内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷

内蒙古自治区数学高二上学期理数期末考试试卷

内蒙古自治区数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·郑州期中) 下列不等式中解集为实数集R的是（）A . x2+4x+4＞0B .C . x2﹣x+1≥0D .2. （2分）已知，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知等差数列的公差为-3，若其前13项和，则=（）A . 36B . 39C . 42D . 454. （2分）已知等比数列的前n项和为，且，则（）A . 54B . 48C . 32D . 165. （2分） (2018高二上·湖州月考) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .6. （2分）曲线的焦点F恰好是曲线的右焦点，且曲线与曲线交点连线过点F,则曲线的离心率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·包头期末) 已知，则的最大值为（）A . 9B . 0C .D .8. （2分）下列命题中为真命题的是（）A . 命题“若，则”的逆命题B . 命题“若，则或”的否命题C . 命题“若，则”D . 命题“若，则函数没有零点”的逆否命题9. （2分） (2018高二下·陆川期末) 函数，已知在时取得极值，则（）A . 2B . 3C . 4D . 510. （2分）铁路旅行规定：旅客每人免费携带品的外部尺寸长宽高之和不超过160厘米设携带品外部尺寸长宽高分别为a ， b ， c (单位：厘米)，这个规定用数学关系式可表示为（）A . a + b + c ＜160B . a + b + c＞160C . a + b + c≤ 160D . a + b + c≥16011. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A . 2B .C .D .12. （2分）函数f(x)的定义域为开区间(a ， b)，导函数f′(x)在(a ， b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ， b)内有极小值点（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·丹东模拟) 中，，，，则 ________ .14. （1分） (2017高二上·高邮期中) 命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是________．15. （1分） (2018高一下·苏州期末) 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为________尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）16. （1分） (2016高二上·昌吉期中) 椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为 m，则m=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·六安月考) 解关于的不等式18. （10分） (2018高二上·桂林期中) 已知数列是公差为2的等差数列，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项的和 .19. （10分）(2019·北京) 在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.20. （5分）已和命题P：函数y=logax在定义域上单调递减；，若P∨Q是假命题，求a的取值范围．21. （10分） (2018高二上·黑龙江月考) 如图，点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且直线，的斜率之积是，（1）求点的轨迹的方程；（2）若经过点且斜率为1的直线与曲线交于，两点，求的值.22. （10分） (2017高二下·潍坊期中) 已知函数f（x）= 过点（1，e）．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值；（3）试判断方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、22-3、。

内蒙古包头市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版) (1)

