正反比例的意义

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正比例与反比例的意义

反比例影响
反比例关系对现实生活的影响通常表现为质变关系，如随着城市人口密度的增加，城市环境质量可能会下降。

05
结论

对正比例与反比例的总结

总结正比例的意义

总结反比例的意义

正比例关系是指两个量之间的比值保持不变，即当一个量增加时，另一个量也按相同的比例增加，反之亦然。这种关系在现实生活中有很多例子，如速度与时间的关系、面积与长度的关系等。正比例关系是函数关系的一种特殊形式，它反映了两个变量之间的线性关系。

正比例关系是一种特殊的线性关系，它在生产和生活中有着广泛的应用，如速度与时间、路程与速度等。

如果x和y成正比例，那么它们的差、商、积和幂等运算结果仍保持正比例关系。

正比例的应用
在物理学中，许多物理量之间存在正比例关系，如电流与电压、电阻与电压等。
在经济学中，正比例关系用于描述投入与产出之间的关系，如生产成本与产量之间的关系。
正比例与反比例的意义

• 引言 • 正比例的意义 • 反比例的意义 • 正比例与反比例的对比 • 结论

01
引言

主题简介

正比例与反比例是数学中描述两个量之间关系的重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广

比例的意义性质和正反比例

比例是指两个或多个量之间的关系，它们之间存在倍数关系。比例具

有广泛的应用，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。

1.描述事物的量与数值关系：比例能够描述两个或多个事物之间的数

量关系，通过比例可以清晰地了解它们的数量差异和相对大小。

2.便于比较和分析：比例可以将不同事物之间的数量关系转化为一个

统一的比较标准，方便进行比较和分析。

3.预测和推测：通过已知的比例关系，可以预测或推测未知量的数值，比例可以提供一种有效的量化推测方法。

比例的性质：

1.传递性：如果两个比例相等，那么它们的对应项也相等。例如，如

果a:b=c:d，且b:c=e:f，则根据传递性可得a:d=e:f。

2.反比例的倒数性质：如果两个量成反比例关系，那么它们的倒数也

成反比例关系。例如，如果a:b=c:d，则根据反比例的倒数性质可得

1/a:1/b=1/c:1/d。

3.乘法性质：如果两个比例的对应项分别相等，那么它们的乘积也相等。例如，如果a:b=c:d，且b:c=e:f，则根据乘法性质可得

(a/b)×(b/c)=(c/d)×(e/f)。

正比例：

正比例是指两个量之间的关系是正相关的，即随着一个量的增大，另

一个量也相应地增大。正比例可以用一个常数来表示，该常数称为比例系数。正比例关系可以表示为a=k×b，其中a和b是两个量，k是比例系数。

例如，如果速度和时间成正比例关系，则速度的变化与时间的变化是成比

例的。

反比例：

反比例是指两个量之间的关系是反相关的，即随着一个量的增大，另

一个量相应地减小。反比例关系可以用一个常数来表示，该常数称为比例

正反比例的意义

正比例和反比例的意义，是新知识点，但是学生对此并不是素不相识的。正、反比例的意义，实质是两种量对应的两个数的比值（也就是商）不变，或者积不变。学生对这种变化规律是有经验积累和感性认识的，如学生以前学过的“商不变的性质”。
学情分析
通过以往的教学，发现：把正、反比例放在一起教学，感觉时间紧，讲不透；而分开教学，学生在解决实际问题时，还要经历再认识、再辨析的过程，才能从混淆中清醒过来。
必须有限制条件，即乘除法关系
2014年1月20日
2.通过不同习题，反复多角度建立概 Content 02 念，让学生经历从情境、数量到想象以及形成函数图像的过程。
3.通过理解、感悟使学生体验到数学学习的快乐，获得积极的情感体验。同时体会数学知识之间的内在联系，提高数学思考的水平，产生对数学的学习兴趣。
教学重难点
在变化的过程中，掌握不变的关系。
我的思考：
怎样引导学生沿着具体情境，提取数量，研究关系，发现规律，辨析归纳，形成图像的过程？
怎样把新知识纳入学生原有的认知体系？能否尝试先上一节整体直观认识的课，然后再按照教材讲正、反比例的意义，有利于学生深刻理解。
教学目标:
1.学生通过从具体情境中提取数量，进而直观确认数量之间的关系和变化规律，引导学生从特殊到一般，数形结合，观察数量之间的变化规律。

