典型例题(第一章概率论的基本概念) 古典概型
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
高中 古典概型 知识点+例题+练习
教学过程【训练2】(2014·滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中
了A，B，C，D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同
一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设
每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
(1)甲、乙选择同一所院校的概率；
(2)院校A，B至少有一所被选择的概率．
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；
第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树形图法．
教
学
效
果
分
析。
典型例题(第一章概率论的基本概念) 古典概型
典型例题 Page 5 of 5
这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为 0.9，这里， 概率 0.75 是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率，而在得到信息（即生产出的第一件 产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即 0.9）叫做后验概率，有了后验概率我们就 能对机器的有进一步的了解。
解：
试验为从 1，2，……，N 个数中有放回地依次取 k 个数字，每 k 个数字的一个排列构
成一个基本事件，因此基本事件总数为 Nk。
（1）因
k
个数字完全不同，实际为不可数的排列，基本事件个数为：
C
k n
⋅
k!
∴ P( A) = Cnk ⋅ k! Nk
(2) 同理 P(B) = (N − r)k Nk
例 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行 的．问是否可以推断接待时间是有规定的． 解:
假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能 的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003，即千万分之三。
按(1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计
算样本点总数：
C
a+b N
设 A：a+b 球中恰有 a 个白 b 个红，把 A 发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a
个球，再在红球中取
b
个球按乘法原则所含样点是
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析古典概型是概率论中的一种基本概念，用于描述事件发生的可能性。
它适用于试验结果等可能且独立的情况。
下面我将给出一个古典概型的例题，并对其进行解析。
例题，某班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。
从中随机选择3名学生，求选出的学生中至少有2名男生的概率。
解析：首先，我们需要计算总的样本空间，即从30名学生中选择3名学生的可能性。
根据组合的计算公式，可以得到：C(30, 3) = 30! / (3! (30-3)!) = 30 29 28 / (3 2 1) = 4060。
其中，C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素的组合数。
接下来，我们需要计算选出的学生中至少有2名男生的情况。
根据古典概型的原理，我们可以将这个事件分解为两个互斥事件，选出3名学生中有2名男生和选出3名学生中有3名男生。
选出3名学生中有2名男生的情况：从10名男生中选择2名男生，再从20名女生中选择1名女生。
根据组合的计算公式，可以得到：C(10, 2) C(20, 1) = 10! / (2! (10-2)!) 20! / (1! (20-1)!) = 45 20 = 900。
选出3名学生中有3名男生的情况：从10名男生中选择3名男生。
根据组合的计算公式，可以得到：C(10, 3) = 10! / (3! (10-3)!) = 120。
因此，选出的学生中至少有2名男生的概率为：(900 + 120) / 4060 ≈ 0.249。
所以，选出的学生中至少有2名男生的概率约为0.249，或者可以表示为24.9%。
以上是对古典概型例题的解析，通过计算总的样本空间和符合条件的事件数，我们可以得到所求概率。
希望这个例题的解析能够帮助你理解古典概型的应用。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
（原创实用版）
目录
1.引言：介绍古典概型例题及解析的重要性
2.古典概型例题：列举几个典型的古典概型例题
3.解析方法：介绍古典概型例题的解析方法
4.结论：总结古典概型例题及解析的作用
正文
一、引言
古典概型是概率论中的一个重要概念，它能帮助我们更好地理解随机事件的规律。
在古典概型的学习过程中，例题及解析起着至关重要的作用。
通过学习和分析例题，我们可以更深入地理解概念，熟练掌握解题方法。
本文将介绍几个古典概型的典型例题，以及如何解析这些例题。
二、古典概型例题
1.投掷一个均匀的六面体骰子，求点数为偶数的概率。
2.从包含 n 个红球，n 个蓝球，n 个黄球的袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
3.某商店出售的商品打九折，求顾客购买一件商品的概率。
三、解析方法
1.对于例题 1，我们可以直接观察骰子的点数，发现共有 3 个偶数，总点数为 6，所以点数为偶数的概率为 3/6=1/2。
2.对于例题 2，由于袋子中有 n 个红球，所以抽到红球的概率为
n/(n+n+n)=n/3n=1/3。
