经济数学中的边际与弹性分析3

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经济数学微积分边际与弹性

经济数学微积分边际与弹性
20 所以E P 100 2. 1000
该值表明:当 x 5 时,x 改变 1 个单位(增加 或减少 1 个单位) ,y 改变 10 个单位(增加或 减少 10 个单位) .
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本函数 C (Q )的 导 数 C C (Q Q ) C (Q ) C (Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q
2 常见函数的弹性(a,b,c,为常数)
3 弹性的四则运算
Ef 1 ( x ) Ef 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f 1 ( x ) f 2 ( x ) Ex Ex (1) Ex f1 ( x ) f 2 ( x ) f1 ( x ) E Ef ( x ) Ef ( x ) f ( x ) ( 2) 2 1 2 Ex Ex Ex f1 ( x ) E Ef ( x ) Ef ( x ) f ( x ) ( 3) 2 1 2 Ex Ex Ex
f ( x 0 )
弹性函数的定义
一般的,若函数y f ( x )在区间内(a , b )可导, Ey y / y y x x 且f ( x ) 0,则称 lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y 为函数y f ( x )在区间(a , b )内的点弹性函数,简称 弹性函数.
2Q Q (3)边际 成本函 数 C (Q ) ,当Q 900 1200 600 时的 边际成 本 C (Q ) Q 900 1.5
2. 边际收益
定义:总 收 益 函 数 R(Q )的 导 数
R R(Q Q ) R(Q ) R(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际收益函数 .

经济数学微积分导数在经济学中的简单应用

经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
2.边际收益
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益(函数).
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益(函数).
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品,总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品,总利润不再增加.
很小时)的关
即 当需求价格弹性大于1时,应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时,应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时,当价格变化时, 总收益不变.
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性,并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.

经济意义: P=2时,价格上涨1%,需求量将下降0.25% P=5时,价格上涨1%,需求量将下降1% P=6时,价格上涨1%,需求量将下降1.5%
销售策略: 当0<P<5时,宜采取提高价格,增加收益
当5<P<10时,宜采取降低价格,增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
,求供给
弹性函数及
的供给弹性.

4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为,
求:(1)生产900个单位的总成本和平均成本; (2)生产900个单位到1000个单位时的总成

导数与微分第六节 经济活动中的边际分析与弹性分析

导数与微分第六节 经济活动中的边际分析与弹性分析

9 15e 3

3
p9
该结果说明在9千元价格水平上, 价格若增加1%,
该商品的需求量将下降3%.
2. 供给价格弹性
对供给价格函数 Qs g( p) 的弹性分析,与需求价格弹性
的分析一样,可推出商品在 p0 处的供给价格弹性为
g
(
p0
)

g
p0 ( p0
)
记为
gE ( p) PE
,在经济学中常记为 Es
第六节 经济活动中的边际分析 与弹性分析
由导数概念可知,函数在某一点处的导数就是 函数在该点的变化率.它描述了函数在某点的变化 情况.在经济学中,经常需要研究经济函数的绝对变 化率与相对变化率问题.这类问题如何求解?
一、边际分析
二、弹性分析
一、边际分析 供给函数、需求函数、成本函数、利润函数等这 些经济问题讨论中所涉及的函数, 称为经济函数. 在经济数学中, 把导函数 f (x)称为边际函数. 常用的边际函数有三个,即边际成本函数、边际 收益函数、边际利润函数。
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
(2)当产量为100吨时的平均成本
AC(100) 6700 67 100
(3)当产量从100吨增加到200吨时,总成本的平均变化率
Q 200 100 100

