2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届辽宁省大连市高考一模数学试题(含答案)
注意事项：2021年大连市高三第一次模拟考试数学1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。
2.本试卷分第｜卷〈选择题）和第川卷（非选择题〉两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l己知集合A ={x jx 2 -4x <o}, B = {x ii x I ＜斗则AU E =A .(0,2)B .(-2,4)c.（叫2)U(4，叫D .（叫－2)U (O ,+oo)/,l 2.己知复数z ＝乒－：( i为虚数单位〉，则lzl=l +l A. 1 B . "2 C . 2 D. 2"23.己知两条不重合的直线m 、刀和平面α，则ml/n 的一个充分不必要条件是A.m CZ.α，n cαB .m II α，n/1αC.mJ_α，n J_α D.ml!α，n cα4.娟的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，；脑就越大．它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．，在数学中，利用烟：可以解决如下问题：有.n 个互不相等的数，需要比较「(log 2n!) l 次C n ！表示n 的阶乘：「斗表示的是向上取整函数，如「2.11=.3）就可以将这些数从小到大排序现有6个互不相等的数，将这－些数从小到大排序，需要比较的次数为A . 8 : B. �， ..‘二C .l O·< ·: D. jJ 5若双曲线C ：三－l =l 的右焦点到它的一条渐近线的距离是·�Ji ，则c 的离心率为9 bL. 血’A A.2B.JiC.i D .」主3 3 6.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液：“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、直肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则P (B I A )=A._!_B.三C.l D . i 10 5 4第1页2021年大连市高三第一次模拟考试数学参考答案一、 选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.B二、 选择题9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD三、 填空题13.10 14. 3 15. [12,24]四、 解答题17.解：（Ⅰ）选用测角仪和米尺，如图所示2分(1) 选择一条水平基线HG (图1)，使H ，G ，B 三点在同一条直线上4分 (2)在H ，G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α，β，CD a =，测得测角仪器的高是h6分 (3)经计算得建筑物sin sin sin()a AB h αβαβ=+− (也可以为tan tan tan tan a h αβαβ+−)8分 （Ⅱ）（1）测量工具问题（2）两次测量时位置的间距差（3）用身高代替测角仪的高度10分 注：如果有其它的合理测量方法，相应给分；第二问中，写出以上三种原因中之一即可.18. （Ⅰ）证明：在三棱台ABC DEF −中，DE AB ∥，因为BE AD =所以四边形ABED 为等腰梯形因为1BE DE ==，2AB = 所以可得3ABE π∠=2分第18题图第2页在ABE中，由余弦定理可得AE =222BE AE AB +=所以AE BE ⊥4分 因为平面ABED ⊥平面BCFE 且平面ABED 平面BCFE BE =，AE ⊂平面ABED所以AE ⊥平面BEFC6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知AE ⊥平面BEFC ，因为BC ⊂平面BCFE 所以AE BC ⊥，又BA BC ⊥，且AE ，BC ⊂平面ABEDBC ⊥平面ABED ，又BC ⊂平面ABC所以平面ABC ⊥平面ABED在平面ABED 内过B 作BH ⊥BA则BH ⊥平面ABC8分 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BH 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系由题意可得(0,2,0)A，1(0,2E ，(000)B ，，，(3,0,0)C，3(0,2D 因为13(,0,0)22EF BC == 所以31(,22F 所以3(,1,0)2DF =−，333(,,)222AF =−， 设平面AEF 一个法向量为n 000(,,)=x y z 则00003023330222EF x AF x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=−+=⎪⎩nn ，所以00000330x x y =⎧⎪⎨−=⎪⎩ 取01y =，则得0z =所以n= 10分 设直线DF 与平面AEF 成角为θ则sin |cos ,|||||DF DF DF θ⋅=<>=⋅nn n== 直线DF 与平面AEF . 12分 法二：由(1)可知BC ⊥平面ABEDy第3页因为EF BC ∥，所以EF ⊥平面ABED又EF ⊂平面AEF所以平面AEF ⊥平面ABED过D 作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF又平面AEF 平面ABED AE =所以DG ⊥平面AEF所以DF 在平面AEF 内的射影为GF所以DFG ∠为直线DF 与平面AEF 所成的角10分 在ADE 中，1sin 302DG DE =⨯=，又12FD AC ==在RtDGF中，1sin 13DG DFG DF ∠=== 直线DF 与平面AEF. 12分19. 证明：（Ⅰ）因为24(1)n n S a =+①，所以当2n 时，有2114(1)n n S a −−=+② 所以①−②，得221(1)(1)n n a a −−=+2分 所以有12n n a a −−=或10n n a a −+=又因为{}n a 是正项数列所以12n n a a −−=所以数列{}n a 是公差为2的等差数列4分又因为1n =时，有2114(1)a a =+，解得11a =所以21n a n =−6分 （Ⅱ）法一： 由（Ⅰ）可得2(121)2n n n S n +−==7分 所以21n b n = 所以222111123n T n=++++ 当1n =时，161136T =<，当2n =时，2156114436T =+=<， 当3n =时，31149611493636T =++=<9分当4n 时，因为21111(2)(1)1n n n n n n <=−−−第18题图第4页所以1111111114934451n T n n <+++−+−++−−611613636n =−< 综上对任意*n N ∈，有6136n T <12分 法二：由（Ⅰ）可得2(121)2n n n Sn +−== 7分 所以21n b n = 所以222111123n T n=++++ 当1n =时，161136T=<，当2n =时，2156114436T =+=<， 9分 当3n 时，因为2211111()(2)1211n n n n n <=−−−+ 所以111111115111111()()4224351142231n T n n n n <++−+−++−=++−−−++5111561()321336n n =−+<<+ 综上对任意*n N ∈，有6136n T < 12分20.解（Ⅰ）①设甲向前跳的步数为Y ，乙向前跳的步数为Z 所以1(2)(2)4p Y p Z ==== 1(3)(3)2p Y p Z ====1(4)(4)4p Y p Z ====所以111115()()2442416p Y Z >=⨯+⨯+= 3分 ②由①知X 的所有可能取值为4,5,6,7,8所以1(4)16p X ==,1(5)4p X ==,3(6)8p X ==,1(7)4p X ==,1(8)16p X == 所以X 的分布列为5分第5页所以X 的数学期望11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=6分 （Ⅱ）法一由题知1213,24p p == 当3n ≥时，121122n n n p p p −−=+8分 211223211111()()()()()2422n n n n n n n n p p p p p p p p −−−−−−−=−−=−==−−=− 所以11()2n n n p p −=+− 1132211111()()()()()22222n n n n n p p −−−=+−+−==+−+−++− 所以112()323n n p =−+（3n ≥） 因为1213,24p p ==所以112()323n n p =−+ 11分 当n 为奇数时23n p <，当n 为偶数时23n p >且数列{}n p 为递减数列 所以n p 的最大值为234p = 12分 法二 由题知1213,24p p ==当3n ≥时，121122n n n p p p −−=+ 8分 1121()2n n n n p p p p −−−−=−−，所以11212n n n n p p p p −−−−=−− 所以1{}n n p p −−是首项为14，公比为12−的等比数列 所以11()2n n n p p −−=−， 所以112211()()()n n n n n p p p p p p p p −−−=−+−++−+121111()()()2222n n −=−+−++−+111[1()]111242()123231()2n n −−−=+=−+−−11分 当n 为奇数时23n p <，当n 为偶数时23n p >且数列{}n p 为递减数列 所以n p 的最大值为234p =12分21解：（Ⅰ）方法一：设半焦距为c ，因为221PF F F ⊥，所以1c =所以1(1,0)F −，2(1,0)F 所以1253||||422PF PF +=+=2分 所以24a =，2a =所以2223b a c =−=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=4分方法二：设半焦距为c ，因为221PF F F ⊥，所以1c = 由题意得222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，2分 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.4分 解（Ⅱ）方法一：设直线:(1)l y k x =−，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)Q x y 由题知(2,0),(2,0)A B −联立22(1)3412y k x x y =−⎧⎨+=⎩，消y 整理得2222(34)84120k x k x k +−+−= 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩6分由,,A M Q 三点共线可得010122y y x x =++ 由,,B N Q 三点共线可得020222y y x x =−− 所以222012222021(2)(2)(2)(2)x y x x y x −−=++ 因为2222112233(4),(4)44y x y x =−=− 所以2012121220121212(2)(2)(2)42()(2)(2)(2)42()x x x x x x x x x x x x x x −−−−++==++++++9分 所以222220222022164124(2)1343416412(2)943434k k x k k k k x k k −−+−++==−+++++由题可知02x > 所以002123x x −=+解得04x =11分 所以点Q 在直线4x =上12分 方法二：设直线:1l x ty =+，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)Q x y由题知(2,0),(2,0)A B −联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消x 整理得22(34)690t y ty ++−= 所以122122634934ty y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩6分 所以有12123()2y y y y t =+由,,A M Q 三点共线可得010122y yx x =++由,,B N Q 三点共线可得020222y y x x =−−8分 所以01212121021211222(2)(1)2(2)(3)3x y x y ty ty y y x y x y ty ty y y −−−−===++++因为12123()2y y y y t=+ 所以121001223()212323()32y y y x x y y y +−−==+++10分 解得04x =11分 所以点Q 在直线4x =上12分 22.（Ⅰ）解：因为()ln f x x x ax a =−+(0)x >所以()ln 1f x x a '=+−由()0f x '>得1a x e −>由()0f x '<得10a x e −<<所以()f x 的单调递减区间为1(0,)a e−，单调递增区间为1(,)a e −+∞2分 所以函数()f x 有极小值点1a x e −=，无极大值点4分 （Ⅱ）证法一：证明：由（1）可知当1a =时，()0f x所以ln 1x x x −，当且仅当1x =时取等号5分 又因为1111(1)(1)1x x x x x e x e e −−−−−−−−= 当01x <<时110,10x x e −−<−<，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 当1x =时，11(1)(1)0x x x e e−−−−= 当1x >时，110,10x x e −−>−>，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 所以0x >时111x x x e−−−，当且仅当1x =时取等号 所以11ln x x x x e −−成立，当且仅当1x =时取等号7分令()()h x g x x =−，则1()ln x x m h x x x e −+'=− 因为1m − 所以111e e x x x x m −−−+ 所以()0h x ' 因为函数()h x 在(0,)+∞的任意子区间内不恒为零 所以()h x 在(0,)+∞为增函数10分不妨设120x x >>则12()()h x h x >所以1122()()g x x g x x −>− 所以1212()()1g x g x x x −>−12分 证法二：证明:不妨设120x x >> 若证1212()()1g x g x x x −>−成立 只需证1122()()g x x g x x −>−成立令()()h x g x x =−即证12()()h x h x >5分 只需证()h x 在(0,)+∞为增函数因为函数()h x 在(0,)+∞的任意子区间内不恒为零所以只需证()0h x ' 由题有1()ln x x m h x x x e−+'=− 即证1ln x x m x x e−+7分 因为1m −只需证11ln x x x x e−−8分 由（1）可知当1a =时，()0f x所以ln 1x x x −，当且仅当1x =时取等号10分 又因为1111(1)(1)1x x x x x e x e e−−−−−−−−= 当01x <<时110,10x x e −−<−<，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 当1x =时，11(1)(1)0x x x e e−−−−= 当1x >时，110,10x x e −−>−>，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 所以0x >时111x x x e−−−，当且仅当1x =时取等号 所以11ln x x x x e −−成立，当且仅当1x =时取等号 所以1212()()1g x g x x x −>−成立.12分2021年高三第一次模拟考试数学试题注意事项：］.答卷前，考生务必将自己的的：名、准考证号填写；（E答屈卡上。
江西省南昌市2021届高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)
NCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学2021.3本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2. 作答选择题时.选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应逸目的答案信息涂朋：如 需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3. 非选择题必须用黑色水笔作答，答宰必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改 动，先划掉原来答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试港和答题卡一并交回.一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.I. 2.3.己知集合 J = {x| x 2-2x > 0}, B = {y |y = sinx}» 则（：力小〃= A. [-1,0] B. [-1,1]复数z 满足zi = 2 + 3i,则|z|= A. B. VTo 已知椭饲3* +4y2 = 12的左顶点为A , A. y/3C. [0,2] D [0,1] B. 2 C. V13上顶点为则\AB\= D. 3^2 C. 44.如图，E,F,G,H 分别是菱形ABCD 的辺月3,〃C,CD,D4上的点，K BE = 2AE ,DH = 2HA t CF = 2FB,CG = 2GD ，现将MBD 沿8D 折起，得到空间四边形ABCD ・在折起过程中.下列说法正确的是A. 11线EF,HG £可能平行B. 直线—定异面C. 直线—定相交，II 交点一定在直线/C 上D. 直线—定相交，但交点不一定在直线AC±5. AABC 中，角A,B,C 所对的边分别为・满足a = 2x/3 , B = 45°, C = 75°,贝忆= A. 2 B. >/6 • c. 2V26.如图，将框图输出的y 看成输入的x 的函数.得到函数y = /(x), Mv= /(x)的图象A.关于直线X = 1対称B.关于直线X = -l 对称C.关于y 轴对称D.关于点(0,0)对称 /输"/ F<d2>a i7. 已知直线/的方程是2.v +y + 7n = 0,则“原点。
唐山市2021届高三下学期第三次模拟演练数学试题
2021年河北省唐山市高考数学第三次模拟演练试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．已知i是虚数单位，a∈R，若复数为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．3．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣1，﹣2），则sin2α+sin2α＝（）A．B．C．D．4．已知log212＝m，则log312＝（）A．B．C．D．5．已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．3B．6C．9D．186．（1+ax）10（其中a≠0）的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中x2的系数为（）A．﹣45B．45C．﹣180D．1807．赤道式日晷（guǐ）是利用日影变化规律制成的天文记时仪器（图1），“日”指“太阳”，“晷”表示“影子”，“日晷”的意思为“太阳的影子”．晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度（图2）是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间．晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，则图2表示的时间大约是几点钟？若再过31个小时大约是哪个时辰？（）A．4点，戌时B．5点，亥时C．9点，申时D．10点，酉时8．已知函数f（x）＝，则不等式f（x）+f（x2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．已知函数f（x）＝x+（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（）A．ab＝1B．a2+b2＞2C．+≥2D．log a b＜log b a10．下列说法正确的是（）A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C．已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝D．若随机变量η～N（2，σ2），且δ＝3η+1，则P（η＜2）＝0.5，E（δ）＝6 11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（）A．AC与EF所成的角为45°B．EF⊥BCC．过EF且与BD平行的平面截四面体A﹣BCD所得截面的面积为D．四面体A﹣BCD的外接球的表面积为8π12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线Γ：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P（，1）射入，经过Γ上的点A（x1，y1）反射后，再经Γ上另一点B（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则（）A．y1y2＝﹣1B．|AB|＝C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝﹣于点C，则C，B，Q三点共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三高考模拟考试数学(理)试题
{}{}1|,02|2-==<-=x y x N x x x M 冠县武训高中xx 届高三高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：，其中c 是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式V=, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4π,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .如果事件互斥，那么.2021年高三高考模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知实数集R ， ， 则（ ）A ．B ．C ．D ．2．i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．2D ．—23．设随机变量服从正态分布，若，则的值为A ．B ．C ．5D ．34．已知函数，则的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．5．设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是 （ ）A ．若，，则B ．若，，,则C ．若，，,则D ．若，，则6．若把函数的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A．B．C．D．7．如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为（）A．B．C．D．8．的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．9．已知数列满足且，则的值是（）A．B．C．5D．10．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积（）A．3 B．C．D．411．已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．已知分别是函数的两个极值点，且,,则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）13．关于的二项式展开式中的常数项是。
四川内江市2021届高三数学(理)上学期高考一模试卷附答案解析
数 学 (理科 )
1。 本试卷 包括 第 I卷 (选 择题 )和 第 Ⅱ卷 (非 选择题 )两 部分 ,共 4页 。全卷满分 150分 , 考试时间 120分钟。
2.答 第 I卷 时,用 2B铅 笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如 需改动 ,用 橡皮擦 干 净后 ,再 选涂其它答案标号;答 第 Ⅱ卷时,用 0.5毫 米的黑色签字笔在答题卡规定的区域 内作
１９ ３０
１ ３
１ ３０
分 １２
解：（） （） 分 １８．
１ ｆ′ ｘ
＝
ａ ｘ
－ ２ｂｘ
２
∵
函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝
１
处与直线ｙ ＝
－
１ ２
相切，
（） ｆ′ １ ＝ ０
，即 ， 分 ∴
{ （） { ｆ １
）∞ ．
（） ， ｆ′ ｘ ＝ １ － ｘ ＝ １ － ｘ２
ｘ
ｘ
令（） ，得 ，令（） ，得 分 ｆ′ ｘ ＞ ０ ０ ＜ ｘ ＜ １ ｆ′ ｘ ＜ ０ ｘ ＞ １． ８
∴ ｆ（ｘ）在（１ｅ ，１）上单调递增，在（１，ｅ）上单调递减， １０ 分
∴
D。 -7,3j
3.已 知随机变量 X服 从正态分布 Ⅳ(G,4),且 P(X>1)〓 0.5,P(X>2)=0。 3,则
P(X<0)=
A。 0.2
B。 0.3
C。 0.7
D。 0.8
4.为 了解户籍性别对生育二胎选择倾 向的影响,某 地从育龄人群 中随机抽取 了容量为 1∞ 的调查样本 ,其 中城镇户籍与农村户籍各 sO人 ;男 性 ω 人 ,女 性 们 人 ,绘制不同群体中倾 向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数 比例图(如 图所示 ),其 中阴影部分表示倾 向选
2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。
y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。
已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。
安徽省黄山市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：计算题．【分析】：复数的在与分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，通过对应的点位于其次象限在其次象限，求出a的范围，即可推断它与a＜﹣1的充要条件关系．【解析】：解：复数==，由于复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限，所以，解得a，所以“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的必要而不充分条件．故选B．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查充要条件的应用，考查计算力量．2．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程；抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先依据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，依据离心率进而求得长半轴，最终依据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解析】：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D 【点评】：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础学问的综合运用．3．（5分）已知是其次象限角，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sinα，由商的关系求出tanα，利用两角和的正切函数求出的值．【解析】：解：由得，，由于α是其次象限角，所以sinα==，则=，所以====，故选：A．【点评】：本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，留意三角函数值的符号，属于中档题．4．（5分）已知向量与的夹角为若，则实数m=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：平面对量数量积的运算．【专题】：平面对量及应用．【分析】：求出=3×=3，化简开放（3）•（m）=0，代入||=3，||=2，即可得出42m=87，求出m即可．【解析】：解：∵向量与的夹角为，||=3，||=2，∴=3×=3，∵=3，=m ，⊥，∴（3）•（m）=0即3m||2+（5m﹣9）﹣15||2=0，42m=87m=．故选：A【点评】：本题考查了平面对量的运算，娴熟运用公式，计算精确，难度不大，关键是依据数量积运算，结合运算法则，运用好向量运算的特殊性．5．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【分析】：依据题意，易得区域Ω的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案．【解析】：解：依据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx=x4|0a =a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D．【点评】：本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积．6．（5分）下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：概率与统计；简易规律．【分析】：①这样的抽样是系统抽样，即可推断正误；②利用方差的计算公式及其性质，即可推断正误；③利用正态分布的对称性可得：P（﹣l＜ξ＜0）=，即可推断正误；④利用斜率的意义，即可推断正误．【解析】：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）==﹣p，正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．【点评】：本题考查了概率统计的有关学问、简易规律的判定方法，考查了推理力量，属于中档题．7．（5分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l 的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A．+1 B．3﹣1 C．﹣1 D．3﹣2【考点】：参数方程化成一般方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：将ρ=2cosθ转化为一般方程，将直线l的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值．【解析】：解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2=2x，即x2+y2﹣2x=0，则曲线C是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，由得，x﹣y+5=0，所以直线l的直角坐标方程是x﹣y+5=0，则圆心（2，0）到直线l的距离d==＞1，由于M，N分别为曲线C与直线l上的动点，所以|MN|的最小值为﹣1，故选：B．【点评】：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，考查运算求解力量，化归与转化思想，属于中档题．8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四周体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四周体的正视图的面积不行能为（）A．B．C．D．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四周体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．【解析】：解：一个四周体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四周体，其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，∴不行能为，故选：D．