3.对于例题 3，由于商品打九折，所以顾客购买一件商品的概率为 1。
四、结论
通过以上例题及解析，我们可以看到古典概型在实际问题中的应用。
学习古典概型例题及解析，有助于我们更好地理解概率论的基本概念，提高解题能力。
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
古典概型练习题
古典概型练习题古典概型练习题古典概型是概率论中最基础的概念之一，它描述了一个试验中可能的结果以及每个结果发生的概率。
在学习概率论的过程中，我们经常会遇到一些古典概型的练习题，下面就让我们来看看一些常见的古典概型练习题。
第一题：抛硬币假设有一枚公正的硬币，我们进行一次抛掷。
试问，硬币正面朝上的概率是多少？解析：由于硬币是公正的，正反面朝上的概率是相等的，即1/2。
第二题：掷骰子假设有一颗公正的六面骰子，我们进行一次掷骰子。
试问，骰子上出现奇数点数的概率是多少？解析：骰子的点数为1、2、3、4、5、6，其中奇数点数为1、3、5，共3个。
所以，骰子上出现奇数点数的概率为3/6，即1/2。
第三题：抽扑克牌假设有一副扑克牌，共有52张牌，其中有4种花色（红桃、黑桃、方块、梅花），每种花色有13张牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。
我们从中随机抽取一张牌，试问，抽到红桃的概率是多少？解析：红桃的数量为13张，总牌数为52张，所以抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
第四题：摸球假设有一个装有10个红球和15个蓝球的袋子，我们从中不放回地摸取两个球。
试问，摸到两个红球的概率是多少？解析：首先，我们计算摸到第一个红球的概率。
第一个球是红球的概率为10/25。
然后，我们计算摸到第二个红球的概率。
由于第一个球已经摸取出来，剩下的球中红球的数量为9个，总球数为24个，所以摸到第二个红球的概率为9/24。
最后，我们将两个事件的概率相乘，得到摸到两个红球的概率为(10/25) * (9/24) = 9/60，即3/20。
通过以上几个练习题，我们可以看到古典概型的计算方法是相对简单的。
我们只需要确定每个结果发生的概率，然后根据题目要求计算即可。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更为复杂的情况，需要运用一些其他的概率计算方法。
总结：古典概型是概率论中的基础概念，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握这一概念。
1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
古典概型例题
例7 在1--2000的整数中随机地取一个数,问取到
的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少?
解：设A：“取到的数能被6整除”, B：“取到的数能被8整除”，
则所求概率为： P( A B).
P(AB) P(A B) 1 P(A B)
1 {P( A) P(B) P( AB)}.
解：E 放球 n： N n
k1 n!
n! P( A1) N n
k2
C
n N
n!
PNn
P( A2 )
PNn Nn
A3 A2
P( A3 )
1
P( A3 )
1
P( A2 )
1
PNn Nn
1.3 古典概型
例5 有 r 个人，设每个人的生日是 365 天的任
何一天是等可能的。
试求：事件 “至少有两人同天生日” 的概率。
解： 令 A = { 至少有两人同天生日 }
则 A ={ r 个人的生日都不同}
由例4可得，
P( A)
Pr 365
(365)r
则有:
P(
A)
1
P(
A)
1
Pr 365
(365)r
1.3 古典概型
例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知
这12次接待都是在周二和周四进行的。 问：是否可以推断接待时间是有规定的 ？ 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者
其它条件不变则有:
P( A)
C
2 2
C
2 6
1 15
0.067
2)“不放回地抽取两次，每次取一张” 相当于 “一次抽取两张”。故在许多问题中如果不是有放 回地抽样,就统称为“任意取出”多少个。
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
摘要：
1.概论古典概型
2.古典概型的性质与运算
3.例题解析
4.总结
正文：
一、概论古典概型
古典概型是概率论中的一个基本概念，主要用于描述随机试验的结果。
古典概型假设每个试验的结果都是等可能的，即每个结果的概率相等。
古典概型可以应用于各种实际问题，例如掷骰子、抽取扑克牌等。
二、古典概型的性质与运算
1.性质
古典概型的性质主要体现在以下几点：
（1）每个结果的概率相等。
（2）所有可能结果的概率和为1。
（3）任意两个结果的概率和可以表示为它们交集的概率。
2.运算
古典概型的运算主要包括加法和乘法。
（1）加法：对于两个古典概型A 和B，若它们是互斥的，即A 和B 没有相同的结果，则A 和B 的并集的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（2）乘法：对于两个古典概型A 和B，若它们是独立的，即A 的结果不影响B 的结果，则A 和B 的交集的概率为P(A∩B)=P(A)P(B)。
三、例题解析
例题：一个袋子里有3 个红球和2 个绿球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
解析：这是一个典型的古典概型问题。
根据古典概型的性质，抽到红球的概率为红球的个数除以总球数，即P(红球)=3/(3+2)=3/5。
四、总结
古典概型是概率论中的一个基本概念，它具有一些基本的性质和运算规律。
通过理解古典概型的概念和运算，我们可以解决许多实际问题。
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
古典概型(原卷版)
