高一数学反函数的概念

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高一数学反函数的图象

对反函数定义的理解
（1）不是每一个函数都有反函数；一个函数有反函数的充要条件是它相应的映射是一一映射；（2）原函数与反函数的法则互逆；它们互为反函数；
（3）反函数也是函数，因为它是符合函数定义的；（4）原函数与反函数的定义域与值域互换。
反函数的图象
1.函数y=f(x) 在其定义域内满足什么条件才有反函数? 2.(1)如果函数y=f(x)在其定义域内单调,那么它是否一定存在反函数? (2)如果函数y=f(x)在其定义域内为常值函数,它是否存在反函数? 3.如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函数,我们如何求出来?
无机保温砂浆材料保温系统适用于各种墙体基层材质，各种形状复杂墙体的保温。全封闭、无接缝、无空腔，没有冷热桥产生。并且不但做外墙外保温还可以做外墙内保温，或者外墙内外同时保温，及屋顶的保温和地热的隔热层，为节能体系的设计提供一定的灵活性。 4、绿色环保无公害：无机保温砂浆材料保温系统无毒、无味、无放射性污染，对环境和人体无害，同时其大量推广使用可以利用部分工业废渣及低品级建筑材料，具有良好的综合利用环境保护效益。； / 玻化微珠保温砂浆 kfh85ndg 强度高：无机保温砂浆材料保温系统与基层粘结强度高，不易产生裂纹及空鼓。这一点在国内所有的保温材料相比具有一定的技术优势。6、防火阻燃安全性好，用户放心：无机保温砂浆材料保温系统防火不燃烧。可广泛用于密集型住宅、公共建筑、大型公共场所、易燃易爆场所、对防火要求严格场所。还可作为放火隔离带施工，提高建筑防火标准。什么交情。而且，如果只是赫奕还好办，关键是八弟，作为内务府的协理副管事，只要是稍有风吹草动，八弟那么嗅觉灵敏的人，怎么可能不知道？如何才能既不打草惊蛇，又如愿拿到名单，是摆在王爷面前的首要难题。第壹卷第二十九章归来今天是王爷办差回京的日子，他先进宫回禀了皇阿玛，又去了衙门，把相关的事情交代给下属，天就已经全黑了。犹豫了壹下，他决定先回府里。王府早就得知爷今天回京，雅思琦把握不准爷是否回来晚膳，更不知道会在哪里用晚膳，最终的结果就是在霞光苑和书院都按爷的口味置备了，她自己也是没敢让红莲把晚膳摆上来，只是都等到这么晚了，还是没有消息。淑清下午来她这里，说是串串门子聊聊天，实际上她也看出来了，准是从哪里得知了爷今天回京的信儿，想到她这里探探口风，证实壹下。雅思琦是何等精明的人，哪里肯轻易地露出消息来，壹下午只是哼哼哈哈地跟淑清兜着圈子。正在雅思琦等得心急如焚的时候，何全来禀报，爷进府了。“爷去哪儿了？”“直接回朗吟阁了。”“没说什么吗？”“秦公公没提。”“噢，那你先下去吧。” 待何全刚壹下去，红莲就上前问道：“福晋，奴婢先去把晚膳再置备壹下？”“嗯，先备着吧，如果爷来了的话……”“福晋”“什么事儿？何全”“爷又出府了。”“啊？”“福晋，要不奴婢这就把晚膳摆上来吧。”“算了，我也不想吃了。”“您好歹还是吃壹口吧，身子受不了。”“我实在是没有胃口，什么时候想吃了再说吧。”王爷只带了秦顺儿，出了府门，两人各骑壹匹马，朝京城东南方向奔驰而去。爷出门的时候也没有说去哪里，秦顺儿只好壹路紧追。开始还是疑惑不已，但是越走，秦顺儿越觉得眼熟，这好像是朝着？对，王爷的目标就是年府。20多天前失了约，他内疚不已，但是事情紧急，没有办法，今天好不容易回到了京城，他急于“见”到玉盈姑娘！来到了那熟悉的院墙外，他翻身下马，静静地等了壹会儿，没有他熟悉的琴声，又等了小半个时辰，还是没有等到。于是，他从怀中掏出玉萧，定了定神，娴熟地吹起了那首《彩云追月》。壹曲、两曲、三曲，壹共吹了二十曲，仍然没有壹丝壹毫的筝曲回音。他怅然若失地收起了玉箫，想了想，壹言不发地翻身上马，直接回了王府。第二天的晚上，他再次来到了年府的院墙外，四周寂静无声，他没有等，直接吹起了那熟悉得不能再熟悉的《彩云追月》。二十曲《彩云追月》吹完，四周再次恢复了寂静。第三天的晚上，他依然来到了年府的院墙外，依然四周寂静无声，依然是二十曲《彩云追月》，依然是再度寂静。他无限惆怅地望向天空中的那壹轮明月，何日才能摘得这远空中的明月，抱得美人归？此时，年府的

