2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质

2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质

要点精讲

椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：

圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．

椭圆的离心率满足01，抛物线的离心率e =1．

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是

典型题解析

【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；

②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线

135

192522

22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得

【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，

设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.

【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.

【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2

2

2

2

=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．

（Ⅰ）求θ的取值范围；

（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即

有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，

（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是

【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．

（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；

（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；

（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；

（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，

可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．

在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，

∴⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

+===33

21

3363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(31

31

22222

2=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y

∴|AB|=2

（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，

则⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

+⋅=+++=+-=2

22)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1

31222

2=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤

整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．

【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．

【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，

点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．

（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；

∠的正切值；若不存在，请说明理由．

【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得

.

)()()(||22

222

2

2

2

1x a

c

a x

a b b c x y c x F +=-++=++=

由0,>+-≥+

≥a c x a

c

a a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记

则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=

由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得

．

证法三：设点P 的坐标为

② ③