幂级数的展开式
常用幂级数展开公式
常用幂级数展开公式
常用幂级数展开公式是数学中非常重要的工具，它能够将各种函数用幂级数的形式进行表示，从而方便我们进行数学推导和计算。以下是一些常用的幂级数展开公式：
1. e^x 的幂级数展开式：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ...
2. sin(x) 的幂级数展开式：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n *
x^(2n+1)/(2n+1)! + ...
3. cos(x) 的幂级数展开式：
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... + (-1)^n *
x^(2n)/(2n)! + ...
4. ln(1+x) 的幂级数展开式：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n-1) * x^n/n + ...
5. (1+x)^a 的幂级数展开式：
(1+x)^a = 1 + a*x + a(a-1)*x^2/2! + a(a-1)(a-2)*x^3/3! + ... + a(a-1)...(a-n+1)*x^n/n! + ...
以上是一些常用的幂级数展开公式，它们都具有重要的应用价值。在进行数学推导和计算时，我们可以根据具体情况选择合适的幂级数展开公式，以便更加高效地完成工作。
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函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式是一种用无穷多个幂次项来表示函数的展开式。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来近似计算各种函数和解决各种数
学问题。在本文中，我们将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并通过一些实例来加深理解。
一、函数的幂级数展开式的定义
给定一个实函数f(x)，如果它在一些区间[a, b]上无穷次可导，并
且对每一个x∈[a, b]，都存在常数an（n=0,1,2,3,...）使得f(x) = ∑(n=0 to ∞) an(x-a)n，其中an是常数，这个展开式就称
为函数f(x)在点a处的幂级数展开式。其中(x-a)n表示x-a的n次幂。
二、函数的幂级数展开式的性质
1.函数的幂级数展开式在其收敛半径内是收敛的，即对于任意
x∈[a,b]，幂级数展开式都收敛。收敛半径的计算可以使用柯西-阿达玛
公式进行推导。
2.函数的幂级数展开式可以实现函数的逐项求导和逐项求积分操作，
即对幂级数展开式的每一项进行求导或求积分操作后，得到的仍然是原函
数在该点的幂级数展开式。
3.函数的幂级数展开式的和函数在展开区间内连续，但在展开区间端
点处是否连续需要根据情况来确定。如果和函数在展开区间端点处连续，
那么展开式的收敛性在展开区间端点处也成立。
三、函数的幂级数展开式的应用
1.函数逼近：幂级数展开式可以用来逼近各种函数，将一个函数表示为幂级数的形式，可以利用幂级数的性质对其进行计算和分析，从而更好地理解函数的性质。
2.函数求和：使用函数的幂级数展开式可以求解一些无穷级数的和，如调和级数、指数级数、三角级数等。
常见函数的幂级数展开式
常见函数的幂级数展开式
【常用函数的幂级数展开式】 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! \displaystyle
e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
ex=n=0∑∞n!xn
s i n x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n +
1 ) ! \displaystyle sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinx=n=0∑∞
(−1)n(2n+1)!x2n+1
c o s x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) !
\displaystyle cosx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n
1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n \displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n 1+x1=n=0∑∞(−1)nxn
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n 1−x1=n=0∑∞xn
l n ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 \displaystyle ln(1+x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} ln(1+x)=n=0∑∞(−1)nn+1xn+1
幂级数展开法推导
幂级数展开法推导
幂级数展开法是数学中一种重要的计算方法，它被广泛应用于函
数的近似表示、微积分和概率论等领域。在本篇文章中，我们将介绍
幂级数展开法的推导方法，并给出一些实例。
一、幂级数展开法的基本定义
幂级数展开法是指将一个连续函数表示为无限级数的形式。设f(x)是一个定义在区间I上的连续函数，那么f(x)可以表示为一个无限级数的形式，即：
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 +...+anxn+...
