怎样证明根号2是一个无理数

根号2为无理数的证明

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到底是哪一個成立呢? 如何證明? 欲證 H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由 H1 切入。 √ 換言之, 我們假設「 2 為有理數」, 先 √ √
投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。第一種證法: 假設可以寫成 √ 2 為有理數, 故 2
2=
a b
(1)
其中 a 與 b 為兩個自然數並且互質。將上式平方得 a2 = 2b2 (2)
五、完全平方數
√ √ 第十種證法: 設 2 為有理數, 故 2 √ 可以寫成 2 = a , 其中 a 與 b 為互質的自 b2 + y 2 = z 2
16 數學傳播 23 卷 1 期民 88 年 3 月
的所有正整數解為
x z
2β1 2β2 α1 2α2 αn 2βm p2 · · · p2 = 2q1 q2 · · · qm 1 p2 n
(3)
第二種證法: 觀察 (3) 式中的 2, 左項的 2 為偶次方, 但右項的 2 為奇次方, 這是一個矛盾。第三種證法: 在 (3) 式中, 左項有偶數個質數 (計較重複度), 右項有奇數個質數, 這也是一個矛盾。無論如何, 我們由歸謬法證明了無理數。 √ 2為
2 2 2 2 2 2 2 2
六、輾轉相除法
求兩個整數之最大公因數最常用輾轉相除法 (又叫做歐氏算則)。由此可衍生出一個美妙的結果: 定理 1: 若 a, b 的最大公因數為 d, 則存在兩個整數 r , s 使得 d = ar + bs (8)
質, 則 a2 = 2b2 。 a 與 b 的個位數字可能為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 或 9, 於是 a2 與 b2 的個位數字可能為 0, 1, 4, 5, 6 或 9, 而 2b2 的個位數字可能為 0, 2 或 8。由 a2 = 2b2 可知, a 與 2b 的個位數字必為 0, 從而 a 的個位數字為 0, 且 b2 的個位數字為 0 或 5, 所以 b 的個位數字為 0 或 5。因此, a 與 b 可被 √ 5 整除, 這跟 a 與 b 互質的假設矛盾, 故 2 為無理數。

无穷递降法证明根号2是无理数

无穷递降法证明根号2是无理数
根号2（√2）为什么是无理数，我们有什么办法去计算它。

当我冒出这个想法的时候，其实大部分人的反映都一样1+1开根号就是啊，至于为什么，就是规定呗，当然把根号作为一种符号确实如此，但是离结果还差了很远。

这个问题追根溯源，会发现远比我们想象的要复杂，得追溯到古希腊时期。

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家，他提出“万物皆为数”的观点。

公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）突然发现好像有些情况解释不了，比如一个正方形的对角线与其一边的长度，这明显与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，使得学派领导人很惶恐，最后被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。

要去计算根号2的值，我们可以拆分为两个问题。

1）怎么证明根号2是无理数
2）根号2的无理数值是怎么计算出来的？
我们来从求知的角度来证明下根号2（√2）为什么是无理数？
方法1：尾数证明法：
假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中（a，b）=1，（表示a与b最大的公因数是1），a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。

反证法的一般步骤例子

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。

下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。

一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤：1. 假设待证命题的反命题为真；2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；3. 由此得出结论，待证命题为真。

二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。

由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。

设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。

同样地，可知b也是2的倍数。

这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。

2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。

考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。

根据素数的定义，M必然是一个合数。

而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。

然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。

这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。

3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。

由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。

根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。

设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。

同样地，可知b也是3的倍数。

这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。

4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

证明根号2是无理数的八种方法

换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.
证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = a . b
其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 a 2 2b2 .由于完全平方数b2 的尾数只能是 0、1、4、5、6、9 中的一个，因此2b2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为a 2 2b2 ，所以 a 2 与 2b2 的尾数都是 0，因此b2 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a,b)=1 矛
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m
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n
1
m
q1,, qn 都是素数， r1,, rm 与 s1,sn 都是正整数，因此
p 2r1 p 2r2 p 2rm =2 q q 2s1 2s2 q 2sn ，素数 2 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，
1
2
m
12
n
矛盾，因此 2 是无理数.
证法 6：假设 2 = a ，其中右边是最简分数，即在所有等于 a 的分数中，a 是最小的正
2 1 1 ，将分母中的 1 2
2 用1 1 代替，有 1 2
2 1 21ຫໍສະໝຸດ 1，不断重复这1 2
个过程，得
2 =1
2
1
1
2
1 2
，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都
是 1 分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.
证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a 2 2b2 没有正整数解。若不然，
b
b
整数分子，在 a 2 2b2 的两边减去 ab 有 a 2 ab 2b2 ab ， a(a b) b(2b a) ，即

