人教版高三上学期第三次月考数学试题(文)及答案
2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)
2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}23A x x =<，则RA =（ ）A ．{}33x x -≤≤B ．{3|x x ≤-或3}x ≥C ．{|x x ≤D ．{|x x ≤x ≥【答案】D【分析】先化简集合A ，再根据补集的定义求解即可． 【详解】解：由23x <解得x <{A x x ∴=<，R {A x x ∴=≤x ≥．故选：D ．2．若()1i 2i z -=，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -【答案】A【分析】根据复数的除法运算即可得解. 【详解】解：因为()1i 2i z -=，所以()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+. 故选：A.3．设p ：实数x ，y 满足1x >且2y >．q ：实数x ，y 满足3x y +>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可． 【详解】解：1x >且2y >，由不等式的性质知3x y +>，p q ∴⇒；令0,4x y ==，显然满足3x y +>， 但1x <， ∴ qp ．∴ p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．4．若实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-3B ．-2C ．0D ．5【答案】C【分析】画出可行域，根据z 的几何意义求得最小值即可． 【详解】解：作出图像如下，图中灰色部分为可行域， 点A 为220x y +-=与1x =的交点，联立1220x x y =⎧⎨+-=⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭A ，由22x z y =-知要z 最小，只要2z-即2z x y =-在y 轴的截距最大即可，∴ 当2z x y =-经过11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭时取最小值，min 0∴=z ．故选：C ．5．执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.A ．3?x >B ．4?x >C ．4?xD ．5?x【答案】B【详解】方法一：当x =4,输出y =2,则由y =log 2x 输出，需要x >4，本题选择B 选项.方法二：若空白判断框中的条件x >3，输入x =4，满足4>3，输出y =4+2=6，不满足，故A 错误，若空白判断框中的条件x >4,输入x =4,满足4=4,不满足x >3,输出y =y =log 24=2，故B 正确； 若空白判断框中的条件x ⩽4，输入x =4，满足4=4，满足x ⩽4，输出y =4+2=6，不满足，故C 错误，若空白判断框中的条件x ⩽5，输入x =4，满足4⩽5，满足x ⩽5，输出y =4+2=6，不满足，故D 错误， 本题选择B 选项.6．若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，512a =，673a a +=，则5S 的值为（ ） A ．1B ．3116C ．3132D ．6364【答案】C【分析】根据等比数列求和公式计算即可． 【详解】解：设公比为q ，由题意知0q >，652=⋅=q a a q ， 22752=⋅=q a a q ，2322∴+=q q， 化简得260q q +-=， 解得2q ，514132==a a q ， ()()551121313*********⨯-∴==-⨯-=-S ．故选：C ．7．函数()(1)ln(|1|)f x x x =+-的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数解析式，可代入特殊点，进行排除.【详解】根据函数表达式，当x>2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x<-1时，函数值小于0 故可排除C 和D 选项，进而得到B 正确． 故答案为B.【点睛】这个题目考查了已知函数解析式，求函数图像的问题，这种题目一般可以代入特殊点，进行选项的排除，或者根据函数表达式得到函数的定义域，值域的问题，进行排除. 8．已知角α的终边经过点1,2，则()πsin 23πtan 2αα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．310C ．35D ．310-【答案】B【分析】根据已知求得角α的正切值，再根据诱导公式化简求值即可， 【详解】解：∵ 角α的终边经过点1,2，tan 2α∴=-，()πsin π2sin 23πtan sin 2π2cos 2ααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2sin cos sin αααα=-⋅+ 222sin cos 1sin cos tan ααααα⋅=-++22tan 1tan 1tan ααα=-++4135210=-=． 故选：B ．9．已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则22λμ-=（ ）A ．12-B ．79C ．3222- D ．122【答案】A【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出λμ、即可． 【详解】解：如图在矩形ABCD 中，()12=+DO DA DC ， 在DAO 中，()12=+DE DA DO ，11131132224444⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭DE DA DA DC DA DC AB AD ，13,44λμ∴==-，2219116162λμ∴-=-=-． 故选：A ．10．若3sin 5θ=，θ是第二象限的角，则2tan22tan 2θθ+=-（ ） A ．15-B ．25C ．2D ．-5【答案】D【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出tan2θ，再估算θ的范围，进而求得结论． 【详解】解：2222sin cos 2tan3222sin 2sin cos 225sin cos tan 1222θθθθθθθθθ⋅=⋅⋅===++， 整理得23tan 10tan3022θθ-+=，解得tan32θ=或1tan23θ=， ∵θ是第二象限的角，π2π2ππ,Z 2θ∴++∈k k k <<，ππππ,Z 422θ∴++∈k k k <<， tan 12θ∴>， tan32θ∴=，∴ 原式23523+==--． 故选：D ．11．已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞，且()1f x +为奇函数，当1x <时，()24f x x x =--，则()32f x =的所有根之和等于（ ） A ．4 B ．2C ．12-D ．6-【答案】A【分析】根据二次函数对称性求和即可．【详解】解：当1x <时，()()22(4)24=-+=-++f x x x x ， ∴ 对称轴为2x =-，()1f x +为奇函数， ()()11f x f x ∴+=--+，()(2)∴=--f x f x ， f x 关于()1,0中心对称，设(),x y 为()()1y f x x =>图像上任意一点，则()2,x y --在()24f x x x =--上，()244∴-=--+y x ，即()244y x =--， 对称轴为4x =． 作出图像如下：由图像知()32f x =有4个根， 不妨设1234x x x x <<<，由二次函数的对称性知()12224+=⨯-=-x x ， 34+=24=8⨯x x ，∴ ()32f x =所有根的和为8-4=4． 故选：A ．12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且通项公式为n b n =，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞D ．(][),13,-∞-+∞【答案】D【解析】根据题意，求得2n S n =，进而求得数列的通项公式为21n a n =-，结合裂项法求得数列的前n 和n T ，得出不等式211122m m --≥，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，由“均值数列”的定义可得nS n n=，所以2n S n =， 当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 11a =也满足21n a n =-，所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，又2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，所以211122m m --≥，整理得2230m m --≥，解得1m ≤-或3m ≥.即实数m 的取值范围为(][),13,-∞-+∞.故选：D.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.二、填空题13．曲线()e 2=++xf x x x 在点()0,2处的切线方程是__________．【答案】22y x =+【分析】根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．【详解】解：由()e 2=++xf x x x 得()()e +e 11e 1'=+=++x x x f x x x ，()02f ∴'=，∴ 过点()0,2的切线方程为22y x -=， 即22y x =+． 故答案为：22y x =+．14．已知向量()1,3a =-，()2,b k =，若()()2a b a b -+∥，则k =__________． 【答案】6-【分析】根据向量共线列式计算即可．【详解】解：()()()22,62,4,6-=--=--a b k k ，()1,3+=+a b k ，∵()()2a b a b -+∥，()436∴-⋅+=-k k ， 解得6k =-． 故答案为：6-．15．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =__________．【答案】22【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】解：在ABC 中， 由正弦定理得 sin sin a bA B=， ()23sin 180sin ∴=︒--bB C B，()22323sin 45222sin 457532⨯⋅︒∴===︒+︒b ．故答案为：22．16．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=_________．【答案】1【详解】对于函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数关于对称，所以有,,14,442k k Z k k Z πππωπω+=+∈∴=+∈，又()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以有2,,;1222T T ππππππωω≥-=≥≥≤，1ω∴=.三、解答题17．已知函数()()441sin cos 23cos R 2=-+-∈f x x x x x x ． (1)求2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 的值；(2)求()f x 的最小正周期及单调递减区间． 【答案】(1)32-(2)最小正周期为π；单调递减区间是π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】（1）先把函数化成()π12sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再代入求值即可；（2）根据2πT ω=求得周期，再由sin y x =的递减区间求()π12sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的递减区间即可．【详解】（1）解：由已知得()441sin cos cos 2f x x x x x =-+-()()22221sin cos sin cos 22=+--x x x x x()2212cos sin 2=---x x x12cos 22x x =--1122cos 222⎫=--⎪⎪⎝⎭x x π12sin 262x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．2π2ππ12sin 23362⎛⎫⎛⎫∴=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f7π12sin62=- π132sin π622⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭；（2）解：由（1）知()f x 的最小正周期为πT =． 由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+得 π5πππ36k x k +≤≤+，Z k ∈． ∴()f x 的单调递减区间是π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a A C A +． (1)求A ；(2)若a =ABC ABC 的周长． 【答案】(1)π3A =5【分析】（1）根据正弦定理边化角可求得A ；（2）根据三角形面积求得bc ，再结合余弦定理可求得b c +，进而求得周长． 【详解】（1）解：由正弦定理sin sin a bA B=， 可得sin sin a B b A =，又()sin cos +a A C A ，sin cos ∴=b A A ．sin A A ∴=，即tan A = 又()0,πA ∈， 故π3A =．（2）解：由1sin 2ABCSbc A ==6bc =，又222π2cos 3a b c bc =+-， 即227b c bc =+-，2213∴+=b c ，则5b c +=，故ABC 5．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*112N +++=∈n n na S n ．(1)证明：数列{}n nS 为等差数列；(2)选取数列{}n S 的第2n ()N n *∈项构造一个新的数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析 (2)1212n nn T =-+【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；（2）先求得{}n b 的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得n T ． 【详解】（1）解：证明：∵ 11n n n a S S ++=-，∴ 由已知得()()*112N ++-+=∈n n n n S S S n ，即()()*112N ++-=∈n n n S nS n ．∴ 数列{}n nS 是以2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知数列{}n nS 是以2为公差的等差数列， 又11a =，首项为1111S a ⨯==，()11221∴=+-⋅=-n nS n n ， 2112-∴==-n n S n n． 2122∴==-n n nb S ． 231112211111222112222212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=-+++⋅⋅⋅+=-=-+ ⎪⎝⎭-nn n nT n n n ．20．