高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义知识巧解学案

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高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课前引导素材新人教A版

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课前导引
问题导入
200m到达C点；
一人从A点出发向东走了400 m到达B点；接着向东偏北45°走2
然后再向北走400 m到达D点,选择适当比列尺,用向量表示这个人的位移.
思路分析：如下图,一个单位表示100 m,则这个人的位移是AD.
由物理知识我们知道这个人的位移是由几个分位移、、的合位移，在物理上记作=++.将这个问题抽象成数学知识即：向量等于向量、向量、向量的和，记作=++，这就是我们这节课要研究的向量的加法.
知识预览
1．求两个向量和的运算叫做向量的加法
2．向量加法的运算法则有三角形法则和平行四边形法则.
3．对任一向量a和零向量规定0+a=a+0=a.
4．向量加法的交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).。

2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义

③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形法则
法则
前提作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？问题2：共线向量怎样进行求和？问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示，首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义同步优化训练新人教A版必修4

2.2.1向量加法运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图2-2-1所示，在圆O中，向量OB、OC、AO是( )图2-2-1A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的,所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等.答案：C2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_____________________.(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l上的点P，这些向量的终点构成的几何图形为___________________.(3)把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l上的点P，这些向量的终点构成的几何图形为___________________.解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P，则终点应为：直线l上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点.答案：(1)一个圆.(2)直线l上与点P的距离相等的两个点.(3)直线l上的任意一点.3.如图2-2-2，试作出向量a与b的和a+b.图2-2-2解析：如图，首先作=a，再作=b，则=a+b.4.若a =“向北走8 km”，b =“向东走8 km”，则|a +b |=__________；a +b 的方向是___________. 解析：如图所示.答案：28 东北方向10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-2-3，正方形ABCD 的边长为1，则|+++|等于( )图2-2-3A.1B.2C.3D.22解析：|AD DC BC AB +++|=|AC 2|=2|AC |=22.答案：D2.如图2-2-4，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( )图2-2-4 A.=+ B.=+ C.=+ D.=+解析：由三角形法则和平行四边形法，可知AC BC AB =+,A 错；BC AC BA =+，B 错；DC AD CA =+，D 错.只有C 是正确的.答案：C3.已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a +b 的方向( ).A.与向量a 方向相同B.与向量a 方向相反C.与向量b 方向相同D.与向量b 方向相反解析：已知a 平行于b ，如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a 的方向相同;如果它们的方向相反，因为a 的模大于b 的模，所以它们的和仍然与a 的方向相同. 答案：A4.如图2-2-5所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求向量a +b +c +d .图2-2-5解：在空间中任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.5.如图2-2-6所示，已知向量a、b、c，求作向量a+b+c.图2-2-6解：如图，首先作=b，再作=a,=c则=a+b+c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知平行四边形ABCD，设(+)+(+)=a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有( )①a∥b ②a+b=a ③a+b=b ④|a+b|＜|a|+|b|A.①③B.②③C.②④D.①②解析：在平行四边形ABCD中，+=0，+=0，所以a为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确.答案：A2.向量a、b都是非零向量，下列说法不正确的是( )A.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同B.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同C.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同D.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同解析：向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b的方向应该和模较大的向量相同，即和b 的方向相同，所以C错.答案：C3.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则下列说法正确的是( )A.a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a =-bD.a 、b 无论什么关系均可解析：当两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a +b |＜|a |+|b |；向量a 与b 同向时，a +b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a +b |=|a |+|b |；向量a 与b 反向且|a |＜|b |时，a +b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a +b |=|b |-|a |.答案：A4.在平行四边形ABCD 中，下列式子： ①+=；②CD AC AD +=；③AC AB AD =+；④AC BC AB =+；⑤CD BC AB AD ++=；⑥CA DC AD +=.其中不正确的个数是( )A.1B.2C.4D.6 解析：=+，所以⑥错，其他各项都是正确的.答案：A5.下列命题①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有++=0； ③若++=0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：①假命题.当a +b =0时，命题不成立;②真命题;③假命题.当A 、B 、C 三点共线时也可以有++=0;④假命题.只有当a 与b 同向时，相等，其他情况均为|a +b | ＞|a |+|b |. 答案：B6.如图2-2-7所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点.下列结论正确的是( )图2-2-7 A.=，= B.=+ C.CD AC OD AO +=+ D.DA CD BC AB =++解析：因为AD OD AO =+，AD CD AC =+，所以CD AC OD AO +=+.答案：C7.已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.解：(1)当a 、b 至少有一个为零向量时，有|a +b |=|a |+|b |;(2)当a 、b 为非零向量且a 、b 不共线时，有|a +b |＜|a |+|b |；(3)当a 、b 为非零向量且a 、b 同向共线时，有|a +b |=|a |+|b |；(4)当a 、b 为非零向量且a 、b 异向共线时，有|a +b |＜|a |+|b |.8.已知四边形ABCD ，对角线AC 与BD 交于点O ，且AO=OC ，DO=OB.求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：由已知得=,=.∵=+=+=,且A 、D 、B 、C 不在同一直线上.故四边形ABCD 是平行四边形.9.轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 n mile 到达C 处.求此时轮船与A 港的相对位置.解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，+=. 在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，||=40 n mile ，所以|DB |=20 n mile ，|AD |=320n mile.在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，||=60 n mile ，所以|34060)320(22=+ n mile.因为|AC |=2||，所以∠CAD=60°.答：轮船此时位于A 港东偏北60 °，且距A 港340 n mile 的C 处.。

