x
(必要时需作图).
例1 求动点到定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) z
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
C
一条定直线旋转一周 所形成的曲面.
M (x, y, z)
M1 (0, y1, z1 )
旋转曲线
母线
o y
定直线
轴
x
➢旋转曲面的方程
f ( x2 y2 , z) 0
给定yoz面上曲线C: f ( y, z) 0
在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1)
曲线C绕z轴旋转
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(1) 范围：
x
y
x a, y b, z c
(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：椭圆
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
z t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y t
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
z
1. 椭圆锥
z
面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
曲线曲面从参数表示的基础知识
曲线曲面从参数表示的基础知识
连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。
曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。
另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。
曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。
下面我们来讨论两条曲线的
若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：
P(1)=Q(0) ()
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：
当a=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：
代入()得：
这个关系式为：
图两条曲线的连续性
我们已经看到，C1连续保证G2连续，C1连续能保证G2连续，但反过来不行。
也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。
《曲面与曲线》课件
近年来，数学家们利用现代数学工具，如微分几何、拓扑学等，对曲面与曲线进行了更 深入的研究，发现了许多新的性质和定理。这些研究成果不仅丰富了数学理论，也为其
他学科提供了重要的数学工具。
曲面在建筑设计中的应用广泛，如桥梁 、建筑立面、屋顶等。曲面设计能够带 来流畅、自然的视觉效果，增强建筑的
现代感和艺术感。
曲面可以有效地解决建筑结构问题，如 受力、稳定性等。通过合理的曲面设计 ，可以优化建筑结构，提高建筑的稳定
性和安全性。
曲面设计能够创造出独特的空间效果， 如流动的空间、丰富的光影效果等。曲 面设计能够打破传统建筑的沉闷感，为 人们提供更加舒适、愉悦的居住和工作
曲线的定义与分类
总结词
描述曲线的定义，并按照不同的标准对其进行分类。
详细描述
曲线是二维空间中连续变化的点的集合，它可以由二维坐标系中的一个变量确定 。根据不同的标准，曲线可以分为多种类型，如直线、圆、抛物线等。
曲面与曲线的几何特性
总结词
描述曲面和曲线的几何特性，包括形状、方向、弯曲程度等 。
详细描述
曲面和曲线的几何特性包括它们的形状、方向和弯曲程度等 。例如，球面的几何特性是中心对称，其表面上的点都与球 心保持相同的距离；而直线的几何特性是无限长且没有弯曲 。
Part
02
曲面与曲线的数学表达
曲面的参数方程
曲面的参数方程定义
参数方程的应用
曲面由参数方程表示，通常包含三个 参数变量，如x(u,v)、y(u,v)和z(u,v) ，其中u和v是参数。
曲面与曲线的计算机渲染
曲线曲面总结
曲线曲面总结引言曲线和曲面是数学中重要的概念，在多个领域得到广泛应用。
本文将对曲线和曲面的基本概念、性质和应用进行总结和讨论。
曲线的基本概念曲线是平面上的一个点的集合，其特点是在数学上可以通过参数方程或者函数方程进行描述。
曲线可以分为直线和曲线两类，直线是一种特殊的曲线，可以通过两点确定。
