高考数学函数零点的性质合集
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解22 利用导数研究函数的零点
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解
§3.7 利用导数研究函数的零点
考试要求 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现． 题型一 利用函数性质研究函数的零点 例1已知函数f (x )＝x sin x －1.
(1)讨论函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2上的单调性；
(2)证明：函数y ＝f (x )在[0，π]上有两个零点． (1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，
f (－x )＝－x sin(－x )－1＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，
又f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上单调递
增，又函数f (x )为偶函数，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－π2，0上单调递减，
综上，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－π2，0上单调递减．
(2)证明 由(1)得，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，又f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π
2－1>0，所以f (x )
在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2内有且只有一个零点， 当x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，
则g ′(x )＝2cos x －x sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，g ′(x )<0恒成立，即g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤
2023年高考数学复习：零点问题
②当 x∈0，π2时，设 h(x)＝g′(x)＝2x－2cos x. h′(x)＝2＋2sin x>0， 所以 g′(x)在区间0，π2上单调递增. 又 g′(0)＝－2<0，g′π2＝π>0， 所以存在 x0∈0，π2，使得 g′(x0)＝0.
所以当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x∈x0，π2时，g′(x)>0，g(x)单调递增.
所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，φ(x)→－∞； x→＋∞时，φ(x)→0，
所以
0<1a<e，解得
1 a>e.
所以 a 的取值范围是1e，＋∞.
子题 1 (2021·全国甲卷改编)已知 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝axax(x>0)，若曲 线 y＝f(x)与直线 y＝1 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围.
12
解
令
f(x)＝ln
x－aex＋1＝0，则
a＝ln
x＋1 ex .
令 y＝a，g(x)＝ln xe＋x 1，
g′(x)＝1x－lnexx－1(x>0).
令 h(x)＝1x－ln x－1，则 h′(x)＝－x12－1x<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，
故当x∈(0,1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；
高考数学函数零点专题
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函数的零点专题高考解读函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利求方程的根、用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的x掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数轴的交点的横坐标的等价性；图象与学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．知识梳理 1．函数的零点与方程的根xffxfxx 的零()，我们把使叫做函数())＝0 (1)函数的零点对于函数的实数( 点．函数的零点与方程根的关系(2)xfxgxyfFxxgxf的图象与)＝函数((()＝(＝)－)(的根，)的零点就是方程即函数()xgy )(函数的图象交点的横坐标．＝ (3)零点存在性定理bbfafyfxa，上的图象是连续不断的一条曲线，且有)<0如果函数(＝(([)在区间)，·]cbfcyfxabca这个)使得)在区间(＝，()内有零点，即存在∈(0, 那么，函数，＝)(xf的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条＝也就是方程(0) 件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数2即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函形结合是基本的解题方法，xxgfxgxf的形式，这时())，＝(()，即把方程写成)数的解析式，然后构造两个函数(可以根据图象的变化趋势找到方程中字母方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，. 参数所满足的各种关系高频考点突破函数的零点判断考点一
高考数学专题一 微专题8 利用导数研究函数零点问题
PART TWO
热点突破
1.(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋a2在x＝－1处有极值0. (1)讨论函数f(x)在(－∞，－1)上的单调性；
123
由f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋a2可得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b， 因为f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋a2在x＝－1处有极值0， 所以ff′ －－1＝1＝ 0，0， 即3－－1＋6a＋ 3a3－b＝3b0＋，a2＝0， 解得ab＝ ＝11， 或ab＝ ＝23， ， 当a＝1，b＝1时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 函数f(x)是R上的增函数，不满足在x＝－1处有极值，故舍去， 所以常数a，b的值分别为a＝2，b＝3，
(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)上各恰有一个零点，求a的取值范围.
f(x)＝ln(1＋x)＋aexx ， f(x)的定义域为(－1，＋∞). f′(x)＝1＋1 x＋a1e－x x＝ex＋1a＋1x－exx2. 设g(x)＝ex＋a(1－x2). ①若a>0，则当x∈(－1,0)时，
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；
当 x∈α，π2时，g′(x)<0.
