离散数学课件1.1
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
否定与汉语中的“非”、“不是”、“否定”是一致 的。
11/20/2020
chapter1
10
1.2 联结词
2、合取 ∧ P∧Q是P和Q的合取, 读做“P与Q”或“P并且Q”。
PQ
P ∧Q
00
0
01
0
10
0
11
1
如： P: 王华的成绩很好。
Q: 王华的品德很好。
P∧Q: 王华的成绩很好并且品德很好。
(2)刘昕这次考试可能是全班第一也可能是全班第二。 这两例表示的均是排斥或，即两种情况不能同时出现， 这时便不能仅用析取词∨表示。
11/20/2020
chapter1
13
1.2 联结词
4、条件 → P→Q, 读做 “如果P, 那么Q”或“P则Q” 。 运算对象P叫做前提 , 假设或前件, 而Q叫做结论或后件。
11/20/2020
chapter1
5
1.1 命题及其表示法
【例2 】求公式(P∧Q)∧┐P的真值表。 解： 分以下３步求得: (1) 写出公式┐P的真值表; (2) 写出公式P∧Q的真值表; (3) 根据(1)和(2), 写出公式(P∧Q)∧┐P的真值表。
为清楚起见, 我们将这３步列在一个表内, 见下表。
x+3 表示运算结果。在命题演算中, 联结词就是命题演算 中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻辑联结词。常用的有以 下 5 个。
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1.2 联结词
2、合取 ∧ P∧Q是P和Q的合取, 读做“P与Q”或“P并且Q”。
PQ
P ∧Q
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0
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如： P: 王华的成绩很好。
Q: 王华的品德很好。
P∧Q: 王华的成绩很好并且品德很好。
(2)刘昕这次考试可能是全班第一也可能是全班第二。 这两例表示的均是排斥或，即两种情况不能同时出现， 这时便不能仅用析取词∨表示。
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1.2 联结词
4、条件 → P→Q, 读做 “如果P, 那么Q”或“P则Q” 。 运算对象P叫做前提 , 假设或前件, 而Q叫做结论或后件。
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1.1 命题及其表示法
【例2 】求公式(P∧Q)∧┐P的真值表。 解： 分以下３步求得: (1) 写出公式┐P的真值表; (2) 写出公式P∧Q的真值表; (3) 根据(1)和(2), 写出公式(P∧Q)∧┐P的真值表。
为清楚起见, 我们将这３步列在一个表内, 见下表。
x+3 表示运算结果。在命题演算中, 联结词就是命题演算 中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻辑联结词。常用的有以 下 5 个。
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为假时， 为真，可称为空证明 （3）当p为假时，p→q为真，可称为空证明 常出现的错误： （4） 常出现的错误：不分充分与必要条件
例
设p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符 ：天冷， ：小王穿羽绒服， 号化
（1）只要天冷，小王就穿羽绒服 ）只要天冷，小王就穿羽绒服. （2）因为天冷，所以小王穿羽绒服 ）因为天冷，所以小王穿羽绒服. （3）若小王不穿羽绒服，则天不冷 ）若小王不穿羽绒服，则天不冷. （4）只有天冷，小王才穿羽绒服 ）只有天冷，小王才穿羽绒服. （5）除非天冷，小王才穿羽绒服 ）除非天冷，小王才穿羽绒服. （6）除非小王穿羽绒服，否则天不冷 ）除非小王穿羽绒服，否则天不冷. （7）如果天不冷，则小王不穿羽绒服 ）如果天不冷，则小王不穿羽绒服. （8）小王穿羽绒服仅当天冷的时候 ）小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
（1）—（3）说明描述合取式的灵活性与多样性 （ 要求分清联结词“ （4）—（5）要求分清联结词“与”联结的复合 （ 命题与简单命题 将各命题符号化
析取式与析取联结词“ 3. 析取式与析取联结词“∨” 定义1.3 为二命题，复合命题“ 定义1.3 设p, q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 称作 的析取式， 称作析取联结词， 的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规定
离散数学
高等教育出版社
Baidu Nhomakorabea
离散数学-半群
（commutative semigroups）。
（2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群
（cancelable semigroups）．
（3）称S中元素a是b的因子（factor），如果
有S中元素c，d，使 b = ac，b＝da． （4）在可约交换独异点<S,•,e>中，若a是b的
因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴
x,
f
(w))
其中wS,xA 。
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.5
设<S,•,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点， A,B分别为它们的生成集， 且 A = B ，那么<S,•,e1>和<T,,e2>同构。
.
