高一数学反函数的概念
2019年沪教版高一数学寒假讲义(提高班) 第2讲 反函数 学生版
沪教版高一数学寒假讲义-反函数
1、 反函数的概念：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A .如果对于A 中任意一个值y ，在定义域D 内总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作()1x f y -=.习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈
2、 反函数存在性问题：不是所有的函数都存在反函数，但可以证明:单调函数必有反函数.
3、 求反函数的一般步骤：()1求原函数的值域；()2反解函数，由()y f x =解出1()x f y -=；()3写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成.
4、 反函数的性质:
1)、互为反函数之间的关系：
定义域与值域互换；函数图像关于y x =对称；函数的增减性一致；奇函数()f x 若存在反函数，则()1f x -也是奇函数；若函数()y f x =存在反函数，则()b a f =，则()a b f =-1；()()()()11[];[]f f b b b A f f a a a D --=∈=∈.
2)、反函数是其自身:若函数()y f x =存在反函数()1f x -且函数()f x 与()1f x -相等，称()f x 的反函数是其自身()1[()]f x f x -=.其中，定义域与值域相等
【例题1】下列函数没有反函数的是：
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念
一、教学内容分析
“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计
（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；
（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、
独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.
三、教学重点与难点：
反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念
引例：在两种温度度量制摄氏度(C
)和华氏度（F
）相互转化时会发现，有时两人选
用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号
)(1
x f
y ；了解)(1
x f
表示反函数的符号，1
f
表示对应法则.
2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.
例1（1）2
x y （R x ）的反函数是 （2）2
x y （0 x ）的反函数是 （3）2
x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题20反函数(学生版)
专题20反函数
(反函数的概念，反函数的图像)
知识梳理
反函数
1、反函数定义
一般地，对于函数y=f(x),设它的定义域为D,值域为A,如果对A中任意一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=/T(y)。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，
所以把它改写为y = f - (x) (x e A)
2、关于反函数的结论
<1)关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，
(2)互为反函数的两个函数丫=⑥)与〉=,广|(X)图像关于直线y=x对称：若点M (a, b)在y=f(x) 的图像上，则点M (b,a)必在y = /■' (x)图像上：
(3) 一般地，偶函数不存在反函数(y=c,X£{0}除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数：
(4)原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如)，= ■!■；
X
(5) y=f(x)与y = /T(x)互为反函数，设f(x)定义域为D,值域为A,则有f"T(x)]=x(,Y£A), 广口(")]=《£。)；
(6)如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；
(7)反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；
(8) x=f(y), y = /T(x),x = /T(y)与函数 y=f(x)的比较:
(9)y=f(x)与y = y 1
(x)图像若有公共点,并非一定在y=x 上,例如:f(x)=^-L j 与3 =咋七;” 有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称
高一数学指数函数、对数函数、幂函数知识归纳
指数、对数、幂函数知识归纳
知识要点梳理
知识点一：指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.n次方根的性质：
(1)当为奇数时，；当为偶数时， (2)
3.分数指数幂的意义：
；
注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
知识点二：指数函数及其性质
1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.
函数
名称
指数函数
定义函数且叫做指数函数图象
定义域
值域
过定点图象过定点，即当时，.
奇偶性非奇非偶
单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况
变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.
知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数.
(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.
2.几个重要的对数恒等式：，，.
3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).
4.对数的运算性质
如果，那么①加法：
②减法：③数乘：④
⑤⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.
2.
