大学物理(北邮大)习题4答案

由图知
A22
A12
A2
2 A1A cos30
(0.173)2
(0.2)2
2
0.173
0.2
3 / 2
0.01
∴
A2
0.1m
设角AA1O为
，则
A2
A12
A22
2A1A2cos
cos
A12
A22
A2
(0.173)2
(0.1)2
(0.02)2
即
2A1A2
2
0.173
0.1
0
即
2
，这说明，A1与A2间夹角为
题4-8图
解：由题4-8图(a)，∵t
0时，x0
0, v0
0,
0
3
,又, A 10cm,T 2s
2
2
即
rad
s1
T
3
故
xa
0.1cos( t
)m
2
由题4-8图(b)∵t
0时，x0A,v0
0,
0
5
2
3
t10时，x10, v10,1
2
2
5
5
又
∴
1
1
2
3
5
6
故
xb
0.1cos(5t
5)m
6
3
4-9
一轻弹簧的倔强系数为
24cm．求：
(1)t 0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到x 12cm处所需的最短时间；
(3)在x 12cm处物体的总能量．
解：由题已知
A
24
102m,T
4.0s
∴
2
0.5
rad s
1
T
又，t 0时，x0
A,0
0
故振动方程为
x
24
102cos(0.5
t )m
(1)将t0.5s代入得
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过
程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，
即系统势能最小值位置点
O；而小球在运动中的回复力为
mg sin，如题4-1图(b)所示．题
中所述，
S
＜＜
R
，故
S
mg
.
→ ，所以回复力为
T
2
2
mR2I( 2
m I / R2
)
kR2
K
4-4质量为10
103kg的小球与轻弹簧组成的系统，
按x
0.1cos(8
2
)
(SI)的规律作
3
谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?
(3)t25s与t11s两个时刻的位相差；
近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的
运动微分方程能用
d22
dt2
描述时，其所作的运动就是谐振动．
0
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动． 第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；
第二，球在运动中所受的三个力： 重力，地面给予的弹力， 击球者给予的拍击力， 都不是线 性回复力．
k，其下端悬有一质量为
M的盘子． 现有一质量为m的物体从
离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同
?
(2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．
1
m
2A2
2
2
1
10
103(
)2
(0.24)2
2
2
7.1 104J
4-7
有一轻弹簧，下面悬挂质量为
1.0g
的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量
为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开
1.0cm后 ，给予向上的初速度
v0
5.0cm s1
，求振动周期和振动表达式．
k
m1g 1.0 1039.8
0)，求振动
的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．
解：由动量定理，有
F
t
mv
0
∴ຫໍສະໝຸດ Baidu
v
F
t
1.0
104
0.01
m
s
-1
m
1.0
103
按题设计时起点，并设向右为
x轴正向，则知t
0
时，x0
0, v0
0.01m
s1＞0
∴0
3
/ 2
又
g
9.8
3.13rad s1
l
1.0
∴
A
x02
(v0)2
v0
0.01
3.2 103m
解：因为
x0Acos
0
v0A sin
0
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
1
2
3
4
x
A cos(2
t
)
T
3
x
2
t
3
2
A cos(
)
T
2
x
2
t
)
3
A cos(
T
3
5
x
A cos(2
t
5)
4
T
4
4-6一质量为10103kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t0时位移为
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为kk1k2/(k1k2)的弹簧振子系统，故小
球作谐振动．其振动周期为
2
2
m
m(k1
k2)
T
2
k1k2
k串
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有
F F1
F2，即x x1x2，设并联弹簧
的倔强系数为k并，则有
k并x k1x1
k2x2
故
k并
k1k2
同上理，其振动周期为
式中负号，表示回复力的方向
0
R
始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球
为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
2
d
mRmg
2g
令，则有
R
d22
dt2
0
4-2劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接，
x0. 5
24 102cos(0.5 t)m 0.17m
F
ma
m
2x
10
103
( )2
0.17 4.2 103N
2
方向指向坐标原点，即沿x轴负向．
(2)由题知，t
0时，0
0，
t t时x0
A,且v
0,故t
2
3
2s
∴
t
/
3
2
3
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
E
1
kA2
0.2 N m1
x1
4.9
102
而t
0时，x0
1.0
102m,v0
5.0
102m s-1
(
设向上为正)
又
k
0.2
2
1.26s
m8
10
3
5,即T
Ax02(v0)2
(1.0
10
2)2
(5.0
10
2
)2
5
2
102m
tan
v0
5.0
10
2
1,即0
5
0
1.0
102
4
x0
5
∴
x
2
102cos(5t
