人教A版高中数学选修1-1：1.1.3 四种命题间的相互关系教学能手示范课

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高中数学人教A版选修1-1第一章 1.1 第2课时四种命题及四种命题间的相互关系课件

(3)逆命题：若 x＝3，则 x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若 x2－2x－3≠0，则 x≠3.真命题；逆否命题：若 x≠3，则 x2－2x－3≠0.假命题． (4)逆命题：若 x∈A∩B，则 x∈A.真命题；否命题：若 x∉A，则 x∉A∩B.真命题；逆否命题：若 x∉A∩B，则 x∉A.假命题．
由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．
[问题思考] (1)命题“若 a≠0，则 ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题
各是什么？提示：逆命题：若 ab≠0，则 a≠0；否命题：若 a＝0，则 ab＝0；逆否命题：若 ab＝0，则 a＝0．
3．在命题“若 a>－3，则 a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．解析：容易判断，命题“若 a>－3，则 a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若 a≤－3，则 a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．答案：2
法二：先判断原命题的真假．因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集，所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0，所以 a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真． (2)原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若 a＋b<0，则 f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．” ∵当 a＋b<0 时，a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．

人教版高中数学选修1-1教案：1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系

2
让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若 P，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若 P，则 q．则：逆命题：若 q，则 P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号． “￢p”表示 p 的否定；即不是 p；非 p）逆否命题：若￢q，则￢P．６．巩固练习写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：（１）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（２）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；（３）若 x =1,则 x=1；（４）若整数 a 是素数，则是 a 奇数。７．思考、分析结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真。原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：原真命题逆真假假假真假真命题否命题逆否命题
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
＝
1 1 1 2 2 2 ２［（p －q）＋（p ＋q）］≥ （p ＋q）＞ ×２ 2 2 2
高二年级数学（文科）集体备课教案
项目
内容
1.1.2 四种命题
课题
1.1.3 四种命题的相互关系
修改与创新（1 课时）
1.知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 2.过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现教学问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象目标概括能力和思维能力． 3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

人教A版选修1-1教案：1.1.2四种命题间的相互关系(含答案)

§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

，时，若时，课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“AB B =，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是。

人教A版高中数学选修1-1《一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.3 四种命题间的相互关系》优质课教案_4

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系[学习目标] 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.知识点二四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.题型一四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.跟踪训练1判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.解(1)该命题为真命题.逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题.逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)该命题为假命题.逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题.否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题.逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题.题型二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练2下列命题为真命题的是()①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③B.②③C.①②D.①③答案 B解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③，故选B.题型三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法.跟踪训练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.化归思想的应用例4判断命题“若x2－y2≠0，则x－y，x＋y中至少有一个不等于0”的真假.分析原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了.解原命题的逆否命题：若x－y，x＋y都等于0，则x2－y2＝0.由x－y＝0，x＋y＝0，得x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0.因此，原命题的逆否命题是真命题.所以原命题是真命题.解后反思条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法.根据已知集合求参数范围例5已知p：M＝{x|x2－2x－80≤0}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}.如果“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围.分析先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可.解 p ：M ＝{x |x 2－2x －80≤0}＝{x |－8≤x ≤10}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}.因为“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－8，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－8，1＋m ≥10，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥9，m ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞9，m ≥9，解得m ＞9，即实数m 的取值范围是{}m |m ＞9.解后反思由“若p ，则q ”为真，“若q ，则p ”为假，得M ⊆N ，但N M ，故M N ，即“1－m 与－8”和“1＋m 与10”不能同时取等号.事实上，当m ＝9时，两个集合相等.1.命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( )A.若a ∉A ，则b ∉BB.若a ∈A ，则b ∉BC.若b ∈B ，则a ∉AD.若b ∉B ，则a ∉A答案 B解析命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式.2.命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆否命题是( )A.若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝AB.若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠BC.若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠AD.若A ∪B ≠B ，则A ∩B ＝A答案 C解析注意“A ∩B ＝A ”的否定是“A ∩B ≠A ”.3.命题“若平面向量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题是_______，它是______命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a ，b 的方向不相同，则a ，b 不共线假4.给出以下命题：①“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.答案 ③解析 ①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.5.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).答案若α≠π6，则sin α≠12假解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题.1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ；(3)按照四种命题的结构写出所求命题.2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.一、选择题1.若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A.若x ≤y ，则x 2≤y 2B.若x >y ，则x 2<y 2C.若x 2≤y 2，则x ≤yD.若x <y ，则x 2<y 2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.2.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析原命题：“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题.当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题.4.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数，一定能被6整除B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案 B解析互为逆否命题的两个命题是等价的.5.有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确.6.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m⊥α，β⊥α，则m∥βC.若l⊥m，l⊥n，则m∥nD.若l⊥α，m⊥α，则l∥m答案 D解析当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.7.有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为()A.①②B.②③C.①③D.③④答案 C解析命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q ＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题.二、填空题8.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________.答案若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.9.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有______；互为否命题的有______；互为逆否命题的有______(填序号). 答案②和③①和③①和②10.命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个.答案 2解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB ≠AC 时，△ABC 不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC 不是等腰三角形时，AB ≠AC ”为真命题.三、解答题11.判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假. 解方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真.12.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)ac ＞bc ⇒a ＞b ；(2)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；(3)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实数根. 解 (1)原命题：若ac ＞bc ，则a ＞b .逆命题：若a ＞b ，则ac ＞bc .否命题：若ac ≤bc ，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则ac ≤bc .(2)原命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，且x ＝2.逆命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝3且x ＝2，则y ＝x ＋1.否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠x ＋1，则y ≠3或x ≠2.逆否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠3或x ≠2，则y ≠x ＋1.(3)原命题：若m ＞14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根. 逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实数根，则m ＞14. 否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实数根. 逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实数根，则m ≤14. 13.给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围.解甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝{a |a >13或a <－1}；乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝{a |a >1或a <－12}. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是{a |a >13或a <－12}. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a <－12. 所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为{a |13<a ≤1或－1≤a <－12}.。