其中a0, a1, a2,...,an,...为常数，且x∈I。这里将其称作幂
级数展开式，也可以称作泰勒级数、麦克劳林级数等。
二、泰勒级数的推导方法
对于大多数函数，要想简化其表达式，我们需要求出其导数。幂
级数展开法也是通过求函数的导数来推导的，下面我们以泰勒级数（Taylor Series）为例，介绍其推导方法。
泰勒级数是指在点x0附近，将函数f(x)展开成无限级数的形式，即：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)^2/2!
+ ...+ f(n)(x0)(x - x0)n/n! + ...
上式中，f(x0)表示函数在x = x0处的函数值，f'(x0)表示它的一阶导数在x = x0处的函数值，f''(x0)表示它的二阶导数在x = x0处的函数值，f(n)(x0)表示它的n阶导数在x = x0处的函数值。
我们可以通过对f(x)进行求导的方式来推导出泰勒级数的式子。假设有如下泰勒级数：
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 +...+anxn+...
常见幂级数展开式求和公式
常见幂级数展开式求和公式
幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以将各种函数表示为无穷级数的形式。常见的幂级数展开式求和公式有泰勒级数、麦克劳林级数和幂级数的逐项积分求和公式。下面将逐一介绍这些公式。
1.泰勒级数求和公式：
泰勒级数是将一个函数在其中一点展开成无穷级数的形式，用于近似表示函数在该点的值。对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=a 处的泰勒级数展开式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...
其中，f^n(a)表示f(x)在x=a点的n阶导数，n!表示n的阶乘。当n 足够大时，泰勒级数可以提供较准确的函数近似。
2.麦克劳林级数求和公式：
麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处展开的特殊形式。对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=0处的麦克劳林级数展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...
麦克劳林级数将函数近似表示为多项式的形式，方便计算。
3.幂级数逐项积分求和公式：
对于幂级数∑a_n(x-a)^n，可以对其逐项积分得到：
∫[∑a_n(x-a)^n]dx = ∑[a_n/(n+1)(x-a)^(n+1)] + C
其中，C为积分常数。这个公式可以用于计算幂级数的积分。
除了上述三种常见幂级数展开式求和公式，还有一些其他的展开式求和公式，如：
4.欧拉恒等式：
欧拉恒等式表示以自然对数e为底的指数函数和三角函数的关系：e^ix = cos(x) + i·sin(x)
7个常见级数展开式
7个常见级数展开式
级数展开式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们更好地理解数学中的概念。下面介绍7种常见的级数展开式：
1、等比数列展开式：等比数列是指公差相等的数列，它的展开式可以表示为：
a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1，其中a1是等比数列的首项，q是公比，n是项数。
2、等差数列展开式：等差数列是指公差相等的数列，它的展开式可以表示为：
a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+…+a1+(n-1)d，其中a1是等差数列的首项，d是公差，n是项数。
3、幂级数展开式：幂级数是指以某个数为底的数列，它的展开式可以表示为：
a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，其中a0、a1、a2、a3…an是幂级数的系数，x是底数，n
是项数。
4、指数级数展开式：指数级数是指以某个数为底的数列，它的展开式可以表示为：
a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，其中a0、a1、a2、a3…an是指数级数的系数，x是底数，n 是项数。
5、泰勒级数展开式：泰勒级数是指以某个函数为底的数列，它的展开式可以表示为：
f(x)+f'(x)x+f''(x)x2/2!+f'''(x)x3/3!+…+f(n)(x)xn/n!，其中f(x)、f'(x)、f''(x)、f'''(x)…f(n)(x)是泰勒级数的系数，x是底数，n是项数。