√2是无理数的证明方法

√2是无理数的证明方法
要证明√2是无理数，需要使用反证法。

即假设√2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q都是整数，并且它们没有公共因数。

则根据等式√2=p/q，两边平方得到：2=p^2/q^2。

将等式的两边乘以q^2，得到：2q^2=p^2。

由此可知，p^2必定是2的偶数倍。

因为偶数的平方仍然是偶数，奇数的平方是奇数。

所以，p必须是偶数，即p=2k（k为整数）。

代入原方程中，得到2q^2 = (2k)^2，即 q^2 = 2k^2。

同理，q^2也是2的偶数倍。

这与最初的假设矛盾，因为p和q 不可能同时为2的偶数倍，否则它们就有公共因数2，与最初的前提矛盾。

因此，√2不能表示成两个整数的比值，即√2是无理数。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

gowers 根号2 证明

gowers 根号2 证明假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1）,a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。

第1步：√2=a/b那么可以得到a*a=2*b*b第2步：从数的平方我们可以很快得到，b*b的尾数范围是(0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8，这个道理不难理解；第3步：2*b*b的尾数范围是（0,2,8）中的一个数，第4步：因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8，只有0第5步：因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数，那么b*b的尾数范围是(0,5)第6步：按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根号2是一个无理数。

方法2：奇偶分析法假设√2=a/b那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a与b最大的公因数是1,a和b都是正整数1）根据2*b*b可以推得a是一个偶数，我们可以设置a=2c2）4*c*c=2*b*b得到b*b=2*c*c，可以得到b也是偶数3）a,b都是偶数，这和(a,b)=1相矛盾所以根号2是一个无理数，可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。

还有很多种方法补充，差不多有8种左右，我就不一一罗列了。

如何计算根号2的值呢，查找了不少资料，我觉得这几种方法还是能消化的。

方法1：（√2+1）（√2-1）=1，这是我们参考的一个基准，可以按照这种方式不断的展开。

√2-1=1/（√2+1）√2=1+1/（√2+1）,继续带入根号2的对等公式√2=1+1/（1+1/（√2+1）+1）=1+1/（2+1/（√2+1））继续推导：√2=1+1/（2+1/（√2+1））=1+1/（2+1/（1+1/（√2+1）+1））=1+1/（2+1/（2+1/（√2+1）））这种方式叫做连分数法，我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。

无理数的经典例题

无理数的经典例题无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

它是实数中的一类特殊的数，不属于有理数的范畴。

无理数在数学中有着广泛的应用，其中包括几何、物理学和金融学等领域。

下面将介绍一些与无理数相关的经典例题，以及其解决方法和相关的数学概念。

1. 证明根号 2 是无理数设根号2是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。

则有 (m/n)^2 = 2，即 m^2 = 2n^2。

由此可知，m^2 是 2 的倍数，因此 m 也是 2的倍数。

设 m = 2k，其中 k 是整数。

代入方程中得到 (2k)^2 = 2n^2，即 2k^2 = n^2。

同样的道理，n 也是 2 的倍数。

这与最简分数要求矛盾，因此根号 2 是无理数。

2. 求根号 3 的近似值根号 3 是一个无理数，我们可以通过数值逼近来求得一个近似值。

一种常用的方法是二分法。

假设根号 3 的近似值为 x，我们可以选择一个区间 [a, b]，使得根号 3 落在该区间内。

然后计算中点 c，即 (a + b)/2，并比较 c^2 和 3 的大小关系。

如果c^2 大于 3，则将 c 更新为新的上界 b，否则更新为新的下界 a。

重复上述步骤直到满足要求。

3. 证明 e 和π 的和是无理数假设 e 和π 的和是有理数，即e + π = m/n，其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。