已知函数()e xf x ax =-，R a ∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()()e 22ln =--++xg x f x ax x a 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)(],4ln 2a ∈-∞【分析】（1）求导后根据a 的正负情况分类讨论求得单调区间；（2）当0a ≤时，()g x 递减，抓住()10g =得到()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点；当0a >时，根据()g x 的极值点2a与12的大小关系分两种情况求实数a 的取值范围．【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=-．① 当0a ≤时，0f x，则()f x 在(),-∞+∞递增．② 当0a >时，由()0e 0ln '>⇒->⇒>xf x a x a ；由()0ln f x x a '<⇒<．∴ ()f x 的单调减区间为(),ln a -∞，单调增区间为()ln ,a +∞． （2）解：由已知得，()()()12ln 0g x a x x x =-->． 则()2g x a x'=-． ① 当0a ≤时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减，由()10g =得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立．∴ ()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点．② 当0a >时，令()0g x '=，得2x a=． 若212a ≥，即(]0,4a ∈时，则()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减， 又0x →时，()g x ∞→+． 要使()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，只需112ln 0222a g ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，即04ln 2a <≤； 若212a <，即4a >时，则()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在21,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增． ∴ ()min 2222ln g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．令()222ln h a a a=--，则()2210a h a a a-'=-+=<， ∴ ()h a 在()4,+∞上递减，()()42ln 220∴<=-<h a h ． 即()min 0g x <，∴ ()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上一定有零点不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是(],4ln 2-∞．【点睛】本题解题的关键是在（2）中当0a ≤时，抓住函数()g x 过定点()1,0；当0a >时，要善于利用极值点与区间的位置关系分类讨论，从而探究不同情况下函数的性质，把问题转化成由()min g x 求a 的范围．21．已知函数f (x )＝ln xx－ax ，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线经过点(2，－1). （1）求实数a 的值；（2）设b >1，求f (x )在[1b ，b ]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）最大值为－1；最小值为－b ln b －1b.【分析】（1）首先对函数求导，求得'(1)f 的值，利用两点斜率坐标公式求得切线斜率，建立等量关系，求得a 的值；（2）结合（1）的结论，得到函数的单调性，应用导数求得函数的最值，得到结果. 【详解】（1）由题可得，f (x )的导函数为221ln '()(0)x ax f x x x --=>， ∴10'(1)11af a --==-， 依题意，有(1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， 解得a ＝1.（2）由（1）得，221ln '()(0)x ax f x x x --=>，易知，f ′（1）＝0， ∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 又∵101b b<<<，∴f (x )的最大值为f （1）＝－1. 设111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中b >1，则21'()(1)ln 0h b b b =->， ∴h (b )在(1，＋∞)上单调递增.当b →1时，h (b )→0，可得h (b )>0，则1()()f b f b >，故f (x )的最小值为11()ln f b b b b=--.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的最值，属于中档题目.22．在平面直角坐标系中，曲线1C ：cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换2,3x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线2C ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 2sin θρθ+= （1）求曲线2C 的普通方程；（2）设点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到直线l 距离d 的最大值.【答案】（1）22149x y +=；（2. 【分析】（1）把cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩转化为直角坐标方程，把2,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入到直角坐标方程中即可（2）设点P 的坐标为(2cos 3sin )θθ，，把直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式表示出点P 到直线l 距离，进一步求三角函数式的最大值.【详解】解：（1）由题意得曲线1C ：cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数）的普通方程为221x y +=.由伸缩变换23x x y y ⎨'=='⎧⎩，，得23x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪''⎩，， 代入221x y +=，得22149x y ''+=.∴2C 的普通方程为22149x y+=（2）因为cos sin x y ρθρθ==，cos 2sin θρθ+=20y +-=.∴直线l20y +-=.因为点P 是曲线2C 上的动点，所以设点P 的坐标为(2cos 3sin )θθ，， 则点P 到直线l的距离d ===当πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l 距离d【点睛】考查把参数方程转化为直角坐标方程以及用三角函数知识求点到直线距离的最大值，中档题.23．设函数()21(0)f x x a x a =+-+<. （1）当2a =-时，求不等式()2f x 的解集；（2）若()24f x x >+对[3x ∈-，1]-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）2[2,]3--；（2）(,1)-∞-. 【分析】（1）采用零点分段法直接求解即可；（2）将问题转化为2x a +>对[3x ∈-，1]-恒成立，然后根据(2)min a x <--或(2)max a x >-，求出a的取值范围.【详解】解：（1）当2a =-时，()221f x x x =--+， 当1x <-时，()()()2+21+4f x x x x =--+=， 当12x -时，()()()2213f x x x x =---+=-， 当2x >时，()()2214f x x x x =--+=--，因为()2f x ，所以1,+42,x x <-⎧⎨⎩或12,32x x -⎧⎨-≥⎩或2,42,x x >⎧⎨--≥⎩，解得21x -<-或213x --或x ∈∅，()2f x ∴的解集为2[2,]3--.（2）若()24f x x >+对[3x ∈-，1]-恒成立，有2(1)24x a x x +++>+，2x a ∴+>，2x a ∴+<-或2x a +>，(2)min a x ∴<--或(2)max a x >-，1a ∴<-或5a >.又0a <，1a ∴<-.故a 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及利用均值定理证明不等式，考查数学转化思想方法，推理论证能力，属于中档题.。
四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)
泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
2019届贵州省贵阳市高三上学期第三次月考文科数学试卷【含答案及解析】(1)
2019届贵州省贵阳市高三上学期第三次月考文科数学试卷【含答案及解析】姓名_____________ 班级________________ 分数 ___________一、选择题1.已知集合P =制芒r} , M J?二T}，则PI Q三（）A • （-s.O）B • （Q 工____________________________________C . 1]___________________________________D . [0.1]2.已知复数|， I （；:】]{.,•为虚数单位），且□弋「,贝【J复数- （）A - -B -C •-或D• 1 --.3.设：，是两个非零向量，若函数■■ ' *_' 1 H ）的图象是一条直线，则必有（）A •、一 ' B• 衣----------------------------------------- C •向二& _____________________________________ D• h h b4.定义一种运算,在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算”的含义,那么按照运算“]”的含义，T SF A.盼血B .4+V^ C . '邛D . L1石J1石 ?74175. 设：，.为两条直线■为两个平面,下列四个命题中,正确的是（ 、 )A .若a , h 与肚所成角相等，则小4B .若•， , ME ,则」C .若.二，，., 厂:?, 则"“D.若 ，：，a 丄“，则 ―则 F Cv ） 的值域是'■ ._ |. _「.下列选项为真命题的是（）A .彳—i. 一 | _____________________________________B .蜡訂:「疗］C .「. 1______________________________________ D .1:”7. 已知三个函数 ■ ' I _ : 「 _:，二.-的零点依次为■' , .「，‘ ，则（ ）A ./：，；」「；- ___________________________B . ,? <, ? •:氓则m j 恒成立；命题，6. 已知命题.：若“、丄（2 °）若 /⑴二-T ，右 -c ■ I. ■ 1 ■■ ，_ I：/输入仪』/ m t BJ£ =__________________________ C. h 心… ___________________________________8.一个几何体被切割后剩下部分的几何体的三视图如图所示( )IK正视图侧视图A - . ■ ------------B - ----------------------------C - . ------------------------------------D -■' - I ；'-x>l-上二 所表示的平面区域是 注, 平面区域1 L 是与1:F 巴工片r关于直线；，对称的区域，对于" 中的任意点.与| 中的任意点AB 的最小值是（ ）2E T3低时的年产量为（A . | 吨—I ：..吨11. 已知函数 7 I ■ ■: ：■ 1. '' - | 则该几何体的表面积为设不等式组9.10.某工厂产品的年产量在， 吨至：，与年产量■-（吨）之间的关系可近似表示为吨之间，年生产的总成本'（万元） ■ = 一- -h - ll :I I , 则每吨的成本最10的部分图象如图所示 ，■，贝V12. 双曲线i 的一条渐近线与)垂直，则双曲线的离心率为( )A .上B .C . ;■D .叮二、填空题13. 等比数列；■；的前-项和为；，若.二！- - •，一，则该数列的项数，= ______________________ .14. 已知圆丨- 关于直线:、二士十亡成轴对称，则-:的取值范围是___________ .15. 某单位为了了解用电量度与气温' C之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温,并制作了对照表气温LC)181310-1用电量(E>24343864由表中数据得回归直线方程中. ，预测当气温为rI 时，用电量的度数是____________ .16. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为；，,再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜想的数字记为占，且日，bEfQ丄2},若|^-5|<1 ,则称甲、乙“心有灵犀”. 现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为三、解答题17. （本小题满分12分）已知函数 --■■■.-■ | ■ -1 -.「I -72 ? 7（）在■-='时有最小值——（I ）求的值； （H ）在中，，「，」，，分别是角.， 「I 所对的边，已知：—，•「；，；.〔 亠，求角.的值.18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥?中，底面I,：为平行四边形- , £门 19. （本小题满分12分）贵阳市某中学高三第一次摸底考试中 ，！名学生数学成绩的 频率分布直方图如图-所示，其中成绩分组区间是一，［打 ___ IP ,_____ 「，| . .「工），|m|.（I ）求图中.■的值；（n ）根据频率分布直方图，估计这 ， 名学生数学成绩的平均分；（川）若这 ⑴住名学生数学成绩某些分数段的人数（ ）与语文成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求语文成绩在| I |；之外的人数.(n)在 U 中，./.H'B -. = -II 点F 在二一，上且三三—•「三,求三棱平面齐' 100110120130140150^5分蹶段[100J10)[110J20)[12OJ3O][130J40)x: y 1.12」3:44；5F V20. (本题小满分12分)已知椭圆^ ( •)的一个焦点与抛物线「的焦点重合，椭圆上一点到其右焦点「的最短距离为，.(I)求椭圆F的方程；(H)记椭圆F的上顶点为.，是否存在直线交椭圆N于，，｛两点，使点恰好为一匚，的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由21. (本小题满分12分)已知函数• | ■—. - - - , r|-；—一2 ¥(I)函数 -.■ 1在点彳:处的切线与直线..■- .平行，求函数/(X)的单调区间；(□)设函数的导函数为，对任意的「，若"丨亠|・丨恒成立，求的取值范围.22. (本小题满分10分)【选修4-1 :几何证明选讲】如图，已知圆上的弧. ..,过点.的圆的切线，三与鄆匚的延长线交于点.第1题【答案】23. (本小题满分10分)【选修4-4 :坐标系与参数方程】已知圆的参数方程为为参数)，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线•；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线［的极坐标方程为.，丨(I)求曲线「的普通方程与曲线'的直角坐标方程；(□)设|；为曲线「上的动点，求点|：与曲线* 上点的距离的最小值，并求此时|；点的坐标•24. (本小题满分10分)【选修4-5 :不等式选讲】设函数于瞿+丄4 k-d(| (席＞0 ) •a(I)证明：孑(n)若「二一，求.■的取值范围•参考答案及解析【解析】试题分析；卜卜工今咒疋0<卩={纠驻€&} , 1-岸=。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