TC TC(200) TC(100) 2000 45 200 0.02 2002 6700 5100
lim ( Qd p0 p

p0 ) f ( p0 )
f ( p0 )
p0 f ( p0 )
p0
称为该商品在 p0 处的需求价格弹性,记为

边际、弹性分析经济数学建模课件

边际、弹性分析经济数学建模课件

一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =,那么当自变量有改变量x ∆时,对应有函数的改变量y ∆.在经济学中,当自变量在x 处有一个单位改变量时,所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本,就是在已生产x 单位产品水平上,再多生产一个单位产品时总成本的改变量,或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时,经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+,则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念,在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢?如果按纯粹的数学概念来讲,似乎行不通,因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零,而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的,改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑,对于现代企业来讲,其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目,1个单位常常是其中微不足道的量,可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故,在经济理论研究中,总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量,即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1.边际成本在经济学中,边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时,成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时,根据导数定义,成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此,边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.,它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本,即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产,在短期成本函数中作为固定成本0C ,它是常数,而生产中使用劳力,原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变,生产的这部分成本是可变成本,以)(1x C 记,于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此,边际成本与固定成本无关,它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中,经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较,由两者的意义知道,如果边际成本小于平均成本,则可以再增加产量以降低平均成本,反之如果边际成本大于平均成本,可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知,当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2.边际收入和边际利润在经济学中,边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的,收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样,我们认为)(x R '就是边际收入.因此,边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.,它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加(或减少)的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =,由于利润函数是收入函数与成本函数之差,即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此,边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数,它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加(或减少)的利润.在经济学中还经常用到边际效用,边际产量、边际劳动生产率等概念,它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异,在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=,其中x 为产量,单位为件,)(x C 和)(x R 的单位为千元,求:(1)边际成本、边际收入、边际利润;(2)产量20=x 时的收入和利润,并求此时的边际收入和边际利润,解释其经济意义.解 由边际的定义有(1)边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' (2)当产量为20件时,其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R (千元) 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L (千元)其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R (千元/件)144208352)20()20()20(=-='-'='C R L (千元/件)上面计算说明,在生产20件产品的水平上,再把产品都销售的利润为负值,即发生了亏损,亏损值为60千元;而此时的边际收入较大,即生产一件产品收入为352千元,从而得利润144千元.这样以来,该企业的生产水平由20件变到21件时,就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面,故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =,当x 由10变到11时,y 由100变到121.显然,自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1,y ∆=21,而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明,当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时,函数y 的相对变动为21%,这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义:x =10时,当x 改变1%时,y 平均改变2.1%,我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率,也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中,定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在,则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性,记为x x Ex Ey =,=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数,简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率,而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率,粗略来说,就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数:)(p Q Q =,)(p Q 是可导函数,则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性,简称为需求弹性,记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义;当商品的价格为p 时,价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢?由弹性定义看到,弹性与量纲无关,需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例,在我国将以m 公斤/元来度量,在美国将以n 公斤/美元来度量,这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制,所以在经济活动分析中广泛采用,除需求价格弹性,还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道,一般商品的需求函数为价格的减函数,从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此,当商品的价格上涨(或下跌)1%时,需求量将下跌(或上涨)约%p ε,因此在经济学中,比较商品需求弹性的大小时,是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时,称为单位弹性,此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等;当1>p ε时,称为高弹性,此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比,价格的变动对需求量的影响比较大;当1<p ε时,称为低弹性,此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比,价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中,商品经营者关心的是提价(0>∆p )或降价(0<∆p )对总收入的影响,利用需求弹性的概念,可以对此进行分析.设收入函数为R ,则pQ R =,此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= (2) 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε (3)由此可知,当1>p ε(高弹性)时,商品降价时(0<∆p ),0>∆R ,即降价可使收入增加,商品提价时(0>∆p ),0>∆R ,即提价将使总收入减少. 当1<p ε(低弹性)时,降价使总收入减少,提价使总收入增加. 当1=p ε(单位弹性)时,0=∆R ,提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= (1)求需求弹性;(2)当产品的价格10=p 时再增加1%,求该产品需求量变化情况.解 (1)由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ,说明产品价格p 增加1%时,需求量Q 将减少1.39p %.(2)当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时,价格增加1%,产品需求量将减少13.9%;如果价格降低1%,产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的,适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1,如果该企业准备明年降价10%,问这种商品的销量预期会增加多少?总收益预期会增加多少?题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知,当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε,1.0-=∆pp 时,有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ,由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时,有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见,明年企业若降价10%,企业销量将增加21%,收入将增加11%.(注:素材和资料部分来自网络,供参考。

经济数学课件 3.6边际与弹性

经济数学课件 3.6边际与弹性

解: 因为y 3x 2 2, 所以 y x2 14, 即边际函 数值为14。 它表示函数 y在x 2处,当 x 改变一个单位时,函数 y 近
似地改变14个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际成本的定义
设成本函数C C(q) 可导(其中 C表示总成本, q 表示产量), 则其边际函数 C C(q)称为边际成本函数,简称边际成本。C(q0 ) 称为当产量为 q0时的边际成本。
经济意义:销售量达到 q0时,如果销售量增减一个单位产品,则 收益相应增减 R(q0 )个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际利润的定义 设利润函数 L L(q) 可导,则其边际函数 L L(q) 称为边际
利润。L(q0 ) 称为当产量为 q0 时的边际利润。 经济意义:当产量达到q0 时,如果增减一个单位产品,则利
设函数
f (x) 在点
x
处可导,称极限
lim
x0
x
x 为函数
f (x)
的弹性函数,记为 E(x) ,即
E(x) lim y x f (x) x
x0 x y
f (x)
《经济数学基础》配套课件
在点 x x0处,弹性函数值
E(x0 )
f (x0 )
x0 f (x0 )
称为函数
f (x)
在点
记为 p 。
《经济数学基础》配套课件
例3
某商品的需求函数为 Q 400 100 p ,求:p 1, 2,3 时
的需求价格弹性,并给出经济解释。
解: 由 dQ 100 可得
dp
p
dQ dp
p Q
100 p 400 100 p