124正反比例的意义

种量也扩大（缩小）。缩小（扩大）。
不同点 2.
2.
y k(一定) x y k(一定)
x
学习目标
1.正反比例的意义。 2.正反比例的区别与联系。
下面的两个量是否一个随着另一个的变化而变化
(1) 一本书，看过的页数和未看的页数 (2) 一辆车的速度是80千米/小时，那么它的
路程和时间。 (3) 正方形的周长和边长 (4) 小明的身高和小红的体重
时间/时
123 4
5
路程/千米 80 160 240 320 400
路程/千米
1.速度与时间有关系么？ 2.速度是怎样随着时间变化的？ 3速度与时间的变化有什么规律？
• 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系
每块地转的 300 600 900 1800 3600 … 面积
数量
1800 900 600 300 150 ...
每瓶容量 250 500 750 1500 …
Βιβλιοθήκη Baidu数量
1200 600 400 200 ...
正反比例的异同点
正比例
反比例
相同点都有两种相关联的量，并且一种量变化，另一种量也随着变化。
1.变化方向相同。一种 1.变化方向相反。一种量

正反比例在生活中的意义

——我个人的理解

我对正反比例的观点可能与其他的人有所不同，也可能相同。我对正反比例的见解有如下几点。

一．正反比例不只是一个知识，而是可以在生活中运用。它们之间有相似之处。比如说：他们都是和“比”有关系，而且都是有两个量组成的。他们之中都有一个一定量。如：

1.总页数（一定）本数和每本的页数成反比例。

2.总人数（一定）班数和每班的人数成反比例。

3.路程（一定）时间和速度成反比例。

4.时间（一定），每小时织布的米数和织布总米数成正比例。

5.报纸的单价（一定），总价与订阅的份数。

二．他们之间也有不同点。比如说：正比例是一个量扩大或缩小N倍，另一个量也扩大或缩小N倍。而反比例是一个量扩大或缩小N倍，另一个量就缩小或扩大N倍。正比例不变的量是两个量之间的比值，而反比例不变的是两个量之间的乘积。如：

1.相同的杯子里中有不同量的的水

2.用60元买笔记本

三．在生活中，有许多东西都需要运用到它。比如：

1、走路时，花的时间越多，走的路越长。

2、买苹果时，付的钱越多，买的苹果越多。

3、农民种庄稼，种的田越多，收的庄稼越多。

4、米数除以总数=单价（一定）

5、同样的猪肉，家里人越多，每个人能吃到的猪肉就越少。

6、百米赛跑，路程100米不变排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数，速度和时间。

7、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数。

8、买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量。

9、长方形的面积一定，长和宽。

10、长方体的体积一定，底面积和高。

11、时间×速度=路程

12、路程÷速度=时间

正反比例的意义知识点

正比例、反比例的意义

☆知识要点：

（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．

①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，

（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．

所表示的两种相关联的量，成正比例关系．

注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．

（2）反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是：xy=k（一定）

②反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．

例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例．

因为实际距离×比例尺=图上距离（一定）

所以，实际距离和比例尺成反比例．

3.正比例和反比例

相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．

正比例和反比例的意义

教学设计

总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

《正比例的意义》教学反思

《正比例的意义》教学反思1

本堂课是在学生学习了正比例的基础上学习反比例，由于学生有了前面学习正比例的基础，加上正比例与反比例在意义上研究的时候存在有一定的共性，因此学生在整堂课的学习上与前面学习的正比例相比有明显的提高，而且在课时的安排上，在学习正比例的安排了2个课时，这里只是安排了1个课时，紧随着课之后教材安排了一堂正反比例比较、综合的一堂课，对学生在出现正反比例有点模糊的时候就及时地加以纠正。

反比例关系和正比例关系一样，是比较重要的一种数量关系，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，并能应用它解决一些简单的正、反比例方面的实际问题。同时通过反比例的教学，可以进一步渗透函数思想，为学生今后学习中学数学和物理、化学打下基础。反比例的意义这部分内容是在学生理解并掌握比和比例的意义、性质的基础上进行教学的，但概念比较抽象，学习难度比较大，是六年级教学内容的一个教学重点也是一个教学难点。

在教学反比例的意义时，我首先通过复习，巩固学生对正比例意义的理解。然后安排准备题正比例的判断，从中发现第3小题不成正比例，从而引入学习内容和学习目标。这通过复习、比较，不成正比例，那么它成不成比例呢？又会成什么比例？通过设疑不仅激发了学生学习数

