专题2 第11课时 三角函数的化简与求值
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简求值的技巧
一、三角函数的重要性质：
1、正弦函数sin x、余弦函数cos x、正切函数tanx和其逆函数的
关系：
sin x＝1/cos x，cos x＝1/sin x，tan x＝1/cot x，cot x＝1/tan x，cos x＝1/csc x，csc x＝1/cos x。
2、三角函数的基本性质：
sin2x＋cos2x＝1，sin2x＝2sin(x/2)cos(x/2)，cos2x＝cos2(x/2)
－sin2(x/2)，2sin xcos x＝sin2x＋cos2x＝2sin2(x/2)＝2cos2(x/2)。
3、三角函数的对称性：
sin(-x)＝-sin x，cos(-x)＝cos x，tan(-x)＝-tan x，cot(-x)＝-cot x，csc(-x)＝-csc x。
二、用三角函数化简求值的常用方法：
1、用公式和定义：
用三角函数的基本公式来把表达式中的各个项拆分开明确每个项的意义，然后把各个项的值累加求值。
2、用对称性：
对变量进行绝对值化，然后利用三角函数的对称性变换变量或表达式，从而达到化简的目的。
3、用反函数求值：
把表达式中的三角函数换成其对应的反函数，然后利用反函数的性质进行化简，获得原函数的表达式。
四、利用三角函数化简求值的实例：
例1：求Sin(60°)
解：
1、用公式求值：
可以用公式sin 2x＝2sin xcos x来求值。
g3.1049三角函数的化简、求值与证明doc
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明一、知识回顾1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二、基本训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）AB、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-+的最小正周期 （ ）A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
5、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
三、例题分析例1、化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+例2、设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
三角函数的化简与求值(二)
课堂
评价反思 与反馈
教
师生互动， 三 师生互动，总结方法
例题 1 已知 sin(
π
4
+ x)sin(
π
4
− x) =
1 π , x ∈ ( , π ) ，求 sin 4 x 的值 6 2
启发：观察角之间的关系，可以发现 (
π
4
+ x) 与 (
π
4
− x) 互余，从而可以逆用二陪
学
角公式化简条件。 说明： 1、善于分析角的关系，把“异角”化“同角”是化简三角函数式常见的一种策 略，即“角的差异法” 。 2、这是一类条件求值问题，要善于分析条件式或待求式，进行三角变换使条件 式和待求式缩少差异，达到求解目的。 练一练：若 sin(
7 9
）
4 4 4 B．－ C． 5 5 15 0 3 − sin 70 5、 =（ ） 2 − cos 2 100 1 2 B. C. 2 D. A. 2 2 cos2α 2 6、若 =− ，则 sin α + cos α 的值为 π 2 sin (α − ) 4
A．
D．－
3 5
3 2
7、2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） ．如果小正 方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 θ ，那么 cos 2θ 的值 ． 等于 8、已知 sinα＝cos2α，α ∈ ( 9、已知 sin(α +
1． 4 sin
α
4
cos
α
4
= 2 sin
α （公式逆用） 2
三角函数的化简与求值2
三角函数的化简与求值 （2）一、小题训练1．（A ）已知tan α=4，tan β=3，那么tan(α+β)= .2．（A ）计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .3．（A ）已知tan -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan +6πβ⎛⎫ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 4．（B ）已知sin α=35，那么cos 2α= .5．（B ）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=3，则cos 2α= . 6.（B ）已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，则βαtan tan 的值为 .二、例题选讲例1．（A）目标角与已知角之间的变换已知α，β均为锐角，且sin α=35，tan(α-β)= 1-3.(1)求sin(α-β)的值；(2)求cos β的值.3 5，cos(α+β)=5-13，求sin β的值.变式（B）已知α，β均为锐角，且sin α=例2．（B）二倍角的三角函数公式的简单应用已知sin α=1213，且α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.变式（A ） (1)已知sin 2 cos α= . (2)设α为第二象限角，sin α=35，则sin2α= .例3．（B ） 二倍角的化简与求值(1sin cos )sin -cos θθθθ⎛⎫++ ⎪0<θ<π.变式 （B ） (1)化简：0205-cos203-cos 10= .(2)求证：= 21sin4cos41-tan θθθ++1sin4-cos42tan θθθ+例4 ．（C ）二倍角公式的简单应用已知函数f (x )2x cos 2x 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[-π，0]上的最小值.变式 （C ）已知函数f (x )=sin 2x-sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例5．与三角函数的图象与性质综合运用已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f(α)=32，求sin26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.ππ0022A Aωϕωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭其中，，为常数，且，，变式 已知函数f (x )=12sin 2x 2x . (1) 求f (x )的最小正周期和最小值；(2) 将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 得到函数g (x )的图象，当x ∈2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求g (x )的值域.四、巩固练习1．（A ）计算：sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= .2．（A ）若α，β为锐角，cos α=17，cos(α+β)=-1114，则β= .3．