勾股定理及其逆定理的综合应用教案教学设计导学案
勾股定理的逆定理导学案
四、随堂练习，巩固深化
求证：AF⊥EF．
思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，
由勾股定理的逆定性，•只要证出
AF2+EF2=AF2就可以了．
教师活动：操作投影仪，组织学生讨论，引导学生写出推理过程．
学生活动：先独立思考，再与同伴交流，并踊跃上台“板演”．
证明：连结AE，设正方形边长为a，则
DF=FC=
2
a
，EC=
4
a
，
在Rt△ECF中，有EF2=（
2
a
）2+（
4
a
）2•=5
16
a2；
同理可证．在Rt△ECF中，有EF2=（
2
a
）2+（
4
a
）2=
5
16
a2，
在Rt△ABE中，有BE=a-1
4
a=
3
4
a，
∵AE2=a2+（
3
4
a）2=
25
16
a2，
∴AF2+EF2=AE2．
根据勾股逆定理得，∠AEF=90°，
∴AF⊥EF．
【设计意图】以例2为理解勾股逆定理的应用，再补充“问题探究2”来拓展勾股定理逆定理的应用范围．
1．课本“练习”1，2，3
2．【探研时空】
若△ABC的三边a，b，c满足条件
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
（提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，
b=12，c=13，∵a2+b2=c2，•∴△ABC是Rt△）．
五、课堂总结，发展潜能
1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，•那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么呢？）
2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
勾股定理的逆定理的应用教案
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第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点)
2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点)
一、情境导入
某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？
二、合作探究
探究点：勾股定理的逆定理的应用
【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度
如图，已知点P 是等边△ABC 内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．
解析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ，判断△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数．
解：∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC .可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连EP ，∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°.在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，∴AE 2＝PE 2＋PA 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°.
方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE 为直角三角形．
【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长
《17.2勾股定理的逆定理》教学设计(第1课时)
《17．2勾股定理的逆定理》教学设计（第1课
时）
一、内容和内容解析
1.内容
勾股定理的逆定理证明及简单应用;原命题、逆命题的概念及相互关系.
2.内容解析
把勾股定理的题设和结论交换，能够得到它的逆命题.本节内容证明了那个逆命题是个真命题. 勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一些判定方法不同，它通过运算来作判定. 学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，体会利用运算证明几何结论的数学方法有专门大的意义.
基于以上分析，能够确定本课的教学重点是探究证明勾股定理的逆定理.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)明白得勾股定理的逆定理.
(2)了解互逆命题、互逆定理.
2.目标解析
达成目标(1)的标志是学生经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程后，能应用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形;
目标(2)能依照原命题写出它的逆命题，并了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题.
三、教学问题诊断分析
勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以明白得，在教学时应该注意启发引导.
本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理.
四、教学过程设计
1.创设问题情境
问题1 你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.
师生活动：学生独立回忆勾股定理，师生共同分析得出其题设和结论，教师引导指出勾股定理是从形的专门性得出三边之间的数量关系.
追问1：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?
师生活动：师生共同得出新的命题, 教师指出其为勾股定理的逆命题.
人教版八年级下册数学第2课时 勾股定理的逆定理的应用教案
第2课时勾股定理的逆定理的应用
教学设计
课题
勾股定理的逆定理的应用
授课人
素养目标 1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系．
2．灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.教学重点灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．教学难点割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
教学活动
教学步骤师生活动
活动一：创设情境，导入新课设计意图通过实际情境，激发学生的学习兴
趣.
【情境导入】
如图，已知小岛B 与港口A 相距5n mile ，一艘船C 位于港口A 正东方向3n mile 处，与小岛B 相距4n mile ，根据这些条件能知道小岛B 在船C 的哪个方向吗？【教学建议】指定学生回答，提醒学生E，n 分别表示东、北两个方向.
活动二：问题引入，自主探究设计意图培养学生利用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.
