二次函数中考真题汇编[解析版]
“二次函数”中考试题分类汇编(答案)-绝对经典
二次函数 中考题汇编
要点一、二次函数的表达式 一、选择题
1、（2010·芜湖中考）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a
x 与正比例函数y ＝（b
＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
2、（2010·安徽中考）若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ）
A .0 5
B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 1
3、（2009·庆阳中考）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．2
12y x =-
D ．212y x =
4、（2008·济宁中考）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A ．223y x x =-+
B ．223y x x =--
C ．223y x x =+-
D ．223y x x =++
5.（2008·庆阳中考） 若2
y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）
x
1-
1
2ax
1
图（1） 图（2）
2ax bx c ++
8 3
Ａ．243y x x =-+Ｂ．234y x x =-+Ｃ．233y x x =-+
Ｄ．248y x x =-+
6、（2007·巴中中考）巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1米的喷水管喷水
最大高度为3米，此时喷水水平距离为
初中数学二次函数真题汇编及答案解析
∵D 点是圆上的动点， 由图可知，BD 最小值即为 BC 长减去圆的半径， ∴BD 的最小值为 4，
∴OE= 1 BD=2， 2
即 OE 的最小值为 2， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关 键.
4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1，当 y＞0 时，x 的取值范围是（ ）
∵四边形 ABA' B' 为矩形， ∴ AA' BB' ，
∴2 (2)2 (c 4) (4 c)2 (2c)2 ，解得： c 5 ．
2
故选 D． 【点睛】
本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特
征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
A． a 【答案】D 【解析】
B． b
C． c
D． d
【分析】 根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与 x 轴的交点坐标，从而可以判断 a、b、 c、d 的正负，本题得以解决． 【详解】 ∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与 x 轴相交于 P、Q 两点，且 PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 x=2， ∴图形与 x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0）， ∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点， ∴a＜0，b＜0，c=0，d＞0， 故选：D． 【点睛】
【中考真题汇编】：二次函数综合专题(含答案)
真题汇编姓名：
二次函数综合专题
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342
≠-+-=a a ax ax y 与x 轴
交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；
②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．
26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，
2
3
a =
.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；
②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，
依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩
＜，
≥
解得2
.3a ≥
（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.
a a -⎧⎨-⎩＞，≤
解得a ＜-2.
综上，2a -＜，或2
3
a ≥. --------------------7分
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：2
21(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛
物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．
（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．
x
【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，
全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总附答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
二次函数中考题型汇编(含答案)
A．﹣1
B．﹣1 或 5
C．5
D．﹣5
4．（3 分）（2019•商丘二模）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应
值如表所示：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
…
当 y＜﹣3 时，x 的取值范围是
．
5．（3 分）（2017•新乡一模）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式
5．（10 分）（2019•成都一模）某公司推出一款产品，成本价 10 元/千克，经过市场调查，该 产品的日销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日 销售量与销售单价之间的几组对应值如表：
销售单价 x（元/千克）
14
18
22
26
日销售量 y（千克）
240
180
120
上，则 m＞n；④关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝﹣4 的两根为﹣5 和﹣1，其中正确的
是
．
3．（3 分）（2019•开封二模）如图，直线 y＝mx+n 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于 A（﹣1，p），
初中数学二次函数真题汇编附解析
初中数学二次函数真题汇编附解析
一、选择题
1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．
A ．①②④
B ．②③④
C ．③④⑤
D ．①③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；
∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a -
>0， 又∵a>0，
∴b<0；
由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
∴c<0，
故abc>0，故②错误；
③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；
⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12
则2a=−2b ，故⑤正确；
故正确的有：③④⑤．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．
2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝
2023年全国各地中考数学真题分类汇编之二次函数图象性质与应用(含解析)
二次函数图象性质与应用
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3 2．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）
A．b恒大于0B．a，b同号C．a，b异号D．以上说法都不对
4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（）A．B．C．0D．2
5．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（）
