矩阵论1.2

d , 很容易验证它 dt
是 Pn (t ) 的线性变换，记为D，即
d Dp ( t ) = p ( t ), ∀ p ( t ) ∈ p n ( t ) dt
I V的恒等变换I：α = α , ∀α ∈ V , 和零变换O：都 是V 的线性变换。
线性变换具有下列简单性质： （1） Oα = 0, ∀α ∈ V . T 0 = 0; T (−α ) = −Tα , ∀α ∈ V （2） T (∑ kiα i ) = ∑ kiTα i , 即任意一组向量的线性 i =1 i =1 组合取像，等于分别取像再线性组合； （3）一组线性相关的向量α1 , α 2 , L, α r ,它们在 T下像的Tα1 , Tα 2 ,LTα r也是线性相关的。 但是，线性无关的向量在T下的像可能是线性 相关的，例如零变换把线性无关的向量都映射为 零向量。
J [ p (t )] =
∫
t
0
p (t ) dt
解
[J 1
Jt
Jt
2
] = [t
t2 2
t3 ] = [1 3
t
t2 2
⎡0 ⎢ t 3 ⎢1 ] 3 ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
有了T的矩阵表示，那么 V n 中任一向量 的像 就可以确定了，事实上, α ∈ V 可由 Bα 线性表示
因此，D在 B 下的矩阵是n+1阶方阵
⎡0 1 ⎢ 0 2 ⎢ A = ⎢ O O ⎢ O ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ n⎥ 0⎥ ⎦
A中未写出的元素皆为零。 例7 求 P2 (t )到P3 (t ) 的线性变换J：
⎧ t2 t3 ⎫ B 1 = {1, t , t 2 }, B 2 = {1, t , , } ⎬ 下的矩阵。 在基偶 ⎨ 2 3 ⎭ ⎩
由于线性空间的基不是唯一的，同一个线性变 换T在不同基偶下的矩阵一般不会相同，因此就提 出下述两个问题： （1）如果另取一对基 Bα ′ , Bβ ′ , 又可得到T在基偶 {Bα ′ , Bβ ′ }下的矩阵B，那么A与B之间有什么关系呢？ （2）如何选取 V n ,V m 的基，才能使 T 的矩阵表 示最简呢？
V n 的线性变换T的最简表示 下面讨论
n N (T ) + R (T )却不一定是 V ，例如，对于 Pn−1 (t ) 注：
i =1
n
Tα i = 0, i = 1,2,..., k , n
Tα =
i =1
从而有
i i
∑ b Tα
=
这表明 R (T ) 中的向量 Tα 可由 {Tα k +1 , Tα k + 2 ,..., Tα n } 线性表出.再则，假设有等式
i = k +1
i = k +1
∑ b Tα
i
n
i
.
∑ b Tαຫໍສະໝຸດ x，α = Bα x ，令 β = Bβ Αx ∈ V m ，定义变换 T 为 即
Tα = β
则 T 就是定理中所要求的线性变换。
首先 T 是线性的.设 ξ ,η ∈ V ，它们在 Bα 下的坐
n
标向量分别为 y, z ，则
ξ +η = Bα ( y + z)；kξ = Bα (ky)，∀k ∈F
§1.2 线性变换及其矩阵表示
定义 V n 到V m的变换T 称为线性的，如果对任意的 数 k及V n中的任意向量 α , β , 恒有
T (α + β ) = Tα + Tβ , T ( kα ) = kTα .
ξ = Tα ∈ V m ,则称 ξ为α在T下的像， 称为ξ 的原像。 α 记
特别，当T是 V n 到自身的一个线性变换，则称T是
B β AP = B β QB,
B β ( AP − QB ) = O.
由于 B β 是基，所以有 −1 −1 AP = QB, A = QBP , B = Q AP. 这就是说矩阵 B 、A是相抵（或等价）的。
n 如果 T 是 V 到自身的线性变换，则在上述推 导过程中，令 V m = V n , Bβ = Ba , Bβ ′ = Bα ′ , 便得
r r
设T是 V n 到V m 的线性变换，在 V n 和V m 中分别取基 Bα = {α1 , α 2 , Lα n }和Bβ = {β1 , β 2 , L β m }, 则 a j 的像 Ta j (1 ≤ j ≤ n) 可由基 B β 唯一地线性表出：
⎡ a1 j ⎤ ⎢a ⎥ m 2j Tα j = ∑ aij β i = [ β1β 2 L β m ]⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ i =1 ⎢ ⎥ ⎢ amj ⎥ ⎣ ⎦
∑ bα
i
= 0.