（A ）已知α，β均为锐角，且tan β=cos -sin cos sin αααα+，则tan(α+β)= .4．（A ）已知sin2θ=45，cos 2θ =3-5，那么角θ在第 象限. 5．（A ）已知sin α+2cos α=0，则sin 2α+cos 2α= .6．（B ）已知sin -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=13，那么cos 2+23πα⎛⎫⎪⎝⎭= .7．（B ）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4).(1)求sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)若点P 关于x 轴的对称点为点Q ，求OP ·OQ 的值.8．（B ）设α为锐角，若cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，求sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.9．（B ）已知sin α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan β=13.(1)求tan α的值； (2)求tan(α+2β)的值.10．（C ）设函数f (x )=A cos 46x π⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈R ，且f 3π⎛⎫⎪⎝⎭(1)求A 的值；(2)已知α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且f443πα⎛⎫+⎪⎝⎭=3017-，f 243πβ⎛⎫-⎪⎝⎭=85， 求cos(α+β)的值.参考答案一、小题训练1．7-11 2 3．1 4．725 5．6．23 二、例题选讲 例1．【解析】(1)因为α，β∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以-2π<α-β<2π，又tan(α-β)= 1-3<0，所以-2π<α-β<0，所以sin(α-β)=-10.(2)由(1)可得cos(α-β).因为α为锐角，sin α=35，所以cos α=45，所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β). 变式．【解析】因为sin α=35，α为锐角，所以cos α=45， 又α，β均为锐角，cos(α+β)=5-13，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)=1213，所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=6365. 例2．【解析】 【思维引导】直接使用二倍角公式即可.因为α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，sin α=1213，所以cos α=5-13， 所以sin 2α=2sin αcos α=120-169， cos 2α=cos 2α-sin 2α=119-169， tan 2α=sin2cos2αα=120119．【精要点评】求cos α的值时，要注意正负的判断.变式【解析】(1)13 (2)2425- (1)cos α=1-2sin 22α=13.(2)直接求得cos α=45-，代入正弦的二倍角公式即可.例3．【解析】 【思维引导】考虑通过把角θ统一化为2θ，同时去掉根号.因为0<θ<π，所以0<2θ<2π，所以cos2θ>0，原式22cos 2sin cos sin -cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=2cos sin cos sin -cos 222222cos2θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=sin 22θ-cos 22θ=-cos θ.变式．【解析】 (1) 2【解析】0205-cos203-cos 10=005-cos201cos203-2+=002(5-cos20)5-cos20=2例4．【解析】(1)因为f (x )=2sinx-2(1-cos x )=sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0，所以34π-≤x+4π≤4π. 当x+4π=-2π，即x=-34π时，f (x )取得最小值，所以f (x )在区间[-π，0]上的最小值为f 34π⎛⎫⎪⎝⎭=-1-2. 变式【解析】(1)由题意得f (x )=1cos 2x 2--1cos 232x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=11cos 2222x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 22x -=1sin 226x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)当2k π-π2<2x-π6<2k π+π2，k ∈Z ，即k π-π6<x<k π+π3(k ∈Z )时，f (x )单调递增；当2k π+π2<2x-π6<2k π+3π2，k ∈Z ，即k π+π3<x<k π+5π6(k ∈Z )时，f (x )单调递减，所以f (x )在区间π,36π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，f -3π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-4，f -6π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12-，f 4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4，所以f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为12-.例5．【解析】(1) 由图可知，A=2，T=2π，故ω=1，所以f (x )=2sin (x +φ).又f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，且-π2<φ<π2，故φ=-π6，于是f (x ) =2sin π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2) 由f (α)=32，得sin π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以sin π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π2-62πα⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos π26α⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =1-2sin 2π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-2×234⎛⎫ ⎪⎝⎭=-18.变式：【解答】(1) f (x )=12sin 2x2x =12sin 2x-(1+cos 2x )=12sin 2x-cos 2x-=sinπ2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-， 故f (x )的最小正周期为π，最小值为-.