高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算

知识回顾
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量与零向量
相等向量与平行向量相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如，作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)

2018-2019学年高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向

3．向量加法的三角形法则可以推广到多边形法则，即 n 个首尾相连的向量的和所对应的向量就是从第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量．
4.在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0.
[变式训练] 如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求：
(1)O→A＋O→E； (2)A→O＋A→B； (3)A→E＋A→B.
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－A→B＝B→A就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a－b ＝a＋(－b)．
4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( ) (2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
[变式训练] 在△ABC 中，D 是 BC 的中点，设A→B＝ c，A→C＝b，B→D＝a；A→D＝d，则 d－a＝________，d＋a ＝________．
解：根据题意画出图形，如下图所示，d－a＝A→D－B→D ＝A→D＋D→B＝A→B＝c；
d＋a＝A→D＋B→D＝A→D＋D→C＝A→C＝b. 答案：c b
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如下图所示，
(1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b；(2)作平行四边形 AOBC，则O→C＝a＋b；(3)再作向量O→D＝c；(4) 作▱CODE，则O→E＝ O→C＋c＝a＋b＋c.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4 (1)

12
知识拓展1.向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这n 个向量的和等于从折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则的实质就是三角形法则的连续应用.
2.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. (4)规定:a+0=0+a=a. (5)结论:|a+b|≤|a|+|b|.
A.3
B.4
答案:D
C.7
D.5
【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|�� + �� + ��|
等于( )
A.0
B.1
C. 2D. 3
解析: |�� + �� + ��| = |�� + ��| = |��| = 1.
∴(a+b)+c=a+(b+c).
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.
题型一
图①
图②
再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接 OE,则�� = �� +
�� =a+b+c 即为所求.

高中数学必修四第2章平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则运算求解．解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一向量的加法运算【例 1】化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二利用向量证明几何问题【例 2】在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明一组对边对应的向量相等即可．

(整理)向量加法运算及其几何意义.

2.2.1向量加法运算及其几何意义一、学习背景：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决几何问题的有力工具．向量引入后，把好多图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何的工具。

在本章中，学生学习平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。

二、教材分析《普高中课程标准数学教科书（必修（4））》(人教（版）)。

第二章2.2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”，教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的一些基本概念，向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，在本单元的教学中起着承前启后的作用，它在实际生活中也有广泛的应用，正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。

三、教学目标知识目标：1、掌握向量的加法运算，理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

能力目标：1、通过向量加法的运算，培养数形结合解决问题的能力；2、通过将向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，渗透类比的数学方法。

情感目标：通过师生、生生互动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，培养学生勇于探索的精神和合作交流的科学态度。

四、重点与难点重点：理解向量加法的意义；掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；难点：理解向量的加法法则及其几何意义．五、教学方法启发探究、小组合作式教学和多媒体辅助教学法六、教学过程1、创设情境引入课题两个数的加法，我们早已学会。

例如“1＋2=3”等，那么对于两个向量是否还能象数一样进行加法运算呢？百度搜索（中国地图）/比如大陆和台湾通航之前，从台湾到石家庄探亲,得先从台北到香港,再从香港到石家庄,这两次位移之和怎样运算？（教师在地图上一边问一边画箭头）如今通航后，我们可以直接从台湾到达石家庄，这次位移是什么？由此导入新课.2、小组探究，学习新知请思考问题1：问题1：通航之前两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？它与通航后的直接位移是什么关系？学生讨论、探究得出结论：——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．和位移与通航后的直接位移相等。