将等式两边均乘以 n，得到 ne + nπ = m。

由于 e 和π 都是无理数，因此它们的乘积ne + nπ 也是无理数。

但等式右边是一个有理数，这与无理数的定义相矛盾。

所以 e 和π 的和是无理数。

4. 证明根号 2 + 根号 3 是无理数假设根号 2 + 根号 3 是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。

通过移项可以得到 (m/n - 根号 2)^2 = 3。

展开并化简等式得到m^2/n^2 - 2m根号 2/n + 2 = 3，继续整理得到 m^2 - 2mn根号2 + 2n^2 = 3n^2。

无理数的经典例题

无理数是不能表示为两个整数的比例的实数，它们的小数部分是无限不循环的。

以下是一些关于无理数的经典例题：
1. **证明根号2 是无理数：**
考虑方程\(x^2 = 2\)，证明它没有整数解。

这可以通过反证法，假设存在整数解，然后导出一个矛盾，证明根号2 是无理数。

2. **证明\(e\) 是无理数：**
证明自然对数的底\(e\) 是无理数是一个复杂的问题，通常需要使用数学分析的方法。

这个证明是由瑞士数学家乔治·庞加莱提出的，使用了连分数等技巧。

3. **证明\(\pi\) 是无理数：**
证明圆周率\(\pi\) 是无理数是一个著名的问题。

这个证明最初由德国数学家弗朗茨·利希滕贝尔格在18世纪提出，后来由英国数学家罗杰·阿普利顿于1882年完成。

4. **证明黄金比例\( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) 是无理数：**
这个数通常用希腊字母\(\phi\) 表示，它是黄金比例的一个代表。

证明\(\phi\) 是无理数可以通过构造与其相关的方程并应用数学归谬法。

5. **证明平方根为质数的无理数性质：**
例如，证明\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\) 等为无理数。

这可以通过反证法，假设它是有理数，然后导出矛盾。

这些问题都涉及到一些高级的数学知识，通常需要运用代数、数论、分析等多个数学分支的方法。

证明一个数是无理数往往需要使用反证法，也可能需要一些创造性的构造和证明技巧。

如何证明√2是无理数？大学学历未必会，看完这个初中学历足矣！

如何证明√2是无理数？大学学历未必会，看完这个初中学历足矣！像是很多希腊神话中的英雄一样，哲学家希帕索斯曾被天神处以致命的惩罚，但他到底犯下了什么罪行呢？希帕索斯的罪过是一个数学证明，他发现了无理数！希帕索斯属于一个被称为“毕达哥拉斯主义数学家”的群体，他们对数学有着宗教式的崇敬，他们的格言是“一切都是数学”，数字是构建宇宙的基石。

而这个信念其中一条就是从宇宙学，形而上学，音乐知道道德的一切，都遵从不变的规则，称之为数字的比值。

因此，任何一个数字都可以被写成比例的形式。

比如，5等于5/1，0.5等于1/2。

即便是无限循环小数，比如0.3333（无限循环），也可以被精确地表达为1/3！所有的这些，我们现在都称之为有理数。

但是希帕索斯发现了一个违背这个和谐的规则的数字，它被认为是不应该存在的，比如说π和√2。

这个问题起始自一个非常简单的图形，一个边长为一个单位的正方形。

根据勾股定理，正方形对角线的长度是√2.但是在尽力尝试后，希帕索斯无法将其表达为两个整数的比值，但与其因此而放弃，他决心证明这是不可能做到的事。

首先，希帕索斯假设毕达哥拉斯的世界观是正确的，即可以用两个整数的比来表达√2，他用p和q表示这两个假设的数，假设这个比值已经被公约到其最简形式，p和q之间就不存在任何公约数。

为了证明√2不是有理数，希帕索斯只需要证明p/q是不存在的，所以，他在等式两边都乘以q，然后将两边平方，就得到这样一个等式：2q²=p²任何一个数乘以2都将得到一个偶数，所以p的平方只能是偶数。

如果p是奇数，那p的平方就不可能是偶数，因为奇数的平方永远是奇数，所以p也是偶数，因此p可以写成2a（这里a是一个整数）。

我们把2a代入等式并简化，就得到这个等式：q²=2a²再说一次，2乘以任何整数都将得到一个偶数，所以，既然q²一定是偶数，那么q也一定是偶数，这样p和q都是偶数！但如果真的是这样，它们就有了公约数：2，这和最初的假设（p 和q不存在任何公约数）相矛盾。