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等学问，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象力量、推理论证力量和运算求解力量，是中档题．9．（5分）某人设计一项单人玩耍，规章如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，假如掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，始终循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的全部不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【考点】：排列、组合的实际应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，得到结果．【解析】：解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．依据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的挨次则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有肯定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：根的存在性及根的个数推断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：由题意可推断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log a（x+1），画出f （x）与g（x）在时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a ＜，故选A．【点评】：本题考查了数形结合的思想，同时考查了同学的作图力量与转化力量，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上）11．（5分）已知（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N，n＞4）若2a2+a n一3=0，则n=8．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，可得a n=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，由此可解得自然数n的值．【解析】：解：由题意得，该二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，∴其系数a n=（﹣1）r•，∵2a2+a n﹣3=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，∴2×﹣=0，∴n﹣2=6．∴n=8．故答案为：8【点评】：本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项开放式的通项公式得到系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．12．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】：简洁线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解析】：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．【点评】：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．（5分）某调查机构对本市学校生课业负担状况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名学校生参与了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率是0.32．【考点】：循环结构；分布的意义和作用．【专题】：图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的同学的人数．由输出结果为680则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数为1000﹣680=320故平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率P==0.32故答案为：0.32【点评】：本题考查的学问点是程序框图和分层抽样，依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．14．（5分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，则的取值范围是．【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N *，若数列{a n}是单调递增数列，可得，解得2≤a ＜3．=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，利用导数争辩其单调性即可得出．【解析】：解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n ∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，∴，解得2≤a ＜3．∴=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，f′（t）=1﹣=＞0，∴f（t）在t∈[3，4）单调递增；∴f（3）≤f（t）＜f（4），可得．∴的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了数列的函数性质、利用导数争辩函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．（5分）已知集合A={a1，a2，…，a n}中的元素都是正整数，且a l＜a2＜…＜a n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥．给出下列命题：①集合{1，2，3，4}不具有性质P；②；③不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立；④A中最多可以有10个元素．其中正确命题的序号是②③（将全部正确命题的序号都填上）【考点】：命题的真假推断与应用；元素与集合关系的推断．【专题】：压轴题．【分析】：①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，代入即可推断；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．由此能够证明；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，由a i≥i即可得推断；④由③，结合不等式可推导出n≤9．【解析】：解：①由于|1﹣2|，|1﹣3|，|1﹣4|，|2﹣3|，|2﹣4|，|3﹣4|，∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i ≥（i=1，2，n﹣1）．所以（i=1，2，n﹣1）；所以++…+，即，故正确；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，可知，又a i≥i ，可得，所以不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立，故正确；④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，从而n＜10，而又当n≤9时，i（n﹣i）≤=＜25，所以n≤9，故不正确；故答案为：②③．【点评】：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，留意公式的合理运用，合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内．）16．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】：余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解析】：解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx ﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x ﹣）∴f（A）=sin（2A ﹣）∵＜A ＜，∴0＜2A ﹣＜∴0＜sin（2A ﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查同学的计算力量，属于中档题．17．（12分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C l中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1C=CA=AB=a，AA1=a，AB⊥AC，D为AA1的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A l（Ⅱ）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；（Ⅱ）以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则平面A1C1A的一个法向量与平面EA1C1的一个法向量的夹角的余弦值的确定值为，计算即可．【解析】：（Ⅰ）证明：侧面A1ACC1⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A1ACC1∩底面ABC=AC，∴AB⊥平面A1ACC1，又CD⊂平面A1ACC1，∴CD⊥AB，又∵AC=A1C，D为AA1的中点，∴CD⊥AA1，∴CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：已知A1C⊥平面ABC，如图所示，以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），设=λ（0≤λ≤1），则点E的坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．由题意得平面A1C1A 的一个法向量为=（0，1，0），设平面EA1C1的一个法向量为=（x，y，z），=（﹣a，0，0），=（（1﹣λ）a，a，（λ﹣1）a），由，得，令y=1，则有=（0，1，），∴==，解得λ=1﹣，∴当=（1﹣）时，二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【点评】：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象力量，留意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）深圳市某校中同学篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求其次次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【分析】：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B．而大事A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．【解析】：解：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2）．由于集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B，而大事A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．19．（12分）己知椭圆的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC 的中点，求的值．【考点】：椭圆的简洁性质；平面对量数量积的运算．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再依据=及a、c与b之间的关系，易得a2=4，从而可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则点P满足椭圆方程，依据题意，易得M （，y0）、N （，﹣1），计算即可•【解析】：解：（Ⅰ）∵且点B在直线l：y=一1上，∴b=1，又∵=，a2﹣c2=b2=1∴a2=4，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且，∵M为线段PQ的中点，∴M （，y0），∵A（0，1），∴直线AM 的方程为：，令y=﹣1，得C （，﹣1），∵B（0，﹣1），N为线段BC的中点，∴N （，﹣1），∵=（﹣，y0+1），=（，y0），∴=（﹣）+y0（y0+1）==﹣+y0=1﹣（1+y0）+y0=0•【点评】：本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，留意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣p（x﹣1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2﹣x﹣1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．【考点】：利用导数争辩函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g （1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数，再分别参数p，问题转化为求函数的最小值．【解析】：解：（1）当p=1时，f（x）=ln x﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1，令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2﹣x﹣1）=xlnx+p（x2﹣1），则xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数即可，又由于g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，即p在x≥1时恒成立，由于时，x=1，得当x=1时，取最小值﹣，∴p≤﹣．【点评】：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有肯定的综合性．21．（14分）己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n =是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出全部的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令c n =，记数列{c n}的前n项和为S n，其中n∈N*，求S n的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，由于各项均为正数的数列{a n}，可得a n+1=2a n，再利用a2+a4=2a3+4，及等比数列的通项公式即可得出．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n 成等比数列，则，化为=，由＞0，解出m的范围，再依据正整数m，n（1＜m＜n）即可得出．（III）c n ==，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解析】：解：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵各项均为正数的数列{a n}，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a2+a4=2a3+4，∴=+4，解得a1=2．∴．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列，则，化为=，由＞0，解得，又正整数m，n（1＜m＜n），∴m=2，此时n=12．因此当且仅当m=2，n=12时，使得b1，b m，b n成等比数列．（III）c n ====，∴S n =++…+=+=，∵数列即单调递减，∴0＜≤=．∴≤＜．∴S n 的取值范围是．【点评】：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
