高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型

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(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题常用方法2

高中数学讲义

摆列组合问题的常用方法总

结 2

知识内容

1．基本计数原理

⑴加法原理

分数原理：做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m1种不一样的方法，在第二法中

有 m2种方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n种不一样的方法．那么达成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称加法原理．

⑴乘法原理

分步数原理：做一件事，达成它需要分红 n 个子步，做第一个步有 m1种不一样的方法，做第二个步有 m2种不同方法，⋯⋯，做第 n 个步有 m n种不同的方法．那么完成件事共有

N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称乘法原理．

⑴加法原理与乘法原理的综合运用

假如达成一件事的各样方法是互相独立的，那么计算达成这件事的方法数时，使用分类计数原理．假如达成一件事的各个步骤是互相联系的，即各个步骤都一定达成，这件事才告达成，那么计算达成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导摆列数、组合数公式的理论基础，也是求解摆列、组合问题的

基本思想方法，这两个原理十分重要一定仔细学好，并正确地灵巧加以应用．

2．摆列与组合

⑴摆列：一般地，从n 个不一样的元素中任取m(m ≤ n) 个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出m 个元素的一个摆列．（此中被取的对象叫做元素）

摆列数：从 n 个不一样的元素中拿出m(m ≤ n) 个元素的所有摆列的个数，叫做从n个不一样元素中拿出m 个元素的摆列数，用符号 A m n表示．

摆列数公式： A m n 全摆列：一般地，n的阶乘：正整数由

高考培优课程数学讲义：排列组合的经典模型及其应用【学生版】

高考培优数学

“排列组合的经典模型及其应用”

讲义编号：

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少

种？

经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。

排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）

我竟然不知道以下经典方法，太恐怖了！

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

A、60种

B、48种

C、36种

D、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种

B、3600种

C、4820种

D、4800种

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全

一、合理分类与分步

1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？

分析：由題意可先安排甲，并按其分类讨论：D若甲在束尾，剩下四人可自由排，有At种排法；2）若甲在第二，三，四位

上，则有AMM.5种排法，由分类计數原理，排法共有+ （种）

解法二（排除法）：甲在排头:乙在排尾：甲在排头且乙在排尾：故符合题意的不同的排法为：

+ .注：甲在排头和乙在排尾都包合甲在排头的同时乙在排位,所以多城了要补回来.

2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照爱否含有甲乙来分类，有以下四种悄况：

① 若甲乙都不参加，则有派遣方案农种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A方法，所以

共有3兀；③若乙参加而甲不参加同理也有3況

④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有V种，共有7公方法. 所以

共有不同的派遣方法总数∕⅛+3∕⅛+3∕V+7况=4088 （种）

二、特殊元素和特殊位置优先法

1、0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

分析：特殊元素：0, 1, 3, 5;待殊位盪：首位和来位

先排柬位：C；,再排首位：C],晟后排中间三位：Aj 共有：C；C〔A卜288

2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式

1.排列(permutation)：

从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的⽆重排列。

排列的个数⽤P(n,r)表⽰或P r n n>=r //⾼中的时候教材教我们A r n ，跟这⾥的⼀样。

P(n,r) = n!/r!

排列的基本问题是“n个不同球放r个不同盒”问题。

2.组合(conmutation)：

从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素组成⼀个⼦集⽽不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的⽆重组合。组合的个数⽤C(n,r)表⽰或C r n n>=r

C(n,r)=n! / [r!*(n-r)!]

组合的基本问题是“n个不同球放r个相同盒”问题。

两个性质：

|—— C(n,r) = C(n,n-r) //C(8,3)=C(8,5)

|—— C(n,l)*C(l,r) = C(n,r)*C(n-r,l-r) //C(9,5)*C(5,2)=C(9,2)*C(7,3)

3.格路模型与组合恒等式：

组合数学有⼀个研究⽅向就是研究组合恒等式。

格路模型

我们把从（0，0）到（m，n）的路径⽤⼀个形如“xxyxyyxy...xyy”的字符串表⽰。

则字符串长度为m+n，有m个‘x’，n个‘y’。

杨辉三⾓⽤于格路模型

在杨辉三⾓中，第n⾏对应着(a+b)n的系数，第n⾏第r列的数值是C(n,r)