半群
1.3 半群及高斯半群
➢定义11.3
设<S，>为一半群，那么
（l）当 满足交换律时，称<S，>为交换半群
（相伴关系等价类）． （3）S的相伴类具有相同的基数．
.
半群
1.3 半群及高斯半群
✓ 定理11.8 可约交换独异点
<S，, e>的商半群 <S/～，, [e]~>（～为 相伴关系）为一可 约交换独异点，且 S/～ = S /[e]~ .
➢ 定义11.4 设<S,, e>为可
（2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群
（cancelable semigroups）．
（3）称S中元素a是b的因子（factor），如果
有S中元素c，d，使 b = ac，b＝da． （4）在可约交换独异点<S,•,e>中，若a是b的
因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴
x,
f
(w))
其中wS,xA 。
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.5
设<S,•,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点， A,B分别为它们的生成集， 且 A = B ，那么<S,•,e1>和<T,,e2>同构。
.
半群
1.3 半群及高斯半群
➢定义11.3
设<S，>为一半群，那么
（l）当 满足交换律时，称<S，>为交换半群
（相伴关系等价类）． （3）S的相伴类具有相同的基数．
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半群
1.3 半群及高斯半群
✓ 定理11.8 可约交换独异点
<S，, e>的商半群 <S/～，, [e]~>（～为 相伴关系）为一可 约交换独异点，且 S/～ = S /[e]~ .
➢ 定义11.4 设<S,, e>为可
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（2）
（3）
p→（﹁q∨p） 为永真式，
﹁（p→q）∧q 为永假式。
§1.3 等值演算 1 等值式定义
设A、B为两命题公式，若等价式A ↔ B是永真式（重言式）， 则称A与B是等值式，记作A B 性质：
• 自反性：对任意命题公式A，有AA
• 对称性：对任意命题公式A和B，如果AB，那么BA • 传递性：对任意命题公式A、B和C，如果A B且BC， 那么AC 说明：
否定联结词（ ﹁）
设p为任一命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p
的否定式，记wenku.baidu.com﹁p。 ﹁p为真当且仅当p为假。
p 1 0 例： 若 p：2是偶数，则﹁p：2不是偶数。 ﹁p 0 1
显然， p与﹁p必为一真一假。
§1.1 命题与联结词
合取联结词（ ∧）
设p、q为两任意命题，复合命题“p并且q”（或“p和q”） 称为p与q的合取式，记为p∧q。 p q p∧q 0 0 0
§1.3 等值演算
等值演算
基于上述基本等值式可以推演出更多的等值式来，称根据已知 等值式推演出另外一些等值式的过程称为等值演算。 置换定理 设Φ(A)是含命题公式A的命题公式， Φ(B)是用命题公式B置 换了Φ(A)中的A之后得到的命题公式，如果AB，则：
Φ(A) ＝Φ(B) 。
如对于命题公式p∨﹁(q∧r)，根据德•摩根律，可将﹁(q∧r)
离散数学第一章
离散数学第一章
1.1命题及其表示法
1.1.1 命题的概念
数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示
命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。R：我是一名大学生。
1.2命题联结词
1.2.1 否定联结词﹁P
P P
0 1
1 0
1.2.2 合取联结词∧
P∧
P Q Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.2.3 析取联结词∨
P∨
P Q Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
1.2.4 条件联结词→
P Q Q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
1.2.5 双条件联结词?
P?
P Q Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.2.6 与非联结词↑
P↑
P Q Q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
性质：
（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；
（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓
P↓
P Q Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
性质：
（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；
（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；
（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释
1.3.1 命题公式
定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
《离散数学》课件-第1章命题逻辑
8
联结词 • （三）析取
• 定义1.1.6 设p、q表示任意两个命题, p q 可表示复合
命题“p或q”。当且仅当p和q的真值同时为假时，p
q的真值为假。
p q p q
• • 例如：
p q的真值表：
TT
T
TF
T
FT T
• p: 今天去看电影； q: 今天去公园。 F F
F
p q: 今天去看电影或今天去公园。
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联结词
• 等值式pq • 表示p与q互为充分必要条件的逻辑关系 • 表示形如“p当且仅当q”， • “如果p，那么q，反之亦然”等的命题。
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例题
• 将下列命题符号化： ➢ 虽然天气很冷，老王还是来了。 ➢ 小王和小李是好朋友。 ➢ 小王和小李是好学生。 ➢ 小王或小李中的一人是游泳冠军。 ➢ 只有你学过微积分或是数学系的学生，才可以选修这门课。 ➢ 如果明天早晨6点不下雨，我就去跑步。 ➢ 今天下雨与3+3=6。 ➢ 登陆服务器必须输入一个有效的口令。 ➢ 2+3=5的充要条件是加拿大位于亚洲。
(AB)都是命题公式。 4.一个由命题常元或命题变元、联结词和括号所组成的符
号串是命题公式，当且仅当这个符号串是有限次应用上 面的步骤得到的。
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命题公式
• 一个含有命题变元的命题公式的真值是不确定的.
