狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论效应公式
狭义相对论效应公式狭义相对论是爱因斯坦在1905年提出的一种描述空间和时间的理论。
它建立在两个基本原理之上：光速不变原理和等效原理。
狭义相对论指出，物体的质量、长度和时间间隔会发生变化，当速度接近光速时，这种变化效应会变得非常明显。
时间膨胀是指当物体的速度接近光速时，该物体的时间流逝会变慢。
这是因为光速是一个极大的限制，当物体接近光速时，光的速度变慢了，时间也就变慢了。
时间膨胀可以使用以下公式来计算：Δt=Δt0/√(1-v^2/c^2)其中，Δt是以静止观察者的角度来观测运动物体所经过的时间，Δt0是以运动物体自身的角度来观测所经过的时间，v是物体的速度，c是光速。
长度收缩是指当物体的速度接近光速时，该物体的长度也会变短。
这是因为在运动物体的参考系中，空间会发生收缩。
长度收缩可以使用以下公式来计算：L=L0√(1-v^2/c^2)其中，L是静止观察者测量的物体长度，L0是运动物体自身测量的物体长度。
质量增加是指当物体的速度接近光速时，该物体的质量也会增加。
这是因为能量和质量之间有一个等价关系，速度越快的物体具有更高的动能，因此质量也会增加。
质量增加可以使用以下公式来计算：m=m0/√(1-v^2/c^2)其中，m是静止观察者测量的物体质量，m0是运动物体自身测量的物体质量。
这些效应公式是狭义相对论的核心内容，它们揭示了在高速运动中，时间、长度和质量的变化规律。
这些效应公式已经被实验证实，例如，它们解释了高速粒子在加速器中的行为，以及GPS卫星系统的运行原理。
狭义相对论的提出标志着人类对时间和空间的认识发生了深刻的变革，它对现代物理学和天文学的发展产生了巨大的影响。
狭义相对论力的变换公式的简单推导
狭义相对论力的变换公式的简单推导狭义相对论中的公式推导：一、洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
1、设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。
在A系原点处，x=0，B系中A 原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。
2、可令x=k(X+uT) (1)。
又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。
）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。
3、故有X=k(x-ut) (2)。
对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y (3)。
4、Z=z (4)。
将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)。
5、(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。
当两系的原点重合时由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT。
6、代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t 和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。
将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
狭义相对论力的变换公式的简单推导二、速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)；V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))；V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))。
1、V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c ^2)。
2、同理可得V(y),V(z)的表达式。
狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论狭义相对论基本原理：1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。
2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。
假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
Ⅰ洛伦兹变换现假设，x ’=k(x-vt) ①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。
将①代入②：x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2k=22/11c v -将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=22/1cv vt x --y ’=y z ’=z t ’=222/1/cv c vx t --或有x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=22/11cv -Ⅱ同时的相对性S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1= t 2，且x 1≠x 2。
简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)
简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。