p
1时,|

3.6 边际与弹性

3.6 边际与弹性

L(Q0 )的经济意义:
当销售量为Q0时,销售Q0前最后一个 单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C (Q) L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论:R(Q) C (Q) 此时,L(Q) R(Q) C (Q) 0 即再增加销量时不会增加利润, 此时利润达到最大.
设某商品的需求函数为Q Q( P), 其中Q为 需求量,P为价格,收益函数R PQ( P) 则收益对价格的弹性为:
ER R( P) Q( P) PQ( P) P P EP R( P) PQ( P )
Q( P) EQ 1 P 1 Q( P) EP
EQ ER 当 1时, 0,此时提高价格会增加收益 EP EP EQ ER 当 < 1时, 0,此时提高价格会减少收益 EP EP
大于价格变动幅度,即P 6时,价格上涨1%, 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性
设某商品的供给函数为Q Q( P), 其中Q为 供给量,P为价格,供给对价格的弹性为:
EQ P Q( P) EP Q( P)
EQ 一般情况下 0,即供给量会随价格的升高 EP 而升高
(3)收益价格弹性
EQ ER 当 1时, 0,此时收益达到最大 EP EP
P 例7.设某商品需求函数为Q 12 , 求P 6时 2 若价格上涨了1%,总收益增加还是减少,将变化
1 EQ Q P 2 解 P P P P 24 EP Q 12 2 6 1 因为 (6) 1 6 24 3

P 5
(5) 1, 说明当P 5时,价格与需求变动的
幅度相同,为单位弹性
(3) 0.6 1, 说明当P 3时,需求变动的幅度

经济学论文容易用的模型

经济学论文容易用的模型

九个基本经济数学模型:1、边际分析模型:边际成本:设成本函数为:C=C(q) (q是产量)则边际成本:表示产量为q时生产1个单位产品所花费的成本。

边际收益:设需求函数为P=P(q) (q是产量,P是价格)则收益函数为:R=R(q)=q﹒p(q)边际收益为:表示销售量为q时销售1个单位产品所增加的收入。

边际利润:设利润函数L=L(q)=R (q)-C(q) 则边际利润ML=L’(q)= 边际利润ML=L’(q)表示销售量为q时销售点1个单位产品的所增加的利润。

2、弹性分析模型:需求价格弹性:设需求函数q=q(p),q是需求量,P是价格。

则需求价格弹性:当价格上升百分之一时,需求量减少百分之一;当价格下降百分之一时,需求量上升百分之一需求收入弹性:需求量是收入的(单增)函数,q=q(R),q是需求量,R是收入,则需求收入弹性当收入增加百分之一时,需求量增加百分之;当收入减少百分之一时,需求量减少百分之3、最大利润模型:设总利润L=L(q)=R(q)-C(q)L(q)取得最大利润的必要条件:L(q)取得最大利润的充分条件:4、最优批量模型:(其中:T总成本,Q为每批产量,S为产品的调整准备成本,A为全年产量)得5、线性回归方程:模型设变量x与y存在线性关系,y=ax+b,对n 项实验得n对数据(x1、y1), (x2、y2),………(xn、yn)。

可求出则y=ax+b6、线性规划数学模型:1 2 1式称为目标函数,2式称为约束条件x1、x2………, xn称为决策变量,满足2式的一组变量值称为线性规划问题的可行解,使1式达到最大(小)值的可行解称为最大解。

7、投入产出数学模型:投入产出表(略)产出分配平衡方程:(i=1,2,…...,n)投入构成平衡方程:(j=1,2,…...,n)是直接消耗系数设则投入产出数学模型完全消耗系数: 有:8、风险型决策数学模型:1期望值准则如果用A表示各行动方案的集合,N表示各自然状态的集合,P是各状态出现的概率向量,M 是益损值的矩阵,即这时,则决策实质就是求向量E(A)的最大元或最小元对应的行动方案。