探究点1
勾股定理的逆定理的实际应用
例1(教材P 33例2)如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile ，“海天”号每小时航行12n mile .它们离开港口一个半小时
后分别位于点Q ，R 处，且相距30n mile .如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
解：根据题意，PQ ＝16×1.5＝24(n mile )，PR ＝12×1.5＝18(n mile )，QR ＝30n mile .因为242＋182＝302，即PQ 2＋PR 2＝QR 2，
17.2.1+勾股定理的逆定理+导学案+++2023-2024学年人教版数学八年级下册+
17.2.1 勾股定理的逆定理导学案答案
一、学习目标：
1.理解勾股定理的逆定理.
2.初步了解互逆命题的概念及内涵.
3.能应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
重难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.
二、情境导入与合作探究：
自主导学导学检测与课堂展示
合作探究同桌之间选不同的一个合作讨论完成。
画一画
1.如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，并且满足32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形吗？
2.如果围成的三角形的三边长分别为2.5，6，6.5，并且满足2.52+62=6.52，那么围成的三角形是直角三角形吗？
阅读教材第31页下方和32上方的内容，完成右框问题.1.已知△ABC的三边长a,b,c,且满足a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：
证明：作Rt△A′B′C′，使得∠C′=90〫，A′C′=b，B′C′= a，
则有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.
∵a2+b2=c2，
∴A′B′2=c2，∴A′B′= c.
∵在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
BC=B′C′，
AC=A′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠C=∠C′=90〫
即△ABC是直角三角形.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
2.（命题1）：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b ，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2.
（命题2）：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
仔细观察题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？
勾股定理及逆定理的综合运用
1
初中部 八 年级 数学 导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔：刘世波 审核： 审批： 印数： 500 份 教师评价：
课题：勾股定理及逆定理的综合运用 课型：新授课
【学习目标】 掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用 【学习重点】 理解并掌握勾股定理及逆定理，并会应用。 【学习难点】 熟练的运用这些定理解题。
一、复习回顾
1、如下图，Rt ABC ∆,90A ∠=
写出你所知道的三边的关系式： _____________________________________________________。
2、判断下列各组数能否作为直角三角形的三边长
A 、3 ，4 ，5；
B 、9 ，12 ，15 ；
C 、5 ，12 ，13；
D 、1，2, 3
3、已知3和4是一直角三角形的两边，那么它的第三条边为_________________.
4、已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=3，ab=1，c=7，（1）求2
2
b a +的值 （2）试判定△ABC 的形状，并说明理由
二、自主学习
四边形ABCD 中已知AB=3，AD=4，CD=13，BC=12，且∠A=900，求：（1）求BD 的长； （2）这个四边形的面积．
A B
C
D
4312
13
三、 合作探究：
已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°。
四、 交流展示：
如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，
勾股定理的逆定理的应用教案教学设计导学案
知识点：勾股定理逆定理的应用
问题情境1：航海问题中的问题
问题情境1--------情形1：求航海问题中的时间
问题模型：已知航海问题中的距离，速度，求时间求解模型：
【例题】
如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻
101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在
PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测AC=10海里，AB=6海里，BC=8海里，若
该船只的速度为12.8海里/小时，则可疑船只最早何时进入我领海？
【分析】设PQ与AC相交于D点，先运用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，
再利用“面积法”求出CD的长.
【答案】解：∵AB2+BC2=62+82=100=AC2=102∴△ABC为Rt△
又∵S△ABC=
1
2
AC×BD=
1
2
AB×BC
∴
1
2
×10×BD=
1
2
×6×8解得BD=4.8
又∵在Rt△BCD中CD2=BC2-BD2=82-4.82
∴可疑船只最早何时进入我领海得CD=6.4（海里）
∴可疑船只从被发现到进入我领海的时间为：6.4÷12.8=0.5（小时）
∴最早进入我领海的时间为10时58分
答：可疑船只最早10时58分进入我领海
练习
1.