2021年全国高考数学模拟试卷(三)(5月份)
2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|9﹣x2＞0}，B＝{x|0＜x﹣1≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，4]B．[3，4]C．[﹣3，3）D．（3，4]2．（5分）若复数z满足z﹣iz＝3i+4，则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知点P（，），O为坐标原点，线段OP原点O时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S99＝（）A．7B．8C．9D．105．（5分）命题“∀x＞2，x2+2＞6”的否定（）A．∃x≥2，x2+2＞6B．∃x≤2，x2+2≤6C．∃x≤2，x2+2＞6D．∃x＞2，x2+2≤66．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．7．（5分）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF是等边三角形，EF∥AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（）A．B．C．D．8．（5分）若不等式lnx≤ax+b恒成立，则2a+b的最小值为（）A．2B．3C．ln2D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）下列说法正确的是（）A．若，，为平面向量，∥，∥，则∥B．若，，为平面向量，⊥，⊥，则∥C．若||＝1，||＝2，（）⊥，则在方向上的投影为﹣D．在△ABC中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为11．（5分）在（x2+x+1）3（x2+）2的展开式中，下列说法正确的是（）A．x4的系数为16B．各项系数和为108C．无x5项D．x2的系数为812．（5分）若函数f（x）＝，g（x）＝xf（x），则下列说法正确的是（）A．f（x）为周期函数，无最小正周期B．g（x）为单调函数C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g2（x2）＝g（x1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学试题(一)(word版,含官方答案)
★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={x|-7<3x-1<2},N={x|x+1>0},则M ∪N=A.(-2,+∞)B. (-1,1)C.(-∞,1)D.(-1,+∞) 2.若复数z 满足（z-1)(1+i)=2-2i,则｜z|=3.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则f(2e)= A. 2e 2 B. 2e C. 1+ln2 D. 21n 24.函数f(x)=cos 2x+6cos(2π-x)(x ∈[0, 2π])的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.75.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列｛log 2a n }的前10项和等于 A. 1023 B.55 C.45 D.356.已知a,b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是A. ab 的最小值是1B.ab 的最大值是1C. 11a b +的最小值是92D. 11a b +的最大值是927.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V≈2136L h .用该术可求得圆率π的近似值。
陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。
安徽省黄山市2021届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足方程Z2+2=0，则z=（）A．±i B．± C．﹣i D．﹣2．函数f（x）=lgx ﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，10）3．“tanx=”是“x=2kπ+（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（）A． B． C． D．5．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ36．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A． B． C． D．7．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图是如图2所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（）A． a B． a C． a D． a8．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2021=（）A． B． C． D．9．己知函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2] B．（﹣2，0）∪（﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（0，+∞）10．由无理数引发的数学危机始终连续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求动身，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试推断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不行能成立的是（）A． M没有最大元素，N有一个最小元素B． M没有最大元素，N也没有最小元素C． M有一个最大元素，N有一个最小元素D． M有一个最大元素，N没有最小元素三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置上）11．在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为．12．已知两点A（1，0），B（l，1），O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC=135°，设=+λ（λ∈R），则λ的值为．13．已知x＞0，y＞0，且2y+x﹣xy=0，若x+2y﹣m＞0恒成立，则实数m 的取值范围是．14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为．15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y l），Q（x2，y2）之间的“直角距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有以下命题：①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）=|x1﹣x2|；②已知两点P（2，3），Q（sin2α，cos2α），则d（P，Q）为定值；③原点O到直线x﹣y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P，Q）；其中为真命题的是（写出全部真命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16．己知=（sin（θ﹣），﹣1），=（﹣1，3）其中θ∈（0，），且∥．（1）求sinθ的值；（2）已知△ABC 中，∠A=θ，BC=2+1，求边AC的最大值．17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点（1）求证：QP⊥AC；（2）当二面角Q﹣AC﹣P的大小为120°时，求QB的长．18．甲、乙两人参与某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于o分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．19．已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值：（2）若对任意n∈N*，都有a n+2n2≥0成立，求a1的取值范围．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣1n x．（1）若f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：对任意的x∈N*，＜e（其中e为自然对数的底，e≈2.71828）．2021年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足方程Z2+2=0，则z=（）A．±i B．± C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足方程Z2+2=0，可得a2﹣b2+2+2abi=0，利用复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足方程Z2+2=0，∴（a+bi）2+2=0，∴a2﹣b2+2+2abi=0，∴，解得，∴z=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．2．函数f（x）=lgx ﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，10）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的连续性及f（2）=lg2﹣=lg2﹣lg＜0，f（3）=lg3﹣lg＞0；从而推断．解答：解：函数f（x）=lgx ﹣在定义域上连续，f（2）=lg2﹣=lg2﹣lg＜0，f（3）=lg3﹣lg＞0；故f（2）f（3）＜0；从而可知，函数f（x）=lgx ﹣的零点所在的区间是（2，3）；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3．“tanx=”是“x=2kπ+（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：三角函数的求值；简易规律．分析：依据三角函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：若tanx=，则x=kπ+，k∈Z，则“tanx=”是“x=2kπ+（k∈Z）”成立的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，比较基础．4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，其中4条长度为1，4条长度为，两条长度为，满足这2个点之间的距离不小于该正方形边长的有4+2=6条，∴所求概率为P==．故选：A点评：本题考查概率的计算，列举出满足条件的基本大事是关键．5．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：数形结合．分析：正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比其次和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．解答：解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比其次和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到其次个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和外形的影响，是一个基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A． B． C． D．考点：双曲线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由及c2=a2+b2，得的取值范围，设一条渐近线与实轴所成的角为θ，可由tanθ=及0＜θ＜探求θ的取值范围．解答：解：∵e，∴2≤≤4，又∵c2=a2+b2，∴2≤≤4，即1≤≤3，得1≤≤．由题意知，为双曲线的一条渐近线的方程，设此渐近线与实轴所成的角为θ，则，即1≤tan θ≤．∵0＜θ＜，∴≤θ≤，即θ的取值范围是．故答案为：C．点评：本题考查了双曲线的离心率及正切函数的图象与性质等，关键是通过c2=a2+b2将离心率的范围转化为渐近线的斜率的范围．7．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图是如图2所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（）A． a B． a C． a D． a考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：可先由俯视图的特征推断出M，Q的位置，再求点到平面MNQ的距离即可．解答：解：∵点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD﹣A1 B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上运动，∴当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图是如图2所示的等腰三角形时，M与D重合，Q与E重合，N在线段AG上，此时点P到平面MNQ的距离等于点P到侧面AA1D1D的距离，∴点P到平面MNQ的距离等于正方体的棱长a．故选：D．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．8．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2021=（）A． B． C． D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论．解答：解：由递推数列可得，a1=，a2=2a1﹣1=2×﹣1=，a3=2a2=2×=，a4=2a3=2×=，a5=2a4﹣1=2×﹣1=，…∴a5=a1，即a n+4=a n，则数列{a n}是周期为4的周期数列，则a2021=a503×4+3=a3=，故选：B点评：本题主要考查递推数列的应用，依据递推关系得到数列{a n}是周期为4的周期数列是解决本题的关键．9．己知函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2] B．（﹣2，0）∪（﹣2，2] C．（﹣2，2] D．（0，+∞）考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不论t为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对t分类争辩，即t=0、t=2、t＞2，t＜﹣2 争辩f（x）与g（x）的值的正负，排解即可得出答案．解答：解：函数f（x）=tx，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．△=16﹣4×（2﹣t）×1=8+4t，①当t=0时，f（x）=0，△＞0，g（x）有正有负，不符合题意，故排解C．②当t=2时，f（x）=2x，g（x）=﹣4x+1，符合题意，③当t＞2时，g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l．f（x）=tx，当x取﹣∞时，f（x0）与g（x0）都为负值，不符合题意，故排解D④当t＜﹣2时，△＜0，∴g（x）=（2﹣t）x2﹣4x+l＞0恒成立，符合题意，故B不正确，故选：A点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类争辩思想，排解转化思想，是中档题．10．