第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍

第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍

第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1.()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2.()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注:x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。

例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值,及它表示的具体含义 解:()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =(C 为总成本,Q 为产量)求边际成本。

注:①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释:当产量达到0Q时,生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。

二、 成本1.总成本:指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。

2.①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3.几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本,平均成本, 边际成本。

②当Q 为多少时,平均成本最小?三、 收益1.总收益:生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。

2.①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3.几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益,平均收益,边际收益。

边际分析与弹性分析

边际分析与弹性分析

dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0

x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义:设y=f(x)可导,则
Ey Ex

y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1%时,函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %

e
p 5
,求:
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2%时需求将变化百分之几?
(4) 当价格在p=3处下降3%时需求将变化百分之几?
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f

(x)
Q(1

(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大

边际分析与弹性分析

边际分析与弹性分析
(边际收益=边际成本)
L' ' (Q) 0,即R' ' (Q) C' ' (Q) 充分条件:
(边际收益的变化率<边际成本的变化率)
最大利润原则:R' (Q) C ' (Q) , R' ' (Q) C ' ' (Q)
(二)弹性分析
Ey x x 1.弹性定义:设y=f(x)可导,则 y' f ' ( x) Ex y f ( x) 称为y=f(x)的弹性。
例1:某企业生产一种产品,利润L(x)= 250x 5x 2 ,x 为产量,在x=10、25、30时分别求再多生产一吨产品所 带来的利润。
解: L' ( x) 250 10x
L' (10) 150, L' (25) 0, L' (30) 50
2.最大利润原则:设L(Q)=R(Q)-C(Q) L(Q)取最大值必要条件:L' (Q) 0,即R' (Q) C ' (Q)
4.收益弹性
ER p p p R' ( p ) (pQ)' 1 Q' 1 (p ) Ep R (p ) pQ Q
R' (p ) Q pQ' Q(1 (p ))
பைடு நூலகம்
(1) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益增加 (1 - (P)) % ( 2) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
y
2.需求弹性:设需求函数Q=f(p)在 p处可导, 则在p处需求弹性为
EQ p ( p ) Q Ep Q

3.6 经济活动中的边际分析与弹性分析

3.6 经济活动中的边际分析与弹性分析
在经济数学中, 把导函数 f (x)称为边际函数. 常用的边际函数有三个,即边际成本函数、边际
收益函数、边际利润函数。
1、边际成本
生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入的费 用总额称为总成本, 设 TC(Q)为总成本,此处Q为产量.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数,记作MC,

MC TC (Q)
这说明当产量为100时,再增加一个单位产品的
生产,总成本将增加49;当产量为200时,再增加一
个单位产品,总成本将增加53.
2、边际收益 生产者出售一定量产品所得到的全部收入称为总收益,
单位产品的售价称为平均收益. 总收益对销售量的导数称
为边际收益.
一般用Q表示商品量, P为商品价格, TR表示总收益.
试求
解 因为 所以
p 5 元时的供给价格弹性.
Qs 0.8
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
5 0.8 2 2 0.8 5
Es
p 5
该结果说明当价格在 p 5 元水平时, 若提价1%,
供给量将增加2%.
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
(2)当产量为100吨时的平均成本
6700 AC (100 ) 67 100
(3)当产量从100吨增加到200吨时,总成本的平均变化率
Q 200 100 100

TC TC (200 ) TC (100 )
它的经济含义是:当产销量达到 Q 时,再增加一个 单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.

边际分析与弹性分析

边际分析与弹性分析

2
(1)p=6时价格上涨1%,总收益将变化百分之几?
(2)p=14时价格下降2%,总收益将变化百分之几?
(3) p为何值时总收益最大,最大收益为多少?
(1)生产900个单位时总成本和平均成本 (2)生产900个单位的边际成本,并解释其经济意义 (3)已生产900个单位,则第901个产品的成本是多少? (4)若政府征收固定税收,问固定税收对边际成本有没影响?
例3 设巧克力糖每周的需求量Q(公斤)是价格p的函数,
Q

f
(p)

1000 (2p 1)2
六、边际分析与弹性分析
(一)边际分析 (二)弹性分析
(一)边际分析
1.边际概念:设y=f(x)可导,则
称为边际函f数' (。x)
x f ' (x ) 表示x在 处增加一个单位时,y近似改变了
0
0
f '(x0 )
边品际所成需本的成本。C:' (在Q产)量为Q时,再多生产一单位产
边际收益
R:' (在Q销) 量为Q时,再多出售一单位产 品所得的成本。
,求p