运用勾股定理逆定理判定三角
形是直角三角形
用面积法算出线段的长由路程和速度算
出时间
问题情境1--------情形2：求航海问题中的方向
问题模型：已知航海问题中的距离，速度，时间，求方向求解模型：
【例题】
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相
第十七章 勾股定理教案(勾股定理、勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、章末复习、教学活动)
第十七章勾股定理
17.1勾股定理
第1课时勾股定理
【知识与技能】
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.
【过程与方法】
在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性.
【情感态度】
1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.
2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.
【教学重点】
探索和证明勾股定理.
【教学难点】
用拼图的方法证明勾股定理.
一、情境导入，初步认识
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）.
（1）你见过这个图案吗？
（2）你听说过“勾股定理”吗？
【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.
二、思考探究，获取新知
毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案（教材P
22
图形），你有什么发现？
【教学说明】教师与学生一道分析教材P
22
图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.
勾股定理的逆定理导学案
勾股定理的逆定理导学案
一、导学目标
1. 了解勾股定理的定义和常用形式；
2. 学习勾股定理的逆定理的定义；
3. 掌握勾股定理与逆定理求解直角三角形边长和角度的方法；
4. 提高解决实际问题的能力。
二、导学内容
1. 勾股定理的定义
勾股定理是数学上最为基础且重要的定理之一，它描述了直角三角形中，直角的两条直角边的平方和等于斜边的平方的关系。具体表示为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为 a 和 b，斜边的长度为 c，则有 a² + b² = c²。
2. 勾股定理的常用形式
勾股定理的常用形式有两种：一种是已知两边求第三边的形式，即根据两条直角边的长度，求解斜边的长度；另外一种是已知两边
求角度的形式，即根据两条直角边的长度，求解直角的两个角度。
3. 勾股定理的逆定理的定义
勾股定理的逆定理又称为勾股定理的逆向推理，它给出了当三边长度满足一定条件时，是否可以构成直角三角形的判断方法。具
体表述为：如果有一个三角形的三条边长满足 a² + b² = c²，那么这
个三角形一定是直角三角形。
4. 勾股定理与逆定理求解直角三角形边长和角度的方法
(1) 已知两边求第三边的方法：
- 设两条直角边的长度为 a 和 b，斜边的长度为 c；
- 如果已知 a 和 b，可以通过勾股定理直接求出 c 的长度；
- 如果已知 a 和 c，可以通过勾股定理的逆定理判断是否能构成直角三角形，如果可以，再通过 a² + b² = c²求出 b 的长度；
- 如果已知 b 和 c，可以通过勾股定理的逆定理判断是否能构
成直角三角形，如果可以，再通过 a² + b² = c²求出 a 的长度。
勾股定理及其逆定理综合运用优秀教案
勾股定理及其逆定理综合运用优秀教案
本教案主要介绍勾股定理及其逆定理的概念、性质和运用方法，并通过实例进行讲解和练习，旨在帮助学生深入理解和掌握勾股定理及其逆定理的应用，提高数学思维和解题能力。
一、教学目标
1. 理解勾股定理及其逆定理的概念和性质；
2. 掌握勾股定理和逆定理的运用方法；
3. 培养学生的数学思维和解题能力。
二、教学内容
1. 勾股定理的概念和性质；
2. 勾股定理的运用方法；
3. 勾股定理的逆定理及其运用方法；
4. 勾股定理和逆定理的综合运用。
三、教学过程
1. 引入：通过课件展示勾股定理的图形和公式，引导学生了解勾股定理的概念和性质。
2. 讲解：详细讲解勾股定理的公式和推导过程，并通过实例进行说明。
3. 练习：设计一些勾股定理的应用题，让学生在课堂上进行思考和解答，提高解题能力。
4. 引入逆定理：讲解勾股定理的逆定理的概念和公式，并通过实例进行说明。
5. 练习逆定理：设计一些勾股定理逆定理的应用题，让学生在课堂上进行思考和解答，提高综合运用能力。
6. 综合练习：设计一些综合应用题，让学生综合运用勾股定理和逆定理，提高数学思维和解题能力。
7. 总结：结合实例，让学生回顾和总结课程内容，加深对勾股定理和逆定理的理解与掌握。
四、教学评估
1. 学生课堂参与情况和表现；
2. 学生完成的练习和作业；
3. 考试成绩和解题方法。
五、教学资源
1. 课件；