(2) 由条件可知g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-2.当x ∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，有x -π3∈π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 从而sin π1-132x ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为，，所以g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的值域为⎣⎦. 巩固练习 1．122．3π 3．1 4．θ是第三象限角 5．7-5 6．7-97．(1)因为角α的终边经过点P (3，4)，所以sin α=45，cos α=35，所以sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sinαcos4π+cos αsin 4π. (2)因为P (3，4)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q (3，-4).所以OP =(3，4)，OQ =(3，-4)，所以OP ·OQ =3×3+4×(-4)=-7． 8．由cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，得cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2+6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=725. 因为cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，α为锐角，所以2α+3π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2425，所以sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π234πα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=50.9．(1)因为sinα∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cosα=tan α=sin cos αα=12.(2)因为tan β=13，所以tan 2β=22tan 1-tan ββ=212311-3⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以tan(α+2β)=tan tan21-tan tan2αβαβ+=1324131-24+⨯=2．10．(1)fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=A cosππ126⎛⎫+⎪⎝⎭=A cosπ4=A=2．(2)f4π43α⎛⎫+⎪⎝⎭=2cosππ36α⎛⎫++⎪⎝⎭=2cosπ2α⎛⎫+⎪⎝⎭=-2sin α=-3017，即sin α=15 17.f2π4-3β⎛⎫⎪⎝⎭=2cosππ-66β⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos β=85，即cos β=45.因为α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cosα=817，sin35，所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsinβ=817×45-1517×35=-1385.。
高中数学三角函数专题：三角函数化简(二)
高中数学三角函数专题：三角函数化简第一部分：三角函数化简基本原理知识点一：三角函数两角和差公式。
余弦的两角和差公式。
关系式一：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+。
关系式二：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
正弦的两角和差公式。
关系式一：αββαβαcos sin cos sin )sin(+=+。
关系式二：αββαβαcos sin cos sin )sin(-=-。
正切的两角和差公式。
关系式一关系式二知识点二：三角函数二倍角公式。
正弦二倍角公式。
关系式：αααcos sin 22sin =。
余弦二倍角公式。
关系式：ααα22sin cos 2cos -=；1cos 22cos 2-=αα；αα2sin 212cos -=。
正切二倍角公式。
关系式知识点三：三角函数半角公式。
知识点四：三角函数同角之间的基本关系。
1cos sin 22=+αα。
第二部分：三角函数化简题型题型一：正余弦变正切。
模型一：化简xd x c xb x a cos sin cos sin ++（结果中只包含x tan ）。
解法设计：dx c b x a xx d x x c x xb x x a x x d xc x x b x a xd x c x b x a ++=++=++=++tan tan cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin 。
例题：计算下列题目。
（Ⅰ）已知：1tan =x 。
计算：xx xx sin 2cos 3cos sin 2+-的值。
（Ⅱ）已知：2cos sin sin 2cos =+-xx xx 。
计算：x tan 的值。
本题解析：（Ⅰ）51123112tan 231tan 2cos sin 2cos cos 3cos cos cos sin 2cos sin 2cos 3cos cos sin 2sin 2cos 3cos sin 2=⨯+-⨯=+-=+-=+-=+-x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x 。
三角函数的运算与化简
三角函数的运算与化简三角函数是数学中常见的一类函数，用于描述角度与边长之间的关系。
它们在几何学、物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。
在本文中，我将讨论三角函数的运算与化简。
在三角函数中，最常见的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数可以通过定义、图像和特性来进行研究。
首先，我们来看一下这些函数的定义。
正弦函数表示角度与对应的纵坐标之间的关系，其定义为：sinθ = y / r，其中θ是角度，y是对应角度下的纵坐标，r是半径。
余弦函数则表示角度与横坐标之间的关系，其定义为：cosθ = x / r，其中x是对应角度下的横坐标。
正切函数定义为：tanθ = y / x，可以看作是正弦函数与余弦函数的比值。
接下来是三角函数的图像。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅在-1到1之间，周期为2π。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但是平移了一个四分之一个周期。
正切函数的图像也是波浪形状，但是它有垂直渐近线，即在90度和270度处有不连续点。
三角函数还有一些特性需要了解。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期是2π。