所以 g(x)在(－1，α)上单调递增，在α，π2上单调递减， 故 g(x)在－1，π2上存在唯一极大值点，
即 f′(x)在－1，π2上存在唯一极大值点.
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点
2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）
① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点
③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号
3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧）
专题02函数3函数的零点(3大重难点详细讲解)2024高考数学重难点及压轴题突破(原卷版)
第03讲 函数的零点
难点1：零点的定义——求函数零点或方程根的个数
考试时我们经常会遇到求函数的零点个数问题，这种题常作为选择的压轴题出现，因其具有很强的综合性，常常与函数奇偶性，单调性，周期性等性质结合起来，并与各种函数以及导数和在一起考查，学生往往很难搞明白零点的位置，造成丢分。
求函数零点或方程的根的个数问题的步骤：
（1）将问题转化为求两个函数交点的问题；
（2）分析两个函数的性质，并做出函数图象；
（3）找到两个函数的交点，即为所求。
【例题】（宁夏吴忠市吴忠中学2024届高三上学期开学第一次月考数学（理）试题）已知()
f x 是定义在R 上的奇函数，满足(1)()f x f x +=-，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，
()91x f x =-，则()()2
(1)h x x x f =--在区间[]20212023-，上所有零点个数为____________.
【答案】4044
【解析】由题意， 我们根据题目条件知道，函数是奇函数得出()()f x f x -=-，而且满足(1)()f x f x +=-，便可以得出函数的对称轴，我们用1x +替换原来的x ，与(1)()f x f x +=-与结合，即可得出(2)()f x f x +=，进而得到函数的周期。
∵()f x 是定义在R 上的奇函数,
∴()()f x f x -=-,
∵(1)()f x f x +=-,12
x =是其中一条对称轴， ∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=,
∴()f x 的周期是2 ,
在()(1)()2h x x f x =--中，
分段函数零点问题(解析版)--新高考数学函数压轴小题专题突破
分段函数零点问题--新高考数学函数压轴小题专题突破
1．已知函数3,21
(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩恰有3个零点，则实数a 的取值范围为(
)
A ．11
(,3
e --B ．211(,)
e e
--C ．221[,)
3e
--D ．21[,)
33
--【解析】解：函数3,21
(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩
，
可得2x -时，
31x a x =-+，函数1
x
y x =
+的图象如图：方程至多一个解，此时满足132a <-，可得2[3a ∈-，1
)3
-．
当(2,0)x ∈-时，x a
e x
=
，即x a xe =，x y xe =，可得(1)x y e x '=+，令(1)0x e x +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)
x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为：1e -，2x =-时，22y e =-，方程有两个解，可得212
(,a e e
∈--
，
综上，函数3,21
(),20x x
a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩恰有3个零点，
满足11
(,)3
a e ∈--，
故选：A ．
2．已知函数21(),12
()54,1
2x
x f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是(
)
A ．1
(0,)
2
B ．1(2，3)
高考数学 基础+方法全解 第10讲 零点、根、交点,教你如何转化(含解析)
高考数学 基础+方法全解 第10讲 零点、根、交点，教你
如何转化（含解析）
考纲要求:
1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．
2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．
基础知识回顾:
一、方程的根与函数的零点
（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点。函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。
（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）
使得f(c)=0，这个c 也就是方程的根。
函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数
()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件。
【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。 二、二分法 （1）二分法及步骤
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解10 函数零点
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解
第10讲函数零点专项突破
高考定位
函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.