2. 练习题和作业；
3. 参考书籍和资料。
六、教学反思
本教案通过引导学生了解勾股定理和逆定理的概念和性质，设计了丰富的练习题和应用题，帮助学生提高了数学思维和解题能力。教师应根据学生的理解情况，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
勾股定理逆定理导学案
课题：勾股定理的逆定理(导学案)
一、学习目标
1、了解互逆命题和互逆定理的概念。
2、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。
3、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
二、重点难点
重点；勾股定理的逆定理及应用。难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、学法指导:
提前预习课本，熟记常见的勾股数，以及11——20之间整数的平方。
四、知识链接：勾股定理、三角形全等
五、学习过程
（一）新课引入
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？
1.勾股定理的内容。
2、下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
（1） 5、12、13 （2） 7、24、25 （3） 8、15、17
（a）这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（b）分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
（c）得出（命题2）：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是。
（二）学习新知
阅读教材P73-P74相关内容，思考，讨论，合作交流后完成下列问题：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．1、命题1和命题2的题设和结论分别是什么？
命题1 题设
结论。
命题2 题设，结论。
2、它们的题设和结论有什么联系？
3、互逆命题在一对命题中，第一个命题的恰为第二个命题的，而第一个命题的恰为第二个命题的，像这样的两个命题叫做．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的．
数学《勾股定理的逆定理》教案
数学《勾股定理的逆定理》教案
课程名称：数学
课程主题：勾股定理的逆定理
课程目标：
- 了解勾股定理的逆定理
- 能够应用勾股定理和逆定理解决实际问题
- 培养学生的数学思维和问题解决能力
教学步骤：
步骤一：引入
通过提问学生，在回顾勾股定理的基础上，引出勾股定理的逆定理。
问题一：勾股定理是什么？
问题二：勾股定理的公式是什么？
问题三：怎样证明勾股定理？
步骤二：讲解勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理又叫作勾股定理的逆向应用，通常可表示为：如果一个三角形的三条边长量符合勾股定理 a² + b² = c²，则称
这个三角形为直角三角形。
步骤三：讲解例题
例题一：
已知一个三角形的三条边长为 5、12、13，问它是不是直角三角形。
解法：根据勾股定理的逆定理 a² + b² = c²，如果一个三角形三条边长量符合这个公式，那么这个三角形就是直角三角形。带入数值得 5² + 12² = 13²，符合公式，所以这个三角形是直角三角形。
例题二：
已知一个三角形的三条边长为 3、4、5，问它是不是直角三角形。
解法：根据勾股定理的逆定理 a² + b² = c²，如果一个三角形三条边长量符合这个公式，那么这个三角形就是直角三角形。带入数值得3² + 4² = 25 ≠ 5²，不符合公式，所以这个三角形不是直角三角形。
步骤四：练习
练习一：
判断下列三角形是否为直角三角形：
(1) 6、8、10 (2) 7、24、25
练习二：
已知一个三角形 ABC，且 AB = 5，BC = 12，AC = 13，求它的三个内角的度数。
总结：
本课程主要介绍了勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的三条边长符合勾股定理 a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。通过讲解例题和练习，加深学生对勾股定理的了解和应用。
《勾股定理及其逆定理的应用》教学设计1
《勾股定理及其逆定理的应用》教学设计
一、教学目标：1. 熟记常用的勾股数，灵活运用勾股定理及其逆定理。
2.能够利用勾股定理及其逆定理建立数学模型解决实际问题。
教学重点：勾股定理及其逆定理的综合应用
教学难点：实际问题中数学模型的建立
二、教学过程
1.知识回顾
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
2、勾股定理及其逆定理的直接应用．
（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a=1，c=3，则b= .