一、单选题1．抛物线的准线方程为 24y x =A ． B ．C ．D ．=1x -1y =-1x =1y =【答案】A【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 22y px =2px =-24y x =【详解】，24,24,2y x p p =∴== 抛物线的准线方程为， ∴24y x =2p x =-即，故选A .=1x -【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.2．设，则“”是“”的（） x R ∈24x <220x x --<A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出不等式、即可.24x <220x x --<【详解】由可得，由可得 24x <2x <220x x --<12x -<<所以“”是“”的必要而不充分条件 24x <220x x --<故选：B3．直线与圆相切，则的值为（） ()1+10a x y ++=2220x y x +-=a A ． B ．C ．D ．1±2±11-【答案】D【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得．【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，22(1)1x y -+=(1,0)，解得．1=1a =-故选：D ．4．已知方程表示椭圆，则实数k 的取值范围是（）22132x y k k +=+-A ． B ．113,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 113,,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()2,∞+(),3-∞-【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.k 【详解】由于方程表示椭圆，22132x y k k+=+-所以. 3011203,,22232k k k k k+>⎧⎪⎛⎫⎛⎫->⇒∈--⋃-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+≠-⎩故选：B5．下列有关命题的说法中错误的是（） A ．“”是“”的充分不必要条件1x =2320x x -+=B ．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则” 2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠C ．若命题，使得，则，均有 :p x ∃∈R 210x x ++<:p x ⌝∀∈R 210x x ++≥D ．若为假命题，则、均为假命题 p q ∧p q 【答案】D【分析】A 选项，求出二次方程的解即可判断；命题“若，则q ”的逆否命题为“若，则”，p q ⌝p ⌝B 正确；特称命题的否定为全称命题，C 正确；根据复合命题的真假判断规则判断D 选项. 【详解】A 选项，的解为或2，所以“”是“”的充分不必要条2320x x -+=1x =1x =2320x x -+=件，A 正确；B 选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，B 正确； 2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠C 选项，特称命题的否定为全称命题，C 正确；D 选项，若为假命题，则、中至少有一个为假命题. p q ∧p q 故选：D【点睛】本题考查充分不必要条件、逆否命题、含一个量词的命题的否定、复合命题的真假判断，属于基础题.6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最C 212y x =-F C P ()4,2Q -PF PQ +小值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知l 3x =P PM l ⊥M PF PM =，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.,,Q P M PM PQ +【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为， C 212y x =-()3,0F -l 3x =如图，过作于，P PM l ⊥M由抛物线的定义可知，所以 PF PM =PF PQ PM PQ +=+则当三点共线时，最小为. ,,Q P M PM PQ +()347--=所以的最小值为. PF PQ +7故选：C.7．如图，是的重心，，则（）G ABC A OA a,OB b,OC c === OG =A ．B ．122333a b c ++ 221333a b c ++C ．D ．222333a b c ++ 111333a b c ++ 【答案】D【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示23OG OC CD =+ ,,a b c ,OC CD可得结论.【详解】是的重心，， G ABC A OA a,OB b,OC c ===，， OG OC CG ∴=+ 23CG CD =，，，()12CD CA CB =+ CA OA OC =- CB OB OC =-，()2111132333OG OC CA CB OC OB OA ∴=+⨯+=++ ．111333OG a b c ∴=++ 故选：D ．8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.9．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为4mx ny +=224x y +=(,)m n 22194x y+=（） A ．2个 B ．至少一个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】根据直线与圆的位置关系，求得点的轨迹范围所以，再利用其轨迹与椭圆的位置关(),m n 系，即可判断直线与椭圆的位置关系.【详解】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径4mx ny +=224x y +=∴()0,02r =，即2>2202m n <+<点在以原点为圆心，半径为2的圆内，∴(),P m n 又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内，22194x y +=∴22m n +∴(),P m n 则过点的直线与椭圆的交点个数为2个. (,)m n 22194x y +=故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，（1）判断直线与圆的位置关系用几何法，圆心到直线的距离与圆的半径比较，相切；d r d r =⇔相离；相交；d r >⇔d r <⇔（2）判断直线与椭圆的位置关系用代数法，联立直线与椭圆方程，求判别式：相切；0∆=⇔相离；相交；或者观察直线过的定点是否在椭圆内部，若在，则直线与椭圆相交. 0∆>⇔0∆<⇔10．过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则切线段1C 221x y +=P 2C ()()22344x y -+-=Q PQ 长的最大值为（） A ．BC ．D【答案】C【分析】根据切线的性质得到不等式，可得选项. 【详解】，，=21211516PC C C ≤+=+=+=所以，即切线段长的最大值为 PQ ≤=PQ 故选：C ．11．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、1C ()2211221110x y a b a b +=>>2C ()2222222210x y a b a b -=>>1F ，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P 为椭圆与双曲线的交点，且2F 1C 1e 2C 2e 1C 2C ，则的最大值为（）123F PF π∠=1223e e +A B ．C ．D ．【答案】B【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，P 112212,PF a a PF a a =+=-进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函2221234a a c +=2221314e e +=12112cos ,,e e ==θθ数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则 P 由椭圆的定义可得， 1212PF PF a +=由双曲线的定义可得， 1222PF PF a -=所以，112212,PF a a PF a a =+=-因此，即，222121212cos 32PF PF F F PF PF +-=⋅π()()()()()222121212122122a a a a c a a a a ++--=+⋅-所以，即，令 2221234a a c +=2221314e e +=12112cos ,,e e ==θθ因此，其中()12234cos e e +=+=+θθθϕtan ϕ=所以当时，有最大值，最大值为 ()sin 1θϕ+=1223e e +故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式； c e a=②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式； c e a=②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，121,01,0F F -()，()222AF F B =││││，则C 的方程为1AB BF =││││A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设，则，得，在中求得2F B n =212,3AF n BF AB n ===12AF n =1AF B △，再在中，由余弦定理得.11cos 3F AB ∠=12AF F △n =【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有2F B n =212,3AF n BF AB n ===．在中，由余弦定理推论得121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △．在中，由余弦定理得，解得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n nn n +-⋅⋅⋅= n 所求椭圆方程为，故选B ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有2F B n =212,3AF n BF AB n ===．在和中，由余弦定理得121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △，又互补，，两2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=式消去，得，解得2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =所求椭圆方程为，故选B ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．二、填空题13．圆：与圆：的公切线条数为____________. 1C 22650x y y +-+=2C 22870x y x +-+=【答案】3【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.【详解】圆：，圆心，半径； 1C 22650x y y +-+=22(3)4x y ⇔+-=1(0,3)C 12r =圆：，圆心，半径. 2C 22870x y x +-+=22(4)9x y ⇔-+=2(4,0)C 23r =因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3. 12125C C r r ===+故答案为：314．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．2221(0)x y m m-=>22430x y y +-+=m =【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，()22210x y m m-=>y x m =±0x my ±=不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，0x my +=22430x y y +-+=()2221x y +-=()0,21r =依题意圆心到渐近线的距离，()0,20x my +=1d =解得． m=m =15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，()220y px p =>F F A B ，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________． O A AFOBFO S S =A A 【答案】2【分析】如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到. ||||AFO BFO S AF S BF =A A ||2||AFO BFO S AF S BF ==A A 【详解】由题得,.1||||sin 2AFO S OF AF AFO ∆=⋅∠1||||sin 2BFO S OF BF BFO ∆=⋅∠因为. ,sin sin AFO BFO AFO BFO π∠+∠=∴∠=∠所以, ||||AFO BFO S AF S BF =A A 过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作于点E, BE AM ⊥设|BF|=m ，|AF|=n ，则|BN|=m ，|AM|=n ，所以|AE|=n-m ，因为AB k =所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m ，所以. 2nm=所以. ||=2||AFO BFO S AF nS BF m ==A A 故答案为：2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐22221(0,0)x y a b a b-=>>近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．1F A AB = 120F B F B ⋅=【答案】2.【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得1F A AB =1OA F A ⊥1AOB AOF ∠=∠从而由. 21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=0tan 60ba==【详解】如图，由得又得OA 是三角形的中位线，即由1,F A AB =1.F A AB =12,OF OF =12F F B 22//,2.BF OA BF OA =，得则有，120F B F B =A 121,,FB F B OA F A ⊥⊥1OB OF =1AOB AOF ∠=∠又OA 与OB 都是渐近线，得又，得21,BOF AOF ∠=∠21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=．又渐近线OB 的斜率为02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=0tan 60ba==为． 2c e a ===【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．三、解答题17．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.()2222:10,0x y C a b a b-=>>22152x y +=P(1)求双曲线的方程；C (2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.l C ,A B AB ()1,2l 【答案】(1)2212y x -=(2)1【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【详解】（1）由的焦点坐标为 22152x y +=())由双曲线与有相同的焦点()2222:10,0x y C a b a b -=>>22152x y +=所以双曲线的焦点坐标为()2222:10,0x y C a b a b-=>>())0故c =在双曲线中： ① 2223a b c +==又双曲线经过点C P 所以② 22221a b -=解得：221,2a b ==所以双曲线的方程为：C 2212y x -=（2）由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：l y kx m =+由直线与双曲线交于两点，设 l C ,A B ()()1122,,,A x y B x y 所以消去整理得： 2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y()2222220kx kmx m -+++=所以 1212222222x x km kmx x k k ++=-⇒=---()()()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++ 2224222km m k m k k ⎛⎫=⨯-+=- ⎪--⎝⎭所以 122222y y mk +=--由的中点坐标为AB ()1,2所以 12221222112222222222x x km kmk k y y m m k k +⎧⎧=-=-=⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨+⎪⎪-==-=⎪⎪--⎩⎩所以.1k =18．已知正四棱柱，E 为中点，F 为中点．11111,1,2ABCD A B C D AB AA -==1CC 1BD(1)证明：为与的公垂线； EF 1BD 1CC (2)求点到面的距离． 1D BDE 【答案】(1)见解析【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明，即可D 11,EF BD EF CC ⊥⊥得证；（2）利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，从而可得出答案. 1DD BDE 【详解】（1）证明：如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， D 则，()()()()()11111,1,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,1,1,,,122B C C D E F ⎛⎫⎪⎝⎭则，()()1111,,0,1,1,2,0,0,222EF BD CC ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭因为， 110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=所以， 11,EF BD EF CC ⊥⊥即为与的公垂线；EF 1BD 1CC （2）解：，()()()11,1,0,0,1,1,0,0,2DB DE DD ===设平面的法向量， BDE (),,m x y z = 则有，可取，m DB x y m DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()1,1,1m =- 则111cos ,DD m DD m DD m ⋅=== 所以直线与平面 1DD BDED BDE所以点到面1//19．如图，在直角梯形ABCD中，AB DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE 将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M N点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；（2）假设存在点N ，使得二面角B ﹣EN ﹣M以E 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，EB ED EP，，设PE =EB =2，设N (2，m ，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)， P (0，0，2)，C (2，2，0)，M (1，0，1)，，，，(1,0,1)EM =(2,0,0)EB = (2,,0)EN m = 设平面EMN 的法向量为，(,,)p x y z =由，令，得，.0.20m EM x z m EN x my ⎧=+=⎨=+=⎩x m =(,2,)p m m =-- 平面BEN 的一个法向量为， (001)n =，，故cos ,p n p n p n ⋅===⨯ 解得：m =1，故存在N 为BC 的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．已知椭圆，点、都在上. ()2222:10x y C a b a b +=>>()2,0A -⎛ ⎝C （1）求椭圆的标准方程；C （2）设，、是椭圆上不同于、的两点，若直线的斜率等于直线的斜率()2,0B M N C A B BN AM 的倍，设直线的斜率为，求四边形的面积.2AM 12AMBN【答案】（1）；（2）.22142x y +=163【分析】（1）将题干中的两点代入椭圆的方程，求出、的值，可得出椭圆的标准方程； C 2a 2b C （2）求出直线、的方程，将这两条直线的方程分别与椭圆的方程联立，求出点、AM BN C M N 的坐标，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积. AMBN 【详解】.（1）由题意可得，解得，222241211a a b ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩2242a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆的标准方程为；C 22142x y +=（2）直线的方程为，AM 112y x =+联立，可得，解得或，即点， 22112142y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩23440+-=x x 20x y =-⎧⎨=⎩2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意可知，直线的斜率为，故直线的方程为，BN 1BN 2y x =-联立，得，解得或，即点， 222142y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩23840x x -+=20x y =⎧⎨=⎩2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩24,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，四边形的面积为.AMBN 1181642233M N AMBN S AB y y =⨯⨯-=⨯⨯=四边形21．已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一2y =E E 个正三角形. (1)求椭圆的方程; E (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的12y =E ,A B P AB OP ,M N P MN 垂线交轴于,求面积的最小值.x Q MNQ △【答案】(1)2214x y +=【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得,a c ,即可得椭圆方程.(2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0,设直线方程与椭圆联立求得,根据MN MN MN PQ MN ⊥设出点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出,分离Q 常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可. 【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为x=c ∴=因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,E ,1,2b a ∴==故椭圆的标准方程为:;2214x y +=（2）由(1)得椭圆的方程为,2214x y +=的垂线交轴于,MN x Q 的斜率存在,MN ∴连接交椭圆于两点,OP ,M N 的斜率不为0,MN ∴不妨设,()()1122:,,,,MN l y kx M x y N x y =则,11,22P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立, 2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩即,()221440k x +-=,1212240,14x x x x k -∴+=⋅=+,=设,(),0Q m ,PQ MN ⊥ ,12112PQ MN k k k m k∴⋅=⋅=--解得:, 122k m k =+到直线, Q ∴MN 22MNQS∴=A=14= 14=+14≥⋅=即时取等,=k =故. MNQ △22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极xOy l 2()x tt y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩O 点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．x C π4sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； l C (2)直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求． l y P C A B 2211||||+PA PB 【答案】，0y -=22(1)(4x y -+=(2) 3118【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果【详解】（1）直线的参数方程为，消去参数，可得，即l 2)x ty t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩t1)y x =-；0y -=曲线的极坐标方程为，即，C 4sin()6πρθ=+22cos )ρρθθ=+化为直角坐标方程是，即；222x y x +=+22(1)(4x y -+=所以直线，l 0y -=曲线的直角坐标方程为； C 22(1)(4x y -+=（2）令，得直线与轴交于点，x =l y (0,P 把直线的参数方程化为为参数），代入，l 12(x m m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22(1)(4x y -+=得到， 2790m m -+=故，；127m m +=129m m =所以． 22221121222222222121212()21111491831||||8181m m m m m m PA PB m m m m m m ++--+=+====⋅⋅23．已知函数.()2f x x a x a =++-（1）当时，求不等式的解集； 1a =()42f x x ≥-+（2）设，且的最小值是，若，求的最小值. 0,0a b >>()f x t 33t b +=12a b+【答案】（1）；（2）.[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）当时，得到不等式，分，和三种情况讨1a =2214x x ++-≥2x ≤-2<<1x -1x ≥论，即可求解.（2）由绝对值的三角不等式求得，得到， 2(2)()3x a x a x a x a a ++-≥+--=3t a =进而得到，再结合基本不等式，即可求解. 1a b +=【详解】（1）当时，函数， 1a =()21f x x x =++-由，可得，()42f x x ≥-+2214x x ++-≥当时，不等式可化为，解得；2x ≤-2414x x ---+≥73x ≤-当时，不等式可化为，解得； 2<<1x -2414x x +-+≥1<1x ≤-当时，不等式可化为，解得，1x ≥2414x x ++-≥1x ≥综上，不等式的解集为.[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦（2）由，所以， ()2(2)()3f x x a x a x a x a a =++-≥+--=3t a =又由，，即，即，0,0a b >>33t b +=333a b +=1a b +=所以， 12122()()333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+当且仅当，即2b aa b =1,2a b ==∴的最小值为. 12a b+3+【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式和基本不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值的不等式的解法，合理应用绝对值的三角不等式求得最小值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.。