范德蒙德恒等式

高中数学排列组合中几种常见的数学模型

作者：林子碧

来源：《新课程学习·上》2014年第08期

摘要：以常见的排列组合试题为例，分析了各种排列组合中的数学模型，以期帮助学生更快更准确地解决排列组合问题。

关键词：高中数学；数学模型；排列组合

排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。

一、特殊元素优先数学模型

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。

例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。（用数字作答）

解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。

点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。

二、捆绑式数学模型

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排，这种模型称为“捆绑式数学模型”。這种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。

高中数学教学论文巧解排列组合的21种模型

巧解排列组合的21种模型

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有

A 、60种

B 、48种

C 、36种

D 、24种

解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：

D .

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A 、1440种

B 、3600种

C 、4820种

D 、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是

A 、24种

B 、60种

C 、90种

D 、120种

解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602

新高考核心考点与题型计数原理微专题排列组合常见模型 - 解析

微专题：排列组合的常见模型

【考情考向分析】

两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.

题型一排列问题

（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720．

（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5名同学进行

全排列有种，所以，共有=240种排列方法排列组合思想1：特殊优先原则：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

（3）将7个人排成一排，若甲乙丙互不相邻，则不同的排法共有_________种

解先安排其他四人，在从四个人形成的五个空里挑三个给甲乙丙排列即3544A A

排列模型1：插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序

注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序

（4）将7个人排成一排，若甲乙丙三人要相邻，则不同的排法共有_________种解甲乙丙内部排列组成一个单位即可相邻，该单位在与其余四个组成五个

元素全排列5533A A

排列模型2：捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

（5）将7个人排成一排，若甲乙丙三人前后顺序保持，则不同的排法共有_________种

高中数学讲义微专题80排列组合中常见模型

微专题 80 摆列组合的常有模型

一、基础知识：

（一）办理摆列组合问题的常用思路：

1、特别优先：关于题目中有特别要求的元素，在考虑步骤时优先安排，而后再去办理

的元素。

比如：用0,1,2,3,4 构成无重复数字的五位数，共有多少种排法？

解：五位数意味着首位不可以是 0，因此先办理首位，共有 4 种选择，而其

需将剩下的元素全摆列即可，因此排法总数为

4 N 4 A 96 种

2、找寻对峙事件：假如一件事从正面下手，考虑的状况许多，则能够考虑该事的对峙

用所有可能的总数减去对峙面的个数即可。

比如：在 10 件产品中，有 7 件合格品， 3 件次品。从这 10 件产品中随意

件次品的状况有多少种

解：假如从正面考虑，则“起码 1 件次品”包括 1 件， 2 件， 3 件次品

议论，但假如从对峙面想，则只要用所有抽取状况减去所有是正品的状况即可，列式较

3 3

N C10 C7 85 （种）

3、先取再排（先分组再摆列）：摆列数

A 是指从n 个元素中拿出m

素进行摆列。但有时会出现所需摆列的元素并不是前一步选出的元素，因此此时就要将

分红两个阶段，可先将所需元素拿出，而后再进行摆列。

比如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不一样的工作，若

解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其他 3 个元素摆列，则共有

甲乙自己次序，有

A 种地点，因此排法的总数为

4 2

N A4 A2 48 种

2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用节余元素“搭台”“插空”，而后再进行各自的排序

注：（ 1）要注意在插空的过程中能否能够插在两边

80 排列组合中的常见模型

第80炼排列组合的常见模型

一、基础知识：

排列、组合、二项式

1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.

2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.

3.排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.：n

n A =n!

4.排列恒等式

(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1

n n n A A n m

-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）1

1m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.