考点解析
（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理
题型解析
类型一、转化为二次函数的零点分布
例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）
A．1
4B．1
8
C．7
8
-D．
3
8
-
【答案】C
利用函数零点的意义结合函数f (x )的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】
依题意，函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )的零点，即方程f (2x 2+1)+f (λ-x )=0的根， 由f (2x 2+1)+f (λ-x )=0得f (2x 2+1)=-f (λ-x )，因f (x )是R 上奇函数， 从而有f (2x 2+1)=f (x -λ)，又f (x )是R 上的单调函数，则有2x 2+1=x -λ，
而函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，于是得2x 2-x +1+λ=0有两个相等实数解， 因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78
-，
所以实数λ的值是78
高考数学中的函数单调性与零点定理总结
高考数学中的函数单调性与零点定理总结
函数是高中数学中一个非常重要的概念，它在高考中也起到了
至关重要的作用，而函数的单调性和零点定理也是高考中固定出
现的考点。本文将对高考数学中的函数单调性和零点定理进行总
结和归纳，以便学生更好地备战高考。
一、函数单调性
函数单调性是指函数在定义域内有单调递增或单调递减的趋势。在高考数学中，要求学生掌握函数单调性的定义、判断方法和应用。
1.定义
函数f(x)在区间I上单调递增，就是对于任意的x1,x2∈I且
x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)；函数f(x)在区间I上单调递减，就是对
于任意的x1,x2∈I且x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)。
2.判断方法
函数单调性的判断方法主要有两种：导数法和差分法。
导数法：对于函数f(x)，如果在[a,b]内任意一点处的导数
f'(x)>0，则在该区间内f(x)单调递增；如果在[a,b]内任意一点处的导数f'(x)<0，则在该区间内f(x)单调递减。
差分法：对于函数f(x)，如果在[a,b]内任意相邻两个点的函数值差f(x2)-f(x1)>0，则在该区间内f(x)单调递增；如果在[a,b]内任意相邻两个点的函数值差f(x2)-f(x1)<0，则在该区间内f(x)单调递减。
3.应用
函数单调性的应用主要是对函数图像进行分析，确定函数在定义域内的性质。在高考中，需要学生根据函数的单调性判断函数的最大值、最小值、极大值和极小值，进而解决与函数最值有关的问题。
例如，若函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，且f(0)=3，f(1)=1，则f(x)的最小值为1，最大值为3。
高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题
高考数学经典常考题型第12专题复合函
数零点问题
第12专题训练：复合函数零点问题
一、基础知识：
1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为
$y=f(g(x))$。
2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知
$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。
解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$
3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。
解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。
当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，
$\therefore x=1$。综上所述，$x=1$。
由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将
$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。这
种思路也用来解决复合函数零点问题。先回顾零点的定义：
4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解11---函数的零点与方程的解
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
函数的零点与方程的解
考试要求
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．(×)
(2)连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )<0.(×)
(3)函数y ＝f (x )为R 上的单调函数，则f (x )有且仅有一个零点．(×)
(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若b 2－4ac <0，则f (x )无零点．(√) 教材改编题
1．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第9讲零点问题
第9讲 零点问题
母题 (2020·福州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋有零点，求实数a的取值范围．思路分析一
❶f x 有零点
↓
❷f x 的性质、草图
↓
❸求导，确定f x 的性质
思路分析二
❶f x 有零点
↓
❷a＝－x ln x有解
↓
❸直线y＝a和曲线φ x ＝－x ln x有交点
↓
❹求导确定φ x 的性质、草图
解 方法一 f′(x)＝－＝，x>0，
①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝ln1＋a＝a≤0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有1个零点．
②当a>0，则x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
当x＝a时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝ln a＋1，
则ln a＋1≤0，即0<a≤，
又f(1)＝ln1＋a＝a>0，
所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有零点．
综上所述，实数a的取值范围为.
方法二 由f(x)＝ln x＋有零点可得，
a＝－x ln x有解，
设φ(x)＝－x ln x，则φ′(x)＝－ln x－1，
令φ′(x)<0，得x>；
令φ′(x)>0，得0<x<，
所以φ(x)＝－x ln x在上单调递增，在上单调递减，且x→0时，φ(x)→0，x→＋∞时，φ(x)→－∞，
画出φ(x)＝－x ln x的草图如图所示，当a≤时，a＝－x ln x有解，
高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数
sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型例题
例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,
0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪
⎝
⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02
x π
<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.
第（2）问思路点拨：本小题要求
时，方程
有两个根，求的取值范围,可采用换元法
解答过程：
由（1）知，令，由
，则
，作出函数
的图
象，根据图象讨论
的的个数.
图象可知：
与
的图象在内
有两个不同的交点时，，故实数
的取值范
围为
.