内蒙古包头市高二下学期数学期末考试试卷

内蒙古包头市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共16题；共20分)1. （1分） (2017高三上·徐州期中) 已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．2. （1分）已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设表示取到红球的个数，则________， ________．3. （1分） (2017高二下·和平期末) 端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是________．4. （1分）已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是________5. （1分） (2016高二上·长春期中) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i=________．6. （1分）(2016·城中模拟) 已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为________．7. （1分） (2018高二上·宁夏期末) 双曲线的渐近线方程为________.8. （5分） (2018高二下·湛江期中) 观察下列等式:…照此规律, 第n个等式可为________.9. （1分） (2019高三上·成都月考) 在展开式中，的系数是________.10. （1分） (2020高三上·郑州月考) 已知曲线关于直线对称，则的最小值为________.11. （1分） (2017·山东) 已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．12. （1分） (2019高一上·瓦房店月考) 函数的值域为________。

内蒙古包头市北重五中高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀∈R，x2≥0”的否定是（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∉R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜02．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b 等于（）A．4 B．4 C．4 D．4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则6．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆7．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．128．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b9．S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10=120，那么a3+a8的值是（）A．12 B．24 C．36 D．4810．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则ab的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．611．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．312．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c= ．14．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．15．若n＞0，则的最小值为．16．设a=+2，b=2+，则a，b的大小关系为．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．18．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．19．在△A BC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．20．已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15．（1）求证：数列{a n+1}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）求|AB|的长；（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l 的方程．2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀∈R，x2≥0”的否定是（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∉R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型．3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b 等于（）A．4 B．4 C．4 D．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理以及a，sinA和sinB求得b．【解答】解：A=180°﹣60°﹣75°=45°由正弦定理可知，∴b==4故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选 C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程．在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断焦点所在位置，再代入公式，避免出错．5．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则【考点】不等关系与不等式．【专题】阅读型．【分析】对于A、当c＜0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立，从而得出正确选项．【解答】解：A、当c＜0时，不成立；B、当c=0时，不成立C、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0∴一定有a＞b．故C成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立；故选C．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题．6．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【考点】轨迹方程．【专题】动点型．【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M点的轨迹．【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．【点评】考查点的轨迹的概念，以及两边之和大于第三边定理，可画出图形，也可想象图形．7．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．8．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．9．S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10=120，那么a3+a8的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的通项公式．【专题】对应思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的前n项和公式与通项公式，即可求出a3+a8的值．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，S10==120，∴a1+a10=24∴a3+a8=a1+a10=24．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式与通项公式的应用问题，是基础题目．10．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则ab的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【考点】一元二次不等式的解法；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先对原不等式进行等价变形，进而利用韦达定理求得和的值，进而求得a和b，则ab的值可求得．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由韦达定理知﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故选D【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法．注意和一元二次方程的相关问题解决．11．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】=tan60°=⇒4b2=3c2⇒4（c2﹣a2）=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2．【解答】解：如图，∵=tan60°，∴=，∴4b2=3c2，∴4（c2﹣a2）=3c2，∴c2=4a2，∴=4，∴e=2．故选B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．12．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c= 1：：2 ．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．14．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及性质，在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解题．15．若n＞0，则的最小值为 6 ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵n＞0，则=+≥3=6，当且仅当n=2时取等号．故答案为：6．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设a=+2，b=2+，则a，b的大小关系为a＜b ．【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先分别将a，b平方，再进行大小比较即可．【解答】解：∵a=+2，b=2+，∴，∴a、b的大小关系为a＜b；故答案为 a＜b．【点评】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③．解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2．综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．18．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．19．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）由cosA=，得sinA==，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a===，则ABC的面积为S=absinC=×××=．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．20．已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15．（1）求证：数列{a n+1}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n=2a n﹣1+1变形为：a n+1=2（a n﹣1+1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：由a n=2a n﹣1+1变形为：a n+1=2a n﹣1+2，即a n+1=2（a n﹣1+1），∴{a n+1}是以a1+1=2为首项以2为公比的等比数列；（2）解：∵，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=（21+22+23+…+2n）﹣n==2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）求|AB|的长；（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．【考点】椭圆的定义；等差数列的通项公式；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，可以推出a=1，推出|AF2|+|A B|+|BF2|=4a，从而求出△ABF2的周长；（Ⅱ）因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，可得|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4，求出|AB|的长；（Ⅲ）已知L的方程式为y=x+c，其中c=，联立直线和椭圆的方程，设出A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出b的值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，由椭圆定义知|AF2|+|A B|+|BF2|=4a已知a=1∴△ABF2的周长为4…3分（Ⅱ）由已知|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4故3|AB|=4，解得|AB|=….6分（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程，，化简得，（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0，则x1+x2=，x1x2=，因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=|x2﹣x1|，即=|x2﹣x1|，则=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣=，解得b=；…12分【点评】此题主要考查椭圆的定义及其应用，把等差数列作为载体进行出题，考查圆锥曲线，是一种创新，此题是一道综合题；22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．。