值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。
所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。
1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。
没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。
许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。
为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。
我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。
站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。
相反，考虑谈话的例子。
如果你站着不动，风在动，声速就会变。
比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。
仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。
图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。
（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。
狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
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狭义相对论公式及证明1．质点运动学基本公式：（1）v=dr/dt，r=r0+∫rdt（2）a=dv/dt，v=v0+∫adt（注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式）当v不变时，（1）表示匀速直线运动。
当a不变时，（2）表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
2．质点动力学：（1）牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
（2）牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt（3）牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
（4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r^2，G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1（合外力的冲量等于动量的变化）动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等于动能的变化）机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2（注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma，它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t)，若知受力情况，根据牛二可得a，再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t)，可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
）二、狭义相对论力学（注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。
)1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。
（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
（此处先给出公式再给出证明）2．洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)3．速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)（光源与探测器在一条直线上运动。
狭义相对论
2 m v cp 0 m c2 ...... 2 第二项是动能。
当速度v 0时，只剩第一项，所以 第一项称为静能。 cp 0 m c2 1 v c2
2
是物体的能量。
网易公开课视频地址： /movie/2010/7/D/U/M6G QSTUPV_M6GR13LDU.html
伽利略变换
事件发生坐标
（0,0） 惯性系S （x,t）
（x',t）
（0,0）
惯性系S' u
t' = t x' = x - u*t
不同惯性系中的牛顿第二定律
牛顿第二定律：F=m*a x' = x - u*t 两边同时对t求导 =>dx'/dt = dx/dt - (u*t)/dt =>v' = v - u 得出了两个惯性系中速度的惯关系。 继续两边同时对t求导 =>dv'/dt = dv/dt -du/dt =>a' = a 两边同时乘以m =>m*a' = m*a = F
t ∆t ∆x x
从随质点运动的坐标系来看： ∆x„=0；∆t' 令∆τ=∆t' ∆S^2=(c*∆τ)^2 ∆S=c*∆τ
得到∆τ和∆t的关系，为了少打几个公式，直接取极限
d v2 1 2 dt c dt 1 d v2 1 2 c
X=（x0,x1） 对时间求导，不能对t求导，因为x0=ct，对τ求导。
光速不变
以太
人们套用机械波的概念, 想像必然有一种能够传播光波的弹性物质, 它的名字叫“以太”
。
迈克尔逊——莫雷实验
