怎样证明根号2是一个无理数

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数

全世界只有3.14 %的人关注了

数据与算法之美

如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？

古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有

根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数

令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数

我喜欢各种各样的证明。⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。说“没有突破⼝”还不够确切。准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀些技巧使得证明变得⾮常简单。我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。

今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章The Power Of Mathematics恰好说明了这⼀点。⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。

如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？

古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

无穷递降法证明根号2是无理数

根号2（√2）为什么是无理数，我们有什么办法去计算它。

当我冒出这个想法的时候，其实大部分人的反映都一样1+1开根号就是啊，至于为什么，就是规定呗，当然把根号作为一种符号确实如此，但是离结果还差了很远。

这个问题追根溯源，会发现远比我们想象的要复杂，得追溯到古希腊时期。

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家，他提出“万物皆为数”的观点。公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）突然发现好像有些情况解释不了，比如一个正方形的对角线与其一边的长度，这明显与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，使得学派领导人很惶恐，最后被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。

要去计算根号2的值，我们可以拆分为两个问题。

1）怎么证明根号2是无理数

2）根号2的无理数值是怎么计算出来的？

我们来从求知的角度来证明下根号2（√2）为什么是无理数？

方法1：尾数证明法：

假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中（a，b）=1，（表示a与b最大的公因数是1），a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。

反证法的一般步骤例子

反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。

一、反证法的一般步骤

反证法的一般步骤包括以下几个步骤：

1. 假设待证命题的反命题为真；

2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；

3. 由此得出结论，待证命题为真。

二、具体例子

1. 证明根号2是一个无理数

假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。同样地，可知b也是2的倍数。这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。

2. 证明素数有无穷多个

假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。根据素数的定义，M必然是一个合数。而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。

3. 证明根号3是一个无理数

假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。同样地，可知b也是3的倍数。这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。

证明根号2是无理数的八种方法

2 1 1 ，将分母中的 1 2
2 用1 1 代替，有 1 2
2 1 2
1 1
，不断重复这
1 2
个过程，得
2 =1
2
1
1
2
1 2
，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都
是 1 分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.
证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a 2 2b2 没有正整数解。若不然，
12
m
12
n
1
m
q1,, qn 都是素数， r1,, rm 与 s1,sn 都是正整数，因此
p 2r1 p 2r2 p 2rm =2 q q 2s1 2s2 q 2sn ，素数 2 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，
1
2
m
12
n
矛盾，因此 2 是无理数.
证法 6：假设 2 = a ，其中右边是最简分数，即在所有等于 a 的分数中，a 是最小的正
盾！因此 2 是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = a .其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 a 2 2b .可2 知 a b
是偶数，设 a=2c,则 4c2 2b2 ， b2 2c2 ，可知 b 也是偶数，因此 a、b 都是偶数，这与(a,b)

证明根号2是无理数的八种方法

6、9 中的一个，因此 2b2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 a 2 2b2 ，所以 a2 与 2b2 的尾
数都是 0，因此 b2 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a,b)=1 矛盾！因此 2 是无理数.
这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.
换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.
a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = .
b
其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 a 2 2b2 .由于完全平方数 b2 的尾数只能是 0、1、4、5、
以上诸多可以ba为边构造正方形ba部分的面积它们都是正方形下去这个过程可以无限进行mr2mrrppp222121?2sqq211右边是奇数次幂矛盾因此2是无理数中右边是最简分数即在所有等于ba的分数去ab有abbaba???2222bbb?baa??2baa这与a是最小的分子矛盾因此1?212?1因此21112???中的2用2111??代替有12112?????这是一个无限连分数
证法 6：假设 2 = a ，其中右边是最简分数，即在所有等于 a 的分数中，a 是最小的正整

判断无理数的四个方法

无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。

方法一：反证法

反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。

方法二：连分数展开法

连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。

方法三：代数证明法

有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

方法四：几何证明法

几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

(完整word版)证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数.

证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a

b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程：

0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠⋅a a n 有有理根p

q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0.

证明：把p

q x =代入原方程，得： 0...02211=++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211==

+++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有：

....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++----

由于n

p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p

同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有：

....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++----

由于n

q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0.