10.1.3 古典概型1 概率对随机大事发生可能性大小的度量〔数值〕称为大事的概率，大事A的概率用P(A)表示.【例】掷一个硬币，大事A为硬币消失的是正面，那么P(A)=12.2 古典概型的特点①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.满意以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型.【例1】“在1,2,3,4,5中取2个数，其差为1概率〞属于古典概型，由于试验的结果有限，每种结果发生的可能性相等；【例2】“在区间[1,5]中取2个数，其差为1概率〞不属于古典概型，由于试验的结果有无限种可能；【例3】“贵哥投篮中与否〞不属于古典概型，由于中与不中的可能性相等.3 古典概型大事A的概率(1) 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，大事A包含其中的k个样本点，那么定义大事A的概率P(A)=n(A) n(Ω)其中n(A)和n(Ω)分别表示大事A和样本空间Ω包含的样本点个数.【例】掷一个骰子，大事A=“点数为奇数〞，那么n(Ω)=6，n(A)=3，P(A)=n(A)n(Ω)=36=12.(2) 求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观看的结果，用适当的符号〔字母、数字、数组等〕表示试验的可能结果〔借助图表可以关心我们不重不漏地列出全部的可能结果〕；②依据实际问题情境推断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及大事A包含的样本点个数，求出大事A的概率.【题型1】古典概型的概念【典题1】以下概率模型中，古典概型的个数为()①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，…，9，10中任取一个整数，求取到1的概率；③向正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④抛掷一枚质地不匀称的骰子，求向上点数为3的概率．A．1B．2C．3D．4【稳固练习】1.以下是古典概型的个数有()①1≤x≤9且x∈Z，从x中任取一个数，那么满意2<x≤5的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；③近一周中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．A．1B．2C．3D．42.以下试验中，为古典概型的是()A．种下一粒种子，他是否发芽B．从规格质量为59千克的产品中任意抽取一袋，其是否合格C．抛掷一枚硬币，观看其消失正面还是反面D．某人射击中靶或不中靶【题型2】求古典概型概率【典题1】如图是一个古典概型的样本空间Ω和大事A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，以下运算结果，正确的有()A．n(AB)=4B．P(AB)=16C．P(A⋃B)=23D．P(A B̅)=12【典题2】假设连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，那么点P落在区域|x−2|+|y−2|⩽2内的概率是.【典题3】将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，大事A：“两数之和为8〞，大事B：“两数之和是3的倍数〞，大事C：“两个数均为偶数〞．(1)写出该试验的根本领件空间Ω，并求大事A发生的概率；(2)求大事B发生的概率；(3)大事A与大事C至少有一个发生的概率．【稳固练习】1.从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参与数学竞赛，其中甲被选中的概率是()A ．13B ．12C ．23D ．352.先后抛掷两枚骰子，设消失的点数之和是8，7，6的概率依次为P 1，P 2，P 3，那么( )A ．P 1=P 2<P 3B ．P 3<P 2<P 1C ．P 3=P 1<P 2D ．P 3=P 1>P 23.从集合A ={−1，12，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ={12，32，2}中随机选取一个数记为a ，那么a k >1的概率为( ) A ．13B ．23C ．79D ．594.抛掷两颗质地匀称的正方体骰子，登记骰子朝上面的点数．设A =“两个点数之和等于8〞，B =“至少有一颗骰子的点数为5〞，那么大事A ∪B 的概率是( ) A ．118B ．29C ．718D ．495.数学与文学有很多奇异的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫〞，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，那么三位数的回文数中为偶数的概率是( ) A ．19B ．29C ．13D ．496.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A 1,A 2，4个黑球记为B 1,B 2,B 3，B 4，从中一次摸出2个球．(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数； (2)求摸出的2个球颜色不同的概率．7.调查某校高三班级500名同学的肥胖状况，得到下表：从这批同学中随机抽取1名同学，抽到偏瘦女生的概率为0.1．(1)求x的值；(2)假设用分层抽样的方法，从这批同学中随机抽取50名，问应在偏胖同学中抽多少名？(3)y≥46，z≥46，求偏胖同学中男生人数大于女生人数的概率．8.从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(x，y)，x为第一次取到的数字，y为其次次取到的数字．设大事A=“第一次取出的数字是1〞，B=“其次次取出的数字是2〞．(1)写出此试验的样本空间及P(A)，P(B)的值；(2)推断A与B是否为互斥大事，并求P(A∪B)；(3)写出一个大事C，使A⊆C成立．【A组根底题】1.