平行线分线段成比例定理

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平行线分线段成比例定理 (2)

平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理（Parallelogram Proportion Theorem）是几何学中关于平行线与线段相交的一个重要定理。

该定理表明，如果在两条平行线上，有一条直线与这两条平行线相交，那么它所截取的线段与平行线的对应线段成比例。

定理描述设有两条平行线l和m，直线n与这两条平行线相交。

如果直线n依次截取了线段AB和CD，那么这两条线段的比例等于与AB和CD平行的线段的比例，即：AB/CD = AE/CF其中，A、B分别是直线n与l的交点，C、D分别是直线n与m的交点，E、F分别是直线n与l和m的另外两个交点。

证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用类似于相似三角形的方法来进行证明。

步骤1：构造辅助线段首先，我们在直线n上任意取一点G，然后通过G分别作l和m的垂线GH和GK。

此时，我们得到了一个平行四边形AGHK。

通过平行线的性质，我们可以知道AG和HK是平行的，并且两条平行线之间的距离是相等的。

步骤2：证明三角形AFB与三角形CGD相似由于AGHK是一个平行四边形，所以我们可以得到以下结论：∠KGD = ∠HAG （对顶角）∠KDG = ∠GAH （对顶角）因此，根据AA相似性质，我们可以得出三角形AFB与三角形CGD相似。

步骤3：证明AE/CF = AB/CD在步骤2中，我们已经得到了三角形AFB与三角形CGD相似的结论。

根据相似三角形的基本性质，我们知道相似的三角形中，对应边的比例是相等的。

由于三角形AFB与三角形CGD相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例等式：AB/CD = AF/CG而AF和CG分别是线段AE和线段CF在相似三角形中对应的边。

因此，我们可以得出以下结论：AB/CD = AE/CF步骤4：证明结论由于步骤3中得出的结论，我们证明了平行线分线段成比例定理。

应用举例平行线分线段成比例定理在解决几何问题中起着重要的作用。

平行线分线段成比例的推论

平行线分线段成比例的推论在平面几何中，平行线分线段成比例是一个非常重要的定理。

它是由欧几里得在《几何原本》中提出的。

这个定理可以用来计算两个平行线之间的距离，也可以用来求解平面三角形的各种问题。

在这篇文章中，我们将详细介绍平行线分线段成比例的推论。

首先，让我们回顾一下平行线分线段成比例的基本定理。

如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，那么这三条线上的线段所构成的比例相等，即：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$其中，AB、BC分别是线段AC上的两个部分，DE、EF分别是线段DF上的两个部分。

那么，平行线分线段成比例的推论是什么呢？其实，它就是基本定理的一个推广。

具体来说，如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，并且在L上分别有三个点A、B、C和D、E、F，使得：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$那么，我们就可以得到以下推论：1. 如果在L上任取一点P，则AP、BP、CP和DP、EP、FP 所构成的比例相等。

证明：由于L1和L2是平行线，所以它们与L上任意一条直线所交的角度相等。

因此，我们可以得到以下等式：$%frac{AP}{PD}=%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}=%frac{D F}{FC}=%frac{DP}{PC}$因此，AP、BP、CP和DP、EP、FP所构成的比例相等。

2. 如果在L上任取一点P，则以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF的面积之比等于AB与DE之比。

证明：设S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则有：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}ABÍotAC}{%frac{1}{2}DEÍot DF}=%frac{ABÍot AC}{DEÍot DF}$因为AB/BC=DE/EF，所以我们可以得到：$AB=%frac{BCÍot DE}{EF+DE}$将其代入上式中得：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}Íot%frac{BCÍotDE}{EF+DE}Íot AC}{%frac{1}{2}Íot DEÍot DF}=%frac{BCÍot AC}{EFÍot DF}=%frac{AB}{DE}$因此，以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF 的面积之比等于AB与DE之比。