证明根号2是无理数的方法

证明根号2是无理数的方法嘿，你知道不，要证明根号 2 是无理数，这可有意思啦！咱先来说说啥是无理数哈。

无理数呢，就是那些不能表示成两个整数之比的数。

那根号 2 是不是这样的数呢？咱得好好研究研究。

你想啊，要是根号 2 是有理数，那它肯定能写成一个分数的形式，对吧？咱就假设它能写成 m/n 的形式，这里 m 和 n 都是整数，而且它们还没有公约数呢。

那好呀，把这个式子两边一平方，就得到 2 = m²/n²，也就是 m² = 2n²。

这意味着啥？意味着 m²是个偶数呀！那 m 肯定也是个偶数咯。

那 m 就可以写成 2k 的形式，k 也是个整数呀。

把 m = 2k 代进去，就得到 4k² = 2n²，那 n² = 2k²，哇塞，那 n 不也成了偶数啦！那这就奇怪了呀，m 和 n 不都说好了没有公约数嘛，咋都成偶数啦？这不是矛盾了嘛！你说这像不像在玩一个解谜游戏呀？一点点找线索，然后发现不对劲的地方。

这不就说明咱一开始的假设是错的嘛，根号 2 根本就不能写成那样的分数形式，那不就是无理数咯！还有一种方法也挺有趣的。

咱想象一下，如果根号 2 是有理数，那在数轴上肯定能找到一个准确的点来表示它。

可要是咱不停地去细分数轴，把那些整数之间的距离分得越来越小，你觉得能正好找到那个表示根号 2 的点吗？很难吧！你再想想，有理数多有规律呀，能写成那样清楚的分数形式。

可根号 2 呢，它就是那么独特，怎么都没办法被规规矩矩地表示出来。

哎呀，这证明根号 2 是无理数的过程是不是很奇妙呀？让我们看到了数学里那些隐藏的小秘密。

你说数学是不是就像一个大宝藏，等着我们去挖掘那些神奇的东西呢？这就是数学的魅力呀，看似简单的一个数，背后却有这么多故事呢！所以呀，毫无疑问，根号 2 就是无理数，这可是经过咱仔细推敲证明出来的呢！怎么样，是不是对数学又多了一份好奇和敬畏呀？。

判断无理数的三个方法

判断无理数的三个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，它们在数轴上没有固定的位置，也无法用分数或小数表示。

在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数，下面我将介绍三种判断无理数的方法。

首先，我们可以使用平方根判定法。

对于一个正实数x，如果它的平方根不是整数，那么它就是一个无理数。

例如，根号2是一个无理数，因为它的平方根不是整数，而根号4是一个有理数，因为它的平方根是2，是一个整数。

这种方法可以简单快速地判断一个数是否为无理数，但并不适用于所有情况。

其次，我们可以使用小数判定法。

将一个数表示为小数形式，如果它是一个无限不循环小数，那么它就是一个无理数。

例如，π就是一个无理数，因为它的小数形式是一个无限不循环小数。

这种方法适用于大多数情况，但是对于一些特殊的无理数可能并不适用。

最后，我们可以使用反证法。

假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值，然后推导出一个矛盾的结论，那么这个数就是一个无理数。