【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭(2)()1,2
(1)显然2A =，又1121212T ππππω
⎛⎫=
--== ⎪⎝⎭，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，
所以()Z 6
k k π
ϕπ-
+=∈，又2
π
ϕ<
，所以6
π
=
ϕ， 所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
(2)02
x π
<<
，且方程()f x m =有两个不同的实数根，
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y
=
2x
-1
与
y
=
k的 2k + 1
交点，且 x1 < 0 < x2 , x3 < 0 < x4 ，从而 x1, x2 , x3, x4 均可由 k
进行表示，所以 ( x4 - x3 ) + ( x2 - x1 ) 可转化为关于 k 的函
数，再求最小值即可
- 3 - / 11
函数零点的性质
解：由图像可得： x1 < 0 < x2 , x3 < 0 < x4
2
22
f
(
c
)
=
log
2015
c p
=
f (a) Î (0,1)
，
所
以
0<
c log2015 p
<1Þp
<
c
<
2015p
，从而
(a + b) + c = p + c Î (2p ,2016p )
答案： (2p ,2016p )
小炼有话说：本题抓住 a,b 关于 x = p 对称是关键，从而可由对称求得 a + b = p ，使得所求 2
，所以函数
y
=
ln x x
( ) 在 (1,e) 单增，在
e, e3
单减。从而
ymax
=
ln e e
=
1 e
答案： 1 e
例
7：已知定义在
R
上的函数
f
(x)
满足：f
(x)
=
ìïx2 + 2,
í ïî 2
-
x2
,
x x
Î[0,1) Î [ -1, 0 )
，且 f ( x + 2) =
f (x)，
g ( x) = 2x + 5 ，则方程 f ( x) = g ( x) 在区间[-5,1] 上的所有实根之和为（ ）
以此类推。从而做出 f ( x) 的图像（此处要注意区间端点
值 在 何 处 取 到 ） ， 再 看 g(x) 图 像 ，
g ( x) = 2x + 5 = 2 + 1 ，可视为将 y = 1 的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单
x+2
x+2
x
- 5 - / 11
函数零点的性质
位，所以对称中心移至 (-2,2) ，刚好与 f ( x ) 对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点
2
x4, x5 关于 x = 3 轴对称，\ x4 + x5 = 6
\ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 - 2a
答案：B
例
4：已知 1 £k <1 ，函数 3
f (x) =
2x - 1 - k 的 零 点 分 别 为 x1, x2 ( x1 < x2 ) ， 函 数
g(x) =
ö ÷ø
,
x4
=
log2
æçè1 +
kö 2k + 1 ÷ø
=
log2
æ çè
3k 2k
+1ö + 1÷ø
\( x4
-
x3
)
+
(
x2
-
x1 )
=
log2
æ çè
3k + 1 ö k + 1 ÷ø
+
log2
æ k +1ö çè 1 - k ÷ø
=
log2
æ çè
3k + 1ö 1 - k ÷ø
=
log2
思路：先做出 f (x) 的图像，通过图像可知，如果 f (a) = f (b) ，则 0 < a < 1< b ，设
f
(a) =
f
(b)
=t
，即
ìï í
lg
a
ïî lg b
= t(t
=t
>
0) ，由 a,b 范围
可得：lg a
<
0,lg b
>
0
，从而
ìlg a îílg b
= =
-t t
Þ
ìïa í ïîb
式子只需考虑 c 的范围即可
- 2 - / 11
函数零点的性质
例
3：定义在
R
上的奇函数
f
( x) ，当
x
³
0
时，
f
(x)
=
ìïlog 1 í2
(x
+ 1),
x Î[0,1)
，则关于
x
的
ïî1- x - 3 , x Î[1, +¥)
函数 F ( x) = f ( x) - a(0 < a < 1) 的所有零点之和为（ ）
1 3
öx ÷ø
+1
的
交
点
，
作
出
图
像
可
得
1<
x1
<
2<
