高中数学第一章坐标系章末小结知识整合与阶段检测学案新人教B版选修4_4

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北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(答案解析)

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．在极坐标系中，与点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．8,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．58,6π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．58,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．8,6π⎛⎫--⎪⎝⎭3．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（） A ．14B ．334- C ．234- D ．135．如图，点A 、B 是函数1y x=在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（）A ．12B ．22CD6．若点P的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭7．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=8．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（） A ．72B ．4C ．92D ．59．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y''=⎧⎨=⎩后为（）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=10．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=二、填空题13．求圆心为(3,)6C π,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________.14．在极坐标系中，已知(2,)6A π，5(4,)6B π，则A ，B 两点之间的距离AB 为__________．15．若点M 的柱坐标为2(2,,2)3π-，则点M 的直角坐标为______；16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C的参数方程122sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.17．cos sin 0θρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．18．在极坐标系中，点34,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，直线():3l πθρ=∈R ，则A 到直线l 的距离是______. 19．在极坐标系中，圆2cos ρθθ=-的圆心的极坐标．．．是____________. 20．在伸缩变换'2:1'2x xy y ϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩的作用下，点(1,2)P -变换为点P'，则P'的坐标为____________.三、解答题21．已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭. （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值. 23．在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．24．在直角坐标系xOy 下，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，且0t ≥，π02α<<），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos r ρθ=，常数0r >，曲线2C 与曲线1C ，3C 的异于O 的交点分别为A ，B ．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若||||OA OB +的最大值为6，求r 的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA的最大值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22(4x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数），点(2,4)M --以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0(0)a a ρθθ-=>．（1）当1a =时，求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，若2||||||AB MA MB =，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出答案．【详解】如图所示，在极坐标系中圆2cos ρθ=是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程的普通方程分别为0,2x x ==，所以圆的两条切线方程的极坐标方程分别为()2R πθρ=∈，cos 2ρθ=．故选：B ．【点睛】本题考查圆的极坐标方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用图象将切线的普通方程写出，再转化成极坐标方程. 正确理解是解题的关键2．A解析：A 【分析】由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案；【详解】点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，故点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.3．A解析：A 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

2019版高中数学人教B版选修4-4：第一章坐标系检测含解析

17π6)-7π6)2,-11π6)2,13π6):B2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的1,得到的曲线方程为( )3若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( ) A.关于极轴所在的直线对称关于极点对称关于过极点垂直于极轴的直线对称重合:C以(-2,π4)为圆心,半径为2的圆的极坐标方程为( )4A.ρ=-(sin θ+cos θ)sin θ+cos θ5A.圆6在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程tan θ=1(ρ≥0)与θ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( )=π4(ρ①③②③:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①错误;tan θ=1不仅表示θ,还表示θ,故②错误;ρ==π4这条射线=5π4这条射线ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.7(8极坐标方程ρ=cos θ与ρcos θ=12的图形是( ):把ρcos θ,得x=12化为直角坐标方程=12,又圆ρ=cos θ的圆心B 正确.为(12,0),半径为12,故选项9(Q(1,π2)的最短距离等于( ) 10极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点A.‒1‒1:将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即2‒1.:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)1112解析13解析所以圆心到直线的距离1.1+3所以上的点到直的距离的最小:114已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 .:∵{ρcosθ=3,ρ=4cosθ,①②∴4cos 2 θ=3,∴2(1+cos 2θ)=3.∴cos 2θ=12.15故S △AOB=12×3-32×1=3-34.:3-34三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{X =2x ,Y =2y 后,曲线C 变为曲线(X ‒5)2+(Y +6)2=1,求曲线C 的方程,并判断其形状.(X-5)2+(Y+6)2=1,将{X =2x ,Y =2y 代入得(2x-5)2+(2y+6)2=1,(5)117设点B'的柱坐标为(ρ2,θ2,z 2),则ρ2=|OB|∠BOA =|OA |2+|AB |2=32+32=32,θ2==π4,z 2=3,所以点B'的柱坐标为(32,π4,3);如图,取OB 的中点E ,连接PE ,=|OE|=12|OB|=322,θ3==π,z 3=3,18(1)写出不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(2,1),所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y-1=12 (x-12),化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sinθ-2cosθ.。

高中数学第1章坐标系教案新人教版选修4-4

坐标系【基础知识导学】1、坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。

2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。

3、坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。

应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了，即⎩⎨⎧>='>=0,0,/μμλλy y x x 我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。

【知识迷航指南】【例1】（2005年江苏）圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程。

解：以直线O 1O 2为X 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0），设P （y x ,）则PM 2=PO 12-MO 12=1)2(22-++y x同理，PN 2=1)2(22-+-y x因为PM=2PN ，即1)2(22-++y x =2[1)2(22-+-y x ]，即,031222=++-y x x 即,33)6(22=+-y x 这就是动点P 的轨迹方程。

【点评】这题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目。

【例2】在同一直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，求满足图象变换的伸缩变换。

分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλX【解】⎩⎨⎧='='yy x x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。

高中数学第1章坐标系章末综合测评新人教B版选修4-4(2021年整理)

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第1章坐标系章末综合测评新人教B版选修4-4(时间:120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换错误!后得到的曲线方程为（）A。

y＝3sin x B。

y＝3sin 2xC。

y＝3sin错误!x D.y＝错误!sin 2x【解析】由伸缩变换,得x＝错误!，y＝错误!。

代入y＝sin 2x，有Y3＝sin X，即Y＝3sin X。

∴变换后的曲线方程为y＝3sin x。

【答案】A2.点P的直角坐标为(1，－错误!),则点P的极坐标为( ）A.（2，错误!) B。

（2，错误!)C。

(2,－错误!) D.(2，－错误!）【解析】因为点P（1,－错误!)在第四象限，与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为－错误!.【答案】C3。