6、梯形级数展开式：梯形级数是指以某个函数为底的数列，它的展开式可以表示为：
f(x)+f(x+h)+f(x+2h)+f(x+3h)+…+f(x+nh)，其中f(x)、f(x+h)、f(x+2h)、f(x+3h)…f(x+nh)是梯形级数的系数，x是底数，h是步长，n是项数。
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式
一、概述
幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式
1. $e^x$的幂级数展开式
可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$
这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式
$\sin x$函数的幂级数展开式为：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$
3. $\cos x$的幂级数展开式
$\cos x$函数的幂级数展开式为：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$
4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式
$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：
$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$
5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式
幂级数展开公式
幂级数展开公式
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特定初等函数的幂级数展开式就是泰勒级数的特定形式，没什么太小区别。
用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。
麦克劳林公式的意义就是在0点，对函数展开泰勒进行。
年maclaurin在访问伦敦时见到了newton，从此便成为了newton的门生。
年编写名著《流数论》，就是最早为newton流数方法作出了系统逻辑阐释的著作。他以娴熟的几何方法和穷竭法论证了流数学说道，还把级数做为谋分数的方法，并单一制于cauchy以几何形式得出了无穷级数发散的分数辨别法。他获得数学分析中知名的maclaurin级数展开式，用未定系数法给与证明。
幂级数展开法推导
幂级数展开法推导
幂级数是一种基本的数学工具，它可以将一个函数表示成幂级数的形式，便于对其进行求解和分析。在实际问题中，我们往往需要用到幂级数展开法来求解一些特定的问题。本文将围绕幂级数展开法进行推导，分步骤进行阐述。
第一步：明确幂级数展开法的定义和基本形式
幂级数展开法指的是将一个函数表示成一段无穷级数的形式，即f(x) = Σ(an(x-a)n)，其中a是函数的某一个特定点，an称为函数的幂级数系数，x-a称为幂级数的基础部分。对于不同的函数，幂级数的基础部分和幂级数系数是不同的。
以指数函数e^x为例，它的幂级数展开式为e^x = Σ(x^n /
n!)，其中幂级数的基础部分为0，幂级数系数为(x^n / n!)。
第二步：确定函数在基础点处的幂级数系数
将函数在基础点处进行泰勒展开，得到f(x) = Σ(f(n)(a) /
n!)(x-a)n，其中f(n)(a)表示在点a处函数的n阶导数。将此式中的f(n)(a)代入幂级数展开式中，即可得到该函数在基础点处的幂级数系数。
以sinx为例，它的泰勒展开式为sinx = Σ(-1)n(x^(2n+1) / (2n+1)!))，当基础点为0时，幂级数系数为(-1)n / (2n+1)!。
第三步：确定展开区间
幂级数的展开区间可以通过研究函数的性质确定。对于周期函数，展开区间为一个周期的范围。对于具有奇点（如tanx），展开区间需要避开奇点。同时，还要注意函数在展开区间内的单调性和收敛性。
以tanx为例，它在x=π/2处有一个奇点，因此我们需要避开这个点。选择展开区间为(-π/2, π/2)时，幂级数展开式为 tanx =
函数幂级数展开式
函数幂级数展开式
假设我们需要展开一个函数 f(x) 的幂级数。幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中每一项都是 x 的幂次的多项式。
我们可以使用泰勒级数展开来近似表示一个函数。泰勒级数展开的一般形式如下：
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...
