高二数学直线方程人教版(理)知识精讲
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(含详解)
2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-= B ．210x y --= C ．240x y -+= D ．210x y -+=5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+= C ．10x y ++= D ．50x y --=6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =-7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或19．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2C ．3D ．410．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程： (1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线．2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________.2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________.3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________.4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______．6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____．3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a的取值范围 ．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：(1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程．5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行 B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =， 所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-， 所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-， 即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意； 当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入， 得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①， 解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ； 共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-， 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线． 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ， 所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-， 所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--， 所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2). 4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________.【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）. 5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______．【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4) 6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____．【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得06x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号；令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0C x A =->； 所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限.故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ．3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x 不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围 ．【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--． 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤． 综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D 【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=， 直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩， 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩， 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩， 所以直线l 共有4条．故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x y a b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥， 当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=．(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩， ∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<． 令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭． 当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小． 则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：(1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程．【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x y l a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=， 所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x y l +=，即360x y +-=. (2)设直线:1x y l a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD 【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确； 对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误； 对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tan πk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。
高二数学 直线的方程
典型例题一例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是54，求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：54sin =α， 所以：34tan ±=α， 直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()1343+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．典型例题二例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类．解：法一：利用直线的两点式方程∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3） （1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线AB 的方程是3=y ；（2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ；（3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程121121x x x x y y y y --=--得：223--=--n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程（1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ； （2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是23--=n mk ， 又∵过点A （2，m ）∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：()223---=-x n mm y 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．典型例题三例 3 把直线方程()00≠=++ABC c By Ax 化成斜截式______，化成截距式______． 分析：因为0≠ABC ，即0≠A ，0≠B ，0≠C ，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．解：斜截式为BC x B A y --=，截距式为A C x -+BC Y-＝1 说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．典型例题四例4 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于θ的一个三角不等式即可．解：已知直线的方程为323cos --=x y θ，其斜率3cos θ-=k ． 由313cos ≤=θk ，得31tan ≤α，即33tan 33≤≤-α． 由[)πα,0∈，得),65[6,0πππα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈． 说明：解题易得出错误的结果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．典型例题五例5 直线l 经过点)2,3(，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解． 解法一：由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且0≠k ． 设直线方程为)3(2-=-x k y ，令0=x ，则23+-=k y ，令0=y ，则kx 23-=．由题设可得k k 2323-=+-，解得1-=k 或32=k ． 所以，l 的方程为)3(2--=-x y 或)3(322-=-x y ．故直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x ．解法二：由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a ． 若0=a ，则l 过点)0,0(，又过点)2,3(，∴l 的方程为x y 32=，即l ：032=-y x ． 若0≠a ，则设l 为1=+a ya x ．由l 过点)2,3(，知123=+aa ，故5=a ．∴l 的方程05=-+y x ．综上可知，直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x ．说明：对本例，常见有以下两种误解：误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为01=-+y x 或05=-+y x ．误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为1=+aya x ．由直线过点)2,3(，得123=+aa ，即5=a ，也即方程为05=-+y x ． 在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当1=k 时，直线01=--y x 的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．典型例题六例6 已知在第一象限的ABC ∆中，)1,1(A 、)1,5(B ，3π=∠A ，4π=∠B ，求：(1)AB 边的方程；(2)AC 和BC 所在直线的方程． 分析：(1)当直线与x 轴平行时或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知AC 、BC 的斜率，根据点斜式方程即可得出结果．解：(1)如图，AB 的方程为1=y )51(≤≤x ．(2)由AB ∥x 轴，且ABC ∆在第一象限知AC 的斜率33tan==πAC k ，BC 的斜率1)4tan(-=-=ππBC k ． 所以，AC 边所在直线的方程为)1(31-=-x y ，即0313=-+-y x ．BC 边所在直线的方程为)5(11--=-x y ，即06=-+y x ．说明：(1)AB 边是一条线段，要注意变量x 的取值范围．(2)解题中，要注意画出图形，便于直观地得到所求直线所具备的条件．典型例题七例7 若ABC ∆的顶点)4,3(A ，)0,6(B ，)2,5(--C ，求A ∠的平分线AT 所在的直线的方程．分析：两个条件确定一条直线．要求AT 的方程，已知点A 的坐标，只要再找出AT 的斜率或点T 的坐标就可以了．在三角形中，A ∠的平分线有下列性质：(1)TAB CAT ∠=∠；(2)AT 上任一点到两边AB 、AC 的距离相等；(3)ABCA TBCT =．用其中任何一个性质，都可以确定第二个条件．解法一：∵10)24()53(22=+++=AC ，54)63(22=+-=AB ，∴T 分BC 所成的比为2===ABACTB CT λ． 设T 的坐标为),(y x ，则：3721625=+⨯+-=x ，3221022-=+⨯+-=y ，即)32,37(-T ．由两点式得AT 的方程为3733732432--=++x y ，即0177=--y x ． 解法二：直线AC 到AT 的角等于AT 到AB 的角，43)5(3)2(4=----=AC k ，346304-=--=AB k ．设AT 的斜率为k (34-<k 或34>k )，则有 k k k k )43(14343143-+--=+-． 解得7=k 或71-=k （舍去）． ∴直线AT 的方程为)3(74-=-x y ，即0177=--y x ．