目的：测量地球在以太中的速度。 结果：地球不存在相对以太的运动。
狭义相对论力的变换公式的简单推导
狭义相对论力的变换公式的简单推导魏喜武(安徽省宣城中学安徽宣城24000)(收稿日期:20170328)摘要:在一个运动参考系Sᶄ中,有一个装有理想气体的正方形盒子,盒子的底面与x O y所在的面平行,在Sᶄ系观测,盒子右㊁前㊁上3个面受到沿x,y,z轴方向上气体的压力相等.在静止的S系观测,盒子上㊁下两个面沿运动方向的边长要收缩,在y,z轴方向上前㊁上两个面要受到气体压力也要变化,再由理想气体热力学系统的压强(p)与惯性运动无关,就可以得出力的变换的公式.关键词:相对论压强力的变换1引言常见推导狭义相对论力的变换公式,用力等于动量变化率,导出动量变化率的变换,再导出力的变换公式,推导过程既难又繁.为此,笔者通过假设在不同参考系中存在一个装有理想气体的正方型盒子,根据正方型盒子有关的面在不同参考系受到的力,就非常简单地推导出狭义相对论力的变换公式. 2狭义相对论力的变换公式的推导过程如图1所示,Sᶄ系相对S系以速度u运动,在Sᶄ系中有一个装有理想气体的正方型盒子,以速度v 运动(u=v).设正方型盒子的边长为lᶄ,盒子内理想气体的压强为p,正方型右边的面CᶄBᶄEᶄFᶄ受到的力为F xᶄ,前面的面EᶄFᶄGᶄHᶄ受到的力为F yᶄ,上面的DᶄCᶄFᶄGᶄ受到的力为F zᶄ,在Sᶄ系观测,正方型盒子静止,可得F xᶄ=F yᶄ=F zᶄ=lᶄ2p在S系中观测Sᶄ系中的盒子与x轴平行的正方形边长要缩短,设其长度为l,有l=lᶄ1-u2c2而与y轴㊁z轴平行的正方形边长没有变化,即l=lᶄ图1Sᶄ系和S系由于理想气体热力学系统的压强(p)与惯性运动无关,因此,可以得到F x=l2p=lᶄ2pF y=lᶄ2p1-u2c2F z=lᶄ2p1-u2c2把Fᶄx=Fᶄy=Fᶄz=lᶄ2p分别代入上面3式,得F x=FᶄxF y=Fᶄy1-u2c2F z=Fᶄz1-u2c23结论设γ=1-u2cæèçöø÷2-12,并分别代入上面3个式子,54关于行星运动模型疑问引发的思考孙东振(厦门一中海沧分校 福建厦门 361000)(收稿日期:20170527)摘要:由学生的一个疑问入手,简要分析行星运动模型与双星模型之间的关系.关键词:日心参考系 质心参考系 双星模型1 提出疑问高中阶段一般将行星绕恒星运动近似为匀速圆周运动,在讲授 动量守恒定律 这节课时,有学生发现了一个问题:行星运动模型动量不守恒,以地球绕太阳做圆周运动模型为例,如图1所示,该运动是以地球和太阳之间的万有引力作为向心力,而地球与太阳之间的万有引力是一对相互作用的力,属于内力,若将其他星体对该系统的力忽略掉,那地球与太阳构成的系统应该符合动量守恒定律.由图1可以看出,地球绕太阳转动,系统只有地球存在动量且方向随着圆周运动在不断变化,很显然动量不守恒,那么到底问题出在哪儿呢?图1 地球绕太阳做圆周运动2 问题分析与讨论对于上述问题,笔者起初也是有点迷惑,深入思考之后发现问题出在参考系的选取上.首先我们需要了解,在描述地球绕太阳转动的运动过程中,我们其实默认选取了太阳的中心为参考系,即日心参考系O ,而实质上该参考系为非惯性系,变换一下参考系,选取日地系统的质心参考系C (惯性系),如图2所示.图2 选取日地系统的质心参考系以太阳中心为参考系的日心参考系O 相对于质心参考系C 的离心加速度为a M ,则太阳受到的惯性力为M a M ,物体受到的惯性力为m a M ,在日心参考系C 中引入惯性力[1],则有d (m v )=(M +m )a M d t (1)其中v 是地球在日心参考系中的速度,췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍可以看出惯就可以得出狭义相对论力的变换的公式F x =F ᶄx F y =1γF ᶄyF z =1γF ᶄz参考文献1 孟泉水,常琳.热力学若干相对论问题.西安科技大学学报,2004,24(4)2 张三慧,大学物理学.北京:清华大学出版社,199964。
狭义相对论质速公式推导
狭义相对论质速公式推导一、狭义相对论质速公式的推导。
（一）基本假设与洛伦兹变换。
1. 相对性原理。
- 所有惯性系中物理规律都是相同的。
2. 光速不变原理。
- 在所有惯性系中，真空中的光速c都相同，与光源和观察者的运动状态无关。
3. 洛伦兹变换。
- 设S系和S'系是两个相对作匀速直线运动的惯性参考系，S'系相对于S系沿x轴正方向以速度v运动。
在经典力学中，坐标变换是伽利略变换x' = x - vt，t'=t。
但在狭义相对论中，坐标变换为洛伦兹变换：- x'=(x - v t)/(√(1-frac{v^2)){c^{2}}}- y' = y- z'=z- t'=(t-frac{v)/(c^2)x}{√(1 - (v^2))/(c^{2)}}（二）动量守恒定律在相对论中的形式。
1. 经典动量的局限性。
- 在经典力学中，动量→p=m→v，其中m是物体的静止质量，→v是物体的速度。
在高速运动的情况下，经典动量的表达式不再适用。
2. 相对论动量的假设。
- 假设在相对论中，动量的表达式为→p = m(v)→v，其中m(v)是与速度v有关的质量，称为相对论质量。
3. 弹性碰撞中的动量守恒。
- 考虑两个全同粒子A和B的弹性碰撞。
在S系中，粒子A沿x轴正方向以速度u运动，粒子B沿x轴负方向以速度u运动。
碰撞后，A沿x轴负方向以速度u'运动，B沿x轴正方向以速度u'运动。
- 根据动量守恒定律→p_1+→p_2=→p_1'+→p_2'，在S系中有m(u)u -m(u)u=m(u')(-u')+m(u')u'。
（三）质速公式的推导。
1. 利用洛伦兹变换分析碰撞。
- 转换到相对于粒子A静止的S'系中。
在S'系中，粒子A静止，其速度u_A' = 0，根据洛伦兹速度变换公式u'=(u - v)/(1-frac{uv){c^2}}，粒子B的速度为u_B'=(-u - v)/(1+frac{uv){c^2}}。
狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论推导详细计算过程设想有两个参考系S和S'，分别以速度v相对于彼此运动。
假设一个在S参考系中以速度u相对于S运动的物体，想要求出这个物体在S'参考系中的速度u'。
根据经典相对性原理，物理定律在两个参考系中都是相同的。
因此，我们要求的变换关系必须满足这个原理。
首先，考虑时间的变换关系。
假设一个事件在S参考系中的时间为t，那么在S'参考系中的时间t'应该也可以表示为t'=f(t)，其中f是一个未知函数。
接下来，我们考虑空间位置的变换关系。
假设一个事件在S参考系中的位置坐标为x，那么在S'参考系中的位置坐标x'应该也可以表示为x'=g(x)。
根据光速是一个不变的常数的假设，可以得出一个关键条件：当光线从S参考系中以速度c传播时，它在S'参考系中也应该以同样的速度c传播。
考虑一个在S参考系中以速度c向右运动的光线，从原点(0,0)开始传播。
假设这个光线在S参考系中的传播时间是t1，在S'参考系中的传播时间是t1'。
因为光速是恒定的，所以在S中的传播距离应该等于在S'中的传播距离，也就是ct1 = ct1'。
然后，我们可以利用时间和空间的变换关系来解出洛伦兹变换的具体形式。
首先，考虑时间的变换。
根据经典相对性原理，时间的变换方程应该满足两个条件：一个是t'=f(t)，另一个是当t=0时，t'=0。
这个条件意味着当两个参考系中的时间都是零时，它们应该是重合的。
接下来，考虑空间坐标的变换。
根据经典相对性原理，空间坐标的变换方程应该满足两个条件：一个是x'=g(x)，另一个是当x=0时，x'=0。
这个条件意味着当两个参考系的原点重合时，它们的空间坐标应该是一样的。
根据以上的假设和推导，可以得到洛伦兹变换的具体形式：t' = γ(t - vx/c^2)x' = γ(x - vt)其中，γ是一个因子，称为洛伦兹因子，定义为γ=1/√(1-v^2/c^2)上述计算过程是狭义相对论的一个基本推导过程。
狭义相对论基本变换公式
t 2 d 2 (vt)2 2 d2 (vt)2 2d 1 (v )2 ( t )2
c
c
c
c t
t t'
1
v2 c2
( t )2 t
t
t
1
v2 c2
我们对于同一个过程算出的时间不一样都是因为认定了光速相对于你我都是c，这样算出的 时间就是不一样的，加入我们认为光速相对于你我不是c是不是就能算出一样的时间来呢， 嗯，的确是的，但是光速在不同参考系中是不会变的，这受到了迈克尔逊莫雷实验以及后
v
v 1 v2 c2
1 v2 c2
这里有一个需要注意的问题：那就是通过尺缩效应容易得到空间坐标之间的变换关系，之 后，根据光速不变原理可以直接得到时间的关系，也算是第二种推导方法吧，那就是对于 一束光x2+y2+z2=c2t2,在第S'系中的坐标应该是x'2+y'2+z'2=c2t'2,既然光线的传播方程 具有这足这个关系，那么光速就不是不变的了，与假设矛盾，因此要这样求解。
运动参考系的空间坐标 在初始时刻，两个坐标系的原点重合，O=O',此时认为t=t'=0，将 钟对准。假如在另一个时刻将时空定格，空间中的一点在S系中是(x,y,z,t)，在S'系中是 (x',y',z',t')，我们的目标是测量出这两个坐标系之间的变换关系，根据引言可知， y=y',z=z'，这个是不变的，否则就违背了惯性系速度方向不变的假设。下面求x方向的坐 标变换关系。
x x ' vt 1 (v)2 c
根据这个长度的关系我们可以推导出时间的关系：
t 1 (x x
狭义相对论效应公式
狭义相对论效应公式狭义相对论（Special Theory of Relativity）是由爱因斯坦在1905年提出的一种相对论物理学的理论。
在这一理论中，提出了一个著名的效应，就是光速不变原理。
这个原理的实现需要一个比较简单的公式来进行说明，即洛伦兹变换公式。
洛伦兹变换公式是狭义相对论的核心之一，它可以用来描述不同参考系之间物理量的变换情况。
在经典物理学中，狭义相对论中的洛伦兹变换可以极大的扩展物理学的范围。
假设有两个相对静止的参考系，分别为S和S'。
S'相对于S沿某轴方向运动，并以相对速度V运动。
在S参考系中，事件A在某坐标为某、y坐标为y、z坐标为z、时间为t，而在S'参考系中，事件A在某'坐标为某'、y'坐标为y'、z'坐标为z'、时间为t'。
则有以下的洛伦兹变换公式：∆某' = γ ( ∆某− vt )∆y'=∆y∆z'=∆z∆t'=γ(∆t−v某/c²)其中γ=1/√(1−v²/c²)变换的前三个式子分别为空间坐标变换的公式，表示在不同的参考系中，一个事件在空间上对应的坐标的取值会发生变化，而时间坐标的变换则由最后一个式子表示。
这样的洛伦兹变换既可以从物理学的原理角度，也可以从矩阵变换的理论解释来进行说明。
利用这个公式，可以推导出相对论效应公式中的各种物理效应。
其中包括了一个著名的相对论质量公式以及动态长度缩短效应、时间膨胀效应等各种效应，极大的扩展了物理学的应用范围。
相对论质量公式是一个涉及到动量和质量的公式。
根据相对论的思想，质量不再是一个常量，而是与运动状态有关的变量。
当一个物体在达到光速时，其质量无穷大，表现为无法达到其真正速度。
因此，把静止质量定义为 mo，则由相对论公式可以将移动态度M定义为：M = mo / √(1−v²/c²)当相对距离相当的物质以速度趋近于光速时，程序上会不再准确，因此对于相对于光速运动，需要使用广义相对论，而不是狭义相对论来处理。
狭义相对论简单推导
狭义相对论简单推导狭义相对论是爱因斯坦的伟大成就之一，它规定了物理学中的时空结构。
它也是现代物理学的基础之一，被广泛应用于高能物理、宇宙学、量子场论等领域。
在狭义相对论中，我们必须认识到时间和空间是相互关联的，它们不再是绝对的，而是相对的。
这意味着，相对于不同的观察者，事件发生的时间和位置是不同的。
在这篇文章中，我们将从经典力学的基础出发，简单地推导出狭义相对论的一些基本结论。
我们将从最简单的例子开始，逐步深入，直到得出狭义相对论的基本公式。
我们假设有两个运动员，分别在相对静止的参考系中奔跑。
运动员A在地面上奔跑，速度为v，而运动员B则在火车上奔跑，速度也为v。