x2 ，进而可将
log3 ( x - 1)
=
æ çè
1 3
ö ÷ø
x
+1中
的绝对值去掉得：
ì
ïï
log3
( x1
- 1)
=
æ çè
1 öx1 3 ÷ø
+1
í
ïïîlog3 ( x2
- 1)
=
æ 1 öx2 çè 3 ÷ø
+1
① ， 观 察 选 项 涉 及 x1 × x2 , x1 + x2 ， 故 将 ② - ① 可 得 ：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
则其中正确的结论是（
）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
思路：本题涉及到 m 的取值，及 4 个交点的性质，所以先
作出 f ( x ) 的图像，从而从图上确定存在 4 个交点时，m 的
D. ②③④
范围是[3,4) ，所以①正确。从图像上可看出 a,b 在同一曲
线，c,d 在同一曲线上，所以②③在处理时将 a,b 放在一 组， c,d 放在一组。 ②涉及到根的乘积，一方面 a,b 为方程 -x2 - 2x + 3 = m 的两根，所以由韦达定理，可得
æ çè
-3
+
4 1-
k
ö ÷ø
Q
k
Î
é1 êë 3
,1ö÷ø
\-3 + 4 Î[3, +¥)
1- k
\( x4 - x3 ) + ( x2 - x1 ) Î[log2 3, +¥)
答案：B
例 5：已知函数
f
(x) =
log3 ( x - 1)
-
æ çè
1 3
ö ÷ø
x
- 1有两个不同的零点 x1, x2 ，则（
2x
-1
-
k 2k +
1
的零点分别为
x3
,
x4
(
x3
<
x4 ) ，则 ( x4
-
x3 ) + ( x2
-
x1 ) 的最小值为
（）
A. 1
B. log2 3
C. log2 6
D. 3
思路：从 f ( x), g ( x ) 解析式中发现 x1, x2 可看做 y = 2x - 1
与
y
=
k
的交点， x3, x4 可看做
直线 y = a 的交点。观察图像可得有 5 个交点：x1, x2
关 于 x = -3 对 称 ， x1 + x2 = -6 ， x3 < 0 且 满 足 方 程
f ( x3 ) = a Þ - f ( x3 ) = -a Þ f (-x3 ) = -a 即 log1 (-x3 + 1) = a ， 解 得 ： x3 = 1 - 2a ，
f
( x ) 的图像相交于四个不同的
点，从小到大，交点横坐标依次记为 a,b,c,d ，有以下四个结论
) ① m Î[3,4) ② abcd Î éë0,e4
③
a
+
b
+
c
+
d
Î éêëe5
+
1 e
-
2, e6
+
1 e2
-
2
ö ÷ø
④ 若关于 x 的方程 f ( x) + x = m 恰有三个不同实根，则 m 的取值唯一
\
ìï1 í ïî2
-
x2
2x1 = -1=
k k
,
ìïï1 í
-
ïïî2 x4
2 x3 -1
= =
k 2k + 1
k 2k + 1
\ x1 = log2 (1 - k ), x2 = log2 (1 + k )
x3
=
log2
æçè1 -
kö 2k + 1 ÷ø
=
log2
æ çè
k +1 2k + 1
要注意 t 是有范围的（通过数形结合 y = t 需与 y = f ( x ) 有两交点）；一个是通过图像判断出
a,b 的范围，从而去掉绝对值。
例
2：已知函数
f
(
x
)
=
ì ïïcos í
æ çè
x
-
p 2
ö÷ø ,
x
Î [0,p
]
ïïîlog2015
x p
,
x
Î
(p
,
+¥
)
， 若 有 三 个 不同 的 实 数 a,b,c ， 使得
②
log3
ëé(
x2
-
1) (
x1
-
1)ùû
=
æ çè
1 3
ö x2 ÷ø
-
æ çè
1 3
ö ÷ø
x1
，而
y
=
æ çè
1 3
öx ÷ø
为减函数，且
x2 > x1
，从而
- 4 - / 11
函数零点的性质
log3 éë( x2 - 1)( x1 - 1)ùû < 0 Þ ( x2 - 1)( x1 - 1) < 1 Þ x1x2 - ( x1 + x2 ) < 0 ，即 x1x2 < x1 + x2
f (a) = f (b) = f (c) ，则 a + b + c 的取值范围是
________
思路： f ( x ) 的图像可作，所以考虑作出 f ( x ) 的图像，
不妨设 a < b < c ，由图像可得： f (a) = f (b) Î (0,1)
a,b Î[0,p ] ，且关于 x = p 轴对称，所以有 a + b = p Þ a + b = p ，再观察 c > p ，且