10时,巧克力糖的边际需求量
并说明其经济意义.
(二)弹性分析
1.相对改变量、相对变化率
定义: 设函数y f(x)在x x0处可导,函数的相对改变量
y f (x0 x) f (x0) ,与自变量的相对改变量 x 之比
y0
f (x0 )
x0
y x
/ /
y0 x0
称为f
边际需求
f ' (P) :在价格为P水平下,价格再提高一单位引起需求的变化。
边际供给
:' (在P价)格为P水平下,价格再提高一

边际的概念 经济学中常见的边际函数 弹性分析 需求价格弹性

边际的概念 经济学中常见的边际函数 弹性分析 需求价格弹性
L '(Q ) lim L(Q Q ) L(Q ) Q 0 Q
称为边际利润函数. 当销售量为Q, 总利润为L=L(Q)时, 称 L(Q ) 为销售量 为Q 时的边际利润, 它近似等于销售量为Q 时再多销售一
个单位产品所增加或减少的利润.
例3 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入
p 1 3 Q( p) a( ) (a是常数), 求:(1)需求弹性函数(通常记作 p); 2
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求点弹性. 解
p 1 1 3 1 (1) Q ( p ) a ( ) ln( ) 3 2 2
Q( p) 由p p Q( p )
(2) p 0.92,
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
C C (90) C (75) 101.25(元 / 件) x 90 75
(3) 当日产量为75件时的边际成本 1 C ( x ) x 60 2
C(75) C( x)
x 75
97.5(元)
2. 边际收益
利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响. 在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(Δp > 0)或降
价(Δp < 0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以
得出价格变动如何影响总收益的结论. 总收益 R 表示为价格 P 的函数需求函数
R(P ) P Q P Q ( P)
总收益 R 对 P 的导数是总收益关于价格的边际收益
际函数值。 已知 意义). 故有
y f ( x0 )x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )

边际分析与弹性分析

边际分析与弹性分析

边际分析与弹性分析边际分析和弹性分析是经济学中重要的概念和工具。

边际分析主要研究个体或单位在其中一决策上的最后一单位收益或成本,弹性分析则是研究个体或单位对外部影响的敏感程度。

边际分析是指在边际条件下,对单位变动的最后一个单位进行分析的方法。

边际成本是指增加或减少单位产量所引起的总成本的变化,边际效益是指增加或减少单位产量所引起的总效益的变化。

在做决策时,我们通常会比较边际成本与边际效益之间的关系,当边际效益大于边际成本时,持续增加产量,反之亦然。

这种比较的方法称为边际收益递减原理。

以生产为例,边际成本和边际效益可以用来优化生产过程。

当边际成本低于边际效益时,单位的生产成本还可以通过增加产量来降低,从而带来更多的利润。

但是,随着产量的增加,边际成本将逐渐增加,当边际成本高于边际效益时,增加产量将不再有利可图。

弹性分析是指个体或单位对其中一变量变化的敏感程度。

根据弹性的概念,我们可以衡量其中一变量的变化对其他相关变量的影响。

常见的有价格弹性、收入弹性等。

价格弹性衡量了消费者对产品或服务价格变化的敏感程度。

价格弹性大于1表示消费者对价格变化非常敏感,产品或服务的需求量会随价格的变动而显著变化。

价格弹性小于1表示消费者对价格变化不太敏感,产品或服务的需求量不会随价格的变动而显著变化。

收入弹性衡量了消费者对收入变化的敏感程度。

收入弹性大于0表示产品或服务的需求量与收入正相关,收入增加时需求量也会增加,收入弹性小于0表示产品或服务的需求量与收入负相关,收入增加时需求量会减少。

边际分析和弹性分析在经济学中起着重要的作用。

通过边际分析,我们可以优化决策,确定最优的产量或资源配置方案。

而弹性分析则帮助我们了解市场需求和供给的变化,指导企业和政府制定相应的决策策略。

例如,在企业的市场定价决策中,通过对价格弹性的分析,企业可以了解到市场对产品价格变化的敏感程度,进而决定是否降价来吸引更多的顾客。

另外,在政府的税收政策制定中,通过收入弹性的分析,政府可以了解到不同收入水平的人群对税收的敏感程度,进而制定相应的税收政策来实现贫富均衡或者调控经济发展。

本节介绍导数概念在经济学中两个应用——边际分析和弹性

本节介绍导数概念在经济学中两个应用——边际分析和弹性
(2) 产量为 100 吨时的平均成本; (3) 产量为 100 吨增加到 225 吨时,总成本的平均变
化率;
(4) 产量为 100 吨时,总成本的变化率(边际成本).
解 (1) 产量为 100 吨时的总成本为 C(100) 1 000 7 100 50 100 2 200 (元).