例如，假设根号2是一个有理数，即可以表示为a/b，其中a和b都是整数且互质，那么我们可以得出2 = a^2 / b^2，即2b^2 = a^2。

这样一来，我们就得到了一个矛盾的结论，因为2b^2是偶数，而a^2是奇数，这与数学定理相矛盾，所以根号2是一个无理数。

这种方法是一种较为严谨的证明方法，但相对来说也更为复杂。

综上所述，判断无理数的三种方法分别是平方根判定法、小数判定法和反证法。

不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来判断一个数是否为无理数。

希望本文对您有所帮助。

五种方法证明根号2是无理数

五种⽅法证明根号2是⽆理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。

于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。

换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。

当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。

直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。

那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。

证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。

根号2是⽆理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。

但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。

根号2为无理数的证明

然數子集必有一最小元素, 這等價於數學歸納法) 可知, S 有一最小元素, 令其為 u。 √ 由 S 的定義知 u 與 u(1 + 2) 皆為 √ 自然數。考慮 u( 2 − 1)。顯然 √ u( 2 − 1) < u 並且 √ √ u( 2 − 1) = u(1 + 2) − 2u ∈ N √ √ u( 2 − 1)(1 + 2) = u ∈ N √ 再由 S 的定義知, u( 2 − 1) ∈ S 。這跟 u √ 的最小性矛盾, 故 2 為無理數。第十三種證法: 由 (10) 式得到 (m − n)2 = 2n2 , m>n (11)
五、完全平方數
√ √ 第十種證法: 設 2 為有理數, 故 2 √ 可以寫成 2 = a , 其中 a 與 b 為互質的自 b
七、畢氏三元數公式
我們知道, 方程式 x2 + y 2 = z 2
16 數學傳播 23 卷 1 期民 88 年 3 月
的所有正整數解為
x z
√ 2 為無理數的證明
13
所以 a2 為偶數, 從而 a 亦為偶數。令 a = 2m 其中 m 為某一自然數, 於是 2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2 或者 b = 2m
2 2

其中 p1 , . . . , pn 與 q1 , . . . , qm 皆為質數且 α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm 皆為自然數。再由 a2 = 2b2 得到
至此, 我們由兩個自然數 a 與 b 出發, 求得另外兩個較小的自然數 p 與 q , 滿足 a > b > p > q。在形式上, (4) 式和 (2) 式完全相同, 故可採用上述方法, 重複做下去, 就得到自然數所成的遞減的無窮數列 a > b > p > q > ··· 但這是不可能的, 因為不存在這種數列。第五種證法: 對於第一種證法, 筆者遇見過有人不滿意一開始就假設 a 與 b 互質, 那麼我們就改為如下的論證。 √ 假設 2 = a 為有理數, 我們得知 a b 與 b 皆為偶數。令 a = 2a1 , b = 2b1 , 則 √ 1 。同理可證 a1 與 b1 也都是偶數, 2 = a b1 令 a1 = 2a2 , b1 = 2b2 。如此這般, 反覆做下去, 我們就得到遞減的自然數列 a > a1 > a2 > · · · 與 b > b1 > b2 > · · ·

根号2 反证法

根号2 反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。

它通过假设想要证明的命题的否定，然后通过推理的过程得出矛盾的结果，从而得出所要证明的命题是正确的结论。

本文以根号2的无理性证明为例，通过反证法来展示其无理性。

假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数p和q的比值，其中p和q是互质的。

根据这个假设，我们可以得到以下等式：(1) 根号2 = p/q两边平方，得到：(2) 2 = p^2/q^2将q^2乘到等式的左边，得到：(3) 2q^2 = p^2根据等式(3)，可以得出p^2是2的倍数。

根据整数的性质，如果一个整数是偶数，那么它的平方也是偶数，如果一个整数是奇数，那么它的平方也是奇数。

假设p是偶数，那么p可以表示为p = 2k，其中k是一个整数。

将p的表示带入等式(3)中，得到：2q^2 = (2k)^2化简得到：2q^2 = 4k^2取消公因数2，得到：q^2 = 2k^2根据相同的推理，可以得出q也是偶数。

这与我们的假设矛盾，因为我们假设p和q是互质的，而偶数不可能与奇数互质。

因此，假设p为偶数是错误的。

根据同样的推理，可以得出p为奇数。

假设p为奇数，那么p可以表示为p = 2k+1，其中k是一个整数。

将p的表示带入等式(3)中，得到：2q^2 = (2k+1)^2化简得到：2q^2 = 4k^2 + 4k + 1取消公因数2，得到：q^2 = 2k^2 + 2k + 1根据相同的推理，可以得出q也是奇数。

这与我们的假设矛盾，因为我们假设p和q是互质的，而奇数不可能与奇数互质。

因此，假设p为奇数是错误的。

综上所述，我们通过反证法证明了根号2不是一个有理数，即它是一个无理数。

根号2的无理性意味着它不能被表示为两个整数的比值，这对于许多数学应用和推论都具有重要意义。

通过使用反证法这种证明方法，我们能够在数学领域中推导出许多重要的结论。

在这个例子中，我们成功地证明了根号2的无理性，展示了反证法在数学证明中的应用和价值。

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。