学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了条件并激发了积极的情感态度。因为反比例的意义这一部分的内容的编排跟正比例的意义比较相似，在教学反比例的意义时，我以学生学习的正比例的意义为基础，在学生之间创设了一种自主探究、相互交流、相互合作的关系，让学生主动、自觉地去观察、分析、概括、发现规律，培养了学生的自主探究的能力。在学完例3后，我并没有急于让学生概括出反比例的意义，而是让学生按照学习例3的方法学习试一试，接着对例3和试一试进行比较，得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例的意义，就显得水道渠成了。然后，再通过“想一想”中两种相关联的量进行判断，以加深学生对反比例意义的理解。最后，通过学生对正反比例意义的对比，加强了知识的内在联系，通过区别不同的概念，巩固了知识。并通过练习，使学生加深对概念的理解。

(完整版)正比例和反比例意义知识点总结加典型例题

正比例和反比例的意义

知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对

应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系

叫做正比例关系。

用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么正比例关系可

x y k 以写成：

()一定k x

=例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。

＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量

工总

工时＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。路程

时间（2）反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对

应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么反比例关系可

x y k 以写成：

×=（一定）

x y k 例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量

每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是

成反比例的量

知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？

（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

正比例反比例

相同点

不

同

点

知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？

（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。

（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。

正反比例的意义学习专用

正比例和反比例是数学中常见的关系类型，它们在我们的日常生活中

也得到了广泛的应用。正比例关系表示两个变量之间的变化方向相同，而

反比例关系表示两个变量之间的变化方向相反。以下将从几个方面探讨正、反比例的意义和应用。

一、正比例的意义及应用

正比例关系在现实生活中有很多重要的应用。举例来说，我们知道速

度等于路程除以时间，当路程和时间之间存在正比例关系时，我们可以利

用速度的概念来计算物体的运动情况。在工程学中，正比例关系也有广泛

的应用，例如材料的拉伸和弹性参数之间往往存在正比例关系，这些关系

可以帮助我们设计更好的材料和结构。

此外，正比例关系还可以帮助我们解决很多现实生活中的实际问题。

以购买商品为例，价格和数量之间往往存在正比例关系。当我们知道商品

的单价时，我们就可以根据价格和数量之间的正比例关系计算出购买该商

品所需的总价格。在经济学中，正比例关系也有很多应用，例如劳动力和

产出之间的关系，税率和收入之间的关系等。

二、反比例的意义及应用

反比例关系同样在现实生活中有着重要的应用。举例来说，我们知道

速度是一定时间内所走路程的倒数，当路程和时间之间存在反比例关系时，我们可以利用速度的概念来计算物体的运动情况。在物理学中，反比例关

系也有广泛的应用，例如电压和电流之间的关系，电阻和电流之间的关系等。

反比例关系还可以帮助我们解决很多实际问题。以工作时间为例，当

几个人一起工作时，他们的工作效率与工作时间之间往往存在反比例关系。当我们知道几个人一起工作所需的总时间时，我们就可以根据工作效率和

正比例的意义评课稿

（优选）正比例的意义评课稿作为一名为他人授业解惑的教育工作者，很有必要精心设计一份评课稿，通过评课的反馈信息可以调节教师的教学工作，了解、掌握教学实施的效果，反省成功与失败原因之所在，激发教师的教学积极性、创造性，及时修正、调整和改进教学工作。那么你有了解过评课稿吗？下面是小编精心整理的正比例的意义评课稿，仅供参考，希望能够帮助到大家。

正比例的意义评课稿1

研究课《正反比例的意义》评课在教师的引导下，学生通过分组讨论，自主探究的方法学习例1，例2，成功地得出了正比例和反比例的意义，并进一步体会了正反比例的异同点。整节课师生互动性强。教师引导恰当。组织的得法。教学学习效果均不错。直接导入课题，简单明了的明确了学习任务。通过观察，讨论，交流得出正反比例的意义。

学生掌握所学内容，并且会判断两种相关联的量成什么比例关系。媒体运用恰当，设计科学合理，效果不错。课前教师能充分准备，熟练运用多媒体组织教学。教学过程流畅，重点突出。教学中能注重让学生在讨论中理解问题，探究问题。教学效果较好。本节课，教学目标明确，过程流畅。学生通过分组讨论，自主探究的学习方法，成功地掌握了学习的目标。并能通过比较得出两种比例的异同点。整节课师生互动性强，讨论氛围浓厚，学习效果较好。本节课准备比较充分，多媒体运用熟练，较好地为学生的学习提供了服务，教学中教师能积极主动地引导学生积极参与教学过程，去讨论，去探究去总结归纳，反思，培养了学生学习的能力。教学效果较好。：教师能创设一定的情景，准确地把握课程内容，恰当处理