高一函数知识点总结

高一函数知识点总结一、函数的概念1.函数的定义：函数是一个映射关系，它把一个自变量的值映射到一个因变量的值上。

2.函数的符号表示：一般情况下用f(x)表示函数，其中x称为自变量，f(x)称为因变量。

也可以用其他字母代替f(x)表示函数。

3.函数的定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量可能取值的集合。

4.函数的图像：函数的图像是由一系列点(x, f(x))在平面上的集合。

这些点表示了函数的各个自变量和因变量的对应关系。

5.基本初等函数：常见的基本初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和分段函数等。

二、函数的性质1.奇偶性：如果对于任何x，有f(-x) = -f(x)，则称函数具有奇函数性质；如果对于任何x，有f(-x) = f(x)，则函数具有偶函数性质。

2.周期性：如果存在正数T，使得对于函数中的任意x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性。

3.单调性：如果对于函数中的任意x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) < f(x2)，则称函数单调递增；如果对于函数中的任意x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) > f(x2)，则称函数单调递减。

4.最值：函数在定义域内取得的最大值和最小值。

三、反函数1.反函数的概念：如果函数f的定义域D和值域R分别是实数集，且对每个y ∈ R，方程f(x) = y在D中有唯一实数解x，则称函数f具有反函数。

反函数常用f^(-1)(y)表示。

2.反函数的求法：考虑将f(x) = y看作一个关于x的函数，通过解出x得到反函数f^(-1)(y)。

四、复合函数1.复合函数的概念：当一个函数的自变量不再是单独的变量x，而是由另一个函数所决定时，这个函数就成为复合函数。

2.复合函数的符号表示：设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f ◦g)(x)，也可以表示为f(g(x))。

