高等数学期末复习：1.6 无穷小量与无穷大量

M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
x
x
二、无穷小量的比较
例如, 当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.
1 x3
2
原
式
lim
x0
2 (2
x
)3
1. 16
例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o(x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
2
5x o( x) 1 x 2 o( x 2 )
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
tan 4 lim(
x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim(
x0
tan x
x
1
cos x2
x
)Βιβλιοθήκη Baidu
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
第六节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)， 总存在正数 (正数X )，使得对于适合不等式 0 x x0 （或x X）的一切x，对应的函数 值f ( x)都满足不等式 f ( x) , 那么称函数f ( x)
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
lim
.
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan 2x ~ 2x. 2
原
式
lim
x0
tan2 2 x (2x)2
(2x)2
.
.
1 x2 2
1 x2 1 cos x
8.
2
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
时的无穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x) A, x x0
于是 0, 0, 使得当0 x x0 时 恒 有 f ( x) A . 令 ( x) f ( x) A,
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
原式 lim
于是有 o().
例如, sin x x o( x), cos x 1 1 x 2 o( x 2 ). 2
等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且lim 存在, 则 lim lim .
证 lim lim( )
lim lim lim
当x x0 (或x )时为无穷小，记作
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0, 数列{(1)n }是当n n
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
22 0 (x )
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M
0, 使得当0
x x0
时
1
恒有u M.
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
取 min{1 ,2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
x2 lim 0,
x
x 2比3 x要快得多;
观 x0 3x
察 各 极 限
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
x0 x
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
则有 lim ( x) 0, x x0
而 f (x) A(x).
充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) A lim ( x) 0 即 lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函数f ( x)在x0附近的近似表达式 f ( x) A, 误差为( x).
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
证 设及是当x 时的两个无穷小,
0,N1 0, N2 0,使得
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N2 }, 当 x N时, 恒有 ,