解法三：设直线AT 上动点),(y x P ，则P 点到AC 、AB 的距离相等，即：574352434+-=-+y x y x ， ∴037=-+y x 或0177=--y x结合图形分析，知037=-+y x 是ABC ∆的角A 的外角平分线，舍去． 所以所求的方程为0177=--y x ．说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容，其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）．要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化．点斜式是直线方程最重要的一种形式，要加强这方面的训练．(2)解法三涉及到后面将要学到的知识．这里先把它列出来，作为方法积累．典型例题八例8 求过点)4,5(--P 且分别满足下列条件的直线方程： (1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；(2)与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且53∶∶=BP AP ． 分析：对于(1)，既可借助于截距式求解，也可以利用点斜式来求解；对于(2)，利用截距式求解较为简便．解法一：设所求的直线方程为1=+b ya x ． 由直线过点)4,5(--P ，得145=-+-ba ，即ab b a -=+54．又521=⋅b a ，故10=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧=-=+,10,54ab ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a ． 故所求直线方程为1425=+-yx 和125=-+y x ，即： 02058=+-y x 和01052=--y x ．解法二：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，它与两坐轴的交点为)0,54(kk-，)45,0(-k ．由已知，得5544521=-⋅-kk k ，即k k 10)45(2=-． 当0>k 时，上述方程可变成01650252=+-k k ，解得58=k ，或52=k ． 由此便得欲求方程为02058=+-y x 和01052=--y x ．(2)解：由P 是AB 的分点，得53±==PB AP λ． 设点A 、B 的坐标分别为)0,(a ，),0(b ．当P 是AB 的内分点时，53=λ． 由定比分点公式得8-=a ，332-=b ．再由截距式可得所求直线方程为03234=++y x ．当点P 是AB 的外分点时，53-=λ．由定比分点公式求得2-=a ，38=b ．仿上可得欲求直线方程为0834=+-y x ．故所求的直线方程为03234=++y x ，或0834=+-y x ．说明：对于(1)，应注意对题意的理解，否则，就较易得到ab b a -=+54，且10=ab ，从而遗漏了10-=ab 的情形；对于(2)，应当区分内分点与外分点两种不同的情形．必要时，可画出草图直观地加以分析，防止漏解． 求直线的方程时，除应注意恰当地选择方程的形式外，还应注意到不同形式的方程的限制条件．如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率；截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0；两点式的限定条件是直线不与x 轴垂直，也不与y 轴垂直．除此以外，还应注意直线方程形式之间的相互转化．典型例题九例9 已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的交点为)3,2(P ，求过两点),(11b a Q 、),(22b a Q 的直线方程．分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答． 解法一：∵)3,2(P 在已知直线上，∴⎩⎨⎧=++=++013201322211b a b a∴0)(3)(22121=-+-b b a a ，即322121-=--a a b b ．故所求直线方程为)(3211a x b y --=-． ∴0)32(3211=+-+b a y x ，即0132=++y x ． 解法二：∵点P 在已知直线上，∴⎩⎨⎧=++=++013201322211b a b a可见),(111b a Q 、),(222b a Q 都满足方程0132=++y x ， ∴过1Q 、2Q 两点的直线方程为0132=++y x ．说明：解法二充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线方程；反之，若点的坐标满足方程，则直线一定过这个点”．此解法独特，简化了计算量，能培养学生的思维能力．典型例题十例10 过点)4,1(P 引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程．分析：利用直线方程的点斜式，通过两截距之和最小求出直线的斜率，从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式，通过两截距之和最小，求出直线在两轴上的截距，从而求出直线的方程．解法一：设所求的直线方程为)1(4-=-x k y ．显见，上述直线在x 轴、y 轴上的截距分别为k41-、k -4． 由于041>-k，且04>-k 可得0<k ． 直线在两坐标轴上的截距之和为：945)4()(5)4()41(=+≥-+-+=-+-=k k k k S ，当且仅当kk 4-=-，即2-=k 时，S最小值为9．故所求直线方程为)1(24--=-x y ，即062=-+y x ．解法二：设欲求的直线方程为1=+bya x (0>a ，0>b )． 据题设有141=+ba ， ① 令b a S +=． ②①×②，有94545)41)((=+≥++=++=baa b b a b a S ．当且仅当b a a b 4=时，即b a =2，且141=+ba ，也即3=a ，6=b 时，取等号．故所求的直线方程为163=+yx ，即062=-+y x ．说明：在解法一中，应注意到0<k 这个隐含条件．否则，由)4(5kk S +-=，将很有可能得出错误的结果．如145)4(5=-≥+-=k k S ，145)4(5=-≤+-=kk S 等等． 在解法二中，应注意运算过程中的合理性，即讲究算理，不然，将会使运算过程不胜其繁．如采取下述方法：由①，用a 来表示b ，再代入②中，把S 化归成a 的函数．从解题思维方法上说无可厚非，但这种方法将使运算难度陡然增加．不如保持本质、顺其自然好．典型例题十一例11 已知523=+b a ，其中a 、b 是实常数，求证：直线010=-+by ax 必过一定点．分析与解：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为01046=-+b a ，可知6=x ，4=y 即为方程010=-+by ax 的一组解，所以直线010=-+by ax 过定点（6，4）．说明：此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法．典型例题十二例12 直线l 过点M （2，1），且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ．点O 是坐标原点，（1）求当ABO ∆面积最小时直线l 的方程；（2）当MA MB 最小时，求直线l 的方程．解：（1）如图，设OA a =，OB b =，ABO ∆的面积为S ，则ab S 21=并且直线l 的截距式方程是a x ＋by＝1 由直线通过点（2，1），得a 2＋b1＝1 所以:2a ＝b111-＝1-b b因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母01>-b ．由此得:b bbb a S ⨯-=⨯=121111112-++=-+-=b b b b 2111+-+-=b b 422=+≥ 当且仅当=-1b 11-b ，即2=b 时，面积S 取最小值4， 这时4=a ，直线的方程是:4x ＋2y＝1即:042=-+y x（2）设θ=∠BAO ，则MA ＝θsin 1，MB ＝θcos 2，如图，所以 MA MB ＝θsin 1θcos 2＝θ2sin 4当θ＝45°时MA MB 有最小值4，此时1=k ，直线l 的方程为03=-+y x ． 说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l ＝0.002520t⨯＋10.4000当t ＝25°时 l ＝0.00252025⨯＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031即当t ＝25°时，铁棒长为10.4031米．说明：直线方程在实际中应用非常广泛．典型例题十三例13 一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l 和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：4025.104050.104025.10--l ＝204020--t即 l ＝0.002520t⨯＋10.4000 当t ＝25°时 l ＝0.00252025⨯＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031即当t ＝25°时，铁棒长为10.4031米．说明：直线方程在实际中应用非常广泛．。
直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若 直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过
第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝
答案：2x－y＋1＝0
题型一 求直线的一般式方程 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－1，经过点 A(8，－2)； 2
(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、－3；
2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解析：选择合适的直线方程形式．
②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直．
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存 在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1， 所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
解析：∵kAB＝
m－2－3 －5－－2m
，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－
13，∴由题意得－m5－＋52m＝－13，解得m＝4.故选A.
答案：A
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式 为：2x－y＋1＝0.
解析：(1)方法一 将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(1，3)，
高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版
高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版一. 本周教学内容：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角［知识点］11212.若直线、的斜率为、l l k kl l k k b b 121212//⇔=≠且l l k k 12121⊥⇔=-·（证明过程：略）201111.若：l A x B y C ++=l A x B y C 22220：++=()l l A A B B C C A B C 121212122220//⇔=≠≠·· ()l l A A B B B B 1212121200⊥⇔+=≠·30.若：（直线系）l Ax By C ++=与平行：l Ax By C ++=10与垂直：l Bx Ay C -+=2041122.到角：若的斜率为，的斜率为l k l kαα为到的角，则l l k k k k 1221121tan =-+ ββ为到的角，则l l k k k k 2112121tan =-+ 512.夹角：设与的夹角为l l αtan α=-+k k k k 12121 6. 两条直线的交点若的方程为：l A x B y C 11110++=若的方程为：l A x B y C 22220++=则方程组有唯一解A x B y C A x B y C 11122200++=++=⎧⎨⎩⇔ l l 12和有交点，坐标为方程组的解。
【典型例题】例1. 求过点（，）且与直线平行的直线方程。
A x y 142350-++=分析：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。
法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，求出b 即可。
解：法一：已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜-23 率也是。
-23 ()根据点斜式，得所求直线的方程是，即y x x y +=--++=423123100 法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，直线过点A （1，-4）()∴⨯+⨯-+==有，解之得2134010b b故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精讲)(解析版)
