高考数学函数零点的性质合集

y
=
2x
-1
与
y
=
k的 2k + 1
交点，且 x1 < 0 < x2 , x3 < 0 < x4 ，从而 x1, x2 , x3, x4 均可由 k
进行表示，所以 ( x4 - x3 ) + ( x2 - x1 ) 可转化为关于 k 的函
数，再求最小值即可
- 3 - / 11
函数零点的性质
解：由图像可得： x1 < 0 < x2 , x3 < 0 < x4
2
22
f
(
c
)
=
log
2015
c p
=
f (a) Î (0,1)
，
所
以
0<
c log2015 p
<1Þp
<
c
<
2015p
，从而
(a + b) + c = p + c Î (2p ,2016p )
答案： (2p ,2016p )
小炼有话说：本题抓住 a,b 关于 x = p 对称是关键，从而可由对称求得 a + b = p ，使得所求 2
，所以函数
y
=
ln x x
( ) 在 (1,e) 单增，在
e, e3
单减。从而
ymax
=
ln e e
=
1 e
答案： 1 e
例
7：已知定义在
R
上的函数
f
(x)
满足：f
(x)
=
ìïx2 + 2,
í ïî 2
-
x2
,
x x
Î[0,1) Î [ -1, 0 )
，且 f ( x + 2) =
f (x)，
g ( x) = 2x + 5 ，则方程 f ( x) = g ( x) 在区间[-5,1] 上的所有实根之和为（ ）
以此类推。从而做出 f ( x) 的图像（此处要注意区间端点
值 在 何 处 取 到 ） ， 再 看 g(x) 图 像 ，
g ( x) = 2x + 5 = 2 + 1 ，可视为将 y = 1 的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单
x+2
x+2
x
- 5 - / 11
函数零点的性质
位，所以对称中心移至 (-2,2) ，刚好与 f ( x ) 对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点
2
x4, x5 关于 x = 3 轴对称，\ x4 + x5 = 6
\ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 - 2a
答案：B
例
4：已知 1 £k <1 ，函数 3
f (x) =
2x - 1 - k 的 零 点 分 别 为 x1, x2 ( x1 < x2 ) ， 函 数
g(x) =
ö ÷ø
,
x4
=
log2
æçè1 +
kö 2k + 1 ÷ø
=
log2
æ çè
3k 2k
+1ö + 1÷ø
\( x4
-
x3
)
+
(
x2
-
x1 )
=
log2
æ çè
3k + 1 ö k + 1 ÷ø
+
log2
æ k +1ö çè 1 - k ÷ø
=
log2
æ çè
3k + 1ö 1 - k ÷ø
=
log2
思路：先做出 f (x) 的图像，通过图像可知，如果 f (a) = f (b) ，则 0 < a < 1< b ，设
f
(a) =
f
(b)
=t
，即
ìï í
lg
a
ïî lg b
= t(t
=t
>
0) ，由 a,b 范围
可得：lg a
<
0,lg b
>
0
，从而
ìlg a îílg b
= =
-t t
Þ
ìïa í ïîb
式子只需考虑 c 的范围即可
- 2 - / 11
函数零点的性质
例
3：定义在
R
上的奇函数
f
( x) ，当
x
³
0
时，
f
(x)
=
ìïlog 1 í2
(x
+ 1),
x Î[0,1)
，则关于
x
的
ïî1- x - 3 , x Î[1, +¥)
函数 F ( x) = f ( x) - a(0 < a < 1) 的所有零点之和为（ ）
1 3
öx ÷ø
+1
的
交
点
，
作
出
图
像
可
得
1<
x1
<
2<
x2 ，进而可将
log3 ( x - 1)
=
æ çè
1 3
ö ÷ø
x
+1中
的绝对值去掉得：
ì
ïï
log3
( x1
- 1)
=
æ çè
1 öx1 3 ÷ø
+1
í
ïïîlog3 ( x2
- 1)
=
æ 1 öx2 çè 3 ÷ø
+1
① ， 观 察 选 项 涉 及 x1 × x2 , x1 + x2 ， 故 将 ② - ① 可 得 ：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