2.平行线分线段成比例定理

且l , l ¢ 分别与 l1 , l2 , l3相交于 A, B, C , D, E , F .
L2
F A L3 L1 L2 F
一般
C
特殊
(如图所示)那么 AB DE = ; BC EF
AB DE = ; AC DF BC EF = . AC DF
一般
特殊
L3
若将下图中的直线L2看成是平行于△ABC 的边BC的直线,那么可得: AD = AE .
C
F
L3
D
A
L1 L2
D B (E)
A
L1 L2
B C
E F
L3
C
F
L3
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如果l1 // l2 // l3 ,
A B D E L1 L2 F D B C A E F L3 L1 L2 L3 C C D B (E) B A (D) E L1
证明：过点E作EF//AB,交BC于点F, ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC， ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线，使且四边形DEFB为平行四边形. ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AE、AC、DE、BC成为 AD AE DE . 由这组平行线截得的线段. AB AC BC 故作EF//AB.
B Q R C A P D S E T G L2 L1
∴ AB:BC=DE :EF=2:3
FБайду номын сангаас
L3
AB AB DE 一般地，当l1 // l2 // l3，且 =q(q Î R)时, = =q. BC BC EF l1 , l2 , l3不等距!

相似中考复习平行线分线段成比例定理

F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3

平行线分线段成比例结论

平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。

2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。

这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

平行线分线段成比例定理 (2)

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。

它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。

本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。

定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。

更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。

定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。

根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。

通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。

证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。

平行线分线段成比例定理

左左 = 右右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC

平行线分线段成比例

一、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理： • •
B
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. m n
A D E
l1 l2
F
C
AB = BC AB = AC BC = AC
上上 DE l1∥l2 ∥ = l3. 下下 EF 上上 DE = 全全 DF 下下 EF = 全全 DF
A D E
l1 l2 l3
B m
E A
D
l1 l2
D
A E
B m • 3 预备定理： n
C
C n
l3
B
C
•
•
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. AD DE AE DE // BC, = = . 若则
AB BC AC
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
A
D F B
E G C
平行线分线段成比例定理的例题和练习：
• 例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC 上， AD : DB=2 : 3, BC=20. • 求：DE的长.
D E A
B
C
•
例题6
已知：BE平分∠ABC，DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12, 求：AE的长度
l3
AB BC = DE EF
左左 = 右右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理： • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. AD AE
Q l1 // l 2 // l3 , \ BD = EC , LL

平行线分线段成比例定理及证明

平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。

也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。

说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。

事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

平行线分线段成比例定理推论

的如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边几何语言acaeabadabc??中在debcbadceadebc文档仅供参考如有不当之处请联系改正
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵直线l1∥l2∥l3
l4
l5
AB DE BC EF
解：在△ABC中，
A
DE // BC
AD AE AB AC
AD 10 14 18
AD 70 9
D
E
B
C
如图，已知DE∥BC,且AB=5,AC=7,AD=2.求AE的长
解：在△ABC中，
DE // BC
AD AE AB AC
AE 14 5
2 AE 57
E
D
A
B
C
A D B
∴ AE AE` ∴
因此直线DE`与直线DE重合
同一法
∴DE∥BC
E E`
C
已知：△ABC中，D,E分别是BA, CA延长线上的
点，且有 AD AE ，则DE∥BC
AB AC
证明：过D点作直线DE`∥BC,交AC于点E`，则有
AD AE` AB AC
∵ AD AE AB AC
∴ AE AE` AC AC
数学语言：
因为在△ABC中，DE∥BC,
AD AE BD CE
AD
AE
AB AC
平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
逆命题是什么呢？是否是真命题呢？
如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么三条直线平行。
举反例
推论：

22.1.4平行线分线段成比例定理

A
D
L1
B
E L2
C
F L3
1.平行线等分线段定理？
A B C
A1
l1
B1
l2
C1
l3
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.你会用几何语言表述吗？
思考：
l1 || l2 A1B1
|| l3，AB B1C1 (或
BC AB
BC