在极坐标系中，点(ρ，θ）与(－ρ,π－θ）的位置关系为( )A。

关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C。

重合D.关于直线θ＝错误!（ρ∈R)对称【解析】取ρ＝1,θ＝错误!,可知关于极轴所在直线对称。

【答案】A4。

极坐标方程ρ＝1且θ＝错误!表示（)A。

点 B.射线C.直线D.圆【答案】A5。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程本章小结》4

直击考点考点一：极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化，弦长问题例题1：直线过点α3tan=-4α=2cos4πρθ+（）1413x ty t=+⎧⎨=--⎩=2cos+4πρθ（）到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（4）2（﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：（﹣24coθ，2inθ）所以M到直线的距离d==，（其中inα=，coα=）从而当coθ=，inθ=﹣时，d取得最小值．说明：例题1和变式训练1，主要是训练学生极坐标与堂总结（2）直线的参数方程中参数t的几何意义（注意使用条件）课后安排实践练习：1．点(,)P x y是椭圆222312x y+=上的一个动点，则2x y+的最大值为（）．A．22B．23C．11D．222．在圆2＋2＋2=0上求一点，使它到直线2＋3－5=0的距离最大．3．在椭圆42＋92=36上求一点221259x y+=22(1)1x y-+=，N，求线段MN的长．6．在平面直角坐标系O中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．。

高中数学第一章坐标系章末小结知识整合与阶段检测学案新人教B版选修4.doc

第一章坐标系[对应阶段质量检测(一)P45](时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6 解析：选B 因为ρ＝－32＋－2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.所以点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.2．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－4，－2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3 解析：选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝ 3.因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为( )A.⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝yB.⎩⎨⎧2X ＝5x ，Y ＝2yC.⎩⎨⎧2X ＝x ，5Y ＝2xD.⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y解析：选D 法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4. 令⎩⎪⎨⎪⎧X ＝25 x ，Y ＝y 2，得X 2＋Y 2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y为所求．法二：将x 2＋y 2＝4改写为X 2＋Y 2＝4.设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa ，Y ＝by b代入X 2＋Y 2＝4得a 2x 2＋b 2y 2＝4，即a 2x 24＋b 2y 24＝1.与椭圆x 210＋y28＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝110，b 24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝12.∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝25x ，Y ＝12y ，即⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y .4．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )解析：选C ∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2(sin θ＋cos θ)， ∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1， ∴圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22. 结合四个图形，可知选C.5．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：选A 法一：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，可以看成由圆ρ＝2sin θ顺时针旋转π4得到．而ρ＝2sin θ的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，顺时针旋转π4得到⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，∴ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π4.法二：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1. 圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ解析：选C 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直于极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1.7．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )A ．1 B. 3 C ．3 3D ．6解析：选C 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心为C (3，π2)，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3.8．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是( )A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3解析：选A 设y ′＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋λ，y ′＝μy ，将其代入y ′＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，得μy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋λ＋π6， ∴μ＝1，λ＝－π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y .由函数y ＝sin2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y ，故是向左平移π6个单位．9．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：选D 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. ① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)． ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________．解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0. 取θ－α＝π2.答案：θ＝π2＋α12．(陕西高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线方程可化为32ρsin θ－12ρcos θ＝1，即x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|3－3×1＋2|12＋－32＝1. 答案：113．(天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.答案：314．已知柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________.解析：设点M 在平面Oxy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影． ∵MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， ∴PN ⊥直线Oy .∴|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1，∴|OM |＝ ρ2＋z 2＝ 22＋52＝3.在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°， ∴|MN |＝ |PM |2＋|PN |2＝52＋12＝ 6.答案：3 6三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB 的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b 1＋12＝13b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.16．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知两圆C 1：ρ＝2cos θ和C 2：ρ＝2sin θ，求过两圆圆心的直线的极坐标方程．解：由极坐标系与直角坐标系的互化关系知：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，C 1(1,0)，圆C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1，C 2(0,1)．∴过两圆圆心的直线方程为x ＋y －1＝0， ∴对应的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1.17．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14.它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆．将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0. ∵圆心(－12，0)到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．18．(本小题满分14分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P ，P ′，使OP ·OP ′＝9.建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，BB ′为y 轴，l 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则B (0,2)，B ′(0，－2)．设P (a,0)(a ≠0)，则由OP ·OP ′＝9，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫9a ，0，直线BP 的方程为x a ＋y 2＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a＋y－2＝1，即l BP ：2x ＋ay －2a ＝0，l B′P ′：2ax －9y －18＝0.设M (x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18a a 2＋9，y ＝2a 2－18a 2＋9(a 为参数)．消去a ，可得4x 2＋9y 2＝36(x ≠0)，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B ，B ′)．。

高中数学选修4-4(人教B版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习题及答案

在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 ρ sin (θ +
C (√2 ,
π ) ，半径为 √2 ． 4 （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长． π 解：（1）由圆心的极坐标 (√2 , ) ，得圆心的直角坐标为 (1, 1)．因为圆的半径为 √2 ，故圆 4 π 的直角坐标方程为 (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2，化为极坐标方程为 ρ = 2√2 sin (θ + ) ． 4 π 故圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2√2 sin (θ + ) ． 4 （2）直线的直角坐标方程为 x + y − √2 − 2 = 0 ．因为圆心的直角坐标为 (1, 1)，所以圆心到直线的距离为 1 ．因为圆的半径为 √2 ，所以弦长为 2 ．
π ) 处且过极点的 2
例题：
与极坐标 (−2, A．(2,
解：B．根据极坐标 (ρ, 2kπ + θ) 和 (−ρ, 2kπ + π + θ)(k ∈ Z) 在极坐标系中表示同一个点的规律，检
7π ) 6
π ） ) 不表示同一个点的极坐标是（ 6 7π 11π B．(2, − C．(−2, − ) ) 6 6 ) ( )
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高中数学选修4-4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程描述：极坐标系在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐标．ρ 称为极径，θ 称为极角．在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)．极坐标与直角坐标系的关系设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(答案解析)(5)