内蒙古包头市北重五中高二数学上学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀∈R，x2≥0”的否定是（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∉R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜02．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b 等于（）A．4 B．4 C．4 D．4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则6．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆7．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．128．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b9．S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10=120，那么a3+a8的值是（）A．12 B．24 C．36 D．4810．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则ab的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．611．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．312．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c= ．14．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．15．若n＞0，则的最小值为．16．设a=+2，b=2+，则a，b的大小关系为．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．18．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．19．在△A BC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．20．已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15．（1）求证：数列{a n+1}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）求|AB|的长；（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l 的方程．2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀∈R，x2≥0”的否定是（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∉R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型．3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b 等于（）A．4 B．4 C．4 D．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理以及a，sinA和sinB求得b．【解答】解：A=180°﹣60°﹣75°=45°由正弦定理可知，∴b==4故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选 C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程．在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断焦点所在位置，再代入公式，避免出错．5．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则【考点】不等关系与不等式．【专题】阅读型．【分析】对于A、当c＜0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立，从而得出正确选项．【解答】解：A、当c＜0时，不成立；B、当c=0时，不成立C、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0∴一定有a＞b．故C成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立；故选C．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题．6．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【考点】轨迹方程．【专题】动点型．【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M点的轨迹．【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．【点评】考查点的轨迹的概念，以及两边之和大于第三边定理，可画出图形，也可想象图形．7．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．8．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．9．S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10=120，那么a3+a8的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的通项公式．【专题】对应思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的前n项和公式与通项公式，即可求出a3+a8的值．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，S10==120，∴a1+a10=24∴a3+a8=a1+a10=24．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式与通项公式的应用问题，是基础题目．10．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则ab的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【考点】一元二次不等式的解法；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先对原不等式进行等价变形，进而利用韦达定理求得和的值，进而求得a和b，则ab的值可求得．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由韦达定理知﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故选D【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法．注意和一元二次方程的相关问题解决．11．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】=tan60°=⇒4b2=3c2⇒4（c2﹣a2）=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2．【解答】解：如图，∵=tan60°，∴=，∴4b2=3c2，∴4（c2﹣a2）=3c2，∴c2=4a2，∴=4，∴e=2．故选B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．12．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c= 1：：2 ．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．14．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及性质，在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解题．15．若n＞0，则的最小值为 6 ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵n＞0，则=+≥3=6，当且仅当n=2时取等号．故答案为：6．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设a=+2，b=2+，则a，b的大小关系为a＜b ．【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先分别将a，b平方，再进行大小比较即可．【解答】解：∵a=+2，b=2+，∴，∴a、b的大小关系为a＜b；故答案为 a＜b．【点评】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③．解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2．综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．18．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．19．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）由cosA=，得sinA==，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a===，则ABC的面积为S=absinC=×××=．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．20．已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15．（1）求证：数列{a n+1}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n=2a n﹣1+1变形为：a n+1=2（a n﹣1+1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：由a n=2a n﹣1+1变形为：a n+1=2a n﹣1+2，即a n+1=2（a n﹣1+1），∴{a n+1}是以a1+1=2为首项以2为公比的等比数列；（2）解：∵，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=（21+22+23+…+2n）﹣n==2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）求|AB|的长；（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．【考点】椭圆的定义；等差数列的通项公式；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，可以推出a=1，推出|AF2|+|A B|+|BF2|=4a，从而求出△ABF2的周长；（Ⅱ）因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，可得|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4，求出|AB|的长；（Ⅲ）已知L的方程式为y=x+c，其中c=，联立直线和椭圆的方程，设出A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出b的值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，由椭圆定义知|AF2|+|A B|+|BF2|=4a已知a=1∴△ABF2的周长为4…3分（Ⅱ）由已知|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4故3|AB|=4，解得|AB|=….6分（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程，，化简得，（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0，则x1+x2=，x1x2=，因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=|x2﹣x1|，即=|x2﹣x1|，则=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣=，解得b=；…12分【点评】此题主要考查椭圆的定义及其应用，把等差数列作为载体进行出题，考查圆锥曲线，是一种创新，此题是一道综合题；22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．。

