8.4圆(2)圆的一般方程

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圆的标准方程.

圆的标准方程是什么？
圆的所有公式
周长：C=2πr （r半径）
面积：S=πr²
半圆周长：C=πr+2r
半圆面积：S=πr²/2
圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心,以r为半径的圆的标准方程是（x -a）²+（y-b）²=r².
圆的一般方程：把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x²+y²+Dx+ Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a²+b².
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点,则PO是点到圆心的距离）,P在⊙O外,PO＞r；P在⊙O上,PO＝r；P在⊙O内,PO＜r.
直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；
有两个公共点为相交；
圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离,PO＞r；AB与⊙O相切,PO＝r；AB与⊙O相交,PO＜r.
两圆之间有5种位置关系：无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含；有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切；有两个公共点的叫相交.两圆圆心之间的距离叫做圆心距.
两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜。

圆形方程公式

圆形方程公式圆形在我们的生活中无处不在，像盘子、车轮、钟表的表面等等。

那要怎么用数学语言来准确地描述一个圆形呢？这就得提到圆形方程公式啦。

咱先来说说最简单的情况，就是以坐标原点为圆心的圆。

这时候，它的方程是 x² + y² = r²。

这里的 r 就是圆的半径。

比如说，一个半径为5 的圆，它的方程就是 x² + y² = 25 。

这就好比我们在地图上给一个圆定了个位置和大小。

那要是圆心不在原点呢？这也不难，假设圆心的坐标是 (a, b) ，半径还是 r ，那方程就变成了 (x - a)² + (y - b)² = r²。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我在黑板上画了一个圆，然后问大家怎么用方程来表示它。

有个调皮的小家伙举手说：“老师，这圆看起来像我早上吃的甜甜圈！”全班哄堂大笑。

我接着问他：“那你能把这个像甜甜圈的圆用方程写出来吗？”他挠挠头，认真思考了一会儿，还真给出了一个差不多正确的答案。

咱们再深入一点，圆形方程公式在解决实际问题中那可太有用了。

比如说，工程师在设计一个圆形的建筑结构时，就得靠这个公式来计算各种参数；或者在计算机图形学中，绘制一个完美的圆形也离不开它。

还有啊，在数学考试中，圆形方程公式经常会和其他的知识点结合起来，像是直线方程、函数等等。

这就要求我们得把这个公式吃得透透的，才能在解题的时候游刃有余。

回到我们的日常生活中，圆形方程公式虽然看似抽象，但其实处处都有它的影子。

比如我们用手机导航的时候，那个定位的小图标在地图上形成的轨迹，其实就可以用圆形方程来描述。

总之，圆形方程公式虽然只是数学海洋中的一小部分，但它的作用可不容小觑。

我们要好好掌握它，才能在数学的世界里更加自由地探索和发现。

希望大家通过我的讲解，能对圆形方程公式有更清晰的认识和理解，以后遇到相关的问题都能轻松解决！。

课件8：4.1.2 圆的一般方程

跟踪训练 3 (1)已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0) 距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点 A(－1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点，又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，－2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
解：(1)设点 M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知||MMOA||＝12. 由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为 (x－x23＋)2y＋2 y2＝12，两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0，将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
D＝－2
∴E＝2 F＝－23，
∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
3．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的圆心的直线，则 l 在 y 轴上的截距是________．【解析】圆心 C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝－12－＋01＝－1，所以直线 l 的方程是 y－0＝－(x＋1)，即 y＝－x－1，所以 l 在 y 轴上的截距是－1. 【答案】－1
25
4
C. 3
D.3
【解析】设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
则3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，解得E＝－4 3 3，
F＝1.
∴△ABC

8.4.2 圆的一般方程

表示以 - ,2
D
为
圆心,以
1 2
D2 + E 2 -4F 为半
径的圆
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AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是 ( ) A.k<2 B.k>2 C.k≥2 D.k≤2 解析:依题意有(-4)2+42-4×(10-k)>0,解得k>2. 答案:B
思维脉络
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1.圆的一般方程的定义当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,这时这个方程叫作圆的一般方程.
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分析:所求圆经过A,B,C三点,因此三点的坐标应适合圆的方程,可设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程.
首页探究一探究二探究三探究四
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易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得 -�� + 5�� + �� + 26 = 0, -2��-2�� + �� + 8 = 0, 5�� + 5�� + �� + 50 = 0, �� = -4, 解得 �� = -2, �� = -20.