正切函数也是周期函数，但它的周期是π。
此外，这些函数都有特定的定义域和值域。
在运算和化简三角函数时，我们可以利用它们的周期性、对称性和特殊角的数值来简化计算过程。
例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数的和差公式来处理一些复杂的三角函数表达式。
其中，正弦函数的和差公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB；余弦函数的和差公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB。
此外，我们还可以利用双角公式和半角公式来进行三角函数的化简。
双角公式包括正弦函数的双角公式、余弦函数的双角公式和正切函数的双角公式。
半角公式则可以将正弦函数和余弦函数表示为较小角的函数。
除了以上提到的运算和化简方法，我们还可以借助计算工具如计算器或数学软件来进行三角函数的具体计算和化简。
第讲三角函数的求值化简与证明
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝ 2cosisn2xx＋－2ππ4＋1. (1)求 f(x)的定义域； (2)若角 α 在第一象限且 cosα＝35，求 f(α)．
∴3<2sinx＋π6＋4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6]．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究 例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数3
C．0
D．1
－1 5．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝_____2__.
考点1 三角函数式的化简
例1：(2011年北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1
1．转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、 函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角公式中次数和角 的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α ＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α.
＝212cos50°－co2s35s0i°n50°sin70°
＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
专题十一 三角函数式的化简与求值
综合复习专题十一三角函数式的化简与求值知识网络一、高考考点1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；.推论2（万能公式）：；.推论3（半角公式）：；；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
三角函数的化简详解.docx
A B C B【例4] 在中，若sin2_2 +sin2y +sin2y =cos2_2 ,tan—• tan —=-.2 2 3B 满足关系式：V3 (tan a • t^n B +a) +tan a =0,则tan B 二c- f(1+a)D- T(1~a) A. V3 (1+a) B. V3 (1 —爲)三角函数的化简1、三角函数式的化简：(1)常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
(2)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如& =(© + "丿—0,2Q =(Q +"丿+ (©-0丿等，把所求角用含己知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简［例求值.2sin2(P + cosl0o + tan20。
sin 10°esc 40° + cot 80°2 cos 40° + cosl 0°(1 + tan60°tanl 0°) Jl + cosl0°【例2】（三兄弟）已知s 阮普，"罟,求畔翥卫的值【变式】（05天津）已知sin （&） =晋,COS 2*£,【例3］（最值辅助角）已知函数A^）=2asin 2T —273 asinxcosA+a+b —1,（弘b 为常数，a<0）,它的定 义域为［0,兰］,值域为［ — 3,1］,试求禺b 的值。
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
人教A版数学必修第一册期末复习：三角函数的化简与求值课件
变式训练
变式1 tan(-945°)的值为
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
-1
.
变式2
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(202X)的值为
高一必修一
三角函数的化简与求值
考情分析
202X年
Ⅰ Ⅱ卷
三角函 卷
数的化
简与求
值
T6,T15
202X年
202X年
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ卷 新高考Ⅰ
卷
卷
卷
卷
卷
T7 T10
T9
T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为
基础，考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关
系式、辅助角公式，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式
真题再现
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
3
3
D.
2 5
5
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
三角函数中的化简求值(经典版)
一、题型选讲
题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
求tan()
αβ
-的值．
题型二探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
．
题型三、运用构造法化简与求值
2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．。
三角函数的化简与求值
φ=
2
a
2
a b
,sin φ=
b
2
a b2
).
二、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α;
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
cos 2α=cos α-sin α=1-2sin α=2cos α-1; tan 2α=
7 2 = sin( -x).
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
题型1 三角函数式的化简
例1 (1)化简sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ );
3
6
3
3
(2)化简
tan α tan2α tan2α tan α
+ 3 (sin α-cos α).