2.2 直线的方程（精讲）考点一 直线的方程式【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2- (2)过点()3,0-，与x 轴垂直； (3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7； (4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-； (5)过点()1,8-，()4,2-； (6)过点()2,0，()0,3-．【答案】360y --=；(2)30x +=；(3)470x y +-=；(4)360x y -+=；(5)260x y +-=； (6)3260x y --=.【解析】(1)因为直线过点()3,2-，所以直线方程为：23)360y x y +=-⇒--=；(2)因为直线过点()3,0-，与x 轴垂直，所以直线方程为：330x x =-⇒+=；(3)因为直线的斜率为4-，在y 轴上的截距为7，所以直线方程为：47470y x x y =-+⇒+-=； (4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：3y x b =+，又因为直线在x 轴上的截距为2-，所以03(2)6b b =⨯-+⇒=，所以直线的方程为：36360y x x y =+⇒-+=； (5)因为直线过点()1,8-，()4,2-，所以直线的方程为：8(1)2608(2)14y x x y ---=⇒+-=----；(6)因为直线过点()2,0，()0,3-，所以直线方程为：1326023x yx y +=⇒--=-. 【例1-2】（2022·重庆）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）， (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=(2)6220x y +-= 【解析】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1）， 所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=； (2)直线AB 的斜率为51612+=-+. 所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=. 【例1-3】（2022·江苏）设m 为实数，若直线l 的方程为()130mx m y +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在y 轴上的截距为6； (2)直线l 的斜率为2； (3)直线l 垂直于x 轴； (4)直线l 经过点()1,3． 【答案】(1)12(2)23(3)1(4)0【解析】(1)因为直线l 在y 轴上的截距为6，所以直线l 一定经过点()0,6，则6630m -+=，解得12m =. (2)当1m =时，斜率不存在，不合题意； 当1m ≠时，把直线方程化为斜截式311mx y m m -=---， 因为斜率为2，所以21mm -=-，解得23m =.(3)因为直线l 垂直于x 轴，所以直线的斜率不存在，所以10m -=，即1m =. (4)因为直线l 经过点()1,3，所以()3130m m +-+=，解得0m =. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.(1)直线过点()1,2A ，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点()1,3A ，且在两坐标轴上的截距之和为8； (3)直线过点()2,4A ，()2,8-B .【答案】(1)3450x y -+=或34110x y +-=(2)360x y +-=或40x y +-=(3)60x y +-=【解析】(1)3sin 5α=，3tan 4α∴==±k ，则直线方程为()3214y x -=±-，即3450x y -+=或34110x y +-=.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为18x y m m+=-， 代入点()1,3A ，可得1318m m+=-，解得2m =或4m =， 所以所求直线方程为126x y+=或144x y +=，即所求直线方程为360x y +-=或40x y +-=. (3)直线斜率()48122k -==---，则所求直线方程为()42y x -=--，整理得60x y +-=.2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A ､()3,2B -､()3,0C -. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)330x y ++=(2)310x y --= 【解析】(1)因为()3,2B -､()3,0C -，所以()21333BC k -==---，所以直线BC 的方程为()133y x =-+，即330x y ++=； (2)因为()3,8A ，()3,2B -､()3,0C -，所以BC 的中点为()0,1D -， 所以()81330AD k --==-，所以中线AD 的方程为13y x +=，即310x y --=； 考点二 直线过定点【例2】（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k 为何值，直线20kx y k ++-=恒过定点（ ）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B【解析】20kx y k ++-=，可化为(1)20k x y ++-=，则过定点(1,2)-故选：B 【一隅三反】1．（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（ ） A ．(0,0) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,3)-【答案】B【解析】原方程可化为()()21280x y k x y -++-=-，由直线恒过定点可知，210280x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点(2,3)故选：B 2．（2021·广东佛山·高二期中）直线l ：()12310k x ky k +++-=经过定点A ，则A 的纵坐标为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由()12310k x ky k +++-=，得()2310k x y x +++-=，令10230x x y -=⎧⎨++=⎩，得2y =-.故选：A3．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m 、n ∈R ，直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点______． 【答案】(2,3)-【解析】由原方程可得(21)(1)0m x y n x y ++++-=对于任意m 、n ∈R 成立，由21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩， 故直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点(2,3)-.故答案为：(2,3)-考点三 直线所过象限【例3】（2022·江苏·高二单元测试）如果AB >0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】因AB >0且BC <0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率20A AB k B B =-=-<，纵截距20C BCb B B=-=->， 所以直线Ax ＋By ＋C ＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C 【一隅三反】1．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为(32)80m x y +++=，若直线不过第二象限，则实数m 的取值范围是______． 【答案】23m ≤-【解析】(32)80m x y +++=不过第二象限,(32)0m ∴-+≥，解得23m ≤-，故答案为：23m ≤-2．（2022·全国·高二课时练习）若0ac <，0bc <，则直线0ax by c 不通过第______象限． 【答案】三【解析】直线0ax by c 可化为a c y x b b =--，即2ac c y x bc bc =--因为0ac bc -<，20c bc->，所以直线0ax by c 的斜率为负，纵截距为正即直线0ax by c 通过第一、二、四象限，不通过第三象限.故答案为：三3．（2022·江苏·高二）（多选）已知直线l 的方程是0Ax By C ++=，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0A B C ⋅⋅≠，则直线l 不过原点 B ．若0A B ⋅>，则直线l 必过第四象限 C ．若直线l 不过第四象限，则一定有0A B ⋅< D ．若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则直线l 不过第四象限 【答案】ABD【解析】对A ，若0A B C ⋅⋅≠，则,,A B C 都不等于0，当0x y ==时，000A B C ⋅+⋅+≠，所以直线l 不过原点，故A 正确；对B ，若0A B ⋅>，则直线斜率0AB-<，则直线一定过第二四象限，故B 正确； 对C ，若直线l 不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时0A =，则0A B ⋅=，故C 错误； 对D ，若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则0,0A CB A->-<，所以直线的斜率大于0，在x 轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D 正确. 故选：ABD.考点四 直线与坐标轴围成的三角形面积【例4】（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为()21y k x +=+．(1)若直线的倾斜角为135，求k 的值；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)1k =-；(2)AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y ++=. 【解析】(1)由题意可得()tan135tan 18045tan 451k ==-=-=-. (2)在直线AB 的方程中，令0y =可得2k x k -=，即点2,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭， 令0x =可得2y k =-，即点()0,2B k -，由已知可得2020kk k -⎧<⎪⎨⎪-<⎩，解得0k <， 所以，()()()2212114142442222AOBk k S k k k k k k k --⎛⎫⎡⎤=-⋅=-⋅=-+-=-++ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦△1442⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2k =-时，等号成立，此时直线的方程为()221y x +=-+，即240x y ++=. 【一隅三反】1．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -. （1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为AB 、，求AOB 面积最小值. 【答案】（1）20x y +=或30x y -+=；（2）4【解析】解：（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+， 所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +， 所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k = 所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=. （2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立， 所以AOB 面积最小值42．（2022·广东）已知直线l ：()20kx y k k R ---=∈． （1）若直线不经过第二象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【答案】（1）[)0+∞，；（2）S 的最小值为4，直线l 的方程为240x y --=．【解析】（1）解：由方程可知：0k ≠时，直线在x 轴与y 轴上的截距分别为：2kk+，2k --． 直线不经过第二象限，2020kk k +⎧≥⎪∴⎨⎪--≤⎩，解得0.k >当0k =时，直线变为2y =-满足题意．综上可得：k 的取值范围是[)0+∞，； （2）解：由直线l 的方程可得20k A k +⎛⎫⎪⎝⎭，，()02B k --，． 由题意可得2020kk k +⎧>⎪⎨⎪--<⎩，解得0k >．()21121(2)141·24224 4.22222k k S OA OB k k k k k ++⎛⎫∴=⋅=⋅--=⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2k =时取等号．S ∴的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y --=．3．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l 过点()1,2. （1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 方程；（2）若直线l 交x 轴正半轴，y 轴正半轴分别于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值. 【答案】（1）2y x =或30x y +-=；（2）最小值为4. 【解析】（1）当直线的截距为0时，则2y x = 当截距不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=，把点()1,2代入可得121a a+=，解得3a =，故直线l 的方程为2y x =或30x y +-=.（2）设直线l 的方程为()10,0x y a b a b +=>>，把点P 代入可得121a b+=，则121a b =+≥8ab ≥，当12a b =，即2a =，4b =时取“=”故118422AOBSab =≥⨯=， 所以AOB 面积的最小值为4.考点五 直线的综合运用【例5】（2022·云南普洱·高二期末）（多选）已知直线12:(1)20,:(1)10l a x ay l ax a y +++=+--=，则（ ） A ．1l 恒过点(2,2) B ．若12//l l，则a =C ．若12l l ⊥，则1a =± D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】直线1:(1)20l a x ay +++=，则()20a x y x +++=，由020x y x +=⎧⎨+=⎩，得2,2x y =-=，所以1l 恒过定点(2,2)-，所以A 错误；由12//l l 可得：1211a a a a +=≠--，所以a =B 正确； 由12l l ⊥可得：(1)(1)0a a a a ++-=，0a =，所以C 错误； 由2:(1)10l ax a y +--=，当1a =时，2:1l x =，不过第三象限；当1a ≠时，21:11a l y x a a =+--，不过第三象限，只需要01101aa a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪≥⎪-⎩，解得01a ≤<，所以a 的取值范围为01a ≤≤，所以D 正确；故选：BD. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列有关直线()10：+-=∈l x my m R 的说法中不正确的是（ ） A ．直线l 的斜率为m - B ．直线l 的斜率为1m-C ．直线l 过定点()0,1D ．直线l 过定点()1,0【答案】ABC【解析】当0m ≠时，直线l 的方程可变为()11y x m =-－，其斜率为1m-，过定点()1,0，当0m =时，直线l 的方程变为1x =，其斜率不存在，过点()1,0，故AB 不正确，D 正确，将点()0,1代入直线方程得10-=m ，故只有当1m =时直线才会过点()01，，即C 不正确， 故选：ABC ．2．（2022·江苏·高二）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（ ）A B ．5 C ．D ．52 【答案】D【解析】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ， 所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直， 所以22210PA PB AB +==， 所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以，1522PAB S PA PB =⋅≤，即PAB △面积的最大值是52. 故选：D.3．（2022·全国·高二）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线l 方程为()34y k x =-+，43k ≠，所以直线l 与x 轴交点坐标为43,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与y 轴交点坐标为34k -+ 所以OAB 面积为()14334242k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即1624948k k --=， 所以1624948k k --=或1624948k k--=-, 解方程1624948k k --=，即()2292416340k k k ++=+=，解得43k =-，解方程1624948k k --=-，即2972160k k -+=，解得4k = 所以这样的直线有3条.故选：C.。