（2）已知Rt△ABC中，∠A=90°, ∠B=30°，若a=4，则c= 。
（3）以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是。
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10
⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24
3、建立模型解决实际问题
（1）如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？
（2）如图，由四个边长为1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC,求△ABC的周长
（3）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格点上．
①求四边形ABCD的面积．
②你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由．
（4）如图，l是一条笔直的河流，A、B是两个村庄，A村庄到l的距离AC=600米，B 村庄到l的距离BD=1000米,CD=1200米，现在要在河流l某处建一座抽水站分别向A、B两村供水，问向两村供水所铺设管道最短是多少米？
勾股定理的逆定理(第一课时)(导学案)-八年级数学下册同步备课系列(人教版)
人教版初中数学八年级下册
17.2.1勾股定理的逆定理导学案
一、学习目标：
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
二、学习过程：
课前自测
1.勾股定理的内容是什么?
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.
①a＝3，b＝4；_______
②a＝2.5，b＝6；_________
③a＝4，b＝7.5.________
自主学习
画一画：如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系
“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
由上面的几个例子，我们猜想：____________________________________ _________________________________________________________.
思考：把下列命题1、命题2的题设、结论分别画出来？
命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【归纳】我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好_____.我们把像这样的两个命题叫做____________.
如果把其中一个叫做_________，那么另一个叫做它的_________.
人教版数学八年级下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》教学设计
人教版数学八年级下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》教学设计
一. 教材分析
人教版数学八年级下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》这一节内容，是在
学生已经掌握了勾股定理和逆定理的基础上进行教学的。本节课的主要内容是通过实际问题，引导学生运用勾股定理及其逆定理解决问题，培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题技能。
二. 学情分析
学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，对勾股定理和逆定理
有一定的了解。但是，学生对勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用还不够熟练，需要通过实际问题，引导学生运用所学的知识解决问题，提高学生的实际应用能力。
三. 教学目标
1.知识与技能：使学生掌握勾股定理及其逆定理，能够运用勾股定理及
其逆定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过实际问题，引导学生运用勾股定理及其逆定理解决
问题，培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作
意识和探究精神。
四. 教学重难点
1.重点：掌握勾股定理及其逆定理，能够运用勾股定理及其逆定理解决
实际问题。
2.难点：如何引导学生运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
五. 教学方法
1.情境教学法：通过实际问题，引导学生运用勾股定理及其逆定理解决
问题。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作
意识和探究精神。
3.激励性评价：鼓励学生积极参与课堂活动，提高学生的学习积极性。
六. 教学准备
1.教学课件：制作勾股定理及其逆定理的综合应用的教学课件。
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知识点：勾股定理及其逆定理的综合运用 问题情境1：运用勾股定理和逆定理求面积
