新编高中数学竞赛用三角函数公式大全

三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x

y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan =

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ

+2、απ

-2、απ+23、απ-2

3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=

+ β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α

αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-

2)cos (sin 2sin 1ααα+=+

2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

ααα2tan 1tan 22sin +=，α

αα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．

来表示。 七、和差化积公式

2cos 2

sin 2sin sin βαβ

αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos 2cos

2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin 2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=- 八、积化和差公式 [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=

⋅ [])s i n ()s i n (21s i n c o s βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ [])c o s ()c o s (2

1s i n s i n βαβαβα--+-=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a

其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，

22sin b a b +=

ϕ，22cos b a a +=ϕ，a

b =ϕtan 。 十、正弦定理 R C

c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 十一、余弦定理

A bc c b a cos 2222⋅-+=

B ac c a b cos 2222⋅-+=

C ab b a c cos 2222⋅-+= 十二、三角形的面积公式

高底⨯⨯=

∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角） R

abc S ABC 4=∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c b a S ABC ⋅++=

∆2（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=

∆…海仑公式（其中2c b a p ++=）