2021年高三上学期第三次诊断考试(文)数学试题含答案
2021年高三上学期第三次诊断考试（文）数学试题含答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A． B． C． D．2.下列说法不正确的是( )A．若“”为假，则至少有一个是假命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“为偶函数”的充要条件D．当时，幂函数在上单调递减3.已知等差数列中，，则等于( )A． B． C．-1 D．15.平面向量与夹角为，，则等于（）A．13 B． C． D．36.将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的图像，则函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．7.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则由下列命题：①若，则②若，则③若，则④若，则则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.函数的图像大致是( )9.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调递减函数，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知是内的一点（不含边界），且，若的面积分别为，记，则的最小值为( )A ．26B ．32C ．36D ．48第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在各项为正数的等比数列中，若，则公比 .12.已知中，，那么角等于 .13.在中，，边，过作交于，且，则 .14.一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为 .15.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于两点，则 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=，且分别为的三边所对的角.⑴求角的大小；若成等差数列，且的面积为，求边的长.17.（本小题满分12分）已知单调递增的等差数列满足：.⑴求数列的通项公式；⑵设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，⊥====为的中点.,,1,2,4,AD CD AB CD AB AD CD DE M⑴求证：平面；⑵求证：平面⑶求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）已知数列中，，且.⑴求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；⑵设，数列的前项和为，求证：20.（本小题满分13分）设函数.⑴当（为自然对数的底数）时，若函数在上有极值点，求实数的范围；⑵若函数有两个零点，试求的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数.⑴若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；⑵当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围.26870 68F6 棶36416 8E40 蹀wI[ 38479 964F 陏26593 67E1 柡?32844 804C 职)24807 60E7 惧X23383 5B57 字L。
【新课标Ⅱ-2】2015届高三上学期月考(3)数学文 Word版含答案
2015届上学期高三一轮复习第三次月考数学（文）试题【新课标II-2】考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2] 2. 已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=-|3|ai （ ） A.13 B.13 C.10 D.103. 已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．1865. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是（ ）A ．1λ=-或1λ=B ．12λ=-或12λ=C．λ=λ= D ．λ为任意实数 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+7. 已知数列{}n a 的首项为3, 数列{}n b 为等差数列, ,2),(31-=∈-=*+b N n a a b n n n1210=b ,则8a 等于（ ）A.0B.3C.8D.118．下列函数中在区间),1(+∞上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） A.122-+-=x x y B.x y cos = C.|1|lg -=x y D.x x x y 3323+-=9. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直10. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ） A ．ππ36， B ．2ππ36，C ．ππ63，D ．ππ33，11.设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．10012.函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=,2),2(212,0,11)(x x f x x x f ，则下列说法中正确命题的个数是（ ）① 函数)1ln()(+-=x x f y 有3个零点；② 若0>x 时，函数x k x f ≤)(恒成立，则实数k 的取值范围是) ,23[∞+； ③ 函数)(x f 的极大值中一定存在最小值；④)2(2)(k x f x f k +=，)(N ∈k ，对于一切) ,0[∞+∈x 恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{}n a 满足15,a a 是方程282810x x -+=的两个根，且15a a <，则3a =___________________. 14．已知数列{}n a 为等差数列，11011-<a a ，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值是_____________.15．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，2=AB ,3=AC ，则⋅=_______________. 16．在从空间中一点P 出发的三条射线P A ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，Q ，使PM=PN=PQ=1，且 90=∠BPC ， 60=∠=∠CPA BPA ，则三棱锥P-MNQ 的外接球的体积为 _______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）函数()3f x a b =⋅-，(3cos ,sin ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==-,其中0ω>,点()()12,0,,0x x 是函数()f x 图像上相邻的两个对称中心，且122x x π-=（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 图像向右平移m ()0m >个单位后所对应的函数图像是偶函数图像， 求m 的最小值．18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，⊥AB 面11B BCC ， 且AB BC =1BB =2=,点,M N 为C A AB 1,的中点. （1）求证：MN ∥平面11B BCC ；A（2）求证：⊥MN 平面C B A 11； （3）求三棱锥C B A M 11-的体积. 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且满足18,36542=++=a a a a ，数列{}n b 满足12,111+==+n n b b b（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c ⋅=，试求数列{}n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 和为n S ，且满足()*∈=+N n S a n n 1 （1）求数列{}n a 的通项公式；PABCDM图2P A BD C 图1（2）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 23λλ为等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由； （3）设)1)(1(2111++=++n n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .22． （本小题满分12分）函数)(1ln )1()(2R m mx x m x f ∈++-= （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若对任意的021>>x x ，总有)(2)()(2121x x x f x f ->-恒成立，求实数m 的取 值范围.参考答案C B C C A C BCD A D B 13-16题 9 1925 π3217题 )62cos(π+x π12118题34(3)19题（1）1+=n a n , =n b 12-n , （2）=n T 2)3(21+-⋅+n n n n20题 （2）2121题12131)3(31)2(21)1(1+-+n n 、 22 题 231)2(+≥m提示：令x x f x h 2)()(-=，x x f x h 2)()(-=在),0(+∞上单调递增0221)(≥-+-='mx xm x h 恒成立。
第一中学202届高三数学上学期第三次月考试题文
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 文满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．若复数（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ）A 。
6-B.2-C. 4D.62．已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===,则()N M C U⋃=（ ）A. {}1,4 B 。
{}1,3,4 C 。
{}4 D 。
{}2 3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且b a ⊥，则32a b +=( )A.(7,2)B.(7,14)- C.(7,4)- D 。
(7,8)- 4．“2a =-"是“直线()12:30:2140l ax y lx a y -+=-++=与互相平行"的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件5．已知}{na 为等差数列，若π=++951a a a,则)cos(82a a+的值为( ）A.21 B.23C 。
21- D 。
23- 6．若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（）A.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 。
()(),22,-∞-+∞C 。
RD 。
()2,2-7．已知实数x,y满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为( ）A ．10B ．8C ．2D ．08．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ）A 。
3 B 。
33 C.332D.33410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．3 B ．21-C ．21D 311．直线l ：(2y k x =与曲线()2210xy x -=>相交于A 、B 两点，则直212221线l 倾斜角的取值范围是（ ）A 。
2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学(文)试题【含答案】
2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（ ）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（ ）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为 ，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间 内 ，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当 时 ，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得 ．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（ ）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（ ）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（ ）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（ ）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。
【山东版】2015届高三上学期月考(3)数学(文) Word版含答案(人教A版)