人教A版高中数学选修1-1课件-四种命题四种命题间的相互关系

『规律方法』关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题； (2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题； (3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)
3．命题的结论的否定和条件的否定，
我们把这样的两个命题叫做________________，其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的
____________.
互否命题
原命题
否命题
原命题
互为逆否命题逆否命题
4．四种命题的相互关系
『规律方法』 1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．
2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．
命题方向 3
正难则反，等价转化思想
我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－
b)，则a＋b≥0.
[思路分典析例] 已3 知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较
2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是( )
A．若q，则p

2016-2017高中数学人教A版选修1-1课件：第一章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系

所以Δ＝1＋4a＜0，解得 a＜－14＜0. 所以命题“若方程 x2＋x－a＝0 无实根，则 a＜0”是真命题．法二：因为 a≥0，所以 4a≥0，所以 4a＋1＞0. 所以方程 x2＋x－a＝0 的判别式Δ＝1＋4a＞0. 所以方程 x2＋x－a＝0 有实根．
第三十二页，编辑于星期五：十七点五十一分。
1．写出一个命题的其他三种形式时的关注点： (1)正确地将原命题改写成“若 p，则 q”的形式． (2)正确地对原命题的条件和结论进行否定． (3)对存在大前提的命题，注意在写其他三种命题时大前提不要改变． (4)在一个命题及其他三种形式中，原命题是人为指定的，要注意它们之间的关系．
第三十七页，编辑于星期五：十七点五十一分。
第五页，编辑于星期五：十七点五十一分。
2．四种命题结构
温馨提示不是“若 p，则 q”形式的命题，最好先改写成“若 p，则 q”的形式，然后写出其他三种命题．
第六页，编辑于星期五：十七点五十一分。
3．四种命题五十一分。
4．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．温馨提示在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不会出现奇数个．
第一章常用逻辑用语
第一页，编辑于星期五：十七点五十一分。
1.1 命题及其关系 1．1.2 四种命题 1．1.3 四种命题间的相互关系
第二页，编辑于星期五：十七点五十一分。
[学习目标] 1.掌握命题的逆命题、否命题与逆否命题的概念(重点、难点)． 2.认识四种命题间的相互关系及真假性之间的关系(重点)． 3.会利用逆否命题的真假性解决问题(难点)．

人教A版高中数学选修1-1《一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题》优质课教案_3

二、典例分析
【典例1】写出命题“若x=2,则x2=4”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断真假。
【典例2】写出“矩形的对角线相等”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断真假。
生板书师纠错。
注意事项：
1、要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的条件和结论（即把原命题写成“若p则q”的形式）。
词语
等于
大于
教学重点：四种命题的概念及相互关系．
教学难点：由原命题写出另外三种命题．
教学过程：
教学环节
教学活动
设计意图
1、引入新课
思考：下列命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件与结论分别有什么关系？
（1）若一个数是负数，则这个数的立方是负数
（2）若一个数的立方是负数，则这个数是负数。
（3）若一个数不是负数，则这个数的立方不是负数。
（4）若一个数的立方不是负数，则这个数不是负数。
生思考教师总结四种命题的形式
原命题：若p则q;
逆命题：若q则p;
否命题：若 p则 q
逆否命题：若 q则 p;
通过引导学生思考讨论，教师总结，对互为否命题、互为逆否命题的两命题间的相互关系、概念及表示形式进行学习，其中尤其强调注意否命题、逆否命题中条件和结论同时否定，它和命题的否定概念不同．
学生总结老师补充。
通过小结，深化学生知识理解、完善学生认知结构。
七、作业
1、下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有_____；互为否命题的有____；互为逆否命题的有___(填序号)．
2．下列命题中为真命题的是( )