2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于,x y 的二元一次方程0++=Ax By C （,A B 不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化；4．能运用直线的一般式方程解决有关问题.知识点1直线的一般式方程1、一般式方程的定义在平面直角坐标系中，任意一个关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C 都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C （其中A 、B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．2、系数的几何意义（1）当0≠B 时，方程0++=Ax By C 可以写成A C y x B B=--它表示斜率为AB -，在y 轴截上的截距为CB-的直线．特别的，当0A =时，它表示垂直于y 轴的直线．（2）当0=B 时，0A ≠，方程0++=Ax By C 可以写成Cx A=-，它表示垂直于x 轴的直线．3、一般式方程适用范围直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线．知识点2直线的一般式方程与其他形式方程的互化1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．2、一般式化为斜截式的步骤（1）移项得By Ax C =--；（2）当0B ≠时，得斜截式方程A C y x B B=--．3、一般式化为截距式的步骤（1）把常数项移到方程右边，得Ax By C +=-；（2）当0C ≠，方程两边同时除以C ，得1Ax ByC C+=--；（3）化为截距式方程：1x y C C A B+=--．知识点3一般式方程的平行与垂直1、平行与垂直的系数关系已知直线12,l l 的方程分别是1111:0++=l A x B y C （11,A B 不同时为0），2222:0++=l A x B y C （22,A B 不同时为0）（1）若1212120+=⇔⊥A A B B l l （2）若12211212210//0-=⎫⇔⎬-≠⎭A B A B l l A C A C 2、平行与垂直的直线系方程（1）平行直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0++=Ax By m（2）垂直直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0-+=Bx Ay m考点一：直线一般式方程及辨析例1．（23-24高二上·广东惠州·330x y --=的倾斜角为（）A ．120B ．60C ．30D ．150【答案】B330y --=的倾斜角为α，330x y --=3即tan 3α=，因为0180α≤< ，所以60α= ．故选：B ．【变式1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足（）A ．0m ≠B ．32m ≠-C ．1m ≠D ．1m ≠，32m ≠，0m ≠【答案】C【解析】因为方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，所以2230m m +-=，20m m -=，不能同时成立，解得1m ≠．故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=，其中,A B 不全为0，则下列说法正确的是（）A ．当0C =时，l 过坐标原点B ．当0AB >时，l 的倾斜角为锐角C ．当0,0B C =≠时，l 和x 轴平行D ．若直线l 过点00(,)P x y ，直线l 的方程可化为()()000A x x B y y -+-=【答案】AD【解析】选项A ，当0C =时，00x y =⎧⎨=⎩是方程0Ax By +=的解，即l 过坐标原点，故A 正确；选项B ，当0AB >时，直线:0l Ax By C ++=的方程可化为A C y x B B=--，则直线的斜率0Ak B=-<，l 的倾斜角为钝角，故B 错误；选项C ，当0,0B C =≠时，由,A B 不全为0，0A ≠，直线:0l Ax By C ++=的方程可化为Cx A=-，故直线l 和x 轴垂直，不平行，故C 错误；选项D ，直线l 过点00(,)P x y ，则000Ax By C ++=，可得00C Ax By =--，代入直线方程:0l Ax By C ++=，得000Ax By Ax By +--=，即()()000A x x B y y -+-=，故D 正确.故选：AD.【变式1-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=（,A B 不同时为0），则（）A ．当0,0AB =≠时，l 与x 轴垂直B ．当0,0,0A BC ≠==时，l y 轴重合C ．当0C =时，l 过原点D ．当0,0A B >>时，l 的倾斜角为锐角【答案】BC【解析】对于A ：当0,0A B =≠时直线:0l By C +=（0B ≠），即Cy B=-，表示与x 轴平行（重合）的直线，故A 错误；对于B ：当0,0,0A B C ≠==时直线:0l Ax =，即0x =，即l 与y 轴重合，故B 正确；对于C ：当0C =时直线:0l Ax By +=，此时00x y =⎧⎨=⎩满足方程0Ax By +=，即l 过原点，故C 正确；对于D ：当0,0A B >>时直线:0l Ax By C ++=，即A C y x B B=--，斜率0Ak B =-<，所以l 的倾斜角为钝角，故D 错误；故选：BC考点二：一般式方程的图象判断例2.（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线1:0l ax y b -+=与2:0(0,)l bx y a ab a b -+=≠≠的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对A ，由1y ax b =+经过第一，四，三象限，可知0a >，0b <，由2y bx a =+过第一，二，三象限知0b >，0a >，故本选项错误；对B ，由1y ax b =+经过第一，二，四象限，可知0a <，0b >，由2y bx a =+过第一，二，三象限知0b >，0a >，故本选项错误；对C ，由1y ax b =+经过第一，三，四象限，可知0a >，0b <，由2y bx a =+过第一，三，四象限知0b >，0a <，故本选项错误；对D ，由1y ax b =+经过第一，二，四象限，可知0a >，0b >，由2y bx a =+过第一，二，四象限知0b >，0a >，故本选项正确；故选：D.【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）若0ab <，0bc >，则在下列函数图象中，不可能是直线0ax by c ++=的图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】由0ax by c ++=可知直线斜率0a k b=->，直线在y 轴上的截距0cy b=-<，满足条件的只有B ，所以不可能是ACD.故选：ACD【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】ACD【解析】因为0Ax By C ++=，0,0AC BC <>,所以0,AB <所以0Ak B=->，令0,0,Cx y B==-<所以直线经过一三四象限.故选：ACD.【变式2-3】（23-24高二上·新疆·期中）（多选）已知0abc ≠，直线:0l ax by c ++=经过第一、二、四象限，则（）A ．0ab >B ．0bc <C ．0ac <D ．0<a 【答案】ABC【解析】将直线l 的方程转化为a cy x b b=--，因为l 经过第一、二、四象限，所以0,0,ab c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩即0ab >，0bc <，0ac <.对D ，若0a >，则0b >，0c <，满足题意，故D 错误.故选：ABC.考点三：一般式下的平行问题例3.（22-23高二上·广西河池·月考）直线20x y m ++=与直线420x y n +-=的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．不确定D ．重合【答案】C【解析】当2n m =-时，两直线重合，当2n m ≠-时，两直线平行，所以题设两直线位置可能重合、平行.故选：C.【变式3-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）若直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则=a （）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．32-【答案】C【解析】直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行,所以()230a a +-=,即2230a a +-=，解得3a =-或1a =，当3a =-时，直线340ax y +-=为3340x y -+=；()220x a y +++=为+2=0x y -，两直线不重合.当1a =时，直线340ax y +-=为+340x y -=；()220x a y +++=为3+2=0x y +，两直线不重合.所以1a =或3-.故选：C【变式3-2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1λ=-时，直线2l ：3330x y -+-=即10x y -+=，与直线1l ：90x y -+=平行，充分性成立；直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行，有()23λλ-=，解得1λ=-或3λ=，其中3λ=时，两直线重合，舍去，故1λ=-，必要性成立.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的充要条件.故选：A.【变式3-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知直线l 过点(1,0)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（）A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．210x y --=D ．210x y -+=【答案】C【解析】令直线l 为20x y k -+=，且过点(1,0)，所以10k +=，即1k =-，故直线l 的方程为210x y --=.故选：C考点四：一般式下的垂直问题例4.（22-23高二·江苏·假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+=(,c d 不同时为0)的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关【答案】B【解析】d 与c 不能同时为0，①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为1c dd c-⋅=-，故两条直线垂直；②当d 与c 中有一个为零时，若0,0d c =≠时，则两直线分别为0cx a +=与0cy b -=，两直线垂直，若0,0c d =≠时，则两直线分别为0dy a +=与0dx b +=，两直线垂直，故两条直线垂直．故选：B【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知直线1:0++=l ax by c ，直线2:0l mx ny p ++=，则1ambn=-是直线12l l ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若1ambn =-，则00bn am bn ≠⎧⎨+=⎩，则直线12l l ⊥，充分性满足；必要性：若直线12l l ⊥，则0am bn +=，当0,0,0,0a b n m =≠=≠时，1ambn=-不成立，则必要性不满足,所以1ambn=-是直线12l l ⊥的充分不必要条件.故选：A 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则实数a 的取值是（）A ．1a =-或2a =B ．1a =-C ．2a =D ．23a =【答案】A【解析】直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则有(1)20a a --=，解得1a =-或2a =，故选：A ．【变式4-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线l 经过点()2,1P -，且与直线2310x y ++=垂直，则直线l 的方程是（）A ．2370x y +-=B ．3280x y +-=C ．2310x y --=D ．3280x y --=【答案】D【解析】直线l 与直线2310x y ++=垂直，设直线l 的方程是320x y C -+=将()2,1P -代入直线l 中，620C ++=，解得8C =-，故直线l 的方程为3280x y --=.故选：D.考点五：含参直线过定点问题例5.（22-23高二上·山东菏泽·月考）直线130kx y k -+-=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A ．()3,1B ．()0,1C ．()0,0D ．()2,1【答案】A【解析】直线方程转化为：()310x k y --+=，令3010x y -=⎧⎨-+=⎩，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1，故选：A ．【变式5-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论k 为何值，直线()()21240++---=k x k y k 都过一个定点，则该定点为（）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()2,0D ．()0,2-【答案】C【解析】将直线方程整理成()2240k x y x y --++-=，令20240x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即直线经过定点()2,0.故选：C.【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由21a b +=，得12b a =-，代入直线方程30ax y b ++=中，得3120ax y a ++-=，即(2)310a x y -++=，令20310x y -=⎧⎨+=⎩，解得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以该直线必过定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D【变式5-3】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线()()2036m n x y m n m n ++--=-经过定点A ，则点A 的横坐标与纵坐标之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由()()2036m n x y m n m n ++--=-，得()()3620m x y n x y +-+--=，令360,20,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得3,1,x y =⎧⎨=⎩所以点A 的横坐标与纵坐标之和为314+=．故选：B考点六：直线的综合应用例6.（23-24高二上·广东中山·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ．(1)求经过点A 且与直线BC 平行的直线方程；(2)在ABC 中，求BC 边上的高线所在的直线方程．【答案】(1)50x y -+=；(2)10x y ++=【解析】（1）由ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ，可得直线BC 的斜率31142BC k -==-，所以过点A 且与直线BC 平行的直线方程为2(3)y x -=+，即50x y -+=.