2015届上学期高三一轮复习第三次月考数学（文）试题【山东版】本试卷共4页.分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 山东省一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合2{|23},{|1,},M x x N y y x x =-<<==+∈R 则集合M N =A ．（-2，+∞）B ．（-2，3）C ．[)1,3D ．R2．已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e =A ．-1eB ．e -C ．eD ．1e3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 24．下列命题中，真命题是A ．存在,0x x e ∈≤RB ．1,1a b >>是1ab >的充分条件C ．任意2,2x x x ∈>RD ．0a b +=的充要条件是1ab=- 5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，则 3πsin()cos(π)2πsin()sin(π)2θθθθ++-=--- A ．-2B ．2C ．0D ．236．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．a c b c +≥- B ．2()0a b c -≥C ．ac bc >D ．20c a b>-7．若命题“0,x ∃∈R 使得20230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是A ．[2，6]B ．[-6，-2]C ．（2，6）D ．（-6，-2）8．已知函数()sin ,f x x x =则π()11f ，(1)f -，π()3f -的大小关系为A ．ππ()(1)()311f f f ->->B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->-D ．ππ()()(1)311f f f ->>-9．已知函数()f x 满足：4x ≥，则1()()2x f x =；当4x <时()(1),f x f x =+则2(2log 3)f +=A ．38B ．18C ．112D ．12410．如图所示为函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+>≤≤ 的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=A ．-1B ．CD ．111．如果函数()y f x =图像上任意一点的坐标(,)x y 都满足方程lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是A ．()y f x =是区间(1,)+∞上的减函数，且4xy ≥B ．()y f x =是区间(1,)+∞上的增函数，且4xy ≤C ．()y f x =是区间(1,)+∞上的减函数，且4xy ≤D ．()y f x =是区间(1,)+∞上的增函数，且4xy ≥12．设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，'()()f x f x 是的导函数，当[]0,πx ∈时，0()1f x <<；当(0,π)x ∈且π2x ≠时，π()'()02x f x -<.则方程()cos f x x =在[]2π,2π-上的根的个数为A ． 2B ．5C ．8D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项： 1．将第Ⅱ卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2．答卷将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡的相应的横线上.13．已知[]732log log (log )0x =，那么12x = . 14．已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan α的值为 . 15．若函数231()log (0,1)()(),(1)1a f x x a a a f f f a a x =>≠>->为常数且满足则的解集是.16．设,x y 满足约束条件32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则a b ab +的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分 17．（本小题满分12分）设命题p ：函数2()lg()16af x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：39x x a -<对一切的实数x 恒成立，如果命题“p 且q”为假命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）设函数()sin ,f a αα=其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(,),0πP x y α≤≤且.（Ⅰ）若P点的坐标为(()f α求的值；（Ⅱ）若点(,)P x y 为平面区域11x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数()f α的值域.19．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围.20．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C()(010)35kx x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.21．（本小题满分12分）若π()sin(2)6f x x ω=-的图像关于直线π3x =对称，其中15(,)22ω∈-.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移π3个单位，再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的()y g x =的图像；若函数π() (,3π)2y g x x =∈的图像与y a =的图像有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.22．（本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：CDCBB BAADD AD 二、填空题： 山东13. 8 14. 34- 15. 111x a<<-16. 6+17.解：p ：202104a a a >⎧⎪⇒>⎨∆=-<⎪⎩…………………………………………………………………4分q ：21111()39(3)2444x x x g x a =-=--+≥⇒>……………………………………………………8分∵“p 且q”为假命题 ∴p,q 至少有一假 （1）若p 真q 假，则2a >且1,4a a ≤∈∅（2）若p 假q 真，则2a ≤且11,244a a ><≤（3）若p 假q 假，则2a ≤且11,44a a ≤≤∴2a ≤………………………………………………………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）由三角函数的定义，得1sin ,cos 2αα==，故1()sin 12f ααα===-………………4分 （Ⅱ）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中A （0，1），11B(,),C(1,1)22，于是ππ42α≤≤.………………7分又π()sin 2sin(),3f a ααα==+且7ππ5π1236α≤+≤， 故当π5ππ,362αα+==即时，()f α取得最小值，且最小值为1.当π7ππ,3124αα+==即时，()f α.故函数()f α的值域为………………………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-.∴44log (41)log (41)x x kx kx -++=+-.……………………………………………………………2分即441log 241x x kx -+=-+,4log 42,x kx =-∴2x kx =-对一切x ∈R 恒成立. ……………………………………………………………………4分∴12k =-………………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由41()log (41)2x m f x x ==+-，∴44411log log (2)22x x x x m +==+.………………………………………………………………………8分∵122,2x x +≥……………………………………………………………………………………………10分∴12m ≥. 故要使方程()0f x m -=有解，m 的取值范围为12m ≥.………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）设陋热层厚度为cm x ， 由题设，每年能源消耗费用为C()35kx x =+ 再由C(0)8=，得k=40，因此40C()35x x =+………………………………………………………3分 而建造费用为1C ()6x x =.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20C()C ()2066(010)3535f x x x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++……………………………………5分 （Ⅱ）222400'()6,'()06(35)5)f x f x x x =-==++2400令即(3. 解得255,3x x ==-（舍去）……………………………………………………………………………8分 当05'()0,510x f x x <<<<<时,当 时， '()0,f x >故5x =时，()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+. 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元. ………………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）∵()f x 的图像关于直线π3x =对称， ∴πππ2,362k k ωπ-=+∈Z ，解得312k ω=+， ∵15(,),22ω∈-∴1351222k -<+<，∴11(),k k -<<∈Z ∴0,1k ω==∴π()sin(2)6f x x =-…………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）将π()sin(2)6f x x =-和图像向左平移π3个单位后,得到ππ()sin[2()]36f x x =+-πsin(2)cos22x x =+=,再将得到的图像的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后,得到()cos y g x x ==………………………………………………………………………………………9分 函数π()cos ,(,3π)2y g x x x ==∈的图像与y a =的图像有三个交点坐标分别为123(,),(,),(,)x a x a x a123π3π2x x x <<<<且, 则由已知结合图像的对称性,有22131223π22π2x x x x x x x ⎧⎪=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩,……………………………………………………11分 解得24π3x =∴4π1cos32a ==-…………………………………………………………………………………12分 22.解:（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln f x ax x =-，所以1'()f x a x=-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =，因为1'()2f x x =-，所以1'(1)211f =-=……………………………………………………………2分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为 2'(1)(1),10y f x x y -=--+=即.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为()1f x x =在处有极值，所以'(1)0f =， 由（Ⅰ）知'(1)1,f a =-所以1a =经检验，1()1a f x x ==时在处有极值. ………………………………………………………………6分所以1()ln ,'()10,f x x x f x x=-=->令解得10x x ><或； 因为()f x 的定义哉为(0,)+∞，所以'()0f x >的解集为(1,)+∞，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.…………………………………………………………………8分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使()ln ((0,e] )f x ax x x =-∈有最小值3， ①当0a ≤时，因为(0,e],'()0x f x ∈<所以， 所以()f x 在(0,e]上单调递减， min ()(e)e 13f x f a ==-=，解得4ea =（舍去）…………………………………………………10分 ②当110e ()(0,)f x a a <<时,在上单调递减，在1(,e]a上单调递增， 2min 1()()1ln 3,e f x f a a a ==+==解得，满足条件. ………………………………………………12分③当1e ,(0,e],'()0xf x a≥∈<时因为所以， 所以 ()(0,e]f x 在上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=， 解得4ea =，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当(0,],()x e f x ∈时有最小值3. …………………………………14分。
2012届高三第三次月考 数学(文)试题(A卷)
2012届高三第三次月考数学试题（文科）（A 卷）第Ⅰ卷一、选择题． 本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．o660sin 等于（ ）A ． 23-B ． 21-C ．21D ．23 2．设πln =a ，2ln =b ，)2ln(ln =c ，则（ ）A ． b c a <<B ． c b a <<C ． c b a >>D ． b c a >>3． 函数x x y 22)23lg(-+-=的定义域是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛1,32C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,324．已知20πβα<<<，则)2cos(βα-的取值范围是（ ）A ． ()1,0B ． (]1,0C ． ()1,1-D ． (]1,1-5．某商店拟对店中A ，B 两种商品进行调价销售．A 种商品拟降价%20，B 种商品拟提价%20，调价后两种商品的单价都是360元．假设这两种商品的销量相同，则与调价前相比，该商店销售这两种商品的总利润 （ ） A ．增加 B ．不变 C ．减少 D ．与进货价格有关 6．已知βα,()π,0∈，51)sin(=+βα，75sin =β，则αcos 等于 （ ）A ． 3529-B ． 3519-C ．3529 D ．3529或3519- 7．为了得到函数)42sin(π-=x y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ）A ．向右平移83π个长度单位 B ．向右平移43π个长度单位 C ．向左平移83π个长度单位D ．向左平移43π个长度单位8． 已知ABC ∆的三边边长a ，b ，c 满足 ab cc a b a -=++，则ABC ∆是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．以上三种情况都有可能9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(1)23(x f x f -=+π．若2)2(=πf ，则)11(πf 等于（ ）A ．2-B ．2C ．21D ． 21-10．已知函数x y 2=图像上四个不同点的纵坐标分别为d c b a ,,,，这四个点在x 轴上的投影点分别为D C B A ,,,．假设AB AC λ=，BA BD λ=（λ为实数），若||||d c b a ->-，则（ ） A ．0=λB ． 0<λC ． )1,0(∈λD ．