内蒙古包头市第九中学高二上学期期末考试数学理科试题

包九中2016--2017学年度第一学期期末考试高二年级数学（理）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．12．已知椭圆方程22231x y +=，,则它的长轴长是A.2B.1C.12D.223．若x 、y 满足20200x y x y y ⎧+-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则对于2z x y =-A.在()2,0-处取得最大值B.在()02，处取得最大值 C.在()2,0处取得最大值D.无最大值4．总体由编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用如下随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．085．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6 y25●505664根据表格已得回归方程：y =9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是 A．37B．38.5C．39D．40.56．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n 值的二进制表示为A.11(2)B.100(2)C.101(2)D.110(2)7．平面直角坐标系中，椭圆C 中心在原点，焦点1F 、2F 在x轴上，离心率为33.过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且2ABF ∆的周长为43，那么C 的方程为 A.2213x y += B.22132x y += C.221124x y += D.221128x y += 8．顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点()4,2P --的抛物线的标准方程为A.2y x =-B.2y x =-或28x y =-C.28y x =-或2x y =-D.28x y =-9． 2k =±是直线1y kx =-与曲线224x y -=仅有一个公共点的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知双曲线的一条渐近线过点(2，且双曲线的一个焦点在抛物线2x =的准线上，则双曲线的标准方程为A.22134y x -= B ．22143y x -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 11．点P 为抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线230x y -+=和y 轴的距离之和的最小值为ABC ．2D 112．设1F 、2F 为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线2C 的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M ，12MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且12MF =.若椭圆1C 的离心率34,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线2C 的离心率的取值范围是A.55,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.(]1,4D.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共30分）13．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是．14．设1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则12PF PF ⋅的最大值为．15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为．16．1F 、2F 为双曲线C ：22194x y -=的左、右焦点，点M 在双曲线上且12=60F MF ∠，则12=F MF S ∆． 17．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB的面积为． 18．下列说法正确的是①已知定点()11,0F -、()21,0F ，则满足123PF PF -=的动点P 的轨迹不存在； ②若动点P 到定点F 的距离等于动点P 到定直线l 的距离，则动点P 的轨迹为抛物线；③命题“0x ∀<，都有20x x -<”的否定为“00x ∃≥，使得2000x x -≥”；④已知定点()12,0F -、()22,0F ，则满足12+=4PF PF 的动点P 的轨迹为线段12FF ； ⑤()2210x y mn m n-=>表示焦点在x 轴上的双曲线.三、解答题（每小题12分，共60分）19．已知圆22:414450C x y x y +--+=及点(2,3)Q -.(1)若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值； (2)实数,m n 满足22:414450C m n m n +--+=，求32n k m -=+的最大值和最小值. 20．一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值； (2)求这n 名同学成绩的平均数、中位数及众数；(3)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学参加志愿者活动，求这3名同学中恰有两名同学得分在[80,90)内的概率.21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣2）x ﹣b 2+16=0(1)若a 、b 是一枚骰子掷两次所得的点数，求方程有两正根的概率． (2)若a ∈[2，6]，b ∈[0，4]，求方程没有实根的概率． 22．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝6上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M为PD 上一点，且2DP DM =．(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)若点()1,1Q 恰为直线l 与曲线C 相交弦的中点，试确定直线l的方程；(3)直线30x y +-=与曲线C 相交于E 、G 两点，F 、H 为曲求EFGH S 的线C 上两点，若四边形EFGH 对角线相互垂直，最大值．23．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．包九中2016--2017学年度第一学期期末考试高二年级数学（理）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设双曲线a2x2－9y2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为CA ．4B ．3C ．2D ．12．已知椭圆方程，,则它的长轴长是AA. B.1 C. D.3．若、满足，则对于 C A.在处取得最大值B.在处取得最大值C.在处取得最大值 D.无最大值4．总体由编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用如下随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为D7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．085．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6 y25●505664根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是CA．37B．38.5C．39D．40.56．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n 值的二进制表示为CA.11(2)B.100(2)C.101(2)D.110(2)7．平面直角坐标系中，椭圆C 中心在原点，焦点、在x 轴上，离心率为.过点的直线与C 交于A 、B 两点，且周长为，那么C 的方程为BA. B.C. D.8．顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点的抛物线的标准方程为B A.B.或C.或D.9．是直线与曲线仅有一个公共点的AA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为AA. B ．C ．D ．11．点为抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值为D A ．B ．C ．D ．12．设、为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且.若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是DA. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共30分）13．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是．14．设、分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一动点，则的最大值为．115．已知双曲线a2x2－b2y2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为．(1,2]16．、为双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上且，则．17．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△2AOB的面积为．218．下列说法正确的是①④①已知定点、，则满足的动点的轨迹不存在；②若动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹为抛物线；③“，都有”的非命题为“，使得”；④已知定点、，则满足的动点的轨迹为线段；⑤表示焦点在轴上的双曲线.三、解答题（每小题12分，共60分）19．已知圆及点.(1)若M为圆上任一点，求的最大值和最小值；(2)实数满足，求的最大值和最小值.（1）（2）20．一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；(2)求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；(3)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，求3名同学中恰有两名同学得分在[80,90)内的概率.解：（1）由题意可知，样本容量，，．……………………………6分(2)平均数：70.5；中位数：71.25；众数：75 （3）由题意，分数在内的有4人，分数在内的有2人，成绩是分以上（含分）的学生共6人．21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣2）x ﹣b 2+16=0(1)若a 、b 是一枚骰子掷两次所得的点数，求方程有两正根的概率．(2)若a ∈[2，6]，b ∈[0，4]，求方程没有实根的概率．22．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝6上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且．(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)若点恰为直线与曲线相交弦的中点，试确定直线的方程；(3)直线与曲线相交于、两点，、为曲线上两点，若四边形对角线相互垂直，求的最大值．23．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是21时，→AC ＝4→AB. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解直线l 的方程为x ＝2y －4. 由x ＝2y －4x2＝2py ，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴②8＋p ，又∵→AC ＝4→AB，∴y 2＝4y 1，③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝k(x ＋4x2＝4y 得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝2xC ＋xB ＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为 y －2k 2－4k ＝－k 1(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

内蒙古包头市高二上学期期末数学试卷(理科)

内蒙古包头市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁UN）为（）A . {x|﹣1≤x＜1}B . {x|﹣1≤x≤1}C . {x|1≤x≤3}D . {x|1＜x≤3}2. （2分）设向量，若与平行，则实数m等于（）A . -2B . 2C .D .3. （2分） (2015高二上·抚顺期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a2=18﹣a7 ， S8=（）A . 18B . 36C . 54D . 724. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 平均数B . 标准差C . 众数D . 中位数5. （2分）已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（）A .B .C .D .6. （2分）如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A . 1B .C . 2D .7. （2分） (2015高二下·湖州期中) 函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（3），则实数a的取值范围是（）A . （0，3]B . （﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C . RD . [﹣3，3]8. （2分）函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A . （0，1）B . （﹣1，0）C . （1，2）D . （﹣2，﹣l）9. （2分）将函数的图像向右平移，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则所得图像的解析式为（）A .B .C .D .10. （2分）直线x+y=1和直线2mx-y=4互相垂直，则m的值是（）A .B . 4C .D .11. （2分）已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（2，﹣2），B（2，1），C（，1），则R的最小值为（）A .B .C .D . 812. （2分） (2019高二上·大港期中) 已知椭圆，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·信阳期末) 已知半径为2的扇形面积为4，则扇形的角度大小为________弧度．14. （1分） (2016高二上·茂名期中) 已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为________15. （1分）设函数f（x）= ，则不等式f（x）≤2的解集为________．16. （1分） (2016高一上·南京期中) 若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）＜f（0）≤f （a），则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知幂函数y=f（x）经过点（2，）．（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．18. （10分） (2016高一下·北京期中) 已知cosx=﹣，x∈（0，π）（1）求cos（x﹣）的值；（2）求sin（2x+ ）的值．19. （10分）如图1，矩形APCD中，AD=2AP，B为PC的中点，将△APB折沿AB折起，使得PD=PC，如图2．（1）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；（2）证明：平面APB⊥平面ABCD．20. （5分）根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1 ， a2 ，…，an ，…，a2015（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1 ，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，求函数f（x）=a2sin（ωx+φ）在区间[﹣，]上的值域．21. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 设的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．22. （10分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（1）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（2）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

内蒙古包头市高二数学上学期期末考试试题理

内蒙古包头市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案） 1．若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1。

2,则m －错误!的值为（ )A.－0.2 B ．0。

2C ．0.1D ．－0.12．服从正态分布N (μ，σ2）的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率分别为68。

3%,95。

4％和99.7％.已知某次数学考试的成绩服从正态分布N （116,64）,则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（）A ．0.3％B ．0。

23％C ．1.5％D ．0。

15%3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91。

现场作的9 个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为（ ) A 。

错误! B.错误! C ．36 D.错误!4．若a ＝错误!,b ＝错误!,c ＝错误!，则( ）A ．a 〈b <cB ．c 〈b 〈aC ．c <a 〈bD ．b 〈a 〈c 5．若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x2 014（x ∈R )，则错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的值为（ )A ．2B ．0C ．－1D ．－26．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管,任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（）A 。