离散数学课件ppt课件
解 在解题时，先将原子命题符号化。 (1) P：张晓静爱唱歌。 Q：张晓静爱听音乐。
显然(1)中“或”为相容或，即P与Q可以同时为真，符号化 为P∨Q.
(3) T：张晓静挑选202房间。 U：张晓静挑选203房间。
由题意可知，(3)中“或”应为排斥或。T，U的联合取值 情况有四种：同真，同假，一真一假(两种情况)。如果也符 号化为T∨U，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。 因而不能符号化为T∨U.
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词， 符号化为 (T∧┐U)∨(┐T∧U)
(2) R：张晓静是江西人。 S：张晓静是安徽人。
易知，(2)中“或”应为排斥或，但不可能同时为真，可 符号化为R∨S.
4 蕴涵联结词→ 定义 1.4 若P,Q是两个命题, 则由蕴涵词→和命题P,Q组成的复合 命题 P→Q 称为P,Q的蕴涵式, 读作“如果P, 则Q”。
P∨Q为真当且仅当 P,Q 至少有一个为真 因此只有P,Q同时为假时, P∨Q 才为假。
显然(1)中“或”为相容或，即P与Q可以同时为真，符号化 为P∨Q.
(3) T：张晓静挑选202房间。 U：张晓静挑选203房间。
由题意可知，(3)中“或”应为排斥或。T，U的联合取值 情况有四种：同真，同假，一真一假(两种情况)。如果也符 号化为T∨U，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。 因而不能符号化为T∨U.
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词， 符号化为 (T∧┐U)∨(┐T∧U)
(2) R：张晓静是江西人。 S：张晓静是安徽人。
易知，(2)中“或”应为排斥或，但不可能同时为真，可 符号化为R∨S.
4 蕴涵联结词→ 定义 1.4 若P,Q是两个命题, 则由蕴涵词→和命题P,Q组成的复合 命题 P→Q 称为P,Q的蕴涵式, 读作“如果P, 则Q”。
P∨Q为真当且仅当 P,Q 至少有一个为真 因此只有P,Q同时为假时, P∨Q 才为假。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件
第一章：离散数学简介
1.1 离散数学的定义
离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用
离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。第二章：集合与逻辑
2.1 集合的基本概念
集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算
集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念
命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础
3.1 图的基本概念
图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算
图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用
图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学
4.1 排列与组合
排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理
分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理
包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。第五章：命题逻辑与谓词逻辑
5.1 命题逻辑
命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
离散数学-域
.
域
1.1 域和Biblioteka Baidu域
定理11.48
设<F1 ,+ ,·>,<F2 ,+ ,·>都是域<F ,+ ,·>的 子域，那么<F1F2 ,+ ,·>也是域F的子域．
定理11.49
含么非零交换环<F ,+ ,·>为域，当且仅 当F没有非平凡的理想．
.
域
1.1 域和子域
定理0
设<F ,+ ,·>为域，那么当 F的特征数 为质数 p时，F包含一个与<Np,+ p, p> 同构的子域；当 F的特征数为时， F包含一个与< Q ,+ ,·>同构的子域．
.
域
1.2 有限域
定理4
设F为域，k（x）为F[x]中的n次F多项式，它是不可约的．那么，F[x,n] 与通常的多项式加运算及多项式模 k（x）相乘运算构成一个域．
.
域
1.2 有限域
定理5
对任一质数p及任一正整数n，有阶 （元素个数）为pn的有限域F．
定理6
两个有限域F1,F2同构,当且仅当它们 具有相同数目的元素.
离散数学导论
.