A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（）
A．10B．12C．13D．15
9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（）
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
人教全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=1
4
x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1
4
x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（
28
13
，﹣1）．（3）
定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关
于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
初三数学09 二次函数-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题09 二次函数
一．选择题
1．（2022·陕西）已知二次函数223y x x =--的自变量123,,x x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．当110x -<<，212x <<，33x >时，1y ，2y ，3y 三者之间的大小关系是（ ）
A ．123
y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213
y y y <<【答案】D
【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为1x =，再求出抛物线与x 轴的两个交点坐标为(1,0)-和(3,0)，根据开口向上即可判断．【详解】解： 抛物线2223(1)4y x x x =--=--，
∴对称轴1x =，顶点坐标为(1,4)-，
当0y =时，2(1)40--=x ，
解得1x =-或3x =，
∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：(1,0)-，(3,0)，
∴当110x -<<，212x <<，33x >时，213y y y <<，故选：D ．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
2．（2022·山东潍坊）抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（ ）
A ．1
4-B ．1
4C ．4-D ．4
【答案】B
【分析】根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．
中考数学二次函数综合经典题含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润
()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2
21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2
224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤，，
【中考数学分项真题】二次函数解答压轴题(共32题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期)
专题14二次函数解答压轴题(共32题)
姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
一、解答题
1．(2021·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,点()1,m 和点()3n ,在抛物线()2
0y ax bx a =+>上． (1)若3,15m n ==,求该抛物线的对称轴;
(2)已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <,比较123,,y y y 的大小,并说明理由．
【答案】(1)1x =-;(2)213y y y <<,理由见解析
【分析】
(1)由题意易得点()1,3和点()3,15,然后代入抛物线解析式进行求解,最后根据对称轴公式进行求解即可;
(2)由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时,然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】
解:(1)当3,15m n ==时,则有点()1,3和点()3,15,代入二次函数()2
0y ax bx a =+>得: 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:12
a b =⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为22y x x =+, ∴抛物线的对称轴为12b x a
=-=-; (2)由题意得:抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0,则由0mn <可得:
①当0,0m n ><时,由抛物线()2
中考数学二次函数试题及答案解析
中考数学真题分类汇编：二次函数（选择题）
一．选择题（共30小题）
1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
2．（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
3．（2015•衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）
A．B．C．D．
4．（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）
A．B．C．D．
5．（2015•湖北）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）
A．B．C．D．
7．（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）
A．﹣11 B．﹣2 C． 1 D．﹣5
8．（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
9．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）
2023中考数学真题汇编13 二次函数解答压轴题(含答案与解析)
2023中考数学真题汇编·13
二次函数解答压轴题
一、解答题
1.（2023·浙江绍兴）已知二次函数2y x bx c ．
（1）当4,3b c 时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当13x 时，求y 的取值范围．
（2）当0x 时，y 的最大值为2；当0x 时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．
2.（2023·浙江）已知点 ,0m 和 3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b 是常数，0)a 的图像上．（1）当1m 时，求a 和b 的值；
（2）若二次函数的图像经过点 ,3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m 时，求n 的取值范围；（3）求证：240b a ．
3.（2023·上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364
y x 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c 经过点B ．
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）求b ，c 的值；
（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．
4.（2023·浙江嘉兴）在二次函数223(0)y x tx t 中，
（1）若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？
（2）当03x 时，y 的最小值为2 ，求出t 的值：
（3）如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a 都在这个二次函数的图象上，且3a b ，求m 的取值范围．
5.（2023·浙江杭州）设二次函数21y ax bx ，（0a ，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对
中考数学二次函数(大题培优)及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
中考数学二次函数综合经典题及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为
D .