曲线的形状可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
曲线的一些重要概念包括曲线的弧长、曲线的切线、曲率等。
曲线的性质曲线的性质主要包括长度、切线和曲率等。
曲线的长度是曲线弧线的长度，可以通过积分来计算。
曲线的切线是曲线某一点的切线方向，可以通过导数来计算。
曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的物理量，越弯曲的地方曲率越大。
曲线的性质对于曲线的实际应用有重要的影响。
曲面的基本概念曲面是三维空间中一组点的集合，可以用函数或参数方程进行描述。
曲面可以分为平面和曲面两类，平面是特殊的曲面，可以通过三个点或一个点和法向量确定。
曲面的形状可以是球面、柱面、锥面、椭球面、双曲面等。
曲面的一些重要概念包括曲面的面积、曲面的切平面、法向量等。
曲面的性质曲面的性质主要包括面积、法向量和曲率等。
曲面的面积是曲面上一部分的面积大小，可以通过积分来计算。
曲面的法向量是曲面上某一点的法向量方向，可以通过求偏导数来计算。
曲面的曲率是衡量曲面局部弯曲程度的物理量，曲率越大表示曲面弯曲得越厉害。
曲面的性质对于曲面的几何特征和物理特性具有重要的意义。
曲线和曲面的应用曲线和曲面在各个学科和领域中都有广泛应用。
在计算机图形学中，曲线和曲面用于表示和绘制复杂的图形和图像。
在物理学中，曲线和曲面用于描述物体的运动轨迹和形状变化。
在工程学中，曲线和曲面用于设计和制造各种产品的表面形状。
在统计学中，曲线和曲面用于拟合和分析数据模型。
曲线和曲面的应用涵盖了多个学科和行业，对于提升科学研究和实际应用都具有重要意义。
结论曲线和曲面是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
本文对曲线和曲面的基本概念、性质和应用进行了总结和讨论。
曲面知识点总结
曲面知识点总结1. 曲面的概念曲面是三维空间中的一种特殊几何体，可以用一定的方程或参数化形式来描述。
在数学上，曲面是平面与立体之间的一种过渡形式，具有一定的曲率和形状特征。
2. 曲面的分类曲面可以根据其形状特征和几何性质进行分类，常见的曲面包括球面、圆锥面、双曲面、抛物面等。
根据曲面方程类型的不同，曲面也可以分为代数曲面和解析曲面两种类型。
3. 曲面的参数化曲面的参数化是指通过一组参数的变化来描述曲面上的点的位置。
通过将曲面的参数方程代入，可以得到曲面上的各个点的坐标，从而更好地理解和分析曲面的性质和特点。
4. 曲面的法向量曲面的法向量是指曲面在某一点处的法线方向。
通过法向量的概念，可以描述曲面的曲率和几何特征，也可以用于计算曲面上的曲线积分和曲面积分等几何分析问题。
5. 曲面的切平面和切线在曲面上的某一点处，可以定义曲面的切平面和切线，用于描述曲面在该点处的局部几何性质。
切平面和切线的几何性质可以帮助理解曲面的曲率和法向量等重要概念。
6. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数或矢量场进行积分的概念。
曲面积分可以用于计算曲面的面积、质量、质心等物理属性，也可以用于描述曲面上的场强、通量等物理量。
曲面积分具有重要的物理和数学应用价值。
7. 曲面的方程曲面的方程是描述曲面几何性质和形状特征的数学表达式。
常见的曲面方程包括隐式方程、参数方程、标准方程等，可以用于描述曲面的曲率、焦点、直角坐标系等重要几何性质。
8. 曲面的应用曲面是数学、物理和工程等领域中重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，曲面可以用于描述电场、磁场、流体流动等现象；在工程学中，曲面可以用于设计曲线、曲面、雕刻等工艺；在计算机图形学中，曲面可以用于构建三维模型、渲染图像等。
9. 曲面的演化随着数学和物理相关领域的发展，曲面的研究也在不断发展和演化。
例如，曲面的微分几何和流形理论为曲面研究提供了更深入的理论基础；曲面的主题几何和拓扑理论为曲面的分类和性质研究提供了新的视角。
第四节 曲面及其方程讲解
常用: 椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
作业 P58 9－11 P59 1－3
• 椭球面
• 抛物面: 椭圆抛物面
双曲抛物面
• 双曲面:
x2 a2
y2 b2
z
单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
(二次项系数不全为 0 ) 表示的曲面称为二次曲面.
其基本类型有: 锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法、伸缩法
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1.
椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
( a,b为正数)
z
截痕法：
z＝0时，x＝y＝0 过原点
z＝t
时，
x2 (at)2
y2 (bt)2
即所求垂直平分面的方程
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例2 求球心为 解 设球面上动点为
半径为 R 的球面方程. 依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特别地,当球心为坐标原点时,球面方程为 z
0
绕
o
z轴
z
旋转一周 得旋转曲面S
M(x,y,z) S S
f ( y1, z1 ) 0
z1 z
| y1 | x2 y2
M
o
N (0, y1 , z1 )
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P1
3 3
1
0
0 0
0 0
P2 P3
P2 P3
Bezier曲线性质 凸包性(Convex Hull) Bezier曲线恒位于其控制顶点所形成的凸 包内 几何不变性 Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点 位置有关，而与坐标系的选择无关。在几何变换中，只要直接对 特征多边形的顶点变换即可，无需对曲线上的每一点变换。 全局控制性 将给出的控制点循序连接可组成一折线，Bezier
3t 3
3t 2
B33 (t )
3! t 3 (1 t )0 3!0!
t3
1 3 3 1 x0 y0
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1 3630
x1
y1
3 3
1
0
0 0
0 0
x2 x3
y2 y3
由连接点两边各两个顶点所构 成的平行四边形对角线须平行且 相等，位于同一平面。
三 B样条曲线
B样条的概念是由Schoenberg（舍恩伯格）于40年代提出； B样条方法是在保留Bezier方法的优点同时，克服其由于整体不 具有局部性质的缺点，以及解决在描述复杂形状时带来的连接 问题下提出来的; B样条曲线具有与Bezier曲线相类似的功能，它的特点在于多项 式的次数可不受控制点数目的限制，能独立选择次数并具有局 部构形性。
（1）G0连续 P(t)的终点与Q(t)的始点相连，满足P(1)=Q(0)。
Bezier曲线拼接 （2）G1连续 曲线在拼接点具有相同的单位切矢量，即
P(1) Q(0)
则有
P(1) 3(P3 P2 ) Q(0) 3(Q1 Q0 )
P3 P2 Q1 Q0
B样条曲线拟合的图例
1 3 3 1 xi2 yi2
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
1
3
6
3
0
xi
1
yi
1
6 3 0
1
4
3 1
0 0
xi xi1
yi
yi1
端点位置矢量
1 P(0) 6 (P0 4P1 P2 )
1 P(1) 6 (P1 4P2 P3 )
B样条曲线的性质
1 P(0) 6 (P0 4P1 P2 )
1 3
(
P0
2
P2
)
2 3
P1
1 P(1) 6 (P1 4P2 P3 )
1 3
(
P1
2
P3
)
2 3
P2
起点与终点分别位于两个三角形中线1/3处；
1 3 3 1 xi2 yi2
应用领域
一 曲线、曲面的参数表示
1.曲线曲面的数学表示形式
在数学上，曲线曲面常采用显式、隐式和参数几种表示形式。 *显式表示 y f (x)
显式表示不能表示封闭或多值曲线，如圆等。 *隐式表示 F(x, y, z) 0
可以表示多值曲线，如抛物线、椭圆等，但仍存在曲线与坐 标轴的选取相关，不便于计算与编程等。 *参数表示
)
(
d2y ds2
)
(
d 2z ds2
)
３.曲线段间连续性定义
在实际应用中，曲线常常以分段形式定义，或由多段曲线拼合 而成。关于各曲线段在连接点处的连续性有两种判断标准：参 数连续和几何连续。
参数连续——判断连接点处曲线方程相对于参数u的各阶导数
连续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶参数连续，记为 C n
x1
y1
端点特征
3 3
1
0
0 0
0 0
x2 x3
y2 y3