2019-2020年高一数学 2.4反函数(备课资料) 大纲人教版必修

2019-2020年高一数学 2.4反函数（备课资料）大纲人教版必修一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数f(x)与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y＝(2)y＝（1）分析：由于a、B不定，故须分类讨论：当a＝0，b≠0时，y＝－1，此时不存在反函数当a≠0，b＝0时，y＝1（x≠0），此时不存在反函数.当a≠0，b≠0时，函数y＝的值域是y∈{y∈R｜y≠1}由y＝解得：x＝ (a≠0，y≠1)∴当a≠0，b≠0时，函数y＝的反函数是：y＝（x≠1）评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当x≥0时，y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1∴x＝－1＋∵x≥0 ∴y＝x2＋2x≥0∴当x≥0时，此段函数的反函数是y＝－1＋（x≥0）当x＜0时，y＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1∴x＝1－∵x＜0，∴y＝－x2＋2x＜0∴当x＜0时，此段函数的反函数是y＝1－（x＜0）综上所述：所给函数的反函数为y＝评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例1］求函数y ＝的值域分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得到原函数的值域这一途径.解：由y ＝得x ≠－∴有：y （2x ＋5）＝1－x∴x ＝∴反函数为y ＝（x ∈R 且x ≠－）；因而此函数y ＝的值域为y ∈{y ∈R ｜y ≠－}评述：求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法往往可以使问题有“出奇制胜”的效果，它的优越性将随着我们对知识的继续深入学习体现得越发明显.［例2］已知函数f （x ）＝求f －1[[f （x ）]，f [f －1（x ）].解：由y ＝（x ≠1）可得y （x －1）＝2x ＋1，∴x ＝∴反函数f －1（x ）＝（x ≠2）∴f －1[f （x ）]＝f －1（）＝21121112--++-+x x x x ＝x f [f －1（x ）]＝f （）＝1211)21(2--++-+x x x x ＝x 评述：由上题我们发现，互为反函数的两个函数f （x ）与f －1（x ）之间符号互逆性，即f －1[f （x ）]＝x ，f [f －1（x ）]＝x请读者利用以上结论试探索：若函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝ｇ（x ），且f （m ）＝n （mn ≠0）则ｇ（n ）等于多少?［例3］已知函数y ＝f （x ）在定义域（－∞，0]内存在反函数，且f （x －1）＝x 2－2x ，求f －1（－）.分析：此题一般思路是：先求出f （x ），进而求出f －1（x ），将－代入f －1（x ）中求得f －1（－）.解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）∵当x ≤0时，f （x ）＝x 2－1≥－1∴函数f （x ）的值域为[－1，＋∞)∵f （x ）＝x 2－1（x ≤0)得：x ＝－（y ＝f （x ））∴得函数f （x ）的反函数是：y ＝－（x ≥－1）∴f －1（－）＝－评述：以上解题思路简单但运算麻烦，若不仔细认真，将会导致结果错误.如下解法将会体现一种技能技巧，使解题过程大大简化：解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）当x 2－1＝－（x ≤0)时有：x ＝－∴f －1（－）＝－评述：比较以上两种解法，请读者自行归纳总结它们解题过程繁简差别的原因，并试用简捷明快的思路解决以下问题：问题：已知函数f （x ）＝的反函数是f －1（x ）＝，求常数a ，b ，c 值是多少?提示：选取由f －1（x ）去求f （x ）这一优秀途径解决此问题.二、参考练习题1.