问题模型：已知一含有直角的四边形的边长，综合运用定理和逆定理求面积 求解模型：
【例题】
【分析】由于∠B 是直角，因此连接AC 将问题转化为直角三角形问题加以解决；求出AC 的长，再在三角形ACD 中用逆定理判定其为直角三角形，再求面积。 【答案】
练习
1.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。 求：四边形ABCD 的面积。
在已知直角三角形中运用定理求出对角线长
连对角线将四边形分为两个三角形，其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形
求四边形的面积
D
A B C
A
D
C
B
【答案】
连接AC ，在Rt △ABC 中用勾股定理求出AC=
4
5
，在
△ACD 中由AD
、CD 的长结合AC 的长，运用逆定理判定它为直角三角形，求出两直角三角形面积再求和，得四边形的面积为
4
9。
【答案】
3.在△ABC 中，AB =15，AC =13，D 是BC 边上一点，AD =12，BD =9，则△ABC 的面积
为 ． 【答案】84
4．如图，已知CD =6m ，AD =8m ，∠ADC =90°，BC =24m ，AB =26m ．求图中阴影部分的面 积． 【答案】96cm 2
问题情境2：运用勾股定理和逆定理求四边形的角度
问题模型：已知一含一直角的四边形的边长，综合运用定理和逆定理求角度 求解模型：
在已知直角三角形中运
用定理求出对角线长
连对角线将四边形分为两个三角形，其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形 用特殊角求角度
A C
B D
（第4题）
【例题】
如图，已知AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=32，求∠DAB 的大小。
【分析】要求∠DAB 的大小需要先将它转化为三角形的内角或几个内角的和来求解，因此需要连接AC ，易得三角形ABC 为等腰直角三角形，则∠BAC=45°，从而只要求∠DAC 的大小即可。
【答案】
解：连接AC ， ∵AB ⊥BC ，且AB=BC=2 ∴△ABC
为等腰直角三角形 ∴∠BAC=45°
且2222=+=
BC AB AC
在△ACD 中，2
2
2
2
2
)32(12)22(CD AD AC ====+
∴△ACD 为直角三角形
∴∠DAC=90°
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135° 练习
如图，在四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90B ∠=︒，求：BAD
∠的度数．
【答案】解：设AD a =，则23AB BC a CD a ===，，连接AC ，
ABC △为等腰三角形，45BAC ∠=︒∴．
在ABC Rt △中，由勾股定理，得22222
28AC AB BC AB a =+==，
又
22229AD a CD a ==，，∴222AC AD CD +=．
由勾股定理的逆定理知CAD △是直角三角形．
904590135CAD BAD BAC CAD ∠=︒∠=∠+∠=︒+︒=︒∴，∴．
问题情境3：运用勾股定理和逆定理求三角形的边长
问题模型：已知三角形的一边和其对角，综合运用定理和逆定理求三角形的边长 求解模型：
A B
C D A B C D
A
B
C
D
【例题】
【分析】在△ADC中，若不是特殊三角形则难以求解，因此必须首先判定△ADC的形状，然后再计算解决问题。
【答案】
练习：
2.
【答案】
C
A
B
D
问题情境4：运用勾股定理和逆定理判定三角形的形状
问题模型：已知三角形边的乘积关系，综合运用定理和逆定理判定三角形的形状 求解模型：
【例题】
【分析】
由勾股定理的逆定理可知，要证明AB ⊥AC ，只需证明2
2
2
AC BC AB =+即可，再结合条件中的乘积式化为2
2
2
AC BC AB =+即可。
【答案】
练习
已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD 。 求证：△ABC 是直角三角形。
判定三角形为直角三角形
将乘积关系化为勾股定理的逆定理的形式 乘积关系 勾股定理
D
【答案】
证明：∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD 2 ∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2 =AD 2+2AD·BD+BD 2 =（AD+BD ）2=AB 2
知识关联：勾股定理和逆定理的综合运用；正方形的性质
问题情境4：运用勾股定理和逆定理结合正方形的性质判定三角形的形状（线段的垂直关系） 问题模型：已知正方形中的线段间的关系，证明直角三角形或线段的垂直关系 求解模型： 【例题】
如图，正方形ABCD 中，1
4
AE BE AF AD ==
，，求证：CE EF ⊥． 【分析】先结合问题的条件和正方形的特征判定△CEF 的形状。 【答案】
证明：连接CF ，设1AF =，则324DF AE BE BC CE =====，，，
∵2
2
2
125EF =+=，2
2
2
2420CE =+=，
2223425CF =+=，222CF EF CE =+∴．
CEF ∴△为为直角三角形（勾股定理的逆定理）
． CE EF ⊥∴． 练习：
正方形的性质
线段的数量关系
勾股定理的逆定理
勾股定理
三角形为直角三角形
图4
E
F