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂

2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）图2-2-1疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作AB=a,BC=b,则A、B、C三点不共线，AC=a+b.作AD=b，连结DC，（如图2-2-2），由于AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DC AB.∴|DC|=|AB|=|a|,又DC与AB同向，∴AB=DC，此时有b+a=AD+DC=AC,即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b +a 同向，故有a +b =b +a .③当a 与b 共线且反向时，不妨设|a |＞|b |,a +b 与a 同向，且|a +b |=|a |-|b |,b +a 与a 同向，且|b +a |=|a |-|b |.故a +b 与b +a 同向，因此a +b =b +a .综合①②③知a +b =b +a .图2-2-2 图2-2-3(3)向量加法的结合律：（a +b ）+c =a +(b +c ). 验证如下：如图2-2-3.（a +b ）+c =OB +BC =OC ,a +(b +c )= OC AC OA =+. ∴(a +b )+c =a +(b +c ).疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a ，b ，作AB =a ，AD =b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a +b .这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例1一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.图2-2-4【解】如图2-2-4.OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC 表示船实际航行的速度，∠AOC=30°,|OB |=5 km/h. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA |=︒==︒30sin ||||,3530tan ||OB OC AC =10. ∴水流速度大小为35km/h,船实际速度为10 km/h ，与水流速度的夹角为30°.【规律总结】用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用1.已知a ∥b ，试用向量加法的三角形法则作出向量a +b .图2-2-5解析：a ∥b 时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作AB =a ，BC =b .则a +b =AB +BC =AC .如图2-2-6所示.图2-2-6 图2-2-7(2)作11B A =a ，11C B =b ，则a +b =11B A +11C B =11C A ，如图2-2-7所示.2.已知非零向量a ，b ，试说明|a +b |与|a |+|b |的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a，b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a+b|＜|a|+|b|.(2)当a，b方向相同时，有|a+b|=|a|+|b|.（3）当a，b方向相反时，有|a+b|＜|a|+|b|.综上有|a+b|≤|a|+|b|.3.在矩形ABCD中，AC等于（）A.BC+BAB.AB+ADC.AD+CDD.DC+AD解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D选项中，DC+AD=AD+DC=AC.而其他的选项运算的结果不是AC. 答案：D4.化简下列各式.（1）CD+BC+AB；（2）AB+BC+CA；（3）AB+BC+CD+DE+EF.分析：根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算.第（1）个可以使用结合律转化为求AB+BC+CD的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算. 解：（1）CD+BC+AB=AB+BC+CD=AD.(2)AB+BC+CA=0.(3) AB+BC+CD+DE+EF=AF.5.如图2-2-8,在ABCD中，已知有以下4个等式：①AB+AD=AC;②AC+DO+CD =AD;③AB+AD+CD=CB;④AC+BA+DA=0,其中正确的式子有___________个.（）A.1B.2C.3D.4解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.图2-2-8①AB+AD=AB+BC=AC，故①正确；②AC+DO+CD=AC+CD+DO=AO≠AD，故②不正确；③AB+AD+CD=AC+CD=AD≠CB，故③不正确；④AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC +DA=AD+DA=0，故④正确.答案：B6.在正六边形中，若OA=a，OE=b，试用向量a、b将OB、OC、OF表示出来.分析：如图2-2-9所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.图2-2-9解：设正六边形的中心为P，则OB=OP+OA=（OA+OE）+OA=2a+b，OC=OP+PC =OP+OP=2a+2b，OF=OE+OP=2b+a.7.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km 到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.图2-2-10解：如图2-2-10所示，设AB、BC分别是轮船两次位移，则AC表示两次位移的和位移，20km.在Rt△ACD中, 即AC=AB+BC.在Rt△ABD中，|DB|=20 km,|AD|=3|AC 340=km,∠CAD=60°,即此时轮船位于A 港东偏北60°，且距离A 港340km 处.。

高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义aa高一数学

12/13/2021
(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F 可以认为是 F1 与 F2 的什么运算？
提示：F 可以认为是 F1 与 F2 的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．
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二、归纳总结·核心必记 1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2.向量加法的运算法则
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
12/13/2021
一、预习教材·问题导入
根据以下提纲，预习教材 P80～P83 的内容，回答下列问题．
(1)观察教材 P80 图 2.2－1，思考：某对象从 A 点经 B 点到
C 点，两次位移
的结果是什么？与从 A 点直接到 C 点
的位移有什么关系？
提示：从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移
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[典例精析] 2．化简下列各式：
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[类题通法] 解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0.
12/13/2021
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3.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ； (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) ．
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三、综合迁移·深化思维 (1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．
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[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a 与 b 有公