求下列函数的反函数(1)y ＝1－（x ≥1）答案：y ＝x 2－2x ＋2（x ∈（－∞，1]）(2)y ＝｜x －1｜（x ≤1）答案：y ＝1－x （x ∈[0，＋∞)(3)y ＝x 2－2x ＋3 （x ∈（1，＋∞））答案：y ＝1－（x ∈（2，＋∞））(4)y ＝x ｜x ｜＋2x答案：y ＝(5)f （x ）＝答案：f －1（x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--)2(121)1(1x x x x2.解答题(1)已知f （x ）＝f －1（x ）＝（x ≠－m ），求实数m ？答案：m ＝－2提示：利用相同函数的定义域、值域完全相同这一性质，巧妙地结合互为反函数的性质去解.(2)已知f －1[f －1（x ）]＝25x ＋30，则一次函数的解析式是什么?答案：f （x ）＝－1或f （x ）＝－x －(3)已知f （x ）＝10x －2－2，求f －1（8）的值答案：f －1（8）＝3(4)已知函数f （x ）的图象过点(0，1)，则f （4－x ）的反函数的图象一定过哪个点? 答案：(1，4)(5)已知函数f （x ）＝，它的反函数是f －1（x ）＝，求m 的值?答案：m ＝2(6)已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋1（x ≥－1）的图象为C 1，它的反函数图象为C 2，请画出C 1，C 2并观察它们之间的位置关系有何特点?若又有一个函数的图象C 3与C 2关于y 轴对称，求这个函数的解析式?参考答案：(图略)，C 1，C 2关于直线y ＝x 对称，所求函数的解析式为y ＝（x ≤0)说明：本题旨在让学生提前思考练习，为下节课“互为反函数的函数图象间的关系”做准备.●备课资料“互为反函数的函数图象间的关系”的应用互为反函数的两个函数的图象间的关系是在反函数定义上进行的，而“将图象的对称转化为图象上任意一点的对称”的这种方法在我们解决有关函数的问题中大大显示了它的简捷性与技巧性.［例1］已知函数f （x ）＝（x ≥－)的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函数f （x ）的解析式.解法一：由y ＝得x ＝∴当x ≥－时，y ≥0∴函数f （x ）＝（x ≥－）的反函数是f －1（x ）＝（x ≥0）又∵点(1，2)既在函数f （x ）上，也在函数f －1（x ）上 ∴有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=a b b a 122 解得：a ＝－3，b ＝7∴函数f （x ）＝（x ≥－）解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线y ＝x 的对点为(2，1)，可以得到函数f （x ）的图象还过点(2，1)∴得到解得：a ＝－3 b ＝7∴函数f （x ）＝（x ≥－）评述：比较上述两种不同解法的区别：我们发现解法一思路自然，但过程较繁，解法二思路敏捷避免了求反函数这一步，从而减少了运算量，但它的掌握需要我们特别熟悉互为反函数的两个函数间的关系.［例2］已知函数f （x ）＝，函数y ＝ｇ（x ）的图象与函数y ＝f －1（x ＋1）的图象关于直线y ＝x 对称，求ｇ（5）的值.分析：此题需要找到ｇ（x ）才能求出ｇ（5）的值.解：∵y ＝f （x ）＝∴x ＝1＋又∵y ≠2∴f －1（x ）＝1＋（x ≠0）∴f －1（x ＋1）＝1＋又∵y ＝f －1（x ＋1）＝1＋∴x ＝1＋ ∴y ≠1∴f －1（x ＋1）的反函数ｇ（x ）＝1＋（x ≠1）∴ｇ（5）＝1＋＝评述：（1）以上解法是一种通用方法，思路简单自然，不失为一种能体现我们扎实的基本功和脚踏实地的学习精神的好方法，故应引起足够重视.（2）对于以上例2，也可以有如下巧解：∵ｇ（x ）是f －1（x ＋1）的反函数∴ｇ（5）其实等于f －1（x ＋1）＝5时的x 值，∵f [f －1（x ＋1）]＝f （5）∴x ＝f （5）－1＝－1＝显然，这种解法给我们以一种恰到好处的感觉.2019-2020年高一数学 2.4反函数（第一课时）大纲人教版必修课时安排2课时从容说课反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。