圆的一般方程的圆

圆的一般方程的圆
通常来说，圆是一个平面图形，其中心点会穿过其上的每一个点，即所有这些点距离圆心的距离是相等的。

圆的一般方程是一个有用的方法来表示圆，它使用圆的一般参数来创建一个方程，可以表示所有圆的基本特征。

圆的一般方程通常表示为：（x-a）²＋（y-b）²＝r²，其中a表示圆的中心的横坐标，b表示圆的中心的纵坐标，r表示圆的半径。

可以根据圆心坐标和半径来求解这个方程，得到一个圆。

举例来说，有一个圆心在(5,5)，半径为2，则该圆的一般方程可以表示为：（x-5）²＋（y-5）²＝4，其中4来自于2的平方。

圆的一般方程也可以用于计算圆上点的距离。

以上一个圆为例，如果要计算圆心到圆上其他点的距离，只需要把这个点的横坐标和纵坐标带入到方程中，如(x1,y1)，然后求解：（x1-5）²＋（y1-5）²＝r²，这样可以得到欧氏距离，从而计算出两点间的距离。

总而言之，圆的一般方程是一种简单有效的方法来表示一个圆，可以用来确定圆的中心参数和半径，还可以计算圆上点到圆心的距离。

8.4圆(2)圆的一般方程

是否具有这样特点的就一定是圆的方程呢？
判断下列方程是什么图形：
x2 y2 -2x 4 y 1 0 x2 y2 -2x 4 y 5 0
x2 y2 -2x 4 y 6 0
(x 1)2 ( y+2)2 4 圆 (x 1)2 ( y+2)2 0 点 (x 1)2 ( y+2)2 -1
所以所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25.
第9页，共14页。
8．4.1 圆的一般方程
方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示的
图形是一个圆，求a的取值范围.
解 D=a，F=2a，E=2a2+a-1
∵方程表示的图形是圆
∴ a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0
r D2 E2 4F 4 2
得 D 4, E 6, F 3
第8页，共14页。
8．4.1 圆的一般方程
过点M(-1，1)，并与已知圆x2+y2-4x+6y-3=0同心
的圆的方程.
解圆x2+y2-4x+6y-3=0的圆心是 (2, 3）
故所求圆的圆心为 (2, 3）所求圆过M(-1，1)，则所求圆的半径为 r （2 1）2 （-31）2 5
(x 1)2 ( y 3)2 5
x2 y2 2x 6y 5 0
第11页，共14页。
8．4.1 圆的一般方程
3. 已知圆x2+y2-Dx-Ey-F=0的半径是4且与过点M(-1，1)的圆x2+y2-4x+6y+F1=0是同心圆，求D、E、F、F1的值.
D 4, E 6, F 3, F1 12
不是任何图形

学圆与方程圆的一般方程

2023《学圆与方程圆的一般方程》CATALOGUE目录•圆的一般方程的定义•圆的一般方程的推导•圆的一般方程与图形关系•圆的一般方程的实际应用•圆的一般方程的扩展应用01圆的一般方程的定义圆的一般方程是描述圆的另一种形式，其公式为 x² + y² +Dx + Ey + F = 0，其中D² + E² - 4F > 0，且D、E、F是常数。

这个方程实际上是圆的一般形式，它可以表示所有形状的圆，包括实心圆和空心圆。

圆的一般方程具有普遍性，它可以描述各种形状和大小的圆。

与标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²相比，一般方程提供了更为灵活的表述方式，可以描述那些不以原点为中心的圆。

相同点两种方程都描述了圆的几何属性。

不同点标准方程仅适用于以原点为中心的圆，而一般方程适用于所有形状和大小的圆，包括那些不以原点为中心的圆。

此外，标准方程中的半径r在一般方程中并未明确给出，需要通过解方程来求得。

圆的一般方程与标准方程的异同02圆的一般方程的推导圆是一种平面图形，其中心到其上任意一点的距离相等。

根据这个定义，我们可以得出圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^2$，其中(a,b)为圆心，r为半径。