其中 a0, a1, a2, a3, ...是待定系数，它们的值可以通过函数求导后代入来确定。
假设我们希望将函数 f(x) 在点 x = a 处展开，我们需要依次求取 f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), ... 等导数，并代入泰勒级数展开式中。
之后，我们就可以得到幂级数展开式：
在实际操作中，我们可以选择一个适当的点 a，计算出 a 处的函数值和各阶导数的值，然后代入上述展开式中即可获得函数 f(x) 的幂级数展开式。
需要注意的是，幂级数展开只能在某个范围内是有效的，展开后的级数在展开点附近收敛。当使用幂级数展开来近似函数时，需要确保展开的范围合适，以获得较好的近似效果。
对数函数的幂级数展开式
探索对数函数的幂级数展开式
对数函数在数学中扮演着重要的角色，它的幂级数展开式也是数
学中极为重要的一部分。本文将探讨对数函数的幂级数展开式，详细
介绍展开式的定义、性质和求解方法。
首先，我们来了解一下什么是幂级数展开式。幂级数展开式是指
将一个函数展开成一系列次数递增的幂函数相加的形式，其一般形式
如下：
f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+…
其中，a0、a1、a2、a3 等都是常数，x0 是展开的基准点，x 为
变量。对于对数函数，其幂级数展开式为：
ln(1+x)=x−x22+x33−x44+…
该展开式的收敛半径为 1，即当 x 的绝对值小于 1 时收敛。
接下来，我们来探讨对数函数幂级数展开式的性质。首先，由于
幂级数展开式具有可加性，我们可以得到以下性质：
（1）ln((1+x)(1+y))=ln(1+x)+ln(1+y)
（2）lnxn=nlnx
（3）ln1x=−lnx
其中（1）性质为对数函数幂级数展开式的基本性质，（2）和（3）性质则分别对应了指数函数和倒数函数的幂级数展开式。
最后，我们来介绍一下对数函数幂级数展开式的求解方法。由于幂级数展开式的每一项都是相邻项之间存在相同的公因数，因此我们可以通过递推关系式来计算幂级数展开式，即：
an+1=(−1)n+1(x−x0)n+1n+1an
a0=ln(1+x0)
通过计算，我们不仅能得到对数函数的幂级数展开式，还可以得到展开式的阶数、收敛半径、误差等重要信息。
总之，对数函数的幂级数展开式在数学中扮演着重要的角色，本文介绍了其定义、性质和求解方法，希望能对读者有所启发。
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式
1 示例：二项式定理
二项式定理是一阶微分方程处理问题的重要工具，它将幂级数表
达式简化为一个函数。二项式定理为$(a + b)^n =
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，即一个多项式$x^n$可以
通过 $x^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ 来表达。
2 欧拉公式
欧拉公式是一个著名的数学公式，它可以用幂级数表示，即$e^x
= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$。这里x是任意实数，n是
一个正整数，$n!$是n的阶乘。
3 泰勒三阶展开式
泰勒三阶展开式它可以用幂级数表达，即
$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-
a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$。其中f(x)是给定的函数，$f'(x)$是f的导函数，$f''(x)$是f的二阶导函数;而$a$是函数f的
一个自变量。
4 高斯展开式
高斯展开式也叫渐近级数，它可以用幂级数表示，即
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$，其中a_n是正常序数
$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而$x_0$是 f的某一点。
5 拉格朗日幂级数
拉格朗日幂级数是由法国数学家拉格朗日提出的，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。
对数函数的幂级数展开式
对数函数的幂级数展开式
对数函数是数学中一种常见的函数形式，广泛应用于各个领域。它可以通过幂级数展开来表示，这个展开式为：
ln(x) = (x - 1) - (x - 1)^2 / 2 + (x - 1)^3 / 3 - (x - 1)^4 / 4 + ...