2
2
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
三、半角公式 sin =±
2 θ
1 cos θ , 2
cos =±
2
θ
1 cos θ , 2
tan =±
2
θ
1 cos θ , 1 cos θ
θ 其中符号“±”的选取由 角的范围确定. 2
用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
s in α 1 cos α = 1 cos α s in α
= 1 m2
m
2 ,tan 5 = 1 ta n 2 5
2 ta n 5
=
1 m m 2 1 1 m
2
m
2
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cos10° + 3 sin10° ) ( 2 ) 原式 = sin50°⋅ ( cos10° 1 3 2( cos10° + sin10°) 2 = sin50° ⋅ 2 cos10° 2sin50° ⋅ sin(30° + 10°) = cos10° 2sin 50° cos 50° sin100° = = = 1. cos10° cos 10°
5π π 由于( + α ) + ( − α ) = π，所以可以联想到 6 6 角度变换，然后运用诱导公式求解．本题宜分别 求解后再组合，以免出错．
5π 3 变式1 已知0 < α < ，且cos(α + ) = − ，求下 2 2 5 列两式的值： sin α + sin 2α ； (1) 2 cos α + cos α 5 ( 2 ) tan(α − π )． 4
切入点：考虑先求出α − β的某一三角函数值， 再由角的范围确定α − β的值．
解 析 Q α 是 锐 角 ， cos α = =
6 ， sin α = ∴ 3
1 − cos 2 α
6 3 3− 6 1− = .又 β 是 锐 角 ， sin β = ， 9 3 6 3 .
(3 − 6 ) 2 3 2 + ∴ cos β = 1 − sin 2 β = 1 − = 36 6 ∴ sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β 3 3 2 + = × 3 6 Q0<α < ∴α − β = 3 6 3− 6 1 − × = . 3 6 2
考点3 考点 三角函数的化简与恒等式的证明
例3 化简下列两式：
(1)
( 2 ) sin50°⋅ (1 +
1 − 2sin 290°⋅ cos110° ； sin 250° + sin 20° 3tan10°)．
切入点： ) 先将大于90°的角化为(0°， °)内的角， 90 (1 再用1 = sin 2α + cos 2α 化简．
π π
π
解析 因为a ∈ ( ， )， 4 2 所以sinα > 0，cosα > 0. 3 由4cosα − 3sinα = 0，得cosα = sinα . 4
π π
25 2 代入sin α + cos α = 1，得 sin α = 1， 16 4 3 所以sinα = ，从而cosα = . 5 5 4 3 24 所以sin2α = 2sinα ⋅ cosα = 2 × × = ， 5 5 25 16 7 2 cos2α = 1 − 2sin α = 1 − 2 × = − . 25 25
π
2
，< β < 0 .
π
π
6
2
， − ∴
π
2
<α −β <
π
2
，
解此类题目时应注意： 1．给值求角的本质还是给值求值，即欲求 某角，也要先求该角的某一三角函数值． 2．由于三角函数的多值性，故要对角的范 围进行讨论，确定并求出限定范围内的角． 3．要仔细观察分析所求角与已知条件的关 系，灵活使用角的变换，如α = (α + β ) − β , α = α +β α −β + 等． 2 2
3 解析 因为cos( − α ) = ， 6 3 1 2 所以sin ( − α ) = 1 − cos ( − α ) = 1 − = ， 6 6 3 3
2 2
π
π
π
5 π π 3 cos( π + α ) = cos[π − ( − α )] = −cos( − α ) = − . 6 6 6 3 5 3 2 2− 3 2 π 所以cos( π + α + sin ( − α ) = − . + = 6 6 3 3 3
π
π
Q β = α − (α − β )， ∴ c o s β = c o s[α − ( α − β )] = c o s α c o s (α − β ) + s in α 1 π = × ＋ × = .∴ β = . 7 14 7 14 2 3
2 2
所以cos( − 2α ) = cos ⋅ cos2α + sin ⋅ sin2α = 3 3 3 1 7 3 24 24 3 − 7 × (− ) + × = . 2 25 2 25 50
π
π
π
考点2 考点 给值求角问题