高中数学人教版选修1-1 1.1.2、3四种命题、四种命题间的相互关系教案(系列三)

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系一：教法分析●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．●重点、难点重点：四种命题之间相互的关系．难点：正确区分命题的否定形式及否命题．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．二：方案设计●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．●教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!三、自主导学给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.四、互动探究例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.（一）规律方法1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．（二）变式训练分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.例2(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．（一）规律方法1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．（二）变式训练下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C．②③D．①【解析】①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程x2＋x－m＝0无实根，∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－14.故m≤0，为真命题．故正确的命题是①，③选B.【答案】 B例3若【思路探究】(1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．（一）规律方法1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．（二）变式训练“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a－7＜0，解得a＜74.因此a＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.五、易误辨析因否定错误致误典例写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为零，是假命题．【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x ，y 全为零”的否定，应为“x ，y 不全为零”，而不是“x ，y 全不为零”．【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，是真命题．六、课堂小结1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.七、双基达标1．(2013·福州高二检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( ) A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1 B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1 【解析】 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2＜12”，故否命题为：“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12”．【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x ＝2时，x 2＋x －6＝0”的逆否命题是____．【解析】原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】当x 2＋x －6≠0时，x ≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn ＜0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.【解】 (1)逆命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn ＜0.假命题；否命题：若mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0.真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0.真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0.真命题．八、知能检测一、选择题1．命题“若綈p ，则q ”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )A ．若p ，则綈qB ．若q ，则綈pC ．若綈q ，则pD ．若綈q ，则綈p【解析】若“綈p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则p ”，又互为逆否命题真假性相同． ∴“若綈q ，则p ”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】若A ∪B ≠B ，则A B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎨⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解．②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题是真命题，证明如下：∵ac ＜0，专业文档∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.九、备课资源（一）备选例题判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．（二）备选变式已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad －2bc＋2ad＝2，即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.珍贵文档。

高中数学人教A版选修(1-1) 1.1 教学课件《四种命题间的相互关系》(人教A版)

〔跟踪练习 1〕(2017·东北师大附中高二检测)设原命题：若 a＋b≥2，则 a、 b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情况是( A )
A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
人教A版高二年级 | 选修1-1
四种命题的关系
人教A版高二年级 | 选修1-1
一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：
原命题真真假假
逆命题真假真假
否命题真假真假
逆否命题真真假假
几点说明
人教A版高二年级 | 选修1-1
四种命题的真假关系 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是____逆__否__命_题_____． (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 _____没_有__关__系_____．
命题方向2 ⇨原命题与逆否命题的等价应用
判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋ a2＋2≤0 的解集为空集，则 a<2”的逆否命题的真假.
[思路分析] 判断这个命题的逆否命题的真假，可先写出它的逆否命题再判断，也可以利用互为逆否命题的等价性来判断．
[规范解答] 解法一：原命题的逆否命题为：“已知 a，x 为实数，若 a≥2，则关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集”．
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2．命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真
命题的个数为 ( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“ 若a>－6，则a>－3”不正确，其否命题也不正确，故选B．

人教A版高中数学选修1-1课件1.1.2《四种命题》1.1.3《四种命题的相互关系》

作
业
《习案》
作业
二
2
结合练习完成下列表格：
原命题逆命题否命题逆否命题真真假假假真假真
结合练习完成下列表格：
原命题逆命题否命题逆否命题真真
真
假
真
真
假假
真假结合练ຫໍສະໝຸດ 完成下列表格：原命题逆命题否命题逆否命题真真
真
假真
真
真
真
假
假
假
假
结合练习完成下列表格：
原命题逆命题否命题逆否命题真真
四种命题的形式
思考 2：若原命题为“若 p，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
四种命题的形式
思考 2：若原命题为“若 p，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
练习: 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：（ 1）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（2）若一个整数的末位数字是 0，则这个整数能被 5 整除；（3）若 x =1,则 x =1；（4）若整数 a 是素数，则 a 是奇数。
例题分析
例 1：证明：若 p ＋q
2
2
＝2，则 p＋q≤2．
例题分析
例 1：证明：若 p ＋q
2
2
＝2，则 p＋q≤2．
练习巩固：证明：若 a －b ＋2a－4b－3≠０，则 a－b≠1．
2 2
小结
（1）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（ 2）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（ 3）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（ 4）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．

