等离子体天体2

∇ • B = 0
设 B =-∇ψ, 则(3.11)自动满足，(3.12)变成Laplace方程： =(3.11)自动满足 (3.12)变成 自动满足， 变成Laplace方程 方程：
∇ 2ψ = 0
则可以应用势场理论的许多结果： 则可以应用势场理论的许多结果：
(3.13)
定理一：若在体积 的边界面 定理一：若在体积V的边界面 上给定法向磁场分量（Bn) ， 若在体积 的边界面S上给定法向磁场分量（
(3.10)
在光球，T=5000K，标高H km，于是在1.5 Mm的高度 色球层） 的高度（ 在光球，T=5000K，标高H ≤ 150 km，于是在1.5 Mm的高度（色球层）上，压力和密度 要下降exp(10) 20,000倍 而在日冕中，T=2MK，标高约为100Mm。 要下降exp(10) ≈ 20,000倍。而在日冕中，T=2MK，标高约为100Mm。于是压力和密度 下降不大。确实，在许多日冕问题中，当考虑的高度范围≤ Mm时 可忽略重力。 下降不大。确实，在许多日冕问题中，当考虑的高度范围≤ 100 Mm时，可忽略重力。
其中J 是贝塞尔（ 无关，则上式简化为： 其中 n和Yn是贝塞尔（Bessel）函数。若ψ与 z 无关，则上式简化为： 是贝塞尔 ）函数。
2002-3-21
《等离子体天体物理》课程讲义(2)
7
§ 3.3
无力磁场
J × B = 0 (3.20) (3.21)
若重力项和压力项均可忽略，则有： 若重力项和压力项均可忽略，则有：
其中H 压力标高： 其中H 为压力标高：
H =
p0 RT = ρ0g g
(3.6)
而β 称为等离子体β ，为等离子体压力和磁压之比： 称为等离子体 等离子体β 为等离子体压力和磁压之比：
β =
B0
2
p0 (2 µ ) (3.8)
(3.7)
如果 2 β <<1，则（3.5)式中的磁作用力占主导地位，于是进一步退化为无力磁场： <<1， 3.5)式中的磁作用力占主导地位 于是进一步退化为无力磁场 式中的磁作用力占主导地位， 无力磁场：
2002-3-21 《等离子体天体物理》课程讲义(2) 8
若对(3.21)取旋度，可得 ∇ × (∇ × B ) = ∇ × (αB) ，或： (3.21)取旋度 取旋度，
∇ (∇ • B ) - ∇
2
B =
α ∇ × B + B × ∇ α
因为 ∇.B=0，并带入(3.21)式，得到： B=0，并带入(3.21)式 得到：
0 = −∇ p + J × B
式（3.4）中，若重力项可忽略，则又退化为静磁平衡方程：magnetostatic 3.4） 若重力项可忽略，则又退化为静磁平衡方程 静磁平衡方程：
(3.5)
2 这时，(3.1)式中的第4项远小于磁力项，亦即： L<<B0 /(µ ρ0 g) =2H /β 式中的第4 这时，(3.1)式中的第 项远小于磁力项，亦即：
J × 用下平衡，为无力场，force-free field。 field。 这时，磁场自身在磁压和磁张力的作用下平衡， 无力场，force2002-3-21 《等离子体天体物理》课程讲义(2) 2
如图， 如图，考虑等离子体沿着 磁力线的平衡问题。 磁力线的平衡问题。 设重力垂直向下，则 设重力垂直向下， (3.4)平行于磁力线的 (3.4)平行于磁力线的 分量为: 分量为:
2002-3-21 《等离子体天体物理》课程讲义(2) 5
（b）直角坐标系中的分离变量法： 直角坐标系中的分离变量法： 设： 则由: 则由 可推出: 可推出 其中k是常数，一种有用的解形式为： 其中 是常数，一种有用的解形式为： 是常数 于是可得到磁场的解为: 于是可得到磁场的解为
这就是图3.3的磁力线结果 这就是图3.3的磁力线结果。在|x| < π/(2k), z > 0 时为描述日冕环势场结构 的磁力线结果。 时为描述日冕环势场结构 的一个合理的模型。 的一个合理的模型。
2002-3-21 《等离子体天体物理》课程讲义(2) 3
§ 3.2
势场
∇ × B = 0 (3.11) (3.12)
若重力项和压力项均可忽略， (3.8)自动成立的一个特殊情况是电流为 自动成立的一个特殊情况是电流为0 若重力项和压力项均可忽略，则(3.8)自动成立的一个特殊情况是电流为0：
其中： 其中：
0
2
(3.3)
《等离子体天体物理》课程讲义(2)
1
式（3.1）退化为磁流体静力学平衡方程：mgnetohydrostatic 3.1）退化为磁流体静力学平衡方程 磁流体静力学平衡方程：
0 = −∇ p + J × B + ρ g
其中： 其中：
(3.4)
J = ∇ × B/ µ , ∇ • B = 0, ρ = p / R T .