以下古典概型的说法中正确的个数是()①试验中全部可能消失的根本领件只有有限个；②每个大事消失的可能性相等；③根本领件的总数为n，随机大事A包含k个根本领件，那么P(A)=kn；④每个根本领件消失的可能性相等．A．1B．2C．3D．42.以下试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[−1，5]上任取一个实数x，使x2−3x+2>0C．抛一枚质地匀称的硬币，观看其消失正面或反面D．某人射击中靶或不中靶3.掷一枚匀称的硬币两次，大事M={一次正面对上，一次反面对上}；大事N={至少一次正面对上}．以下结果正确的选项是()A．P(M)=13,P(N)=12B．P(M)=12,P(N)=34C．P(M)=13,P(N)=34D．P(M)=12,P(N)=124. 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( )A.0.125B.0.25C.0.5D.0.8755.(多项选择)甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为Ω，大事A为“抽取的两个小球标号之和大于4〞，大事B为“抽取的两个小球标号之积小于5〞，那么以下结论正确的选项是() A．A与B是互斥大事B．A与B不是对立大事C．Ω=A∪B D．P(A)+P(B)=986.将一枚质地匀称的骰子先后抛掷两次，假设第一次朝上一面的点数为a，其次次朝上一面的点数为b，那么函数y=ax2−2bx+1在(−∞，2]上为减函数的概率是．7.经过某十字路口的汽车，它可能连续直行，也可能向左转或向右转，假如这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为．8.有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用(x，y)表示试验的样本点，其中x表示第一次取出的根本结果，y表示其次次取出的根本结果．(1)写出这个试验的样本空间Ω；(2)用A表示大事“第一次取出的球的数字是1〞；用B表示大事“两次取出的球的数字之和是4〞，求证：P(AB)=P(A)P(B)．9.将一枚骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，求：(1)两数之和为6的概率；(2)两数之和是3的倍数的概率；(3)两数之积是6的倍数的概率；(4)以第一次向上的点数为横坐标x、其次次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2+y2=25的内部的概率．10.将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，大事A：“两数之和为8〞，大事B：“两数之和是3的倍数〞，大事C：“两个数均为偶数〞．(1)写出该试验的根本领件空间Ω，并求大事A发生的概率；(2)求大事B发生的概率；(3)大事A与大事C至少有一个发生的概率．【B组提高题】1.一个正方体，它的外表涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为()A．16117B．32117C．839D．1639。
概率论与数理统计 第一章1.3古典概型与几何概型
基本事件总数为 24. 记 (1), (2), (3), (4) 的事件分
别为 A, B,C, D.
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成 1,2,3,4 的
顺序;
(1) A 中有两种排法, 故有
P(
A)
2 24
1 12
.
(2) 第 1 号球排在最右边或最左边;
(2) B 中有 2 (3!) 12 种排法, 故有
完
计算古典概率的方法
基本计数原理
加法原理
乘法原理
排列组合方法 排列公式
应用举例
组合公式
二项式
完
例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3
个黑球, 7 个白球, 求: (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的
概率 以及两个球全是黑球的概率.
顺序;
(2) 第 1 号球排在最右边或最左边; (3) 第 1 号球与第 2 号球相邻;
解 将 4 个球随意地排成一行有4!=24 种排法, 即 基本事件总数为 24. 记 (1), (2), (3), (4) 的事件分 别为 A, B,C, D.
解 将 4 个球随意地排成一行有4!=24 种排法, 即
三班 6 名的分法有:
C145C151C
6 6
15! 4!5!6!
(种).
解 15 名优秀生分别分配给一班 4 名, 二班 5 名,
三班 6 名的分法有:
C145C151C
பைடு நூலகம்
6 6
15! 4!5!6!
(种).
(1) 将 3 名优秀生分配给三个班级各一名, 共有 3!
种分法, 再将剩余的 12 名新生分配给一班 3 名,
古典概型的经典例题
试验结果具有有限性和等可能性
4种
3向上的点数之和是5的概率是多少
P（A）＝ 4 ＝1 36 9
解：1掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号
1,2以便区分,它总共出现的情况如下表所示：
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（1，1） （1，2） （1，3） （（1，1，4）4）（1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （（22，，33）） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （（4，4，1）1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
12 13
3 13
2 13
1
2、小明、小刚、小亮三人正在做游戏,现在要从他们三
人中选出一人去帮助王奶奶干活,则小明被选中的概率
为_____1_,小明没被选中的概率为_____.2 3、抛掷3一1枚均匀的骰子,它落地时,朝上的3 点数为16的概
率为______.朝上的点数为奇数的概率为_______ .朝上
新抛掷,直到结束.