一、选择题1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-2．在极坐标系中，已知两点6,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，26,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，则A ，B 中点的极坐标为（）A ．56,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．512π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．512π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．512π⎛⎫ ⎪⎝⎭3．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（）A B ．2C ．1D ．4．将点的直角坐标(2,-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（）A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3π⎛⎫⎪⎝⎭5．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（）A 1B 1C ．1D 6．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（） A ．72B ．4C ．92D ．57．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=- D ．8sin ρθ=-8．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离9．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（）． A ．2sin ρθ=B ．2sin ρθ=-C ．2cos ρθ=D ．2cos ρθ=-10．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（） A ．cos 3ρθ=B ．sin 3ρθ=C ．3cos ρθ=D ．3sin ρθ=11．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B ．22C ．2D ．112．直线303x y -=的极坐标方程(限定0ρ≥)为 A ．6πθ= B ．76θπ=C ．6πθ=或76θπ=D ．56πθ=二、填空题13．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．14．圆C ：4sin ρθ=-上的动点P 到直线l ：πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的最短距离为______． 15．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________． 16．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．17．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．19．将对数函数3log y x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线方程为______________．20．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2π的射线的极坐标方程为_____________．三、解答题21．在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.22．在平面直角坐标系中，已知点()3,0A ，点P 是圆221x y +=上的一个动点，且AOP ∠的平分线交PA 于点Q ，如图所示，求Q 点的轨迹的极坐标方程.23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：3x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且21AB =，求α的值.24．已知曲线1C 的参数方程为2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2,([0,],ραπα=∈为极角）（1）分别写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）已知M 为曲线1C 的上顶点，P 为曲线2C 上任意一点，求||PM 的最大值.25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为24232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且设定点()2,1P ，求11PA PB+的值． 26．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线与曲线C 交于,A B 两点，P(1,2)-，求||PA PB ⋅.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程．【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ．【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．2．C解析：C 【分析】根据题意得出OM ，MOx ∠的值，即可得出其中点的极坐标. 【详解】如下图所示，取AB 的中点为M ，连接OM2362AOB BOx AOx πππ∠=∠-∠=-=，且AO BO =AOB ∆为等腰直角三角形22226662AB BO AO ∴=+=+=，322ABOM == 4AOM π∴∠=54612MOx MOA AOx πππ∴∠=∠+∠=+=即A ，B 中点的极坐标为532,12M π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查了极坐标的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)3Aαα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论．【详解】曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此得到A 的极坐标为)3αα,，B 的极坐标为()cos ,αα．所以3sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．4．A解析：A由P 点的直角坐标()2,23-，可得22,tan yx y xρθ=+=，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】解：∵点P 的直角坐标()2,23-，∴()()22222234x y ρ=+=-+=，23tan 32y x θ===--，又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23πθ=．∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.5．A解析：A 【分析】把3πθ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案．【详解】由题意，把3πθ=代入2sin ρθ=，可得2sin33A πρ==，把3πθ=代入2cos ρθ=，可得2cos13B πρ==，结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22x y + 的最大值。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程本章小结》3

变
换
x' 1 x
2
复习伸缩变换定义，认识伸缩变换规律，通过具体例题巩固知识点。
2 将正弦曲线 y sin x 按伸缩变换
后得到曲线的
y' 3y
方程的周期为（）
A.
B .
C .2
D .3
2
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x, y) ，极坐标是 (, ).
㈢则极坐标和直角坐标的互化公式为：
总之，本节内容的教学还是比较成功的。作为一名年轻的数学教师，我更应该虚心学习，不断提高自己的专业水平，争做一名合格的人民教师。
① ( 3,3); ② (1,1); ③ (3,0).
定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐
标中至少有一个满足方程 f (, ) 0 ，并且坐标适合方程
㈣ f (, ) 0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f (, ) 0 叫做曲线 C
通过梳理反思，
理反
让学生自己体
思 2 通过对本节课的学习，你感觉自己还有哪些方面的不足，如何弥会本节课的学
补？
习内容。
六、教学板书
课后作业：完成坐标系板演 2
学生板演 3
高中数学人教B版2003课标版选修4-4
第一章坐标系小结
霸州市第四中学郭海洁
教学设计方案
课题名称
第一章坐标系小结
姓名
郭海洁
工作单位
霸州市第四中学
年级学科
高二数学
教材版本
人教 B 版选修 4-4
一、教学内容分析
本节课是选自《普通高中课程标准实验教科书人教 B 版》数学选修 4-4《坐标系与参

数学人教B版选修4-4整合提升学案：第一章坐标系含解

整合提升知识网络知识回顾一、极坐标系1.极坐标与直角坐标的互化公式:2.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.3.建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是: (1)由θ定射线.根据θ角确定点M 所在的射线OM;(2)由ρ取点.在射线OM 上取|OM|=ρ,点M 的位置即可确定. 4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0). 特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k ∈Z )表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的. 二、几种特殊的极坐标方程1.过点(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a.2.过点(a,π)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=-a,如图(1).3.过点(a,2π)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a,如图(2). 4.过点(a,23π)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=-a,如图(3).5.过极点倾角为α的直线方程是θ=α(ρ∈R ).三、几种特殊位置的圆的极坐标方程1.以极点为圆心且半径为r 的圆的极坐标方程ρ=r.2.过极点且圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.3.过极点且圆心坐标为(a,π)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ.4.过极点且圆心坐标为(a,2π)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ. 四、柱坐标系如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z ∈R )表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.五、球坐标系如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，连结OP ，记|OP|=r,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r,θ,φ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,θ,φ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，记作P(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤θ<2π,0≤φ≤π.典例精讲【例1】极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:直接由所给方程判断较难，可把它化为直角坐标方程去判断.4ρsin 22θ=4ρ2cos 1θ-=2ρ-2ρcosθ=5.∴222y x +=5+2x.∴y 2=5x+425,表示抛物线.答案:D【例2】极坐标ρ=cos(4π-θ)表示的曲线是 …( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:ρ=22cosθ+22sinθ,由于ρ不恒等于0,方程两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcosθ+22ρsinθ. ∴2(x 2+y 2)=x+y,表示圆.答案:D温馨提示注意对称点的求法，掌握特殊的对称情况.【例3】在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为( )A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4解析:如右图,⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO ⊥Ox,OA 为直径,|OA|=4,l 和圆相切,l 交极轴于B(2,0),点P(ρ,θ)为l 上任意一点,则有 cosθ=||||OP OB =ρ2,得ρcosθ=2. 答案:B 温馨提示求切线、求距离、求面积等问题要做到极坐标方程与普通方程的结合及灵活运用.【例4】如右图,长方体OABC —D′A′B′C′中，|OA|=3,|OC|=5,|OD′|=3,A′C′与B′D′相交于点P ，分别写出点C 、B′、P 的柱坐标.解:求点的柱坐标,需要找到空间任意一点P 在Oxy 平面上的射影及在平面Oxy 上的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π).C 点的ρ、θ为|OC|及∠COA,B′点的ρ、θ分别为|OB|=3453||||2222=+=+AB OA ,θ=∠BOA,tan ∠BOA=||||OA AB =35, ∴∠BOA=arctan35. P 点的ρ、θ为OE 、∠AOE,|OE|=21|OB|,∠AOE=∠AOB. ∴C 点的柱坐标为(5,2π,0),B′点的柱坐标为(34,arctan 35,3),P 点的柱坐标为(234,arctan 35,3).类题演练1已知点M 的极坐标为(-5,3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（） A.(5,-3π) B.(5,34π) C.(5,-32π) D.(-5,-35π)解析：注意ρ＜0时确定位置.答案：A 变式提升1在极坐标系中点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是 …( )A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线θ=2π(ρ∈R )对称解析：点（-ρ,π-θ）与(ρ,-θ)是同一个点，它与点（ρ,θ）关于极轴对称. 答案：A 类题演练2点P 0(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于θ=2π(ρ∈R )的对称点的极坐标为（） A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(ρ0,2π)解析:P 0(ρ0,θ0)(ρ0、-θ0)(-ρ0、-θ0).答案:C 变式提升2点P(-2,67π)关于直线θ=3π(P ∈R )的对称点的坐标为______________. 解析:点P(-2,67π)即为P(2,3π).点P 、P′、O 组成等腰三角形,且θ=3π为∠POP 的平分线,故为(2,2π). 答案:(2,2π)类题演练3已知直线的极坐标方程ρsin(θ+4π)=2,则极点到该直线的距离是_______________. 解析:由ρsin(θ+4π)=2, 可得ρsinθ+ρcosθ=2,即得x+y-2=0.∴点O(0,0)到直线x+y-2=0的距离为d=2. 答案:2 变式提升3已知点A(3,2π),B(-4,67π),O(0,θ),则△ABO 的面积为_______________. 解析:点B(-4,67π)⇒B(4,6π).∴|OA|=3,|OB|=4,∠AOB=2π-6π=3π.∴S=21×3×4sin 3π=23.答案:23 类题演练4 圆心为C(3,6π),半径为3的圆的极坐标方程是____________. 解析:如下图,设圆上任意一点为P(ρ,θ),OA 为圆的直径,可得ρ=6cos(θ-6π),当P 是极点,A 点时也适合.答案:ρ=6cos(θ-6π)。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程本章小结》