A1B1 B1C1
A
中
AD AE 4 2 AB AC 6 3
间 ∵DF//AC 比 AD CF 2 CF ，
D
E
AB CB AE CF
AC CB
38 即：CF 16
3
B
F
C
AECB ACCF BF 8 - 16 8
33
例 2 如图，△ABC中，DE//BC，EF//CD.
Ak
Bk
lk
B1Bk (k 1)b k 1 ，
Bk Bn (n k)b n k
An-1 An
Bn-1 Bn
ln-1 A1Ak B1Bk
ln
Ak An Bk Bn
如平图行，线有分一线组段平行成直比线例：定l1 |理| l2：|| l3 … lk || … || ln-1 || ln ，另外，直线A1两An条与直直线线B被1B一n被组这平一行组平线行所直截线，分所别得截于的点对A应1，线A段2， A成3 …比例Ak。… An-1，An和点B1，B2，B3 … Bk … Bn-1，Bn.
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延
长线)，所得的对应线段成比例。

平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．例1、如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A例2、如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEED C B A例3、如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

练习1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA2、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠23、如图已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB AABC DEF124、如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，090=∠C ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ上，且四边形ＥＦＣＧ是矩形，若ＡＣ＝３cm ，ＢＣ＝４cm ，ＣＧ＝１cm ，求ＡＥ、ＢＦ、ＣＦ的值．5、已知：如图，AB AD AE ⋅=2，ＤＦ∥ＥＣ．求证：ＥＦ∥ＢＣ．6、已知：如图，∠１＝∠２，且ＡＭ／ＢＭ＝ＡＮ／ＮＣ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＡＮ＝３ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求ＭＮ的长7、已知：如图，点Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上的任意一点，ＤＭ分别交ＢＣ、ＡＣ于点Ｎ、Ｐ，求证： DC/AM =CN/AD8、已知：如图，点Ｍ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，点Ｎ在ＢＣ上，且BN/CN=1/3，ＭＮ交ＢＤ于点Ｅ．求ＢＥ：ＥＤ的值．9、如图，点Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＤＣ的延长线上一点，ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＢＥ＝４ｃｍ．求ＣＦ的长．10、如图，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，若ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长11、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＡＢ上ＡＥ∶ＥＢ＝１∶３．ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ．求ＡＦ∶ＦＯ∶ＯＣ的值12、已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＭＮ∥ＢＣ，四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，ＢＱ，ＣＰ的延长线相交于点Ｄ．求证：ＡＤ∥ＮＰ．13、设点Ｐ是△ＡＢＣ的中线ＡＤ上一点，过Ｐ作ＡＢ，ＡＣ的平行线ＥＰ，ＦＰ分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｆ．求证：ＢＥ＝ＣＦ．。

八年级第九讲平行线分线段成比例定理

若，则，(或；或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ，交l 2于M ，交l 3于N 点，连接点，连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中，有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？呢？ “对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：名师堂八年级数学第九讲平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形：主要的基本图形：(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD ：AB=AE ：AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点：(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ：FE=BG ：GC (4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1．如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值例2．(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3．AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证：DE ∥BC. 分析：如图2-3 练习1．选择题：．选择题：(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( ) A．B．C．DA．2 B．3C．DA．B．C．D．(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC ，，则等于( ) A．B．C．D．．(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) ．(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列，则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( ) A．B．C．DA．B．C．D的面积的，求EC的长. ．(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列，则下列比例比例式中不正确的是( ) ．2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长. 3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？能力提升例1 已知：如图5-195-19，，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．例2 求证：求证：等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，中，AB=AC AB=AC AB=AC，，P 为底边BC 上任意一点，PR⊥AB 于点R ，PQ⊥AC 于点Q ，BH 为腰上的高．求证：证：PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH．．分析一参阅例3的分析一．的分析一．分析二如图5-225-22，△ACP ，△ACP 和△DCQ 应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，个三角形中，AC=DC AC=DC AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A ，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而例3 已知：如图5-215-21，△ABC ，△ABC 中，∠A 为直角．以AB AB，，AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE，，ACFG ACFG，线，线段CD CD，，BF 分别与AB AB，，AC 相交于点X ，Y ．求证：．求证：AX=AY AX=AY AX=AY．．分析一如图5-215-21（（a ），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段比例线段，在这些成比例的线段中，除AX AX，，AY 外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明．到证明．分析二如图5-215-21（（b ），连结线段EX EX，，GY GY，得到△CEX ，得到△CEX 和△BGY．这两个三角形的边CE=BG CE=BG，又，又AX 实际等于AY AY，所以△CEX ，所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD AD，，AF AF，，那么S △ACD =S △CEX ，S △BAF =S △BGY ，所以只需证明S △ACD =S △BAF ．但这．但这很简单很简单了．了．例4 已知：如图5-225-22，，C 为线段AB 上任意一点，以AC AC，，BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE，线段AE AE，，CD 相交于点P ，线段BD BD，，CE 相交于点Q ．求证：．求证：CP=CQ CP=CQ CP=CQ．．。