我们假设这两个运动员之间距离为L。
现在，我们假设运动员B在火车上看到的时间为t，而运动员A 在地面上看到的时间为t'。
我们知道，在经典力学中，时间是绝对的，因此t和t'应该相等。
但是，在狭义相对论中，时间是相对的，因此t和t'不一定相等。
为了得到t和t'之间的关系，我们需要使用洛伦兹变换。
洛伦兹变换是狭义相对论中的基本公式，它描述了时间和空间在不同参考系中的变换。
在这个例子中，我们需要使用洛伦兹变换的一维形式，因为我们只需要考虑时间的变换。
根据洛伦兹变换的公式，我们可以得到以下关系式：t = (t' + vx/c^2)/√(1 - v^2/c^2)其中，c是光速，v是运动员的速度，x是运动员之间的距离。
我们可以将这个公式简化为：t = γ(t' + vx/c^2)其中，γ是洛伦兹因子，它定义为：γ = 1/√(1 - v^2/c^2)通过这个公式，我们可以得到t和t'之间的关系。
我们发现，相对于运动员A，在火车上运动的运动员B看到的时间要比运动员A 看到的时间慢。
这就是著名的时间膨胀效应。
最后，我们需要注意的是，洛伦兹变换是对称的。
也就是说，运动员B在火车上看到的时间相对于运动员A看到的时间慢，但是，运动员A在地面上看到的时间相对于运动员B看到的时间也是慢的。
狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
狭义相对论公式推导
狭义相对论公式推导
狭义相对论有几个重要的公式，其中最著名的是爱因斯坦的质能方程E=mc^2。
下面是关于狭义相对论的其他重要公式的推导：
1. 时间膨胀公式（Time dilation）：时间膨胀是指在相对论中，运动的物体相对于静止的观察者来说，时间流逝得更慢。
这种时间膨胀可以通过以下公式来描述：
Δt' = Δt / √(1 - v^2/c^2)
其中，Δt' 是运动物体的时间间隔，Δt 是观察者的时间间隔，
v 是物体的相对速度，c 是光速（299,792,458 m/s）。
2. 长度收缩公式（Length contraction）：长度收缩是指在相对
论中，与观察者相对静止的物体在运动方向上看起来更短。
这种长度收缩可以通过以下公式来描述：
L' = L √(1 - v^2/c^2)
其中，L' 是运动物体的长度，L 是观察者测量到的静止物体的长度，v 是物体的相对速度，c 是光速。
3. 相对速度组合公式（Relativistic velocity addition）：在经典
的牛顿物理中，两个物体的相对速度等于两个物体的速度之差。
但在相对论中，相对速度不仅取决于两个物体的速度，还取决于光速。
相对速度的组合可以用以下公式来表示：
v' = (v1 + v2) / (1 + v1v2/c^2)
其中，v' 是两个物体的相对速度，v1 和 v2 分别是两个物体的速度，c 是光速。
这些公式是狭义相对论中的一些基本推导结果，它们描述了相对论效应的重要概念和物理现象。
狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明(2)a=dv/dt, v=vO+ / adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式 )当v 不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a 不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2) 牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=d p/dt (3) 牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4) 万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r 2,G=6.67259*10 -11m 3/(kg*s 2) 动量定理：1= / Fdt=p-2)1(合外力的冲量等于动量的变化) 动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=f Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时， (注:牛顿力学的核心是牛二：F=ma ，它是运动学与动力学的桥梁， 我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程 r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求 之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求 a ,再由牛二可知物体的受力情况。
) 狭义相对论力学：(注：丫 =1/sqr(1u 2/c 2), 3 =u/u,为惯性系速度。
) (一) 基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2) 光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)(二) 洛仑兹坐标变换：X= Y (xut)Y=yZ=z单位符号单位符号 坐标：m (x, y, z)力：N F(f) 时间： s t(T)质量:kg m(M)位移：m r 动量:kg*m/s p(P) 速度：m/s v(u) 能量:J E 加速度： m/sA2 a 冲量：N*s I 长度：m l(L) 动能：JE k 路程：m s(S)势能：J E p 角速度：rad/s 3 力矩：N*m M 角加速度:rad/s^2 a 功率：W P牛顿力学(预备知识)(一):质点运动学基本公式: (1)v=dr/dt, r=r 0+ / rdtE ki +E pi =E k2+E p2T= 丫(tux/c2)(三)速度变换：V (x) = (v (x)-u)/(1-V (x) u/c2)V(y)=V(y)/( Y-vi(x)u/C2))V(z)=V(z)/( Y-vi(x)u/C2))(四)尺缩效应：△ L= △ l/或dL=dl/ 丫(五)钟慢效应：△ t= △ T或dt=d T / 丫(六)光的多普勒效应：v a)=sqr((1- 3 )/(1+ H) v(光源与探测器在一条直线上运动。