从标准方程推导一般方程将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。

整理后得到一般方程为$x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$。

一般方程中不出现半径r，而是用a、b表示圆心，因此更为通用。

同时，一般方程也适用于任意大小的圆，而不仅仅是单位圆。

圆的定义转化过程特点分析根据圆的标准方程和圆的定义，我们可以推导出一般方程。

首先，将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。

圆的一般方程 (简)

x2与y2系数相同并且不等于0；没有xy这样的二次项
练习：判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径（1）x2+y2-2x+4y-4=0 是圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是圆心（3，-1）半径
10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：
知识回顾：
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：

圆的方程一般方程

最小值为|PC|－r.
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2 ．研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程
思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量．多运
用数形结合，拓宽解题思路．
[点评与警示] 两圆位置关系判断的依据是圆心距与两半径和、差关系，应结合图形加以理解，不要机械记忆．
(人教A版P140例3改编)已知：圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0.
圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0.试判断圆C1与圆C2的位置关系．
32 9 [解] 解法一：圆 C1 的方程配方得(x＋1) ＋(y＋ ) ＝ 2 4
[答案] A
(2010· 广东，6)若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x＋2y＝0 相切，则圆 O 的方程是( A．(x－ 5)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋ 5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 )
[解析] 依题意设圆 O 的方程为(x＋a)2＋y2＝5(a＞0)， |－a＋2×0| 因为圆 O 与直线 x＋2y＝0 相切，所以有＝ 5， 5 解得 a＝5，所以所求圆 O 的方程为(x＋5)2＋y2＝5，故选 D.
3＝0上的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为 x2＋y2－1＋λ(x－y)＝0(其中 λ 为待定系数)，即圆的方程为： λ2 λ2 λ2 λ λ (x＋ ) ＋(y－ ) ＝1＋，其圆心坐标是(－， ) 2 2 2 2 2 λ 2λ ∴ －＋3＝0，∴λ＝6 2 2 ∴圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝19.
[答案] D

圆方程推导过程

我们要推导一个圆的一般方程。

首先，我们要理解圆的基本属性。

一个圆有3个重要的属性：圆心、半径和圆上的一点。

假设圆心为(h, k)，半径为r，那么圆上的一点P(x, y) 可以表示为：
x = h + r × cos(θ)
y = k + r × sin(θ)
其中，θ 是点P 和x 轴之间的角度。

根据上面的描述，我们可以得到圆的方程：
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
这就是圆的一般方程。

现在我们已经得到了圆的一般方程，它表示了圆心为(h, k) 和半径为r 的圆。

这个方程可以用来描述任何圆，无论其位置、大小或方向如何。

例如，如果我们想表示一个圆心在原点(0, 0)，半径为 5 的圆，我们可以将h=0, k=0, r=5 代入方程，得到：
x^2 + y^2 = 25
这个方程描述了一个以原点为圆心，半径为 5 的圆。

圆的一般方程

D2E24F0时，此方程表示以

D 2
,
E 2

为圆心, 1 D2 E2 4F为半径的圆；
2
(2)当 D 2E24F0时，此方程只有实数解，
x

D, 2
y

E 2
即只表示一个点

D 2
,
E 2

;
(3)当 D2E24F0时，此方程没有实数解，因
的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 x0, y0
由于点B的坐标 (4,3)且M是线段AB的中点，所
以 x
x0
4 ,
y
y0
3 ,
2
2
①
于是有x0 2x4, y0 2y3
圆的一般方程
【变形训练】
因为点A在圆 x12y2 4上运动，所以点A的
坐标满足方程 x12y2 4 ,
上，代入圆的方程并化简，得
D E F 2

D

4E

F

17
,
解4D得D2＝E－ F7， E＝20－3，F＝2
∴所求圆的方程为 x2y27x3y20.
圆的一般方程

【变形训练】
1、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆上x12y2 4运动，求线段AB
注：在圆的一般方程 x2y2D xE yF0 中，系数D、E、F必须满足 D2E24F0
圆的一般方程
【典型例题】
2、求经过三点A(1,－1)、B(1,4) 、C(4,－2)的圆的方程.
解：设所求圆的方程为 x2y2D xE yF0, ∵ A(1,－1)、B(1,4) 、C(4,－2)三点在圆