错误!B 。

错误! C.错误! D 。

错误!7．箱子里有5个黑球，4个白球,每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球,则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A.错误! B 。

错误!3×错误! C 。

错误!×错误! D ．C 错误!×错误!3×错误!8．已知a >0,b 〉0,a ＋b ＝2，则y ＝错误!＋错误!的最小值是（ )A.错误! B ．4 C 。

数学高二(宏志班)上学期理数期末考试试卷

A . ，1，
B . ，1，1
C . 2，1，
D . 2，1，1
11. （2分） (2015高二上·和平期末) 若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，焦距为6，则该椭圆的方程是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018·全国Ⅰ卷理) 设抛物线的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则（）
18. （5分） (2018高二上·儋州月考) 直线经过点P（5，5），且和圆C：相交，截得的弦长为．求的方程．
19. （10分） (2018高三上·荆门月考) 如图，在四棱锥中，平面，平面，，
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求的值.
20. （5分） (2019高二上·宁波期末) 如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为 .
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （15分） (2016高三下·娄底期中) 设a为实数，给出命题p：函数f（x）=（a﹣ ）x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式（） |x﹣1|≥a的解集为∅．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若q为真命题，求a的取值范围；
（3）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．
（Ⅰ）求切线，的方程；
（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；
（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.
22. （5分）设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2 ，求圆的方程．
参考答案

内蒙古包头市高二上学期期末数学试卷(理科)

内蒙古包头市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） sinx=0是cosx=1的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知抛物线和点，为抛物线上的点，则满足的点有（）个。

A . 0B . 2C . 3D . 43. （2分）已知向量=（3，﹣1，2），=（x，y，﹣4），且∥，则x+y=（）A . 8B . 4C . -4D . -84. （2分） (2018高一下·桂林期中) 若非零向量，满足 ,且 ,则与的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分）已知M（x0,y0）是双曲线C：-y2=1上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若，则y0的取值范围是（）A . (-,)B . (-,)C . (-,)D . (-,)6. （2分） (2016高一上·闵行期中) 已知x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是（）A . 若x2+y2≠0，则x，y都不为0．B . 若x2+y2≠0，则x，y不都为0．C . 若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0D . 若x2+y2≠0，则x=0且y=07. （2分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2 ，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1•e2+1的取值范围为（）A . （1，+∞）B . （，+∞）C . （，+∞）D . （，+∞）8. （2分）若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A . 2：3：（﹣4）B . 1：1：1C . ﹣：1：1D . 3：2：49. （2分） (2017高二上·太原月考) 已知，那么“ ”的充分必要条件是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·白山模拟) 若双曲线C：mx2+y2=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，则m的值为（）A . ﹣B .C . ﹣3D .12. （2分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2，则点P的轨迹为（）A . 圆B . 双曲线C . 抛物线D . 椭圆二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2017·杭州模拟) 设圆x2+y2=12与抛物线x2=4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为P1 ， P2 ， P3 ， P4 ，则|P1P2|+|P3P4|的值________，若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧上，则|MF|+|NF|的取值范围是________．14. （1分） (2016高二上·吉林期中) 下列命题中：①、若m＞0，则方程x2﹣x+m=0有实根．②、若x＞1，y＞1，则x+y＞2的逆命题．③、对任意的x∈{x|﹣2＜x＜4}，|x﹣2|＜3的否定形式．④、△＞0是一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件．是真命题的有________．15. （1分）如图，在正方体中，用，，作为基向量，则 =________.16. （1分） (2017高一上·白山期末) 以下命题中，正确命题的序号是________．①函数y=tanx在定义域内是增函数；②函数y=2sin（2x+ ）的图象关于x= 成轴对称；③已知 =（3，4），• =﹣2，则向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（0， ]．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）设命题p：“若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”．（Ⅰ）试写出命题p的逆否命题；（Ⅱ）判断命题p的逆否命题的真假，并写出判断过程．18. （5分）已知某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m，现有一船，船宽为10m，水面以上高为3m，问这条船能否从桥下通过？19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求直线MD与平面ABCD所成角的余弦值．20. （10分） (2019高二上·佛山月考) 为数列的前项和，已知，．（1）求；（2）记数列的前项和为，若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．21. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．（1）证明：平面PBC⊥平面PDC；（2）若∠PAB=120°，求点B到直线PC的距离．22. （10分） (2016高二下·佛山期末) 已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案

2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2

a
1f
x
a

0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得的横坐标分别是则有又
，又于是
，，
，
，即 l 与直线平行，一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分，

2022-2023学年内蒙古自治区包头市高二上册期末数学(文)检测试题(含解析)