这个幂级数展开式可以帮助我们更好地理解对数函数的性质和特点。本文将从几个不同的角度来探讨对数函数的幂级数展开式。
一、对数函数的定义
对数函数的定义是：ln(x) = ∫(1 to x) 1/t dt。这个定义可以帮助我们理解对数函数的本质，它是指数函数的逆运算。对数函数的幂级数展开式是基于这个定义推导出来的。
二、幂级数展开的推导
对数函数的幂级数展开可以通过泰勒级数来推导。首先，我们需要对对数函数进行泰勒展开，得到对数函数在某一点附近的近似表达式。然后，我们将对数函数的泰勒展开式转化为幂级数展开式。
三、幂级数展开的应用
1. 计算近似值：对数函数的幂级数展开式可以用于计算对数函数在某一点附近的近似值。当我们需要计算对数函数的值时，可以使用幂级数展开式来代替精确计算，从而简化计算过程。
2. 数值计算：对数函数的幂级数展开式在数值计算中有广泛应用。
例如，在求解微分方程、求解非线性方程、优化问题等数值计算中，对数函数的幂级数展开式可以作为数值计算的基础。
3. 物理应用：对数函数的幂级数展开式在物理学中也有重要应用。例如，在电路分析、热传导等问题中，对数函数的幂级数展开式可以用于近似解析解，从而简化物理模型的计算。
四、幂级数展开的特性
对数函数的幂级数展开式具有以下特性：
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
常见的幂级数展开式
常见的幂级数展开式
世界自古以来就以多种形式存在，其中最著名的就是幂级数展开式。幂级数展开式是数学
中一种重要的代表，它由若干项相加而成，每一项都是由某指数幂、一常数和一变量构成的，它们之间常有某种规律的关系。幂级数展开式的构成可以包括加法，也就是把一个数
加到一个变量上；减法，也就是把一个数减到一个变量上；乘法，也就是把一个变量乘以
一个变量上；还有数学中最简单的加法，减法，乘法，除法运算。
幂级数展开式可以用来表示不同的函数，但它们的精确性往往随着不同类型的函数而不同，比如正弦函数就用幂级数展开式表示起来更为精确。同时，幂级数展开式也可以用在研究许多复杂的函数中，有时可以更容易地将函数的特性描述出来。
幂级数展开式通常是以指数幂的形式表示，在数学上，指数幂就是一个指数。指数幂可以用来表达幂级数展开式中每项的指数，它是一种非常有用的表达方式，可以让人更容易地
看懂幂级数展开式中的结构。
此外，用幂级数展开式计算可以比传统的方法节省许多时间，它的快速计算令它更受欢迎，因为它可以解决一般函数不容易解决的问题。而且，由于它的精确度较高，它还可以被用
于精密的工程计算上。
总之，幂级数展开式是一种重要的数学表达式，它对大多数函数有效，是一种可以快速计算、高精度计算的重要方法，在科学、工程等领域也有广泛的应用。
几个常用幂级数展开式
几个常用幂级数展开式
常用函数幂级数展开式EXnnn=0，xg(g，+8)1Madebyxkwy(HPU)
(1)nXn+1ln(1+x)二，xg(1，1n+1n=0。
(1)nX2n+1/、smx=，xg(g，+g)(2n+1)!n二0(1)nX2n/、
cosx=，xg(g，+g)(2n)!
n二000=E(1)nXnn=0，xg(1，1)00=工xn，xg(1，1)
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∞
2n
∞ < x < +∞
(6) ) (7) )
ln(1 + x) = ∑ (1)
n =1
∞
n 1
x , n
n
1 < x ≤ 1
x n + ...
(1 + x) = 1 + αx +
= 1+ ∑
n =1 ∞
α
α (α 1)
2! α (α 1)...(α n + 1)
n!
x + ... +
2
α (α 1)...(α n + 1)
n!
xn , R = 1
本章要掌握的主要内容
一.常数项级数(正项级数,交错级数,任意项级数)的收 常数项级数(正项级数,交错级数,任意项级数) 敛性的判定 二.求幂级数的收敛半径与收敛区间 三.求幂级数的和函数(经常要通过逐项微分和逐项积分 求幂级数的和函数( 来处理, 来处理,幂级数通过逐项微分和逐项积分以后收敛半径不 但端点的收敛性可能改变),求常数项级数的和函数, ),求常数项级数的和函数 变,但端点的收敛性可能改变),求常数项级数的和函数, 要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡. 要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡. 要写出展开式与收敛区间) 四.将函数展开成幂级数 (要写出展开式与收敛区间) 应掌握 展开条件和两种方法.直接法要记住六个基本公式, 展开条件和两种方法.直接法要记住六个基本公式, 实际处理问题时一般用间接法. 实际处理问题时一般用间接法.
如条件满足, 如条件满足,
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
例1 解
将e 展开成x的幂级数
x
f
(n)
( x) = e , f
x
∞
(n)
( 0 ) = 1.