圆的一般方程

圆的一般方程
复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的？
(xa)2 (yb)2 r2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b r
特别地方程 x2 y2 r 2 表示圆心在坐标原点半径为r的圆
新课开始：
圆的标准方程： x a2 y b2 r 2
把它展开得： x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0 令： D 2a E 2b F a 2 b2 r 2
x2+y2+Dx+Ey+F=0
（２）圆的一般方程的特点: (a)x2 , y2 的系数为1 (b)没有x y项 (c)D2 +E2 -4F＞0
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. (2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
圆心坐标是（4，-3），半径r=5.
【例题2】
已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线.
解：设M（x，y）是曲线上的任意一点,
则点M所属集合为：
y
P M OM 1 AM 2
即：
x2 y2
1
(x 3)2 y2
2
.CΒιβλιοθήκη 表示以 D ， E 为圆心、以 1 D2 E2 4F 为半径的圆；
2 2
2
此时我们称方程:
x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0
为圆的一般方程．
思考:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
（1）形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2

圆的一般方程,标准方程,参数方程总结

1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+ 3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=． ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E--；（3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0；（2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了． 2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。

圆的方程基本公式

圆的方程基本公式在我们的数学世界里，圆可是个相当有趣的家伙！它那优美的曲线和独特的性质，总是能让我们在解题时感受到一种别样的乐趣。

今天咱们就来好好聊聊圆的方程基本公式。

咱先从圆的标准方程说起。

圆的标准方程就像是圆的“身份证”，能一下子把圆的关键信息都告诉我们。

它的表达式是：(x - a)² + (y - b)² =r²。

这里的 (a, b) 就是圆心的坐标，r 就是圆的半径。

记得有一次，我在课堂上讲这个公式的时候，有个同学就迷糊了，瞪着大眼睛问我：“老师，这咋记住啊？”我笑着跟他说：“你就想象啊，圆心就像是圆的老大，它在哪，圆就得跟着在哪。

半径呢，就是圆的‘势力范围’，决定了圆能跑多远。

”那同学听了，若有所思地点点头。

咱们来具体说说这个公式的厉害之处。

假如给定一个圆心在(2, 3) ，半径为 4 的圆，那它的方程就是 (x - 2)² + (y - 3)² = 16 。

你看，是不是一下子就把这个圆给“定位”了？再来说说圆的一般方程 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 。

这个方程有时候看起来有点复杂，但是只要通过配方，就能把它转化成标准方程。

我曾经在辅导学生作业的时候，遇到过这样一道题：已知一个圆的一般方程是 x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 ，让求圆心和半径。

这可把不少同学难住了。

我就带着他们一步步来，先把方程配方，变成 (x - 3)² + (y +2)² = 25 ，圆心就是 (3, -2) ，半径是 5 。

看着同学们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。

在实际生活中，圆的方程也有大用处呢。

比如说设计一个圆形的花坛，工程师就得根据圆的方程来计算出花坛的大小和位置。

学习圆的方程基本公式，就像是掌握了一把打开圆形世界的钥匙。

刚开始可能会觉得有点难，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，就能发现其中的乐趣和奥妙。

圆的标准式方程

圆的标准式方程圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的集合，是几何中非常重要的图形之一。

在解决几何问题时，我们经常需要用到圆的标准式方程。

下面我们就来详细介绍一下圆的标准式方程及其相关知识。

圆的标准式方程可以表示为，$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$为圆心的坐标，$r$为圆的半径。

这个方程是通过圆的定义所得到的，它告诉我们圆上任意一点$(x, y)$满足到圆心的距离等于半径$r$，即$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。