由无理数引发的数学危机始终连续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求动身，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试推断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不行能成立的是（）A． M没有最大元素，N有一个最小元素B． M没有最大元素，N也没有最小元素C． M有一个最大元素，N有一个最小元素D． M有一个最大元素，N没有最小元素考点：集合的表示法．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题推断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x ＜}，N={x∈Q|x ≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不行能，故C不正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；故选C．点评：本题考查了同学对新定义的接受与应用力量，属于基础题．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置上）11．在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为．考点：简洁曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题可以利用公式求出点的平面直角坐标，从而得到它在平面直角坐标系中与x轴的距离，即得到点P（2，）到极轴的距离．解答：解：∵在极坐标系中，点P（2，），∴ρ=2，．将极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，正方向全都，建立平面直角坐标系，设P （x，y），则，．∴它在平面直角坐标系中与x轴的距离为：．∴到点P（2，）到极轴的距离为：．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化成平面直角坐标，本题难度不大，属于基础题．12．已知两点A （1，0），B（l，1），O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC=135°，设=+λ（λ∈R），则λ的值为．考点：平面对量的基本定理及其意义．专题：平面对量及应用．分析：由已知条件设出C点坐标（x0，﹣x0），所以求出向量的坐标带入即可求出λ．解答：解：依据已知条件设C（x0，﹣x0）；∴由得：（x0，﹣x0）=（1，0）+λ（1，1）；∴；∴解得．故答案为：．点评：考查依据∠AOC=135°能设出C（x0，﹣x0），由点的坐标求出向量的坐标，以及向量坐标的加法及数乘的坐标运算．13．已知x＞0，y＞0，且2y+x﹣xy=0，若x+2y﹣m＞0恒成立，则实数m 的取值范围是m＜8 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质可得x+2y==2（y﹣1）++4≥8，而x+2y﹣m＞0恒成立，可得m＜（x+2y）min．即可得出．解答：解：∵x＞0，y＞0，且2y+x﹣xy=0，∴x=＞0，解得y ＞1．∴x+2y==2（y ﹣1）++4≥+4=8，当且仅当y=2，x=4时取等号．∴（x+2y ）min=8．∵x+2y﹣m＞0恒成立，∴m＜（x+2y）min=8．故答案为：m＜8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为﹣．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，依据条件确定最终一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，∵跳出循环的n值为2021，∴输出S=cos+cos+…+cos，∵cos+cos+cos+cos+cos+cos =cos+cos +cos﹣cos﹣cos﹣cos=0，∴S=cos+cosπ=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程推断算法的功能是关键．15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y l），Q（x2，y2）之间的“直角距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有以下命题：①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）=|x1﹣x2|；②已知两点P（2，3），Q（sin2α，cos2α），则d（P，Q）为定值；③原点O到直线x﹣y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P，Q）；其中为真命题的是①②④（写出全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：先依据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后依据确定值的性质进行判定即可．解答：解：①若P，Q是x轴上两点，则y1=y2=0，所以d（P，Q）=|x1﹣x2|，正确；②已知P（2，3），Q（sin2α，cos2α）（a∈R），则d（P，Q）=|2﹣sin2α|+|3﹣cos2α|=1+cos2α+2+sin2α=4为定值，正确；③设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=，d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，由于2（a2+b2）≥（a+b）2，所以|PQ|≥2d（P，Q），正确；．故答案为：①②④．点评：本题考查两点之间的“直角距离”的定义，确定值的意义，关键是明确P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”的含义．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16．己知=（sin （θ﹣），﹣1），=（﹣1，3）其中θ∈（0，），且∥．（1）求sinθ的值；（2）已知△ABC中，∠A=θ，BC=2+1，求边AC的最大值．考点：平面对量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．专题：平面对量及应用．分析：（1）利用向量共线定理由∥，可得=．由于θ∈（0，），∈，即可得出．变形sinθ=．（2）在△ABC 中，由正弦定理可得：，代入可得AC=3sinB，利用sinB≤1，即可得出．解答：解：（1）∵∥，∴=1，即=．∵θ∈（0，），∴∈．∴=．∴sinθ==+==．（2）在△ABC 中，由正弦定理可得：，∴=，∴AC=3sinB，当且仅当sinB=1，即时取等号，∴边AC的最大值是3．点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、三角函数的单调性，考查了计算力量，属于基础题．17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点（1）求证：QP⊥AC；（2）当二面角Q﹣AC﹣P的大小为120°时，求QB的长．考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，从而AC⊥平面PDBQ，由此能证明AC⊥PQ．（2）设AC和BD的交点为O，连结OP，OQ，则∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，∠POQ是二面角P﹣AC﹣Q的平面角，∠POQ=120°，由此利用余弦定理能求出QB．解答：（1）证明：∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PD⊥AC，又菱形ABCD中，两对角线垂直，即AC⊥BD，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDBQ，∴AC⊥PQ．（2）解：△PAC和△QAC都是以AC为底的等腰三角形，设AC和BD的交点为O，连结OP，OQ，则∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，由tan，得二面角P﹣AC﹣B大小120°，∴点Q与点P在平面ABCD的同侧，如图所示，∴∠POQ是二面角P﹣AC﹣Q的平面角，∴∠POQ=120°，在Rt△POD中，OP=，设QB=x，则Rt△OBQ中，OQ=，在直角梯形PDBQ中，PQ==，在△POQ中，由余弦定理得PQ==6﹣4x，故6﹣4x＞0，且3x2﹣16x+5=0，解得x=，即QB=．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．18．甲、乙两人参与某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于o分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：互斥大事的概率加法公式；相互独立大事的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立大事，即可求得结论．解答：解：（1）乙答题所得分数为X，则X的可能取值为0，15，30．P（X=0）=+=P（X=15）==P（X=30）==乙得分的分布列如下X 0 15 30PEX=0×+15×+30×=（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为大事A，乙入选为大事B，则P（A）=+=+=，P （）=1﹣=由（1）知：P（B）=P（X=15）+P（X=30）=，P （）=1﹣=，所求概率为P=1﹣P （）=点评：本题考查概率的计算，考查互斥大事的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．19．已知函数f（x）=lnx+cosx ﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf ′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值：（2）若对任意n∈N*，都有a n+2n2≥0成立，求a1的取值范围．考点：数列与函数的综合；利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，得到数列的递推关系式，依据数列{a n}是等差数列的通项公式进行求解即可求a1的值：（2）求出数列{a n}的通项公式，利用不等式a n+2n2≥0恒成立．利用参数分别法进行求解即可．解答：解：f′（x）=﹣sinx ﹣+，则f ′（）=4；故a n+1+a n=πf ′（）+3=4n+3，（1）若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，则a n+1+a n=a1+（n﹣1）d+a1+nd=2a1+（2n﹣1）d=4n+3，解得d=2，a1=．（2）由a n+1+a n=4n+3，a n+2+a n+1=4n+7，两式相减得a n+2﹣a n=4，故数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列，数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，又a1+a2=7，∴a2=7﹣a1，∴a n =．①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，由a n+2n2≥0成立，即2n﹣2+a1+2n2≥0，转化为a1≥﹣2n2﹣2n+2，恒成立，设f（n）=﹣2n2﹣2n+2=﹣（n+）2+，∴f（n）max=f（1）=﹣2，∴a1≥﹣2．②当n为偶数时，a n=2n+3﹣a1，由a n+2n2≥0成立，即2n+3﹣a1+2n2≥0，转化为﹣a1≥﹣2n2﹣2n﹣3，恒成立，设g（n）=﹣2n2﹣2n﹣3=﹣（n+）2﹣，∴g（n）max=g（2）=﹣15，∴﹣a1≥﹣15．即a1≤15，综上﹣2≤a1≤15，即a1的取值范围是[﹣2，15]．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用已经递推数列的应用，考查同学的运算和推理力量，求出数列的递推关系是解决本题的关键．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依据离心率，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）分类争辩，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，所以椭圆方程为．…（4分）（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R；…（6分）当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则则==…（10分）若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0即=0，整理得4k（x0﹣4）=0由于k∈R，所以x0=4综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…（12分）点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查同学的计算力量，属于中档题．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣1n x．（1）若f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：对任意的x∈N*，＜e（其中e为自然对数的底，e≈2.71828）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）f（x）≥0可化为a ≥对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x∈（0，+∞）；求g′（x）=﹣，从而求最值；（2）由（1）知，lnx≤x﹣1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，从而可得ln（1+）＜对任意k∈N*成立，从而可得到kln（1+k）﹣klnk＜1，从而化简求得．解答：解：（1）由f（x）≥0得，a ≥对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x∈（0，+∞）；∵g′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；故g max（x）=g（1）=1；∴a≥1；∴实数a的取值范围是[1，+∞）；（2）证明：由（1）知，lnx≤x﹣1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=1时取等号，∴ln（1+）＜对任意k∈N*成立，即ln（1+k）﹣lnk＜；即kln（1+k）﹣klnk＜1，∴（1+k）ln（1+k）﹣klnk＜1+ln（1+k）；故2ln2﹣1ln1＜1+ln2，3ln3﹣2ln2＜1+ln3，…，（1+n）ln（1+n）﹣nlnn＜1+ln（1+n）；累加得，（1+n）ln（1+n）＜n+ln2+ln3+…+ln（n+1），即nln（n+1）＜n+ln（n!），∴ln（n+1）＜1+ln（n!），即ln（n+1）﹣ln＜1；∴ln＜1，即＜e．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，属于中档题．。
全国Ⅲ卷2021届高三高考模拟卷数学(理)试题(含答案解析)
可得直线 的方程为 ，与双曲线 联立，
可得 ， ，
设 ， ，
由三角形的等面积法可得 ，
化简可得 ，①
由双曲线的定义可得 ，②
在三角形 中 ， 为直线 的倾斜角），
由 ， ，可得 ，
可得 ，③
由①②③化简可得 ，
即为 ，
可得 ，则 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等面积法．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．
【详解】
因为圆心坐标为 ，直线 与圆 相切于点
根据圆心和切点的连线与直线 垂直，所以 ，解得 ，
根据两点间的距离公式，可得圆 的半径
故圆 的标准方程为 ．
故答案为：
16．
【分析】
依题意知 的中点 为 外接圆的圆心，设三棱锥 外接球的球心为 ，则 平面 ，设外接球的半径为 ，则 ，代入数据即可求解半径，从而得球表面积．
故选：C.