的几何意义考纲要求（1）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（2）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

选题依据极坐标系是构建坐标系的一种方法，曲线在不同的坐标系中可以有不同形式的方程，不同的坐标系，可能对曲线问题的研究带来繁简，这就是学习极坐标系的必要性。

然而很多学生由于对直角坐标系比较熟悉，看到题目就马上转化成直角坐标系下进行结题，造成有些题目的运算太过繁琐，因此，教会学生适当选择坐标系进行结题，就变得非常重要。

学情分析上课班级为高三文科班，本节课为高三专题复习极坐标的第2个课时。

学生对于为什么要学习极坐标，以及对于具体题目该选择那种坐标系结题会更加方便，还是比较茫然的。

教学目标（1）知识与技能：掌握极坐标系方程中的几何意义，会用的几何意义解决相关问题。

（2）过程与方法：让学生从简单具体的问题出发，共同探究极坐标系下如何借助的几何意义来解决极角相同的两点间的距离问题，引导学生通过观察，归纳，由特殊到一般等方法，感受3年高考试题的变化特点。

（3）情感态度与价值观：在探究发现的学习过程中，让学生感受到：所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的，发现数学学习的价值所在。

教学重点掌握极坐标系方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题。

教学难点选择适当的坐标系解决相关问题。

难点的突破：解决此类综合问题要注意数形结合，在图形中观察求解的线段的特点，根据线段的特点来选择适当的坐标系。

教学方法讲授法，问题探究法，探究法，讨论法教学手段采用多媒体t课件进行辅助教学，借助实物投影仪展示学生的课堂练习，利用黑板适当进行板书示范。

【新】高中数学第一章坐标系章末小结知识整合与阶段检测课件新人教B版选修4_4

极坐标与直角坐标的互化 1．互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位． 2．互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2 tan θ＝xyx≠0 3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 ρcos θ，ρsin θ 的整体形式，然后用 x，y 代替较为方便，常常两端同乘以 ρ 即可达到目的，但要注意变形的等价性．
化简整理，得 ρ2－6·ρcos θ－π6＋8＝0 为圆 C 的轨迹方程． (2)设 Q(ρ1，θ1)，
则有 ρ12－6·ρ1cos θ1－π6＋8＝0.
①
设 P(ρ，θ)，则 OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又 θ1＝θ，所以ρ1＝25ρ，
θ1＝θ.
代入①得245ρ2－6·25ρcosθ－π6＋8＝0，
[例 5]
在柱坐标系中，求满足0ρ≤＝θ1， <2π， 0≤z≤2
的动点 M(ρ，
θ，z)围成的几何体的体积．
[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足 ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2 的动点 M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线 Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，
圆柱的底面半径 r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
A．一条射线和一个圆
B．两条直线
C．一条直线和一个圆
D．一个圆
Hale Waihona Puke 解析：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或 ρ＝4sin θ(ρ2
＝4ρsin θ)，则 x＝0，或 x2＋y2＝4y.