狭义相对论的整个推导过程
狭义相对论的整个推导过程一、两大假设1.惯性系的平权2.光速不变原理二、洛仑兹变换令x’=k1(x-ut)x=k2(x’+ut’)根据假设1,有k1=k2令k1=k2=γ所以x’x=γ^2(x-ut)(x’+ut’)根据假设2,有 x=ct,x’=ct’所以c^2tt’=γ^2(c-u)(c+u)tt’所以γ=1/sqr(1-u^2/c^2)所以x’=γ(x-ut)x=γ(x’+ut’)由x’=γ(x-ut),得ct’=γ(x-ut)所以t’=γ(x/c-ut/c)所以t’=γ(t-ux/c^2)同理,有t=γ(t’+ux’/c^2)因为很自然的有 y’=y,z’=z y=y’,z=z’所以x’=γ(x-ut) x=γ(x’+ut’)y’=y y=y’z’=z z=z’t’=γ(t-ux/c^2) t=γ(t’+ux’/c^2)其中:γ=1/sqr(1-u^2/c^2)三、洛仑兹速度变换v x’=dx’/dt’=(dx’/dt)*[1/(dt’/dt)]=(v x-u)/(1-uv x/c^2)v y’=dy’/dt’=(dy’/dt)*[1/(dt’/dt)]=v y sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2)v z’=dz’/dt’=(dz’/dt)*[1/(dt’/dt)]=v z sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2)同理,有v x=(v x’+u)/(1+uv x’/c^2)v y=v y’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)v z=v z’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)所以v x’=(v x-u)/(1-uv x/c^2) v x=(v x’+u)/(1+uv x’/c^2)v y’= v y sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v y=v y’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2) v z’=v z sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v z=v z’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)四、因为t’=γ(t-ux/c^2)所以t1’=γ(t1-ux1/c^2)t2’=γ(t2-ux2/c^2)所以t’=t2’-t1’=γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2] (x1=x2)所以t’=γt又因为x=γ(x’+ut’)所以 x1=γ(x1’+ut1’)X2=γ(x2’+ut2’)所以l0=x2-x1=γ[(x2’-x1’)+u(t2’-t1’)]所以l0=γl所以l=l0/γ所以t’=γt’, l=l0/γ其中:γ=1/sqr(1-u^2/c^2)五、p=m(u)u质量守恒 m(u)+m0=M(v)动量守恒 m(u)u=M(v)v所以 [m(u)+m0/m(u)]=u/v因为v’=-v=(v-u)/(1-uv/c^2)所以uv/c^2+u/v-2=0 两边乘以u/v,得(u/v)^2-2(u/v)+u^2/c^2=0解得u/v=1±sqr(1-u^2/c^2)因为u>v所以u/v=1+sqr(1-u^2/c^2)所以[m(u)+m0/m(u)]=1+sqr(1-u^2/c^2)所以m(u)=m0/sqr(1-u^2/c^2)=γm0六、质能公式F=d p/dtdE k=F d s=d p d s/dt=d(m u)d s/dt=u d(m u)=mudu+u^2dm因为m(u)=m0/sqr(1-u^2/c^2)所以dm=m0udu/[c^2(1-u^2/c^2)^(3/2)]=mudu/(c^2-u^2)所以dE k=muc^2du/(c^2-u^2)=c^2dm因为E k=∫(0,E k)dE k=∫(m0,m)c^2dm=mc^2-m0c^2所以E=E k+m0c^2=mc^2所以E=mc^2。
狭义相对论公式及证明
单位符号坐标：m (x, y, z)力：N F(f)时间：s t(T)质量:kg m(M)位移：m r 动量: kg*m/s p(P)速度：m/s v(u)能量:J E加速度：m/s^2 a 冲量：N*s Ixx：m l(L)动能：J Ek路程：m s(S)势能：J Ep角速度：rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：xx力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)xx：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)xx：物体加速度与合外力xx与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)xx：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
)(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
相对论公式大全
相对论公式大全一、狭义相对论基本公式。
1. 洛伦兹变换公式。
- 坐标变换。