5．D
【分析】
通过函数的性质依次分析选项中的奇偶性和值域即可.
【详解】
解：对于A： ，为偶函数，但值域为 ，故A不正确；
对于B： 定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故B不正确；
对于C： 定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C不正确；
对于D： 为偶函数，且值域为 ，故D正确；
故选：D.
6．A
全国Ⅲ卷2021届高三高考模拟卷数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
湖南省岳阳市2021届高三一模数学试题及答案
2021年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（一）（一模）一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{y|y≤m}，且A∩B＝∅，则实数m应满足（）A．m＜1B．m≤1C．m≥3D．m＞32．已知＝1+i（其中i为虚数单位），则复数|z|＝（）A．i B．﹣i C．1D．23．函数的图象大致为（）A．B．C．D．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列所有项中，中间项的值为（）A．992B．1022C．1007D．10375．“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．6．已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且++2＝，则△AOB 的面积是（）A．4B．C．D．27．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（）A．2B．C．D．8．对于函数f＝（x），若存在x0，使f（x0）＝﹣f（﹣x0），则点（x0，f（x0））与点（﹣x0，﹣f（x0））均称为函数f（x）的“先享点”．已知函数f（x）＝，且函数f（x）存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（）A．（0，6）B．（﹣∞，6）C．（3，+∞）D．（6，+∞）二、多项选择（共4小题）.9．2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰﹣﹣复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是（）A．x＝0.384B．从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178C．不到80名职工倾向于继续申请休假D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名10．设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论正确的是（）A．y＝f（x）的一个周期为2πB．y＝f（x）的图像关于直线x＝π对称C．y＝f（x+π）的一个零点为x＝D．y＝f（x）在（，π）单调递减11．以下说法，正确的是（）A．∃x0∈R，使e x0＜x0+1B．∀θ∈R，函数f（x）＝sin（2x+θ）都不是偶函数C．a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件D．△ABC中，“sin A+sin B＝cos A+cos B”是“C＝”的充要条件12．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，点P为线段AD上的一动点，下列结论正确的是（）A．异面直线AC与BD所成的角为60°B．△ACD是等边三角形C．△BCP面积的最小值为D．四面体ABCD的外接球的表面积为8π三、填空题（共4小题）.13．在（x+）5的展开式中，x2的系数是．14．已知点C（x，y）在线段AB：x+4y＝1（x，y∈R+）上运动，则xy的最大值是．15．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为．16．已知函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题（共6小题，共70分.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin A+sin C＝2sin B cos C．（1）求B的大小；（2）若a＝3，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a1＝1，且点（a n，a n+1﹣2n）在函数f（x）＝3x的图象上．（1）求证：{+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式：（2）若b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞3n+．19．如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．（1）求证：AE⊥平面ABCD；（2）若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．20．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．（1）记事件E n：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1，A2，A3玩偶；事件F n：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P（E6）及P（F5）；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Q n．①Q n；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．21．已知双曲线C：﹣＝1的离心率为，点P（4，）在C上．（1）求双曲线C的方程；（2）设过点（1，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得•为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝xe x﹣alnx﹣ax+a﹣e．（1）若f（x）为单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）仅有一个零点，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{y|y≤m}，且A∩B＝∅，则实数m应满足（）A．m＜1B．m≤1C．m≥3D．m＞3解：∵集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{y|y≤m}，A∩B＝∅，∴m＜1，故选：A．2．已知＝1+i（其中i为虚数单位），则复数|z|＝（）A．i B．﹣i C．1D．2解：因为＝1+i，所以，故．故选：C．3．函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数y＝f（x）为奇函数，所以B选项错误；又因为f（1）＝1＞0，所以C选项错误；又因为，所以D选项错误．故选：A．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列所有项中，中间项的值为（）A．992B．1022C．1007D．1037解：由题意可知，a n﹣2既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即a n﹣1＝15（n﹣1），所以a n＝15n﹣13，当n＝135时，a135＝15×135﹣13＝2012＜2021，当n＝136时，a136＝15×136﹣13＝2027＞2021，故n＝1，2，3，…，135，数列{a n}共有135项，因此数列中间项为第68项，且a68＝15×68﹣13＝1007．故中间项的值为1007．故选：C．5．“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．解：现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，基本事件总数n＝44＝256，恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数m＝＝144，则恰有一个地方未被选中的概率为P＝＝＝．故选：B．6．已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且++2＝，则△AOB 的面积是（）A．4B．C．D．2解：根据题意，设AB的中点为D，△ABC是等边三角形，则CD⊥AB，AB的中点为D，则+＝2，又由++2＝，则＝﹣，则O是AD的中点，又由△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，则S△AOB＝×4×＝2，故选：D．7．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（）A．2B．C．D．解：设直线PA的倾斜角为α，设PP'垂直于准线于P'，由抛物线的性质可得|PP'|＝|PF|，所以则＝＝，当cosθ最小时，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即cosθ最小，由题意可得A（﹣1，0），设切线PA的方程为：x＝my﹣1，，整理可得y2﹣4my+4＝0，△＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，将m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，所以x＝1，即P的横坐标为1，即P的坐标（1，±2），所以|PA|＝＝2，|PP'|＝1﹣（﹣1）＝2，所以的最大值为：＝，故选：B．8．对于函数f＝（x），若存在x0，使f（x0）＝﹣f（﹣x0），则点（x0，f（x0））与点（﹣x0，﹣f（x0））均称为函数f（x）的“先享点”．已知函数f（x）＝，且函数f（x）存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（）A．（0，6）B．（﹣∞，6）C．（3，+∞）D．（6，+∞）解：由题意，f（x）存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数y＝6x﹣x3（x≤0）关于原点对称的图象恰好与函数y＝16﹣ax（x＞0）有两个交点，而函数y＝6x﹣x3（x≤0）关于原点对称的函数为y＝6x﹣x3（x≥0），即16﹣ax＝6x﹣x3有两个正根，a＝x），令h（x）＝x），则h′（x）＝2x﹣＝，所以当0＜x＜2时，h′（x）＜0，当x＞2时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，则当x＝2时，h（x）min＝4+8﹣6＝6，且当x→0和x→+∞时，f（x）→+∞，所以实数a的取值范围为（6，+∞），故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题S分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2021年全国各地高考三模数学试题汇编 专题4 数列、推理与证明第1讲 数列(理卷B)
专题4 数列、推理与证明 第1讲 数列(B 卷)一、选择题（每题5分，共60分）1.（2021·海南省高考模拟测试题·12）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =，20127a a <2．（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·6）已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和．若116a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值 ( ) A ．29B ．31C ．33D ．353．(2021济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·7)数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1604．(2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·4)等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ） A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－125.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·5）6．（2021·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7.(2021·北京市东城区综合练习二·3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ） （A ）4（B ）8（C ）16 （D ）648．（2021·厦门市高三适应性考试·7） 已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10项和10S =（ ）.31A .62B .170C .1023D9．(2021·北京市西城区高三二模试卷·6)数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．8410. (2021.芜湖市高三5月模拟·5)11. (江西省九江市2021届高三第三次模拟考试·8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且对于任意1,n n N *>∈，满足112(1)n n n S S S +-+=+，则10S 的值为（ ）A ．91B ．90C ．55D ．5412．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·4）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．23二、非选择题（ 40分）13.（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·16）设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n －1+a n －2－a n－3（n=4,5, ……）,则a 2021 = ．14.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·15）15. (2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·13)已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a .16. (2021·海淀区高三班级其次学期期末练习·9)若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．17.（2021·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·15）18．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·11）在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．19．(2021.江西省上饶市高三第三次模拟考试·17) (本题满分10分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．。
2021年高三第三次高考模拟考试理数试题 含答案