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（） A ．332,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．532,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或23．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称4．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（） A ．2B ．3C ．1D ．55．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（） A ．34B ．25C ．23D ．136．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆7．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ．8．已知点P 的直角坐标(2,23)--，则它的一个极坐标为（）A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3π)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（）A ．3(1,)3B ．23(,)36πC ．2333π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．2323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，10．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离11．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B ．22C ．2D ．112．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．已知圆M 的极坐标方程为242cos()604πρρθ--+=，则ρ的最大值为______.14．将曲线C 按伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩变换后所得曲线方程为22''1x y +=，则曲线C 的方程为________.15．在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos 3sin )6ρθθ+=的距离为_________．16．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．19．将曲线221x y +=按伸缩变换公式'2'3x xy y =⎧⎨=⎩变换后得到曲线C ，则曲线C 上的点(,)P m n 到直线:260l x y +-=的距离最小值为_____________.20．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线的方程是___________________________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1,6A πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．23．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 24．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到曲线2C 上的距离的最小值. 25．在极坐标系下，已知圆C ：2cos 2sin =+和直线:40l x y -+= （1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．26．在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x xy y''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标．详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P 到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．D解析：D 【解析】【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解.【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即222(sin cos )222a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2 故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.4．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，由AB 的坐标分析可得|OA |＝1，|OB |＝2，且∠AOB 2333πππ=-=，由余弦定理计算可得答案【详解】在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3），则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB 2πππ333=-=，则|AB|2＝2OA +2OB ﹣2|OA||OB|cos ∠AOB ＝1+4﹣2×1×2×cos π3=3，则|AB|= 故选：B ．【点睛】本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．5．C解析：C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，根据极坐标的几何意义可得22222212cos 111112sin 663OA OBπθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos 21cos 23sin 23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．6．C解析：C【解析】【分析】利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出．【详解】()04πθρ=≥表表示的图形是一条射线：y=x （x≥0）．故选C ．【点睛】本题考查了射线的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．C解析：C 【解析】点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.8．B解析：B 【解析】22(2)(23)4ρ=-+-=，23tan 32θ-==-，3(,)2πθπ∈，所以43πθ=，即极坐标为4(4,)3π．故选B ． 9．B解析：B 【分析】先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标【详解】由cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得：13cos sin 122ρθρθ+= ∴曲线C 的直角坐标方程为13122x y +=，即320x -=故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为()23200⎛ ⎝⎭，，， ∴点P 坐标为313⎛ ⎝⎭，则极坐标为6P π⎫⎪⎪⎝⎭，故选B 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础．10．C解析：C 【解析】分析：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论. 详解：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 4sin ρθρθ+= ,422x y +=,0y x +-=，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭可化成2cos sin ρθθ=+,22((4x y -+-=，圆心到直线的距离2d r ===，所以圆与直线相切．故选C ．点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可以把极坐标与直角坐标互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 11．C解析：C 【解析】联立极坐标方程：π14sin ρθρ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：110ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩222ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用勾股定理可得2AB ==.故选C.12．C解析：C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．二、填空题13．【分析】先将原极坐标方程中的三角式利用和角公式化开后再化成直角坐标方程再利用直角坐标方程进行求解到原点的距离最大值即可【详解】将原极坐标方程化为：化成直角坐标方程为：它表示圆心在半径为的圆圆上的点到解析：【分析】先将原极坐标方程中的三角式利用和角公式化开后再化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解到原点的距离最大值即可．【详解】将原极坐标方程2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭化为：24+0cos sin ρρθθ-+=（）6 ，化成直角坐标方程为：2244+60x y x y +--= ，它表示圆心在22（，）的圆，圆上的点到原点的最远距离是=故答案为【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，属基础题.14．【解析】【分析】设曲线上任意一点为与之对应的曲线上的点为将变换公式代入曲线的方程化简即可求解【详解】由题意设曲线上任意一点为与之对应的曲线上的点为将代入曲线方程整理得故答案为：【点睛】本题主要考查了解析：22491x y +=【解析】【分析】设曲线C 上任意一点为(,)x y 与之对应的曲线22''1x y +=上的点为(',')x y ，将变换公式，代入曲线的方程，化简即可求解．【详解】由题意，设曲线C 上任意一点为(,)x y ，与之对应的曲线22''1x y +=上的点为(',')x y ，将'2'3x xy y=⎧⎨=⎩,代入曲线方程22''1x y +=，整理得22491x y +=，故答案为：22491x y +=．【点睛】本题主要考查了伸缩变换公式的应用，其中解答中理解变换的公式，代入准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．1【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系可得点直线由点到直线的距离公式可得应填答案解析：1 【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系cos ,sin x y ρθρθ==可得点P ，直线60x +-=，由点到直线的距离公式可得1d ==，应填答案1． 16．【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积详解：的面积点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用极坐标的几何意义等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：2【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积.详解：OAB 的面积11sin 1223222OABSOA OB π=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用，极坐标的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化简即可；解析：1【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，1101a a a =∴=±>∴=+，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．8【解析】分析：先根据加减消元法得直线的普通方程再根据将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程联立方程组解得交点坐标最后根据两点间距离公式求结果详解：由得或因此点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程只要解析：【解析】分析：先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解得交点坐标，最后根据两点间距离公式求结果.详解：12322x tx y y t ⎧=-⎪⎪∴+=⎨⎪=+⎪⎩2222sin 4cos sin 4cos 4y x ρθθρθρθ=∴=∴= ，由234x y y x +=⎧⎨=⎩ 得12x y =⎧⎨=⎩或96x y =⎧⎨=-⎩，因此AB =点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.19．【解析】伸缩变换即：则伸缩变换之后曲线设曲线上点的坐标为：结合点到直线距离公式有：结合三角函数的性质可得当时距离取得最小值【解析】伸缩变换即：'2'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则伸缩变换之后曲线22:149x y C +=，设曲线上点的坐标为：()2cos 3sin P θθ,，结合点到直线距离公式有：d ==，结合三角函数的性质可得，当()sin 1θϕ+=时，距离取得最小值min d =20．【解析】设是直线上任意一点如图由于所以应填答案解析：cos ρθ=【解析】设(,)M ρθ是直线上任意一点，如图，由于2OH ==，所以cosOH ρθ==cos ρθ= 三、解答题21．（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）2+. 【分析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y -+-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos26432MON S OM ONπππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（1）4cos ρθ=；（2）23【分析】（1）将1C 首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点6P π⎛⎫⎪⎝⎭可求得2r ，整理可得所求的极坐标方程；（2）将,A B 代入2C 方程，从而将2212,ρρ代入2222121111OAOBρρ+=+整理可得结果. 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2222x y r -+=由cos x ρθ=，siny ρθ=得1C 的极坐标方程为：224cos 40r ρρθ-+-=将点6P π⎛⎫⎪⎝⎭代入1C 中得：212406r π-+-=，解得：24r =代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=（2）将点1,6A πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程得： 212cos 263πρα⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，222222cos 22cos 2633ππραρα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2222122cos 22cos 2111123363OA OBππααρρ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+=+== 【点睛】本题考查极坐标方程的求解、极坐标中ρ的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的2211OAOB+变为221211ρρ+，从而使问题得以求解.23．(1)2cos ,2sin a ρθρθ== (2)2 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用极径求出参数的值．【详解】（1）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2﹣2ax+y 2=0（a ＞0），转换为极坐标方程为：ρ2=2aρcosθ，即：ρ=2acosθ．曲线C 2的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x 2+（y ﹣1）2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．（2）已知极坐标方程为θ=的直线与曲线C 1，C 2分别相交于P ，Q 两点，由，得到：P （），Q （），由于：|PQ|=2﹣1，所以：，解得：a=2．【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．24．(1) 221,2x y +=6x y +=.(2) 6322. 【解析】试题分析：（1）1C 消参数即可得普通方程，2C 利用极坐标化为直角坐标公式化为普通方程；（2）根据点到直线距离公式及三角函数有界性可求出最小值. 试题（1）由曲线1:x C y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线1C 的普通方程为：2212x y +=，由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)sin cos 2ρθθ⨯+= 化为：6x y +=.（2）椭圆上的点),sin Pαα到直线O 的距离为d ==tan ϕ=所以当()sin 1αϕ+=时，P 的最小值为.25．（1）()()22112x y -+-=，cos sin 40ρθρθ-+=；（2. 【分析】（1）根据圆C ：2cos 2sin =+，直线:40l x y -+=，利用222,cos ,sin x y x y =+==求解.（2）先求得圆心到到直线l 的距离，再利用圆C 上的点到直线l 的最短距离为d r -求解. 【详解】（1）因为圆C ：2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ，所以2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=.因为直线:40l x y -+=，所以cos sin 40ρθρθ-+=.（2）因为圆心到到直线l 的距离为d ==．所以求圆C 上的点到直线l 的最短距离d r -= 【点睛】本题主要考查极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．（1）22194x y += 2100x y +-=；（2【分析】（1）由'3'2x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线C 2，可得：1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 1：x 2+y 2=1，化简可得曲线C 2的直角坐标方程，将直线l 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l 的直角坐标方程.（2）将直线x+2y ﹣10=0平移与C 2相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，联立方程求出M 点的坐标，进而可得答案. 【详解】（1）因为32x xy y''=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ， 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入圆1C ：221x y +=得：'2'2194x y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为22194x y +=；直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=．即210cos sin ρθρθ+=，即2100x y +-=.()2将直线2100x y +-=平移与2C 相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，设过M 的直线为20x y C ++=，则由2220194x y C x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222599360424x Cx C ++-=，由229259()4360244C C ⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭得：52C =±，故95x =，或95x =-，(舍去)，则85y =，即M 点的坐标为98,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点M 到直线l 的距离d ==【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．。