（2）由直线BC 的斜率1BC k =，可得BC 边上的高线斜率1k =-，所以BC 边上的高线方程为2(3)y x -=-+，即BC 边上的高线所在的直线方程为10x y ++=.【变式6-1】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=（m ∈R ）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．【答案】(1){}1m m ≠-；(2)340x -=；(3)不过定点，证明见解析【解析】（1）当x ，y 的系数不同时为0时，方程表示一条直线，令2230m m --=，解得1m =-或3m =；令2210m m +-=，解得1m =-或12m =，所以x ，y 的系数同时为零时1m =-，故若方程表示一条直线，则1m ≠-，即实数m 的取值范围为{}1m m ≠-；（2）当x 的系数不为0，y 的系数为0时斜率不存在，由（1）知当12m =时，2210m m +-=且2230m m --≠，方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为340x -=；（3）不过定点，证明如下：证明：当x 的系数为0，y 的系数不为0时斜率为0，由（1）知当3m =时，2230m m --=且2210m m +-≠，方程表示的直线的斜率为0，此时直线方程为0y =，由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为340x -=，由340,0,x y -=⎧⎨=⎩得交点为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，若直线过定点，则定点为4,03⎛⎫⎪⎝⎭，将4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=，得()24236203m m m --⨯+-=，整理得22730m m -+=，解得12m =或3m =，∴只有当12m =或3m =时，直线过4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线不过定点.【变式6-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．(1)若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．(2)若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．【答案】(1)12k ≥；(2)3y x =-+或4213=-+y x 【解析】（1）由题意可知直线():21R l y kx k k =-+∈，()21y k x =-+易知直线l 过定点()2,1，当直线l 过原点时，可得12k =，当12k ≥时，直线l 不经过第二象限．（2）由题意可知0,k <∵直线:21l y kx k =-+与x 轴、y 轴正半轴的交点分别是()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-，2111(21)21222AOBk S k k k-∴=-⨯-=⨯ ，当0k <时，由92AOBS = 得：2144111944222k k k k k ⎡⎤-+⎛⎫⨯=⨯-++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，即：24510k k ++=，1k ∴=-或14k =-，即：直线l 的方程为3y x =-+或4213=-+y x .【变式6-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）已知直线l 过点()3,2M .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求当AOB （O 为坐标原点）面积的最小值，直线l 的方程..【答案】(1)230x y -=或50x y +-=；(2)12;l 的方程为23120x y +-=【解析】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为23k =，所以直线的方程为23y x =，即230x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点()3,2M ，可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=，综上可得，所求直线方程为：230x y -=或50x y +-=.（2）依题意，设点()(),0,0,(0,0)A a B b a b >>，直线AB 的方程为1x ya b+=，又点()3,2M 在直线AB 上，于是有321a b+=，利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥，当且仅当6,4a b ==时等号成立，所以1122AOB S ab =≥ ，即AOB 的面积的最小值为12，此时l 的方程为23120x y +-=.一、单选题1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线:1l x =的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】D【解析】直线:1l x =的斜率为[),0,παα∈，则5πtan 6αα=∴=，故选：D.2．（23-24高二上·陕西·期中）若直线1l ：210++=mx y 与直线2l ：2102x m y -+=垂直，则实数m 的值为（）A ．0B ．12-或C ．0或12D ．12【答案】C【解析】由题意得()220m m +-=，解得0m =或12.故选：C3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，则a 的值为（）A ．2a =-B ．1a =C ．2a =-或1a =D ．1a =-【答案】A【解析】因为直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，所以()121a a +=⨯，解得2a =-或1a =；当2a =-时，此时直线102x y --=和20x y --=平行，满足题意；当1a =时，此时直线210x y ++=和210x y ++=重合，不满足题意，舍去.综上所述：2a =-.故选：A.4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则（）A ．0AB >，0BC >B ．0AB >，0BC <C ．0AB <，0BC >D ．0AB <，BC <【答案】D【解析】依题意，直线0Ax By C ++=不垂直于坐标轴，由0y =，得C x A=-，由0x =，得C y B =-，因为直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则0C A -<，且0CB->，即0AC >，且0BC <，有20ABC <，因此0AB <，所以0AB <，0BC <.故选：D5．（23-24高二上·福建泉州·月考）直线l 过点54（，），且方向向量为12（，），则（）A ．直线l 的点斜式方程为52(4)y x -=-B ．直线l 的斜截式方程为132x y =+C ．直线l 的截距式方程为136x y+=-D ．直线l 的一般式方程为260x y -+=【答案】C【解析】对于A 中，由直线l 的方向向量为()1,2，可得直线l 的斜率为2k =，又由直线l 过点()5,4，所以直线l 的点斜式方程为42(5)y x -=-，所以A 错误；对于B 中，由42(5)y x -=-，可得直线l 的斜截式方程为26y x =-，所以B 错误；对于C 中，由26y x =-，可得直线l 的截距式方程为136x y+=-，所以C 正确；对于D 中，由26y x =-，可得直线l 的一般式方程为260x y --=，所以D 错误.故选：C.6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l ：210x y -+=与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45 得到直线l '，则直线l '的方程为（）A ．210x y +-=B ．310x y -+=C ．310x y +-=D ．330x y +-=【答案】C【解析】设直线l ：210x y -+=的倾斜角为,0180θθ≤< ，则tan 2θ=，由题意可得(0,1)A ，直线l '的倾斜角为45θ+ ，则直线l '的斜率为()tan tan 45tan 121tan 4531tan tan 451tan 12θθθθθ++++====--⋅--，所以直线l '的方程为13(0)y x -=--，即310x y +-=，故选：C二、多选题7．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知直线()()12:120:110l a x ay l ax a y +++=+--=，，则（）A ．1l 恒过()22-，B ．若12l l ∕∕，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当12a =时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】A:对于直线()1:120l a x ay +++=，可化为：()2a x y x +=--，令020x y x +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩，直线1l 恒过定点()22-，.故A 错误;B:12l l ∕∕，()()211a a a ∴+⋅-=，解得：212a =，此时也不重合，故B 正确；C ：12l l ⊥ ，()()110a a a a ∴+⋅+-=，解得：0a =，故C 错误；D ：当12a =时，211:10,22l x y +-=即2:2l y x =-+不经过第三象限，故D 正确.故选:BD.8．（23-24高二上·青海西宁·月考）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0,0b a =≠，则直线l 的倾斜角为90︒C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0,0a b =≠，则直线l 的倾斜角为0︒【答案】ABD【解析】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，故A 正确；对于B 选项，若0,b a =，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90︒，故B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，故C 错误；对于D 选项，若0,0a b =≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0︒，故D 正确.故选：ABD .三、填空题9．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线:(1)240l x m y m ++--=恒过定点.【答案】(2,2)【解析】由直线:(1)240l x m y m ++--=，可化为(4)(2)0x y m y +-+-=，联立方程组4020x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,2)．故答案为：(2,2)．10．（23-24高二上·北京·期中）经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为.【答案】250x y +-=【解析】由题可设所求直线方程为20x y c ++=，代入点()1,2M ，可得140c ++=，即5c =-，所以经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为250x y +-=.故答案为：250x y +-=.11．（23-24高二上·北京西城·期末）过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为.【答案】10x y ++=【解析】由题意，与直线30x y ++=平行的直线的斜率为1-，直线过点()2,3A -，∴过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为：()()312y x --=--，即：10x y ++=.故答案为：10x y ++=.四、解答题12．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=.(1)若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；(2)若12//l l ，求直线2l 的方程.【答案】(1)0x y -=或40x y +-=；(2)60x y +-=【解析】（1）①若直线1l 过原点，则1l 在坐标轴的截距都为0，显然满足题意，此时则240k -+=，解得2k =，②若直线1l 不过原点，因为直线1l 在两坐标轴上的截距相等，则斜率为12k=-，解得2k =-.因此所求直线1l 的方程为0x y -=或40x y +-=（2）若12l l //，则242k k ⨯=-⨯解得0k =或2k =-.当0k =时，直线1l ：240y -+=，直线2l ：480y -=，两直线重合，不满足12l l //，故舍去；当2k =-时，直线1l ：40x y +-=，直线2l ：60x y +-=，满足题意；因此所求直线2l ：60x y +-=13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线():20l kx y k k -++=∈R .(1)若直线不经过第三象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于,B AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.【答案】(1)[]2,0-；(2)S 最小值为4，直线l 的方程为24y x =+.【解析】（1）直线():20l kx y k k -++=∈R 可化为2y kx k =++，要使直线不经过第三象限，则020k k ≤⎧⎨+≥⎩，解得20k -≤≤，k ∴的取值范围为[]2,0-.（2）由题意可得0,20k kx y k >-++=中，取0y =，得2k x k+=-，取0x =，得2y k =+，()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫=⋅=⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时，取“=”，此时S 的最小值为4，直线l 的方程为24y x =+.。
2020高二数学直线与方程知识点
2020高二数学直线与方程知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
(5)两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(6)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解;方程组有无数解与重合(7)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则(8)点到直线距离公式：一点到直线的距离(9)两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
直线的点斜式方程课件-高二上学期数学人教版(2019)选择性必修第一册
2.2直线的方程
课时1 直线的点斜式方程
新知探究
探究一：直线的点斜式方程
情境设置
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角
坐标系中，给定一个点P0 (x0 , y0 )和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线.
直线l经过点P0 x0 , y0 ,且斜率为k.设P(x, y)是直线l上不同于点P0 的任意一点,
思考：截距是距离吗?