域
1.1 域和子域
定义11.28
称< F,+,·>为域（fields）,如果< F,+,·>
离散数学讲解第一章
{10} =(A－B)－E ＝(A－B) ∩C {n | n是偶数且n＞10} = C －A { n | n是偶数且n≤10,或n是奇数且n≥9}
=(C∩A) ∪(E－B）
例：设AB，C D，求证AC BD
证明：用定义推导的方法 （1）当AC=时，结论显然成立； （2）当AC≠时，xAC，有 ① xA，则xB，故xBD； ② xC，则xD，故xBD
2018/12/20
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练习
例：设A={a, b, {c}, {a}, {a,b}}，试指出 下列论断是否正确。
(1) aA (3) {a} A (5) A (7){b} A
(√) (√) (√) (√)
(2) (4) (6) (8)
{a}A (√) (×) A (×) {b}A {a,b,c} A (×)
27
3. 相对补集:设有集合A、B，由属于B而不属于A 的所有元素组成的集合,称为A关于B的相对补 集, 记作B-A B-A = { u | uB，uA) }
例：A＝{2,5,6} 则 A-B={5,6} B-A
2018/12/20 28
B={3,4,2} B-A＝{3,4}
4. 绝对补集:集合A关于全集合U的相对补集，称为A 的绝对补集，简称为A的补集，记作A’ A’=U-A ={u|(u U, u A)} ={u | u A)}
离散数学第1讲
言3
通过该课程的学习，学生应当了解并掌握计算机科学中 普遍采用的离散数学中的一些基本概念、基本思想、基 本方法。
自学要求：
通过反复看书及做课后习题，来加深对该课程中的一些 基本概念的理解，逐步提高自己的抽象思维和逻辑推理 能力。
5
第一部分 数理逻辑
• • • • • 第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑的推理理论 第四章 一阶逻辑的基本概念 第五章 一阶逻辑的等值演算与推理
1、是否为陈述句； 2、是否有确定的、唯一的真值。
9
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：
1) 我是学生。 2) 6不是自然数。 3) 2是素数。
是命题，真值F
是命题，真值F 是命题，真值T
4) 2+3=5。
5) 3能被2整除。
是命题，真值T
是命题，真值F
10
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的 陈述句的陈述句构成。 如上例中的命题。 复合命题：由简单命题通过联结词联结而 成的陈述句。 如下例。
16
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：将下面这段陈述句中所出现的原子命题符号化，并指出 它们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 解：这段陈述句中出现5个原子命题，将它们分别符号化为： p: 是有理数； q：2是素数； r：2是偶数； 2 s：3是素数； t：4是素数。 将原子命题的符号代入上面陈述中： 非p； q并且r； 如果q，则s； q当且仅当s。（半形式 化的语言）。 形式语言：完全由符号所构成的语言。
离散数学课件 第一章
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
1. 单个命题变项（或常项）是合式公式。
2. 如果A是合式公式，则┒A是合式公式。
3. 如果A、B是合式公式，则A∨B、A∧B、 A→B、A↔B也是合式公式。
当且仅当有限次运用（1）（2）（3）所得到的 符号串是合式公式。
括号与联结词的优先级
1 公式的最外层括号可以省略； 2 联结词的优先级： ┓ 最高；
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
3) ¬ p ∧ (p∨(¬ q∧p))
命题公式的类型
永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真 永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假
可满足式： 如公式不是矛盾式就是可满足式，即至 少存在一个赋值使公式为真
矛盾式 仅可满足式 公式 可满足式 永真式
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比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
1. 单个命题变项（或常项）是合式公式。
2. 如果A是合式公式，则┒A是合式公式。
3. 如果A、B是合式公式，则A∨B、A∧B、 A→B、A↔B也是合式公式。
当且仅当有限次运用（1）（2）（3）所得到的 符号串是合式公式。
括号与联结词的优先级
1 公式的最外层括号可以省略； 2 联结词的优先级： ┓ 最高；
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
3) ¬ p ∧ (p∨(¬ q∧p))
命题公式的类型
永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真 永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假
可满足式： 如公式不是矛盾式就是可满足式，即至 少存在一个赋值使公式为真
矛盾式 仅可满足式 公式 可满足式 永真式
离散数学第一章PPT课件
兼或”、“排斥或”和“表示近似的或”，因此需要
指出命题逻辑中的“或”是指哪一种。先看下表给出
或的含义
联结词 非联结词
的例子。
可兼或 排斥或 表示近似数的或
例子
说明
两者至少有一个发生，不 排斥两者都发生的情况 非此即彼，不可兼得 表示近似数
a· b ＝ 0 即 a ＝ 0 或b ＝0 或a ＝b ＝ 0
否则没有意义，但对条件命题 PQ来说，只要 P 和Q 能够确定 真值， PQ 即成为命题。在条件命题中，若前提为假时，条 件命题的真值为真，称为善意的推断。前件假而整个句子为 真的例子，在自然语言中也是常见的，如：假如给我一根合 适的杠杆，我可以把地球撬起来。
条件式 PQ 表示的基本逻辑关系是： Q 是 P 的必要