【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系(Word)

【2019-2020年度】人教B 版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系（Word ）[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z 轴的正向与向量的夹角为φ，x 轴的正向与0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OM OM2．直角坐标与球坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝rsin φ·cos θ，y ＝rsin φ·sin θ，z ＝rcos φ. [小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.[例1][思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M 的球坐标为，∴r ＝5，φ＝，θ＝.由变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin 5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z ＝5cos 5π6＝－532.故它的直角坐标为. 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x ＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2，y ＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，z ＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).[例[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r ＝＝＝2.由rcos φ＝z ＝，得cos φ＝＝，φ＝.又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.又tan θ＝＝(r>0，y>0)，得θ＝，∴M的球坐标为.[例3] O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为( )OPA．－ B.3π4C.D.π3解析：选A ∵φ＝，∴OP 与OP0之间的夹角为＝. 2．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－φ，－θ)B ．(r ，π－φ，π－θ)C ．(r ，π＋φ，θ)D ．(r ，π－φ，π＋θ)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，则点M 关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x ，－y ，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，所以⎩⎨⎧ r′sin φ′cos θ′＝－rsin φcos θ，r′sin φ′sin θ′＝－rsin φsin θ，r′cos φ′＝－rcos φ，可得⎩⎨⎧ r′＝r ，φ′＝π－φ，θ′＝π＋θ，即M′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．3．点P 的球坐标为，则它的直角坐标为( )A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0)解析：选D x ＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1， y ＝rsin φsin θ＝1·sinsin π＝0，z ＝rcos φ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P 的柱坐标为，点B 的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．P(5,1,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 B ．P(1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．P ，B(1,1,5)D ．P(1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，柱坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.设P 点的直角坐标为(x ，y ，z)，则x ＝cos ＝×＝1， y ＝sin ＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sin cos ＝××＝，y′＝sin sin ＝××＝，z′＝cos ＝×＝.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R ，，.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，5π3，3π4 6．已知点M 的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．设点M 的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________．解析：由坐标变换公式，得r ＝＝＝2，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝.∴M 的球坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 8．在球坐标系中，方程r ＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM|＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ.设M 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，θ，φ)表示．∴M 点的球坐标为M(R ，θ，φ)．10．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin 3π4cos 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－62，y ＝2sin 3π4sin 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－22，z ＝2·cos 3π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点P 的直角坐标为. 11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：O 是△BCD 的中心，则OC ＝OD ＝OB ＝，AO ＝.∴C ，D ，B，A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]1的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB 与CD 互相垂直且平分于点O ，|AB|＝2a ，|CD|＝2b ，动点P 满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x ，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴ ·错误!＝ ·.化简得x2－y2＝，∴动点P 的轨迹方程为x2－y2＝.设点点P(X ，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将代入(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝. 该曲线是以为圆心，为半径的圆.1F(ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A(ρ，θ)．△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.1x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5.它是一条直线.1M0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M(r，θ，φ)为M点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V＝Sh ＝πr2h ＝2π.[例6] 如图，长方体OABC —D′A′B′C′中，OA ＝OC ＝a ，BB′＝OA ，对角线OB′与BD′相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a ，∠D′OP＝∠OB′B，tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝.∴点P 的球坐标为.[对应学生用书P21]一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.，k∈Z解析：选C ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－12，sin θ＝32.∴θ＝π＋2k π，k ∈Z.即点M 的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：选 C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x ＝1.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )A.－1B.－1C．1 D.2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案：(，0)，(，π)6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析：x＝6·sin·cos ＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．答案：(3,3，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案：238．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.答案：23三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a>0，b>0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝13x ，Y ＝12y.10．已知A ，B 两点的极坐标分别是，，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝＝＝2.S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足＝，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C 上任意一点．在△OCM 中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM ＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos .化简整理，得ρ2－6·ρcos ＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos ＋8＝0.①设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ，又θ1＝θ，所以⎩⎨⎧ ρ1＝25ρ，θ1＝θ.代入①得ρ2－6·ρcos ＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ＋50＝0为P 点的轨迹方程．。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（） A ．332,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．532,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-3．点P 的直角坐标为(2,2)-，那么它的极坐标可表示为（） A ．52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．51,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 4．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（）A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称5．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于AB 、两点，则AB 为（） A ．2B ．22C ．3D ．23 6．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．7．在球坐标系中，点3,,46P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点33,,46Q ππ⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离为（） A 2B ．22C ．32D 328．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'23'3x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线9．以π-2,4⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2圆的极坐标方程为（） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)10．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)11．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ．12．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1二、填空题13．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线1ρ=截得的线段长为_____________. 14．点P 的极坐标为(2,)3π，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，则P 点的直角坐标为_______________. 15．将曲线C 按伸缩变换'2'3x xy y=⎧⎨=⎩变换后所得曲线方程为22''1x y +=，则曲线C 的方程为________.16．在极坐标系中，点34,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，直线():3l πθρ=∈R ，则A 到直线l 的距离是______. 17．在极坐标系中，曲线43sin πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于________对称. 18．在极坐标系中，极点到直线cos()226πρθ-=的距离等于________．19．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 . 20．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2π的射线的极坐标方程为_____________．三、解答题21．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为12x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的方程为y ．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，直线m 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ，设曲线C 与直线l 的交于点O 和点A ，曲线C 与直线m 的交于点O 和点B ，求OAB ∆的面积．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点)4M π处的切线为直线l .(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与2214y x +=的交点为P 1,P 2,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.23．设直线l的参数方程为11{x ty =-（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点()1,0A ，求22MA NA +的值．24．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积.25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩，（t 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线3C 的极坐标方程为cos (0)r r ρθ=>.（1）将1C 与2C 的方程化为极坐标方程；（2）若曲线1C 与3C 的公共点都在2C上，tan β＝r .26．在直角坐标系xOy 中，圆C的直角坐标方程为22((1)4x y +-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为3πθ=(ρ∈R )与圆C 交于,M N 两点，求CMN ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标．详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P 到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．C解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程．【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ．【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．3．B解析：B【分析】根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】设它的极坐标为(,)ρθ222(4,2ρρ=+==tan 1θ==- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈34πθ∴=则它的极坐标可表示为32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.5．B解析：B 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。