教材，语言准确生动，娇态自然亲切，学生在平等的'氛围里轻松学习，取得了较好的教学效果。

正反比例的意义教学设计

教学设计题目：正反比例的意义

一、教学目标：

1.知识目标：了解正反比例的概念和特点，掌握正比例和反比例的运算方法。

2.过程目标：培养学生观察和分析问题的能力，培养学生解决实际问题的能力。

3.方法目标：通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习动力。

二、教学准备：

1.教学资源：多个正反比例的实际例子（如：速度和时间、油量和里程、团队人数和完成任务的时间等）。

2.教学器材：黑板、白板、笔、尺子、计算器等。

三、教学过程：

（一）导入（10分钟）

1.引入新课：通过引入一个实际生活中的例子（如：速度和时间的关系），引起学生的兴趣，并引出正反比例的概念。

2.提问：谈谈你们在生活中接触过的正反比例的例子有哪些？请同学们举手回答。

3.教师点评：教师可根据学生的回答进行点评，鼓励学生积极参与，

培养学生观察和分析问题的能力。

（二）概念讲解（15分钟）

1.教师介绍：通过示意图、数值例子和文字的方式，详细讲解正反比

例的概念和特点。

2.教师示范：举例说明速度和时间之间的正反比例关系。

3.学生思考：请同学们思考和讨论速度和时间之间是否存在正反比例

的关系，并给出理由。

4.学生回答：请学生回答上一个问题，鼓励学生积极参与讨论，培养

他们解决问题的能力。

5.概念总结：教师总结正反比例的概念和特点，强调正反比例在实际

生活中的意义。

（三）运算方法（20分钟）

1.教师讲解：通过实例，讲解正比例和反比例的运算方法，即使用比

例关系求未知数的值。

2.教师示范：教师用具体的数值示范如何计算正比例和反比例的问题。

正比例与反比例的意义

正比例和反比例的意义

知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：

()一定k x

= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。

工总

工时

＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量路程时间＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。

（2）反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x ×y =k （一定）

例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量

每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量

“凡事豫则立，不豫则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。

知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？

（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

正比例与反比例

(完整版)正比例和反比例的意义知识点

正比例和反比例的意义

知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例

()一定k x

= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。

工总工时＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量

路程时间＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。

（2）反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：

x ×y =k （一定）

例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量

每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量

知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？

（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

不

同

点

知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。

（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。

知识点四：正比例和反比例的判断

正比例与反比例的意义

数与代数:正比例和反比例

教学内容：

正比例与反比例的意义

学情分析

通过学习学生已经认识了生活中的一些变量，理解了正比例、反比例的意义，并能运用正、反比例的知识解决一些简单的实际问题。

教学目标：

1、使学生进一步理解比的意义和基本性质以及比与分数、除法的关系的理解。加深了对比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律内在一致性的理解和比例的意义和基本性质的理解。进一步认识成正比例和反比例的量，掌握两种量是否成比例、成什么比例的思考方法。

2、使学生通过掌握判断两种相关联的量是否成正比例或反比例的方法，提高分析、判断的能力，促进学生对数学知识的灵活运用。，

3、使学生进一步体会比和比例知识的应用价值,感受不同领域的数学内容之间的密切联系，使学生感受正、反比例是描述数量关系及其变化规律的又一种有效的数学模型。

教学重点：

使学生加深对比与分数、除法的关系的理解以及比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律内在一致性的理解。掌握判断两种相关联的量是否成正比例或反比例的方法。

教学难点：

使学生加深对比与分数、除法的关系的理解以及比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律内在一致性的理解。

教学准备

多媒体课件

教学过程：

一、引导

今天我们一起来复习正比例和反比例相关知识。（板书课题。）首先复习比的相关知识。

二、新课教学

（一）比的知识：

教师问：

1、谁来举个例子说说什么是比？什么是比的基本性质？（引导学生列举：“按比例分配”、“比例尺”、“图形的放大与缩小”等例）

2、说一说用比的知识可以解决哪些实际问题。

让学生体会比在解决实际问题时的应用。

《正比例和反比例的意义》评课稿

研究课《正反比例的意义》评课在教师的引导下，学生通过分组讨论，自主探究的方法学习例 1，例 2，成功地得出了正比例和反比例的意义，并进一步体会了正反比例的异同点。整节课师生互动性强。教师引导恰当。组织的得法。教学学习效果均不错。直接导入课题，简单明了的明确了学习任务。通过观察，讨论，交流得出正反比例的意义。

教师能根据学生的实际情况，对教材内容进行重新组合，把正反比例的意义组合在一起进行教学，教师能精心设计问题和练习，营造平等互动的学习氛围，这样的教学学生能清晰地分辨正反比例意义的异同点，通过强化训练，让学生正确理解本节课的重点与难点，教学效果较好。