函数
名称
对数函数
定义函数且叫做对数函数
高一数学反函数的定义
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的 函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为：
y=f(x)
x y,
两个 值和它对应，故x____y x在R上有_____ 不是 的函数。 这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
小结：
1.反函数的概念及记号； y=f(x)的反函数记为y=f –1(x) 2.求反函数的步骤：
(1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y);
1 新函数： x y 2
2 4 : y R 除以2 1 2 : x
R x y 这个新函数的自变量是______ ，对应的函数值是_______ 。
乘以2
（2）函数
y x 1
[0,+) [-1,+) ，值域是________ 的定义域是________ 。
2
y 1 则对于y在 [0，+)上 如果由 y x 1 解出x=_________, 唯一确定 y 1 的任一个值，通过式子x=_________,x 在[-1,+)上有__________
高一数学反函数
再说我去二本还可以拿奖学金，能够减轻父母的负担。更何况，父亲还生着病，我怎么好意思发脾气呢，真是不孝！” 我又匆匆的跑了回去，说：“爸，妈，我听从你们的决定，去上二本，不过爸爸你也要答应我好好代谢！”之后，我又特意去嘱托知情的老师和同学，请他们不要把我的分数告
诉哥哥。 填报志愿前，我拿着一本“志愿填报指南”，在南京大学那一页看了好久，也幻想了好久，不舍得翻过。 “小杰，你想啥呢？”哥哥扶着门走了过来。 “哥，你先别动，我来扶你，不然摔倒了又该受伤了。”我匆匆翻过了南京大学那一页。 “哥，我发现这几所学校咱俩可以报考，
咱们来研究研究吧。” 填报志愿那天，我一个人来到了学校，在我和哥哥的志愿表上填报了同一所离家较近的二本学校。 日出日落，在大学校园里，我每天都扶着哥哥上学放学。我们每天一起去图书馆看书，一起回宿舍，一起欢笑。每到周末放假我都会出去找兼职：推销，家教，服务员……
我都做过。我知道这个家需要我的支撑。 又是一年盛夏光景，我们一家人在荷塘边聊着家常，看着那一朵朵粉红的荷花，我开心的笑了。 （选文有改动） 15．（2分）选文第一自然段的景物描写不仅暗示了当时的季节是
就知道是荆州知府蒋大人？” （18）铁嘴刘轻轻捋了捋长须：“天下清廉知府，谁人不知蒋大人？天下孝心知府，谁人不晓蒋大人？天下爱听评书知府，当然首推蒋大人，青衣小帽，且无随从，乃至行事风格……” （19）夫人也轻轻一笑：“难得你这么用心，等着蒋大人的那两晚，编了那么
高一数学反函数的定义
y 的函数。 的值和它对应，故x是____ 原函数： 表达式： 定义域： 值域：
新函数：
y x 1
[-1,) [0,+)
x y 1
2
[0,+) [-1,+)
1 在(1)中，我们称新函数 x y 为原函数y=f(x)=2x的 2 1 1 x f ( y ) y . 反函数,记为： 改写为： y f ( x ) x ( x R ).
1 新函数： x y 2
2 4 : y R 除以2 1 2 : x
R x y 这个新函数的自变量是______ ，对应的函数值是_______ 。
乘以2
（2）函数
y x 1
[0,+) [-1,+) ，值域是________ 的定义域是________ 。
2
y 1 则对于y在 [0，+)上 如果由 y x 1 解出x=_________, 唯一确定 y 1 的任一个值，通过式子x=_________,x 在[-1,+)上有__________
反函数
y=f –1(x)
原函数
表达式：
定义域：
y=f(x)
A C
C
A
值域：
例.求下列函数的反函数：
(1) y 3x 1( x R );(2) y x 1( x R ); 2x 3 (3) y x 1( x 0);(4) y ( x R,且x 1) x 1 解： y 1 （1） 由y 3x 1解得： x , 3 x 1 互换经 x, y得反函数为： y ( x R ). 3
高一数学反函数课件
05
反函数与原函数的关系
反函数与原函数的对应关系
反函数与原函数在各自的定义 域内，每个自变量对应唯一的 因变量。
原函数的定义域是反函数的值 域，原函数的值域是反函数的 定义域。
互为反函数的两个函数，在同 一坐标系中，图像关于直线 y = x 对称。
反函数与原函数的单调性关系
如果原函数在其定义域内是增函数， 则其反函数在其定义域内是减函数。
反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直 线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函 数也是单调增函数；如果原函数是单 调减函数，则其反函数也是单调减函 数。
Байду номын сангаас
反函数的定义域和值域分别是原函数 的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也 是奇函数；如果原函数是偶函数，则 其反函数也是偶函数。
02
反函数的求法
通过代数方法求反函数
确定原函数的定义域和值域
首先需要确定原函数的定义域和值域 ，以便在反函数中应用。
解方程组
将原函数表示为x和y的方程，然后解 这个方程组以找到y关于x的表达式。
互换x和y
在得到y的表达式后，将x和y互换， 得到反函数的表达式。
验证反函数
最后，需要验证得到的反函数是否在 定义域内是单值且连续的。
反函数的表示
如果$y=f(x)$的反函数存在，则记作$f^{-1}(x)$。
高一数学必修一反函数和互为反函数
问题8：反函数与原函数的单调性是否一致？ 答：反函数与原函数的单调性一致。
求证：已知函数y f x在定义域D上单调递增， 求证其反函数y f 1x在对应区间A上也单调递增。
证明：假设y f 1 x在对应区间A上不单调递增。 即存在x1 x2 x1, x2 A,
使得f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 , f 1 x2 D ,
y x 上吗？
不一定。如 f x 1 ,其反函数 f 1x 1 ,图像重合，
x
x
图像上所有的点都是它 们的交点。
例3：已知函数 f x log 2 x 1 的反函数为 y f 1x,则 f 13 4 。
问题6：
y f x a与y f 1x a互为反函数吗？
它们的图像有何关系？
答：不是。f 1x a的反函数是y f x a。 f 1 x a与f x a图像关于y x a对称。
例4：已知f x 1 x ,求f 1 x 1。
x 1
例5：设函数 f (x) 1 2x ，函数 y g(x) x 1
的图像与 f 1(x 1) 的图像关于直线 y x
B 对称，则 g(2) ………………（ ）
(A) 1
(B) 2
(C) 4 5
(D) 2 5
问题7：反函数与原函数的奇偶性是否一致？
答：偶函数没有反函数； 奇函数不一定有反函数，若有，仍是奇函数。
高一数学 单调性 反函数
黄冈中学高一数学 函数的单调性 反函数
1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于
当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增
函数．
（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于
当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．
（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．
2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．
（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．
（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．
（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．
3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性
高一数学反函数知识点
五．指数函数与对数函数的关系-----反函数
1.反函数的概念及互为反函数两函数间的关系
(1).反函数概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，
而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.