5
)m
4
4-8图为两个谐振动的xt曲线，试分别写出其谐振动方程．
为坐标原点，沿斜面向下为
x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为
x时，有
mg sin
T1md2x
①
dt2
T1R
T2R
I
②
d2x
R
T2
k (x0x)
③
dt2
式中x0mg sin / k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
(mR
I)d2x
kxR
R
dt2
令
2
kR2
mR2
I
则有
d2x
2x
0
dt2
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
2
转，故知两分振动位相差为
.所以y方向的振动方程为
2
y 12 cos(2 t
)cm
2
3.13
故其角振幅
A
3.2 103rad
l
小球的振动方程为
3.2
103cos(3.13t
3
)rad
4-11
2
0.20m，位相与第一振动的
有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为
位相差为
，已知第一振动的振幅为
0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动
6
的位相差．
题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
习题四
4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：
(1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很
短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质
量、转动惯量、摆长⋯⋯等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附
T
2
m
k2
k1
4-3如题4-3图所示，物体的质量为
m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为
，弹簧
的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为
I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然
后
由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体
m和滑轮为对象，其受力如题
4-3
图(b)
所示，以重物在斜面上静平衡时位置
一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
x1
0.4 cos(2t
) m
6
x2
0.3cos(2t
5
)m
6
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
解：∵
6
(
5
)
6
∴
A合
A1
A2
0.1m
0.4
sin
5
A1sin
A2sin
6
0.3sin
3
tan
1
2
6
A2cos
A2cos
试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有FF1F2，设串联弹簧的等效倔
强系数为K串等效位移为x，则有
Fk串x F1k1x1
F2
k2x2
又有
x
x1x2
x
FF1F2
k串k1k2
所以串联弹簧的等效倔强系数为
k1k2
k串
k1k2
解：(1)空盘的振动周期为
M
M m
，即增大．
2
，落下重物后振动周期为2
k
k
(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，
t 0时，则x0
mg．碰撞时，以
m, M为一系统动
k
量守恒，即
m 2gh(mM )v0
m 2gh
则有v0
mM
于是
Ax02
(v0)2
(mg)2
(
m22gh)2
k
(m M )
mg
1
2kh
k
(m
解：(1)
设谐振动的标准方程为x
A cos(
t
0)，则知：
A
0.1m,
8
,
T
2
1s,02 / 3
4
又
vm
A
0.8
m s1
2.51 m s1
am
2A
63.2 m s2
(2)
Fm
mam
0.63N
E
1mvm2
3.16
102J
2
1E 1.58 102J
Ep
Ek
2
当Ek
Ep时，有E
2Ep，
即
1kx2
1
(1kA2)
M ) g
（3）
tan
0
v0
2kh
(第三象限)，所以振动方程为
x0
(M
m)g
x
mg
1
2kh
cos
k
t
arctan
2kh
k
(m M ) g
m M
( M m) g
4-10
有一单摆，摆长
l
1.0m，摆球质量
m
10
103kg，当摆球处在平衡位置时，若给
小球一水平向右的冲量
F
t
1.0
104kg
m
s1，取打击时刻为计时起点(t
2
，即二振动的位相差为.
2
4-12
试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
x1
5cos(3t
)cm
x1
5cos(3t
)cm
(1)
3
(2)
3
x2
5 cos(3t
7)cm
x2
5 cos(3t
4)cm
3
3
解：(1)
∵
7
2 ,
2
1
3
3
∴合振幅
A
A1
A2
10cm
(2)∵
4
,
3
3
∴合振幅
A
0
4-13
5
3
1
2
0.4 cos
0.3cos
6
6
∴
6
其振动方程为
x0.1cos(2t)m
6
(作图法略)
*
4-14
如题4-14图所示， 两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，
已知
x方向的振动方
程为
x
6 cos 2 tcm，求
y方向的振动方程．
题4-14图
解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为
2
或3
；又，轨道是按顺时针方向旋
2
2
2
∴
x
2A
2m
2
20
(3)
(t2
t1)
8
(5
1) 32
4-5
一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为
A，周期为T，其振动方程用余弦函数表
示．如果t
0时质点的状态分别是：
(1)x0
A；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)
过x
A
处向负向运动；
2
(4)
过x
A
处向正向运动．
2
试求出相应的初位相，并写出振动方程．