- 在两个相对做匀速直线运动的惯性系S（x,y,z,t）和S'（x',y',z',t'）中，设S'系相对于S系沿x轴正方向以速度v运动，且当t = t'=0时两坐标系原点重合。
- x'=(x - vt)/(√(1-frac{v^2)){c^{2}}}- y' = y- z'=z- t'=(t-frac{v)/(c^2)x}{√(1 - (v^2))/(c^{2)}}- 其逆变换为：- x=(x'+vt')/(√(1-frac{v^2)){c^{2}}}- y = y'- z = z'- t=(t'+frac{v)/(c^2)x'}{√(1-(v^2))/(c^{2)}}- 速度变换。
- 在上述两个惯性系中，设物体在S系中的速度分量为u_x,u_y,u_z，在S'系中的速度分量为u_x',u_y',u_z'。
- u_x'=frac{u_x-v}{1-frac{u_xv}{c^2}}- u_y'=frac{u_y√(1-(v^2))/(c^{2)}}{1-frac{u_xv}{c^2}}- u_z'=frac{u_z√(1-(v^2))/(c^{2)}}{1-frac{u_xv}{c^2}}- 逆变换为：- u_x=frac{u_x'+v}{1 +frac{u_x'v}{c^2}}- u_y=frac{u_y'√(1-(v^2))/(c^{2)}}{1+frac{u_x'v}{c^2}}- u_z=frac{u_z'√(1-(v^2))/(c^{2)}}{1+frac{u_x'v}{c^2}}2. 时间延缓效应（钟慢效应）公式。
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狭义相对论狭义相对论基本原理：1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。
2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。
假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
Ⅰ洛伦兹变换现假设，x ’=k(x-vt)①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。
将①代入②：x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/c ct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2k=22/11cv -将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=22/1cv vt x --y ’=y z ’=z t ’=222/1/cv c vx t --或有x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，x ’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=22/11cv -Ⅱ同时的相对性S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1=t 2，且x 1≠x 2。
在S 中，Δt=t 1-t 2=0 在S ’中，t 1’=22211/1/cv c vx t -- t 2’=22222/1/cv c vx t --，Δt ’=t 1’-t 2’=22212/1/)(cv c v x x --，由于x 1≠x 2，则S ’中，Δt ’≠0。
即在S 系中不同位置同时发生的两个事件，在S ’系中看来不是同时发生的。
亦可说明时间和空间是相互联系的。
Ⅲ时间延缓效应（时钟变慢）如Ⅱ中，对于S 系同时发生的两事件，在S ’系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。
设S ’系中的x 0’处先后在t 1’和t 2’发生两事件，则Δt ’=t 2’-t 1’。
在S 系中，Δt=t 2-t 1=22202/1/''cv c vx t -+-22201/1/''cv c vx t -+=22/1t'cv -∆＞Δt ’说明在S ’系中，两事件的时间间隔小于在S 系看来的间隔，即在S 系看来，S ’系中的时钟变慢了。
（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S 中观察到的间隔要长一些，便认为是S ’系中的时钟变慢了。
）Ⅳ长度收缩效应（尺缩）S ’系中放置一沿x 轴方向的长杆，设两端点的坐标是x 1’和x 2’，则静止长度ΔL ’=ΔL 0=x 2’-x 1’，称为固有长度。
在S 系中要测量长杆的长度，必须同时测出x 1和x 2，即t 1=t 2。
由x 1’=2211/1cv vt x --和x 2’=2222/1cv vt x --得ΔL 0=ΔL ’=x 2’-x 1’=2212/1cv x x --=22/1cv L -∆则ΔL=ΔL 022/1c v -＜ΔL 0即在S 系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。
Ⅴ速度变换法则设一质点在两惯性系中的速度分量为 u x =dx/dt u y =dy/dt u z =dz/dt (S 系)u x ’=dx ’/dt u y ’=dy ’/dt u z ’=dz ’/dt (S ’系) 由洛伦兹变换得 dx ’=22/1cv vdt dx --dy ’=dy dz ’=dz dt ’=222/1/cv c vdx dt --前三式分别除以第四式得 u x ’=2/1cvu vu x x --u y ’=222/1/1cvu c v u x y --u z ’=222/1/1cvu c v u x z -- 相应地有， u x =2/1'c vu vu x x ++u y =222/1/1'c vu c v u x y +-u z =222/1/1'c vu c v u x z +-狭义相对论动力学 Ⅵ质速关系设S 系中的x 0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A 、B 两部分，且分裂后m A以速度v 沿x 轴正方向移动，m B 以速度-v 沿x 轴负方向移动。