函数y=f(x)的反函数通常用x=f -1(y)表示。
要点诠释：
a. 对于任意一个函数y=f(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，
这个函数才存在反函数；
b.反函数也是函数，因为它符合函数的定义.
(2).互为反函数的图象关系：
关于直线y=x对称；
(3).互为反函数的定义域和值域关系：
反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.
(4).求反函数的方法步骤：
(1)由原函数求出它的值域；(2)由原函数y=f(x)反解出x=f -1(y)；
(3)交换x, y改写成y=f -1(x)；(4)用f(x)的值域确定f -1(x)的定义域.
2.指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数互为反函数.
x x x x
高一数学 2.4反函数(第一课时) 大纲人教版必修
高一数学 2.4反函数（第一课时）大纲人教版必修
课时安排
2课时
从容说课
反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。
由于反函数的定义，本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中，从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步抽象概括出反函数的定义，反函数定义的描述，便得求反函数问题有了明确的步骤，而学生在具体求指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时，正负的选取问题及求原来函数的值域问题，教学中要予以足够的重视。
本节通过学习互为反函数的两个函数图象之间的关系，不仅使学生进一步从形的角度认识了互为反函数的两个函数之间的关系，也为后面将要学习的指数函数与对数函数的图象打下基础。
第一课时
●课题
§2.4.1 反函数
●教学目标
(一)教学知识点
1.反函数的概念.
2.反函数的求法.
(二)能力训练要求
1.使学生了解反函数的概念.
2.使学生会求一些简单函数的反函数.
(三)德育渗透目标
培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力.
●教学重点
1.反函数的概念.
2.反函数的求法.
●教学难点
反函数的概念.
●教学方法
师生共同讨论法
通过师生的共同讨论，使学生清除自学中遇到的疑点、困感点，弄清楚反函数的概念，掌握求反函数的方法.
●教具准备
幻灯片两张：
第一张：反函数的定义，记法、习惯记法(记作§2.4.1 A)
第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲(记作§2.4.1 B)
●教学过程
高一数学反函数课件
（1）
y
ax ax
b b
反函数为 y bx b ( x 1) a ax
（2）
x2 2x( x 0)
y
x2
2x(
x
0)
1 x 1( x 0) 反函数为 y
1 1 x( x 0)
2.4 反函数
课堂小结 （1）反函数的概念． （2）掌握求反函数来自百度文库法．
2.4 反函数
2.4 反函数
知识回顾 1．函数的概念． 2．函数定义域、值域的求法．
物体匀速直线运动中，速度v是不等于零的常量，可知 位移s 是时间t 的函数，即 s vt
反函数 时间t 是位移s 的函数，即 t s
v
2.4 反函数
新授课
1．反函数 一般地，函数 y f ( x) ( x A）中，设值域为C．如果对 于y 在C 中的任何一个值，通过 x ( y) ，x 在A 中都有唯一 值和它对应，那么 x ( y) 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数 x ( y) ( y C ) 叫做函数y f ( x) ( x A） 的反函数，记作
（3） y x 1( x 0)
（4）
y
2x 3(x x 1
R,
高一数学反函数课件
习惯将反函数表示为 y f 1( x) ，x( x C ) 表示自变量， y( y A)表示函数．
2.4 反函数
2．原来函数与反函数的联系
函数 y f ( x)
定义域
A
值域
C
反函数 y f 1( x) C A
2.4 反函数
典型例题
例1．求下列函数的反函数： （1） y 3x 1( x R); （2） y x3 1( x R)
（3） y x 1( x 0)
（4）
y
2x 3(x x 1
R,
x
1)
解：（（（341）2））由由由函函函数数数yyy23xxxxx31311，(，x解解得R得)x，xx解y(得3yyy1x123)2 3 y 1
所所所以所以以，以，，函，函函数函数数y数yyy3xxx3
2.4 反函数
2.4 反函数
知识回顾 1．函数的概念． 2．函数定义域、值域的求法．
物体匀速直线运动中，速度v是不等于零的常量，可知 位移s 是时间t 的函数，即 s vt
反函数 时间t 是位移s 的函数，即 t s
v
2.4 反函数
新授课
1．反函数 一般地，函数 y f ( x) ( x A）中，设值域为C．如果对 于y 在C 中的任何一个值，通过 x ( y) ，x 在A 中都有唯一 值和它对应，那么 x ( y) 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数 x ( y) ( y C ) 叫做函数y f ( x) ( x A） 的反函数，记作
高一数学《反函数、幂函数》知识点
高一数学《反函数、幂函数》知识点
高一数学《反函数、幂函数》知识点反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子
y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，
记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数
y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域
和定义域，
例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，
都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个
元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则
y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义
域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x 对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．
4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
湖南省岳阳一中高一数学必修一《2.2.2反函数》课件.ppt
二、讲解新课： 1．反函数的定义
二、讲解新课：
1．反函数的定义
一般地，设函数 y f ( x)( x A) 的值域是