1>λ第II 卷本卷包括填空题和解答题两部分，共100分．二、填空题． 本大题共5小题,每小题5分，共25分． 11． 如果函数)2cos()(φπ+=x x f )20(πφ<<当3=x 时取得最大值，那么=φ_____．12．=+-12tan31312tanπ_____．13． 若扇形的面积和弧长都是10，则这个扇形中心角的弧度数是_____． 14．已知函数1sin cos sin )(++=x b x x a x f ，且3)4(=πf ，则=-)4(πf _____．15．函数)3()(2++=ax x e x f x在区间()1,1-内存在零点，则实数a 的取值范围是_____．三、解答题． 本大题共6小题,共75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）化简：++++θθθθ2cos cos 12sin sin θθθθ2cos sin 12sin cos -++．17．（本题满分12分）已知向量 )sin ,sin 2(x x -=，)sin 2,cos 3(x x =，（R x ∈）．函数x f ∙=)(．（1）求函数)(x f 的最小正周期及最大值；（2）用“五点法”做出函数)(x f 在一个周期内的图像，并根据图像写出满足不等式0)(≥x f （R x ∈）的所有x 的集合．18．（本题满分12分）已知2627)4sin(=+πx ，（),2(ππ∈x ）．（1）求x 2sin 的值； （2）求)42tan(π-x 的值．19． （本题满分12分 ）在△ABC 中，内角C B A ,,所对边的边长分别是c b a ,,．已知13=c ,3π=C ，3=∆ABC S ，且b a >．（1）求b a ,；（2）设D 是边AB 的中点，求ADC sin ．20．（本题满分12分）某建材商店经销某种品牌的防盗门，每年预计销量为1600套．分n 次从厂家进货，且每次进货量相同．如果每次进货不超过200套，一次进货手续费为3000元；如果超过200套，一次进货手续费要再增加1500元．对购进而未销售的防盗门每套每年要付20元的库存费，可以认为平均库存量是每次进货量的一半．问每年进几次货费用（进货手续费和库存费）最小． 21．（本题满分15分）已知函数xxx f 2cos 3sin )(+=，（[]π,0∈x ）．（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若)()(sin x f x g =（[]π,0∈x ），求证：对于区间[]1,0上任意的数m ，n 不等式)2(2)()(nm g n g m g +≥+恒成立．。
四川省绵阳市2023届高中毕业班三诊文科数学试题答案
绵阳市高中2020级第三次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CABBACDDCACB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．314．22-15．4316．12三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）用平均数估计总体，在某个销售门店春季新款的年销售额的是33万元，···································2分用中位数估计总体，在某个销售门店春季新款的年销售额的是31.5万元．·································4分（2）6个销售门店分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．年销售额不低于40万元的有：A ，D ．·····················································5分从A ，B ，C ，D ，E ，F 中随机抽取2个，基本事件为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共计15个基本事件．····································8分事件：“恰好抽到1个门店的年销售额不低于40万元”包含的基本事件为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{C ，D }，{E ，D }，{F ，E }，············································································10分∴所求概率为815P =．········································································12分18．解：（1）证明：如图，取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．∵PA =PC ，∴PO AC ⊥，·······································································1分∵4PA PC AC ===，∴90APC ∠=︒，···········································2分∴122PO AC ==，同理2BO =，··························································3分又PB =222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥，·····················································································4分∵AC OB O = ，AC ，OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，·············································································5分又PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；·····································································6分（2）∵点M 是线段AP 上，且13PM PA =，过点M 作MN AC ⊥，∥MN PO ，·························································7分∴MN ⊥平面ABC ，···········································································8分P MBC P ABC M ABC V V V ----=···································································10分1()3ABC S PO MN =⋅-△·······················································11分1248933=⨯⨯=．·····································································12分19．解：（1）由)n n S T =，令n =1，得11111))23=a S T b ====-，∴12=a -，························································································2分又∵d a a 3414+==，∴等差数列{n a }的公差2=d ，42-=n a n ，············································4分∴21()32n n n a a S n n +==-．·································································6分（2）由（1）可知nn n T 32)3(-=，····························································7分当2≥n时，22(1)3(1)54-1n n nn n T ----+==，············································8分所以当2≥n时，24213n n nn n T b T ---===；············································10分当1n =时，311=b 也满足上式，····························································11分所以23n n b -=(n N *∈)．·······································································12分20．解：（1）当3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，1()23f x x x'=+-，················2分因为切点为(12)，-，所以切线斜率为：(1)0k f '==，·································3分所以曲线()f x 在1x =处切线的方程为：2y =-．······································5分（2）2222(1)(22)()2a x ax a x x a f x x a x x x--+---+'=+-==，··················6分令()0f x '=得1x =或12ax =-，·····························································7分①当4≤a 时，()f x 在[1e]，上单调递增，此时(1)1f a =-，2(e)(1e)e 2f a =-++，当10a ->，即1a <时，()f x 在区间[1e]，上无零点；当10(e)0a f -≤⎧⎨≥⎩，即2e 21e 1≤≤a --时，()f x 在区间[1e]，上有一个零点；当(e)0f <，即2e 24e 1≤a -<-时，()f x 在区间[1e]，上无零点；···················9分②当1e 2≥a -，即2e 2≥a +时，()f x 在[1e]，上单调递减，此时(1)10f a =-<，()f x 在区间[1e]，上无零点．···································10分③当422a e <<+时，()f x 在[11]2，a -上单调递减，在[1e]2，a -上单调递增，此时(1)10f a =-<，2(e)(1e)e 20f a =-++<，()f x 在区间[1e]，上无零点．11分综上：当1a <或2e 2e 1a ->-时，()f x 在区间[1e]，上无零点；当2e 21e 1≤≤a --时，()f x 在区间[1e]，上有一个零点．·····························12分21．解：（1）设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y =x −2，·································1分联立方程222x y y px =+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：2240y py p --=，·····································2分由韦达定理：121224y y py y p +=⎧⎨=-⎩， (3)分12MN y =-==··························································4分解得：12p =，故抛物线的方程为：y 2=x ．················································5分（2）延长PN 交x 轴于点Q ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，设直线MN 的方程为：2x ty =+，··················································6分联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：220y ty --=，由根与系数的关系：y 1y 2=−2①，···························································8分同理，联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：230y ny --=，可得y 1y 3=−3②，············································10分由①②可知，2323y y =，·······································································11分∴232=3QN y QPy =．·············································································12分22．解：（1）可得圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，∴圆C 是以C （2，0）为圆心，2为半径的圆，········································2分∴圆C 的参数方程为：22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．·······························5分（2）∵||AB =可得2ACB π∠=，···················································6分不妨设点A 所对应的参数为α，则点B 所对应的参数为2πα+，∴(22cos 2sin )，A αα+，则(22cos()2sin())22，B ππαα+++，即B ()22sin 2cos ，αα-，····································································7分∴1122cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，2222sin 2cos -x y αα=⎧⎨=⎩，∴1212x x y y +=22cos )(22sin )2sin 2cos （αααα+⋅-+⋅································8分=44(cos sin )αα+-=4+)4πα+，·······························9分∵[02]，απ∈，则9[]444，πππα+∈，∴当cos()4πα+=1，即α=74π时，1122x y x y +的最大值为4+．·············10分23．解：（1）方法一：由a =1，则2b +3c =3，由柯西不等式，得222(]23)≥b c ++，·····························2分∴21153()232≤⨯+=，······························································3分，当且仅当92105b c ==时等号成立．·····························5分方法二：∵a =1，则2b +3c =3，θ=，θ=，(0)2，πθ∈，·······································2分sinθθ=+)θϕ=+，其中tan ϕ=·······························4分当2πθϕ+=，即sin cos θϕ==cos sin θϕ==时，等号成立，，当29510c b ==时等号成立．······································5分（2）方法一：由题知：2b +3c =4−a ，设2b =(4−a )2cos θ，3c =(4−a )2sin θ，······················································6分θ=，θ=((20，πθ∈)，θθ=+sin()θϕ+，··············7分其中tan ϕ=，且ϕ是一象限角，sin cos ϕϕ==，∵02πθ<<，则2πϕθϕϕ<+<+，sin()1≤θϕ<+，)θϕ<+，··································8分又∵2+=-，2<-，················································9分∴41121≤a <．········································································10分方法二：令z c y b x a ===，，，则⎩⎨⎧=++=++，，4322222z y x z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+，，22222432)2()(x z y x z y ·····································7分∴x x z y yz z y +-=+++223222222，可得x x yz z y y zz y +-=+++22322，令zy t =>0，则32)1(2222++=+-t t x x ，令)1(1>+=m t m ，∴5422222+-=+-m m m x x ]6531(24512，∈+-=m m ，··································9分∴125326≤x x -<+，∴2111≤x <，即2111<，∴41121≤a <．········································································10分。