由于 {α1 , α 2 ,..., α n } 是线性无关的，所以有
c1 = c2 = ... = ck = 0, bk +1 = bk + 2 = ... = bn = 0.
这就证明了{Tα k +1 , Tα k + 2 ,..., Tα n } 线性无关. 综合上述两点，证明了{Tα k +1 , Tα k + 2 ,..., Tα n } 是 R(T ) 的基.
i
n i = k +1
n
i
= 0,
则得
n
T ( ∑ biα i ) = 0,
i i
故
i = k +1
∑ b α ∈ N (T ). 于是，存在数 c j , j = 1,2,..., k ,
使
∑c α
j =1 j
k
j
=
i = k +1 n
∑ bα
i i
n
i
,
即
∑ (−c
j =1
k
j
)α j +
i = k +1
从上述讨论可知，取定基偶 {Bα , Bβ } 后，线性 变换T有唯一的矩阵表示，即得到T在此基偶下的 矩阵A，反过来 ，给定 m × n 矩阵A，是否存在唯 一的线性变换T，它在基偶 {Bα , Bβ } 下的矩阵是A 呢？我们用下述定理给出肯定的回答。
定理 设 Ba = {α1 , α 2 ,L , α n }, Bβ = {β1 , β 2 ,L , β m } 分别 是V n 和V m 的基，对于给定的 m × n 矩阵 A = [a ij ], 则存在 V n 到V m 的唯一线性变换T，它在 {Ba , B β } 下的矩阵是 A。 证 只证存在性。 任取 α ∈ V n ，设它在 Bα 下的坐标向量为
设 n 阶方阵P是基 Bα 到Bα ′ 的变换矩阵，而m阶方 阵Q是基 B β 到B β ′的变换矩阵， × n 矩阵A，B分别 m 是T在基偶 {Bα , Bβ } {Bα ′ , Bβ ′ }下的矩阵，那么由关系式 、
Bα ′ = Bα P, Bβ ′ = Bβ Q,
TBα = Bβ A, TBα ′ = Bβ ′ B 可以推出，
事实上若 rank T = r , 则(1.2-3)式给出 nullT = n − r. 在 V n 中选取这样的基 Ba = {α 1 , α 2 , L , α r , α r +1 , α n },
使{α r +1 , α r + 2 , L , α n } 是 N (T ) 的基。这是做得到的，
ei = [0… 0 1 0 ... 0]
i
T
，即第 i 个分量为1，其余分量
为0 的 n 维列向量. 从而按 T 的定义有 Tα i = Bβ Aei . 因而
TBα = [Tα1 Tα2 ...Tαn ] = [Bβ Ae1 Bβ Ae2 ...Bβ Aen ] = Bβ A[e1 e2 ... en ] = Bβ AI = Bβ A .
按 T 的定义，有
Tξ = Bβ Ay，Tη = Bβ Az，
从而
T (ξ + η ) = Bβ A( y + z) = Bβ Ay + Bβ Az = Tξ + Tη , T (kξ ) = Bβ A(ky) = kBβ Ay = kTξ .
α 再证 TB α = B β A . 显然， i 在 Bα 下的坐标向量是
n
α 出： = ∑ xiα i，从而Tα = ∑ xiTα i , 即若
i =1
i −1
n
n
α = Bα x, 则Tα = TBα x.
Tα = TBa x = Bβ Ax.
由（1.2-1）式得 （1.2-2） 这就是说，若x是a在 Ba 下的坐标向量，那么其像 T α 在 B β 下的坐标向量是 Ax.
V n 的线性变换。
A ∈ F m×n , 定义V n 到V m的变换A 为 例1 给定 n m x ∈ F → y = Ax ∈ F .
容易验证A是一个线性变换。
例2 给定 P ∈ F m×m , Q ∈ F n×n , 不难验证变换
T : X ∈ F m×n → PXQ ∈ F m×n
是 F m×n 的一个线性变换。 例3 对 Pn (t ) 中的多项式求导
AP = PB,
A = PBP −1 , B = P −1 AP.
这表明方阵B，A是相似的。
V n 到V m 的一个线性变换T在不同基偶下 于是，
的矩阵是相抵关系的，而 V n 的线性变换T在不同 基下的矩阵是相似关系。 从而，第二个问题也就等价于：与A相抵的所 有矩阵中最简矩阵是什么？与方阵A相似的所有方 阵中最简矩阵是什么.
⎢a A = ⎢ 21 ⎢L ⎢ ⎣a m1 a 22 L am2 L a 2n ⎥ ⎥. L L⎥ ⎥ L a mn ⎦
（1.2-1）式叫做T的矩阵表示，称A为T在基偶