对于方案3：同学们能帮忙制定一个公平的规则吗？
例3 、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品 中,每次任取一件,取两次；
问：每次取出后不放回,取出的两件产品中 恰有一件次品的概率为多少
Ω={a,b,b,a,a,c,c,a,b,c,c,b}
变式：
P（A）＝4＝2 63
古典概型(答案)
古典概型【知识要点】一、简单的古典概型【例题1】（1）某同学从4门选修课甲、乙、丙、丁中任选2门，其中选修课甲被选中的概率为（ D ）A 、61B 、41C 、31D 、21（2）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。
现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ A ） A 、103 B 、51 C 、101D 、121【练习1—1】一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀的搅混在一起，则任意取出一个小正方体其三面涂有油漆的概率是（ D ） A 、121 B 、101 C 、253D 、1251【练习1—2】从甲、乙等6位同学中任选3人参加座谈会，其中甲、乙都没有被选中的概率为51。
【练习1—3】小军、小燕和小明是同班同学，假设他们三人早上到校先后的可能性是相同的，则事件“小燕比小明先到学校”的概率是 21。
二、较复杂的古典概型【例题2】（1）袋中共有15个除了颜色完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋子中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为（ B ） A 、215 B 、2110 C 、2111D 、1 （2）某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4*100m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为（ C ） A 、134 B 、152 C 、214D 、51【练习2—1】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ C ） A 、103 B 、51 C 、101 D 、201【练习2—2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（ C ）A 、81B 、61C 、41D 、21三、古典概型与统计的交汇问题【例题3】（1）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数得中位数是6的概率为（ D ） A 、161B 、121C 、81D 、61（2）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动。
古典概型
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
古典概型经典习题
古典概型经典习题在概率论中，古典概型是指一个随机试验中，所有可能的结果都是等可能发生的情况。
这种概型的特点是简单而常见，因此在概率论的教学中经常被用来作为学习的起点。
本文将介绍一些经典的古典概型习题，帮助读者加深对古典概型的理解和应用。
1. 抛硬币问题考虑一枚公平的硬币，正反两面的概率分别为0.5。
假设我们连续抛掷这枚硬币三次，求抛掷结果中恰好有两次正面朝上的概率。
解答：我们可以列举所有可能的结果：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}其中，恰好有两次正面朝上的结果为{HHT, HTH, THH}，共有3种情况。
因此，所求的概率为3/8。
2. 从一副扑克牌中抽取牌现有一副由52张牌组成的扑克牌，其中包含4种花色（红桃、方块、梅花、黑桃），每种花色包含13张牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。
假设我们从中随机抽取一张牌，求抽到一张黑桃的概率。
解答：总共有52张牌，其中有13张黑桃。
因此，抽到一张黑桃的概率为13/52，即1/4。
3. 骰子问题考虑一个标准的六面骰子，每个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6。
假设我们连续掷骰子两次，求两次掷骰子的和为7的概率。
解答：我们可以列举所有可能的结果：{(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}其中，和为7的结果为{(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}，共有6种情况。
因此，所求的概率为6/36，即1/6。
4. 抽球问题。
古典概率典型例题讲解
古典概率典型例题讲解
古典概率是概率论中最基础的概念之一，用于描述在一系列等可能的事件中，某一事件发生的可能性大小。
在古典概率中，我们假设每个事件都有相等的概率发生，以便进行计算和推断。
下面将通过几个典型例题来详细讲解古典概率的应用。
例题1：一个标准的骰子有六个面，上面的数字分别是1，2，3，4，5和6。
如果我们随机投掷这个骰子一次，求得到的数字是奇数的概率是多少？
解答：根据题目中的条件，我们可以知道骰子上数字是奇数的有3个，分别是1，3和5。
而一共有6个可能的结果，即数字1到6。
因此，得到的数字是奇数的概率为3/6，即1/2。
例题2：在一副标准的扑克牌中，有52张牌，其中红心和方块是红色的，梅花和黑桃是黑色的。
如果我们随机抽取一张牌，求得到红色牌的概率是多少？
解答：根据题目中的条件，我们可以知道红色牌有26张，而一共有52张牌。
因此，得到红色牌的概率为26/52，即1/2。
例题3：一家超市销售三种品牌的苹果，品牌A的苹果占总数的40%，
品牌B的苹果占总数的30%，品牌C的苹果占总数的30%。
如果我们随机选择一颗苹果，求得到品牌B的概率是多少？
解答：根据题目中的条件，我们可以知道品牌B的苹果占总数的30%。
因此，得到品牌B的概率为30%。
通过以上例题的讲解，我们可以看到古典概率的应用是非常简单直观的。
在计算古典概率时，关键是要清楚地了解事件的总数和某一事件发生的次数。
只有在事件等可能性的假设下，古典概率才能得到准确的应用。
这种基本的概率计算方法是概率论的基础，也是后续更复杂概率模型的基础。
高中数学古典概型-典型例题
古典概型-典型例题规律发现【例1】口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球，求第81个人摸到白球的概率.分析：只考虑第81个人摸球的情况.此法不难理解，因为每个人摸到白球的概率都相等，有100个球，而白球只有1个.解：只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为1001. 【例2】100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率.分析：这是日常生活中常见的问题，中奖与否与先抓后抓没有关系，每个人中奖与不中奖的概率都相同.解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，因此，最后一个人中奖的概率为1001. 【例3】从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回.分析：问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验.不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件解答比较直观易懂.