四川省遂宁市射洪中学2022-2023学年高三上学期第三次月考试题(12月) 文科数学试卷含答案
射洪中学高2020级高三上期第三次月考文科数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
）1.已知集合{}{}3,1,2,4,6,0.52.5A B x x =--=-<<，则A B = （）A.{}1,2,4- B.{}2 C.{}1,2- D.{}2,42.()i 23i +=()A.32i -B.32i +C.32i --D.32i-+3.AQI 的数值越小，表明空气质量越好，当AQI 的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI 的数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的AQI 的数值为201，则下列叙述不正确的是（）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.从3月9日到12日，空气质量越来越好D.从3月4日到9日，空气质量越来越好4.设等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++=（）A.6B.8C.10D.125.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是()A.若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βC.若α∩γ=m ，β∩γ=n ，则α∥βD.若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A.-2B.-6C.-8D.-127.已知向量()1,1a =，a b ⋅ ，2b = ，则向量a ，b 的夹角为（）A.6πB.4π C.3π D.23π8.已知角α的终边上有一点，则sin 2α=（）A.5C.5D.59.下面有四个命题：①“x ∀∈R ，e 0x >”的否定是“0x ∃∈R ，00x e ≤”；②命题“若6πθ=，则cos 2θ=”的否命题是“若6πθ=，则cos 2θ≠；③“ln ln m n <”是“mne e <”的必要不充分条件：④若命题p 为真命题，q 为假命题，则p q ∨为真命题.其中所有正确命题的编号是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若函数()f x 满足1x ∀，20x ≥，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-.若()π3a f =，21log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5c f =-，则a ，b ，c 三者的大小关系为（）A.a c b <<B. c b a <<C.b<c<aD.c<a<b11.已知直线l 为曲线1ln y x x =++在()1,2A 处的切线，若l 与二次曲线()221y ax a x =+++也相切，则=a （）A.0B.4-C.4D.0或412.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[0,1]上单调递减，若方程()1f x =-在[0,1)上有实数根，则方程()1f x =在区间[1,7]-上所有实根之和是（）A.30B.14C.12D.6第II 卷（非选择题）二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设椭圆标准方程为2212516x y +=，则该椭圆的离心率为______.14.已知实数,x y 满足22210x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =-的最大值为_________.15.将函数()2sin 203f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭（）的图象向左平移6πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0，4π]上为增函数，则ω的最大值为___________.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则下列命题：①不存在点Q ，使PQ ∥平面MBN ；②三棱锥B CNQ -的体积是定值；③直线1B D ⊥平面PMN④经过C 、A 、B 、N 四点的球的表面积为9π.正确的是______.三、解答题（共70分。
陕西省安康市2023届高三第三次质量联考 文科数学答案
文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DABACBDCCBAA1.D解析：由题意得2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故{(0,0),(1,1)}A B = .2.A 解析：()()()()()i 2i 22i i 2i 2i 2i 2i 5a b a b b a z a b +-++-+===+++-为纯虚数，∴20,20a b b a +=⎧⎨-≠⎩∴2ba =-.3.B 解析：S 6＝6（a 1＋a 6）2＝6（a 3＋a 4）2＝12.4.A解析：由题意可得2a －b ＝(3，2－x )，，∴3x ＝2－x ，解得x ＝12，∴|b |＝1＋14＝52.5.C 解析：由题意，1234535x ++++==，75849398100905y ++++==，将()3,90代入 6.4y x a =+，可得90 6.43a =⨯+，解得70.8a =，线性回归直线方程为 6.470.8y x =+，将58x =代入上式， 6.45870.8442y =⨯+=.6.B 解析：双曲线2221(0)y x k k-=>的渐近线方程为y kx =±，即0kx y ±-=.∵双曲线的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，∴2211k =+，解得3k =.7.D 解析：当π2π,63A B ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故“tan tan A B >”不是“sin sin A B >”的充分条件，当2ππ,36A B ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故“tan tan A B >”不是“sin sin A B >”的必要条件；∴“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．8.C解析：设方程()()2227270x mx x nx -+-+=的四个根由小到大依次为1a ，2a ，3a ，4a .不妨设2270x mx -+=的一根为1，则另一根为27，12728m ∴=+=.由等比数列的性质可知1423a a a a =，411,27a a ∴==，∴等比数列1a ，2a ，3a ，4a 的公比为4313a q a ==，2133a ∴=⨯=，23139a =⨯=，由韦达定理得3912n =+=，∴281216m n -=-=.9.C 解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为x ＋6，由相似得163x x =+，即x ＝3，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为332π12π⋅=.10.B解析：由已知可得(2)(),()f x f x f x +=∴的周期为2，∴2023202312111()()(0)221222f f f f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.11.A 解析：如图，由题意得23F M a =，1260F PF ∠=︒，∴13PM a =，223PF a =，由椭圆定义可得212112,PF PF PM MF PF a MF a +=++=∴=，在Rt 12MF F ∆中，由勾股定理得22243a c a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，可得c e a ==12.A 1e 1.011bc ===-可得21.0112a -=，ln1.01b =，11 1.01c =-，比较a 和b ，构造函数()21ln 2x f x x -=-，当1x >，()10f x x x =->'，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()()1.0110f f >=，即a b >.同理比较b 和c ，构造函数()1ln 1g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x >，()210x g x x -'=>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()1.0110g g >=，即b c >.综上，a b c >>.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114.3415.1或3或5或7(写出其中一个即可)16.52π13.1解析：作出可行域，易得目标函数z x y =-在点A （4，3）处取得最大值1.14.34解析：f (2log 3)＝f (2log 3－1)＝f (23log 2)＝f (23log 2-1)＝f (23log 4)＝23log 4324=.15.1或3或5或7(写出其中一个即可)解析：由已知可得cos(ω·π2)＝0，∴ω·π2＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋2k ，k ∈Z .∵f (x )在区间[0，π8]上单调，∴ωx ∈[0，π8ω]，∴结合y ＝cos u 的图象可得π8ω≤π，∴0<ω≤8，∴ω＝1或3或5或7.16.52π解析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则6x ＋y ＝18，0<x <3，正六棱柱的体积V ＝6×34x 2y ＝36·3x ·3x ·(18－6x )≤36[3x ＋3x ＋（18－6x ）3]3＝，当且仅当3x ＝18－6x ，即x ＝2时，等号成立（或求导求最值），此时y ＝6.=，∴外接球的表面积为4π×13＝52π.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =.（2分）设中位数为x ，∵学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>，∴中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =，故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（6分）（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=，成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=，按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，设为a ，b ，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人，设为c ，d ，e ，从这5人中任意选取2人，基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，都不选考历史科目的有ab ，1种，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.（12分）18.解析：（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，（或11sin cos cos sin cos sin )36π2π2A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭）∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵0πA <<，∴ππ7π2333A <+<，∴π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，∵a c <，∴π2A <，∴π6A =．（6分）（2）由（1）知6A π=，sin sin a A c C B +=，由正弦定理得2212a c +==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，即221232c c -=+-⋅，整理得22390c c --=，由0c >得3c =，∴111sin 32224ABC S bc A ==⨯=△．（12分）19.解析：(1)连接DE ，∵ABCD 是正方形，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD ，∵PD ，DE ⊄平面BFG ，FG ，BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG ，∵PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG ，∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(5分)(2)∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM ，∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF ∆中，FB ＝CF ＝5，∴由等面积可得CM ＝2×25＝455，∴点C 到平面BFG 的距离为455.(12分)（或由C BFG G BCF V V --=可得11113232BF FG h BC AB FG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴BC AB h BF ⋅===20.