2021年高三第三次高考模拟考试理数试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|13,|680A x x B x x x =-≤≤=-+<，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．3.函数与在上都是递减的，实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5.在如图所示的算法流程图中，输出的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．156.下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，该多面体的体积是（ ）A ．32B ．16C ．D ．8.在约束条件0024x y y x t y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当时，其所表示的平面区域的面积为，与之间的函数关系用下列图像表示，正确的应该是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数的最小正周期为，给出下列四个命题：（1）的最大值为3；（2）将的图像向左平移后所得的函数是偶函数；（3）在区间上单调递增；（4）的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是（ ）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（3）（4）10.已知()()()()4241220126243111x x a a x a x a x ++=+++++++，则的值为：（ ） A ． B ． C ． D ．11.已知定义在的函数，若仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12.将半径都为1的4个彼此相切的钢球完全装入形状为正三棱台的容器里，该正三棱台的高的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题:本大题共四小题，每题5分，满分20分．13.已知向量与的夹角为120°，，则等于___________．14.数列满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧⎛⎫≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，若，则___________． 15.已知是抛物线上的一条动弦，且的中点横坐标为2，则的最大值为___________．16. 的三个内角的对边分别是，其面积．若，则边上的中线长的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和，且．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．18.（本小题满分12分）某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如下表：喜爱不喜爱总计男学生60 80女学生总计70 30（1）完成上表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有个男生去观看演出的分布列及期望．附：0.100 0.050 0.0102.7063.841 6.63519.（本小题满分12分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面为菱形，点为的中点，若．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于不同的两点，且线段的中点的坐标为．（1）求椭圆的离心率；（2）设为坐标原点，且，求椭圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()()()2231,ln 134x f x x e g x a x x a x a a R =+=+++-+∈． （1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知．（1）若，求的值；（2）求证：．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，两点极坐标分别为．（1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上取一点，求的最值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值．参考答案一、选择题CAAC BCDA DBBC二、填空题13. 4 14. 15. 6 16.三、解答题17.（本小题12分）解：（1）由，解得，由假设，因此，故的通项为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由1323133132nb n nn n==+--++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分得前项和1111323132233n nii ib i i n===+-=+∑∑．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（本小题12分）解：（1）喜爱不喜爱总计男学生60 20 80女学生10 10 20总计 70 30100将表中的数据代入公式计算，得()2210060102010100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 由于，所以有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意知：这10名学生中有8名男生和2名女生 ，故可取值3，4，5．．．．．．．．．．6分()()()32415082828255510101056214055623,4,5252925292529C C C C C C P X P X P X C C C ============．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分故其分布列为：3 4 5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分该分布满足超几何分布，故其期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.（本小题12分）（1）证明：由得，从而，且，又∵，∴平面，而平面，得，又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：如图建立直角坐标系，其中为坐标原点，轴平行于，的中点坐标，连结，又知，由此得到：()333331,,,0,,,2,0,04422GA PB BC ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有， ∴，∵的夹角为等于所求二面角的平面角，20.（本小题12分）解：（1）设，代入椭圆，两式相减：()()()()22121212120b x x x x a y y y y -++-+=，由题意可知：代入上式得，∵，∴，从而所求离心率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）得椭圆的方程为：，与直线联立方程组并化简得：，从而，得，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵，∴，有得：，解得：（满足）．故所求的椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．（本小题12分）解：（1）当，，得，或，得．故所求增区间为和，减区间为………………………………4分（2）由，有()()()2231ln 134xx e a x x a x a +≥+++-+， 令()()()()2231ln 134x h x x e a x x a x a =+-+----， ①当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+， 1°当时，()()()23233012x a h x x e x a x '=+--+-=+， 2°当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫<+--+-=+-+-< ⎪++⎝⎭， 3°当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫>+--+-=+-+-> ⎪++⎝⎭， 在递减，在递增，∴，②当时，在时，，即，而对于函数，不妨令，有()()()()4223ln 13ln 123ln 112314a a g x a x x a x a a x a a e a -⎛⎫=+++-+>++-=-+++-= ⎪⎝⎭，故在内存在，使得不恒成立，综上：的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（本小题满分10分）（1）证明:由题意可得：四点共圆，∴，∴，∴，又∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）∵为切线，为割线，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（本小题满分10分）解：（1）由，得，即，故所求参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由已知条件知两点直角坐标分别为，令，()()()()222222cos 12sin cos 12sin 8sin 12AP BP t t t t t +=++++-++=+， 故当，有最小值4，，有最大值20．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．（本小题满分10分）解：（1）时，由得，当时，有，得；时，有，解集为空集；时，有，得，综上，所求解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）法一：由的解集为知：是方程一个根，得而当时，由解得，合题意；当时，由解得，合题意．综上：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分法二：不等式可化为：，分别作出及的图象由图可知若的解集为，则有：，解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分•f8 31109 7985 禅f=N36467 8E73 蹳 &23880 5D48 嵈K 36298 8DCA 跊。
江西省新余市2021届高三下学期第二次高考模拟考试试题 理科数学【含答案】
江西省新余市2021届高三下学期第二次高考模拟考试试题 理科数学【含答案】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{lg 0}A x x =≥∣，集合{210}B x x x =-+≤∣()(2)，则A B ⋂=（ ）A.1{1}2xx ≤≤∣- B ．{12}x x ≤≤∣ C ．1{}2x x ≥-∣ D ．{1}x x <≤∣0 2．若复数21iz i-=+，（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A.1322i + B ．1322i -+ C ．3322i + D ．3322i - 3．某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：mm )服从正态分布()220,N σ(0)σ>，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05mm 的占钢管总数的150，则这批钢管内径在19.95mm 到20.05mm 之间的钢管根数约为（ ）A.9000 B ． 9200 C ． 9600 D ． 98004．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(6,4)P ，则双曲线的方程是（ ）A.221432x y -= B.22134x y -= C. 22128x y -= D. 2214y x -= 5．已知4log 5135112log ,log 7,242a b c ===，则,,a b c 的大小关系（ ） A.b c a << B.c a b << C. b a c << D. a b c << 6．函数()()xxf x e e ln x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ） A. 向左平移12π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A 27B.514C.37D.10219．已知等差数列{}n a 的第5项是6122x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（ ）A ．160B ．160-C ．1440D ．1440-10．如图，已知圆A ，圆D 的半径均为3，ABE △，BEC △，ECD ∆均是边长为4的等边三角形.设点P 为圆D 上的一动点，AC BP ⋅的最大值为（ ） A. 18B. 24C. 36D. 4811．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 上一点()2,1P 关于原点的对称点为Q ，若PQF △的周长为4225则离心率e =（ ）3 B ．223 D.23 12．对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”.已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A. (),1-∞- B ． ()1,0- C ．()()0,11,+∞ D ． ()(),11,0-∞--二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．.） 13．已知向量(1,2)a =，(0,2)b =-，(1,)c λ=-，若(2)//a b c -，则实数λ＝______．14．已知实数,x y ，满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______．15．数列{}n a 满足11(1)n n a a n n --=+(2n ≥，且*n ∈N )，12a =，对于任意*n ∈N 有n a λ>恒成立，则λ的取值范围是___________.16．在三棱锥A BCD -中，6,9,AB AC BC BD CD AD ======则三棱锥A BCD -外接球О的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）在ABC ∆中, 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，C b B c a cos sin 3+=, 点D 为AB 边上一点, 22,7AD BD CD ===（1）求B ; （2）求ABC ∆的面积.18．（本小题满分 12 分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名釆用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23． （1）甲､乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望； （2）甲､乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率.19．（本小题满分 12 分）如图 在斜三棱柱ABC A B C '''-中，ABC ∆是边长为2的正三角形，侧棱23AA '=，顶点A '在面ABC 的射影为BC 边的中点O . （1）求证：面BCC B ''⊥面AOA '；（2）求面ABC 与面A B C ''所成锐二面角的余弦值.20．（本小题满分 12 分）已知抛物线22C y x =：上一点(2,2)P ，圆()()222402M x y rr -+=<≤：，过点(2,2)P 引圆M 的两条切线PA ，PB 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，与圆M 的切点分别为E ，F . （1）当2r =时，求,E F 所在直线的方程；（2）记线段AB 的中点的横坐标为t ，求t 的取值范围.21．（本小题满分 12 分）已知函数()()2()ln 11f x x x ax a R =+-+∈.（1）求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程；（2）1a >时，判断函数()f x 存在极值点的个数，并说明理由.选考题：（本小题满分 10 分）.