则在S ’系看来m A 静止，即v A ’=0。
而v B ’=2/)(1c v v v v ----=22/12c v v+-，则v=-c^2/v B ’[1-22/'1c v B -]③。
同时质心仍在x 0处未移动，有v 0’= -v 。
由于动量守恒，（m A +m B ）=m A v A ’+m B v B ’，而v A ’=0，则-v=m B v B ’/（m A +m B ）m B /m A =-v/(v B ’+v)=v B ’/(v B ’+v)-1 将③代入上式m B /m A =1/'1''222222--+-cv cc v v B B B=222222222/'1'/'1cv cc v c v c c B B B -+---VBA·mV V S S ’=22/'11cv B -得m B =22/'1cv m B A -，在S 系中二者以相同的速度沿相反方向运动，而在S ’系中，m A静止，可看做静质量（m 0）。
m B 以速率v B ’运动，可视为运动质量，称相对论质量。
则运动物体的质量与其静质量的一般关系即m=220/1cv m -Ⅶ相对论动力学基本方程 相对论动量p=mv=220/1c v v m - （p 、v 均为矢量）物体受力F=dp/dt=d 220/1cv v m -/dt (F 、p 、v 均为矢量)当v<<c 时，即为牛顿第二定律，pmv=F Δt Ⅷ质能关系由Ⅶ知，F=dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt 。
另有dx=vdt经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中， E k =⎰Fdx =⎰+dx m dtdvv dt dm )(=⎰+)(2dm v mvdv ④ 对质速方程m=220/1cv m -求微分有dm=dv c v m )'/1(220-=dv c v c v m )'/1()'/11(22220--=dv c v c v m 32220)/1(-将上式与220/1cv m -代入④式，E k =⎰-+-dv c v c v m cv v m ))/1(/1(32223022=⎰-+--dv c v c v m c v c c v vc m ))/1()/1()/1((32223032222220=⎰-dv c v cvm c 322202)/1( （dm 代入此式）=⎰dm c 2=mc^2+C其中C 为积分常量，知v=0时，m=m 0,E k =0，代入求得C= -m 0c^2。
则 E k =mc^2-m 0c^2 =m 0c^2(1/1122--cv )⑤当v<<c 时对22/11cv -作泰勒展开，得22/11cv -=1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+……取前两项有E k =m 0c^2（1+v^2/2c^2-1）=m 0v^2/2，即经典力学动能表达式。
而⑤式可改写为mc^2=E k +m 0c^2，m 0c^2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mc^2为物体的总能量。
将总能量用E 表示，写作E=mc^2=2220/1cv c m -即相对论质能关系。
泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f(x)=f(0)+f ’(0)x+f ’’(0)x^2/2!+……+f n(0)x^n/n!。
对于f(v)=22/11cv -f ’(v)=3222)/1(21*2c v c v ---=3222)/1(c v c v-f ’’(v)=25222*)/1(23*2c v c v c v ---+3222)/1(1c v c - =52242)/1(3c v c v -+3222)/1(1c v c -f 3(v)=427222*)/1(25*6cv c v c v ---+45222*)/1(23c vc v -+252221*)/1(23*2cc v c v ---=72263)/1(15c v c v -+5224)/1(9c v c v -f 4(v)=639222*)/1(2105*2cv c v c v ---+627223*)/1(215c v c v -+47222*)/1(215*2c v c v c v ---+5224)/1(6c v c -+47222*)/1(215*2cvc v c v ---+5224)/1(3c v c -=92284)/1(105c v c v -+72262)/1(90c v c v -+5224)/1(9c v c -此处，f(v)=f(0)+f ’(0)v+f ’’(0)v^2/2!+f 3(v)v^3/3!+f 4(v)v^4/4!+……=1+0+v^2/2c^2+0+3v^4/8c^4+…… =1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+…… Ⅸ能量-动量关系将p=mv=220/1cv vm -中的v^2解出，得v^2=220222c m p c p +，代入质能方程，得 E=)/(12202220c m p p c m +-=220222020c m p c m c m +=2202c m p c +则E^2=p^2c^2+m 0^2c^4即相对论能量-动量关系。
同时可知，对于静质量为零的粒子，如光子，有E=pc ，则p=mc^2/c=mc ，与p=mv 比较可得，静止质量为零的粒子总以光速c 运动。
结合普朗克的理论，由E=mc^2=h ν可得到光子的相对论质量m=h ν/c^2。
h 为普朗克常量，ν为光的频率。