C，根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把 x 表
示出，得到 x= (y)． 若对于 y 在 C 中的任何一 个值，通过 x= (y)，x 在 A 中都有唯一的值和 它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是
四、巩固练习：
【练习】求下列函数的反函数：
（1）y (1)x (x R) （2）y (x 1)2 (x 1) 3
（3）y lg x(x 0) （4）y 2 ln x(x 0) （5）y log a (2x)(a 0，且a 1，x 0)
五、课堂小结：
探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系
函数 y f ( x) 反函数 y f 1( x)
定义域
A
C
值域
C
A
二、讲解新课： 探讨 3：探究互为反函数的函数的图像关系
二、讲解新课：
探讨 3：探究互为反函数的函数的图像关系
1. 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位 一致）中，画出指数函数y 2x 及其反函数 y log 2 x的图像.你能发现这两个函数的图像有 什么对称关系吗？
s 问题２：函数 t 中，谁是谁的函数？
v
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4.5反函数的概念
一、教学内容分析
“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计
（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；
（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、
独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.
三、教学重点与难点：
反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念
引例：在两种温度度量制摄氏度(C
)和华氏度（F
）相互转化时会发现，有时两人选
用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号
)(1
x f
y ；了解)(1
x f
表示反函数的符号，1
f
表示对应法则.
2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.
例1（1）2
x y （R x ）的反函数是 （2）2
x y （0 x ）的反函数是 （3）2
x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：
（1）24 x y （2）13
x y （3）)0(12
x x y
（4）)2
1
,(2413
x R x x x y
[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1
y f
x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1
x f
y ；
（3）写出定义域:注明反函数的定义域.
③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）
教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反
函数之间的关系.
学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1
x f
y ，则)(1
x f
y 的反函数是
)(x f y ，即)(x f y 和)(1
x f
y 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原
函数的值域与定义域.
②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.
③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：
1、给出下列几个函数：①)21
(12
x x y ；②
)
2(2)1(4x x x y ③)(23
R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④
2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )
（A ） x
y )2
1( （B ）x y 2 （C ）x
y 3 （Ｄ）x y 10
3、设)1(22)( x x x f ，则)(1
x f
（ D ）
（A ）在（), 上是增函数 （B ）在（), 上是减函数 （C ）在),0[ 上是减函数 （Ｄ）在（]0, 上是增函数
4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）
A B C D
5、)21( 22
x x x y 反函数是 （ B ）
（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y
（D ）)10( 112 x x y
6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.
解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知a
b y a x
1. 所以函数b ax y 的反函数为a b
y a x
1. 由于函数b ax y 的反函数a
b
y a x 1就是函数b ax y 本身，即有
x
x
x
y
y
y
y
a a 1，且
b a
b
. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.
教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次
函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(1
1
),0(
x x y k x k y 等) 4、课堂小结
①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明
1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.
2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.
3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1
x f
y ，则)(1
x f
y 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和
)(1
x f
y 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义
域.
4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.
小
学二（2）班班规
一、 安全方面
1、 每天课间不能追逐打闹。