（1）解法一：每次取出后不放回的所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件.其中有一件次品的事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4个基本事件.因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为3264 . 解法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3个基本事件；而恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），共2个.因此结果与解法一相同.（2）解：这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果有（a ，a ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ），共9个基本事件，其中恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4若用前3种解法相当烦琐，而用解法4的方法问题则迎刃而解，且比较直观.这是古典概型，每个人中奖的概率相同，与第几个开始抓没有关系.建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答.每次摸出一球是有顺序的，（a ，b ）与（b ，a ）不同.可不考虑顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）可认为相同.结果（a ，a ）在第（1）题不可能出现，由于是放回试验，在第（2）题中就有了可能.个基本事件.因此每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为94. 互斥事件规律发现【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A =“抽到的一等品”，事件B =“抽到的二等品”，事件C ＝“抽到的三等品”，且已知P （A ）=0.7，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05.求下列事件的概率. （1）事件D =“抽到的是一等品或二等品”； （2）事件E =“抽到的是二等品或三等品”. 分析：事件A 、B 、C 彼此互斥，且D =A +C ，E =B +C .解：（1）∵D =A +C ，且事件A 和C 互斥，P （A ）=0.7，P （C ）=0.05， ∴P （D ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ）=0.7+0.05=0.75. （2）∵事件E =B +C ，且事件B 和C 互斥，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05，∴P （E ）=P （B +C ）=P （B ）+P （C ）=0.1+0.05=0.15. 【例2】某学校成立数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示.随机选取1个成员：（1）他至少参加2个小组的概率为多少? （2）他只参加1个小组的概率是多少?分析：至少参加2个小组是指参加2个小组或3个小组，其反面是只参加1个小组.解：设事件A =“只参加英语小组”，B =“只参加音乐小组”，C =“只参加数学小组”，D =“只参加英语、音乐小组”，E =“只参加英语、数学小组”，F =“只参加音乐、数学小组”，G =“参加了英语、音乐、数学3个小组”.（1）设事件M =“他至少参加2个小组”，则M =D +E +F +G . ∵3个小组共有60人，且P （D ）=607，P （E ）=6011，P （F ）=6010，P （G ）=608， ∴P （M ）=P （D +E +F +G ）=P （D ）+P （E ）+P （F ）+P （G ）=6.0603660860106011607==+++. （2）设事件N =“他参加不超过2个小组”，则N =“他参加3个小组”=G .∴P （N ）=1－P （N ）=1－P （G ）=1－1513608=. 【例3】小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2、4、6、8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少?分析：密码只有1个，由2、4、6、8能组成多少个不同的四位利用互斥事件有一个发生的概率计算公式，首先确定是否是互斥事件.英语 音乐数学6881010117首先确定某个事件由哪些互斥事件组成，或确定它的对立事件，然后求出各事件的概率.把整个事件彻底分解，所求事件中有几个互斥事件则一目了然.也可用M 的对立事件M 求，即P （M ）=1－P （M ）.用对立事件求比较简单.“打开锁”与“打不开锁”是对立事件，因此可用“打开锁”的概率表示“打不开锁”的概率.也可直接求P （A ）=2423.数呢?用树状图分析知有4×3×2=24（个）.解：设事件A =“由2、4、6、8组成的四位数不是开锁密码”，而由2、4、6、8组成的所有四位数有4×3×2=24个，且P （A ）=241. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－241=2423，即小明随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率为2423.【例4】班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等.指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1、2、3、4、5，其中1、2、3号是男生，4、5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：①独唱和朗诵是由同一个人表演的概率；②取出的2人不全是男生的概率.分析：为了得到从5张卡片中连续抽取2张的所有结果，利用树状图列出，所有情况直观显现，有助于下面问题的解决.在第（2）题中也可用树状图表示，由于它是放回抽取，也可用有序数组的方式一一列举出.解：（1）首先利用树状图列举所有可能结果如下：1112222333344455555,,,,. 由图可看出所有可能结果数为20.每个结果出现的可能性相同，属古典概型.方法一：设A 1=“2人中恰有1人是女生”，A 2=“2人都是女生”，A =“2人不全是男生”，则A =A 1+A 2.由树状图易知P （A 1）=2012，P （A 2）=202，且A 1与A 2是互斥事件， ∴P （A ）=P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=2012+202=107=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.方法二：设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=206=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2个不全是男生的概率为0.7.方法三：不考虑抽取的顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）相同，则要认真阅读题目内容，明确题目的条件和要求，这是解题的关键第一步. 有多少种不同抽法，可用树状图表示.利用树状图进行列举是常用的方法.