解析：（1）()022,x a f x x x xa'-=-=>，当0a ≤时，()0f x ¢>，此时()f x 在()0,∞+单调递增；当0a >时，令()0f x '<得02a x <<，令()0f x ¢>得2a x >，此时()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.（4分）（2）当0a =时，()20f x x =>，()2122f x a a -≥显然成立.当0<a 时，()f x 在()0,∞+单调递增，若()2220ea ax -<<，由()2202a a-<可得()2220e1a a-<<，∴()2ln 2ln 2f x x a x a x =-<-<-()()()222222221222222a aa a alnea a a a---=-⨯=-=-，与()2122f x a a -≥矛盾；当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()min ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∵()2122f x a a -≥，∴21ln 222a a a a a --≥，即ln 1022a a--≥，令()ln 122a ah a =--，则()11222-'=-=a h a a a，令()0h a '>得2a >，∴()h a 在()0,2单调递减，()2,+∞单调递增，∴()()min 21ln2ln210h a h ==-+-=，∴ln 1022a a--≥.综上，a 的取值范围是[)0,∞+.（12分）21.解析：（1）由点()1,2M 在抛物线2:2C y px =上得222p =，即2p =,∴抛物线C 的准线方程为12px =-=-.（4分）（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ,由直线MA 与MB 的倾斜角互补得0MA MB k k +=，即()()()1212122212121244222222221144y y y y y y y y x x y y ++----+=+=--++--，∴124y y +=-,联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得2440ky y -+=，∴124y y k +=，124y y k =,∴44k =-，即1k =-，∴124y y =-,∴TA TB ⋅==()()22212121124y y k x x k ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．（12分）22.解析：（1）由(2x t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得2(x y =-，即20x y -+.故直线l 的普通方程是20x y -+.由()2213sin 4ρθ+=得2223sin 4ρρθ+=，代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得22234x y y ++=，∴2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程是2214x y +=.（4分）（2）方法一：由θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥），得sin 5β=，cos 5β=-.将射线(0)θβρ=≥代入曲线C的极坐标方程，可得222513sin 12344M ρβ===++⨯⎝⎭，∴2Mρ=.直线l的极坐标方程为cos 2sin 0ρθρθ-+=，将(0)θβρ=≥代入直线l的极坐标方程可得cos 2sin 0ρβρβ-+=，∴N ρ=，∴22N M MN ρρ=-=.（10分）方法二：由题可得射线θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥）的直角坐标方程为1(0)2y x x =-≤.联立()2214102x y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-≤⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.联立()20102x y y x x ⎧-+⎪⎨=-≤⎪⎩解得x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(N -.∴MN .（10分）23.解析：（1）()223f x x x =++-=31,15,1331,3x x x x x x -+≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，∴不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（5分）（2）∵22min R,3(),3()x a a f x a a f x ∀∈-≤∴-≤，由（1）知()f x 在(,1)-∞-递减，[1,3)-递增，[3,)+∞递增，min ()(1)4f x f ∴=-=，2234,434a a a a ∴-≤∴-≤-≤，解得14a -≤≤（10分）。
数学高三月考试卷答案
一、选择题1. 答案：D解析：根据三角函数的定义，sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = √3/3。
所以，选项D正确。
2. 答案：A解析：函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴为x = -b/2a = -(-4)/(22) = 1，顶点坐标为(1, f(1))。
将x = 1代入函数，得f(1) = 21^2 - 41 + 3 = 1。
所以，选项A正确。
3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则y = a^x在R上单调递增；若0 < a < 1，则y = a^x在R上单调递减。
由于题目中给出的函数为y = 1/(2^x)，因此a = 1/2，属于0 < a < 1，故函数在R上单调递减。
所以，选项B正确。
4. 答案：C解析：复数z = a + bi的模长为|z| = √(a^2 + b^2)。
题目中给出的复数z = 3 + 4i，所以|z| = √(3^2 + 4^2) = 5。
所以，选项C正确。
5. 答案：A解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n 为项数。
题目中给出的数列为3, 6, 9, 12, ...，首项a1 = 3，公差d = 6 - 3= 3。
求第10项a10，代入公式得a10 = 3 + (10 - 1)3 = 3 + 27 = 30。
所以，选项A正确。
二、填空题6. 答案：-3解析：根据二次方程的求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
题目中给出的二次方程为x^2 - 4x + 3 = 0，a = 1，b = -4，c = 3。
代入公式得x = (4 ± √(16 - 12)) / 2 = (4 ± 2) / 2，解得x1 = 3，x2 = 1。
高三月考数学测试题集合与函数三角函数与向量导数解三角形数列不等式
高三第三次月考数学试题(文)第I卷(选择题共50分)一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.设集合P=P {x|x2 2底0}, m 20.5则下列关系中正确的是()A. m PB. m PC.{m} PD.{m} P2, ”|x y| 1” 是“ 1x 1且 1 y 1” 的()A.必要不充分条件B,充分不必要条件C,充分必要条件D,既不充分又不必要条件3.在 ABC中，若a ", b 抵 A 300,则边c的长度等于()A. 2后B. "C."或2" D,以上都不对将4,正奇数按下表排列：1357911131517.......则199在()A.第11行B.第12行C.第10列D.第11列5,若两个非零向量a,b满足|a b||a b | 2|a|,则向量a b与b的夹角为()A. -B. -C. 2-D.5-6 3 3 66.已知。
是 ABC所在平面内一点，且2OA OB OC 0,则S ABC： S OBC的值为()A.1:1B,2:1 C,2:3D,3:27,等差数列{a n}的公差d=2, b n 2%且4 匕1a b2 6 ,则b2=()A.1B.4 C,8D,92 3 sin —8.若 a log4 一,b log3Sin 一 ,c 2 5 ,则()5 5A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a9.若数列{ a n}的通项公式是a n (2n 3)sin ^2n一"一，则a〔a2 a3 an =()2A.15B.12C.-12D.-1510.若公比为3的等比数列{a。
}满足7am l 3a l ,则9m」的最小值为()mnA.4B.5C. ?D 」6第R 卷(非选择题共100分)二.填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中的横线上) 11 .已知a 1, b 2,且a b 与a 垂直，则向量a 在向量b 方向上的投影为12 .等差数列｛a n ｝的前m 项和为36,且a 〔 a 5 % a 12 12,则m= 00,若目标函数z=x-2y 的最大值为1,则实数a 的值是后所得曲线关于y 轴对称，则的最小值为三.解答题(本小题共6小题，共75分.？解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16 .(本小题满分12分)函数f(x) 33 g 的定义域为集合A,函数g(x) ln[ x 2 (2m 1)x m 2 m] (m R)的定义域为集合 B.⑴求集合A 和B;(2)若A 是B 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.x y 1 13.点(x,y)满足 x y 1 x a14.已知定义在R 上的函数f(x),f(1) 3 . 1 1 ........ -,f (x) 1,则f(x -) x 」的解集是2 4 4一、a 1 a 215.定义 1 2 a 3 a 4sin x 1 a 〔a 4 a 2a 3,若函数 f (x) 0),将f(x)的图像向左平移一个单位 317 .(本小题满分12分)已知数列｛2门｝满足为 2但 1,且a n (a n 1 a n 1) 2a n 冏1(n 2),, 2 a 1 …⑵右b n ----------- ,且C n b n (―) (n N ),求数列｛C n ｝的刖n 项和T na n 218 .(本小题满分12分)在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知一一 ,3 cos A sin C⑴求A 的大小；(2)若a=6,求 ABC 的周长的取值范围.19 .(本小题满分13分)已知函数f(x) e x m(x 1),x R ,记函数h(x)=f(2x),设函数y=h(x)的图像E 与y 轴交于M 点, 曲线E 在M 点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为 S,求当m>1时，S 的最小值.((e ax )′ ae x ) 20 .(本小题满分13分)各项均不为0的数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足：t (S n 1 1) (2t 1)S n (n N ,t 0)(1)求证：数列｛a n ｝是等比数列(n 2);⑵若数列｛a n ｝ (n 2)的公比为f(t),数列｛b n ｝满足："1,b n 1 f (工)，求数列｛b n ｝的通项公式；b n / 1(3)令C n ---------- ,求数列｛C n ｝刖n 项和T n .b n b n 121 .(本小题满分13分)已知函数f (x) 、x 2 lnx,其中a 为大于零的常数.2a (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x [1,2]时，不等式f(x) 2恒成立，求a 的取值范围.22 .(本小题满分13分)已知函数f(x) x 2 (a x 2)x 1,其中e?是自然对数的底数，a R.e ⑴求f(x)的单调区间；⑵若a=1,函数f(x)的图像与函数g(x)= 1x 3 -x 2 m 的图像有3个不同的交点，求实数？m 的取 3 2 值范围.数学试题答案一.选择题DBCCABBCDA (1)求证：数列｛1｝是等差数列，并求通项a n an ；b 4.3sin B,c 4、.3sinC ;b c 4,3sin B 4 3sinC 12sin( B —) 6可得6<b+c 12,从而三角形周长的取值范围是（12,18]2m)(x 0),与坐标轴的交点分别为(0, 1+nm , ( m 1 ,0) 2(m 1) 121.(1)减区间(0, 1)增区间(1,)，极小值为12(2) x [1,2], f(x) 2 — g(x) 呼 马，g '(x) 21nx 3 0,故？g(x)的最大值为2ax x xg(1)=2,得 0a ，4 二.填空题1 52； 12； 1； ( ，4)； 2三.解答题16. (1) A( , 2)[1, 乂2) m 1或 m 3 (2)17. (1) a n — (2) T n n18. (1) A — 3 (2)由正弦定理得一b —sin B 2nsinC 4.3sin 一 319.切线为 y (1 m) (2 c 1 m 1 S=- (m 1) 2 2(m 1)1 44[(m 1) / 4] 2（等号当且仅当m=3时成立）20.(1) ta n1 (2t 1)a n (n 2) (2) b n 2n 1 (3) C n 1 (2n 1)(2n 1) T n n 2n 1。
高三上册数学月考试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么函数f(-x)的图像是（）。
A. 向右平移3个单位B. 向左平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位2. 若等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，那么第10项a10等于（）。
A. 19B. 20C. 21D. 223. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于直线y = x的对称点坐标是（）。
A. (2, 3)B. (-3, 2)C. (3, 2)D. (-2, -3)4. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z - 3| = |z + 5|，则实数a的值为（）。
A. 4B. 2C. 0D. -25. 函数y = |x - 1| + |x + 1|的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 36. 在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a² + b² = 2c²，则角C的度数是（）。
A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°7. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，那么数列中任意两项之和的最大值是（）。
A. 3B. 4C. 5D. 68. 在等差数列{an}中，若a3 + a6 = 12，a6 + a9 = 24，则数列的公差d等于（）。
A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，那么函数f(2x)的图像是（）。
A. 向右平移2个单位B. 向左平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位10. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z + 3| = |z - 3|，则实数b的值为（）。
