高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_2二元一次不等式组与简单的线性规划问题文新人教A版

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2020年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6_2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

跟踪训练某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车
辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求
租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )
A．31 200元
B.36 000元
C．36 800元
D.38 400元
∴kAD＝152－－21＝－23. ∴直线AD的方程为y－2＝－23(x－1)，即2x＋3y－8＝0.
考点二|线性目标函数的最值问题 (方法突破) 方法1 平移目标函数线求目标函数的最值
x－y＋1≥0，【例2】 (2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件 x＋y－3≥0，
x－3≤0，的最小值为________．
组．
用，加强转化与化归和数形结合思想
3．会从实际情境中抽象出一些简单的的应用意识．本节内容在高考中以选
二元一次线性规划问题，并能加以解择、填空题的形式进行考查，难度中
决.
低档.
[基础梳理] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的有关概念
名称
意义
约束条件由变量x，y组成的不等式(组)
[解析] 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性
1.5x＋0.5y≤150， x＋0.3y≤90，约束条件为 5x＋3y≤600， x≥0，x∈N*， y≥0，y∈N*，
作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知取
得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案] 216 000
所表示的平面区域的面积等于

高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.3二元一次不等式组及简单的线性规划问题课件理

3．[2016· 天津高考] 设变量 x，y 满足约束条件
x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≥0， 3x＋2y－9≤0，
则目标函数 z＝2x＋5y 的最小值为
(
) A．－4 B．6 C．10 D．17
解析
由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部
分)．当直线 2x＋5y－z＝0 过点 A(3,0)时，zmin＝2×3＋5×0 ＝6，故选 B.
[双基夯实] 一、疑难辨析判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上方．( × ) 2．任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( × )
3．线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ ) 4．目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距．( × )
触类旁通画平面区域的步骤 (1)画线：画出不等式所对应的方程表示的直线． (2) 定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．常用的特殊点为(0,0)，(± 1,0)，(0， ± 1)．
(3)求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再Байду номын сангаас这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．
4 ． [2016· 全国卷 Ⅲ ] 若
x－y＋1≥0， x－2y≤0， x＋2y－2≤0，
x ， y
满足约束条件
3 2 则 z＝x＋y 的最大值为________ ．

(全国通用)高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.] 4．(2016·某某调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：31222202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.]二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)(2016·某某高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5(2)(2016·某某中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是( )【导学号：31222203】A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.]简单的线性规划问题☞角度1 求线性目标函数的最值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为________．(2)(2017·某某质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________．(1)－5 (2)3 [(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·某某高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·某某七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值X 围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·某某某某质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：31222204】A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.线性规划的实际应用(2016·某某高考)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)12 8C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数求最值． [易错与防X]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－ab x ＋z b的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值．当b <0时，结论与b >0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值X 围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·某某综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·某某适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2 C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4[根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·某某高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·某某第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x－b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值X 围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值X 围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值X 围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值X 围为(－4,2).12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·某某高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理

(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此yx的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率
(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在)。
x－y＋1＝0，
由y＝2，
得 B(1,2)，
∴kOB＝21＝2，即 zmin＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)。
(2)z＝x2＋y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方。因此 x2＋y2 的值最小为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2。由xx－＝0y＋，1＝0，得 A(0,1)， ∴|OA|2＝( 02＋12)2＝1，|OB|2＝( 12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]。【答案】 (1)最大值不存在，最小值 2，取值范围[2，＋∞) (2)最大值 5，最小值无取值范围(1,5]
【母题变式】 1.若 z＝yx－－11，求 z 的取值范围。【解析】 z＝yx－－11可以看作过点 P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率。 ∴z 的取值范围是(－∞，0)。
【答案】 (－∞，0)
• 2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3，求z的最大值、最小值。【解析】 z＝x2＋y2－2x－2y＋3
• 2．当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点。
【变式训练】
(2016·包头模拟)已知约束条件xx≥＋1y－，4≤0， kx－y≤0，
表示
面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为( )
A．1
B．－1
C．0
D．－2
x≥1，【解析】作出不等式组x＋y≤4 对应的平面区域，如图：要使阴影部分为直角三角形，当 k＝0 时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以 k>0，则必有 BC⊥AB，因为 x＋y－4＝0 的斜率为－1，所以直线 kx－y＝0 的斜率为 1，即 k＝1。故选 A。【答案】 A