2.2.1向量的加法运算

例2 已知向量、 ,如图(1)所示,试分别用向量加法的三角形法则
和平行四边形法则作向量 + .
解：(1)运用三角形法则.如图(2)所示,在平面内任取一点
,作 = , = ,,则 = +
例2 已知向量、 ,如图(1)所示,试分别用向量加法的三角形法则
到成都.因此我们可以把位移看作两次位移的和.
（1）定义：求两个向量和的运算称为向量的加法.
（2）三角形法则
一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量、,在平面上任取一
点,依次作 = , = ,得到一个∆,称向量为向量与向量的和,
也称为向量与向量的和向量,记作 + ,如图所示. 即 + = + =
何意义,如右图所示 .
记忆口诀：加向量,首尾连;和向量,起点到终点.
计算：() + + + +
(2) + + +
例1 如图所示,在⏥中,用向量、表示向量.
解：
∵ = +
且 =
∴ = +

（1）

（2）

（3）

（4）
2. 如图所示,已知向量、、,则
（1) + =

.
（2) + =

.
（3) + + =

.
3.化简.
（1) + + ;
解:原式=( + ) + ( + )
= +
=

2.2_平面向量的线性运算2.2.1_向量加法运算及其几何意义

(
答案：8 2
北偏东 45°
答案：8 2 北偏东 45° 答案：8 2 北偏东 45°
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知识要点一：准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1．两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
3．以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对角线 OC― →就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．对任意两个向量 a、b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|. 当 a、b 同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a、b 反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 5．向量的加法满足交换律和结合律，即 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． a＋0＝0＋a＝a.
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知识要点二：向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的关系 1．当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何背景是三角形两边之和大于第三边． 2．当 a 与 b 同向时，a＋b 与 a，b 的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．当 a 与 b 反向时，若|a|≥|b|，则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|＜|b|，则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识要点三：向量加法的运算律 1．向量加法的交换律：将 a 的起点移至 A 点，将 b 的起点移至 a 的终点，则由 a 的起点 A 指向 b 的终点 C 的向量 AC― →＝a＋b；同样将 b 的起点移至 A 点，将 a 的起点移至 b 的终点，则由 b 的起点 A 指向 a 的终点 C′的向量 AC′― →＝b＋a，由平行四边形法则知 C 必然和 C′重合，即 a＋b＝b＋a. 2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． 3．向量加法运算满足：A1A2―→＋A2A3― →＋„＋An－ 1An― →＝A1An―→.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课后集训

2.2.1 向量加法运算及其几何意义课后集训基础达标1.在四边形ABCD中，CB+AD+BA等于（）A.DBB.CAC.CDD.DC解析：CB+AD+BA=（CB+BA）+AD=CA+AD=CD，故选 C.答案：C2.在△ABC中，必有AB+CA+BC等于（）A.0B.0C.任一向量D.与三角形形状有关解析：AB+CA+BC=AC+CA=0.故应选 B.答案：B3.如右图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则AF+BD( )A.FDB.FCC.FED.BE解析：由于D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴AF=DE则AF+BD=BD+DE=BE，故应选 D.答案：D4.已知正方形ABCD的边长为1（如右图），AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c|等于（）2A.0B.3C.2D.2解析：如右图所示,a+b=c，2.∴｜a+b+c|=2|c|=2∴应选 D.答案：D5.如右图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形B.菱形C.平行四边形D.矩形解析：c+b=CB，a+d=d+a=DA∴DA=CB.∴ABCD为平行四边形.答案：C6.（1）CD+BC+AB=_______________;（2）OB+AO+OC+CO=_______________;（3）（AC+BA）+CB=_______________;（4）（AB+CB）+BD+DC=_______________.解析：（1）CD+BC+AB=CD+（AB+BC）=CD+AC=AC+CD=AD.（2）OB+AO+OC+CO=AO+OB=AB.（3）（AC+BA）+CB=AC+BA+CB=AC+（CB+BA）=AC+CA=0.（4）（AB+CB）+BD+DC=（AB+BD）+DC+CB=AD+DB=AB.答案：（1）AD（2）AB（3）0（4）AB综合运用7.下列各式中不能化简为AD的是（）A.（AB+CD）+BCB.（AD+MB）+（BC+CM）C.MB+AD+MBD.OC+AO+CD答案：C8.向量a、b满足|a|=6,|b|=10,则|a+b|的最大值是_____________，最小值是_____________.。