( n = 0,1,2,)
xn x2 xn e x的麦克劳林级数为∑ = 1 + + ... + + ... R = +∞ n! 2! n = 0 n! x f ( n +1) (ξ ) n +1 eξ e Rn ( x) = x = x n +1 < x n +1 → 0, ( n → ∞ ) (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)!
1 3 1 5 x 2 n +1 = x x + x + ( 1) n + 3 5 2n + 1 x ∈ [1,1]
dx ln(1 + x ) = ∫ 0 1+ x 1 2 1 3 xn n 1 = x x + x + ( 1) + 2 3 n x ∈ (1,1]
x
x 1 在x = 1处展开成泰勒级数 例4 将 f ( x ) = 4 x
双阶乘
[1,1]
2.间接法 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换 变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方 求展开式. 法,求展开式 求展开式 例如 cos x = (sin x )′
1 1 2 1 3 3 n ( 2n 3)!! n 1+ x = 1+ x x + x + + ( 1) x + 2 2 4 246 ( 2n)!! [1,1]
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2 n 1)!! n x x + + ( 1) x + = 1 x + 1+ x 2 24 246 ( 2n)!!
令 x = x0 , 即得 1 (n) an = f ( x0 ) n!
(n = 0,1,2, 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n=0 (n) ∞ f ( 0) n 麦克劳林级数. ∑0 n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n=
1 ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) n = ( x 1) + + + + + 2 3 n 3 3 3 3 x 1 < 3 (n) f (1) 1 = n, 于是 3 n!
故 f
(n)
n! (1) = n . 3
常用函数的幂级数展开式: 常用函数的幂级数展开式:
(1) )
∞ 1 = ∑ xn , 1 x n =0
Байду номын сангаас
(2) ) (3)
∞ 1 n 2n = ∑ (1) x , 2 1+ x n =0
xn ex = ∑ , n = 0 n!
∞
∞
∞ < x < +∞ ∞ < x < +∞
x 2 n +1 (4) sin x = ∑ ( 1) n ) ( 2n + 1)! n =0
(5) )
x cos x = ∑ (1) , (2n)! n =0
问题: 只要函数f(x)在已知点任意阶可导,f(x) 问题: 只要函数 在已知点任意阶可导, 在已知点任意阶可导 在该点的泰勒级数总是可以写出的, 在该点的泰勒级数总是可以写出的, 那末这个泰勒级数在收敛区间内是否 一定收敛于f(x)呢? 一定收敛于 呢
即
f (n) ( x0 ) f ( x) ? ∑ ( x x0 )n == n! n=0
∵ 当x确定后, e
∴
x
x
有界, 而
x
n +1
(n + 1)!
是收敛级数∑
n =0
∞
x
n
n!
的一般项
1 2 1 n e = 1 + x + x ++ x + x ∈(∞,+∞) 2! n!
f x . 例2 将 ( x) = sin x展开成 的幂级数
解
f
(2n)
(n)
nπ nπ (n) ( x ) = sin( x + ), f (0) = sin , 2 2
二,函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法) 1.直接法(泰勒级数法) 直接法 步骤: 步骤
(1)求an =
∞ n
f
(n)
( x0 ) , 写出f ( x)在点x0的幂级数 n!
∑ a ( x x ) 并求其收敛域
n n =0 0
(2) 判定
lim Rn ( x) = 0 n→∞
是否成立? 是否成立?
第四节 函数的幂级数展开式
一,泰勒级数
上节告诉我们: 上节告诉我们: 幂级数在其收敛域内有一个和函数, 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
an ( x x0 )n ∑
n=0
∞
1 (n) 则其系数 an = f ( x0 ) n!
∞
(n = 0,1,2, )
定理1回答了问题 和问题3) 回答了问题2和问题 是唯 一的. (定理 回答了问题 和问题 ) 且展开式 一的.