2022-2023学年内蒙古自治区包头市高二上册期末数学（文）检测试题一、单选题1．命题“21,1x x ∀>>”的否定是（）A ．21,1x x ∀>≤B ．21,1x x ∀≤≤C ．21,1x x ∃≤≤D ．21,1x x ∃>≤【正确答案】D根据命题的否定的定义写出命题的否定．【详解】命题“21,1x x ∀>>”的否定是21,1x x ∃>≤．故选：D ．2．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +-++=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．5B ．6C ．D ．【正确答案】B【分析】根据直线经过圆心即可求出1a =，再利用两点间距离公式求出AC ，最后由勾股定理即可求解.【详解】因为直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +-++=的对称轴，圆心坐标为(2,1)C -2=.所以210a --=，解得1a =，所以()4,1A -，因为过点()4,1A -作圆C 的一条切线，切点为B ，所以6AB =.故选：B.3．观察下列各式：1234533393273813243,,,,=====，L ，则20223的个位数字是（）A ．3B ．9C ．7D ．1【正确答案】B【分析】个位数出现顺序为3,9,7,1，且周期为4，即可确定20223的个位数字.【详解】由题设，个位数出现顺序为3,9,7,1，且周期为4，所以55022422033⨯+=，即20223的个位数字与239=相同.故选：B4．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB AB ⊥ 时，其离心率为12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（）AB C 1D 1【正确答案】A【分析】根据FB AB ⊥可得出0FB AB ⋅= ，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得“黄金双曲线”的离心率的值.【详解】根据“黄金椭圆”的性质是FB AB ⊥，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则()0,B b 、(),0F c -、(),0A a ．在“黄金双曲线”中，FB AB ⊥，0FB AB ∴⋅= ．又(),FB c b = ，(),AB a b =- ，则2220FB AB b ac c ac a ⋅=-=--=，在等式220c ac a --=的两边同时除以2a 可得210e e --=，1e >Q ，解得e =故选：A.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．下列命题正确的是（）A ．“x y ≥”是“22x y ≥”的充要条件．B ．指数函数的图象过点()0,1，()2x f x =是指数函数，因此()2xf x =的图象过点()0,1，这是归纳推理C ．用反证法证明结论：“自然数a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，可用假设“a ，b ，c 全是奇数”．D ．类比三角形面积比是边长比的平方，可得到四面体中体积比是边长比的立方．【正确答案】D【分析】利用命题、推理、反证法的概念一一判断即可.【详解】对于A ，由x y ≥可得0x y ≥≥，所以22x y ≥，由22x y ≥得x y ≥得不到x y ≥，所以“x y ≥”是“22x y ≥”的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，该推理方法是从一般到特殊的推理过程，所以是演绎推理，故B 错误；对于C ，反证法应该假设“a ，b ，c 全是偶数”，故C 错误；对于D ，类比三角形面积比是边长比的平方，可得到四面体中体积比是边长比的立方，故D 正确.故选:D.6．已知关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠，甲、乙、丙、丁四位同学对此方程分别有以下结论：甲：5x =-是该方程的根；乙：=1x -是该方程的根；丙：该方程两根之和为3-；丁：该方程两根异号.若四个同学的结论中仅有一个是错误的，则错误的结论为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【正确答案】B【分析】对甲、乙、丙、丁同学命题分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程()200ax bx c a ++=≠的两根，进而可得出结论.【详解】若甲同学命题是假命题，则乙丙丁同学命题是真命题，则关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的一根为1-，由于两根之和为3-，则该方程的另一根为2-，两根同号，不合乎题意；若乙同学命题是假命题，则甲丙丁同学命题是真命题，则5x =-是方程()200ax bx c a ++=≠的一根，由于两根之和为3-，则另一根为2，两根异号，合乎题意；若丙同学命题是假命题，则甲乙丁同学命题是真命题，则关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两根为5-和1-，两根同号，不合乎题意；若丁同学命题是假命题，则甲乙丙同学命题是真命题，则关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两根为5-和1-，两根之和为6-，不合乎题意.综上所述，乙同学命题为假命题.故选：B.7．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A （O 为坐标原点），且2OA AF =，则双曲线C 的离心率e 为（）A BC D ．2【正确答案】B设点A 为第一象限的点，求得tan b AOF a =∠，再利用公式e =可计算出双曲线C 的离心率.【详解】如下图所示：设点A 为第一象限的点，由于以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线by x a=于点A ，则2OAF π∠=，且122tan AF b A O F F A F a OA A =∠===，c e a ∴==因此，双曲线C .故选：B.本题考查双曲线离心率的求解，在涉及双曲线的渐近线方程时，利用公式e 考查计算能力，属于中等题.8．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】B【详解】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.9．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram ）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为（）A ．220B ．241C ．262D ．264【正确答案】B11...据每行第一列之间相差3，每行不同列之间差3，5，7，9，11...以此类推即可找到规律.【详解】记,i j a 为第i 行第j 列所代表的数字，则10143(101)31a =+⨯-=，，10113121(111)241a =+⨯-=，.故选：B.10．已知椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋218y ＝1D ．218x ＋29y ＝1【正确答案】D【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22b k a =，设直线方程为22(3)b y x a =-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以2122262b x x a b+==+；又因为229a b -=，解得229,18b a ==.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.11．若椭圆221(1)x y m m+=>与双曲线221(0)x y n n -=>有相同的焦点12F F 、，P 是两曲线的一个交点，则12F PF ∆的面积是A ．4B ．2C ．1D ．12【正确答案】C【详解】试题分析：因为两曲线的焦点相同，所以211c m n =-=+，即2m n -=．设P 是两曲线在第一象限内的交点，则由椭圆与双曲线的定义，有1212{PF PF PF PF +=-=12{PF PF ==，所以12·2PF PF =．在12F PF ∆中，由余弦定理，得22212121212||||cos 2·PF PF F F F PF PF PF +-∠=＝＝2()404n m -+=，所以122F PF π∠=，所以12121·2F PF S PF PF ∆=，故选C ．1、椭圆与双曲线的定义及性质；2、余弦定理．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）AB．CD【正确答案】D设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ += 得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440y ky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF = ，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以||k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S=1211||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯．故选：D ．方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．二、填空题13．已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的焦距长为4，离心率为2，则它的焦点到渐近线的距离为______．【分析】先求出焦点()0,2F，渐近线方程为y =，即可求出焦点到渐近线的距离【详解】因为双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的焦距长为4，离心率为2，所以222242c c e a b c a =⎧⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩，解得：21c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩不妨设上焦点()0,2F，渐近线方程为3a y x xb =±=±，所以焦点到渐近线的距离为d =.故答案为14．命题“对R b ∀∈，方程22211x y ab +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题，则满足条件的a 的一个值可以是______．【正确答案】0.5（填满足01a <<的任意实数均可）【分析】由题意知，210b a +>>，又因为211b +≥，可求出01a <<，即可得出答案.【详解】因为命题“对R b ∀∈，方程22211x y ab +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题，则210b a +>>，因为211b +≥，所以01a <<.故0.5（填满足01a <<的任意实数均可）.15．已知抛物线2:2C x y =上有两动点P ，Q ，线段PQ 的中点E 到x 轴距离的是2，则线段PQ 长度的最大值为______.【正确答案】5【分析】根据椭圆定义及三角形三边关系得11||||||PQ PF QF PP QQ ≤+=+，再结合梯形中位线性质即可得到最值.【详解】设抛物线C 的焦点为F ,点P 在抛物线的准线12y =-上的投影为1P ,点Q 在直线12y =-上的投影为1Q ,线段PQ 的中点为E ,点E 到x 轴的距离为2,则1111||||||222522E PQ PF QF PP QQ y ⎛⎫⎛⎫≤+=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当||||||PF QF PQ +=,即P 、F 、Q 三点共线时等号成立，所以PQ 的最大值为5.故5.16．若函数y =的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的取值范围为______.【正确答案】1,1⎡⎤-⎣⎦【分析】作出y =的图象，由直线与圆的位置关系来求解即可.【详解】由y =得：()2214x y -+=且0y ≤，y ∴=()1,0为圆心，2为半径的圆在x 轴及其下方的部分，函数y =的图象如图所示由图象知：当直线过点()1,0A -时，1m =；当直线与半圆相切时，圆心到直线距离2d ==，解得：1m =-或1m =（舍）；函数y =20x y m -+=有公共点，∴实数m 的取值范围是1,1⎡⎤-⎣⎦.故答案为.1,1⎡⎤-⎣⎦三、解答题17．已知圆C ：228120x y x +-+=，点O 是坐标原点，A 是圆C 上一动点．(1)求线段OA 的中点M 的轨迹方程；(2)设(),P x y 是（1）中轨迹上一点，求224x y y ++的最大值和最小值．【正确答案】(1)()2221x y -+=(2)最大值：5+；最小值：5-【分析】（1）设出中点M 并确定其与A 的关系，代入圆的方程即可；（2）明确224x y y ++的几何意义，利用点与圆的位置关系即可求解.【详解】（1）设点()00,M x y ，(),A x y ，M 为线段OA 的中点，∴00022022x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0022x x y y =⎧⎨=⎩，A 是圆C 上一动点，∴()()()200200228122x y x +-+=，∴00220430x x y +-+=，即()220021x y -+=所以线段OA 的中点M 的轨迹方程为.()2221x y -+=（2） ()2222424x y y x y ++=++-，∴可以看作点(),P x y 与()0,2-的距离的平方再减4，∴只要求得圆()2221x y -+=的圆心()2,0到()0,2-的距离d ，就可以求得点(),P x y 与()0,2-的距离的最大值与最小值.∴d ==∴(),P x y 与()0,2-的距离的最大值为：1+，(),P x y 与()0,2-的距离的最小值为：1∴224xy y ++的最大值为：()2145-=+224x yy ++的最小值为：()2145--=-18．已知a >0，b >0，a +b =2.（Ⅰ）求111a b ++的最小值；（Ⅱ）证明：2.a b b a ab+≥【正确答案】（Ⅰ）最小值为43；（Ⅱ）见解析（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭则1111421313b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，所以111a b ++的最小值为43．（Ⅱ）要证明：2a b b a ab+≥，只需证：20a b b a ab+-≥，即证明：2220a b ab+-≥，由0,0a b >>，也即证明：222a b +≥．因为2a b +≤，所以当且仅当a b =1≥，即222a b +≥，当1a b ==时等号成立．所以2.a b b a ab+≥本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若不经过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A ､B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点.【正确答案】(1)28y x =(2)证明见解析【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数p 值得抛物线方程；（2）设直线方程为x ty m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入0OA OB ⋅=可得m 值，得定点坐标．【详解】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为x =，即0x -=，抛物线的焦点为(,0)2p1=，解得4p =（因为0p >），所以抛物线方程为28y x =；（2）由题意设直线l 方程为x ty m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ．由28x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2880y ty m --=，128y y t +=，128y y m =-，又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以22121212121212()()(1)()x x y y ty m ty m y y t y y tm y y m+=+++=++++2228(1)80m t t m m =-+++=，直线不过原点，0m ≠，所以8m =．所以直线l 过定点(8,0)．20．已知左､右焦点分别为1F ､2F 的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点，以12F F 为直径的圆过C的下顶点A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线AM ､AN 的斜率分别为1k ､2k ，证明：12k k ⋅为定值.【正确答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由以12F F 为直径的圆过下顶点A 得b c =，结合椭圆参数关系及点在椭圆上求,a b ，写出椭圆方程即可.（2）由题意，可设直线l 为()()11221,,,,y kx M x y N x y =+，联立椭圆方程，由韦达定理得1212,x x x x +，又12121222,y y k k x x ++==，得12k k ⋅表达式并求值，即可证明结论.【详解】（1）∵以12F F 为直径的圆过点(0,)A b -，∴b c =，又a ==，∴椭圆222212x y C b b+=:，又C过点，∴222312b b +=，解得2,b a ==∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）由题意，直线l 的斜率一定存在，∴设直线l 的方程为()()11221,,,,y kx M x y N x y =+，由221841x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2212460k x kx ++-=，264240k ∆=+>.于是12122246,1212k x x x x k k -+=-=++，又(0,2)A -，∴12121222,y y k k x x ++==，则()()()()()21212121212121212223339y y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++⋅===()2229123262k k k +=+-=-为定值.关键点点睛：第二问，首先确定直线l 的斜率一定存在，再设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式，求得12k k ⋅表达式，最后求证是否为定值.21．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且3MF OF =，MFO △的面积为4．(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 交于A ，B 两点， ①线段AB 的中点的纵坐标为3； ②ABF △的重心在直线2y =上；③13AF BF +=．请从以上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条件的直线l 是否存在，若存在求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)26y x =(2)见解析【分析】（1）根据抛物线的定义及3MF OF =，求出p（2）分析得知①②条件一样，此题只有①③和②③成立，设出直线l 的方程，与抛物线联立，根据13AF BF +=和线段AB 的中点的纵坐标为3（或ABF △的重心在直线2y =上）列两个等式解决.【详解】（1）根据抛物线的定义得22332222M M M M p p MF x OF x p y p p p y =+=⨯=∴=∴=⋅=∴=1132224MFOM p SOF y p =⋅=⋅==所以E 的方程为：26y x=（2）若选择①②，线段AB 的中点的纵坐标为3，即6A B y y +=ABF △的重心在直线2y =上，即23A B y y ++=，即6A B y y +=直线l 确定需要两个不同的条件，所以若选择①②不能求出直线l 的方程.若选择①③由题意得直线l 的斜率不为零，设方程为x ty m=+与抛物线联立26y x x ty m⎧=⎨=+⎩得2660y ty m --=，设()()11223,,,02A x y B x y F ⎛⎫⎪⎝⎭所以236240t m ∆=+>，即2320t m +>，根据韦达定理有12126,6y y t y y m +=⋅=-，又因为,A B 中点的纵坐标为3，所以12661y y t t +==∴=，又因为121213137AF BF x x p x x +=⇒++=⇒+=又因为()12121216272x x t y y m m m +=++=⨯+=∴=，故直线l 的方程为12x y =+，即2210x y --=若选择②③，答案同①③22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)设P 为曲线C 上的一点，将OP 绕原点O 逆时针旋转4π得到OQ ．当P 运动时，求Q 的轨迹．【正确答案】(1)221x y -=(2)12xy =【分析】(1)由参数方程消去参数方程可得其普通方程；(2)设(),Q ρθ，则,4P πρθ⎛⎫- ⎝⎭，将P 的直角坐标代入对应的直角坐标方程可得其极坐标，再将其化为直角坐标方程可得.【详解】（1）∵2222221sin 1sin 1cos cos cos x y ααααα-⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴曲线C 的普通方程为221x y -=；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设(),Q ρθ，则,4P πρθ⎛⎫- ⎝⎭，则点P 的直角坐标为cos sin 44ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，∴22cos sin 144ππρθρθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴22cos sin 1ρθθ=，∴1cos sin 2ρθρθ⋅=，即12xy =，∴点Q 的轨迹方程为12xy =．23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证.224a b b a+≥【正确答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析.（1）根据()32||f x x - ，可得3131x x -⎧⎨>⎩或1301x x +⎧⎨⎩或3130x x -+⎧⎨<⎩ ，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥；当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-；综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.（2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=，又由均值不等式有：22a b ab+≥，22b a ba+≥，两式相加得2222a bb a a bb a⎛⎫⎛⎫+++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a bb a+≥+=.本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。