也可用有序数组列举：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20个.通过A 的对立事件A 求P （A ）.最后考虑的是结果，可不考虑顺序.所有可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种.易知这也属于古典概型.设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=103=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）利用有序数组的方式列出所有结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1）， （4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种.①设事件A =“独唱和朗诵由同一个人表演”，则P （A ）=255=0.2，即独唱和朗诵由同一个人表演的概率为0.2.②设事件A =“有放回抽取，取出的两人不全是男生”，则A =“有放回抽取，取出的两人全是男生”，且P （A ）=259， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－259=0.64，即有放回地抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.64.【例5】10件产品中有两件次品，任取两件检验，求下列事件的概率（不放回抽取）.（1）至少有1件是次品； （2）最多有1件是次品.分析：可用树状图列出所有结果，从正面回答，不如从反面解决快捷.解：由树状图可知，共有90种可能结果.（1）设事件A =“至少有1件是次品”，则A =“没有次品”，且P （A ）=9056. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－45179056=，即至少有1件是次品的概率为4517. （2）设事件A =“最多有1件是次品”，则A ＝“2件都是次品”，且P （A ）=902. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－4544902=，即最多有1件是次品的概率为4544. 这是放回抽取，也可用树状图，如112345也可从正面直接解答,A 中含有两个互斥事件：“2人是一名男生和一名女生”和“2人都是女生”.列树状图要列10组,每组中有9个结果,共90个结果,通过想象可解决问题.也可从不考虑顺序的角度求解.。
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算样本点总数：
C
a+b N
设 A：a+b 球中恰有 a 个白 b 个红，把 A 发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a
个球，再在红球中取
b
个球按乘法原则所含样点是
C
a N1
⋅
C
b N
2
∴ P( A)
=
Ca N1
⋅
C
b N
这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。 在此例中，正确理解区分概率P（A|B1）与P（B1|A）是多么重要。概率思维是人们正确
观察事物必备的文化修养，这样说也许并不过份。
例 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的 数据。元件制造厂次品率提供晶体管的份额
1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只 晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分 析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。 解: 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”， 易知，B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有 P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05， P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03 （1）由全概率公式 P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125 （2）由贝叶斯公式
他们的生日各不相同的概率为
P( A)
=
Cr 365
⋅ r!
or
Ar 365
(365) r
(365) r
所以，至少两个人生日相同的概率为: p=1-P(A),
计算如下：
可得下述结果:
n 20
23
p 0.411 0.507
30 0.706
40
50 64
100
0.891 0.970 0.997 0.9999997
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典型例题（第一章概率论的基本概念）
古典概型 条件概率
古典概型
(一)取球问题
袋中共有 N 个球，N1 白，N2 红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出 a+b 个
球，试求这 a+b 个球中恰含 a 个白 b 个红的概率。
解：
[不放回] 试验从 N 个球中取出 a+b 个球，有两种理解 （1）一次取出 a+b 个球； （2）一个一个取，不放回，取 a+b 次；
设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”，已知 P（A|B）=0.9，P(A|B)=0.3,P （B）=0.75，P (B) =0.25，所需求的概率为 P（B|A），由贝叶斯公式
典型例题 Page 5 of 5
这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为 0.9，这里， 概率 0.75 是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率，而在得到信息（即生产出的第一件 产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即 0.9）叫做后验概率，有了后验概率我们就 能对机器的有进一步的了解。
其中事件A表示“阳性”，现设某人已检出呈阳性，问他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？
解：
由贝叶斯（Bayes）公式
这表明，在已检查出呈阳性的人中，真患肝癌的人不到 1%，这个结果可能会使人大吃
典型例题 Page 4 of 5
一惊，但仔细分析一下，就可以理解了。因为肝癌发病率很低，在 10000 人只有 4 人左右。 而约有 9996 年不患肝癌。如对 10000 人用甲胎蛋白法进行检验。按错检的概率可知 4 位患 肝癌的都呈阳性，而 9996 位不患肝癌人中约有 9996×0.05≈500 个。呈阳性，在总共 504 个 呈阳性者中，真患肝癌的 4 人占总阳性中不到 1%，其中大部分人（500 人）是属“属报”， 在实际中，医生常用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人， 当医生怀疑某人有可能患肝癌时，才建设用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中，肝癌 的发病率已显著提高了，比如说 P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得
Aa+b N
+
b)!