高一数学指、对数函数与反函数

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赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。民歌有意思，留在春营地和路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。财富离幸福有多远？贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。有人不想多办事，也不想到哪儿去以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享受，与幸福无关。（二）人有时不知道自己到底要什么。如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只占一成，饮食男女而已。于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。（三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。（四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的住房。在，听朋友交流打高尔夫球的体会。而到了深圳，几位巨富比较各自的健康状况，甘油三脂，高密度脂蛋白胆固醇（HDL），后者在每公升血液中多一毫克，心肌梗塞的发生率会下降3%。 ? 我想到，太行山农人的甘油三脂和HDL一定最让深圳的富豪倾心。这样，又想起海因里希·伯尔那篇一个渔夫在海边晒太阳，有游客劝他工作等等的小说。人的努力常常会使目标回到原地，换句话说，人也许不知道自己的幸福在哪里。有时，人只为温饱而工作，没有办法去为幸福而谋划，因为谋划的结果大多是财富或满足，离幸福仍然很远。 ? 其实幸福太简单，简单到我们承担不了。（五） ? 为什么穷人离幸福很近？ ? 如同朴素离美很近那样，穷人的愿望低而单纯。人在风雪路上疾走，倘遇暖屋烤火，是一种幸福。把汗湿的鞋垫抻出来，手脚并感炉火的温暖，与封侯何异？这时，倘有一杯热茶与点心，更让人喜出望外。这样的例子太多，如避雨之乐，推重载之车上坡幸无顶风之乐，在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，在快餐店吃饭忽闻老板宣布啤酒免费之乐，走夜路无狼狗尾随之乐。穷人太容易快乐了，因为愿望低，“望外”之喜于是多多。有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，是因为此类幸福需要风雪、推车、捡报纸以及走夜路这些条件。 ? 穷人的幸福差不多是以温饱不逮为前提的，满足了温饱，幸福却变得悭吝，它的价值又升高了。 ? 除非你有意过一种简单的生活。（六）贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。蝴蝶一如梦游人 ? 会飞的生灵里，蝴蝶一如梦游人。它好像不知住哪儿飞，断断续续。鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，什么样的生活，醉醺醺，有一点混乱，甜蜜忧伤各半，如蝴蝶。 ? 蝴蝶蹁跹，像找丢失的东西。仔细看，它啥东西都没丢，触须、肚子和翅膀是它的全部家当。它飞，一跳一跳，像人跺脚。也许，它视陆地为海洋，怕浪花打湿衣袂。 ? 蝴蝶有大梦，伏落灌木的时候，其实在工作。梦里飞里，直至被露水凉醒。诺瓦利斯说：“如果在梦中梦见自己做梦，梦就快醒了。”它梦见城市的水泥地面长满卷心菜和十字花科椰菜，楼顶冒出清泉，空气变好了。蝴蝶对空气很挑剔，它的肺太纤弱。蝴蝶梦到月亮跟太阳商量，替值一个白班。月色昼夜相连，雾一般的蝴蝶弥漫城市上空，如玉色的落叶，却无声息。人愿把蝴蝶想象为女性，正如可以把鸟类想象为男性。鸟儿高飞，一如士兵。蝴蝶一生都在草地灌木中。蝴蝶假如不怯生，从敞开的窗飞进人类的家里，那么—— 落在酣睡的孩子的额上，有如天使的祝福。落书页上，好像字句开出素白的花。落碗边，仿佛里面装满泉水。 ? ?落鞋上，这双鞋好像刚刚走过长满鲜花的草地。 ? 落于枕旁，人梦见青草像一片流水淹没大地。 ? 蝴蝶落在墙上的竹笛上，笛孔屏息，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。蝴蝶飞过人的房间，看人的床辅、厨房、牙刷和眼镜，缓缓飞出窗外，接着梦游。春天是做梦的季节，边飞边梦，蝴蝶就像年青人。黄金不用是废铁 ? 讲个故事吧。有一个老汉勤劳致富。他种的粮食，自用之外卖钱，再把钱换成黄金。这些金子放丰一只瓦罐里，摆在屋檐下面。老汉累的时候，或者需要娱乐的时候，背着手看这些金锭，它们闪闪发光，像歌颂老汉的不凡。当然，喜欢黄金的人并不只老汉一个人，别人也喜欢。别人不想经历种粮食、卖粮食、换钱再买黄金这么复杂的历程，把老汉的偷走了。黄金没了，老汉就哭。他没想到别人用偷的方法积累黄金。他觉得自己的粮食啊，汗水啊，青春啊，特别是黄金，都让这个人偷走了。悲声惊动了邻居，大伙儿围成一圈儿，听老汉哭。 ? 一位邻居说：这些黄金你用过吗？用的意思是打个戒指，或者换一头小毛驴替代劳动，也包括送给别人施善。老汉说：没有。邻居说：没用过，你哭什么？ ? 老汉说什么话？没用过就不疼吗？没用过就没有价值吗？ ? ?邻居说：嗨，没用过的东西就跟没有东西是一样的。黄金对你来说，用处只在看。别哭啦，你可以看其他的东西，比如花、比如天空的云彩。还有，你拿几块镀金的元宝放在罐子里，不也好看吗？老汉止住了哭泣。他不赞成邻居的话，但这一番话让他无法反驳，只好认为自己不曾有过黄金，别人也未曾偷走它。故事就是这样，不一定真正发生过，但有一点儿趣味。一个有才能的人不运用才能，就贫穷如老汉，

高一数学反函数的概念

4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C)和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy ；了解)(1x f表示反函数的符号，1f表示对应法则.2、探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y （R x ）的反函数是（2）2x y （0 x ）的反函数是（3）2x y （0 x ）的反函数是学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题）例2．求下列函数的反函数：（1）24 x y （2）13x y （3）)0(12x x y（4）)21,(2413x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1）变形:解方程，)(x f y 得)(1y fx ；（2）互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy ；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法：（1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12x x y ；②)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） xy )21( （B ）x y 2 （C ）xy 3 （Ｄ）x y 103、设)1(22)( x x x f ，则)(1x f（ D ）（A ）在（), 上是增函数（B ）在（), 上是减函数（C ）在),0[ 上是减函数（Ｄ）在（]0, 上是增函数4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为（ B ）A B C D5、)21( 22x x x y 反函数是（ B ）（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y（D ）)10( 112 x x y6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知ab y a x1. 所以函数b ax y 的反函数为a by a x1. 由于函数b ax y 的反函数aby a x 1就是函数b ax y 本身，即有xxxyyyya a 1，且b ab. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置练习册4.5 A 组六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.。