二、直线的斜截式方程
例题2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在 轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150° ，在轴上的截距是−2 ；
(3)倾斜角为60° ，与 轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y = 2x + 5 .
1
跟踪训练2 求倾斜角是直线 = − 3 + 1的倾斜角的 ，且在轴上的截距是−5 的直线
4
方程.
【解析】∵ 直线y = − 3x + 1的斜率k = − 3，
∴ 其倾斜角α = 120∘ ，由题意，得所
1
4
求直线的倾斜角α1 = α = 30∘ ，
故所求直线的斜率k1 = tan
30∘
=
3
a
− = 3,
−1,
2
3
解得a = − .
随堂检测
1.直线+2=(+1) 恒过点( C ) .
A.(2,1)
B.(−2,−1)
C.(−1,−2)
D.(1,2)
2.过点(0,1)且以=(−1,2) 为方向向量的直线的方程为( A ) .
A.y = −2x + 1
高二数学直线的倾斜角和斜率 直线方程的几种形式知识精讲 人教版
高二数学直线的倾斜角和斜率 直线方程的几种形式知识精讲人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第一章“直线”的§1.4直线的倾斜角和斜率，§1.5直线方程的几种形式。
二. 重点、难点：通过复习一次函数及其图象（直线），我们可以在直线与二元一次方程之间建立一种对应的关系，这种关系表述如下：以方程F(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都是某条直线上的点，反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解。
那么，方程F(x,y)=0叫做这条直线的方程，而这条直线叫做这个方程的直线。
利用这种对应关系，我们可以建立直线的方程，并通过方程研究有关直线的问题。
本周我们学习的重点是如何建立直线方程。
建立直线方程，需要学习直线的倾斜角和斜率的概念。
然后在这概念的基础上，逐渐导出直线的几种特殊形式的方程，最终统一为直线方程的一般式。
知识要点如下：1. 直线的倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，记作。
l α若直线l //x 轴，则规定它的倾斜角为00。
倾斜角的取值范围为，）α[︒︒0180显然，任一条直线l 都有唯一的倾斜角，它表征了直线l 相对于x 轴的倾斜程度。
2. 直线的斜率：把倾斜角的正切叫做这直线的斜率，记作。
显然。
k k tg =≠︒αα()90 注意：（）若直线轴，则的倾斜角，此时没有斜率。
反之，若直线190l x l l l ⊥=︒α 没有斜率，则意味着其倾斜角。
α=︒90（2）斜率是今后研究两条直线位置关系的重要概念，请同学们切实理解它。
3. 直线的斜率公式：k y y x x x x =--≠212121()依此公式，若已知直线l 上两点的坐标，即可求出l 的斜率k ，进而再依据k tg =α()0180︒≤<︒αα可求得的倾斜角。
l 因此已知直线的斜率，就等价于已知直线的倾斜角，也即已知其倾斜程度。
当时，直线轴，此时不存在。
x x l x k 21=⊥ 4. 直线方程的特殊形式：（1）点斜式：y y k x x -=-00() （2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：y y y y x x x x --=--121121（4）截距式：x a yb+=1以上每种形式的直线方程都有其局限性。
高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版
高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版一. 本周教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
X 围：0°≤α＜180°注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的X 围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
y x O α α P 1 P 2 yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
人教版高二数学必修一知识点
人教版高二数学必修一知识点1.人教版高二数学必修一知识点篇一直线方程：1.点斜式：y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线所通过的已知点的坐标，k是直线的已知斜率。
x是自变量，直线上任意一点的横坐标;y是因变量，直线上任意一点的纵坐标。
2.斜截式：y=kx+b直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
此斜截式类似于一次函数的表达式。
3.两点式;(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)如果x1=x2,y1=y2,那么两点就重合了,相当于只有一个已知点了,这样不能确定一条直线。
如果x1=x2,y1y2,那么此直线就是垂直于X轴的一条直线,其方程为x=x1,不能表示成上面的一般式。
如果x1x2,但y1=y2,那么此直线就是垂直于Y轴的一条直线,其方程为y=y1,也不能表示成上面的一般式。
4.截距式x/a+y/b=1对x的截距就是y=0时，x的值，对y的截距就是x=0时,y的值。
x截距为a,y截距b,截距式就是：x/a+y/b=1下面由斜截式方程推导y=kx+b,-kx=b-y令x=0求出y=b，令y=0求出x=-b/k所以截距a=-b/k,b=b带入得x/a+y/b=x/(-b/k)+y/b=-kx/b+y/b=(b-y)/b+y/b=b/b=1。
5.一般式;Ax+By+C=0将ax+by+c=0变换可得y=-x/b-c/b(b不为零)，其中-x/b=k(斜率)，c/b=‘b’(截距)。
ax+by+c=0在解析几何中更常用，用方程处理起来比较方便。
2.人教版高二数学必修一知识点篇二复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0。
高二数学直线的方程
高二数学：直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表示的直线，否则可能丢解．3、理解直线方程的常数参数的几何意义．4、两直线平行垂直的判定与应用5、到角与夹角公式二、重难点分析：(一)直线方程五种形式及限制条件名称不能表示的直线点斜式y-y1=k(x-x1) (x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的斜率x=x1斜截式y=kx+b k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距x=x1两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点x=x1y=y1截距式a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线一般式Ax+by+c=0(A2+B2≠0)A、B、C为系数无说明：点斜式处于中枢位置，是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。
对其它形式要牢记它的适用范围，有哪些不能表示的直线，并且能灵活地互化。
一般式是对各种具体形式的概括，所以理论上很重要。
(二)方程的推导1.点斜式注意：(1)点斜式是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。
它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用，在推导过程中把握以下几点：[1]直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集。
[2]通过斜率公式将结合条件坐标化：[3]由斜率公式的限制条件，导致对x≠x l和x=x1的分类讨论；[4]能合并的尽量合并。
(2)通过点斜式的推导，进一步熟悉求曲线方程的方法，加深对曲线的方程的理解，注意体会变形中如何保证等价性。
(3)写直线方程时保证[1]x，y∈R；[2]等价变形，结果会不会缩小或扩大曲线，满足曲线的方程定义的两条。
(4)在具体求解问题时，点斜式不能表示的直线需单独实行讨论。
容易丢解。
2. 斜截式若直线L的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线L过点(0，b)，由点斜式方程知，直线L的方程为y-b=kx即y=kx+b.注：截距是数量值，而不是长度值。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-3 直线的交点与距离公式(精讲)(解析版)
2.3 直线的交点与距离公式（精讲）考点一 直线的交点【例1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线2x =与直线1y x =+的交点坐标为（ ） A ．()2,3 B ．()2,3--C ．()0,1D ．()0,0【答案】A【解析】由21x y x =⎧⎨=+⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，则直线2x =与直线1y x =+的交点坐标为()2,3.故选：A.【例1-2】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线1:10l x y -+=，2:20l x -=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．3410x y --= B ．3410x y -+= C ．4310x y --= D ．4310x y -+=【答案】D【解析】由于所求出直线与直线3450x y +-=垂直，所以设所求直线为430x y m -+=，由1020x y x -+=⎧⎨-=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即1l 和2l 的交点为(2,3)，因为直线430x y m -+=过点(2,3)，所以890m -+=，得1m =，所以所求直线方程为4310x y -+=， 故选：D【例1-3】（2022·江苏·高二）直线x +ky =0和2x +3y +8=0的交点为A ，且A 在直线x -y -1=0上，则k 的值是（ ）A ．-12 B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】由2380--10x y x y ++=⎧⎨=⎩，解得 -1-2x y =⎧⎨=⎩，即两直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点坐标为A (-1，-2)．∵直线x +ky =0，2x +3y +8=0 和x -y -1=0交于一点A ，∵-1-2k =0，∵k =-12，故选；A ．【例1-4】（2022·全国·高二专题练习）已知直线10kx y -+=和0x ky -=相交，且交点在第二象限，则实数k 的取值范围为____．【答案】()10，- 【解析】当1k =±，直线10kx y -+=和0x ky -=平行，不满足题意， 故1k ≠±，此时联立方程100kx y x ky -+=⎧⎨-=⎩，解得22111k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，因为交点在第二象限，所以2201101kk k ⎧<⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得10k <<－，故实数k 的取值范围为()10，-．故答案为：()10，- 【一隅三反】1．（2022·江苏·高二专题练习）直线y x =与直线20x y +-=的交点坐标是（ ） A ．()1,1 B ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,1【答案】A【解析】由20x y y x +-=⎧⎨=⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，则两直线交点坐标为()1,1故选：A2．（2022·江苏·高二）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______． 【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.3．（2022·江苏·高二）经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______． 【答案】270x y ++=【解析】由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =， 所以直线方程为270x y ++=；故答案为：270x y ++=考点二 直线的三种距离【例2-1】（1）（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（ ）A B ．C D ．1（2）（2022·江苏宿迁·高二期末）直线1:20l x my --=与直线2:20l mx y ++=交于点Q ，m 是实数，O 为坐标原点，则OQ 的最大值是（ ）A ．2B ．C ．D ．4【答案】（1）D （2）B【解析】（1）联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB =故选：D（2）因为1:20l x my --=与2:20l mx y ++=的交点坐标为222222,11m m Q mm ---⎛⎫⎪++⎝⎭所以OQ ==，当0m =时， max OQ =OQ 的最大值是 B.【例2-2】（1）（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）直线10x y +-=与直线240x y --=交于点P ，则点P 到直线210x y +-=的距离为（ ）A B C D （2）（2022·湖南·周南中学高二期末）已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（ ） A ．12B2C ．14D【答案】（1）B （2）A【解析】（1）联立10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得12y x =-⎧⎨=⎩，故()2,1P -,所以点P 到直线210x y +-==B. （2）()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方， 因为点()2,2到直线10x y --=的距离d =()2,2的最小值为212d =．故选：A【例2-3】（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线330x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4 BCD 【答案】D【解析】由直线平行可得360m -=，解得2m =，则直线方程为6210x y ++=，即1302x y ++=，则距离是=故选：D. 