高中数学选修1-1教案-1.1.3 四种命题间的相互关系(5)-人教A版

让不同层次的学生优化组合，围圈而坐，相互促进．把制作模型的材料分类整理好摆放在学具摆放区，并设置好卡片、张贴板与多媒体课件进行辅助教学．五、教学过程教学环节师生活动设计意图【知识启航站】（约5分钟）创设情景，揭示课题，学生认真听故事，并思考相关问题．提问：你能分析此故事中歌德与批评家的言语表达吗？（两人的言语表达都运用了逻辑用语） “数学是思维的科学”。

逻辑是研究思维形式和规律的科学。

用学生喜闻乐见的小故事情景导入新课，务求使学生积极主动地参与教学的全过程．让学生通过故事，体会四种命题中的关系，增强学生的直观感知．主持台成果展示区习题训练区学具摆放区多媒体展示区A 组B 组歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掬，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。

”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。

F 组G 组D 组C组E 组小故事（一）：教学环节师生活动设计意图1.什么是命题、真命题、假命题？2.交换原命题的条件和结论，所得的命题是________；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________ ；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________3.四种命题形式:原命题:_____________________ 逆命题:_____________________否命题:_____________________逆否命题:_____________________4、四种命题之间的相互关系：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互【合作探究】（约20分钟）游戏规则：1.老师选定某一组作为第一组回答指定问题2.若回答正确，则由该组选择下一组回答指定问题；若回答不正确，则由上一组选定下一组回答指定问题；3.本组回答对一个问题本组得2分，选定该组回答问题的小组得1分；4.活动内容以下列问题为主；5.活动结束后得分最高小组为本节课的表现最佳小组提出问题，学生主动思考并完成卡片上的问题学生小组内交换交流，相互检查纠正设计小游戏，让学生在小组内部先设计问题，准备提问其他小组问题和自己要回答的问题检验学生对基础知识的掌握能力．有利于对新课的引入规范书写，强调细节，使学生再次熟悉上节课内容，有利于本节课知识的学习让单调的数学问题变得有活力，提高学生的参与度，增强学生的学习兴趣【温故而知新】（约5分钟）小游戏：教学环节师生活动设计意图合作探究[探究一]观察与思考1.若)(x f 是正弦函数，则)(x f 是周期函数．2.若)(x f 是周期函数，则)(x f 是正弦函数．3.若)(x f 不是正弦函数，则)(x f 不是周期函数．4.若)(x f 不是周期函数，则)(x f 不是正弦函数．思考：你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?谈一谈你的收获[探究二]合作与讨论1.写出下列四个命题的逆命题、否命题、逆否命题，判断真假并填真值表(1)到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(2)两个三角形全等,则它们的面积相等. (3)相等的角是对顶角 (4)质数都是奇数.。

2019-2020人教A版数学选修1-1 第1章 1.1 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系课件PPT

第一章常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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学习目标 1．了解命题的四种形式，能写出一个命题的
核心素养
逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 借助命题的等价性解
2．理解并掌握四种命题之间的关系及其真假题培养数学抽象、逻
性之间的关系．(易混点) 辑推理素养.
[答案] 若 cos x＝12，则 x＝π3 若 x≠π3，则 cos x≠12 若 cos x≠12，则 x≠π3
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合作探究提素养
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写出原命题的其他三种命题
【例 1】写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若 sin α＝12，则 tan α＝ 3； (2)若 a＋b 是偶数，则 a，b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当 1<x<2 时，x2－3x＋2<0； (5)若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0.
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③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ [互为逆命题有③和⑥，②和④；互为否命题有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题有①和③，④和⑤.]
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3．已知命题 p：若 x＝π3，则 cos x＝12，则命题 p 的逆命题为 ________；命题 p 的否命题为________；命题 p 的逆否命题为 ________．
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[解] (1)逆命题：若 tan α＝ 3，则 sin α＝12. 否命题：若 sin α≠12，则 tan α≠ 3. 逆否命题：若 tan α≠ 3，则 sin α≠12. (2)逆命题：若 a，b 都是偶数，则 a＋b 是偶数．否命题：若 a＋b 不是偶数，则 a，b 不都是偶数．逆否命题：若 a，b 不都是偶数，则 a＋b 不是偶数．

人教A版高中数学选修1-1《一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.3 四种命题间的相互关系》优质课教案_9