平行线分线段成比例定理

二、平行线分线段成比例定理
A
D
L1
B
E L2
C
F L3
一、复习导入
如图：l1 // l2 // l3 // l4 // l5 //，l6
且AP=PB=BQ=QR=RC.
(1)你能推出怎样的结论？
为什么？
由平行线等分线段定理可知.
(注意其前提条件是:等距)
A P B Q R C
D
L1
S
L2
E L3
T L4
D L1 E L2
L3 F
3、如图1：已知L1∥L2∥L3 ， AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=（ 1.8 ），DE=（ 2.7 ）.
4、如图2：△ABC中，DE ∥BC，如果
AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（ 3:10 ）
A
D L1
B
E L2
F
C L3
图1
A
DE
B
需要构造一组平行线，使且四边形DEFB为平行四边形.
AE、AC、DE、BC成为由这组平行线截得的线段.
∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AD AE DE .
AB AC BC
故作EF//AB.
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、
E.求证：AD AE DE . AB AC BC
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反比
AC DF AB DE
? AB BC AC DE EF DF
BC EF AC DF
合比
BC AC EF DF
AB DE AC DF

5、平行线分线段成比例定理

年荷钱今钱段战比例定理【教学内容】掌握平行线分线段成比例定理；会用平行线分线段成比例定理及其推理，三角形一边的平行线的判定定理进行计算和证明。

1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

如图 LJ/LJ/ 厶=>ACAB DE BC " AB _ DE AC" DF BC _ EF AC" DF AB DE 、 ---- H ----- ) EF BC 如图:AB AC BD CEAB AC _ BC 75 一旋一 Bi BD _ CE AB " AC2.定理：（三角形一边平行的判定）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例 BC//DE=>AB ACBD CE AB AC AD AE BD . CE AD AE 如图: nBCHDE aBCIIDE nBCIIDE 【教学重难点】重点：平行线分成线段成比例定理与三角形一边平行的性质和判定。

难点：正确理解“对应线段”。

【练习题】一、填空题：1•如图：厶〃厶〃厶 ①若—=-则史= _____________________ ,「 BC 4 EFA R 7 ___,②若—=-DF=28cm 则DE = ___cm BC 4DEDF2•如图 LI 、L2、L3, AE=4cm, BE 二3cm, CD=14cm __________ cm , DF= ________________ cm ： 3 •如图:在△ ABC 中，DE//BC(1) AD=5cm BD 二3cm AE=4cm 则 AC= cm (2) BD 二3cm AB=7cm 则 AE : AC= 4.如图：已知 DE//BC, EF//AB, AD=2, BD 二3, BF=2. 6,则 BC 二 5・如图：已知直线BC 经过菱形AMNF 的顶点'分别交AM 、 L1AP 的延长线于B 、C 若AB=21cm BC=18CM, AC=15CM 则 BN= cm, NC= c m 菱形AMNP 的周长二 ____ cm 6.如图：D 是BC 的中点,M 是AD 的中点,BM 的延长线交AC于 N,则 AN : NC= 二、选择题 1、如图：已知AD//BE//CF,下列比例式成立的是（ AB_ DE " BC BC _ EFAC " DF则竺等于（） AC492、AB AD A ______ »» ___DE _ BE 厂 ACDFEF BC AD 4 5 54DEII BC,3、己矢芒JDAA AB CBAD~ CE厂 DE BEAC EC如图、 4、三、 1. BEEC* BE 那么有（ BD AC EC 以上都不是如图0 ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AE : BE 的延长线交AD 于F,则AF ： FD=（A 2 : 1B 2 : 3C 3 : 2D 5 : 3解答下列各题：已知：如图：AD 平分ZBAC, DE//AC, AB 二 15,)AEO 求:BE 和ED 的长。