回到原命题，由于0)2(1≠-⨯，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数

全世界只有3.14 %的人关注了

数据与算法之美

如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？

古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有

根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

证明根号2是无理数的反证法

“根号2是无理数”怎么证明（用反证法证）

答案解析

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:根号2=p/q于是p=(根号2)q两边平方得p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）由2q^2是偶数,可得p^2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.因此可设p=2s,代入上式,得：4s^2=2q^2,即q^2=2s^2.所以q也是偶数.这样,p,q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾.这个矛盾说明,根号2不能写成分数的形式,即根号2不是有理数.

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 2

2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.

换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.

a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b

其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、

a 2

b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.

这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.

a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,

b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a

a 2

b 2 b 是偶数，设 a=2

c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.

根号2不是有理数的证明

根号2是一个著名的数学问题，即它是否是有理数。本文将通过证明来说明，根号2不是有理数。

1. 引言

数学中的有理数指的是可以写成两个整数的比值的数，例如1/2、2/3等。而根号2是一个无限不循环小数，因此不能被表示为有理数。

2. 证明方法一：反证法

假设根号2是有理数，即可以写成两个整数的比值，设其为p/q （其中p和q互质）。我们假设p和q都是偶数，可以进行如下推导：根号2 = p/q

2 = (p*q)^2/q^2 （两边平方）

2q^2 = p^2 （移项）

由此可知，p^2必为偶数，因为p为偶数。因此可以继续推导： p^2 = (2k)^2 = 4k^2 （设p=2k，其中k为整数）

2q^2 = 4k^2

q^2 = 2k^2

这说明q^2也是偶数，而这与p和q互质的假设相矛盾。因此假设不成立，根号2不是有理数。

3. 证明方法二：无理数定义证明

根号2可以通过无理数的定义来证明。无理数定义为不能表示为两个整数的比值的数。假设根号2是有理数，同样设为p/q（其中p和q互质，q不为0）。我们可以进行如下推导：

根号2 = p/q

2 = p^2/q^2 （平方）

2q^2 = p^2

这意味着p^2是2的倍数，因此p也必为2的倍数。设p=2k，其中k为整数，继续推导：

2q^2 = (2k)^2 = 4k^2

q^2 = 2k^2

同样，这说明q^2也是2的倍数，因此q也必为2的倍数。这与p 和q互质的假设相矛盾。因此，根号2不是有理数。

4. 结论

综上所述，根号2不是有理数。无论是通过反证法还是无理数定义证明，都可以说明根号2无法被表示为两个整数的比值，因此不是有理数。

无理数的经典例题

无理数是不能表示为两个整数的比例的实数，它们的小数部分是无限不循环的。以下是一些关于无理数的经典例题：

1. **证明根号2 是无理数：**

考虑方程\(x^2 = 2\)，证明它没有整数解。这可以通过反证法，假设存在整数解，然后导出一个矛盾，证明根号2 是无理数。

2. **证明\(e\) 是无理数：**

证明自然对数的底\(e\) 是无理数是一个复杂的问题，通常需要使用数学分析的方法。这个证明是由瑞士数学家乔治·庞加莱提出的，使用了连分数等技巧。

3. **证明\(\pi\) 是无理数：**

证明圆周率\(\pi\) 是无理数是一个著名的问题。这个证明最初由德国数学家弗朗茨·利希滕贝尔格在18世纪提出，后来由英国数学家罗杰·阿普利顿于1882年完成。

4. **证明黄金比例\( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) 是无理数：**

这个数通常用希腊字母\(\phi\) 表示，它是黄金比例的一个代表。证明\(\phi\) 是无理数可以通过构造与其相关的方程并应用数学归谬法。

5. **证明平方根为质数的无理数性质：**

例如，证明\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\) 等为无理数。这可以通过反证法，假设它是有理数，然后导出矛盾。

这些问题都涉及到一些高级的数学知识，通常需要运用代数、数论、分析等多个数学分支的方法。证明一个数是无理数往往需要使用反证法，也可能需要一些创造性的构造和证明技巧。

五种方法证明根号2是无理数

五种⽅法证明根号2是⽆理数

古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。

一题多解教学案例：五种方法证明根号2是无理数

一题多解教学案例：五种方法证明2是无理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”

的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证

明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，

“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生

Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们

公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大

厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般

地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果

小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整

数之比，它的平方等于2。

中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数

令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？

古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学

相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承

认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有⼀

天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然

倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今

天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1

的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。换句话

说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想

不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟

然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。我们只

能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经

不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可