A. 0B. 3C. -3D. ±3二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数y = -2x + 1的图像经过点（）。
高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)
高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,1,2}D. {0,1,2}2. 若复数z=a+2i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A. −4B. −2C. −1D. 13. 已知向量a=(1,−1),b=(1,t)，若〈a,b〉=π3，则t=( )A. 2−3B. 2+3C. 2+3或2−3D. −14. 若函数f(x)=1−cosxsinx(x∈[π3,π2])，则f(x)的值域为( )A. [3,+∞)B. [33,+∞)C. [1,3]D. [33,1]5. 正四面体S−ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为( )A. 64B. 33C. 263D. 36. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是( )A. 13B. 16C. 18D. 1127. 如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，AB=2，BC=22，AD=6.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. 84π3B. 30πC. 92π3D. 40π8. 函数f(x)的定义域为R，且f(x)−f(x+4)=0，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，当0≤x<2时，f(x)=1−x，则n=12022f(n)=( )A. 1010B. 1011C. 1012D. 1013二、多选题（本大题共4小题，共20分。
高三数学月考试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
然后分别求二阶导数f''(x) = 6x，代入x = 1和x = -1，得到f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0。
因此，f(x)在x = -1处取得极大值f(-1) = -2，在x = 1处取得极小值f(1) = -2。
2. 已知等差数列{an}的第一项a1 = 2，公差d = 3，求第10项an。
答案：由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得到an = 2 + (10 - 1)×3 = 2 + 27 = 29。
3. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求圆心坐标。
答案：将圆的方程配方，得到(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4。
因此，圆心坐标为(2, 3)。
4. 已知函数g(x) = 2^x - 1，求g(x)的值域。
答案：由指数函数的性质可知，2^x > 0，所以2^x - 1 > -1。
因此，g(x)的值域为(-1, +∞)。
5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a + b + c = 12，a^2 + b^2 = 52，求三角形ABC的面积。
答案：由余弦定理可知，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
代入a^2 + b^2 = 52，得到c^2 = 52 - 2abcosC。
又因为a + b + c = 12，所以c = 12 - a - b。
将c代入上述方程，得到(12 - a - b)^2 = 52 - 2abcosC。
化简得cosC = (12 - a -b)^2 - 52 / 2ab。
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2012届高三上学期第三次月考数学（文）试题本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．已知x ∈R ，i 为虚数单位，若（1-2i ）（x+i ）=4-3i ，则x 的值等于（ ） A. -6 B. -2 C. 2 D. 6 2．已知全集U=R,集合P=｛x ︱log 2x ≥1｝,那么A.}20|{<<x xB.}2|{<x xC.}2.|{>x xD. }2|{≤x x 3．四边形ABCD 中，=，且∙=0，则四边ABCD 是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形4．不等式2x 2-x-1<0成立的一个必要不充分条件是（ ） A. 1(,1)2-B. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ C.（1，+） D.（-1，1） 5．已知角θ的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）A ． 45-B ．35-C ． 35D ．456．已知函数x x x f 3)(3-=，直线方程为16y ax =+，与曲线)(x f y =相切，则实数的值是 （ ）A ．3-B ．3C ．6D ．97．若43<<k ，则二次曲线13422=-+-ky k x 的焦点坐标是（ ） A.（0，±1） B.（±1，0） C.（±k 27-，0） D.与k 的取值有关8．已知函数bx ax x f -=2)(，其中≥1，b ≤2，且0)(=x f 在[1，+）上有解。
向量=（1，1），=（a ，b ），则∙的最大值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 19．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 的值是（ ）A. 120B. 720C. 1440D.504010．某多面体的一条棱的正视图是一条长为6的线段，它的俯视图和侧视图是两条长度都等于7的线段，那么这条棱长为（ ）A.10B. 7C. 6D.3二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11．数列}{n a 中,1a =1，2≥n 时，n a =21-n a +1，则}{n a 的通项公式是n a = ； 12．函数)(x f =12++a ax 在（-1，1）内有零点，则实数的范围是 ； 13．直线2sin cos =+θθy x 与圆422=+y x 的公共点的个数是 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）化参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 22sin cos ，0(∈t ，]2π为普通方程为 ； 15．（几何证明选讲选做题） 如右图：已知AC=BD ，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线E 点，若ACE ∠=040， 则BCD ∠= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（Ⅰ）从x 、y 中各取一个数，求10≥+y x 的概率；（Ⅱ）针对表中数据，甲给出拟合曲线的方程是：108.005.02++=x x y ，测得相关指数97.02=R ；乙给出的拟合曲线的方程是：6.055.0+=x y ，测得相关指数85.02=R 。
请判断用哪一个方程拟合效果会更好，并用较好的曲线方程估计x=10时y 的值。
17．（本小题满分14分） 已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π（Ⅰ）求它的最小正周期T; （Ⅱ）若),0(,23)(παα∈=f ，求的值； （Ⅲ）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分14分）如图，PAD ∆为等边三角形，ABCD 为矩形，平面PAD 平面ABCD ，2AB =，E F G 、、分别为PA 、BC 、PD 中点，AD =（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD（Ⅱ）求多面体P AGF -的体积．19．（本小题满分12分）椭圆的两个焦点分别为F 1(0,-22)，F 2(0,22)，离心率e =322。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 中点的横坐标为-21，求直线l 倾斜角的取值范围。
20．（本小题满分14分）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0≠a ;（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若1)1(-≥e f ，求使)(x f ≤2e 对x ∈[1，e]恒成立的实的值。
（注：e 为自然对数的底数）21．（本小题满分14分）已知数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）．若x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记12(1)n nb a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值； （Ⅲ）当t =2时，求证：对于任意的正整数n ，有 ∑=+<++nk k k k a a 1131)1)(1(2。
答案及评分要求一．CBBDB DBABA二．11．n a =n 2-1 ；12．311-<<-a ；13．1 ；14．1=+y x ，10≤≤x ；15．040。
16．解（Ⅰ）(x,y)共有25个，其中符合x+y ≥10的有9个：(6,4),(6,5),(7,3), (7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5)所以，从x 、y 中各取一个数，满足10≥+y x 的概率259=P。
（2）更好。
甲给出的方程拟合效果∴>,85.097.0 当x=10时，8.618.0511008.01005.02=++=+⨯+⨯=y 17．（Ⅰ）πππππ==∴++=++=+++=++=221)32si n(12cos 232si n 212si n )62cos(12si n )12(cos 2)(2T x x x x x xx x f.12114,6136532).37,3(32),2,0(2),,0(21)32sin(,231)32sin()()(ππαπππαπππαπαπαπαπαα或或=∴=+∴∈+∴∈∴∈=+∴=++=2 f （Ⅲ）).](12,125[)(),(12125),(223222Z k k k x f Z k k k Z k k k ∈+-∴∈+≤≤-∈+≤+≤-ππππππαπππππαππ的增区间为得由18．（Ⅰ） ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴又平面PAD 平面ABCD ，且AD ABCD PAD =⋂平面平面， PAD AB ABCD AB 平面，平面⊥∴⊂∴（Ⅱ）．--P AFG F PAG V V =三棱锥三棱锥21112332PAG AB S ∆=⨯⋅=⨯⨯=………………………………………………１４分19．解 （Ⅰ）设椭圆方程为22ay +22b x =1。
由已知，c=22，由e=322解得a=3，∴b=1。
∴92y +x 2=1为所求椭圆方程。
（Ⅱ）设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++= ② ①192x y b kx y将①代入②并化简，得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-9=0。
∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+>-+-=1920)9)(9(4)2(221222k kbx x b k kb Δ。
由于k ≠0 则化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧+=>+- ④ ③k k b b k 2909222 将④代入③化简后，得k 4+6k 2-27>0 解得k 2>3， ∴k< -3或k>3由已知，倾斜角不等于2π， ∴l 倾斜角的取值范围是(3π,2π)∪(2π,32π)。
20．解：（Ⅰ）因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x－2x ＋a ＝－x －a 2x ＋a x.当a ＞0时，由)(x f ＞0，得a x <<0， f (x )的增区间为(0，a )；当a ＜0时，由)(x f ＞0，得20a x -<<， f (x )的增区间为（0，-2a ）； （Ⅱ）由 f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e.PDB由（Ⅰ）知f (x )在[1，e]内单调递增，要使f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立， 只要2)(e e f ≤，则 222ln e ae e e a ≤+-，0222≤-+e ae a ，0))(2(≤-+e a e a ， e a ≤，得a ＝e21．解：分析：利用x =311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点求出n a 与1n a +的关系式，从而加以证明第（1）问，而第（2）问的解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n 的最小值。
第（3）问中先将11(1)(1)k k a a +++拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g （x ）的表达式。
（Ⅰ）211'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．由题意0)(='t f ，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥，∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥，∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列，2112121321()(1),(1),(1),(1)n n n n n n n a a t t t t t a a t t a a t t a a t t-+--∴-=-=-⋅∴-=--=-⋅-=-以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)n n a t n =≥， 当1n =时，上式也成立，∴n n a t =（Ⅱ）当t=2时，12(21)1222n n n n b --==- 2112112)2121211(212---=++++-=∴-n n n n n S .21222)211(22n n n n ⋅+-=--=由2008n S >，得1222()20082nn -+>，1()10052nn +>，当111004,()1005,1005,()150022nnn n n n ≤+<≥+>时当时， 因此n 的最小值为1005．（Ⅲ）∵121121)12)(12(2)1)(1(2111+-+=++=+++++k k k k k k k k a a∑=+++nk k k ka a 11)1)(1(22231111111()()()212121212121n n +=-+-++-++++++ (11113213)n +=-<+。