根据三次Bezier曲线的参数表示，有
P(0) P0
P(1) Pn
P(0) 3(P1 P0 ) P(1) 3(P3 P2 )
曲线通过给定点列的始点和终点，曲线始点和终点处的切线
B样条曲线方程
三次B样条插值点坐标的计算式是：
1 3 3 1 xi2 yi2
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
1
3
6
3
0
xi
1
yi
1
6 3 0
1
4
3 1
0 0
xi xi1
yi yi1
t－ 参变量，变化范围为0~1；
( xi2 , yi2 ), ( xi1 , yi1 ),－ 相邻四个控制点的坐标值。
B样条曲线方程 B样条曲线与Bezier曲线的差别 – Bezier曲线的次数等于控制顶点数减1，B样条曲线的次数
与控制顶点无关； – Bezier曲线的基函数是多项式函数，B样条曲线的基函数是
分段多项式； – Bezier曲线：参数多项式曲线；B样条曲线：参数样条曲线 – Bezier曲线：缺乏局部性；B样条：具有局部性 最常使用的B样条曲线是三次B样条曲线。对三次B样条曲线来说， 任意插值点的坐标值只与相邻四个控制点坐标有关；如果改动 任意某个控制点的坐标，其对曲线形状影响波及的范围只是前 后各三个小段跨度。
主法矢与曲率
曲率 k(s) p(s) T(s) lim T s0 s
曲率表示切向量沿曲线的变化率，它描述了曲线在某点的
弯曲程度。曲率越大，曲线在此点弯曲地越厉害。曲率的倒数
称为曲率半径。
曲率的计算：
k(s) T(s)
dT ds
d2P ds2
(
d2x ds2
x(t)
y(t) 3t 2
2t
1
0
3
6
3
0
x1
y1
3 3
1
0
0 0
0 0
x2 x3
y2 y3
1 3 3 1P0
P0
P(1) 3
2
1
0
3
6
3
0
P1
0
0
3
3
BiN
(t)
N! i!(N
i )!
t i (1
t )N i
B03 (t )
3! t 0 (1 t )3 0!3!
t 3
3t 2
3t
1
B13 (t )
3! t 1 (1 t )2 1!2!
3t 3
6t 2
3t
B23 (t )
3! t 2 (1 t )1 2!1!
BiN (t)－ 混比函数，反映第i个点对拟合点的影响，它定义为
BiN
(t)
N! i!(N
i )!
t i (1
t )N i
Bezier曲线方程
当控制点数为4时，拟合的Bezier曲线是三次多项式函数。将混合
函数按照定义计算式展开，经整理可得三次Bezier曲线计算式：
N
P(t ) Pi BiN (t ) i0
二 Bezier曲线
Bezier是法国雷诺汽车公司Bezier先生于1962年提出的一种曲线 曲面构造方法。 Bezier曲线不通过给定的中间离散点，但是设计人员可以容易 地通过改变这些离散点的位置来控制和改变拟合的Bezier曲线 的形状。因此，给出的离散点又称为控制点。Bezier曲线适宜 用于象汽车车身等自由形状的构形设计。
x(t)
y(t) t 3
t2
t
1
1
3
6
3
0
xi
1
yi
1
6 3 0
1
4
3 1
0 0
xi xi1
yi yi1
B样条曲线的性质
端点切矢量
P(0)
1 2
( P2
P0 )
P(1)
1 2
设曲线上Q、R两点，其参数分别为u、u+ u，位置矢量分别 为P(u)、 P(u+u )。 矢量P= P(u+u )- P(u)表示连接QR的弦长，当u0时，位置 矢量关于参数u的一阶导数矢量称为曲线在该点的切矢量，方 向为切线方向。
切矢量
P (u) dP du
单位切矢量
s P P(u u) P(u)
2.参数曲线定义及切矢量、主法矢和曲率
一条用参数表示的三维曲线是一个有界的、连续的点集，可表
示为 x x(u), y y(u), z z(u)
0u1
曲线的端点在u=0、u=1处，曲线上任一点的位置矢量（坐标） 可用矢量P(u)表示 P(u) [x(u) y(u) z(u)]
切矢量
曲线与曲面
在CAD中经常要处理复杂的自由形状曲线和曲 面，特别是在汽车、航空航天、船舶、轻工等 领域的CAD中，自由曲线和曲面设计是一个重 要问题。CAD技术采取的基本做法是： 给出一系列离散点的空间坐标； 将上述离散点分段，并选择某个函数模式计 算每一小段内任意点的坐标。 上述计算过程又称为拟合或逼近，所选择的函 数模式则称为拟合函数或逼近函数。