勾股定理及其逆定理的综合应用教案教学设计导学案

知识点：勾股定理及其逆定理的综合运用 问题情境1：运用勾股定理和逆定理求面积
问题模型：已知一含有直角的四边形的边长，综合运用定理和逆定理求面积 求解模型：
【例题】
【分析】由于∠B 是直角，因此连接AC 将问题转化为直角三角形问题加以解决；求出AC 的长，再在三角形ACD 中用逆定理判定其为直角三角形，再求面积。

【答案】
练习
1.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。

求：四边形ABCD 的面积。

在已知直角三角形中运用定理求出对角线长
连对角线将四边形分为两个三角形，其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形
求四边形的面积
D
A B C
A
D
C
B
【答案】
连接AC ，在Rt △ABC 中用勾股定理求出AC=
4
5
，在
△ACD 中由AD
、CD 的长结合AC 的长，运用逆定理判定它为直角三角形，求出两直角三角形面积再求和，得四边形的面积为
4
9。

【答案】
3.在△ABC 中，AB =15，AC =13，D 是BC 边上一点，AD =12，BD =9，则△ABC 的面积
为 ． 【答案】84
4．如图，已知CD =6m ，AD =8m ，∠ADC =90°，BC =24m ，AB =26m ．求图中阴影部分的面 积． 【答案】96cm 2
问题情境2：运用勾股定理和逆定理求四边形的角度
问题模型：已知一含一直角的四边形的边长，综合运用定理和逆定理求角度 求解模型：
在已知直角三角形中运
用定理求出对角线长
连对角线将四边形分为两个三角形，其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形 用特殊角求角度
A C
B D
（第4题）
【例题】
如图，已知AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=32，求∠DAB 的大小。

【分析】要求∠DAB 的大小需要先将它转化为三角形的内角或几个内角的和来求解，因此需要连接AC ，易得三角形ABC 为等腰直角三角形，则∠BAC=45°，从而只要求∠DAC 的大小即可。

【答案】
解：连接AC ， ∵AB ⊥BC ，且AB=BC=2 ∴△ABC
为等腰直角三角形 ∴∠BAC=45°
且2222=+=
BC AB AC
在△ACD 中，2
2
2
2
2
)32(12)22(CD AD AC ====+
∴△ACD 为直角三角形
∴∠DAC=90°
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135° 练习
如图，在四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90B ∠=︒，求：BAD
∠的度数．
【答案】解：设AD a =，则23AB BC a CD a ===，，连接AC ，
ABC △为等腰三角形，45BAC ∠=︒∴．
在ABC Rt △中，由勾股定理，得22222
28AC AB BC AB a =+==，
又
22229AD a CD a ==，，∴222AC AD CD +=．
由勾股定理的逆定理知CAD △是直角三角形．
904590135CAD BAD BAC CAD ∠=︒∠=∠+∠=︒+︒=︒∴，∴．
问题情境3：运用勾股定理和逆定理求三角形的边长
问题模型：已知三角形的一边和其对角，综合运用定理和逆定理求三角形的边长 求解模型：
A B
C D A B C D
A
B
C
D
【例题】
【分析】在△ADC中，若不是特殊三角形则难以求解，因此必须首先判定△ADC的形状，然后再计算解决问题。

【答案】
练习：
2.
【答案】
C
A
B
D
问题情境4：运用勾股定理和逆定理判定三角形的形状
问题模型：已知三角形边的乘积关系，综合运用定理和逆定理判定三角形的形状 求解模型：
【例题】
【分析】
由勾股定理的逆定理可知，要证明AB ⊥AC ，只需证明2
2
2
AC BC AB =+即可，再结合条件中的乘积式化为2
2
2
AC BC AB =+即可。

【答案】
练习
已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD 。

求证：△ABC 是直角三角形。

判定三角形为直角三角形
将乘积关系化为勾股定理的逆定理的形式 乘积关系 勾股定理
D
【答案】
证明：∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD 2 ∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2 =AD 2+2AD·BD+BD 2 =（AD+BD ）2=AB 2
知识关联：勾股定理和逆定理的综合运用；正方形的性质
问题情境4：运用勾股定理和逆定理结合正方形的性质判定三角形的形状（线段的垂直关系） 问题模型：已知正方形中的线段间的关系，证明直角三角形或线段的垂直关系 求解模型： 【例题】
如图，正方形ABCD 中，1
4
AE BE AF AD ==
，，求证：CE EF ⊥． 【分析】先结合问题的条件和正方形的特征判定△CEF 的形状。

【答案】
证明：连接CF ，设1AF =，则324DF AE BE BC CE =====，，，
∵2
2
2
125EF =+=，2
2
2
2420CE =+=，
2223425CF =+=，222CF EF CE =+∴．
CEF ∴△为为直角三角形（勾股定理的逆定理）
． CE EF ⊥∴． 练习：
正方形的性质
线段的数量关系
勾股定理的逆定理
勾股定理
三角形为直角三角形
图4
E
F
答案：
2．已知一个三角形的三条边长分别是15cm，20cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是（）2．A
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
4．
7。