2020高一数学：反函数的定义

【文库独家】
反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，
例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数
f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为
[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．
4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．。

高一数学函数知识点总结

高一数学函数知识点总结高一数学函数知识点1映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.高一数学函数知识点2函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.高一数学函数知识点3函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点4函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。

高一数学 2.4反函数(第一课时) 大纲人教版必修

§2.4 反函数课时安排2课时从容说课反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。

由于反函数的定义，本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中，从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步抽象概括出反函数的定义，反函数定义的描述，便得求反函数问题有了明确的步骤，而学生在具体求指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时，正负的选取问题及求原来函数的值域问题，教学中要予以足够的重视。

本节通过学习互为反函数的两个函数图象之间的关系，不仅使学生进一步从形的角度认识了互为反函数的两个函数之间的关系，也为后面将要学习的指数函数与对数函数的图象打下基础。

第一课时●课题§2.4.1 反函数●教学目标(一)教学知识点1.反函数的概念.2.反函数的求法.(二)能力训练要求1.使学生了解反函数的概念.2.使学生会求一些简单函数的反函数.(三)德育渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力.●教学重点1.反函数的概念.2.反函数的求法.●教学难点反函数的概念.●教学方法师生共同讨论法通过师生的共同讨论，使学生清除自学中遇到的疑点、困感点，弄清楚反函数的概念，掌握求反函数的方法.●教具准备幻灯片两张：第一张：反函数的定义，记法、习惯记法(记作§2.4.1 A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲(记作§2.4.1 B)●教学过程Ⅰ.新课引入［师］我们知道，物体做匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s＝vt其中速度ｖ是常量.反过来，也可以由位移s 和速度ｖ(常量)确定物体做匀速直线运动的时间，即t ＝vs 。

问题1：函数s=vt 的定义域、值域分别是什么？问题2：函数t=vs 中，谁是谁的函数？问题3：函数s=vt 与函数t=v s 之间有什么关系？〔以上问题1、2，学生不会感到困难，对于问题3，教师应帮助学生从函数的三要素变化，分析两个函数的关系，即两函数的对应法那么恰恰相反好相反，定义域与值域也恰好对调〕。

高一反函数知识点

高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。

在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。

一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。

如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。

这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。

一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。

2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。

3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。

二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。

下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。

具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。

3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

高一数学反函数课件

反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函数也是单调增函数；如果原函数是单调减函数，则其反函数也是单调减函数。
反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也是奇函数；如果原函数是偶函数，则其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，值域为$B$，如果存在一个函数$g(y)$，其定义域为 $B$，值域为$A$，并且满足$g(f(x))=x$，则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些特殊的不等式，例如求解一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质，可以比较两个数的大小，例如比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些数学不等式，例如证明算术平均数大于等于几何平均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数，可以研究函数的单调性，例如研究指数函数、对数函数的单调性。
当原函数的定义域和值域都是实数集时，反函数的图像是可绘制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变，横坐标互换。
反函数图像的横坐标不变，纵坐标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性

学生对反函数概念的理解

从上述图表中可以看出，５０％以上的高一学生对反函数概念定义的回答还处于水平一（前结构水平），高二学生在四个水平上的分布相对来说是比较均匀的，高三大部分学生处在水平二（单结构水平）和水平三（多结构水平）上。

让人感到意外的是，对反函数概念定义的回答达到水平四（关联水平）的高二学生远远多于高三学生，水平四上的高一和高三学生人数百分比是相当的。

ｖｉｎｎｅｒ的关于定义与概念表象关系的理论，在这里或许能够作为一个很好的解释：学生在学习过程中不断建构反函数概念的表象，而反函数概念的定义在建构中起到了“协助”作用，是概念形成的脚手架，随着概念表象建构得越来越准确，直到反函数概念大厦筑成之后，他们再次看到“反函数”一词时的反应一般就不再拘泥于定义的形式，而是有了自己完善的理解。