则其中正确的结论是（
）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
思路：本题涉及到 m 的取值，及 4 个交点的性质，所以先
作出 f ( x ) 的图像，从而从图上确定存在 4 个交点时，m 的
D. ②③④
范围是[3,4) ，所以①正确。从图像上可看出 a,b 在同一曲
线，c,d 在同一曲线上，所以②③在处理时将 a,b 放在一 组， c,d 放在一组。 ②涉及到根的乘积，一方面 a,b 为方程 -x2 - 2x + 3 = m 的两根，所以由韦达定理，可得
æ çè
-3
+
4 1-
k
ö ÷ø
Q
k
Î
é1 êë 3
,1ö÷ø
\-3 + 4 Î[3, +¥)
1- k
\( x4 - x3 ) + ( x2 - x1 ) Î[log2 3, +¥)
答案：B
例 5：已知函数
f
(x) =
log3 ( x - 1)
-
æ çè
1 3
ö ÷ø
x
- 1有两个不同的零点 x1, x2 ，则（
2x
-1
-
k 2k +
1
的零点分别为
x3
,
x4
(
x3
<
x4 ) ，则 ( x4
-
x3 ) + ( x2
-
x1 ) 的最小值为
（）
A. 1
B. log2 3
C. log2 6
D. 3
思路：从 f ( x), g ( x ) 解析式中发现 x1, x2 可看做 y = 2x - 1
与
y
=
k
的交点， x3, x4 可看做
直线 y = a 的交点。观察图像可得有 5 个交点：x1, x2
关 于 x = -3 对 称 ， x1 + x2 = -6 ， x3 < 0 且 满 足 方 程
f ( x3 ) = a Þ - f ( x3 ) = -a Þ f (-x3 ) = -a 即 log1 (-x3 + 1) = a ， 解 得 ： x3 = 1 - 2a ，
f
( x ) 的图像相交于四个不同的
点，从小到大，交点横坐标依次记为 a,b,c,d ，有以下四个结论
) ① m Î[3,4) ② abcd Î éë0,e4
③
a
+
b
+
c
+
d
Î éêëe5
+
1 e
-
2, e6
+
1 e2
-
2
ö ÷ø
④ 若关于 x 的方程 f ( x) + x = m 恰有三个不同实根，则 m 的取值唯一
\
ìï1 í ïî2
-
x2
2x1 = -1=
k k
,
ìïï1 í
-
ïïî2 x4
2 x3 -1
= =
k 2k + 1
k 2k + 1
\ x1 = log2 (1 - k ), x2 = log2 (1 + k )
x3
=
log2
æçè1 -
kö 2k + 1 ÷ø
=
log2
æ çè
k +1 2k + 1
要注意 t 是有范围的（通过数形结合 y = t 需与 y = f ( x ) 有两交点）；一个是通过图像判断出
a,b 的范围，从而去掉绝对值。
例
2：已知函数
f
(
x
)
=
ì ïïcos í
æ çè
x
-
p 2
ö÷ø ,
x
Î [0,p
]
ïïîlog2015
x p
,
x
Î
(p
,
+¥
)
， 若 有 三 个 不同 的 实 数 a,b,c ， 使得
②
log3
ëé(
x2
-
1) (
x1
-
1)ùû
=
æ çè
1 3
ö x2 ÷ø
-
æ çè
1 3
ö ÷ø
x1
，而
y
=
æ çè
1 3
öx ÷ø
为减函数，且
x2 > x1
，从而
- 4 - / 11
函数零点的性质
log3 éë( x2 - 1)( x1 - 1)ùû < 0 Þ ( x2 - 1)( x1 - 1) < 1 Þ x1x2 - ( x1 + x2 ) < 0 ，即 x1x2 < x1 + x2
f (a) = f (b) = f (c) ，则 a + b + c 的取值范围是
________
思路： f ( x ) 的图像可作，所以考虑作出 f ( x ) 的图像，
不妨设 a < b < c ，由图像可得： f (a) = f (b) Î (0,1)
a,b Î[0,p ] ，且关于 x = p 轴对称，所以有 a + b = p Þ a + b = p ，再观察 c > p ，且
答案：D
例 6：已知函数
f
(
x)
=
ïì| ln x |, (0 < x ïîíe3 + 3 - x, (x
£ >
e3 e3
) )
，存在
x1
<
x2
<
x3 ，
f (x1 ) =