接下来我们来看一个例子，通过一个具体的问题来理解圆的标准式方程。

假设有一个圆心坐标为$(2, 3)$，半径为$5$的圆，我们要求这个圆的标准式方程。

根据圆的标准式方程，我们可以直接写出方程为，$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2$。

这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。

除了通过给定圆心和半径来求圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来得到圆的标准式方程。

比如，如果我们知道圆上的三个点的坐标，我们就可以通过这些点来求出圆的标准式方程。

具体的做法是先利用这三个点的坐标来列方程，然后解方程得到圆的标准式方程。

在实际问题中，我们经常需要用到圆的标准式方程来解决一些几何和物理问题。

比如，在求解圆的切线、切点、交点等问题时，圆的标准式方程可以帮助我们简化问题，更快更准确地得到答案。

除了圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来表示圆。

比如，我们可以用圆的一般式方程或参数方程来描述圆。

这些不同的表示方式在不同的问题中可能会更加方便和有效，因此我们需要根据具体情况来选择合适的表示方式。

总之，圆的标准式方程是描述圆的重要工具之一，它可以帮助我们更好地理解和使用圆。

通过本文的介绍，相信大家对圆的标准式方程有了更深入的了解，希望能够在实际问题中灵活运用，取得更好的成绩。

数学圆的方程

数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。

在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。

标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。

一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。

这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。

圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。

圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。

参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。

圆的方程的总结

圆的方程的总结圆是我们数学中非常重要的一个几何图形，它在几何学、数学分析以及工程应用中都有广泛的应用。

圆的方程是描述圆的数学形式，通过方程可以方便地求解圆的各种性质和问题。

本文将总结圆的方程的相关知识，详细介绍圆的一般方程、标准方程、参数方程以及一些特殊情况下的方程。

1. 圆的一般方程：圆的一般方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程表示的是平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合，即圆的几何形状。

根据这个方程，可以方便地得到圆的各种性质和问题，比如求圆心、半径、切线、切点等等。

2. 圆的标准方程：圆的标准方程是x²+y²=r²，其中r是圆的半径。

这个方程描述的是圆心在原点(0,0)的圆，可以看做是圆的一般方程的特殊情况。

标准方程的好处是简化了计算，方便求解各种性质和问题。

可以通过平方、整理等数学方法将一般方程转化为标准方程。

3. 圆的参数方程：圆的参数方程是x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径，θ是参数。

这个方程表示的是把圆上任意一点的坐标表示为参数θ的函数形式。

通过改变参数θ的值，可以得到圆上的所有点。

参数方程对于描述圆上的点的运动、变化以及求解相关问题非常有用。

4. 圆的相关方程：此外，圆的方程还有一些特殊情况。

比如，当圆与x轴或y轴平行时，圆的方程可以简化为只含有一个变量的形式，如x²+y²=r²可以转化为x²=r²或y²=r²。

另外，当圆在直角坐标系中以某条边为直径时，圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²或(x-a)²+(y-b)²=r²的形式，其中(a,b)是边的中点坐标，r是边的一半。

总的来说，圆的方程是描述圆的数学形式，通过方程可以方便地求解圆的各种性质和问题。

数学圆的方程知识点总结

数学圆的方程知识点总结一、圆的标准方程。

1. 定义。

- 在平面直角坐标系中，到定点C(a,b)的距离等于定长r的点的轨迹叫做圆，其中定点C(a,b)为圆心，定长r为半径。

2. 方程形式。

- (x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

例如，圆心为(2, - 3)，半径为4的圆的方程为(x - 2)^2+(y+3)^2 = 16。

- 圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

3. 确定圆的标准方程的要素。

- 要确定圆的标准方程，需要确定圆心坐标(a,b)和半径r。

二、圆的一般方程。

1. 方程形式。

- x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。

2. 与标准方程的转化。

- 将圆的标准方程(x - a)^2+(y - b)^2=r^2展开得x^2 - 2ax+a^2+y^2 - 2by +b^2=r^2，即x^2+y^2 - 2ax - 2by+a^2 + b^2 - r^2=0。

- 令D=-2a，E = - 2b，F=a^2 + b^2 - r^2，就得到圆的一般方程。

3. 圆心和半径的确定。

- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，其圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)。

三、点与圆的位置关系。

1. 判断方法。

- 设点P(x_0,y_0)，圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

- 计算点P到圆心C(a,b)的距离d=√((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2)。

- 若d>r，则点P在圆外；若d = r，则点P在圆上；若d，则点P在圆内。

- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，同样先求出圆心(-(D)/(2),-(E)/(2))和半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)，再按照上述距离公式判断点与圆的位置关系。