在本研究后面的分析中我们也将会看到，事实上，高三学生在解答题目的表现上确实是好于其他两个年级的。

图２显示了三个年级所有学生对反函数概念定义回答水平的比较。

塑墼堡垒重墨旦查查！塑！！趣一从上述图表中可以看出，学生对反函数概念定义的回答一般可以达到水平二和水平三：由于高一有一半以上学生的回答还处于水平一，所以，尽管高二、高从表２中可以看出，就年级来讲，学生呈现出的各种理解的总频数高二年级为１０８次，比学生数高出９２．９％；高三年级为６１次，比学生数高出４５．２％；高一年级为６５次，比学生数高出２２．２％。

就总体来讲，学生呈现出的各种理解的总频数为２３４次，比学生数高出５３．９％。

比学生数高出的百分比越大，说明有些学生回答中呈现出的概念表象越多，从而可以说明学生对反函数概念定义各个侧面的理解越全面。

以上数据表明对反函数概念定义理解的全面程度从高到低依次为高二年级、高三年级和高一年级。

从上述图表中学生呈现出的各种理解来看，高一年级学生的“无／错表象”在各种理解中是最高的，达４４．６％，而高二和高三年级学生的“无／错表象”一类在各种理解中仅分别占１２．Ｏ％和１１．５％。

高一年级数学函数知识点归纳

高一年级数学函数知识点归纳【(一)、映射、函数、反函数】1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，能够避免求反函数的过程，从而简化运算.【(二)、函数的解析式与定义域】1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存有的，所以，要准确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的相关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.【(三)、函数的值域与最值】1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：使用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数相关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]能够求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存有一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.所以求函数的最值与值域，其实质是相同的，仅仅提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别注重实际意义对自变量的制约，以便能准确求得最值.【(四)、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).准确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。

高一数学单调性反函数

黄冈中学高一数学函数的单调性反函数1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增函数．（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性函数 y=ax＋b(a≠0)y=(a≠0) y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 单调区间 (－∞,＋∞)(－∞,0) (0,＋∞) (－∞,－] [－,＋∞) 单调性 a>0 增函数减函数减函数减函数增函数 a<0 减函数增函数增函数增函数减函数4、反函数的概念：（1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．5、反函数的性质:（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即函数y =f－1(x)函数y=f(x)定义域 A C值域 C A6、互为反函数的图象关系:函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．7、反函数与原函数的其它性质和联系:1）反函数与原函数 f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.（2）反函数与单调性:如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．8、复合函数的单调性::复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：（1）求出复合函数的定义域；（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.三、方法指导1、判定函数单调性的方法:（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．第四步：判断．根据定义作出结论．即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．②当f(x)恒为正或恒为负时，函数的单调性相反．③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．（3）图象法：根据函数的图象进行判断．例1、讨论函数（x>0）的单调性.例2已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.（1）求f(x)的反函数f－1（x）；（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.例4、求函数的值域例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点，求函数f(x)的解析式.例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)=1，解不等式.。

高一数学必修一反函数和互为反函数

反函数的概念
1、反函数的概念。（1）能否将圆周长y表示成关于圆半径 x的函数？（2）能否将圆半径x表示成关于圆周长y的函数？
问题1：
任何函数都可以x与y互换变作一个新函数吗？如：y x2
函数:
在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f , y都有唯一确定的实数值与它对应，那么
(5) y x2 1 x 0 ; ( 6) y 3x 1 ;
4x 2
(7) f (x) 2 x 2, x ,3 ( 8) y x2 x 1, x 1
3
2
注意: (1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。 (2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接
问题8：反函数与原函数的单调性是否一致？答：反函数与原函数的单调性一致。
求证：已知函数y f x在定义域D上单调递增，求证其反函数y f 1x在对应区间A上也单调递增。
证明：假设y f 1 x在对应区间A上不单调递增。即存在x1 x2 x1, x2 A,
使得f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 , f 1 x2 D ,
答：不是。f 1x a的反函数是y f x a。 f 1 x a与f x a图像关于y x a对称。
例4：已知f x 1 x ,求f 1 x 1。
x 1
例5：设函数 f (x) 1 2x ，函数 y g(x) x 1
的图像与 f 1(x 1) 的图像关于直线 y x
B 对称，则 g(2) ………………（）
y就是x的函数。记作：y f x, x D
结论：
一一对应的函数，若自变量x与因变量y 互换就产生一个新函数，新函数的定义域为原函数的值域，新 x, x D, y A.