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

夹在两条斜率
为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( 3 5 A． 5 3 2 C． 2 B． 2 D． 5
)
【解析】 (1)两直线方程分别为 x－2y＋2＝0 与 x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线 x－2y＋2＝0 右下方可知 x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线 x＋y－1＝0 左下方可知示的可行域．
线性目标函数关于 x，y 的______解析式
可行解满足线性约束条件的解______ 可行域所有可行解组成的______ 最优解使目标函数取得________或 ________的可行解
线性规划在线性约束条件下求线性目标问题函数的______或________问题
2.会用求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法 a z 将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ x＋，通过 b b z 求直线的截距的最值间接求出 z 的最值． b z z (1)当 b>0 时，截距取最大值时，z 也取最大值；截距取最 b b 小值时，z 也取最小值； z z (2)当 b<0 时，截距取最大值时，z 取最小值；截距取最小 b b 值时，z 取最大值．
3．(必修⑤P86 练习第 2 题改编)在平面直角坐标系中，不等式 x＋y－2≤0，组x－y＋2≥0， y≥0
表示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的平面区域是三角形( 如图所示)，则该 1 三角形的面积是2×4×2＝4.
答案：4
知识点二
简单的线性规划
1．线性规划中的基本概念名称约束条件线性约束条件意义由变量 x，y 组成的__________ 由 x， y 的______不等式(或方程) 组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数________，如 z＝2x＋3y 等

高考数学一轮复习第6章不等式 6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理

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2．由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．如角度 2 典例．
不等式
表示区域
Ax＋By＋C ＞0 直线一侧的所有点包括边界直线组成的平面区域
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
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2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式
(3)对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标，可先变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将问题化为求可行域内的点 (x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值．
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①当 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方；
②当 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方．
(3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．
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冲关针对训练
x＋y－2≤0， (2015·重庆高考)若不等式组x＋2y－2≥0，
x－y＋2m≥0
表示的
平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为( )
A．－3
B．1

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

二元一次不等式(组)表示的平面区域
x≥0， (1)不等式组x＋3y≥4，所表示的平面区域的面积为
4
3x＋y≤4
___3_____．
x－y≥0， (2)若满足条件x＋y－2≤0，的整点(x，y)恰有 9 个(其中整
y≥a
点是指横、纵坐标都是整数的点)，则整数 a＝___－__1___．
二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法 (1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域； (2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量 x，y 组成的__不___等__式___
线性约由 x，y 的___一__次_____不等式(或方程)组成的
束条件不等式(组)
目标函数关于 x，y 的函数解析式，如 z＝2x＋3y 等
线性目标函数
关于 x，y 的___一__次_____解析式
名称可行解可行域
1．(2018·泰州模拟)若点(－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的上方，
则 t 的取值范围是____23_，__＋__∞_____．
[解析] 因为直线 2x－3y＋6＝0 的上方区域可以用不等式 2x －3y＋6＜0 表示，所以由点(－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的
上方得－4－3t＋6＜0，解得 t＞23.
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax ＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合 Ax＋By＋C＞0，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合___A__x_＋__B_y_＋__C_＜__0_______． (3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C 的____符__号____来判断 Ax＋By＋ C>0(或 Ax＋By＋C<0)所表示的区域． (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的_公__共__部__分___．