Ed (100) 2. 它的经济意义是:当价格为 100 时,若价格增加 1%,则需求减少 2% .
C(100) (1000 7q 50 q) |q100
7
25
Байду номын сангаас
9.5 (元).

q q100
这个结论的经济含义是:当产量为 100 吨时,再多生
产一吨所增加的成本为 9.5 元.
例2 设某产品的需求函数为 q = 100 – 5p,求边际收入函
数,以及 q = 20、50 和 70 时的边际收入 .
(2) 产量为 100 吨时的平均成本为
C(100) C(100) 22 (元/ 吨). 100
(3) 产量从 100 吨增加到 225 吨时,总成本的平均变 化率为
C C(225) C(100) 3325 2200 9 (元/ 吨).
q
225 100
125
(4) 产量为 100 吨时,总成本的变化率即边际成本为
存在,则 lim y / y lim y x x dy x f (x) x0 x / x x0 x y y dx y
称作函数 f (x) 在点 x 处的弹性,记作 E,即 E x dy . y dx
由需求函数 Q = Q(p) 可得需求弹性为
Ed

经济数学边际与弹性

经济数学边际与弹性

总成本 函数
可变成本 若以 Q 表示产量, C 表示总成本,则 C 与 Q 之间 的函数关系称为总成本函数,记作
C C ( Q ) C 0 V ( Q ),
C 0 0 是固定成本
Q 0.
ESC
V (Q ) 是可变成本
一. 经济学中常用的几个函数
总成本函 (1)总成本函数是单调增函数,这是因为当产量增加 数的性质: 时,成本总额必然随之增加; (2)固定成本非负,即C 0 C ( 0 ) 0 .这很显然,在尚没生产商品 时,也需要支出,这与产量无关的支出是固定成本.因此可将C ( 0 ) 理解为固定成本,即 C ( 0 ) C 0 . C
R 150 200 ( Q 150 ) 200 80 % (元).
综上,该公司销售移动硬盘获得的总收益 R与售出的移动 硬盘个数 的函数关系为 Q 分段函数
200 Q , 0 Q 150 , R 150 200 ( Q 150 ) 200 80 %, Q 150 .
总收益函数
在已知需求函数
Q (p ) 时
R R(Q) p Q 1(Q) Q.
1
p (Q)
ESC
一. 经济学中常用的几个函数
因需求函数 Q 减少,且 R
Q 0
(p ) 单调
总收益函数
R ( 0 ) 0,
1(Q) Q. R R(Q)
MC d C . dQ
边际成本可解释为:生产第 Q 单位产品,总成本增加(实际上是 近似的)的数量,即生产第单位产品所花费的生产成本(不包括固 定成本).
ESC
二. 边际
练习3
由于
线性总成本函数 C C ( Q ) 100 6 Q ,
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经济数学中的边际与弹性分析朱文涛(健雄职业技术学院 商贸系,江苏 太仓 215411)摘 要:边际与弹性是经济数学中的重要概念, 是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法。

本文从经济数学理论中的“边际”和“弹性”出发 ,对目前企业管理中常见的几个问题进行了数学化讨论和数学模型的建立 ,包括最低成本、最优利润和价格变动对销售收入的影响模型等。

关键词:边际;弹性;经济数学中图分类号:F224 文献标识码:A边际分析和弹性分析是经济数量分析的重要组成部分,是微分法的重要应用。

它密切了数学与经济问题的联系。

在分析经济量的关系时,不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系,还要进一步了解这个函数变化的速度,即函数的变化率,它的边际函数;不仅要了解某个函数的绝对变化率,还要进一步了解它的相对变化率,即它的弹性函数。

经过深层次的分析,就可以探求取得最佳经济效益的途径。

一、 边际及其经济意义边际作为一个数学概念, 是指函数y= f(x)中变量x 的某一值的“边缘”上y 的变化。

它是瞬时变化率, 也就是y 对x 的导数。

用数学语言表达为:设函数y= f(x)在(a, b)内可导, 则称导数)('x f 为f(x)在(a, b)内的边际函数;在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。

根据不同的经济函数,边际函数有不同的称呼,如边际成本、边际收益、边际利润、边际产值、边际消费、边际储蓄等。

本文主要分析前三个边际函数的应用。

1、边际成本。

在经济学中,把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本 ,边际成本就是总成本函数在所给定点的导数,记作MC= C ′(q)。