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y ααα=⎧⎪⎨=⎪+⎩（α为参数，且ππαk +≠2，Z k ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设曲线2C 的极坐标方程为4=ρ，若直线3:l y x =与曲线1C 交于,M N 两点，直线l 与曲线2C 交于,P Q 两点，,P M 在第一象限，求QM .23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知不等式14x x x +-<+的解集为(,)m n ． （1）求m ，n 的值；（2）若0,0x y >>，(1)0n x y m -++=，求证：9x y xy +≥．答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. B2.A ．3.C4.C . 5．C 6. D 7.A 8.D .9.D. 10. C. 11．A. 12.D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．.） 13.﹣3 14.10. 15．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 16. 84π 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分 12 分）解：（1）已知C b B c a cos sin 3+=， 用正弦定理,2sin sin sin R CcB b A a ===得: ()分中，6 (6)π∴33tan ∴cos sin 3∴0≠sin ),π,0(∈,,Δsin cos sin sin 3∴sin cos cos sin )sin(-πsin sin .cos sin sin sin 3sin ====+=+==+=B B B B C C B A ABC CB C B C B C B C B A A C B B C A（2）在BCD ∆中用余弦定理得 B BD BC BD BC CD cos 2222⋅++=,7,22===CD BD AD分10.........................................32∴006-3-∴6πcos2-17∴22=>=+=BC BC BC BC BC BC 又3=+=DB AD AB分12 (23)36πsin 33221 sin 21∴Δ=⨯⨯⨯=⋅⋅=BAB BC S ABC18．（本小题满分 12 分）解：（1）依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且321312111(0)33339P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22242118(1)C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222421216(2)33381P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2323212216(3)C 333327P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，.....................................................4分所以X 的概率分布列为X 0 1 2 3P19 881 16811627所以181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=......................................................6分（2）记“甲､乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A . 设第i 场甲､乙两队积分分别为,i i X Y ，则3i i Y X =-，1,2i =. 因为两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即()()121233X X X X +=-+-，所以123X X +=............................................9分所以()()()()1212()0312P A P X P X P X P X ===+==()()()()12122130P X P X P X P X +==+== 11681616816192781818181279=⨯+⨯+⨯+⨯11206561= 答：甲､乙比赛两场后，两队积分相等的概率为11206561 (12)分19．（本小题满分 12 分） 【解析】【详解】（1）证明：AB AC =且O 为BC 中点，AO BC ∴⊥，又AO '⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以AOBC '⊥， AO A O O '=，故BC ⊥面AA O '，而BC ⊂面BCC B ''，因此，面BCC B ''⊥面AOA '；..........................................5分 （2）A O '⊥平面ABC ，AO BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OA '所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为3AO =23AA '=223A O AA AO ''=-=，由条件可得()0,0,3A '、()3,1,3B '-、()0,1,0C -，从而()3,1,0A B ''=-，()0,1,3CA '=，设面A B C ''的法向量为()1,,n x y z =，由1100n A B n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'''，得3030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取3x =3y =，1z =-，可得()13,3,1n =-，易知面ABC 的一个法向量()20,0,1n =，.....................................................................10分12121213cos ,131n n n n n n ⋅-<>===⨯⋅故面ABC 与面A B C ''13...........................................12分20．（本小题满分 12 分）解：（1）由条件知M(4,0)，以线段PM 为直径的圆的方程为()()22312x y -+-=， 而()2242M x y -+=：，两圆相减得：30x y --=，即为,E F 所在直线的方程；............................................................................................................................................5分（2）由题意知切线PA 、PB 的斜率存在，分别设12,k k ，于是切线PA 、PB 的方程分别为12(2)y k x -=-，22(2)y k x -=-。
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高考高三模拟考试
一、单选题
1、已知集合}|{42<≤-=x x A ，}|{35≤<-=x x B ，则B A = （ ）
A 、}|{45<<-x x
B 、}|{25-≤<-x x
C 、}|{32≤≤-x x
D 、}|{43<≤x x
2、“1>a ”是“021<--))((a a ”的 （ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
3、已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：若y 关于x 的线性回归方程为a x y
ˆ.ˆ+=70，则a
ˆ= （ ）
A 、0.1
B 、0.2
C 、0.35
D 、0.45
4、已知a ，b 为不同直线，βα,为不同平面，则下列结论正确的是 （ ）
A 、若α⊥a ，a b ⊥，则α//b
B 、若α⊂b a ,，ββ//,//b a ，则βα//
C 、若b a b a //,,//βα⊥，则βα⊥
D 、若b a a b ⊥⊂=,,αβα ，则βα⊥ 5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有 （ ） A 、15种 B 、90种 C 、120种 D 、180种 6、已知),(
ππ
α2∈，3-=αtan ，则)sin(4
π
α-等于 （ ）
A 、
55 B 、552 C 、53 D 、5
3
7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系30
02
t P t P -=)(，其中0P 为t=0时该放射性同位素的含量。
已知
t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为10
2
23ln -，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为 （ ）
A 、20天
B 、30天
C 、45天
D 、60天 8
、
定
义
运
算
⊗
：①对
m
m m R m =⊗=⊗∈∀00,；②对
p n p m mn p p n m R p n m ⊗+⊗+⊗=⊗⊗∈∀)()(,,,。
若x
x e e x f --⊗=11)(，则有（ ） A 、函数)(x f y =的图象关于x=1对称 B 、函数)(x f 在R 上单调递增
C 、函数)(x f 的最小值为2
D 、)()(2
33
222f f > 二、多选
9、中国的华为公司是全球领先的ICT （信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界。
其中华为的5G 智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌。
为了研究某城市甲、乙两个华为5G 智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是 （ ） A 、根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31,32]内 B 、根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势 C 、根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小 D 、根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
10、若非零实数x ，y 满足y x >，则以下判断正确的是 （ ）
A 、
y x 11< B 、33y x > C 、y x )()(2
1
21> D 、01>++)ln(y x 11、已知函数),)(cos()(2
00π
ϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称
轴为125π
=
x ，则 （ ） A 、3
π
ϕ=
B 、函数)(x f y =的图象可由x y 2sin =的图象向左平移
3
π
个单位长度得到 C 、函数)(x f 在],
[2
0π
上的值域为],
[2
31- D 、函数)(x f 在区间],[2
π
π-
-上单调递减
12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧
>-≤≤--=1
11
02
142x x af x x x f ),(|,|)(，其中R a ∈，下列关于函数)(x f 的判断正确的为 （ ） A 、当a=2时，42
3=)(f
B 、当1<||a 时，函数)(x f 的值域],[22-
C 、当a=2且)](,[*
N n n n x ∈-∈1时，|)|()(2
1
24221
--
-=-n x x f n
D 、当0>a 时，不等式2
12-
≤x a x f )(在),[+∞0上恒成立
三、填空题
13、52
2)(x
x +的展开式中4
x 的系数为 。
14、若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为 。
15、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足)()(x f x f +=-11。
若11=)(f ，则
)()()()(2021321f f f f ++++ = 。
16、已知菱形ABCD 边长为3，
60=∠BAD ，E 为对角线AG 上一点，AC=6AE ，将△ABD 沿BD 翻折到BD A '∆的位置，E 记为E '且二面角C BD A --'的大小为
120，则三棱锥
BCD A -'的外接球的半径为 ；过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的
最小值为 。
四、解答题
17、（10分）已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，点E ，F 分别为棱1CC 与11B A 的中点。
（1）求证：直线BC A EF 1平面//
（2）若该正三棱柱的体积为62，求直线EF 与平面ABC 所成角的余弦值
18、（12分）在①2
B
A b
B c +=sin
sin ，②721=B cos ，③a B c C b =+sin cos 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答。
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
问题：△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
π
=A ，D 是边AB 上的一点，AD=5，
CD=7，且 ，试判断AD 和DB 的大小关系
19、（12分）已知函数c bx x x x f ++-=332
3
)(在x=0处取得极大值1
（1）求函数)(x f y =的图象在x=1处切线的方程
（2）若函数)(x f 在],[2+t t 上不单调，求实数t 的取值范围
20、（12分）四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD //，
90=∠ABC ，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD ⊥面ABCD ，PA=PD=2 （1）求证：BD ⊥PA
（2）已知平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P -DC -N 的余弦值为
3
1
？若存在，请确定N 点位置，若不存在，请说明理由
21、（12分）2020年10月16日，是第40个世界粮食日，中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC -801测产，亩产超过848.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入。
某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m （],[10070 m ），其质量指标等级划分如下表： 质量指标值m
),[7570 ),[8075 ),[8580 ),[9085 ],[10090
质量指标等级 良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产。
现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
C
P
A B
D
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A ，求事件A 发生的概率
（2）若从质量指标值85≥m 的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值),[9590∈m 的件数X 的分布列及数学期望 （3）若每件产品的质量指标值m 与利润y （单位：元）的关系如下表（41<<t ）：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：615702.ln ,.ln ≈≈）
22、（12分）
已知函数)(ln )(x x a xe x f x
+-=
（1）当a>0时，求)(x f 的最小值
（2）若对任意0>x 恒有不等式1≥)(x f 成立
①求实数a 的值
②证明：x x x e x x
sin ln )(222++>。