1.1.3 四种命题的相互关系【教学目标】1.使学生理解并初步掌握四种命题及其关系2.能正确叙述一个命题的其它三种命题。

3.熟知四种命题的真假关系，理解两个互为逆否的命题是等价命题。

4.初步掌握反证法证明思想和证明步骤。

【教学重难点】重点：会熟练运用四种命题及关系解决问题难点：四种命题的等价转化【教学过程】知识点回顾１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。

２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。

原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p否命题：若非p 则非q 逆否命题：若非q 则非p观察与思考四种命题之间的关系()()f x f x 1）若是正弦函数，则是周期函数。

()()f x f x 2）若是周期函数，则是正弦函数。

()()f x f x 3）若不是正弦函数，则不是周期函数。

()()f x f x 4）若不是周期函数，则不是正弦函数。

总结：（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。

但其逆命题、否命题不一定为真。

（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。

但其原命题、逆否命题不一定为真。

原命题与逆命题未必同真假.几条结论：原命题与否命题未必同真假. 原命题与逆否命题一定同真假.原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假.例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。

并分别判断它们的真假。

分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。

人教A版高中数学选修1-1《一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题》优质课教案_6

1.1.2四种命题一、教学目标1、知识与技能了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；四种命题之间的相互关系；理解一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系；用逻辑用语准确地表达内容通过举例使学生体会研究四种命题形式的必要性，采用启发式教学使学生明白四种命题的关系2、情感态度与价值观让学生感受用逻辑语言准确表达数学内容的重要性，通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析问题和解决问题的能力二、教学重难点重点：掌握命题的四种形式难点：掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题和逆否命题三、教学过程1、创设情境，导入新课“你看看，该来的没来”“哎，不该走的又走了”（师：大家想过这里面所蕴含的数学思想吗？）引入课题2、新课讲解（一）观察思考下列四个命题，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数（二）师生互动，逐个分析讨论得到定义并会判断真假1提问学生说出这两个命题条件和结论的联系（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.原命题：若p,则q逆命题：若q,则p师：给出命题，生说出逆命题并判断真假例1：平面内同位角相等，两直线平行例2：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？2提问学生说出这两个命题条件和结论的联系（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数定义2：：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.原命题：若p,则q逆命题：若¬p ,则¬q师：给出命题，生说出逆命题并判断真假例1：平面内同位角相等，两直线平行例2：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？3提问学生说出这两个命题条件和结论的联系（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数定义3一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.原命题：若p,则q逆否命题：若¬q,则¬p师：给出命题，生说出逆否命题并判断真假例1：平面内同位角相等，两直线平行例2：若b a >,则22bc ac >探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？结论：两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性（四）典例分析例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假（1）若b a =，则22b a =；（2）若1=x 或2=x ，则0232=+-x x ；（3）若n m ,都是奇数，则n m +是奇数.（4）若0=abc ，则c b a ,,中至少有一个为0（五）思考：判断命题“如果0>m ，则02=-+m x x 有实根”的逆否命题的真假（六）回扣引入中的故事先讨论后总结“该来的没来”其逆否命题为“来了的该走”“不该走的走了”其逆否命题为“没走的该走”同学们，生活中处处是数学，期待我们善于发现的眼睛（七）课堂小结1、我们学到哪些知识？2、我们用到哪些数学方法？（八）作业布置优化设计对应习题。

高中数学人教A版选修1-1课件：1.1.2+1.1.3+四种命题+四种命题间的相互关系

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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做一做3 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命
(方法二)命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,
则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命
题是假命题.
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
探究一
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(3)逆否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆
否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命
题的逆否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命
不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的

高中数学新课标人教A版选修1-1《1.1.3四种命题间的相互关系》课件

题型一四种命题间的相互关系【例1】命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？ [思路探索] 设命题a为“若p，则q”，再根据已知各命题的关系写出各命题．
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课堂讲练互第动八页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
解设命题a：若p，则q，则命题b：若綈p，则綈q，
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课堂讲练互第动十四页，编辑【例3】 (12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．审题指导本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以，可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假．
【变式2】判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
命题c：若q，则p，命题d：若p，则q， ∴命题a与命题d是同一命题．规律方法判断两个命题的关系，从其结构上分析条件和结论是最本质的方法，解题关键是熟练掌握四种命题的概念．
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课堂讲练互第动九页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
【变式1】若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p
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课堂讲练互第动十一页，编辑于星活期一页：规点十范二分训。练

人教A版高中数学选修1-1：1.1.3 四种命题间的相互关系 教学能手示范课

高中数学人教A版选修1-1第一章 1.1 第2课时 四种命题及四种命题间的相互关系课件