定义1.3 一个命题标识符如表示真值确定的命题， 则称其为命题常元，如果命题标识符表示真值不确定 的陈述句，则称其为命题变元。
1.1.3 命题联结词
通过命题联结词可以把原子命题复合成一 个复合命题，命题逻辑中常用的联结词有以下 五种：“非”、“且”、“或”、“如果…， 则…”、“…当且仅当…”，下面给出它们的确 切含义和符号表示。
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
离散数学第一章课件
21
三. 原子命题与复合命题
简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句构成 的命题 (该句再不能分解成更简单的句子了)。 通常用大写英字母表示。 例1-1.1中的命题都是原子命题。 复合命题 (分子命题)：由若干个原子命题构成 的命题。而且这些简单命题之间是通过如“或 者”、“并且”、“不”、“如果...则...”、 “当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合 而构成一个复合命题。
35
联结词理解难点
联结词“→”是自然语言中的“如果…，则…”， “若…，才能…”、“除非…，否则…”等的逻辑抽 象。主要描述方法有： （1）因为P 所以Q； （2）只要P 就 Q； （3）P 仅当 Q； （4）只有Q，才P； （5）除非Q，才P； （6）除非Q，否则非P； （7）没有Q，就没有P。
16
一. 命题的概念
命题是一个能确定是真的或是假的判断。 （判断都是用陈述句表示）
定义1-1.1具有确切真值的陈述句称为命题, 该命题可以取一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用 “Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。
17
例1-1.1 命题的判定
1.
2. 3.
4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
太阳是圆的； 成都是一个旅游城市； 北京是中国的首都； 这个语句是假的； 1＋1＝10； ｘ+y>０； 我喜欢踢足球； 3能被2整除； 地球外的星球上也有人； 中国是世界上人口最多的国家； 今天是晴天；
北京工业大学《离散数学》课件-第一章 逻辑和证明
第一章
基础：逻辑和证明
1
内容提要
◦逻辑（logic）：思维的规律和规则，是研究推理的科学公元前四世纪由希腊哲学家亚里士多德首创
◦数理逻辑：用数学方法研究逻辑，又称符号逻辑
十七世纪由德国数学家莱布尼兹提出
2
内容提要
命题逻辑
数理逻辑
谓词逻辑
3
4
日常使用的自然语言，往往易产生二义性：
•冬天，能穿多少穿多少；夏天，能穿多少穿多少。
•中国足球，谁也打不赢；中国乒乓球，谁也打不赢。
引入形式符号体系
5
本节摘要
◦命题（离散对象）
◦命题逻辑（离散对象之间的关系）
◦命题逻辑的应用
6
命题
◦命题是一个陈述语句，可判定真假
◦举例：
◦月亮是绿色奶酪做的。◦1+0=1
◦别的星球有生物。
◦坐下！
◦几点了？
◦X+1=2。
◦我正在说谎。
7
命题非命题
说明：
◦只有具有确定真值的陈述句才是命题。一切没有判断
内容的句子，无所谓是非的句子，如：感叹句、祈使
句、疑问句等，都不是命题。
◦命题只有两种真值，“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
◦“具有确定真值”指客观上的具有，与我们是否知道
它的真值是两回事。
8
命题逻辑
◦命题变量：表示命题的变量，习惯上用p, q, r, s, ...表示；
真命题用T表示，假命题用F表示
◦命题逻辑：涉及命题的逻辑领域
研究对象：复合命题
由已知命题用逻辑运算符（联结词）组合而来
只有成绩好和竞赛获奖的同学才能保研
操作符：逻辑联结词
包括[否定，合取，析取，异或，条件，双条件]
9
复合命题：否定联结词
◦令p为一命题，则p的否定记为 p，读作“非p”，一元运算符。
命题之否定的真值表
T F
F T
“非”放在命题最前面表意更清晰。
精品课程《离散数学》PPT课件(全)(1)
4
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
比 如 ： 对 公 式 (p q) ∧r 一 组 赋 值 为 011( 意 即 令 p=0,q=1,r=1)可得真值为1，另一组赋值为010可得真值 为0；还有000，001，111……
(1) p ∧ q，令p：2是偶数，q：2是素数。 (2) p ∧ q，令p： 2|6， q：3|6。 (3) p ∧ q ，令p： 2|8， q：6|8。 (4) p ∧ q ，令p： 5是奇数， q： 6是偶数。 (5) p: 2与3的最小公倍数是6。 (6) p:王丽和王娟是亲姐妹。
19
1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
比 如 ： 对 公 式 (p q) ∧r 一 组 赋 值 为 011( 意 即 令 p=0,q=1,r=1)可得真值为1，另一组赋值为010可得真值 为0；还有000，001，111……
(1) p ∧ q，令p：2是偶数，q：2是素数。 (2) p ∧ q，令p： 2|6， q：3|6。 (3) p ∧ q ，令p： 2|8， q：6|8。 (4) p ∧ q ，令p： 5是奇数， q： 6是偶数。 (5) p: 2与3的最小公倍数是6。 (6) p:王丽和王娟是亲姐妹。
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1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
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Truth table for implication
• • • • • • p q pq __________ T T T T F F F T T F F T
example: p: You never sleep in class
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Converse of an Implication
• Implication: • Converse: • Implication: • Converse:
– If it is raining, then I am going to town.