答案：D
例 6：已知函数
f
(
x)
=
ïì| ln x |, (0 < x ïîíe3 + 3 - x, (x
£ >
e3 e3
) )
，存在
x1
<
x2
<
x3 ，
f (x1 ) =
f (x2 ) =
f (x3 ) ，
则 f (x3 ) 的最大值为 x2
思路：先作出
f
( x) 的图像，观察可得：0 <
x1
<1<
）
A. x1x2 < 1
B. x1 × x2 = x1 + x2 C. x1 × x2 > x1 + x2 D. x1 × x2 < x1 + x2
思路：可将零点化为方程
log3 ( x - 1)
=
æ 1öx çè 3 ÷ø
+ 1的根，进而转化为
g(x)
=
log3 ( x
- 1)
与
h(x)
=
æ çè
x2
< e3
<
x3 ，所求
f (x3 ) x2
可先减少变量
个 数 ， 利 用 f ( x3 ) = f ( x2 ) 可 得 ：
f (x3) = f ( x2 ) = ln x2 ， 从 而 只 需 求 出 y = ln x 在
x2
x2
x2
x
( ) 1,e3
的最小值即可： y'
=
1 - ln x2
x
= =
e-t et
，
所以
a
+ 2b
=
1 et
+ 2et
，
而
et > 0
，所
以
2et + 1 Î (3, +¥)
et
答案：C
小炼有话说：（1）此类问题如果 f ( x ) 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点
（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量 t ，从而用 t 表示出 a,b ，达到消元效果，但是
轴（或对称中心）找到联系
二、典型例题：
例 1：已知函数 f ( x) = lg x ，若 0 < a < b ，且 f (a) = f (b) ，则 a + 2b 的取值范围是（ ）
( ) A. 2 2,+¥
) B. éë2 2, +¥
C. (3,+¥)
D. [3, +¥)
- 1 - / 11
函数零点的性质
x+2
A. -5
B. -6
C. -7
D. -8
思路：先做图观察实根的特点，在[-1,1) 中，通过作图可
发 现 f ( x) 在 (-1,1) 关 于 (0,2) 中 心 对 称 ， 由
f ( x + 2) = f ( x) 可得 f ( x) 是周期为 2 的周期函数，则
在下一个周期 (-3, -1) 中， f ( x) 关于 (-2,2) 中心对称，
函数零点的性质
第 11 炼 函数零点的性质
一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化， 且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
x1 < x2 < x3 ，其中 x2 = -3 ， x1 与 x3 关于 (-2, 2) 中心对称，所以有 x1 + x3 = -4 。所以
x1 + x2 + x3 = -7
答案：C
例
8：函数
f
(x)
=
ìï- x 2
í ïî
2
-
- 2x + 3, x ln x , x > 0
£
0
，直线
y
=
m
与函数
三者转化：函数 f ( x) 的零点 Þ 方程 f ( x) = 0 的根 ¾方¾程¾变形¾® 方程 g ( x) = h ( x) 的根 Þ 函
数 g ( x) 与 h ( x) 的交点
2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题， 并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法：
A. 2a -1
B. 1- 2a
C. 2-a -1
思路： f ( x) 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图
像，再利用对称作出负半轴图像，当 x > 0 时，函数
图象由两部分构成，分别作出各部分图像。F ( x) 的
零点，即为方程 f ( x) - a = 0 的根，即 f ( x) 图像与
D. 1- 2-a
（1）代换法：将相等的函数值设为 t ，从而用 t 可表示出 x1, x2 ,L ，将关于 x1, x2 ,L 的表达式
转化为关于 t 的一元表达式，进而可求出范围或最值
（2）利用对称性解决对称点求和：如果 x1, x2 关于 x = a 轴对称，则 x1 + x2 = 2a ；同理，若
x1, x2 关于 (a,0) 中心对称，则也有 x1 + x2 = 2a 。将对称的点归为一组，在求和时可与对称