高中数学第1章坐标系章末复习课学案北师大版选修4_4

第1章坐标系[自我校对] ①极坐标 ②柱坐标 ③空间直角坐标系 ④球坐标1.的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．【例1】设△ABC 的周长为18，|AB |＝8，求顶点C 的轨迹方程．[精彩点拨] 建立适当的平面直角坐标系，利用如周长为18，即AC ＋BC ＝10这个条件． [尝试解答] 以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则A (－4,0)，B (4,0)，设点坐标为(x ，y )，由此得：|CA |＋|CB |＝10，又10＞|AB |，所以C 点轨迹是中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆，但应扣除其与x 轴的交点，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由此得：a ＝5，c ＝4，∴b ＝a 2－c 2＝52－42＝3，故所求轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．1．如图，圆O 1和圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．[解] 如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2＝(x ＋2)2＋y 2－1. 同理，|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，即|PM |2＝2|PN |2，即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即x 2－12x ＋y 2＋3＝0，即动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程φ(ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f (ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．【例2】已知Rt△ABO 的直角顶点A 在直线ρcos θ＝9上移动(O 为原点)，又∠AOB ＝30°，求顶点B 的轨迹的极坐标方程．[精彩点拨] 设B (ρ，θ)，利用直角三角形中的三角函数建立ρ与θ的关系，化简即可求解．[尝试解答] 如图①，设B (ρ，θ)，A (ρ1，θ1)．则ρcos 30°＝ρ1，即ρ1＝32ρ. 又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30°，∴ρcos 30°cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝9，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝6 3.若点B 的位置如图②所示，同理得点B 的轨迹方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝6 3.综上所述，点B 的轨迹方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ±π6＝6 3.2．求圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．[解] 法一：设圆心C 的直角坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝3cos π6＝332，y 0＝3sin π6＝32.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋y 2－33x －3y ＝0，所以ρ2＝33ρcos θ＋3ρsin θ，即ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 法二：如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6.在Rt△POA 中， |OP |＝|OA |cos∠POA ，则ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，即圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．【例3】把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝2a cos θ(a >0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[精彩点拨] 利用转化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. [尝试解答] (1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2a ρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2，是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝812，是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，92为圆心，以922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16，是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．3．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤θ＜π2，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，∴4cos 2θ＝3，∴cos θ＝±32. ∵0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6. 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ＝23，∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23cos π6，23sin π6，即(3，3)．[答案] (3，3)直观的几何图形用数量运算得以完美实现．【例4】某海滨城市附近海面出现台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图)的东偏南θ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＝210方向300km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到侵袭持续多长时间？[精彩点拨] 建立平面直角坐标系，利用坐标法解决． [尝试解答] 法一(坐标法)：以O 为原点，正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示．在时刻t (h)台风中心P ′(x ，y )的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300×210－20×22t ，y ＝－300×7210＋20×22t ，此时台风侵袭的区域是(x －x )2＋(y －y )2≤[r (t )]2，其中r (t )＝10t ＋60. 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 (0－x )2＋(0－y )2≤(10t ＋60)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫300×210－20×22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－300×7210＋20×22t 2≤(10t ＋60)2. 化简整理得t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时．法二(解三角形法)：假设经过t 小时后，台风中心位置从P 处转移到P ′处，由于∠OPB ＝θ，且cos θ＝210＜cos 45°＝22，所以θ＞45°，连结OP ′，在△OPP ′中，OP ＝300，PP ′＝20t ， cos∠OPP ′＝cos(θ－45°) ＝cos θcos 45°＋sin θsin 45° ＝210×22＋7210×22＝45. 由余弦定理，得OP ′2＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45.若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有OP ′2≤(60＋10t )2，即3002＋(20t )2－2×300×20t ×45≤(60＋10t )2.化简，得t 2－36t ＋288≤0，即(t －12)(t －24)≤0，解得12≤t ≤24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC 的中心.标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，空间直角坐标与柱坐标、球坐标的互化等都是这种思想的体现．【例5】求经过极点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程．[精彩点拨] 首先把三点的极坐标转化为直角坐标，写出圆的直角坐标方程后，再转化为极坐标方程．[尝试解答] 将点O ，A ，B 的极坐标化为直角坐标，分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，所以过这三点的圆的圆心为(3,3)，半径为32，所以圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.5．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝6，(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．[解] (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100，∴x 2＋y 2＝100，所以C 1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝6，得 ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝12(3)2＋(－1)2＝6<r ＝10，所以直线C 2被圆截得的弦长为 2r 2－d 2＝2102－62＝16.1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为__________．[解析] ∵ρ＝2sin θ，∴ρ2＝2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋y 2－2y ＝0. [答案] x 2＋y 2－2y ＝02．在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.[解析] ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0.∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2. [答案] 23．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．[解析] 曲线C 1普通方程2x 2＝y ；曲线C 2普通方程x ＝1.联立曲线C 1与曲线C 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此两曲线的交点坐标为(1,2)．[答案] (1,2)4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.5．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． [解] (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．在Rt△OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt△OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.。