2、边际收益。

是指销售量增加一个单位时所增加的总收益或增加这一个单位的销售产品的销售收入,是总收入函数在给定点的导数,记作MR= C ′(q)。

3、边际利润。

对于利润函数 L (q) = R(q) - C(q) ,定义边际利润为 L ′(q) =R ′(q) – C ′(q)=MR-MC ,表示指销售量增加一个单位时所增加的总利润或增加这一个单位销售量时利润的改变量。

二、边际理论的应用模型边际分析理论是当代经济理论中数学方法的基础之一,可用来预测商品价格需求量或供给量,确定企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例;确定企业的最佳规模,直至最合理的分配整个社会的资源等问题。

下面主要探讨一下,如何利用边际理论决策最低成本、最优利润,以提高企业经营管理水平。

1. 建立最低成本的模型从图1可知,由于平均成本包括有产量的增加而始终递减的固定成本,同时它又是按全部产量平均计算的,所以它的曲线由递减转为递增较边际成本曲线为迟。

边际成本与平均成本之间有一个很重要的关系。

从上图来看,当平均成本与边际成本相等时,MC=AC ,平均成本为最低,也就是说,边际成本曲线MC 与平均成本曲线AC 相交于平均成本曲线的最低点处F 处。

这一点就是通常所谓的“经济能量点”或“经济有效点”,也就是成本最低的一点。

企业家应该把生产规模调整到平均成本的最低点(即F 点),才能使生产资源得到最有效的利用,增加盈利。

建立模型的程序如下:第一步:建立子模型MC=dQdTC (1) AC=Q TC (2) 其中:Q —产量;TC —总成本;AC —平均成本;MC —边际成本第二步:建立最优化成本数学模型。

(推导略)⎪⎩⎪⎨⎧==的第二阶导数大于零)AC dQdAC AC MC (0 (3) 满足上述(3)的Q 值的生产规模,可以使AC 达到最小值。

举例:TC (Q )=300+6Q+0.02Q 2MC=TC '(Q )=dQdTC =6+0.04Q AC=Q QQ Q Q Q Q TC 02.0620002.06200)(2++=++= =dQ dAC (Q Q 02.06200++)'=0.02—2200Q所以,6+0.04Q=Q Q02.06200++ 得到:舍去)(100,10021-==Q Q此时=dQ dAC 0.02—2100200=0 故产量达100时,AC 最低2、建立最大利润模型如何求最大利润?当商品产量无限增大时,价格极低,得不到最大利润;价格无限增大时,销售量极少,也得不到最大利润。

如图2看出,只有在边际收益等于边际成本时,即两条切线平行,收入和成本两个函数的导数相等时,这两条曲线间的距离最大,才达到最大利润,才能找到合理的生产模型。

此外为了是利润极大值存在,利润函数的二阶导数还必须小于零。

建立的模型程序为:第一步:建立子模型MR=dQdTR (4) MC=dQdTC (5) 其中:Q —产量;TC —总成本;TR —总收益;MC —边际成本;MR-边际收益第二步:建立最优化利润模型。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=0)(22dQ MC MR d MC MR (6)满足上述(6)的Q的生产规模,可以使利润达到最大。

举例:TR=50Q-2Q 2TC=250153323++-Q Q Q MR=50-4QMC=Q 2-6Q+15所以,50-4Q= Q 2-6Q+1503522=--Q Q0)7)(5(=-+Q Q所以Q1=-5,Q2=7因为产量不可能是负数,所以最大利润的产量应该是7件。

三、需求价格弹性及其经济意义弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。

用比例来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。

弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲的。

需求价格弹性是是经济数学弹性中应用最广泛的概念之一。

它是指物品的需求量对价格变化的反应程度即需求弹性 = 需求变化百分比/ 价格变化百分比。

设需求函数为 Q = Q(P) ,这里P 为价格,Q 为需求量。

如果我们以极限为工具来研究需求弹性,则此变化率可定义为 Ep= P P Q Q p //0lim ∆∆→∆=dPdQ Q P ,需求弹性有其实际的经济含义:表示当某种商品的价格下降 (或上升) 1 %时,其需求量将增加 (或减少) | Ep| %。

需求价格弹性可分五类:1) 缺乏弹性。

当- 1 < Ep < 0时, 价格变动1% , 需求量变化小于 1%。

表示价格的变化对需求量的影响较小,在适当涨价后,不会使需求量有太大的下降,从而可以增加收入。

基本生活必需品是缺乏弹性的。

如粮食、食盐、针线等。

2) 富有弹性。

当Ep < - 1 时 , 价格变动 1% , 需求量变化大于 1%,也就是价格的变化将会引起需求的较大变化,这时需求量对价格的依赖是很大的,换句话说,适当涨价会使需求较大幅度上升从而增加收入。