于是电流 J =∇×B/µ 与磁场应该平行，即： =∇ B/µ 与磁场应该平行，
∇ × B = α
B
其中α是空间位置的函数, 这样的磁场称为无力场。但请注意： 其中α是空间位置的函数, 这样的磁场称为无力场。但请注意：
方程(3.20)看起来异常简单，但迄今为止，人们对于其解的一般性质仍然 方程(3.20)看起来异常简单，但迄今为止，人们对于其解的一般性质仍然 了解甚微。
（i）若在一个单连通空间V的表面S上给定磁通量分布和拓扑连接关系，并 ）若在一个单连通空间V的表面S 且磁场具有最小能量，则该磁场是无力场。但反之则不然，即无力场不一定 具有最小能量。 （ii）若在空间V内和表面S上，J ×B处处为零，则磁场B恒为零。因此，一 ii）若在空间 内和表面S上，J 处处为零，则磁场B ）若在空间V 个在V内为非平凡（即非零）的无力场必须在表面S 个在V内为非平凡（即非零）的无力场必须在表面S上具有力。换句话说，无 力场是可能存在的，但他们必须在边界上扎根。不可能从完全局限在某个区 域内的电流来构造无力场。
第三章 磁流体静力学
§ 3.1
引言
ρ
dv = −∇ p + J × B + ρ g dt (3.1)
写出运动方程如下： 写出运动方程如下：
其中电流为： 其中电流为：
J = ∇ × B/ µ
(3.2)
设 L, v0, L/v0 为长度尺度、等离子体速度和时间的典型值，电流的典型值为J0 =B0/(µL)。 为长度尺度、等离子体速度和时间的典型值，电流的典型值为J 压力( 和磁场( 来表示其中各项的大小： 则(3.1)式可以用典型密度(ρ0 ) 、压力(p0)和磁场(B0)来表示其中各项的大小： (3.1)式可以用典型密度( 式可以用典型密度
ρ v 2 / L， p0 / L， B0 2 /(µL) ，ρ g
0 0 0
现在，如果磁力项具有最大效应，则若满足下式就可得到力平衡： 现在，如果磁力项具有最大效应，则若满足下式就可得到力平衡：
v0
其中vA 称为Alfven速度。 称为Alfven速度 速度。
2002-3-21
2
<<
µρ
B0
2
≡ vA
在特殊情况下， 处处是常数， (3.22)退化为 退化为： 在特殊情况下，若α处处是常数，则(3.22)退化为：
(∇
2
+ α
2
) B = 0
(3.23)
其解就是所谓的“ 其解就是所谓的“常α”或线性无力场。可将解势场问题的方法推广应 或线性无力场。 用来求解上式。（ 。（3.23）是线性方程，于是可以应用叠加原理进行求解。 用来求解上式。（3.23）是线性方程，于是可以应用叠加原理进行求解。 但要注意，两个不同α常数的线性无力场的相加结果不再是线性无力场。 但要注意，两个不同α常数的线性无力场的相加结果不再是线性无力场。 请作为练习，对此加以说明。 请作为练习，对此加以说明。 虽然关于无力场的一般性质所知甚少，仍然有几个基本定理使我们可以了解无力 虽然关于无力场的一般性质所知甚少， 磁场结构的特性。以下介绍无力场的几个性质： 磁场结构的特性。以下介绍无力场的几个性质：
2002-3-21 《等离子体天体物理》课程讲义(2) 6
（c）球坐标系中的分离变量法： 球坐标系中的分离变量法： Laplace方程的解为： 方程的解为 其中P 是连带勒让得（ 无关，则上式简化为： 其中 lm是连带勒让得（Legendre）多项式。若ψ与φ无关，则上式简化为： ）多项式。
其中P 是勒让得（ 其中 l是勒让得（Legendre）多项式。它们可应用于那些具有球几何形状的问题。 ）多项式。它们可应用于那些具有球几何形状的问题。 （c）柱坐标系中的分离变量法： 柱坐标系中的分离变量法： 类似地，柱坐标下的一般解为 类似地，柱坐标下的一般解为:
=0，在边界条件下的解（若存在）可表示为： 原问题：(3.21)或(3.22)及无散条件 及无散条件∇ 原问题：(3.21)或(3.22)及无散条件∇ .B =0，在边界条件下的解（若存在）可表示为：
其中： 其中：
2002-3-21
《等离子体天体物理》课程讲义(2)
9
原问题： 原问题：
等价为BIE： ： 等价为 其中λ满足： 其中λ满足：
则在V内的势场解是唯一的。 则在 内的势场解是唯一的。
定理二：若在体积 的边界面 定理二：若在体积V的边界面 上给定法向磁场分量（Bn) ， 若在体积 的边界面S上给定法向磁场分量（
则具有最小能量的场是势场。 例如，在大的太阳耀斑发生时间，太阳表面的法向磁场变化不大，说明该耀斑 例如，在大的太阳耀斑发生时间，太阳表面的法向磁场变化不大， 的磁能源来自于剪切的无力磁场大于势场的多余能量部分。 的磁能源来自于剪切的无力磁场大于势场的多余能量部分。 作为练习，理解上述两个定理的推导。 作为练习，理解上述两个定理的推导。