（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720 单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列）（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1

111---=m n n A A （着眼位

置）1

1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k

m k n k k A A --种

②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k

k k m k n A A 11+-+-种

高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

1．基本计数原理 ⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合

⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．

排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．

高中数学排列组合模型讲义

定义：从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列。记作：K

m H

Y2.构成：

{⎧⎪⎨⎪⎩

原始的元素:n 个

取出的元素：m 个

【元素】【位置】m 个元素按照一定的顺序排列

【分步】本质：【顺序】从n 个不同的元素中取出的m 个元素进行排列时顺序是固定的【集合】有限集合K={}n a a a ......,21

{},,|),......,,(.....21j i x x k x x x x K K K K j i i m m ≠≠∈=**=

(1)(2)......(1)m m

n k n n n n m A =*--*-+=

【元素个数】⎪⎩⎪⎨⎧

=⊇≥=n A card B

A m

n m

B card )()(

【数】m 个不同的元素

【个数】从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素的所有不同元素的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数

【K 集合中的两个元素】1.相邻 2.不相邻

3．在特定的位置 4.不在特定的位置【三个元素】1.相邻 2.不相邻

3.在特定的位置

4.不在特定的位置

【四个元素】从a,b,c,d 四个元素中取出三个元素的排列共有3

4A 个，abc 是其中一个排列【m 个元素】1.取出的m 个元素可以重复 2.取出的m 个元素不可以重复【位置与元素】1.特定的元素排在特定的位置 2.特定的元素不排在特定的位置 3.分类

【元素的个数】{

【有限】有穷数列

【无限】无穷数列

【顺序】{

组合

数列

【m 】

{

时，全排列时，选排列n m n m =<

排列组合——小球盒子模型

① ② ③

A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC

B —— A

C —— DE A

D —— C

E AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE

AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB

排列组合——小球盒子模型

例1. 5个不同的小球放入3个不同的盒子里面，第1个盒子放1个，第2个和第3个盒子各

放2个，有多少种不同的方法？

解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③

从5个小球种选出1个放入第1个盒子里有C 1

5种方法，从剩下的4个小球中选出2

个放入第2个盒子里面有C

种方法，把剩下的2个球放入剩下的1个盒子里，有1

种方法，所以共有302

5=⋅C C 种方法。

例2. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若有两个盒子各放2个，1个盒子放1个，有

多少种不同的放法？

解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③

从3个盒子中选1个盒子放1个球有

种方法，从5个球中选择1个放进去有C

种

方法，从剩下的4个球中选择2个放进剩下的2个盒子中的1个里面有C

高中数学排列组合讲义

高中数学排列组合

一．基础知识

1.分类计数原理：完成一件事情有n 类方法，在第一类办法里有m 1种不同的方法，在第二类办法里有m 2种不同的方法......在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n +++...21种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n ...21⨯⨯种不同的方法。

3.（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （n m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m

n 表示

（3）)1...(2)(1(+---=m n n n n A m

n ）

若m=n ，得123)...2)(1(!••--==n n n n A n

n ，左边表示n 个不同元素全部取出的排列数，称为全排列数。右边表示正整数1到n 的连乘积，称为n 的阶乘。

4.（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m

高中数学同步讲义(新教材)：排列组合18种常考考法归类 (教师版)

优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将 m＋n 个元素排成一列，
个元素进行圆形排列，共有
1 m
Anm
种排法。
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。
将 m 个元素 a，n 个元素 b 进行全排列，我们可以从 m＋n 个位置中选择 m 个位置安置元素 a，

【高中数学备课参考】计数原理排列组合及二项式定理：第8节排列组合中的数学思想方法及模型

3 = C11 3
2Biblioteka Baidu
11 10 9 =165(种) 3 2 1
所以，把 8 个相同的球放入 4 个不同的盒子，有 165 种不同方法。点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少 1。排列组合问题经典题型与通用方法
（一）排序问题 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，则不同的排法有（） A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， A4 24
例 3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种. 解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置. 对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题. 设 n 个元素全错位排列的排列数为 Tn，则对于例 3，第一类排列数为 T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有 5 种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为 5T4，第三类先确定两个排原位的同学，有 C5 =10 种，所以第三类的排列数为 10T3，因此例 3 的答案为：T5+5T4+10T3. 例 4、把 8 个相同的球放入 4 个不同的盒子，有多少种不同方法？解：取 3 块相同隔板，连同 8 个相同的小球排成一排，共 11 个位置。由隔板法知，在 11 个位置中任取 3 个位置排上隔板，共有 C 11 种排法。