奢侈品、高价商品往往属于富有弹性的。

3)单位弹性。

当Ep = - 1时,这时需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等,即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。

4)完全弹性。

当p E = + ∞时, 表示价格的任何变动都引起需求量无限的变动。

如国家对棉、油、木材以及某些战略物资的定价收购,需求量可为无限制的5) 完全无弹性。

当p E = 0 时, 表示不管价格如何变动, 需求量固定不变。

四、需求价格弹性的应用模型需求价格弹性应用很多,这里主要谈谈价格变动对销售收入的影响模型。

在商品经济中经营者关心的是提价或降价对总收入的影响,利用需求弹性的概念可以使经营者认识到:涨价未必增收,降价未必减收的理论依据。

设某商品的需求函数为Q=f(P),商品的价格有一改变量P ∆,这时需求量相应的改变量为Q ∆,销售收入R=QP 的改变量记为R ∆,由需求弹性的求解公式:p E =dPdQ Q P 可得 PdQ=p E QdP因此,由价格P 的微小变化(P ∆很小时)而引起的销售收入R 的改变量 QdP E QdP E QdP PdQ QdP QP d QP R p p ]1[)()(+=+=+=≈∆=∆由p E <0,知P p E E -=,于是有P Q E QdP E R p p ∆-≈-≈∆]1[]1[由此可知,当P E >0(富有弹性)时,若0<∆P 则0>∆R ;若0>∆P 则0<∆F 。

这表明适当调低商品的价格薄利多销,能使总收入增加;若提高商品的价格,企业的总收入反而减少。

当1<P E (缺少弹性)时,若0<∆P 则0<∆F ;若0>∆P 则0>∆R 。

这表明降低价格使总收入减少,提价可使总收入增加。

当1=P E (单位弹性)时,我们可以证明总收入的改变量R ∆是较价格改变量P ∆高价的无穷小量,提价或降价对总收入没有明显的影响。

下图3表示不同弹性的需求曲线。

图3从以上需求曲线的不同情况,可显示对价格变动的反映程度之差异。

三个图中矩形A0DC 的面积分别大于、等于、小于矩形BOFK 的面积,各矩形面积分别表示收益R=PQ 的大小。

美国劳埃德•雷诺兹在《微观经济学分析与政策》一书中举过这样一个例子:“假定你是小五金零件的生产者,你的产品的需求曲线是非弹性的(即P E <1),这意味着什么呢?如果你将价格提高,比如说5%,你能够出售的零件数量下降少于5%。

因此,你得到的钱数是价格乘以数量,将大于过去。

相反如果降价5%,零件售量低于5%的增加,你的销售收入就会下降。

”例:设小五金零件的需求价格E=0.6<1 ,原价格为0P ,原销售量为0Q ,假定将价格提高5%,即%,5/0=∆P P 所以提价后的收入变化为:002.0%5]6.01[]1[00000>=⨯-=∆-≈∆Q P P Q P Q E R p此例验证了上述结论的正确性。

上述结论均可为企业改善经营管理提供信息,对企业经济决策起一定的作用。

参考文献:[1]王保华,丛国华.边际与弹性及其经济应用[J].哈尔滨金融高等专科学校学报,1997(4) :15-17.[2]刘玉红. 经济数学在经济管理中的应用[J]. 山西统计,2002(5):14-15.[3]耿锁华.数学:济中的弹性分析[J].南京金融高等专科学校学报,2000(2):80-81.[4]史为,李楠. 应用边际分析理论建立最优化经济数学模型[J].昆明大学学报(综合版),2002(1):15-19.The Analysis of Margin and Elasticity in Economic MathematicsZHU Wen-tao(Chien-Shiung Institute of Technology, Taicang 215411,China)Abstract: Margin and elasticity are important concepts in economic mathematics, as well as effective ways of differential calculus applied in economic analysis. Based on “Margin” and “elasticity” in the theory of economic mathematics, this article is to of fer mathematization discussion and establishment of mathematical model to some common questions in business management which include the model of least cost, biggest profits and price change’s influence on proceeds of sale.Key Words: margin; elasticity; economic mathematics作者简介:朱文涛(1966—),女,江苏太仓人,健雄职业技术学院商贸管理系副主任,副教授,研究方向为企业管理、物流管理。

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