f (x2 ) =
f (x3 ) ，
则 f (x3 ) 的最大值为 x2
思路：先作出
f
( x) 的图像，观察可得：0 <
x1
<1<
）
A. x1x2 < 1
B. x1 × x2 = x1 + x2 C. x1 × x2 > x1 + x2 D. x1 × x2 < x1 + x2
思路：可将零点化为方程
log3 ( x - 1)
=
æ 1öx çè 3 ÷ø
+ 1的根，进而转化为
g(x)
=
log3 ( x
- 1)
与
h(x)
=
æ çè
x2
< e3
<
x3 ，所求
f (x3 ) x2
可先减少变量
个 数 ， 利 用 f ( x3 ) = f ( x2 ) 可 得 ：
f (x3) = f ( x2 ) = ln x2 ， 从 而 只 需 求 出 y = ln x 在
x2
x2
x2
x
( ) 1,e3
的最小值即可： y'
=
1 - ln x2
x
= =
e-t et
，
所以
a
+ 2b
=
1 et
+ 2et
，
而
et > 0
，所
以
2et + 1 Î (3, +¥)
et
答案：C
小炼有话说：（1）此类问题如果 f ( x ) 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点
（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量 t ，从而用 t 表示出 a,b ，达到消元效果，但是
轴（或对称中心）找到联系
二、典型例题：
例 1：已知函数 f ( x) = lg x ，若 0 < a < b ，且 f (a) = f (b) ，则 a + 2b 的取值范围是（ ）
( ) A. 2 2,+¥
) B. éë2 2, +¥
C. (3,+¥)
D. [3, +¥)
- 1 - / 11
函数零点的性质
x+2
A. -5
B. -6
C. -7
D. -8
思路：先做图观察实根的特点，在[-1,1) 中，通过作图可
发 现 f ( x) 在 (-1,1) 关 于 (0,2) 中 心 对 称 ， 由
f ( x + 2) = f ( x) 可得 f ( x) 是周期为 2 的周期函数，则
在下一个周期 (-3, -1) 中， f ( x) 关于 (-2,2) 中心对称，
函数零点的性质
第 11 炼 函数零点的性质
一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化， 且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
x1 < x2 < x3 ，其中 x2 = -3 ， x1 与 x3 关于 (-2, 2) 中心对称，所以有 x1 + x3 = -4 。所以
x1 + x2 + x3 = -7
答案：C
例
8：函数
f
(x)
=
ìï- x 2
í ïî
2
-
- 2x + 3, x ln x , x > 0
£
0
，直线
y
=
m
与函数
三者转化：函数 f ( x) 的零点 Þ 方程 f ( x) = 0 的根 ¾方¾程¾变形¾® 方程 g ( x) = h ( x) 的根 Þ 函
数 g ( x) 与 h ( x) 的交点
2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题， 并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法：
A. 2a -1
B. 1- 2a
C. 2-a -1
思路： f ( x) 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图
像，再利用对称作出负半轴图像，当 x > 0 时，函数
图象由两部分构成，分别作出各部分图像。F ( x) 的
零点，即为方程 f ( x) - a = 0 的根，即 f ( x) 图像与
D. 1- 2-a
（1）代换法：将相等的函数值设为 t ，从而用 t 可表示出 x1, x2 ,L ，将关于 x1, x2 ,L 的表达式
转化为关于 t 的一元表达式，进而可求出范围或最值
（2）利用对称性解决对称点求和：如果 x1, x2 关于 x = a 轴对称，则 x1 + x2 = 2a ；同理，若
x1, x2 关于 (a,0) 中心对称，则也有 x1 + x2 = 2a 。将对称的点归为一组，在求和时可与对称