（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，
①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；
②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2
||23y a x a x =-+的图像只有一个
公共点，求t 的取值范围.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最
，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332
t ≤
【解析】 【分析】
（1）先利用对称轴公式x=2a
12a
--
=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数
的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值． 【详解】 解：（1）∵2a
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【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF 的最大值为 9 2 ；（3）M 点坐标为可以为（2， 4
3），（ 5 5 ，3），（ 5 5 ，3）．
2
2
【解析】
【分析】
（1）根据题意由 A、B 两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将 D 点
坐标代入求出 a 的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
∵ C、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴ CD∥ x 轴．
又∵ ∠ CNE＝∠ NBF，∠ CEN＝∠ NFB＝90°，
∴ △ CNE∽ △ NBF．
∴ CE ＝ NF ， NE BF
又∵ CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴
m2 4m ＝ 3 m ，
【答案】（1）见解析；（2）x=4，16 【解析】 【分析】 （1）连接 EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用 SAS 证明
OBC≌ OED 即可； （2）连接 EF、BE，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到 y 与 x 的函数关 系式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】 （1）证明：连接 EF． ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ 解得：a＝1．
∴ 二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即 y＝x2﹣4x+3．
（2）如图 1 所示．
因点 P 在二次函数图象上，设 P（p，p2﹣4p+3）． ∵ y＝x2﹣4x+3 与 y 轴相交于点 C， ∴ 点 C 的坐标为（0，3）． 又∵ 点 B 的坐标为 B（3，0）， ∴ OB＝OC ∴ △ COB 为等腰直角三角形． 又∵ PF//y 轴，PE//x 轴， ∴ △ PEF 为等腰直角三角形．
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90° 由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE ∴∠DEF＝90° 又∵∠ADE＝∠DAF＝90°， ∴四边形 ADEF 是矩形 又∵AD＝DE， ∴四边形 ADEF 是正方形 ∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45° ∵AD＝BC， ∴BC＝DE 由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45° ∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE． ∴OC＝OD． 在△OBC 与△OED 中，
∴ 线段 EF 的最大值为，EFmax＝ 0 9 2 ＝ 9 2 ． 4 2 4
（3）①如图 2 所示：
若∠ CNB＝90°时，点 N 在抛物线上，作 MN//y 轴，l//x 轴交 y 轴于点 E，
BF⊥l 交 l 于点 F．
设点 N 的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点 M 的坐标为（m，3），
二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0），交 y 轴于点 C，抛 物线上一点 D 的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图 1，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段 EF 的 最大值； （3）如图 2，点 M 是线段 CD 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 N，当 △ CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标．
综上所述，满足题意的 M 点坐标为可以为（2，3），（ 5 5 ，3），（ 5 5 ，3）．
2
2
【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识
点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．
2．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： (Ⅰ)将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD 边上点 E 处，如图②； (Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B′处，如图③，两 次折痕交于点 O； (Ⅲ)展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图④． （探究） （1）证明： OBC≌ OED； （2）若 AB＝8，设 BC 为 x，OB2 为 y，是否存在 x 使得 y 有最小值，若存在求出 x 的值并 求出 y 的最小值，若不存在，请说明理由．
用三角形相似知识进行分析求解．
【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵ y＝ax2+bx+与 x 轴 r 的两个交点 A、B 的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴ 二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
பைடு நூலகம்
又∵ 点 D（4，3）在二次函数上，
∴ （4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
（2）由题意可知点 P 在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为 PF//y 轴，点 F
在直线 BC 上，P 的坐标为（p，﹣p+3），在 Rt△ FPE 中，可得 FE＝ 2 PF，用纵坐标差的
绝对值可求线段 EF 的最大值．
（3）根据题意求△ CBN 是直角三角形，分为∠ CBN＝90°和∠ CNB＝90°两类情况计算，利
m
m2 4m 3
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝ 5 5 ，m2＝ 5 5 ．
2
2
∴ M 点坐标为（ 5 5 ，3）或（ 5 5 ，3）
2
2
②如图 3 所示：
当∠ CBN＝90°时，过 B 作 BG⊥CD， ∵ ∠ NBF＝∠ CBG，∠ NFB＝∠ BGC＝90°， ∴ △ BFN∽ △ CGB． ∵ △ BFN 为等腰直角三角形， ∴ BF＝FN， ∴ 0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m． ∴ 化简得，m2﹣5m+6＝0． 解得，m＝2 或 m＝3（舍去） ∴ M 点坐标为，（2，3）．
BC DE， BCO FDE， OC OD，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
∴ EF＝ 2 PF．
设一次函数的 lBC 的表达式为 y＝kx+b， 又∵ B（3，0）和 C（0，3）在直线 BC 上，
3k b b 3
0
，
k 1 解得： b 3 ，
∴ 直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3． ∴ yF＝﹣p+3． FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴ EF＝﹣ 2 p2+3 2 p．