6 例2 (原创题)已知α、β 都是锐角，cosα = ， 3 3− 6 sin sinβ = ，求α − β 的值． 6
cos α − sin α 证明：(1)左边= 1 − 2sin α cos α (cos α − sin α )(cos α + sin α ) = cos 2 α + sin 2 α − 2sin α cos α (cos α − sin α )(cos α + sin α ) = (cos α − sin α ) 2 cos α + sin α 1 + tan α = = =右边， cos α − sin α 1 − tan α ∴ 原等式成立．
专题二 三角函数、平面向量及 解三角形
考点1 给值求值 给值求值” 给角求值” 考点 “给值求值”或“给角求值”问 题
3 5 2 π 例1 已知cos( − α ) = ，求cos( π + α ) + sin ( − α )的值． 6 3 6 6
π
5π π 切入点：先将角 + α 化为与角 − α 相关的角， 6 6 然后用诱导公式．
5 tan α − tan α 5 4 ( 2 ) tan(α − π ) = 5 4 1 + tan α ⋅ tan α 4 3 −1 1 tan α − 1 4 = = =- . 1 + tan α 1 + 3 7 4
变式2(改编题)已知角α ∈ ( ， )，且4cosα − 3sinα = 0. 4 2 求cos( − 2α )的值． 3
2 2
2 2 ( 2 )由cos( x − y) = ，得cosxcosy + sinxsiny = ；① 3 3 1 由cos( x + y ) = ， 2 1 得cosxcosy − sinxsiny = .② 2 7 1 联立①②解得cosxcosy = ，sinxsiny = ， 12 12 1 1 ∴ tanxtany = ，即 =7tanx. tan y 7
切化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化是 三角函数化简、求值常用方法； α + cosα ) 2 = 1 + (sin 2sinα ⋅ cosα的逆用是去根号常用方式．大于90°的 角化为(0°， °)内的角是较好的解题思路． 90
变式4 求解下列各题： cos 2α 1 + tan α = ； (1) (改编题)证明： 1 − 2sin α cos α 1 − tan α 2 1 ( 2 )已知cos( x − y ) = ，cos( x + y ) = ，证明： 3 2 1 =7tanx. tan y
( 2 ) 先将切化为弦，再利用辅助角公式化简．
解析 (1) 原式 1 − 2sin(270° + 20°) ⋅ cos(90° + 20°) = sin(270° − 20°) + sin 20° sin 2 20° − 2sin 20° ⋅ cos 20° + cos 2 20° = sin 20° − cos 20° (cos 20° − sin 20°) = sin 20° − cos 20° −(sin 20° − cos 20°) = sin 20° − cos 20° = −1.
1．熟记公式，并从脑海中随时准确“调出”公 式是解决好三角函数化简与求值及恒等式证明的基础． 2．学会“变形”是解决三角问题常用的方法
(1) 变名：同角三角函数的基本关系、与 ± α 有关
的诱导公式是“变名”的依据； “ ( 2 ) 变角：拆分”和“添加”是“变角”的常用技巧； ( 3) 变式：特殊角的三角函数值与特殊值互化、 公式cos2α = 1 − 2sin 2α = 2cos 2α − 1是“变式 障； 的保
2
π
5π 3 3 解析 (1)由cos(α + ) = − ，知sinα = . 2 5 5 π 4 3 因为0 < α < ，所以cosα = ，则tanα = . 2 5 4 sin 2 α + sin 2α sin 2 α + 2sin α ⋅ cos α 所以 = 2 cos α + cos 2α 2 cos 2 α − sin 2 α 3 2 3 ( ) + 2× 2 tan α + 2 tan α 4 4 = 33 . = = 2 3 2 2 − tan α 23 2−( ) 4
( 4 ) 变通：和差角的正弦、余弦、正切公式是三
角“变通”的根本．
4 3 3 3 变式3(改编题)已知sinα = ，sin(α − β ) = ， 7 14 且0 < β < α <
π
2
，求β的值．
解析
Q s in α =
4 7
3
，<α < 0 1−
π
2
，
∴ cosα =
1 − s in 2 α =
(4
3 )2 1 = . 49 7
3 3 Q0 < β <α < ， 0 <α − β < ∴ .又 s in (α − β ) = ， 2 2 14 ∴ c o s (α − β ) = 1 − s in 2 ( α − β ) = (3 3 ) 2 1 3 1− ＝ . 196 14