=
C C a b N1 N2 C a+b N
[放回抽样] 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数：Na+b
由乘法、加法原理，A
所含样本点数为:（分析同（2））
C
a a+b
⋅
N1a
⋅
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
=
Ca a+b
⋅ N1a N a+b
⋅
N
b 2
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(3) 同理
P(C)
=
C
m k
⋅(N N
− 1) k−m
k
(4) 在这 k 个数字中，最大数不大于 M 的取法有 Mk 种。而最大数不大于 M-1 的取法有(M-1)k
种。
∴ P(D) = M k − (M − 1)k 。 Nk
典型例题 Page 3 of 5
例 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的，即都等于 1/365，那么随机选取 n （≤365）个人，求他们的生日各不相同的概率。 解：
(二) 放球问题
n 个球，随机的放入 N 个盒（n≤ N），每盒容量不限，观察放法：
(1)某指定的 n 个盒中各有一个球 A1,求 P(A1)；
(2)恰有 n 个盒中各有一球Ａ2,求 P(A2) ；
(3)某指定的盒子中恰有 k 个球 A3,求 P(A3).
解:
试验: 一个一个放 n 个球入 N 个盒,每种方法构成了一种可重复的排列，于是 (1) P(A1) = n!N n
2
C a+b N
按（2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取 a+b 个球是有顺序的，
构成
a+b
个球的一个排列，样本点总数：
Aa+b N
A 的发生可分解为如下过程：
在这 a+b 个球的位置上，选 a 个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：
Ca a+b
⋅
Aa N1
⋅
Ab N2
∴
P( A)
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）．现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生 了．因此有理由怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者．即认为其接待 时间有规定的．
条件概率
例 据调查某地区居民的肝癌发病率为 0.0004，若记“该地区居民患肝癌”为事件B1并记
解：
试验为从 1，2，……，N 个数中有放回地依次取 k 个数字，每 k 个数字的一个排列构
成一个基本事件，因此基本事件总数为 Nk。
（1）因
k
个数字完全不同，实际为不可数的排列，基本事件个数为：
C
k n
⋅
k!
∴ P( A) = Cnk ⋅ k! Nk
(2) 同理 P(B) = (N − r)k Nk
(2)
P(A2)
=
C
n N
⋅ n!
Nn
or
ANn
(3) P(A3) =
C
k n
⋅ (n
− 1) n−k
Nn
（三）随机取数
1—N 个数字任取 k 个数字，一个一个的取，取后放回，求： （1）A：k 个数字完全不同； （2）B：不含 1，2，……，N 中指定的 r 个数字； （3）某指定的数字恰好出现 m（≤ k）次; （4）k 个数字中最大数恰好为 M。
P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.12。 以上结果表明，这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大。
例 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 90%，而当机器发 生某一故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%，试 求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 解:
B2= B ， 则P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996。现用甲胎蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表
明不患肝癌，若呈阳性，表明患肝癌，由于技术和操作不完善以及种种特殊原因，是肝癌者
还未必检出阳性，不是患者也有可能检出呈阳性，据多次实验统计这二者错误发生的概率为：
P（A|B1）=0.99
P（A|B2）=0.05
例 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行 的．问是否可以推断接待时间是有规定的． 解:
假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能 的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003，即千万分之三。
=
Ca a+b
⋅
Aa N1
Aa+b N
⋅
Ab N2
=Байду номын сангаас
(a + b)! ⋅ a!⋅b!
Aa N1
⋅
Ab N2
Aa+b N
=
Aa N1
⋅
AN 2
a! b!
Aa+b N
(a + b)!
=
Ca N1