导数的基本概念及性质应用

导数的基本概念及性质应用

令狐采学

考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解

2、能运用导数求解单调区间及极值、最值

3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。

能力：数形结合 方法：讲练结合 新授课：

一、 知识点总结：

导数的基本概念与运算公式

１、

导数的概念

函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy

与自变量的增量Δx 的比x Δ y

Δ的极限，即

)(x f '＝0

x Δlim

→x

Δ y

Δ＝

x Δlim

→x

Δf(x)

-x) Δ(+x f

说明：分子和分母中间的变量必须保持一致

２、

导函数

函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，

函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)

(x f

在0x 处的导数。

３、

导数的几何意义

设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。

４、

求导数的方法

（１）基本求导公式 （２）导数的四则运算 （３）复合函数的导数

设)(x g u =在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，

导数性质： 1、函数的单调性

⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。

⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 ①确定函数)(x f 的定义区间

②求)(x f '，令)(x f '＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。

③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间。

④确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性。

说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关

2．可导函数的极值

⑴极值的概念

设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有)(x f ＜)(0x f （或)(x f ＞)(0x f ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值点。称0x 为极大（小）值点。 ⑵求可导函数极值的步骤。 ①求导数)(x f '

②求方程)(x f '＝0的根

③检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极小值。

说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐

含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个)(x f '＝0的方程

3．函数的最大值与最小值

⑴设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，求函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上的最大值与最小值，可分两步进行。

①求y ＝)(x f 在(a ,b )内的极值。

②将y ＝)(x f 在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大

的一个为最大值，最小的一个为最小值。

⑵若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，

)(b f 为函数的最大值；若函数

y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调减少，

则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值。

说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值

二、 例题讲解

题型一导数的概念

【例1】设f(x)在点x0处可导，a 为常数，则

x

x a x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)

()(lim

000

等于(

)

A.f/(x0)

B.2af/(x0)

C.af/(x0)

D.0

【变式】设)(x f 在0x 处可导__lim

)

()(0

00=∆-∆-→∆x

x f x x f x

题型二导数的几何意义、物理意义 【例2】（1）求曲线1

22

+=x x

y 在点（1，1）处的切线方程；

（2）运动曲线方程为2221

t t

t S +-=，求t=3时的速度。

分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)

在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。

题型三利用导数求单调区间 【例3】求下列函数单调区间

（1）522

1)(23+--==x x x x f y

（2）x

x y 1

2-=