探究与发现：互为反函数的两个函数图象间的关系高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

得出结论
y2
x
与y
log 2 x 的图象关于直线 y x 对称.
探究三互为反函数的两个函数图象间的关系
问题8：指数函数 = （ > , 且 ≠ )及其反函数
= （ > , 且 ≠ )的图象关于直线 = 对
称吗？为什么？
探究三互为反函数的两个函数图象间的关系
课堂练习：求出下列函数的反函数，画出图象，并判
断它们关于直线 = 对称吗？
（1） =

(2) = −3
探究三互为反函数的两个函数图象间的关系
课堂练习：求出下列函数的反函数，画出图象，并判
断它们关于直线 = 对称吗？
（1） =
y

解：由y e
x
可得x ln y
4
2
4
3
8
3
8
4
16
4
16
A
B
A
B
探究一反函数概念的理解
问题3. 函数中的自变量和因变量发生了什么样的变化？

1
2
1
2
2
4
2
4
3
8
3
8
4
16
4
16
A
B
A
B
原函数
自变量
因变量
自变量
因变量
反函数
探究一反函数概念的理解
问题4. 如果原函数的解析式是 = ,请尝试求其反函数的解析式，
（1）如果两个函数的图象关于直线 = 对称，那么两
个函数互为反函数吗？
（2）哪些函数存在反函数？
（3）反函数的性质.

高一数学反函数定义

反函数
完成下列填空：
（y=12）x解函出数xy==_212_x_的_y_定__义,这域样是对_于__Ry_在__R,值上域任是一_个__R值__，__通。过如式果子由x= 1 y ，x在R上有唯__一__确__定__的值和它对应，故x是__y__的函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
定义域： [-1,) 值域： [0,+)
新函数：
xy2 1
[0,+) [-1,+)
在(1)中，我们称新函数 x 1 y 为原函数y=f(x)=2x的
反函数,记为：x
f
1 ( y)
1 2
y.
2
改写为：y
f
1 ( x) 1 x( x R). 2
1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
2
1
4
2
:
:

x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____，对应的函数值是___x____。
（2）函数 y x1的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是__[0_,_+__)__。
如果由 y x1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0，+)上的任一个值，通过式子x=__y_2 ___1___,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
反函数（第一课时）
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的

高一数学最新课件-反函数的概念[原创] 精品

(y∈C,x∈A)
y = f –1 (x) (x∈C,y∈A) 是 y =f(x)的反函数
四、反函数的求法
交换反解x x=f –1（y） y = f（x） x,y
y = f –1（x）（注明x的范围）
四、反函数的求法
例 1 : 求下列函数的反函数
(1). y x 1 (x 0)
-1
-1
-1
因为x≤2，所以x=0
五、小结
1、反函数的定义：
y=f(x) (x∈A,y∈C)
交换
X,Y
是函数
求x
x = f –1 (y)
(y∈C,x∈A)
y = f –1 (x) (x∈C,y∈A) 是 y =f(x)的反函数
Байду номын сангаас
2、反函数的求法：
三注明。一反解、二交换、
六、作业布置
1. 课本 P64 1、2题
注意：
原函数与反函数互为反函数。
四、反函数的求法
变式2. (1)已知 f(x) x 2 4x 2 (x 2),求f -1 (2)的值
法1 : 先求 f (x), 再求 f (2).
法2 : 要求 f ( 2 ) 即求f(x)=2时所对应的x的值，
由x2 – 4x+2 =2 x=0或x=4
y
则x 2
y2
2 0 –2 . 2 x
x 2 x 2 - y 2
交换x，y得, y 2 - x 2
又原函数的值域为 [ - 2，+∞)，
f ( x) 2 x 2 ( x 2)
1
四、反函数的求法
变式 1 : 已知g(x) 2 - x 2 (x - 2), 求 g-1( x)

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高一数学反函数的图象

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2020高一数学：反函数的定义

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高一数学反函数课件

学生对反函数概念的理解

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高一数学 单调性 反函数

高一数学必修一反函数和互为反函数

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高一数学单调性反函数

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