高二数学直线方程人教版(理)知识精讲

高二数学直线方程人教版（理）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

直线方程

二. 重点、难点：

1. 两点间距离公式

),(11y x P ，),(22y x Q

221221)()(||y y x x PQ -+-=

2. 倾斜角α

︒<≤︒1800α

3. 斜率k

（1）︒<≤︒900α或︒<<︒18090α时 αtan =k

︒=90α k 不存在

（2）),(11y x P ，),(22y x Q y PQ //轴

1

212x x y y k PQ --= 4. 直线方程： （1）点斜式 )90()(00︒≠-=-αx x k y y

（2）斜截式 )90(︒≠+=αb

kx y （3）两点式 )90,0(1

21121︒︒≠--=--αx x x x y y y y （4）截距式 1=+b

y a x （︒︒≠90,0α，不过原点） （5）一般式 0=++C By Ax （所有直线）

【典型例题】

[例1] 已知)2sin ,2(cos ),sin ,(cos ααααB A ，求||AB 的最大值。

解：

22)sin 2(sin )cos 2(cos ||αααα-+-=AB

)sin 2sin cos 2(cos 22αααα+-=

2|2

sin |22sin 4)

cos 1(22≤==-=ααα

∴)(4Z k k ∈±=ππα时，2||max =AB

[例2] 正ABC ∆中，)2,4(),0,2(B A ，求C 点坐标。

解：设),(y x C

⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-⇒⎩⎨⎧==8)2()4(8)2(||||||||2222y x y x AB BC AB AC

∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=313311y x 或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=3

13322y x [例3] R y y y x x x n n ∈...,,...,2121，求证：≥++++++2222222121...n n y x y x y x

2121)...()...(n n y y x x +++++。

证：在直角坐标系xOy 中

),(111y x A ),(21212y y x x A ++……)...,...(11n n n y y x x A +++

显然：||||...||||1211n n n OA A A A A OA ≥+++- 即≥++++++2222222121...n n y x y x y x

221221)...()...(n n y y y x x x +++++++

[例4] 已知通过A （8，6）的四条直线的倾斜角之比为4:3:2:1，第二条直线过原点，求其余三条直线的倾斜角。

解：设四条直线的倾斜角依次是αααα432、、、

∵18040<≤α ∴450<≤α ∵4308062tan 2=--=

=k α ∴3tan 3

1tan -==αα（舍） ∴7

244tan 9133tan ==αα ∴913arctan 331arctan ==αα 7

24arctan 4=α [例5] 过)5,3(--A 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程。

法一：)3(5+=+x k y ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-==3505

30k x y k y x ∴135355321-==-=

-k k k k

法二： （1）

1=+a

y a x )5,3(--代入8-=a 即08=++y x

（2）过原点 035=-y x

[例6] 直线l 倾斜角为5

3arcsin ，若它与坐标轴围成三角形面积为6，求l 的方程。 解：)2,0(53arcsin πα∈= ∴4

3tan =α 设：l ：b x y +=4

3 b x y b y x 3

4,0,,0-==== 6|34|||21=-⋅⋅=∆b b S ∴3±=b

∴l ：01243=±-y x

[例7] 直线l 过点)1,2(A ，交x 、y 轴正半轴于B 、C ，求使OBC ∆面积最小的直线l 的方程。

解：0

k y x 21,0-== k

k x y 21,0-== k

k k k k k k k S -+-⋅=-=-⋅-=∆14421||)21(21|21||21|2122 4]442[2

1]41)(4[21=+⋅≥+-+-⋅=k k 2

1-=k l ：042=-+y x [例8] 已知三条直线04,03,02=--=--=--y kx ky x y x 交于一点，求k 。 解：)1(111320302≠⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=⇒⎩⎨⎧=--=--k k y k k x ky x y x 代入3l ∴041

1132=------⋅k k k k 即：05722=+-k k

25=k 或1=k （舍） ∴2

5=k [例9] 求证，无论k 为任何直线：0)11()3()12(=--+--k y k x k 必过一定点。

解：由已知整理：0)113()12(=+--+--y x y x k

∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+--=--3

20113012y x y x y x ∴l 过点（2，3）

[例10] 已知直线l ：x y 4=，和点P （6，4），在直线l 上求一点Q 。使直线PQ 、l 、x 轴在第一象限内围成的三角形面积最小。

解：设),(b a Q ，1>a

∴PQ l ：b

a x

b y --=--644 PQ l 交x 轴于),(11y x M ∴b b a x +---=

4

)6(41，01=y ∴b b a S ⋅+---=∆)64

)6(4(21 )64

4424(2+--⋅=a a a 1

10)1(20)1(1011022-+-+-=-=a a a a a 4020100220110)1(10=+≥+-+-=a a