高中数学第一章坐标系 1 平面直角坐标系学案北师大版选修44

§1 平面直角坐标系[对应学生用书P1][自主学习]1．平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； ②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． (3)一些常见曲线的方程： ①直线的方程：ax ＋by ＋c ＝0；②圆的方程：圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1； ④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1；⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x 轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为p2的抛物线方程为y 2＝2px .2．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．[合作探究]1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．[对应学生用书P1]到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程．(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[精解详析] (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝ca ＝32，故c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3)；∵|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2. 化简得x 2＋(y ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0)．其曲线如上图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤．1．求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法；(2)求动点轨迹方程常用的方法有：①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a．建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；b．写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；c．用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；d．化简方程f(x，y)＝0；e．检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略．②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．③代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．④参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．2．根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．1．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G 的轨迹方程．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，过原点且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，|BD |＋|CE |＝30，可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20，∴重心G 的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦点，2a ＝20的椭圆，且y ≠0，其轨迹方程为：x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)．[例2] 和正方形BCFG ，连接EC ，AF ，且EC ，AF 交于点M ，连接BM .求证：BM ⊥AC .[思路点拨] 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出k BM ，k AC ，证明k BM ·k AC ＝－1，即可．[精解详析] 如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，B (0,0)，C (b,0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．直线AF ：y ＋b a ＋b ＝x －b0－b，即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0；直线EC ：y －0a －0＝x －b－a －b，即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b x ＋by －ab ＝0，ax ＋a ＋b y －ab ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2b a 2＋ab ＋b 2，y ＝ab2a 2＋ab ＋b 2.即M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b a 2＋ab ＋b 2，ab 2a 2＋ab ＋b 2.故k BM ＝b a .又k AC ＝0－a b －0＝－ab，∴k BM ·k AC ＝－1， ∴BM ⊥AC .坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论．2．已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a24＝3x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，它是正△ABC 的中心．[例3] 在下列平面直角坐标系中，分别作出25＋9＝1的图形．(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．[思路点拨] 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x 轴、y 轴单位长度的变化情况，再作出图形即可．[精解详析] (1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.一般地，在平面直角坐标系xOy 中：(1)使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y 的伸缩变换．(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.本例中若x 轴的单位长度为y 轴上单位长度的35，则椭圆x 225＋y29＝1的图形如何？解：如果y 轴上的单位长度不变，x 轴的单位长度缩小为原来的35，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35x ，y ′＝y ，则x 225＋y 29＝1的图形变为圆．本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合．[考题印证]设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q满足BQ ＝λQA ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM ＝λMP ，求点P 的轨迹方程．[命题立意] 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．[自主尝试] 由QM ＝λMP 知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ ＝λQA ，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λ2x 2－λ＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0. 因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.[对应学生用书P4]一、选择题1．方程x 2＋xy ＝0的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：选C 方程变形为x (x ＋y )＝0，∴x ＝0或x ＋y ＝0，而方程x ＝0，x ＋y ＝0表示的是直线，∴C 正确．2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x ＜－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x ＜－3) 解析：选B 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3)．3．已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )解析：选B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则该椭圆的形状为选项B 中所示．4．平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )A.32B.12 C ．2D ．3解析：选A 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32.∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1(x ≥32)．由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.二、填空题5．已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得PA ＝(－2－x ，－y )，PB ＝(－3－x ，－y )． ∴PA ·PB ＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1. 即y 2＋5x ＋5＝0. 答案：y 2＋5x ＋5＝06．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (4,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝m OA ＋n OB ，其中m ，n ∈[0,1]，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．解析：由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x ≤4)7．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义|OP |＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对以下结论：①符合|OP |＝1的点P 的轨迹围成图形面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP |的最小值为1；③设P 为直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )上任意一点，则“使|OP |最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k ＝±1”．其中正确的结论有________．(填序号) 解析：在①中，由于|OP |＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，0≤x ≤1，y ＝－x －1，－1≤x ≤0，y ＝x ＋1，－1≤x ≤0，y ＝x －1，0≤x ≤1，其图像如图故其面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝2.故①正确．在②中，当P ⎝⎛⎭⎪⎫255，0时，|OP |＝|x |＋|y |＝255＜1， ∴|OP |的最小值不为1，故②错误．在③中，∵|x |＋|y |≥|x ＋y |＝|(k ＋1)x ＋b |，当k ＝－1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意，即|x |＋|y |≥|x －y |＝|(k －1)x －b |，当k ＝1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意，故③正确．答案：①③8．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题9.如图所示，△ABC 中，角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且B (－1，0)，C (1,0)．(1)求满足b >a >c ，b ，a ，c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程． (2)在x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍的平面直角坐标系中作出(1)中轨迹．解：(1)∵b ，a ，c 成等差数列， ∴b ＋c ＝2a ＝2×2＝4.即|AB |＋|AC |＝4>|BC |＝2符合椭圆定义条件．动点A (x ，y )的轨迹是椭圆，且⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，2c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴A 点的轨迹方程是x 24＋y 23＝1.由于b >c ，即|AC |>|AB |，可知A 点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，－3)，(0，3)．∵A ，B ，C 构成三角形，∴必须除去点(－2,0)． ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)．(2)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 24＋y23＝1(－2<x <0)的图形为图示．10．我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80 n mile 的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40 n mile 的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(n mile)，OB ＝80(n mile)．我军舰直行到点C 与敌舰相遇，设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt△AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．11.如图，椭圆C0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。