信号与系统 §4.4非周期信号的频谱变换

2
记为： f (t ) F ( j )
频谱密度是一复函数，可以写为如下的形式：
F ( j ) F ( j ) e j R jX
F ( j ) f ( t )e jt dt f (t ) 1 F ( j )e jt d 2 傅立叶正变换 F(jw)为f(t)的频谱密度函 数(频谱函数)
e
t
t 0 t 0
t 0 t 0 t 0
Sgn(t)
1
Sgn(t )
lim
0
f1 (t )
t 0 -1
F1( j)
0 e t e jt dt
e t
0
e
jt dt
2 j 2 2
F(
j)
lim
0
F1 (
j)
2
j
2
j
Sgn(t) 2
j
（5）阶跃函数的频谱
阶跃函数可以看作是
直流信号与符号函数之和:
F ( j ) F f (t ) f (t )e jtdt
f (t ) F-1 F ( j ) 1 F ( j )e jtd
2
傅立叶反变换 f(t)为F(jw)的原函数
从物理意义来讨论傅立叶变换
• F(jω)是一个密度函数的概念 • F(jω)是一个连续谱 • F(jω)包含了从零到无限高频的所有频率分量
（ f1 t)
F1( j) ()
F ( j)
f (t) 1 2f（1 t)
2 F1( j) F( j) 2 ()
1 2 ()
(2 )
0
(t)
t
F ( j)
1
f (t)
1
t
2 ()
傅立叶变换的对偶性
（4）符号函数的频谱
1
Sgn(t )
0
符号函数定义为：
1
令：f1
t
e t
f1 t e t , 0
t 0
F1
j
0 e t e jwt dt
e t e jwt dt
0
2 2 2
f(t)
e |t|
Hale Waihona Puke Baidu
2 2
2
F(jw)
2
1
0
t
0
例4：求如图所示信号的 Fourier 变换。
f 2 t
e t
0
t
e t
X2(w)
●1
0
1●
信号可以写为 :
f2
t
e t
e
t
频谱函数为:
t 0 t 0
0
F2 j et e jt dt e t e jt dt
0
1
1
2
j
j
j2 2
R2 (w) 0
2
X 2 (w ) 2 2
二、奇异函数的 Fourier变换
（1）冲激函数的频谱
(t)
F ( j )
(t) 1
（1）
0
t
例1：求如图所示门函数的频谱。
g (t)
解：门函数可以表示为：
1
g
t
1
0
t
2
t
2
F ( j ) f (t )e jtdt
2
1
e
jt
dt
2
0
2
F j
j
j
e 2 e 2
2sin( )
2
2
j
2
4
0
2
t
4
sin( )
2
Sa
2
2
g (t )
Sa
2
e t t
(t ) 1 1 Sgn(t )
22
1 2
( )
1
Sgn(t )
1
2
j
(t) F ( j) () 1 j
ε (t)
1
1/2
0
t
-1/2
R( ) ( )
X
(
)
1
(
)
3 22,
,
0 0
常用傅立叶变换
(t) 1
1(直流) 2 ()
e t (t )
1
j
e |t|
T 2
Fn
1 T
T
2 f (t ) e jnt dt
T 2
1
离散值变连续量dw
T 2
T
2
lim F
j
def
FnT
T
f (t )e jwt dt
def
f (t)
1
F(
j
)e
jwt dw
2
一对 Fourier 变换对
F ( j ) f (t )e jtdt
f (t ) 1 F ( j )e jtd
• 冲激函数导数的频谱可以表示为:
t
e jt dt d e jt
j
dt
t 0
t j
推论：
n j n
（3）单位直流信号的频谱
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
f(t) 1
首先看（）的傅立叶反变换f1(t)：
t
f1(t)
1
2
()e jtd 1
2
0
即：1
2
• 各频率分量的频率不成谐波关系
傅立叶变换存在的充分条件
1、f(t) 在有限区间上具有有限个极值和有限个第一类
间断点； 2、绝对可积：
| f (t) | dt
允许奇异函数也能满足上述条件 ——阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换。
典型非周期信号的频谱
• 单边指数信号 • 双边指数信号 • 矩形脉冲信号 • 符号函数 • 单位冲激信号 • 冲激偶信号 • 单位阶跃信号
2 2 2
g
(t
)
Sa(
2
)
Sgn(t)
2
j
(t)
( )
1
j
t j
推论：
n (t) j n
§4.4 非周期信号的频谱 -----Fourier 变换
• Fourier 变换 • 奇异函数的 Fourier 变换
一、Fourier 变换
（Fourier transform——FT）
周期信号：fT (t)，当T fT (t)变为非周期信号。
1 d T 2 2
T
无穷小 d
0时，是离散变量
例2：求：单边指数函数的频谱。
解：F j f (t )e jt dt
0
t
e t e jt dt
0
1
j
0
et (t )
1
j
| F ( j) |
1
2 2
0
() tg 1
( )
F j 1
0
2
0
2
例3：求双边指数函数的频谱。
e |t|
1
解：双边指数函数可以表示为：
无穷小时，n
引入频谱密度的概念：
F j lim T
Fn 1
lim FnT T
T
-T/2
频谱演变的定性观察
1
2
T1
F (n1 )
T/2
F (n1 ) 1
F (n1 )
-T/2
T/2
1
2
2
从周期信号 FS 推导非周期的 FT
f
(t )
n
Fn
n
T
e
jnt
1 T
T
FnT
2 f (t )e jnt dt
1
0
(t) F ( j) (t)e jt dt
f (t) (t)dt f (0)
F ( j) e j0 1
冲激函数δ(t) 的频谱是常数1。也就是说，δ(t) 中
包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都
相等。 显然， 信号δ(t) 实际上是无法实现的。
（2）冲激函数导数的频谱