2023-2024学年内蒙古自治区包头市青山区八年级上学期期中数学试题

2023-2024学年内蒙古自治区包头市青山区八年级上学期期中数学试题1.在实数2，0，，，，（每两个1之间依次多1个0）中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.若点的坐标是，点到轴的距离是（）A．3 B．1 C．D．3.下列曲线中不能表示是的函数的是（）A． A B． B C． C D． D4.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（）A．B．C．D．5.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为8，短直角边为5，那么阴影部分面积S的值为（）A．39 B．48 C．56 D．756.如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以表示数的点为圆心，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( )A．B．C．D．7.在中，，则点C到的距离是（）A．B．C．D．8.下列结论：①若，在直线上，且，则；②若直线经过第一、二、三象限，则，；③若一次函数的图象交轴于点，则．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39.若点A（a，b）在第二象限，则点B（b，a）在第_____象限．10.的算术平方根为_______．11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______12.若点，在直线上，且满足，则_____．(选填“”或“”)13.若，则a、b之间的大小关系是a_____b．14.已知为实数，且，则___________．15.如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为和，，则点A的坐标为（）A．B．C．D．16.如图，已知动点P从B点出发，以每秒2cm的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按B→C→D→E→F→A的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，___________．17.计算(1)(2)18.如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别是，，．(1)在网格图中画出关于x轴的对称图形；(2)直接写出、、的坐标．、、．(3)若点M的坐标为，线段与y轴垂直，求m的值．19.如图，在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地．一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以海里/时的速度向目标前进，小时后，他们同时分别到达目标，此时，他们相距海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？20.在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：(1)A，B两个码头之间的距离是；(2)求客轮距B码头的距离与时间之间的函数表达式；(3)请问两船出发多久相距？21.（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为；（2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D．①点A的坐标为，点B的坐标为；②直接写出点C的坐标；（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且，．若点C的坐标为，点A的坐标为，点B在第四象限时，请求出点B的坐标．。

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