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Truth table for conjunction
• p q pq
• • • •
T T F F
T F T F
T F F F
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Logic
Section 1.1
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Logic
• Logic is the study of reasoning. It is concerned with whether reasoning is correct. • Logical methods are used in mathematics to prove theorems and in computer science to prove that programs do what they are alleged to do. • The goal of logic is to teach the students how to understand and how to construct correct mathematical arguments. (many applications)
p q r means (p q) r, not p (q r) p q r means (p q) r
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Translating English sentence to logical expressions
Disjunction (OR)
• p: I am going to town. • q: It is raining. • p q: I am going to town or it is raining. • Inclusive or - only one proposition needs to be true for the disjunction to be true.
pq qp
– If I am going to town, it is raining.
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Contrapositive of an Implication
• Implication: pq • Contrapositive: q p • Implication:
• Natural language is often ambiguous.
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Truth table for Exclusive
• • • • • • p q pq __________ T T F T F T F T T F F F
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Truth table for disjunction
• • • • • • p q pq __________ T T T T F T F T T F F F
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r
F T F T F T F T
(pq) r
F T F T F T T T
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Truth Table Summary
p q p q pq pq pq
T F F F T T T F F T T F T F T T T F F T
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Logical operators (connectives)
1. Negation (NOT) • p: I am going to town. • ~p: I am not going to town. • Truth table: p ~p T F F T
q: You will pass the final exam
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Implication - Equivalent Forms
• • • • • • • • If p, then q p implies q If p, q q if p q whenever p p is a sufficient condition for q q is a necessary condition for p p only if q
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Truth Table Example
• (p q) r
p
T T T T F F F F
q
T T F F T T F F
r
T F T F T F T F
pq
T T T T T TBaidu NhomakorabeaF F
Inverse of an Implication
• Implication: p q • Inverse: p q • Implication:
– If I am going to town, it is raining.
• Inverse:
– If I am not going to town, then it is not raining.
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Biconditional
• “if and only if”, “iff” • pq • I am going to town if and only if it is raining. • Both p and q must have the same truth value for the assertion to be true.
– If I am going to town, it is raining.
• Contrapositive:
– If it is not raining, then I am not going to town.
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p
T T F F
q
T F T F
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Precedence of Logical Operators
• Parentheses gets the highest precedence • Then • Example:
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Truth table for biconditional
• • • • • • p q pq __________ T T T T F F F T F F F T
p : the radius of the two circle are the same q : the square of the the two circle are equivalent p q: the radius of the two circle are the same if and only if the square of the the two circle are equivalent
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Constructing a Truth Table
• One column for each propositional variable • One column for each compound proposition • One row for one evaluation • For n propositional variables there will be 2n rows
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2. Conjunction (AND)
• p: I am going to town. • q: It is raining. • p q: I am going to town and it is going to rain. • Both p and q must be true for the conjunction to be true.
Implication - If .. then
• p: I am going to town. • q: It is raining. • p q: If I am going to town, then it is raining. • The implication is false only when p is true and q is false!
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Propositions
• Statement that is true or false. • We determine the truth value of a proposition. • The moon is made of green cheese. • Go to town. • What time is it? • x + 1 = 2.
Exclusive OR
• p: I am going to town. • q: It is raining. • p q: Either I am going to town or it is raining. • Only one of p and q are true. (not both)