∵ ∑ a n ( x x0 ) n 在u( x0 )内收敛于 f ( x ),即 证明
�
n→∞
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
∵ f ( x) = ∑
i =0
n
f ( i ) ( x0 ) i ( x x0 ) + Rn ( x ) i!
n→ ∞
∴ Rn ( x ) = f ( x ) sn+1 ( x ), ∵ lim sn+1 ( x ) = f ( x )
∴ lim Rn ( x ) = lim[ f ( x ) sn+1 ( x )] = 0 ;
∞
不一定. 不一定
1 x2 e , x ≠ 0 例如 f ( x) = 0, x=0 (n) 点任意可导, 在x=0点任意可导 且 f (0) = 0 ( n = 0,1,2,) 点任意可导
1 x lim lim e 0 1 =0 x = 比如 f ′(0) = =x→0 1 x → 0 2ex2 x → 0 x0 x2 e ∞
(展开成 x 1的幂级数 )并求 f ( n ) (1).
1 1 解 ∵ 1 = , = 4 x 3 ( x 1) 3(1 x 1) 3
1 x 1 x 1 2 x 1 n ) ++ ( ) + ] = [1 + +( 3 3 3 3
x 1 < 3
x 1 1 ∴ = ( x 1) 4 x 4 x
(n)
x ∈(∞,+∞)
f x . 例3 将 ( x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成 的幂级数
α
有如下牛顿二项式展开式(展开过程略) 解: 有如下牛顿二项式展开式(展开过程略)
∴ (1+ x)α α(α 1) 2 α(α 1)(α n + 1) n x ++ x + = 1+ αx + 2! n! x ∈(1,1)
∴f
(0) = 0, f ( 2 n+1) (0) = ( 1) n , ( n = 0,1,2,)
nπ 且 f ( x ) = sin( x + ) ≤ 1 x ∈ ( ∞ ,+∞ ) 2 2n+1 1 3 1 5 x n ∴sin x = x x + x + (1) + 3! 5! (2n + 1)!
n= 0
f ( x ) = a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) +
n
逐项求导任意次,得 逐项求导任意次 得
′( x ) = a1 + 2a 2 ( x x0 ) + + na n ( x x0 ) n1 + f f ( n ) ( x ) = n! a n + ( n + 1)n 3 2a n+1 ( x x0 ) +
1 x2
lim
∴ f ( x )的麦氏级数为 ∑ 0 x n
n= 0
该级数在( ∞ ,+∞ )内和函数 s( x ) ≡ 0. 可见 除s = 0外, f ( x )的麦氏级数处处不收敛 于 f ( x ).
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
注意: 在x = ±1处收敛性与 α的取值有关 . 注意:
x=1 x=-1
α >0 -1<α <0 α ≤ 1 α >0 α <0
绝对收敛 条件收敛 发散 绝对收敛 发散
1 当α = 1,± 时, 有 2 1 = 1 x + x 2 x 3 + + ( 1) n x n + ( 1,1) 1+ x
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
∵ f ( x ) sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,
即 lim sn+1 ( x ) = f ( x ),
n→ ∞
∴ f ( x )的泰勒级数收敛于 f ( x ).
∞
f ( x) = ∑an ( x x0 )n
n=0
2. 如果能展开 a n 是什么 3.展开式是否唯一 如果能展开, 是什么? 展开式是否唯一? 展开式是否唯一
定理1 U 定理 1 如果 函数 f (x)在 δ ( x0 )内具有 任意 阶导 级数, 数 且 Uδ ( x0 )内能展 , 在 开成( x x0 )的幂 级数 , 即 f ( x) =
1 3 1 5 x2n+1 ∵sin x = x x + x + (1)n + 3! 5! (2n + 1)! 2n 1 2 1 4 n x ∴ cos x = 1 x + x + ( 1) + 2! 4! ( 2n)!
x ∈ ( ∞ ,+∞ )
arctan x = ∫
x
0
dx 1 + x2