2021-2022年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划

2021年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·石家庄模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( )A.6B.7C.8D.23【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5).将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,所以z最小值=7.2.(xx·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A.3B.4C.18D.40【解析】选C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与y轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.z max=0+6×3=18.3.平面区域的面积是( )A. B. C. D.【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,则区域是圆心角为的扇形,故面积是×π×2=.4.(xx·太原模拟)点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m2+n2的取值范围是( )A.[1,4]B.[2,4]C.[1,3]D.[2,3]【解析】选 A.由题意可得:该不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,所以m2+n2=(m-0)2+(n-0)2,表示点(n,m)到原点(0,0)的距离的平方,所以m2+n2∈[1,4].5.(xx·武汉模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B.C.1-D.1-【解析】选C.画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图.△ABC的面积为S1=×3×4=6,S2=π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=1-.【加固训练】1.(xx·南昌模拟)若关于x,y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )A.1B.2C.3D.-1【解析】选C.当a≤0时,显然不合题意;当a>0时,不等式组所围成的区域如图所示.因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.2.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( )A.{-3,0}B.{3,-1}C.{0,1}D.{-3,0,1}【解析】选B.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·日照模拟)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【解析】平面区域A如图所示,所求面积为S=×2×2-××=2-=.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.【解析】如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点O到直线x+y-2=0的垂线段长是|OM|的最小值,所以|OM|min==.答案:【加固训练】设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d==,故最小距离为.答案:8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为元.【解析】设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y,画出可行域如图阴影部分的整点,当目标函数所在直线经过A(7,5)时,利润最大,为4900元.答案:4900(15分钟30分)1.(5分)(xx·郑州模拟)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为( )A.4B.6C.8D.12【解析】选B.由题意知a>0,如图,不等式组对应的平面区域为△OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z 也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6.2.(5分)(xx·郑州模拟)设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为( )A.-3B.-6C.3D.6【解析】选B.可行域如图:由得A(k,k),目标函数z=x+y在x=k,y=k时取最大值,即直线z=x+y在y轴上的截距z最大,此时12=k+k,故k=6,所以得B(-12,6),目标函数z=x+y在x=-12,y=6时取最小值,此时,z的最小值为z=-12+6=-6,故选B.3.(5分)(xx·通化模拟)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.【解析】因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,所以作出可行域,如图,由题意可知的最小值是,即===,解得a=1.答案:14.(15分)铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表.a b(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,求购买铁矿石的最少费用为多少百万元?【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,总费用为z百万元.根据题意,得整理,得线性目标函数为z=3x+6y,画出可行域如图中阴影部分所示.当x=1,y=2时,z取得最小值.所以z min=3×1+6×2=15(百万元).故购买铁矿石的最少费用为15百万元.【加固训练】变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.故z的取值范围是[2,29].(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max ==8.故z的取值范围是[16,64].实用文档。

(文)大一轮复习课件第六章不等式、推理与证明第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y 辆，租金为z，则线性约束条件为
x＋y≤21， y－x≤7， 36x＋60y≥900， x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x
＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．答案：C
[演练冲关]
x－y＋2≥0， 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足x＋y－4≥0，
4x－y－4≤0.
则z＝
3x－y的取值范围为
()
A．0，152 C．2，152
B．[0,2] D．2，83
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域 (阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B85，152(该点是直线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3× 85 － 152 ＝ 152 ，因此 z的取值范围是0，152，选A．答案：A
2．(易错题)若满足条件 xx＋－yy－≥20≤，0， y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )
A．－3
B．－2
C．－1
解析：不等式组所表示的平面区域如图中
D．0
阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，
数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值时，要注

高三数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件.ppt

求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为( )
A．31 200 元 B．36 000 元
C．36 800 元 D．38 400 元
x＋y≤21， 36x＋60y≥900，解析：设需 A，B 型车分别为 x，y 辆(x，y∈N)，则 x，y 需满足y－x≤7， x∈N，y∈N，
A．4 650 元 B．4 700 元 C．4 900 元 D．5 000 元
2x＋x＋y≤y≤1129，，解析：设当天派用甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，由题意得10x＋6y≥72，
0≤x≤8，x∈N 0≤y≤7，y∈N。
设每天的利润为 z 元，则 z＝450x＋350y。
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画出可行域如图阴影部分所示。
□ (4)可行解：满足 4 ___线__性__约__束__条__件_____的解(x，y)。 □ 可行解
(5)可行域：所有 5 __________的集合。
□ (6)最优解：使 6 目__标__函__数__取得最大值或最小值的可行解。
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3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)作出目标函数的等值线；
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(2)由题意作出xx＋≥1y≤，3 所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2x＋y＝1，因为直线 2x＋y＝1 与直线 x＝1 的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线 y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得 a＝12，所以 a＝12。答案：(1)D (2)B
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►名师点拨线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求线性目标函数的最值。线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。 (2)由目标函数的最值求参数。求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。