【一隅三反】1．（2021·全国·高二课时练习）已知A （﹣2，﹣1），B （2，5），则|AB |等于（ ）A ．4 BC ．6D ．【答案】D【解析】因为A （﹣2，﹣1），B （2，5），所以|AB |=故选：D. 2．（2022·四川巴中）点（-1，1）到直线4230x y +-=的距离为（ ） ABC D ．4【答案】A【解析】点()1,1-到直线4230x y +-=的距离为d ===，故选：A. 3．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）若点()3,1P 到直线l ：()3400x y a a ++=>的距离为3，则=a （ ）A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】B【解析】由题设可得3d ==，结合0a >可得2a =，故选：B.4．（2022·西藏昌都）两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（ ） A ．235B ．2310 C ．72D ．27【答案】C【解析】因为直线34120x y +-=与直线8110ax y ++=平行,所以8113412a =≠-,解得6a =, 将68110x y ++=化为113402x y ++=, 所以两平行直线34120x y +-=与113402x y ++=11|12|72--=.故选：C5．（2022·江苏·高二专题练习）已知x ，y ∵R ，S =S 的最小值是（ ）A ．0B ．2C ．4D【答案】B 【解析】S =P (x ，y )到点A (－1，0)与点B (1，0)的距离之和，如图所示：由图象知：PA PB AB +≥，当点P 在线段AB 上时，等号成立，所以S 取得最小值为2．故选：B6．（2022·四川巴中）当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB两点间的距离d =.考点三 对称问题【例3-1】（2021·全国·高二专题练习）点A （5，8），B （4，1），则A 点关于B 点的对称点C 的坐标为__． 【答案】()3,6-【解析】设C （x ，y ），由A （5，8），B （4，1）且B 点是A ，C 的中点，所以542812x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得36x y =⎧⎨=-⎩．所以C 的坐标为()3,6-．故答案为：()3,6-【例3-2】（2022·安徽宿州）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（ ） A ．()3,3 B ．()2,2 C ．53,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B【例3-3】（2022·江苏·高二）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --= D ．2340x y +-=【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D.【例3-4】5（2021·全国·高二课时练习）直线:210l x y -+=，则直线l 关于直线1x =对称的直线方程是______. 【答案】250x y +-=【解析】设关于直线1x =对称的直线上的点为(,)x y ，它的对称点为：00(,)x y ，因此有0000212x xx x y y y y +⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，则(2,)-x y 在直线210x y -+=上，所以2(2)10x y --+=，即250x y +-=．故答案为：250x y +-= 【一隅三反】1．（2022·江西）已知点(,5)A x 关于点(1,)y 的对称点为(2,3)--，则点(,)P x y 到原点的距离是______.【解析】根据中点坐标公式，得212x -=，且532y -=．解得4x =，1y =，所以点P 的坐标为(4,1)， 则点(,)P x y到原点的距离d2．（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____． 【答案】2455⎛⎫⎪⎝⎭－，【解析】设原点关于210x y +=－的对称点的坐标为()x y ，，则11221022y x x y ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得2545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴要求的点(2455－，)．故答案为：24(,)55-．3．（2022·江苏无锡·高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，点（0,4）关于直线x －y +1＝0的对称点为（ ） A ．(－1,2) B ．(2,－1) C ．(1,3) D ．(3,1)【答案】D【解析】设点(0,4)关于直线x －y +1＝0的对称点是(a ,b ),则4102241a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，故选：D ．4．（2022·全国·高二课时练习）直线2530x y +-=关于点2()1,M -对称的直线方程是______．【答案】25130x y +-=【解析】设对称直线为0:250++='l x y C =，解这个方程得03C =-（舍）或013=-C .所以对称直线l '的方程中25130x y +-=故答案为：25130x y +-=考点四 综合运用【例4-1】（2022·全国·高二）过定点A 的直线()0x my m R -=∈与过定点B 的直线()30mx y m m R +-+=∈交于点(),P x y ，则22||PA PB +的值为（ ）A B ．10 C ．D ．20【答案】B【解析】直线0x my -=过定点(0,0)A ，直线30mx y m +-+=可化为(1)30m x y -++=，由1030x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =⎧⎨=-⎩，所以定点(1,3)B -，当0m =时，直线方程为0x =，30y +=，此时两直线垂直， 当0m ≠时，由两直线的斜率之积为121()1k k m m=⨯-=-可知两直线垂直， 所以PA PB ⊥，所以()()22222||||010310PA PB AB ⎡⎤+==-+--=⎣⎦， 故选：B.【例4-2】（2021·全国·高二课时练习）以点A (－3，0)，B (3，－2)，C (－1，2)为顶点的三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是【答案】C【解析】AB ==BC ==AC ==222AC BC AB +=，所以三角形ABC 是直角三角形.故选：C 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,3)A ､(5,2)B ，点P 在x 轴上，则AP PB +的最小值为___________.【解析】因为()52B ，关于x 轴的对称点()52B '，-，则AB '= ,所以AP PB +的最小值为AB '2．（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】(1,0)A ，(4,4)B -，所以()044143AB k --==--，且AB 的中点为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线l 过AB 的中点，显然直线l 的斜率存在，设直线l 为522y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即5202kx y k ---=，则A 到直线l 的距离12d ==，即()()2234161k k +=+，解得0k =或247k =； 所以直线l 为20y +=或247740x y --=；若直线l 与AB 平行，设直线l 为430x y m ++=，则A 到直线l的距离22d ==，解得6m =或14m =-，所以直线l 为4360x y ++=或43140x y +-=； 综上可得满足条件的直线l 有4条；故选：D3．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知点M ，N 分别在直线1l ：0x y +=与直线2l ：30x y +-=，且1MN l ⊥，点()1,3P --，71,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PM QN +|的最小值为（ ）ABCD ．【答案】C【解析】设(),M t t -，则直线MN 的方程为,2y t x t y x t +=-=-，由23232,3022y x t t t N x y =-⎧+-⎛⎫⇒⎨ ⎪+-=⎝⎭⎩，所以PM QN + 设()()(),,1,3,2,1A t t B C -，y x =上的点A 与,B C 连线的距离之和，BC ==故选：C。
223 直线的一般式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程（基础知识+基本题型）知识点一：直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），Cb B -=（y 轴上的截距）；（2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.拓展直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式，斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．因此,要注意运用分类讨论的思想．在高考中,题型以选择题和填空题为主,与其他知识点综合时,一般以解答题的形式出现．知识点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠）1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.考点一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y ―4=0（2）y ―2=0（3）2x ―y ―3=0（4）10x y +-=【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y ―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x ―y ―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．考点二：直线与坐标轴形成三角形问题例2．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．考点三利用一般式研究平行或垂直例3.已知直线l 的方程为34120x y +-=，求直线'l 的方程，'l 满足：（1）过点(1,3)-，且与l 平行；（2）过点(1,3)-，且与l 垂直.解：方法1：由已知，l 的方程34120x y +-=可化为334y x =-+，所以直线l 的斜率为34-.（1）由l 与'l 平行，得直线'l 的斜率为34-.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.（2）由l 与'l 垂直，得直线'l 的斜率为43.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为43(1)3y x -=+，即43130x y -+=.方法2：（1）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为340x y m ++=.将点(1,3)-代入上式，得9m =-.所以直线'l 的方程为3490x y +-=.（2）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为430x y n -+=.将点(1,3)-代入上式，得13m =.所以直线'l 的方程为43130x y -+=.总结：（1）直线1111:0l A x B y C ++=，直线2222:0l A x B y C ++=：①'12210l l A B A B ⇔-= ，且122112210(0)B C B C A C A C -≠-≠或；②'12120l l A A B B ⊥⇔+=.（2）利用平行与垂直的关系巧设方程①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为10Ax By C ++=，再由其他条件求1C .注意当1C C =时，两直线重合，当1C C ≠时，两直线平行.②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为20Bx Ay C -+=，再由其他条件求2C .例4（1）过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是．(2)已知直线l 过点(2,1)p ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则BC △O 面积的最小值为；此时的直线方程为．【解析】欲求“直线与两坐标轴围成的三角形的面积”，设直线方程并求其在两坐标轴上的截距是解题的关键．（1）设所求直线方程为4(5)y k x +=+，依题意有14(5)(54)52k k--=，所以22530160k k -+=（无解）或22550160k k -+=，解得25k =或85k =；所以直线方程是25100x y --=或85200x y -+=．（2）设直线AB 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则11(2)(12)211 =44211 4(4)()21 442S k k k k k k =----=--+-≥+=△O A B ，当且仅当14kk-=-即12k=-时取等号，故当12k=-时，OABS△有最小值4．此时，直线方程为11(2),2y x-=--即240x y+-=．反思：本题第（2）小题是将面积化成关于斜率k的函数，然后用函数的有关方法求最值．这里的关键是根据函数式的结构特征选用均值不等式．。
新人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线的一般式方程全套课件
A ．平行
√B．垂直
C ．不平行也不垂直 D．与m，n的取值有关
解析：因为两直线斜率之积等于－1，所以两直线垂直．
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3．若直线的截距式xa ＋by ＝1 化为斜截式为 y＝－2x＋b，化为一般式为
bx＋ay－8＝0 且 a>0，则 a＋b＝________． 解析：由xa ＋by ＝1，得 y＝－ba x＋b，一般式为 bx＋ay－ab＝0，所以－
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(2)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍． 解：因为 3x＋8y－1＝0 可化为 y＝－38 x＋18 ， 所以直线 3x＋8y－1＝0 的斜率为－38 ， 则所求直线的斜率 k＝2×－38 ＝－34 .
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又直线经过点(－1，－3)， 所以所求直线的方程为 y＋3＝－34 (x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
C ． x＋2y－1＝0 √D．2x＋y－2＝0
解析：直线 x－2y－2＝0 的斜率为12 ，则所求直线的斜率为－2， 即所求直线的方程为 y－0＝－2(x－1)， 即 2x＋y－2＝0.故选 D.
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4．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为
√A.3x＋2y－1＝0
C.2x－3y＋5＝0
B．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，
又直线l过点(－1，2)，代入可得c＝－1，
故所求直线方程为3x＋2y－1＝0.
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2．已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2 时，m＝________；当l1∥l2时，m＝________． 解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0； 若l1∥l2，则m2－1＝0，且(－1－m)×1－m(－2m－2)≠0，解得m＝1. 答案：0 1
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高二数学直线方程人教版（理）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
直线方程
二. 重点、难点：
1. 两点间距离公式
),(11y x P ，),(22y x Q
221221)()(||y y x x PQ -+-=
2. 倾斜角α
︒<≤︒1800α
3. 斜率k
（1）︒<≤︒900α或︒<<︒18090α时 αtan =k
︒=90α k 不存在
（2）),(11y x P ，),(22y x Q y PQ //轴
1
212x x y y k PQ --= 4. 直线方程： （1）点斜式 )90()(00︒≠-=-αx x k y y
（2）斜截式 )90(︒≠+=αb
kx y （3）两点式 )90,0(1
21121︒︒≠--=--αx x x x y y y y （4）截距式 1=+b
y a x （︒︒≠90,0α，不过原点） （5）一般式 0=++C By Ax （所有直线）
【典型例题】
[例1] 已知)2sin ,2(cos ),sin ,(cos ααααB A ，求||AB 的最大值。
解：
22)sin 2(sin )cos 2(cos ||αααα-+-=AB
)sin 2sin cos 2(cos 22αααα+-=
2|2
sin |22sin 4)
cos 1(22≤==-=ααα
∴)(4Z k k ∈±=ππα时，2||max =AB
[例2] 正ABC ∆中，)2,4(),0,2(B A ，求C 点坐标。
解：设),(y x C
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-⇒⎩⎨⎧==8)2()4(8)2(||||||||2222y x y x AB BC AB AC
∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=313311y x 或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=3
13322y x [例3] R y y y x x x n n ∈...,,...,2121，求证：≥++++++2222222121...n n y x y x y x
2121)...()...(n n y y x x +++++。
证：在直角坐标系xOy 中
),(111y x A ),(21212y y x x A ++……)...,...(11n n n y y x x A +++
显然：||||...||||1211n n n OA A A A A OA ≥+++- 即≥++++++2222222121...n n y x y x y x
221221)...()...(n n y y y x x x +++++++
[例4] 已知通过A （8，6）的四条直线的倾斜角之比为4:3:2:1，第二条直线过原点，求其余三条直线的倾斜角。
解：设四条直线的倾斜角依次是αααα432、、、
∵18040<≤α ∴450<≤α ∵4308062tan 2=--=
=k α ∴3tan 3
1tan -==αα（舍） ∴7
244tan 9133tan ==αα ∴913arctan 331arctan ==αα 7
24arctan 4=α [例5] 过)5,3(--A 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程。
法一：)3(5+=+x k y ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-==3505
30k x y k y x ∴135355321-==-=
-k k k k
法二： （1）
1=+a
y a x )5,3(--代入8-=a 即08=++y x
（2）过原点 035=-y x
[例6] 直线l 倾斜角为5
3arcsin ，若它与坐标轴围成三角形面积为6，求l 的方程。
解：)2,0(53arcsin πα∈= ∴4
3tan =α 设：l ：b x y +=4
3 b x y b y x 3
4,0,,0-==== 6|34|||21=-⋅⋅=∆b b S ∴3±=b
∴l ：01243=±-y x
[例7] 直线l 过点)1,2(A ，交x 、y 轴正半轴于B 、C ，求使OBC ∆面积最小的直线l 的方程。
解：0<k )2(1-=-x k y
k y x 21,0-== k
k x y 21,0-== k
k k k k k k k S -+-⋅=-=-⋅-=∆14421||)21(21|21||21|2122 4]442[2
1]41)(4[21=+⋅≥+-+-⋅=k k 2
1-=k l ：042=-+y x [例8] 已知三条直线04,03,02=--=--=--y kx ky x y x 交于一点，求k 。
解：)1(111320302≠⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=⇒⎩⎨⎧=--=--k k y k k x ky x y x 代入3l ∴041
1132=------⋅k k k k 即：05722=+-k k
25=k 或1=k （舍） ∴2
5=k [例9] 求证，无论k 为任何直线：0)11()3()12(=--+--k y k x k 必过一定点。
解：由已知整理：0)113()12(=+--+--y x y x k
∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+--=--3
20113012y x y x y x ∴l 过点（2，3）
[例10] 已知直线l ：x y 4=，和点P （6，4），在直线l 上求一点Q 。
使直线PQ 、l 、x 轴在第一象限内围成的三角形面积最小。
解：设),(b a Q ，1>a
∴PQ l ：b
a x
b y --=--644 PQ l 交x 轴于),(11y x M ∴b b a x +---=
4
)6(41，01=y ∴b b a S ⋅+---=∆)64
)6(4(21 )64
4424(2+--⋅=a a a 1
10)1(20)1(1011022-+-+-=-=a a a a a 4020100220110)1(10=+≥+-+-=a a
C. D.
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 点斜式：)(11x x k y y -=-适用于不垂直x 轴的直线
B. 斜截式：b kx y +=适用于不垂直x 轴的直线
C. 两点式：
1
21121x x x x y y y y --=--适用于不垂直x 轴的直线 D. 截距式：1=+b y a x 适用不过原点的直线 4. 下列说法正确的是（ ）
A. k x x y y =--1
1过),(11y x P 斜率为k 的直线 B. 直线b kx y +=与y 轴交于),0(b B ，其中||OB b =
C. 在x 轴、y 轴上截距为a 、b 的直线方程为1=+b
y a x D. 方程))(())((112112x x y y y y x x --=--，表示过点),(11y x P ，),(22y x Q 的直线
5. 直线01cos =-⋅+θy x 的斜率角α的取值范围是（ ）
A. ]43,4[ππ
B. ),4
3[]4,0(πππY C. ],2()2,0[πππY D. ]4
3,2()2,4[ππππY 6. 过A （1，1）作l 交直线02=+y x ，033=--y x 于M 、N ，点A 为MN 中点，求l 的方程。
7. 过)4,1(P 引直线l ，使它在两坐标轴上截距均为正数，且两截距之和最小，求l 的方程。
试题答案
1. A
2. D
3. D
4. D
5. A
6. 解：设),(b a M ，)2,2(b a N -- ⎩⎨⎧-⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=----=+)0,3()2,1(2103)2(3202N M b a b a b a ∴l ：032=-+y x
7. 解：0<k
l ：)1(4-=-x k y
k y x -==4,0，k k x y 4
,0-== 截距和k k k k k S -+-+=-+-=4
)(544
∵0<k ∴0>-k ∴9425=+≥S k k -=-4
∴2-=k
∴1l ：062=-+y x。